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ANÁLISIS MATRICIAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES 71

4.1.2.1. PÓRTICOS PLANOS DE NODOS RÍGIDOS

En un caso general, cada barra ha de soportar un esfuerzo axil N, un esfuerzocortante V, y momentos flectores MA y MB en sus secciones extremas. Bajo estascircunstancias, la pieza experimenta un alargamiento u, un desplazamiento transversalrelativo v entre los nodos inicial y final, y unos giros $A y $B correspondientes a esosmismos puntos.

Considerando un comportamiento elástico lineal, y partiendo de las igualdades [23]y [24], se determina la relación existente entre el esfuerzo axil y la variación de longitudresultante:

ir i EÁN = k u = — uL

[26]

Por otra parte, las expresiones [13] ya deducidas, nos vinculan los giros producidosen los nodos dorsal y frontal, a partir de los momentos flectores considerados:

El desplazamiento lateral v introduce un aumento en las rotaciones extremas quepuede cuantificarse como sigue. Admitiendo que las deformaciones son suficientementepequeñas, el ángulo a puede confundirse con su tangente:

De este modo:

E. MARTIN & J. VALCARCEL & J. ESTEVEZ

72 RELACIONES FUNDAMENTALES EN EL MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

De la primera se obtiene:

Y reemplazando en la segunda, se despeja el valor de MA:


Sustituyendo convenientemente en las igualdades [13] anteriores:


Con todo:

Por último, nos resta expresar el valor del esfuerzo cortante V en función de lasdeformaciones aquí consideradas. Para ello, y teniendo en cuenta que el elemento seencuentra en equilibrio, planteamos:

Sustituyendo las igualdades [27]:

En este punto estamos en condiciones de presentar las relaciones calculadas en formamatricial.

La matriz calculada y simétrica representa las rigideces de la pieza ante los esfuerzoscaracterísticos considerados. Conviene señalar que las cuatro ecuaciones que comporta no sonlinealmente independientes, y por tal motivo no podemos afirmar estrictamente que constituyala matriz de rigideces del elemento.

£ = *< D. [29]


De esta forma, MB adopta el siguiente valor:


Basándose en la anterior notación, las ecuaciones del material para la totalidad de laestructura, resultan:

Debe hacerse notar que las submatrices \Q]4^ no incluidas en la diagonal de la matriztotal [k](4n)x(4n) contienen únicamente elementos nulos.

4.1.2.2. EMPARRILLADOS PLANOS DE NODOS RÍGIDOS

En el presente tipo estructural se prescinde de los esfuerzos axiles N, y se analizan,en cambio, los posibles momentos torsores MT y sus correspondientes rotaciones $x,producidas alrededor de la directriz de la barra. De acuerdo con la expresión [15] yaevaluada:


Desarrollando las distintas submatrices implicadas:

n : Número total de barras


Los cálculos restantes, relativos a los esfuerzos cortantes y momentos flectores, sonsimilares a los desarrollados para pórticos; diferenciándose únicamente en cuanto respectaa los correspondientes convenios de signos.



Sustituyendo estos valores en las anteriores expresiones:

Y despejando adecuadamente los momentos Héctores MA y MB:


Por otra parte, planteando el equilibrio de la barra:

Por último, desarrollando cada una de las submatrices:

reemplazando las igualdades ya obtenidas:

y reordenando los resultados según una concepción matncial:


Siguiendo un razonamiento análogo al expuesto en el análisis de pórticos planos, lasecuaciones del material, para la totalidad del sistema estructural, pueden esquematizarsecomo sigue:

siendo de nuevo n el número total de barras, y cada una de las submatrices ki la indicada enla igualdad [32].

4.2. ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE DESPT,A7AMTF.NTQS

El presente conjunto de condiciones permite relacionar los desplazamientos de losextremos de las barras con los experimentados por las correspondientes uniones; todo elloa fin de obtener en las mismas el adecuado ajuste geométrico. Como resultado, se construyeuna igualdad matricial del tipo

dondeD Vector compuesto por las deformaciones elásticas de los distintos miembros



de la estructura.C Matriz de Transformación de Desplazamientos,b Vector que engloba los corrimientos de los nodos.

En general, la Matriz de Transformación de Desplazamientos vendrá definida porlos cosenos directores que vinculan los sistemas de coordenadas locales (uno por cada pieza)y global (único para la totalidad de la estructura). Su configuración dependerá, por tanto, dela inclinación dada a cada elemento estructural, y de su orientación (esto es, del sentido deavance elegido).

4.2.1. ESTRUCTURAS ARTICULADAS

Sea una pieza articulada en sus extremos que, por efecto del esfuerzo axil a que seencuentra sometida, experimenta un alargamiento total u.

Se denomina:

u¡, Uj Proyecciones de los desplazamientos de las secciones extremas(indicadas con los subíndices i, j) sobre la directriz delelemento.

x',, x 'j, y ',., y ^ Proyecciones de los citados corrimientos sobre los ejes globalesde abcisas (X')y ordenadas (Y'), respectivamente.

En estas condiciones:

w = Uj - ui [34]

Analizando la figura propuesta, así como sus oportunas ampliaciones, se deduce:


Sustituyendo estas expresiones en la igualdad [34], resulta:

para cada una de las piezas que componen la estructura.

En forma matricial:


(u) = (-cosa -sena ; cosa sena)



Para la totalidad del sistema, la Matriz de Transformación de Desplazamientos Cdispondrá de tantas filas como piezas existan, y de dos columnas por cada unión. Como yahemos apuntado, dichas columnas contendrán los cosenos directores de cada una de las barrasconectadas al nodo. En este sentido debe tenerse en cuenta que:

4.2.2. ESTRUCTURAS DE NODOS RÍGIDOS



(segundo coseno director)


En cualquier caso, debemos considerar las rotaciones rígidas producidas en losextremos de los distintos miembros, que serán iguales a las experimentadas por los nodoscorrespondientes. De otra forma, los giros son invariantes en el proceso de transformaciónde coordenadas.

Se demuestra que el desplazamiento u adopta la expresión [36] antes evaluada:

Por otra parte, el corrimiento v en dirección transversal puede deducirse aplicandorazonamientos similares:

Teniendo en cuenta la invariabilidad de los giros:

[38]

[39]

(se designan con subíndices A y B las rotaciones de los nodos correspondientes).

Disponiendo todo ello en forma matricial, resulta (para cada una de las barras):

Las expresiones de compatibilidad para el pórtico completo se construirán, por tanto,



a partir de las contribuciones que aporte cada uno de sus elementos. Insistimos en que dichascontribuciones adoptarán la forma [39] anterior.


En estas condiciones, el corrimiento vertical relativo responde a la igualdad

El principal problema reside aquí en determinar las relaciones existentes entre losgiros expresados en base a los sistemas local y global de coordenadas.

La rotación rígida total, alrededor del eje de la pieza, puede evaluarse como sigue:



En relación a las restantes variables:

El conjunto de ecuaciones descrito se dispone en forma matricial, para cada elemento:

Como en los casos anteriores, las condiciones de compatibilidad, para la totalidad delsistema, se confeccionarán conjuntando adecuadamente las expresiones [43] que proporcionantodas y cada una de sus barras.

4.3. ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Para que todos los nodos de la estructura se encuentren en equilibrio, es preciso que,en cada uno de ellos, sea nulo el sistema formado por las acciones exteriores que lo solicitan,y las reacciones que sobre el mismo ejercen todas las piezas a él conectadas. Esta ideaconduce al planteamiento de la igualdad [18]:

E = ClN [18]

dondeP Vector que define el conjunto de acciones extemas aplicadas en los nodos.N Vector integrado por los esfuerzos característicos considerados en las distintas

barras.

Como se demostró en apartados precedentes, la matriz C no es sino la transpuesta



de la Matriz de Transformación de Desplazamientos C. Para su determinación bastará,por tanto, disponer adecuadamente los términos evaluados al deducir las Ecuaciones deCompatibilidad.


Sea el elemento de numeración k, que vincula los nodos i, j:

Al plantear el equilibrio para la totalidad de la estructura, las diversas submatricesdeben componerse como sigue:










CAPITULO 5FORMACIÓN Y ENSAMBLAJE DE LAMATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL

5.1. FORMULACIÓN INDIRECTA

La expresión matricial

es una representación esquemática de un conjunto de ecuaciones lineales cuyas incógnitas sonlos desplazamientos de los nodos de la estructura, y cuyos términos independientes son lasacciones exteriores aplicadas en los mismos. La Matriz de Coeficientes K es la Matriz deRigidez Global, que viene a cuantificar la resistencia a la deformación bajo el conjunto desolicitaciones impuestas.

De cara a analizar su interpretación física, se propone el estudio de la viga biapoyadade la figura; a la que se ha sometido, por separado, a una serie de desplazamientos verticalesunitarios.


88 FORMACIÓN Y ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL

Si se induce en primer término un desplazamiento unitario en el nodo 1, mientras serestringen los numerados como 2 y 3, las fuerzas nodales resultan ser las indicadas en lafigura. Se aplican deducciones similares cuando el corrimiento unitario se desarrolla en lossiguientes puntos. En cualquier caso, P¡ viene en función de K¡¡, que constituye la fuerza enel nodo i cuando se experimenta el desplazamiento unidad sobre el j.

Teniendo en cuenta que la fuerza nodal en i es proporcional al corrimiento en j, sepuede establecer:

Se verifica que, si 5j tiene por magnitud la unidad, K¡j coincide con la fuerza P¡correspondiente.

Por otra parte, cuando los desplazamientos se inducen simultáneamente, se ha deaplicar el Principio de Superposición:

Expresando las anteriores igualdades en forma matricial:

De la sustitución de la igualdad [5] en el sistema anterior, resulta:


En el ejemplo propuesto:

siendo I la Matriz de Identidad.

La ecuación anterior implica que la Matriz de Rigidez coincide con la inversa de laMatriz de Flexibilidad, y viceversa.

W = [Fp1 [F] = [fl-1

Esta consideración les permite compartir las siguientes propiedades, cuyo análisis yase abordó al tratar el Método de las Fuerzas:

a.- La Matriz de Rigidez, al igual que la de Flexibilidad, es fundón del sistemaestructural en estudio y del conjunto de nodos elegido para su cálculo.

b.- .La Matriz de Rigidez es igulamente simétrica.

c.- Los elementos de su diagonal principal, salvo casos de inestabilidad, son positivos.

De acuerdo a la Ley de Clapeyron, el trabajo desarrollado por un conjunto deacciones exteriores {Pj, P2, ..., Pn} viene dado por la expresión:


Por otra parte:

Para que ello sea posible:

KF = I



Sustituyendo la última igualdad en [6]:

Y teniendo en cuenta que la transpuesta de una matriz simétrica coincide consigomisma, se obtiene:

Como en el caso de la Matriz de Flexibilidad, la forma cuadrática de la variable 5(miembro derecho) resulta definida positiva y, por tanto, también lo es la matriz K con quese forma. Ello demuestra que su determinante es superior a cero, y que el sistema deecuaciones

ya enunciado, posee una única solución para cada vector no nulo de acciones exteriores.

Cabe señalar que la construcción directa de la Matriz de Rigidez Global, con laconsiguiente eliminación de pasos previos, implica una notable reducción de almacenamientoy de tiempo de cálculo. A tales efectos será preciso plantear, de forma genérica, la igualdad

K = Cl k C POl

para cada uno de los tipos estructurales en estudio, y teniendo en cuenta las siguientesconsideraciones de nomenclatura:

C Matriz de Transformación de Desplazamientos.k Matriz diagonal formada por las rigideces de las piezas.




donde:


La igualdad anterior puede esquematizarse como sigue:





Denominando:

C = coseno del ánguloS = seno del ángulo


3 primeras columnas de la matriz :


3 últimas columnas de la matriz :

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