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Análisis y Control de
Sistemas Lineales
Modelado de Sistemas mecánicos
Contenido
◼ Modelos de elementos mecánicos de
traslación
◼ Ejemplos
◼ Modelos de elementos mecánicos de
rotación
◼ Ejemplos
◼ Ejercicios
Modelos de elementos
mecánicos de traslación
x1x2
x1
El efecto de la gravedad
MgtfKxdt
xdM +=+ )(
2
2
)(2
2
tfKydt
ydM =+
)( −= xy
KtfKxdt
xdM +=+ )(
2
2
Ejemplo 1: Modelo de un
sistema masa resorte
.2
2
extFkxdt
dxb
dt
xdm =++
)()()()( .
2 sFskXsbsXsXms ext=++
NF
m
Nk
m
sNb
kgm
ext 81.9
5
2.0
1
. =
=
=
=
kbsmssF
sXsG
ext ++==
2
.
1
)(
)()(
m d2x/dt2
Ejemplo 2: Modelo de un carrito
con resorte y amortiguamiento
)(tukxxbxm =++
mks
mbs
m
sX
sU
++=
2
1
)(
)(
K1 K2
B1B2
y1,v1 y2,v2
M1 M2
Ejemplo 3: Masas en
movimiento
0)( 212111111 =−+++ yyKyKyByM
0)( 1222222 =−++ yyKyByM
0)( 111122121 =++−+ yMyByKyKK
022222212 =+++− yMyByKyK
M2
M1
K1
K2 B1
r(t) = entrada
q(t)
y(t) = salidaChasis de
automóvil
Llanta
Ejemplo 4: Sistema de
suspensión de un automóvilM1 es la masa de la llanta,
M2 es ¼ de la masa del
chasis del automóvil, K1 es
la constante elástica de la
llanta y K2 es la constante
elástica del resorte de
suspensión y B1 es la
constante del amortiguador.
La entrada r(t) es el nivel de
la calle y la salida y(t) es la
posición vertical del chasis
del automóvil respecto a
algún punto de equilibrio.
M2
M1
K1
K2 B1
r(t) = entrada
q(t)
y(t) = salidaChasis de
automóvil
Llanta
Ejemplo 4: Sistema de
suspensión de un automóvil
NF
mNK
kgM
msNB
mNK
kgMM
ent 544
/17855
10
/357
/3571
2254/
.
1
1
1
2
2
=
=
=
=
=
==
Fent es producida por el
desplazamiento r(t)
rKqKyqKyqBqM 11211 )()( =+−+−+
0)()( 212 =−+−+ qyKqyByM
Ejercicio 1: Encuentre el
modelo
◼ A)
◼ B)
Ejercicio 2: Encuentre Y(s)/F(s)
Considere que antes de la
aplicación de la fuerza f(t),
el sistema se encontraba en
reposo. Encuentre:
◼ Las ecuaciones
diferenciales que describen
el comportamiento
dinámico
◼ La función de transferencia
de la posición de la masa 1
respecto a la fuerza de
entrada.
M1
M2
b1k1
k2
y(t)
x(t)
f(t)
Modelos de elementos
mecánicos de rotación
)( 21 −= BM B
Fricción viscosa rotacional
)( 21 −= KM k
Ejemplo 5: Flecha de un
motorConsideraciones
◼ La barra es
indeformable
◼ La fricción es viscosa
B
J
Mm TL
Lm TMBJ −=+
Ejemplo 6: Sistema de polea
con contrapeso
El momento de inercia
de la polea respecto al
eje de rotación es J; la
constante de fricción en
el eje es B. El radio de
la polea es r. La
constante del resorte
es K, la masa del
objeto es m y la tensión
de la cuerda es T. Se
aplica una fuerza f en
el sentido de la fuerza
de gravedad
rfrKBrmJ =+++ 22)(
m
J
r
Kx
T
T
f
B
Considere
◼ La relación de radios
◼ La conservación de la
potencia
◼ El torque de reacción en
cada flecha.
◼ Poner todo en términos
de
Ejemplo 8: Transmisión de
torque sin pérdidas
TTJ =+ 111
LTTJ −= 222
2211
2211
rr
rr
=
=
2211 TT =
( ) )()( 211
2
2121 rrTTrrJJ L−=+
r1,J1
T
TL
1
2
r2,J2
T1
T2
1
Ejemplo 9: Péndulo simple
Consideraciones
◼ El ángulo es pequeño
◼ sen()=
◼ Sin fricción en el pivote
◼ La masa m está
suspendida del techo por
una barra indeformable de
longitud l.
mg
m
lT
mg
mm
lT
)( senlmgJ −=
)(senmg −
mlJ 2=
)( sengl −=
Ejemplo 10: Péndulo con
restricciónConsideraciones
◼ El ángulo es pequeño.
◼ Sin fricción en el pivote
◼ La masa m está
suspendida del techo por
una barra indeformable de
longitud l.
◼ La barra está restringida
a la distancia a por medio
de dos resortes con
constantes K1 y K2.
K2
mg
K1
m
a
lT
K2
mg
K1
mm
a
lT
K2
mg
K1
m
a
lT
K2
mg
K1
mm
a
lT
El desplazamiento en el eje x
El brazo de palanca en el eje y
El equilibrio de momentos
alrededor del punto de pivote
Ejemplo 10: Péndulo con
restricción (2)
)(senmg −
)(21 senlmgyxKyxKJ −=++mlJ 2=
)(senax =
)cos(= ay
)()cos()()( 21
2 senlmgasenaKKml −=++
x
y
Ejercicio 3: Barra y bola
Consideraciones
◼ La bola NO rueda, sino,
simplemente se desliza
SIN fricción por la barra.
◼ El ángulo α es pequeño
◼ Se aplica un torque T al
eje conectado al centro
de la barra con fricción B.
α
Euler-Lagrange: Definiciones
◼ Coordenadas generalizadas qi: Conjunto de
coordenadas independientes que se
requieren para describir completamente el
movimiento de un sistema
◼ Cantidad de coordenadas generalizadas:
número de grados de libertad
◼ Lagrangiano: 𝐿 = 𝑇 − 𝑈
Donde
T es la energía cinética
U es la energía potencial
Euler-Lagrange: Lagrangiano
El Lagrangiano L es función de la coordenadas
generalizadas 𝑞𝑖, de las derivadas de las
coordenadas generalizadas ሶ𝑞1 y del tiempo t.
Ecuación de Euler-Lagrange para sistemas
conservativos, o ecuación de movimiento de
Lagrange para n coordenadas generalizadas
𝐿 = 𝐿(𝑞𝑖 , ሶ𝑞𝑖 , 𝑡)
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ሶ𝑞𝑖−
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖= 0, (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛)
◼ La energía cinética
◼ Si para = 0 la energía potencial
es cero, la energía potencial
◼ El Lagrangiano L es
Ejemplo 11: Péndulo simple por
Euler-Lagrange
𝑇 =1
2𝑚 𝑙 ሶ𝜃
2
𝑈 = 𝑚𝑔𝑙(1 − cos 𝜃 )
𝐿 = 𝑇 − 𝑈 =1
2𝑚 𝑙 ሶ𝜃
2−𝑚𝑔𝑙(1 − cos 𝜃 )
mg
m
l
mg
mm
l
◼ La ecuación de Lagrange
Ejemplo 11: Péndulo simple por
Euler-Lagrange (2)
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ሶ𝜃−𝜕𝐿
𝜕𝜃= 0
𝑑
𝑑𝑡𝑚𝑙2 ሶ𝜃 + 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 0
𝑚𝑙2 ሷ𝜃 + 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 0
ሷ𝜃 +𝑔
𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 0
mg
m
l
mg
mm
l
Ejercicio 4: Péndulo con restricción
Consideraciones:
◼El ángulo es pequeño.
◼ Sin fricción en el pivote
◼ La masa m está suspendida
del techo por una barra
indeformable de longitud l.
◼ La barra está restringida a la
distancia a por medio de un
resorte con constante K.
◼La fuerza ejercida por el resorte
es cero cuando = 0
mg
m
a
l
mg
mm
a
l
K
Ejercicio 5: Péndulo móvil
Consideraciones
◼ Es un sistema de dos grados de
libertad.
◼ La energía potencial cuando x = 0 y
= 0 se toma como cero.
◼ El ángulo es pequeño.
◼ No hay fricción en el pivote del
péndulo ni en el carrito.
◼ La posición horizontal de la masa
respecto al sistema coordenado
tiene dos partes.
◼ La velocidad de la masa tiene
componente horizontal y vertical.
◼ La barra que sostiene la masa no
se deforma y su masa es
despreciable.
K
x
M
mg
m
l
Función de disipación de
RaleighEn los sistemas no conservativos, se disipa energía
(sistemas amortiguados). D es la función de disipación
de Raleigh. Suponiendo r amortiguadores viscosos, la
función D se define como:
Donde 𝑏𝑖 es el coeficiente del i-ésimo amortiguador
viscoso y 𝛿𝑖 es la diferencia de velocidad a través del i-
ésimo amortiguador viscoso, la cual puede expresarse
en función de las velocidades generalizadas ሶ𝑞𝑖.
𝐷 =1
2(𝑏1𝛿1
2 + 𝑏2𝛿22 +⋯+ 𝑏𝑟𝛿𝑟
2)
Euler-Lagrange para sistemas
no conservativosPara sistemas no conservativos, mediante el uso de la
función de disipación de Raleigh tenemos:
Si además existen fuerzas de entrada (generalizadas),
con 𝑄𝑖 como la fuerza generalizada para la i-ésima
coordenada generalizada
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ሶ𝑞𝑖−𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖+𝜕𝐷
𝜕𝑞𝑖= 0, (𝑖 = 1, 2,… , 𝑛)
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ሶ𝑞𝑖−𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖+𝜕𝐷
𝜕𝑞𝑖= 𝑄𝑖 , (𝑖 = 1, 2, … , 𝑛)
Ejemplo 12: Encuentre
Y(s)/F(s) por Euler-LagrangeConsidere que antes de la
aplicación de la fuerza f(t), el
sistema se encontraba en
equilibrio.
Encuentre las ecuaciones
diferenciales que describen el
comportamiento dinámico .
M1
M2
b1 k1
k2
x(t)
y(t)
f(t)
Ejemplo 12: Encuentre
Y(s)/F(s) por Euler-Lagrange (2)
La energía cinética
La energía potencial, la cual considera 0
cuando x=0 y y=0.
La función de disipación de Raleigh es:
Con f(t) como la fuerza generalizada para la
coordenada x, el Lagrangiano es:
M1
M2
b1 k1
k2
x(t)
y(t)
f(t)
𝑇 =1
2𝑀1 ሶ𝑥2 +
1
2𝑀2 ሶ𝑦2
𝑈 =1
2𝑘1𝑥
2 +1
2𝑘2 𝑥 − 𝑦 2
𝐷 =1
2(𝑏1 ሶ𝑥2)
𝐿 = 𝑇 − 𝑈 =1
2𝑀1 ሶ𝑥2 +
1
2𝑀2 ሶ𝑦2 −
1
2𝑘1𝑥
2 −1
2𝑘2 𝑥 − 𝑦 2
Ejemplo 12: Encuentre
Y(s)/F(s) por Euler-Lagrange (3)
Las ecuaciones de Lagrange
Son:
finalmente
M1
M2
b1 k1
k2
x(t)
y(t)
f(t)
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ሶ𝑥−𝜕𝐿
𝜕𝑥+𝜕𝐷
𝜕𝑥= 𝑓(𝑡)
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 ሶ𝑦−𝜕𝐿
𝜕𝑦+𝜕𝐷
𝜕𝑦= 0
𝑑
𝑑𝑡𝑀1 ሶ𝑥 + 𝑘1𝑥 + 𝑘2(𝑥 − 𝑦) + 𝑏1 ሶ𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝑑
𝑑𝑡𝑀2 ሶ𝑦 − 𝑘2(𝑥 − 𝑦) + 0 = 0
𝑀1 ሷ𝑥 + 𝑏1 ሶ𝑥 + 𝑘1𝑥 + 𝑘2(𝑥 − 𝑦) = 𝑓(𝑡)
𝑀2 ሷ𝑦 + 𝑘2(𝑦 − 𝑥) = 0
Referencias
◼ Ogata, Katsuhiko. „Dinámica de Sistemas“, Prentice
Hall, 1987, México.
◼ Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control
Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, México.
◼ Alciatore G., David; Histand B., Michael.
Introduction to mechatronics and measurement
systems. 2ª Ed., McGraw Hill, USA, 2003.
