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Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Eléctrica
Práctica II: Verano 2005
DISEÑO DE AMPLIFICADORES DE MICROONDAS
Autor: Enrique Román Asenjo Profesor encargado: Dr. Javier Ruiz del Solar Fecha: Abril, 2005
11. Diseño de Amplificadores de Microondas
11.1 Introducción 11.2 Consideraciones de diseño 11.3 Propiedades básicas de redes de dos puertos
10.3.1 Propiedad de conservación del factor de desadaptación en redes sin pérdidas
10.3.2 Definiciones de Ganancia 10.3.3 VSWR, coeficiente de reflexión y factor de desadaptación en amplificadores multietapa 11.4 Ganancia en función de los parámetros de Scattering 11.5 Estabilidad 11.5.1 Noción de estabilidad en amplificadores 11.5.2 Adaptación de impedancias y estabilidad 11.5.3 Círculos de estabilidad 11.6 Círculos de ganancia constante 11.7 Ruido 11.7.1 Orígenes y tipos de ruido en dispositivos activos 11.7.2 Modelación del ruido 11.7.3 Ruido en redes de dos puertos 11.7.4 Figura de ruido 11.7.5 Círculos de Figura de ruido constante 11.7.6 Figura de Ruido para etapas en cascada 11.7.7 Temperatura equivalente de ruido 11.8 Estrategia de diseño de amplificadores de microondas 11.8.1 Diseño de amplificadores de una etapa 11.8.2 Diseño de amplificadores de dos etapas 11.9 Anexos
11.9.1 Transformaciones bilineales y mapeo de círculos en el plano complejo
11.10 Referencias, recursos computacionales y sitios de interés
11.11 Bibliografía
11. Diseño de Amplificadores de Microondas 11.1 Introducción El objetivo de este capítulo es mostrar los fundamentos del diseño de amplificadores de microondas de pequeña señal desde el punto de vista ingenieril, es decir, queremos diseñar un amplificador que cumpla con un conjunto de requerimientos del sistema, tales como ganancia, figura de ruido, ancho de banda y razón de onda estacionaria (VSWR) a la entrada y salida del amplificador, a partir de los parámetros de red de dos puertos del dispositivo suministrados por el fabricante. La metodología de diseño mostrada aquí se basa en el uso de la matriz de parámetros de Scattering (o parámetros S) del transistor (polarizado en zona lineal). Otros parámetros de red de dos puertos tales como los parámetros y, a pesar de haber sido usados durante muchos años han sido desplazados por los parámetros S entre otras razones gracias a la rapidez y precisión de su medición con equipos automatizados especializados. Hoy en día todos los transistores de pequeña señal disponibles en el mercado están caracterizados por parámetros S, medidos en varias condiciones de polarización distintas y en un amplio rango de frecuencias.
Figura 11.1: Parámetros S del transistor ATF-34143 (Low Noise Pseudomorphic HEMT) en condiciones de polarización VDS = 3V, IDS = 20mA, para distintas frecuencias.
En la figura 10.1 se muestran los parámetros S del transistor ATF-34143, el mismo utilizado en la primera etapa del amplificador de bajo ruido (LNA) del receptor del Small Radio Telescope.1 Las condiciones de polarización del ATF-34143 en el LNA del receptor del SRT son VDS = 2.5V, IDS = 10mA. Dada la rapidez y precisión con que el fabricante puede medir los parámetros S del dispositivo, el diseñador de un LNA puede solicitar al fabricante información específica para condiciones de polarización o frecuencias no especificadas en el data sheet del dispositivo.
1 Datasheet del ATF-34143 y esquemático del LNA del SRT disponibles en http://web.haystack.mit.edu/SRT/
La ganancia, estabilidad, adaptación de impedancia y VSWR a la entrada y salida de un amplificador, pueden ser expresadas en ecuaciones en función de los parámetros S. En general los parámetros S nos dan toda la información que necesitamos para el diseño, sin embargo no nos dicen nada acerca del ruido del dispositivo. Como veremos más adelante, el ruido se puede caracterizar por un conjunto de parámetros también suministrados por el fabricante del dispositivo, medidos en varias condiciones de polarización y en un amplio rango de frecuencias.
Figura 11.2: Parámetros de ruido del transistor ATF-34143 (Low Noise Pseudomorphic HEMT) en
condiciones de polarización VDS = 3V, IDS = 20mA, para distintas frecuencias. La carta de Smith es una herramienta indispensable en la visualización de las diferentes restricciones que se deben considerar en el diseño de un amplificador de microondas. Estas restricciones se traducen círculos de ganancia constante, círculos de figura de ruido constante, y círculos de factor de desadaptación constante. Más adelante derivaremos e interpretaremos estos conceptos. Los amplificadores de microondas usualmente se construyen en Circuitos Integrados de Microondas (MIC) tanto híbridos como monolíticos (MMIC). En construcción híbrida las líneas de transmisión y las mallas de adaptación usualmente se hacen como elementos de circuito microstrip sobre un substrato dieléctrico y los componentes discretos (condensadores, resistencias, transistores, etc.) se conectan soldando. Los dispositivos discretos vienen con terminales conductores para facilitar su inserción en un circuito híbrido.
En los MIC monolíticos (MMIC) todos los elementos que conforman el circuito (líneas de transmisión, redes de adaptación, elementos activos y pasivos, etc.) se construyen en un único cristal semiconductor. Esta tecnología es principalmente utilizada en la producción a gran escala.
11.2 Consideraciones de diseño En general se pueden distinguir los siguientes objetivos en el diseño de amplificadores de microondas:
• Máxima ganancia de potencia • Mínima figura de ruido para la primera etapa. • Ganancia estable, ie, sin oscilaciones. • Razón de onda estacionaria (VSWR) cercana a la unidad, tanto en la entrada
como en la salida. • Ganancia uniforme en una cierta banda de frecuencia. • Respuesta en frecuencia de la fase lineal, ie, sin distorsión. • Insensibilidad a cambios en los parámetros S o cambios en la polarización.
Es importante notar que existen muchos compromisos o trade offs entre estos
objetivos de diseño. Por ejemplo, en el diseño de amplificadores de bajo ruido es necesario sacrificar ganancia y VSWR a la entrada a cambio de una figura de ruido aceptable (más adelante definiremos figura de ruido). Las especificaciones de diseño están todas interrelacionadas lo cual hace el problema casi inmanejable sin el uso de una estrategia de optimización computacional, dado que cada requerimiento impone restricciones sobre los otros, y las ecuaciones que definen estas restricciones no son sencillas. Por esta razón la visualización de las restricciones en una carta de Smith facilita enormemente la comprensión del conflicto entre los requerimientos. Una vez que el diseñador elije el transistor y define su punto de polarización, mediante el uso de los parámetros de Scattering y los parámetros de ruido diseña el circuito que cumple con los requerimientos, en particular diseña las mallas de adaptación a la entrada y salida del dispositivo. Más adelante veremos como las mallas de adaptación a la entrada y a la salida determinan entre otros factores la figura de ruido y la ganancia. Los diseñadores disponen de una gran variedad de dispositivos en el mercado. La selección de un dispositivo para una aplicación en particular no es trivial. Típicamente el diseñador parte con el análisis de los parámetros S del dispositivo. La selección del transistor se basa principalmente en los requerimientos de ganancia y ruido a una cierta frecuencia, tipo de empaquetamiento y voltajes de operación disponibles. Los parámetros S se miden insertando el transistor en un circuito de prueba con líneas de 50 tanto a la entrada como a la salida, polarizando el dispositivo con voltajes y corrientes adecuados. Luego es importante tener en cuenta que el diseño debe dejar un margen a la variación de los parámetros S, los cuales no solo dependen de la polarización y la frecuencia, sino que también de la temperatura y de transistor en transistor (aún del mismo modelo).
Ω
A diferencia del diseño de amplificadores de pequeña señal, el diseño de amplificadores de gran señal requiere tomar en cuenta las características no lineales de los transistores y además poner atención a la disipación de potencia del dispositivo y el diseño de disipadores de calor. La metodología de diseño de amplificadores de pequeña señal usando redes lineales de dos puertos sirve como primera aproximación al diseño de amplificadores de gran señal, particularmente en conexión con estabilidad. El diseño de amplificadores de microondas de gran señal queda fuera del alcance de este capítulo.
11.3 Propiedades básicas de redes de dos puertos 11.3.1 Propiedad de conservación del factor de desadaptación en redes sin pérdidas
Zin ZL
Zs Redsin pérdidas
Vs
Figura 11.3: Red lineal de dos puertos sin pérdidas conectada a una fuente y una carga En el esquema de la figura 11.3 se muestra una red lineal de dos puertos sin pérdidas, conectada a una fuente de voltaje con una impedancia de fuente
s s sZ R jX= + , y una carga de impedancia L L LZ R jX= + . La impedancia mirando a la
red desde el lado de la fuente es in in inZ R jX= + . La potencia que entra a la red está
dada por 2
21 1| |2 2
sin in in
s in
VP I RZ Z
= =+
R (11.1)
donde s
S i
VInZ Z
=+
.
A partir de la ecuación (11.1) se observa que la potencia que entra a la red
alcanza su valor máximo cuando *s inZ Z= ( s inR R= y s inX X= − ), ie, cuando las partes
imaginarias se cancelan en el denominador de la expresión. Definimos como la potencia disponible de la fuente a la máxima potencia
que puede entrar a la red (y que entra totalmente a la red cuando la impedancia de entrada está adaptada conjugada con la impedancia de la fuente). Entonces, se tiene
avaP
2 2
max1 12 2
ssava in in 4s in s
VVP P RR R R
= =+
(11.2)
Cuando *
s inZ Z≠ entonces la potencia que entra a la red es menor que la
potencia disponible de la fuente y está dada por
2 24 41 1
2 2 4ss s in s in
in in avas in s s in s in
VV R RP R P R RZ Z R Z Z Z Z
= = ⋅ = ⋅+ + +
⇔ avain PMP ⋅= (11.3)
donde 4 s in
s in
R RMZ Z+
(11.4)
La expresión anterior nos dice que cuando no hay adaptación de impedancia la
potencia que efectivamente entra a la red es una fracción M de la potencia disponible de la fuente. Definimos M como el factor de desadaptación de impedancia (mismatch factor) a la entrada de la red. El factor de desadaptación también se puede ver como un coeficiente de transmisión de potencia. También se puede definir el factor de desadaptación de impedancia a la salida como:
,L L ava LP M P=
donde es la potencia disponible entregada por la red a la carga y es la
potencia efectivamente entregada a
,ava LP LP
LR .
Como la red es sin pérdidas, por definición la potencia que entra a la red se traspasa completamente a la carga, ie, Lin PP = . Además se puede demostrar2 que la
potencia disponible de la fuente es igual a la potencia disponible entregada por la red a la carga, ie, . Luego para una red lineal pasiva sin pérdidas se tiene que el
factor de desadaptación es el mismo a la entrada y a la salida, ie, se conserva ( ).
,ava ava LP P=
LMM = En general para varias redes lineales pasivas sin pérdidas (recíprocas) en cascada como se muestra en la figura 11.4 se puede demostrar que:
LavaavaavaSava PPPP ,2,1,, =⋅⋅⋅=== (11.5a)
LMMMM =⋅⋅⋅=== 21 (11.5b)
,1 ,in ava sP MP= , ,2 1 ,1in avaP M P= , … (11.5c)
2 Véase [1], cáp. 5, sección 5.7, págs. 335-336.
Pin1 PL
M2M
Vs
Pava,2
sin pérdidasM1
Pava,s
Red
Pin2Pin
ZL
Pava,1
Zs
Pava,L
ML
Figura 11.4: Conexión en cascada de varias redes sin pérdidas entre la fuente y la carga En una red lineal activa (ie, no reciproca) el factor de desadaptación no se conserva. Por ejemplo en el caso de un amplificador visto como red de dos puertos, la potencia entregada a la carga es mayor que la potencia a la entrada.
11.3.1 Definiciones de Ganancia
PLPin
G p
Pava,s
ZsML
Vs
ZL
Red lineal activa
Pava,L
Ms
Figura 11.5: Red lineal activa con ganancia de potencia Gp Para el amplificador básico de la figura 11.5 se definen las siguientes ganancias:
i) Ganancia de potencia: Lp
in
PGP
ii) Ganancia de transductor: ,
L
ava s
PGP
iii) Ganancia de potencia disponible: ,
,
ava La
ava s
PG
P
Para el caso de redes lineales pasivas sin pérdidas, la ganancia de potencia es unitaria ( ). 1pG = Si las impedancias están adaptadas conjugadas a la entrada y a la salida del amplificador entonces la ganancia de potencia es máxima, y se cumple que
y maxp aG G G G= = = S LM M= , siempre y cuando el dispositivo sea absolutamente
estable.3 Si las impedancias no están adaptadas conjugadas entonces la ganancia de potencia no es máxima.
3 Más adelante veremos que solo se puede usar adaptación de impedancias conjugadas cuando el dispositivo es absolutamente estable.
11.3.1 VSWR, coeficiente de reflexión y factor de desadaptación en amplificadores multietapa
Figura 11.6: Amplificador de dos etapas con mallas de adaptación En la figura 11.6 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptación entre etapas, conectado a líneas de transmisión de impedancia característica cZ tanto a la entrada como a la salida. Entre cada etapa existen
coeficientes de reflexión definidos por las respectivas impedancias entre etapas. En particular, el coeficiente de reflexión que enfrenta la onda de voltaje incidente V + está dado por
11
c
c
Z Z ZZ Z Z− −
Γ = =+ +
donde / cZ Z Z= es la impedancia de entrada a la malla de adaptación 1, normalizada.
La potencia incidente proveniente de la línea de transmisión está dada por
21 | |2inc cP V += Y y la potencia que entra a la malla 1 es ,1in s incP M P= , donde sM es el
factor de desadaptación de impedancia entre la línea de transmisión y la malla 1.
Se puede demostrar que , lo que nos entrega la siguiente
ecuación que relaciona el factor de desadaptación con el coeficiente de reflexión:
2,1 (1 | | )in incP = − Γ P
21 | |sM = − Γ (11.6)
Con la ecuación (11.6) y usando la expresión de VSWR en función del coeficiente de reflexión se puede obtener la siguiente ecuación que relaciona la razón de onda estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptación 1 con el factor de desadaptación Ms:
1
1 11 | |1 | | 1 1
s
s
MVSWR
M+ −+ Γ
= =− Γ − −
(11.7)
Notar que el factor de desadaptación a la entrada y a la salida de las mallas de adaptación es el mismo, esto porque las suponemos sin pérdidas.4 Luego la razón de
onda estacionaria VSWR1 también depende del grado de desadaptación entre sZ y
inZ .
Entonces, el diseño de la malla 1 además de definir un sM que produzca una
figura de ruido óptima, al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable según los requerimientos. Más adelante veremos este problema en detalle. Recordando que las mallas de adaptación (lineales, pasivas y sin pérdidas) tienen ganancia unitaria, es fácil ver que la potencia que recibe la carga está dada por
1 2L P P in P inP G G P G P= (11.8)
donde definimos PG como la ganancia de potencia de las dos etapas. También se
puede reescribir la ecuación anterior en función de la ganancia de transductor : G
2(1 | | )L P in P inc incP G P G P GP= = − Γ (11.9)
4 Más adelante veremos que en la práctica siempre se tratan de minimizar las pérdidas resistivas en las mallas de adaptación porque contribuyen con ruido termal al sistema.
11.4 Ganancia en función de los parámetros de Scattering
Figura 11.7: Esquema básico de un amplificador Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador, con los parámetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexión en la fuente y en la carga). En el circuito básico de la figura 11.7 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a través de líneas de transmisión de impedancia característica cZ . Suponemos
estas líneas de transmisión de largo despreciable. Los coeficientes de reflexión en la carga y en la fuente están dados por
2
2
11
LL
L
V ZV Z
+
−
−Γ =
+ y 1
1
11
ss
s
ZVV Z
+
−
−Γ =
+
donde las impedancias se encuentran normalizadas, ie, /L L cZ Z Z= y /s s cZ Z Z= .
Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a través de la matriz de parámetros de Scattering de la siguiente forma:
1 11 1 12V S V S V− += + 2+
2+
(11.10)
2 21 1 22V S V S V− += + (11.11)
A partir de (11.10) y (11.11) y la definición de LΓ y sΓ , se puede demostrar
que
1 11
1 221L
inL
V SV S
−
+
− ∆ΓΓ =
− Γ (11.12)
222
2 111s
outs
SVV S
−
+
− ∆ΓΓ =
− Γ (11.13)
donde se define . 11 22 12 21S S S S∆ −
Los factores de desadaptación de impedancia sM y LM están dados por
2
4| |
s ins
s in
R RMZ Z
=+
y 2
4| |
out LL
out L
R RMZ Z
=+
.
Usando las expresiones de los coeficientes de reflexión en función de las impedancias se demostrar que
2 2
2
(1 | | )(1 | | )|1 |
s ins
s in
M − Γ − Γ=
−Γ Γ (11.14)
2 2
2
(1 | | )(1 | | )|1 |
out LL
out L
M − Γ − Γ=
−Γ Γ (11.15)
Para obtener la ganancia de potencia necesitamos calcular y : pG inP LP
*1 Re2L L LP V= I , donde 2 (1 )L LV V −= + Γ e 2 (1 )L c LI Y V −= −Γ
*1 Re2in in inP V= I , donde 1 (1 )in inV V += + Γ e 1 (1 )in c inI Y V += − Γ
Usando las expresiones anteriores se llega a
22
1 | | (1 | |2L c LP Y V −= − 2 )Γ (11.16)
21
1 | | (1 | |2in c inP Y V += − 2 )Γ (11.17)
Usando las ecuaciones anteriores, finalmente se puede demostrar5 que
2 2
212 2 2 2 *
11 22 22 11
(1 )1 ( ) 2Re (
LLp
in L L
SPGP S S S
− Γ= =
− + Γ − ∆ − Γ −∆ )S (11.18)
( )( )
2 2 221
2, 22 11 12 21
(1 )(1 )
1 1L sL
ava s L s s
SPGP S S S S
− Γ − Γ= =
− Γ − Γ − Γ ΓL
(11.19)
donde . 11 22 12 21S S S S∆ = −
5 La derivación completa de las expresiones de ganancia se encuentra en [1], cáp. 10, sección 10.5, págs. 730-733.
11.5 Estabilidad 11.5.1 Noción de estabilidad en amplificadores La estabilidad o la resistencia a la oscilación de un amplificador de microondas es uno de los más importantes objetivos de diseño. La estabilidad se puede determinar a partir los parámetros S, las mallas de adaptación a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito. A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentación intrínseca de la salida a la entrada, principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo.6 De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea diseñado adecuadamente puede oscilar, inutilizando su uso como amplificador. Mirando el problema desde el punto de vista de ondas, las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente, ie, los coeficientes de reflexión mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en módulo menores que uno. Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable. Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable. En caso contrario es inestable. Notar que si los coeficientes de reflexión mirando hacia los puertos del amplificador son de módulo mayor que uno, entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendrán parte real negativa. Por ejemplo, si en el amplificador de la figura 11.7 se tiene que in in inZ R jX= − + , entonces:
1/ 22 2
2 2
( )| |( )
in c in c inin
in c in c in
Z Z R Z XZ Z R Z X
⎡ ⎤− − +Γ = = >⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦
1
Luego una condición necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una
frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida (ie, Rein inR Z= y
Reout outR Z= ) sean positivas. El caso límite se da cuando la impedancias son
reactivas puras, ie, in inZ jX= ( ⇔ | |in 1Γ = ) y out outZ jX= (⇔ | |out 1Γ = ).
En las siguientes secciones se muestran la obtención de un criterio de estabilidad en función de los parámetros S y su relación con la adaptación de impedancias, y la visualización gráfica en el plano complejo del “dominio de estabilidad” o el subconjunto de valores de los coeficientes de reflexión de fuente y carga que determinan estabilidad absoluta.
6 Notar que ahora ya no es válida la hipótesis de que la ganancia del dispositivo es unilateral. Esto equivale a decir que existe un coeficiente de transmisión de la salida a la entrada (que puede ser no nulo) y corresponde al parámetro de Scattering . 12S
11.5.2 Adaptación de impedancias y estabilidad En el circuito de la figura 11.7 se puede obtener máxima transferencia de potencia (ie, y 1s LM M= = maxpG G G= = ) adaptando las impedancias, ie, eligiendo
*s inZ Z= (⇔ *
s inΓ = Γ ) y *
L outZ Z= (⇔ *L outΓ = Γ ). Utilizando las ecuaciones (11.12) y
(11.13) se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema:
* 11
221L
s inL
SS− ∆Γ
Γ = Γ =− Γ
(11.20a)
* *
* 22* *111
SL out
*
s
SS−∆ Γ
Γ = Γ =− Γ
(11.20b)
Resolviendo el sistema anterior para sΓ y LΓ se obtienen las siguientes
soluciones:
2 2 11 1 1
1
1 ( 4 | | )2sM A A BB
⎡ ⎤Γ = ± −⎣ ⎦/ 2 (11.21a)
2 22 2 2
2
1 ( 4 | | )2LM A A BB
1/ 2⎡ ⎤Γ = ± −⎣ ⎦ (11.21b)
donde
2 21 11 22
2 22 22 11
*1 11 22
*2 22 11
1 | | | | | |
1 | | | | | |
A S S
A S S
B S S
B S S
2
2
= + − − ∆
= + − − ∆
= −∆
= −∆
Ahora hay que ver cuales son las soluciones del sistema (11.20) que producen
y | . Para esto notamos que si | |sMΓ <1 1|LMΓ < 2 24 | | 0i iA B− < (i=1,2), entonces
2 2 1/ 21 1 1
1
1 (4 | | )2sM A j B AB
⎡ ⎤Γ = ± −⎣ ⎦ y 2 2 1/ 22 2 2
2
1 (4 | | )2LM A j B AB
⎡ ⎤Γ = ± −⎣ ⎦ , y además se
cumple que | | .| |sM LMΓ = Γ =1 7
Luego concluimos que una condición necesaria para la estabilidad absoluta es
2 24 | | 0i iA B− > (i=1,2)
⇔ | | 1
2 | |i
i
AB
> (i=1,2) (11.22)
7 Este caso corresponde a impedancias reactivas puras, ie, con parte resistiva nula. Además , ie, la potencia incidente en los puertos del amplificador “rebota” totalmente.
0pG G= =
Asumiendo la condición (11.22) se puede demostrar a partir de (11.21) que las soluciones que permiten | y ||sMΓ <1 1|LMΓ < se obtienen eligiendo el signo negativo
cuando y eligiendo el signo positivo cuando 0iA > 0iA < en (11.21).8
La condición necesaria de estabilidad 2 2
2 24 | | 0A B− > se puede reescribir en
función de los parámetros S de la siguiente forma:
2 2 2 22 2 12 214 | | 4 | | ( 1) 0A B S S K− = − >
donde se define el parámetro 2 2
11 22
12 21
1 | | | | | |2 | |
S SKS S
2− − + ∆.
Luego concluimos que otra condición necesaria para la estabilidad absoluta es
1K > . Se puede demostrar que cuando las impedancias están adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como
221max
12
(pSG G G K KS
= = = − −1) (11.23)
donde el factor 21
12
SS
se llama figura de mérito del dispositivo.
Notar que el valor límite máximo de la ganancia estable se obtiene cuando
1K = y su valor es
21
12MSG
SGS
= (11.24)
A partir de la ecuación (11.23) se deduce que para usar adaptación de impedancias conjugadas tiene que cumplirse la condición necesaria de estabilidad
1K > .9 En otras palabras no se puede usar adaptación de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie, el transistor) es inestable.
8 Se puede demostrar que para un dispositivo absolutamente estable se cumple que (i=1,2), ie, la solución estable se obtiene tomando el signo negativo. Véase [1], cáp. 10, sección 10.6, pág. 743.
0iA >
9 Más adelante veremos bajo que condiciones esta condición también una condición suficiente para la estabilidad absoluta.
11.5.3 Círculos de estabilidad Como veremos más adelante, si el parámetro K es mayor que uno el dispositivo será absolutamente estable para cualquier combinación de impedancias de fuente y carga, y si K es menor que uno entonces el dispositivo es potencialmente estable, ie, solo para ciertos valores de impedancias de fuente y carga se tendrá un comportamiento estable. El uso de los parámetros S permite graficar en una carta Smith los círculos de estabilidad que separan las regiones de estabilidad e inestabilidad en el plano complejo. Así disponemos de un criterio gráfico para elegir valores estables de los coeficientes de reflexión de fuente y carga. En la sección 11.5.1 introducimos las condiciones para la estabilidad absoluta:
11
22
| |1
Lin
L
SS−∆Γ
Γ = <− Γ
1 1 para todo | |LΓ < (11.25a)
22
11
| |1
sout
s
SS−∆Γ
Γ = <− Γ
1 1 para todo | |sΓ < (11.25b)
Notar que a partir de (11.25) se deducen dos condiciones necesarias para estabilidad absoluta10:
11| |S 1< (11.26a)
22| |S 1< (11.26b)
La idea es encontrar las regiones de los planos LΓ y sΓ que satisfacen | |in 1Γ <
y respectivamente. Para esto notamos que el límite entre valores estables e
inestables de será el círculo en el plano
| |outΓ <1
LΓ LΓ que tiene correspondencia con el
circulo unitario en el plano . Para inΓ sΓ es completamente análogo.
La correspondencia entre estos círculos se hace más fácil notando que las
relaciones y (in in LΓ = Γ Γ ) ( )out out sΓ = Γ Γ son transformaciones bilineales complejas.11
Haciendo uso de las propiedades de transformaciones bilineales podemos calcular el centro y el radio LCΓ LCR del círculo en el plano LΓ que corresponde a
través de (11.12) con el círculo unitario centrado en el origen del plano : inΓ
* *11 22
2 222| | | |LC
S SS
∆ −Γ =
∆ − 12 21
222
| || | | |LC
S SRS
=∆ − 2
(11.27)
c
10 Corresponden al caso particular cuando LZ Z= (ie, 0LΓ = ) y s cZ Z= (ie, 0sΓ = ). 11 Véase anexo 11.9.1.
Análogamente se obtienen sCΓ y sCR :
* *
22 112 2
11| | | |sCS S
S∆ −
Γ =∆ −
12 212
11
| || | | |sC
S SRS
=∆ − 2
C
(11.28)
Es importante notar que la región de estabilidad en el plano (ie, la región
interior al círculo unitario) puede corresponder al interior o al exterior del círculo inΓ
| |L LC LRΓ −Γ = en el plano , dependiendo de si éste encierra o no al origen
( ) y si el origen es estable o no. Recordar que LΓ
0LΓ = 0LΓ = ⇔ 11in SΓ = y 0sΓ = ⇔
, entonces: 22out SΓ =
El origen del plano LΓ es estable ssi 11| |S 1< .
El origen del plano sΓ es estable ssi 22| |S 1< .
Entonces tenemos cuatro casos posibles, dependiendo de la estabilidad del
origen y si el círculo de estabilidad encierra o no al origen. Por ejemplo, si
entonces el origen del plano es inestable y si el círculo |11| |S >1
CLΓ |L LC LRΓ −Γ = encierra al
origen, podemos decir que la región de estabilidad corresponde a la región exterior al círculo y la correspondiente región interior es inestable.
En la figura 11.8 se muestran gráficamente los dos casos posibles cuando el origen del plano es estable. A la izquierda se muestra el caso en que la región
estable está dentro del círculo y a la derecha se muestra el caso en que la región estable está fuera del círculo.
LΓ
Figura 11.8: Círculos de estabilidad de la carga cuando el origen es estable.
Analíticamente las condiciones que determinan si el círculo | |L LC LCRΓ −Γ =
encierra o no al origen del plano LΓ (con la carta de Smith incluida) se pueden escribir
como: (1) El círculo || | 1LC LCR − Γ > ⇔ C|L LC LRΓ −Γ = encierra al origen del plano LΓ
junto con la carta de Smith completa (ie, contiene el círculo | |L 1Γ = ).
(2) El círculo no encierra al origen y no intersecta la carta de
Smith.
| | 1LC LCRΓ − > ⇔
Los casos (1) y (2) anteriores dan origen a los siguientes únicos dos casos de estabilidad absoluta, cuando el origen 0LΓ = es estable:
• Caso 1 absolutamente estable: | |LC LCR 1− Γ > y 11| |S 1< .
• Caso 2 absolutamente estable: | | 1LC LCRΓ − > y 11| |S 1< .
Si escribimos los dos casos anteriores en función de los parámetros S,
manipulando algebraicamente se puede demostrar12 que
• Caso 1 absolutamente estable: (K>1, 11| | 1S < , | | ) es condición
suficiente para estabilidad absoluta.
212 21 111 | |S S S< −
1• Caso 2 absolutamente estable: (K>1, 11| |S < ) es condición suficiente para
estabilidad absoluta. Por otro lado, analizando la estabilidad en el plano sΓ en forma totalmente
análoga se obtienen las condiciones suficientes de estabilidad absoluta (K>1, 22| |S 1< ,
) y (212 21 22| | 1 |S S S< − | 1K > , 11| |S 1< ).
Luego, las condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad absoluta son:
2 2 211 22
12 21
1 | | | | | | 12 | |
S SKS S
− − + ∆= > (11.29a)
11| |S 1< (11.29b)
22| |S 1< (11.29c) 2
12 21 11| | 1 |S S S< − ||
(11.29d) 2
12 21 22| | 1 |S S S< − (11.29e)
12 Véase [1], cáp. 10, sección 10.6, págs. 737-740
Sumando (11.29d) y (11.29e) y utilizando 1K > se puede demostrar que
2
12 21
| | 112 | |
KS S∆ −
> + (11.30)
Esta última condición resume las últimas dos condiciones de estabilidad. Luego, mirando esta desigualdad es claro que si | | 1∆ < entonces la condición 1K > es
suficiente si y . En la práctica la mayoría de los dispositivos satisfacen
, luego tenemos que las condiciones suficientes11| |S <1 122| |S <
| | 1∆ < 13 para estabilidad absoluta son:
1K > (11.31a)
11| |S 1< (11.31b)
22| |S 1< (11.31c)
De esta forma tenemos un criterio para determinar la estabilidad en función de los parámetros S. Es importante mencionar que el análisis de estabilidad mostrado en este capítulo se hizo respecto al esquema de la figura 11.7, ie, para una sola etapa de amplificación. En un esquema multietapa las condiciones de estabilidad mostradas anteriormente son insuficientes porque los planos de entrada o salida de una etapa intermedia pueden estar terminados con redes activas. Si se considera un amplificador multietapa como una sola red de dos puertos y se analiza a través de sus parámetros de scattering puede ser útil, pero no garantiza la estabilidad del conjunto.14
13 Asumiendo que el dispositivo satisface| | 1∆ < , como en la gran mayoría de los casos. 14 Véase [2].
11.6 Círculos de ganancia constante La expresión para la ganancia de potencia obtenida en la sección 11.4 se puede reescribir de la siguiente forma:
* 221
2 * 2 2 * * * *11 22 22 11 22 11
(1 ) | |1 | | (| | | | ) ( ) ( )
L Lp
L L L L
SGS S S S S
−Γ Γ=
− +Γ Γ − ∆ −Γ −∆ −Γ −∆ S
Por conveniencia se define la ganancia de potencia normalizada : pg
212/ | |p pg G S (11.32)
⇔ *
2 * 2 2 * * * *11 22 22 11 22 11
11 | | (| | | | ) ( ) (
L Lp
L L L L
gS S S S S
−Γ Γ=
− +Γ Γ − ∆ −Γ −∆ −Γ −∆ )S
⇔
* * * 222 11 22 11 11* *
2 2 2 2 2 222 22 22
( ) ( ) (1 | | )(| | | | ) 1 (| | | | ) 1 (| | | | )
p pL L L L
p p
g S S g S S S gS g S g S g
−∆ −∆ − −Γ Γ −Γ −Γ +
− ∆ + − ∆ + − ∆ +
11
p
p
(11.33)
La ecuación de un círculo de radio R centrado en 0Z se puede escribir como
2 2
0| |Z Z R− = ⇔ * * * * 20 0 0 0(ZZ ZZ Z Z Z Z R ) 0− − + − = (11.34)
Luego, comparando (11.33) con (11.34) se puede demostrar que la ecuación (11.33) se puede reescribir de la forma:
| |L Lg LgRΓ −Γ = (11.35)
donde
* *22 11
2 222
( )(| | | | ) 1
pLg
p
g S SS g
−∆Γ =
− ∆ +
2 2
12 21 12 212 2
22
(1 2 | | | | )(| | | | ) 1
p pLg
p
Kg S S g S SR
S g− +
=− ∆ +
1/ 2
La ecuación (11.35) especifica el conjunto de puntos que determinan una ganancia de potencia constante y geométricamente corresponde a la ecuación de
un círculo en el plano .
pg
LΓ
Recordando las expresiones encontradas en la sección 11.5.3 para el radio LcR
y el centro del círculo de estabilidad relativo al coeficiente de reflexión en la carga,
es interesante notar que LcΓ
* *
11 222 2
22
12 212 2
22
lim ( )| | | |
| |lim ( )| | | |
p
p
Lg p Lcg
Lg p Lcg
S SgS
S SR g RS
→∞
→∞
∆ −Γ = Γ =
∆ −
= =∆ −
y 0
0
lim ( ) 0
lim ( ) 1p
p
Lg pg
Lg pg
g
R g→
→
Γ =
=
Lo anterior significa que al hacer los círculos de ganancia constante
tienden al círculo de estabilidad de
pg →∞
LΓ , y el círculo de ganancia cero corresponde a la
frontera de la carta de Smith (ie, | |L 1Γ = , que corresponde a una carga reactiva pura).
También se puede notar que LgΓ es proporcional a LcΓ , lo que desde el punto
de vista geométrico significa que el círculo de ganancia constante y el círculo de estabilidad de se encuentran centrados en el mismo rayo desde el origen. LΓ Para dispositivos absolutamente estables se grafican los círculos de ganancia constante que corresponden a ganancias de 1dB, 2dB, 3dB, … , hasta
2max 12 21( 1) / |pg K K S S= − − | .15
Para dispositivos potencialmente estables se grafica sólo hasta
max 12 2111/ | |p K
g S== S , que es el caso límite cuando 1K = .
En la figura 11.9 se muestran círculos de ganancia de potencia constante para un transistor absolutamente estable, cuando el círculo de estabilidad relativo a la carga cae completamente fuera de la carta de Smith. Los círculos de ganancia constante negativa se muestran con líneas discontinuas.
15 Recordar que para dispositivos absolutamente estables la máxima ganancia de potencia está dada por
221max
12
| | (| |pSG K KS
= − 1)− y ocurre cuando las impedancias están adaptadas conjugadas.
Figura 11.9: Círculos de ganancia de potencia constante para un dispositivo absolutamente estable, cuando el círculo de estabilidad cae fuera de la carta de Smith.
Otra herramienta gráfica muy útil en el diseño de amplificadores de microondas son los círculos de . Un círculo de ganancia constante contiene todos los que
determinan tal valor de ganancia. Recordando que
*inΓ pg LΓ
inΓ se relaciona con a través de
una transformación bilineal dada por la ecuación (11.12), entonces un círculo de ganancia constante dado corresponde a través de (11.12) con un círculo de . Sin
embargo es más útil en el diseño graficar el correspondiente circulo de porque su
cercanía con el círculo de figura de ruido constante (que contiene valores de
LΓ
inΓ*inΓ
sΓ ) nos
permite visualizar que tan cercanos podemos diseñar los valores de sΓ y . Luego,
graficando el círculo de para una ganancia dada, podemos visualizar el grado de
adaptación de impedancias conjugadas a la entrada y su relación con la figura de ruido y la potencia.
*inΓ
*inΓ
Recordando la ecuación (11.12) tenemos que inΓ y LΓ se relacionan a través
de
11
221L
inL
SS− ∆Γ
Γ =− Γ
⇔ * * *
* 11* *22 1
Lin
L
SS∆ Γ −
Γ =Γ −
La ecuación anterior es una transformación bilineal que nos permite determinar la correspondencia entre los valores de LΓ en un círculo de ganancia de potencia
constante, con un círculo con valores de *inΓ .
Se puede demostrar que el círculo con valores de *
inΓ correspondiente con un
círculo de ganancia de potencia constante está dado por: pg
* *,| |in in c inRΓ −Γ =
2 * * * *
22 22 11*, 2 2
22 22
( 1)(| | | 1|
Lg Lg Lgin c
Lg Lg
R S S SR S S∆ + Γ − −∆ Γ
Γ =− Γ −
)
12 212 2
22 22
| || | | 1
Lgin
Lg Lg
S S RR
R S S=
− Γ − |
11.7 Ruido 11.7.1 Orígenes y tipos de ruido en dispositivos activos En un dispositivo semiconductor el movimiento aleatorio de portadores produce señales de voltaje y corriente que varían aleatoriamente en el tiempo (noise) y por lo tanto no existe manera analítica de describir su forma de onda en el tiempo. Las amplitudes de estas señales eléctricas aleatorias se pueden modelar como procesos estocásticos con promedio nulo y valor cuadrático medio no nulo, y para la mayoría de las aplicaciones basta con conocer sus valores rms (root mean square). Como la potencia de estas señales eléctricas es proporcional a su amplitud al cuadrado, entonces a los valores rms de estas señales de voltaje y corriente se les llama noise power (potencia del ruido). En general la potencia del ruido es función de la frecuencia, y a la potencia por unidad de frecuencia se le llama densidad espectral de potencia. En dispositivos activos existen tres principales tipos de ruido:
• Ruido termal (thermal noise): Se genera por la agitación termal de los electrones. Su espectro de frecuencias es plano (ie, ruido blanco) en un amplio rango de frecuencias y depende directamente de la temperatura y la resistividad del medio. También se le conoce como ruido de Johnson.
• Ruido de disparo (shot noise): Se debe a la fluctuación aleatoria de los
portadores que pasan a través de una barrera de potencial en un dispositivo electrónico. Por ejemplo, debido a la naturaleza discreta de los portadores que fluyen por una juntura p-n existe una corriente aleatoria que fluctúa sobre el valor promedio. Naturalmente esta corriente es directamente proporcional a la corriente de polarización del dispositivo. Al igual que el ruido termal tiene densidad espectral de potencia constante.
• Ruido de bajas frecuencias (flicker noise): Ocurre tanto en dispositivos de
estado sólido como en válvulas al vacío. Se caracteriza por tener un espectro tal que la densidad espectral de energía decae proporcionalmente al inverso de la frecuencia. En general se atribuye a la dinámica caótica del sistema. También se le llama ruido rosado (pink noise) y 1/f noise.
Flicker noise es insignificante en comparación con el ruido termal y shot noise a
partir de frecuencias de kHz en adelante. Pero en dispositivos MESFETs puede ser importante sobre los 100 MHz. En general, flicker noise es importante solo a bajas frecuencias.
11.7.2 Modelación del ruido El ruido termal en un elemento resistivo se puede modelar con una resistencia sin ruido R y una fuente de voltaje en serie o equivalentemente con una fuente
de corriente en paralelo .
( )ne t( ) ( ) /n ni t e t R=
El ruido termal se puede modelar como un proceso estacionario ergodico, ie, dado un conjunto infinito de resistencias macroscópicamente idénticas cada una con su propia señal de voltaje de ruido, entonces el promedio del conjunto se puede reemplazar por el promedio temporal. A temperatura ambiente la densidad espectral de potencia del ruido termal es constante hasta frecuencias del orden de los 1000 GHz y decrece a frecuencias superiores. Luego para frecuencias de microondas se asume que la densidad espectral es constante, ie, se considera ruido blanco no correlacionado. El promedio temporal del ruido está dado por
1( ) lim ( ) 02
T
n nTT
e t e t dtT→∞
−
= =∫ (11.36)
La función de correlación para es el valor promedio del producto ( )ne t
( ) ( )n ne t e t τ+ con 0τ ≥ 16:
1( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )2
T
n n n nTT
C e t e t e t e tT
dtτ τ τ→∞
−
= + = +∫
La densidad espectral de potencia está dada por
( ) ( ) ( ) jnS C C e ωτdω τ τ
∞−
−∞
= ℑ = ∫ τ
La relación inversa es
1 1( ) ( ) ( )2
jn nC S S e ωτdτ ω ω
π
∞−
−∞
= ℑ = ∫ ω
Dado que asumimos como ruido blanco, entonces se tiene que la densidad
espectral de potencia es constante. Luego la función de correlación está dada por
( )ne t
0( ) ( )C Cτ δ τ= (11.37)
En efecto, 0( ) ( )nS Cω δ τ= ℑ = 0C y además ( )nS ω es función par. Luego
definimos la densidad espectral para 0ω ≥ .
16 Notar que para 0τ = la función de correlación es igual a la potencia promedio asociada al ruido, ie,
2(0) ( )nC e= t .
La densidad espectral de potencia para el ruido termal o de Johnson en
una resistencia R está dada por la fórmula de Nyquist:
( )ne t
( ) 4eS kTRω = 0ω ≥ (11.38)
donde [J/K] (constante de Boltzmann) y T es la temperatura absoluta de la resistencia.
231.38 10k = ×
Equivalentemente si se modela el ruido con una fuente de corriente en paralelo la densidad espectral de potencia está dada por ( ) ( ) /n ni t e t R=
4( )ikTSR
ω = 0ω ≥ (11.39)
Las dos ecuaciones anteriores son muy importantes porque constituyen un modelo para el ruido blanco dependiente de la temperatura en una red resistiva. En lo que sigue modelaremos el ruido en redes lineales de dos puertos sin considerar el ruido 1/f (flicker noise), ie, asumiremos el ruido con densidad espectral de potencia constante y dependiente de la temperatura. Esta hipótesis se justifica porque la frecuencia de operación de los amplificadores de microondas estudiados aquí es tal que el ruido 1/f es casi nulo e insignificante frente al ruido termal y shot noise.
11.7.3 Ruido en redes de dos puertos Una red lineal de dos puertos con ruido puede modelar como una red de dos puertos sin ruido con dos fuentes equivalentes de ruido a la entrada representando las fuentes internas de ruido. Se usa una fuente de voltaje en serie y una fuente de
corriente en paralelo como se muestra en la figura 11.10. Se necesitan dos
fuentes de ruido para poder representar los ruidos equivalentes en corto circuito y en circuito abierto a la entrada de la red. Estas dos fuentes de ruido no son completamente independientes
( )ne t( )ni t
17 y en general existe una correlación cruzada no nula entre y , ie, existe una densidad espectral de potencia cruzada no nula.
Luego la potencia total del ruido a la entrada de la red no es la suma simple de las contribuciones de las fuentes de ruido.
( )ne t ( )ni t
Figura 11.10: Modelación de una red de dos puertos con ruido Usando la fórmula Nyquist podemos definir la densidad espectral de potencia de las fuentes de ruido equivalentes y la densidad espectral de potencia cruzada:
( ) 4eS k eTRω = (11.40a)
( ) 4iS k iTGω = (11.40b)
[ ]( ) 2 ( ) ( ) 4 ( )x xr xi rS S jS kT ijω ω ω γ= + = + γ
(11.40c)
17 En general no son estadísticamente independientes, ie, están correlacionadas.
Los parámetros eR , y iG r ijγ γ γ= + se definen como la resistencia,
conductancia e impedancia compleja de ruido equivalentes respectivamente. De esta forma tenemos que para describir completamente una red de dos puertos con ruido se necesitan 4 parámetros ( eR , ,iG rγ , iγ ).
La potencia total de ruido a la entrada de la red en la figura 11.10 es igual a la potencia total generada por las fuentes y , más la potencia de ruido termal
entregada por la parte resistiva de la impedancia de fuente
( )ne t ( )ni t
sZ .
La corriente total generada por y que entra a la red sin ruido en la
figura 11.10 esta dada por
( )ne t ( )ni t
,n n
in ns
s in
E I ZIZ Z+
=+
donde y nE nI son fasores complejos rms.
Luego la potencia (rms) total asociada a las fuentes que entra a la red está dada por
* * *2
, , 2
( )(| || |
n n s n n sin n in n in
s in
E I Z E I ZP I RZ Z
+ += =
+)
⇔ 2 2 2 * * *
, 2 2
| | | | | | ( )| | | | | |
n in n s in s s iin n
s in s in s in
E R I Z R EI Z E IZ RPZ Z Z Z Z Z
+= + +
+ + + 2n
|
Recordando que el factor de desadaptación a la entrada de la red está dado por
24 / |s in s inM R R Z Z= + y que para un número complejo se cumple que *2 Re Z Z Z= +
entonces se tiene 2 2 * *
, 2
| | | | 2Re4 4 |
n n sin n
s s s i
E I EI Z RP M MR G Z Z |
in
n
⎧ ⎫= + + ⎨ ⎬+⎩ ⎭
(11.41)
donde se define 2Re 1/ / | |s s s sG Z R= = Z .
En la ecuación (11.41) los dos primeros términos corresponden a las contribuciones de las fuentes y respectivamente. El tercer término
corresponde a la potencia generada por la interacción entre las dos fuentes.
( )ne t ( )ni t
La correlación cruzada entre y está dada por ( )ni t ( )ne t
1( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )2
T
x n n n nTT
C i t e t i t e t dtT
τ τ τ→∞
−
= + = +∫ (11.42)
La densidad espectral de potencia cruzada está dada por
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jx xr xi x xS S jS C C e ωτdω ω ω τ τ
∞−
−∞
= + = ℑ = ∫ τ (11.43)
Como ( )xC τ es función real, a partir de la ecuación anterior notamos que *( ) (x xS S )ω ω− = .18 Luego concluimos que ( )xrS ω es función par y ( )xiS ω es función
impar de ω (ie, *( ) ( ) ( ) ( )x x xr xiS S S jSω ω ω− = = − ω ).
Para calcular la potencia del ruido que entra a la red en una banda de frecuencia centrada en f∆ ω hacemos
2
2
*
| | ( )
| | ( )
( )
n e
n i
n n x
E S f
I S f
E I S f
ω
ω
ω
= ∆
= ∆
= ∆
Reemplazando en la ecuación (11.41) resulta
( ), 2
( ) ( ) ( )( ) ( ) 4Re
4 4 | |xr xi s s in
in n e is s s in
S jS R jX RM MP S f S fR G Z Z
ω ωω ω
f⎧ ⎫+ − ∆= ∆ + ∆ + ⎨ ⎬+⎩ ⎭
⇔ ( )
, 2
4 ( ) ( )( ) ( )
4 4 | |xr s xi s
in n e i ins s s in
S R S XM MP S S RR G Z Z
ω ωω ω
⎛ ⎞+f= + +⎜ ⎟+⎝ ⎠
∆
⇔ , ( ) ( ) ( ) ( )4 4
sin n e i xr xi
s s s
XM MP S S S S MR G R
ω ω ω ω⎛ ⎞⎛ ⎞
= + + +⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠f∆⎟ (11.44)
De aquí se tiene que la densidad espectral de potencia del ruido que entra a la red está dada por19
,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4in n s
in n e i xr xis s s
P XM MS S S S Sf R G R
ω ω ω ω ω⎛ ⎞⎛ ⎞
= = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠⎝ ⎠M (11.45)
Para calcular la densidad espectral de potencia del ruido entregada a la carga
LZ basta con multiplicar por la ganancia de potencia ( )pG ω de la red:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4
se i xr xi p
s s s
XM MS S S S S M GR G R
ω ω ω ω ω⎛ ⎞⎛ ⎞
= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ω
(11.46)
18 Para demostrarlo basta con notar que al ser ( )xC τ real, al tomar el conjugado a la integral en (11.43) es lo mismo que reemplazar ω por ω− . 19 No incluye el ruido termal generado por la parte resistiva de la impedancia de fuente sZ .
Para calcular la potencia del ruido total entregada a la carga se integra
( ) ( )2dS df S ωω ωπ
= en todo el rango positivo de frecuencias:
,0
( )2n outdP S ωωπ
∞
= ∫
De la ecuación (11.46) se aprecia que el ruido es filtrado por la red, ie, el espectro del ruido llega a la carga después de pasar por una cierta dinámica que modifica su naturaleza inicial de ruido blanco, para convertirse luego en ruido con densidad espectral no constante o ruido colorido (colored noise). El procesamiento de las densidades espectrales de las fuentes de ruido a través de la red de dos puertos se muestra en la figura 11.11:
Figura 11.11: Procesamiento del espectro de potencia de las fuentes de ruido a través de la red de dos puertos
En la figura se aprecia más claramente la influencia de la correlación existente entre las dos fuentes de ruido en la densidad espectral de potencia entregada a la carga. Claramente si no existiera correlación la potencia a la salida sería la simple suma de las contribuciones de cada fuente.
11.7.4 Figura de Ruido La definición estándar para la figura de ruido F de una red de dos puertos conectada a una fuente y una carga como en la figura 11.12 es
/razón señal a ruido a la entradarazón señal a ruido a la salida /
in in
out out
S NFS N
= = (11.47)
donde , , y son las potencias de entrada de la señal, de entrada de
ruido, de salida de la señal y de salida de ruido. inS inN outS outN
Figura 11.12: Circuito estándar para la medición de la figura de ruido F Como se ve en la figura 11.12 la definición estándar de F requiere adaptación de impedancias conjugadas a la entrada y la parte resistiva de la impedancia de fuente ajustada a la temperatura estándar 0 290T K= . Si la red de dos puertos es sin ruido
entonces la razón señal a ruido es la misma a la entrada y a la salida, y la figura de ruido resulta unitaria. En el caso real la figura de ruido es mayor que uno, porque la red añade su propio ruido mientras que la señal y el ruido se alteran por el mismo factor (ganancia), lo que determina que la razón señal a ruido a la salida disminuya. La figura de ruido F recibe el nombre de spot noise figure cuando está referida a una única frecuencia, ie, cuando se consideran las potencias en una banda f∆ pequeña centrada en la frecuencia de referencia. En el circuito de la figura 11.10 con fuentes equivalentes de ruido a la entrada de la red, se puede definir F (spot noise figure) como
, ,
, ,
1in n in Rs in n
in Rs in Rs
P P PF
P P,+
= = + (11.48)
donde es la potencia de ruido total que entra a la red generada por las fuentes
equivalentes de ruido y es la potencia de ruido termal que entra a la red
generada por la parte resistiva de
,in nP
,n RsP
sZ .
Para calcular F primero expresamos en función de la temperatura
reemplazando las densidades espectrales en la ecuación (11.44) por la respectiva fórmula de Nyquist:
,in nP
, 4 4 24 4
sin n e i r i
s s s
XM MP kTR kTG kT MR G R
γ γ⎛ ⎞⎛ ⎞
= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠f∆
⇔ , 2e i sin n r i
s s s
R G XP kT f M kT f M kT f MR G R
γ γ⎛ ⎞
= ∆ + ∆ + ∆ +⎜⎝ ⎠
⎟ (11.49)
La potencia de ruido termal que entra a la red generada por la resistencia de fuente sR está dada por
,n RsP kT fM= ∆ (11.50)
Luego podemos calcular F a partir de (11.48) usando (11.49) y (11.50):
,
,
1 1 2in n e i sr
in Rs s s s
P R G XFP R G R iγ γ
⎛ ⎞= + = + + + +⎜
⎝ ⎠⎟ (11.51)
Notar que la ecuación anterior solo depende de la impedancia de fuente
s s sZ R jX= + (recordar que 2 2/( )s s s sG R R X= + ) y los cuatro parámetros de ruido
eR , ,iG rγ y iγ .20
Como vimos anteriormente, debido a la naturaleza discreta de los portadores de carga que fluyen en un dispositivo semiconductor y al movimiento aleatorio de los electrones con energía cinética proporcional a la temperatura T, existen señales aleatorias de corriente y voltaje con valor medio nulo y valor cuadrático medio (rms) no nulo que llamamos ruido (en particular shot noise y thermal noise) que se modelan con densidades espectrales de potencia constantes. En un transistor como amplificador un aumento en la corriente de polarización implica un aumento en los valores rms de las señales de ruido. Por el contrario a menor corriente de polarización menor será el ruido. Luego se tiene un trade off entre bajo ruido y ganancia del dispositivo, ya que a menor corriente de polarización menor es la ganancia. Como la ganancia del dispositivo disminuye a menor corriente de polarización, entonces es necesario encontrar un valor óptimo para la corriente de polarización que determine el mejor compromiso entre ruido y ganancia.
20 Aunque la expresión de F no depende de f∆ , en la realidad ocurre que si el ancho de banda de un amplificador está sobredimensionado entonces la razón señal a ruido a la entrada se deteriora.
En la figura 11.13 se muestra una curva típica de figura de ruido versus corriente de polarización DI , a 2 GHz para dos voltajes distintos. Notar que a mayor
voltaje drain-source la curva se desplaza hacia arriba, ie, aumenta el ruido.
Figura 11.13: Figura de ruido versus corriente ID , a 2 GHz con VDS de 3V y 4V. Curva típica del transistor ATF-34143 (Low Noise Pseudomorphic HEMT).
A partir de la ecuación (11.51) se puede obtener la impedancia de fuente óptima m m mZ R jX= + que minimiza la figura de ruido resolviendo el siguiente
problema:
( )s ,
Mín , , , , ,s
m s s e iR XF F R X R G r iγ γ=
0
0
s
s
FRFX
∂ ⎫= ⎪∂ ⎪⎬∂ ⎪=⎪∂ ⎭
⇒
1/ 22
2e i
mi i
im
i
RRG G
XG
γ
γ
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
= −
Reemplazando los valores óptimos mR y mX en (11.51) se obtiene la figura de
ruido óptima . Luego se puede demostrarmF 21 que
2( ) (im s m s m
s
GF F R R X XR
⎡ ⎤= + − + −⎣ ⎦2)
(11.52)
21 Véase [1], cáp. 10, sección 10.9, pág. 769.
11.7.5 Círculos de Figura de Ruido constante La ecuación (11.52) se puede simplificar escribiendo el factor del lado derecho en función de sZ y mZ :
2im s
s
GmF F Z Z
R= + − (11.53)
El coeficiente de reflexión de la fuente está dado por
s cs
s c
Z ZZ Z
−Γ =
+ ⇔
11
ss c
s
Z Z⎛ ⎞+ Γ
= ⎜ ⎟−Γ⎝ ⎠ (11.54)
Análogamente,
m cm
m c
Z ZZ Z
−Γ =
+ ⇔
11
mm c
m
Z Z⎛ ⎞+ Γ
= ⎜ ⎟−Γ⎝ ⎠ (11.55)
Reemplazando (11.54) y (11.55) en la ecuación (11.53) y manipulando un poco se obtiene la siguiente relación:
2
2
| |4|1 | (1 | | )
s mm I
m s
F F G Γ −Γ− =
−Γ − Γ 2
c
c
(11.56)
donde es la conductancia de ruido normalizada. I iG G Z iG La ecuación (11.56) también se puede reescribir en función de la resistencia de ruido normalizada /N eR R Z :
2
2
| |4|1 | (1 | | )
s mm N
m s
F F R Γ −Γ− =
+Γ − Γ 2 (11.57)
Estas dos últimas ecuaciones son importantes porque en general, los parámetros de ruido que entregan los fabricantes de transistores son , ó mΓ NG NR y
. Con los parámetros de ruido conocidos se puede calcular la figura de ruido F para
una impedancia de fuente dada. En la figura 11.2 se muestran los parámetros de ruido típicos de un transistor. En la tabla el fabricante entrega en decibeles, (usando
la notación ) en magnitud y ángulo,
mF
mF mΓ
oΓ NR (usando la notación / 50nR ) y además la
ganancia asociada en decibeles. Todos estos valores se entregan tabulados para 15
frecuencias distintas entre 0.5 GHz y 10 GHz. aG
La ecuación (11.56) se puede reescribir de la siguiente forma:
2 2
2
( ) |1 | |4 1 |
m m s m
I s
F FG
− −Γ Γ −Γ=
− Γ|
|
⇔ 2 * * *
*
( ) |1 |4 1
m m s s s m s m m
I s
F FG
− −Γ Γ Γ −Γ Γ −Γ Γ +Γ Γ=
−Γ Γ
*m
s
(11.58)
El lado izquierdo (cuyo valor es real) depende de F y de los parámetros de ruido entregados por el fabricante. Luego, dado un valor de la figura de ruido se define la
expresión del lado izquierdo como iF
2 2( ) |1 | ( ) |1( )
4 4i m m i m m
i iI I
F F F FN FG R
− −Γ − +Γ=
|
Reemplazando en (11.58) y reordenando la ecuación se obtiene iN
* * 2* *
2 01 1 (1 ) 1
m m m m i i i m ms s s s
i i i i
N N NN N N N
Γ Γ Γ Γ + − Γ ΓΓ Γ −Γ −Γ + − =
+ + + +
*
(11.59)
Recordando la ecuación de un círculo en el plano complejo22 tenemos que la ecuación (11.59) se puede escribir como
2 2s sf fRΓ −Γ = (11.60)
1m
sfiN
ΓΓ =
+
2 2(1 | | )1
i i mf
i
N NR
N+ − Γ
=+
Cada punto del círculo (11.60) es un valor de sΓ que permite la obtención de
un valor de la figura de ruido. Notar que el círculo es un punto cuando (ie, iF iF F= m
s mΓ = Γ ).
En la realidad, el valor de la figura de ruido es en general mayor que debido
a que existe un trade off entre VSWR a la entrada y la figura de ruido. Si mF
s mΓ = Γ
entonces la razón de onda estacionaria a la entrada podría ser demasiado grande y no tendría sentido tener una figura de ruido mínima. Además s mZ Z= puede provocar la
inestabilidad de un transistor potencialmente estable. Luego, en general se tolera una figura de ruido mayor que . mF
22 2 2
0| |Z Z R− = ⇔ * * * * 20 0 0 0( )ZZ ZZ Z Z Z Z R− − + − = 0
11.7.6 Figura de Ruido para etapas en cascada
Figura 11.14: Amplificador de dos etapas con fuentes de ruido equivalentes En la figura 11.14 se tiene un amplificador de dos etapas básico con fuentes equivalentes de ruido en las entradas de las etapas. Sean y las spot noise figure
de las etapas 1 y 2 respectivamente. 1F 2F
La potencia total de ruido que entra a la primera etapa es
1 , , 1 , 1in in n in Rs in RsP P P F P F kT f= + = = ∆ 1M
2
2
La potencia total de ruido que entra a la etapa 2, considerando solamente las fuentes de ruido y es ' ( )ne t ' ( )ni t
2 2 2 , 2( 1)in in RsP F kT fM P F kT fM= ∆ − = − ∆
La potencia de ruido total a la salida del amplificador es la suma de las contribuciones de cada etapa, amplificadas por la ganancia de potencia correspondiente:
, 1 2 1 2n out p p in p inP G G P G P= +
⇔ (11.61) , 1 2 1 1 2 2( 1)n out p p pP G G F kT fM G F kT fM= ∆ + − 2∆
2
1
La figura de ruido F del sistema se define mirando el sistema como un amplificador de una sola etapa con ganancia y fuentes de ruido equivalentes a
la entrada, cuya potencia de salida es
1p pG G
1 2p pG G FkT fM∆ . Igualando esta potencia a
se puede calcular la figura de ruido F del sistema: ,n outP
1 2 1 1 2 1 1 2 2( 1)p p p p pG G FkT fM G G F kT fM G F kT fM∆ = ∆ + − ∆ 2
⇔ 21 2
1 1
( 1)p
MF F FM G
= + − (11.62)
Notar que si la ganancia de la primera etapa es del orden de 10 o más, y 1M y
2M son comparables, entonces la contribución de a la figura de ruido del sistema
es pequeña (recordando que siempre es mayor que uno). 2F
1F Se puede demostrar que para 3 o más etapas de amplificación la figura de ruido equivalente del sistema está dada por
321 2 3
1 1 1 1 2
( 1) ( 1) ...p p
MMF F F FM G M G G
= + − + − +p
(11.63)
Luego, bajo la hipótesis de que los factores de desadaptación son en magnitud comparables entre sí y que las ganancias de potencia de las etapas son del orden de 10 o más, entonces podemos decir que las etapas adicionales de amplificación en cascada no contribuyen en gran medida a la figura de ruido del sistema.
11.7.6 Temperatura equivalente de ruido
Las fuentes de ruido a la entrada de un amplificador multietapa también se pueden modelar asignando una temperatura equivalente a la parte resistiva de la
impedancia de fuente, ie, se define la temperatura de ruido tal que la potencia de
ruido termal que genera
eT
eT
sR es igual a la potencia de las fuentes de ruido, como se
muestra en la figura 11.15.
Figura 11.15: Amplificador con fuentes de ruido equivalentes a la entrada y su equivalente sin fuentes de ruido, con temperatura de ruido Te en Rs
En la figura 11.15, igualando la potencia de ruido entregada a la carga generada por las fuentes de ruido, con la potencia entregada a la carga proveniente del ruido termal en sZ (a temperatura ) se tiene eT
1 2 1 1 2 1p p p p eG G FM kT f G G M kT f⋅ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅⋅⋅ ∆
⇔ eT FT= (11.64)
La diferencia de temperatura ( 1)eT T F T− = − se define como la temperatura de
ruido del amplificador. De esta forma podemos caracterizar el ruido de un amplificador con una temperatura equivalente.
Cuando todas las fuentes de ruido, incluyendo ruido del amplificador, ruido termal, ruido captado por una antena, etc. se modelan a través de una temperatura equivalente en sR , entonces a esta temperatura se le llama temperatura de ruido del
sistema sysT .
11.8 Estrategia de diseño de amplificadores de microondas A continuación se muestra un posible algoritmo que permite diseñar un amplificador de banda estrecha de una etapa como el de la figura 11.16, con transistores estables o potencialmente estables. También se mostrará una posible estrategia de diseño para una segunda etapa de amplificación. 11.8.1 Diseño de amplificadores de una etapa
Figura 11.16: Amplificador de una etapa
Se asumen conocidos los parámetros , , ijS mF mΓ y NR o . Las
especificaciones de diseño son las siguientes: IG
• Máxima ganancia de potencia por sobre un valor mínimo • Mínima figura de ruido por debajo de un valor máximo • VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores máximos
En un amplificador multietapa la VSWR a la salida de la primera etapa en general no es un parámetro crítico. Luego si se relaja la restricción de VSWR a la salida de la primera etapa, el grado de libertad sobre las otras restricciones es mayor y permite una solución más óptima. Además si la VSWR a la salida de la primera etapa es relativamente grande entonces se tiene mayor grado de libertad para las restricciones de diseño de la segunda etapa. A continuación se describe paso a paso el algoritmo propuesto de diseño para la primera etapa:23
(1) Evaluar las condiciones necesarias y suficientes de estabilidad (11.29). Si se
cumplen el transistor es absolutamente estable y se sigue con los pasos (2), (3) y (4). Si K<1 (el transistor es potencialmente estable) se sigue con los pasos (5) y (6).
23 Véase [1], cáp. 10, sección 10.11, pág. 781.
(2) Dado que el dispositivo es absolutamente estable, se evalúa si es posible usar adaptación de impedancias conjugadas a la entrada y la salida manteniendo al mismo tiempo una figura de ruido y ganancia aceptables. Se calcula sMΓ dado
por (11.21a) y luego se evalúa F usando (11.56) o (11.57) y la ganancia de potencia usando (11.23). Si F y la ganancia son aceptables se termina. En la práctica la figura de ruido resultante cuando se adaptan las impedancias no es buena y se necesita un cierto grado de desajuste de impedancias y una ganancia menor para lograr una figura de ruido aceptable. Si no se cumplen las restricciones de diseño usando adaptación de impedancias conjugadas, entonces seguir con el paso (3).
(3) Dado que no es posible usar s sMΓ = Γ , entonces se evalúa si es posible utilizar
s mΓ = Γ (valor que determina la mínima figura de ruido). Los valores de VSWR
a la entrada y salida de la primera etapa dependen de los factores de desadaptación de impedancia M1 y M2 respectivamente. Luego se construye la siguiente función objetivo:
( ) ( )1 1 2 2, ,s in L outFO w M w M= Γ Γ + Γ Γ
donde w1 y w2 son pesos que determinan el nivel de importancia de VSWR a la entrada y la salida respectivamente en la función objetivo. Maximizando la función objetivo se obtienen los valores de óptimos de VSWR.
Dado un valor de la ganancia de potencia normalizada, se grafica el
correspondiente círculo de ganancia constante y su correspondiente círculo de .
pg
*inΓ 24 Luego, usando s mΓ = Γ en la función objetivo se busca en el círculo de
ganancia constante el valor de LΓ que maximiza la función objetivo.25 Una vez
encontrado el valor óptimo de LΓ se evalúan M1 y M2 y luego los
correspondientes valores de VSWR a través de (11.7). Si los valores de VSWR son aceptables se termina. En caso contrario se puede relajar la exigencia de ganancia, buscando en un círculo de menor ganancia constante, que corresponde con un círculo de *
inΓ con radio más grande lo que permite
encontrar un valor óptimo de *inΓ más cerca de s mΓ = Γ , y por lo tanto con
mejor valor de VSWR a la entrada. Este proceso se repite hasta el menor valor aceptable de , y si con el mínimo valor de ganancia aceptable no se logran
valores de VSWR aceptables, entonces la única alternativa es aceptar una figura de ruido , como se explica en (4).
pg
mF F>
24 Recordar que un círculo de ganancia constante es un círculo con valores de LΓ , y este círculo se relaciona
a través de una transformación bilineal con un círculo con valores de *inΓ como se vio en la sección 11.6.
25 El valor de que maximiza la función objetivo es aquel que corresponde al valor de más cercano
geométricamente a LΓ
*inΓ
sΓ , ie, el valor que produce la situación más cercana posible a *in sΓ = Γ .
(4) Al elegir se tiene que mF F> sΓ deja de ser un único punto s mΓ = Γ y pasa a
ser un círculo de figura de ruido constante. Luego los valores de sΓ y *inΓ
pueden elegirse más cercanos y por lo tanto se puede mejorar la VSWR a la entrada. Desde el punto de vista geométrico, los valores óptimos de sΓ y *
inΓ
son aquellos que están en la línea que une el centro del círculo de figura de ruido constante con el centro del círculo de *
inΓ , ie, los puntos que quedan más
cercanos entre sí. Se puede demostrar26 que estos dos valores óptimos están dados por:
*
,*
,| |in c sf
s fin c sf
RΓ −Γ
Γ =Γ −Γ
*
,**
,| |sf in c
in insf in c
RΓ −Γ
Γ =Γ −Γ
Con se puede obtener el correspondiente valor de *
inΓ LΓ y por lo tanto M2 y
VSWR a la salida. Con sΓ obtenemos M1 y VSWR a la entrada. Estos cálculos se
pueden repetir para varios valores de y F, para construir una tabla con
valores óptimos de VSWR a la entrada en función de la ganancia y figura de
ruido F. Ajustando los trade offs entre los requerimientos el diseñador puede llegar valores de
pg
pg
sΓ y LΓ consistentes con una mínima figura de ruido y al
mismo tiempo la menor ganancia aceptable y la más grande VSWR a la entrada tolerable.
(5) Si el transistor es potencialmente estable, dado que no se pueden adaptar las
impedancias, se parte el análisis explorando la posibilidad de elegir s mΓ = Γ .
Aquí se necesitan graficar los círculos de estabilidad para determinar si
s mΓ = Γ es estable. Si es estable se sigue el procedimiento descrito en (3)
buscando en círculos de ganancia constante, para . Si
mΓ1
12 21|pg S S −< | mΓ es
inestable entonces es aconsejable cambiar de transistor. Si se encuentran valores aceptables de ganancia y VSWR se termina. Caso contrario se continúa con el paso (6), donde se tiene . mF F>
(6) Aquí el análisis es similar a (4) pero teniendo cuidado con la estabilidad, ie,
hay que verificar en cada paso que los coeficientes de reflexión sean estables, usando los círculos de estabilidad correspondientes.
26 Es fácil ver que estos valores corresponden al vector unitario que apunta desde el centro de un círculo al otro, multiplicado por el radio del correspondiente círculo.
11.8.1 Diseño de amplificadores de dos etapas
Figura 11.17: Amplificador de dos etapas
En el amplificador de la figura 11.17, se asume que las mallas de adaptación MA1, MA2 y MA3 son sin pérdidas, y que en ambas etapas de amplificación se usa el mismo tipo de transistor. La figura de ruido de la segunda etapa no contribuye en gran medida a la figura de ruido del sistema, por lo que se relaja la exigencia de figura de ruido y se exige más ganancia de potencia y VSWR aceptable a la salida. Sin embargo, dado que la ganancia de la primera etapa no es tan grande (para permitir una figura de ruido mínima) entonces la relajación la restricción para la figura de ruido de la segunda etapa debe hacerse con cuidado. La estrategia de diseño propuesta para la segunda etapa se basa en la optimización de la figura de ruido y VSWR a la salida (o equivalentemente M3), para un valor de ganancia de potencia dado. Esta optimización esta sujeta a la restricción
de que el factor de desajuste a la entrada es Mpg
2. Se define la siguiente función objetivo para la segunda etapa:
( )1 3 2' , ' mout L
FFO w M wF
= Γ Γ +
donde w1 y w2 son los pesos asignados en la función objetivo. Dado que se quiere maximizar la función objetivo, para incluir la figura de ruido se elije el término
porque crece a medida que F disminuye y el factor se agrega para hacer
comparables los ordenes de magnitud del primer y segundo término en FO.
/mF F
mF
El procedimiento se basa en buscar el mejor valor de LΓ en un círculo de
ganancia constante dado, tal que maximice la función objetivo. pg
11.9 Anexos 11.9.1 Transformaciones bilineales y mapeo de círculos en el plano complejo
La ecuación en el plano Z de un círculo de radio R centrado en oZ está dada
por: 2 2
0| |Z Z R− =
⇔ * *
0( )( )o2Z Z Z Z R− − =
⇔ (A.1) * * * * 2
0 0 0 0(ZZ ZZ Z Z Z Z R− − + − =) 0 Se define una transformación bilineal27 entre el plano Z y el plano W como
AZ BWCZ D
+=
+ ( 0AD BC− ≠ ) (A.2)
donde A, B, C y D son constantes complejas. Una propiedad de estas transformaciones es que siempre transforma rectas en rectas y círculos en círculos.
Sea el círculo de radio ρ centrado en el origen del plano W , ie, 2 2| |W ρ= .
Usando la transformación (A.2) para obtener el círculo correspondiente en el plano Z resulta
* * *2
* * * 0AZ B A Z BCZ D C Z D
ρ⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠
⇔ 2 * * 2 * * 2 2 2
* *2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) | | | 0| | | | | | | | | | | |
CD AB C D A B B DZZ Z ZA C A C A Cρ ρ ρ
ρ ρ ρ− − −
− − +− − −
|= (A.3)
Comparando (A.3) con (A.1) tenemos que el correspondiente círculo en el plano Z está dado por 2
0| | 2Z Z R− = donde
2 * *
0 2 2| | | |C D A BZ 2A C
ρρ−
=−
(A.4)
2 2 2
| || | | |
AD BCRA Cρ
ρ−
=−
(A.5)
27 La transformación se dice bilineal porque se puede reescribir de la forma 0AZW BZ CW D+ + + = que es lineal para Z y para W, ie, es bilineal en Z y W. También se llama transformación racional lineal o transformación de Möbius.
En general, si el círculo en el plano W está centrado en entonces de
forma análoga se obtiene el correspondiente círculo en el plano 0 0W ≠
Z :
2 20| |W W ρ− =
⇔ 2
20
AZ B WCZ D
ρ+− =
+
⇔ 2
20 0( ) ( )A CW Z B DWCZ D
ρ− + −=
+
⇔ 2
2' '' '
A Z BC Z D
ρ+=
+ (A.6)
donde , 0'A A CW= − 0'B B DW= − , 'C C= y 'D D= .
Luego las expresiones para el centro y el radio del correspondiente círculo en el plano Z son las mismas del caso anterior, pero reemplazando A, B, C y D por A’, B’, C’ y D’.
11.10 Referencias, recursos computacionales y sitios de interés Referencias [1] Collin R., “Foundations for microwave engineering” ,McGraw-Hill,2° edición, 1992 [2] Macciarella G., “Design criteria for multistage microwave amplifiers with match requirements at input and output”, IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques, MTT-41, 1294–98, Aug. 1993. Recursos computacionales 1. AMPSA MULTIMATCH SOFTWARE • MultiMatch Amplifier Design Wizard (V8.40)
The MultiMatch V8.40 Amplifier Design Wizard is a MFC Windows 98/NT4/2000/XPTM Visual C++ program for designing radio-frequency and microwave amplifiers, oscillators and impedance-matching networks. The MultiMatch Analysis Module, the S-parameter Module, the Device-Modification Module, the Circle Module, the Power Module, the Impedance-Matching Module and the Microstrip Module have been integrated in this version. MultiMatch V8.40 is a multiple document, multiple view WindowsTM application. • MultiMatch Mosaic (V8.40)
MultiMatch Mosaic V8.40 is a MFC Windows 98/NT4/2000/XPTM Visual C++ program for designing radio-frequency and microwave impedance-matching networks. The MultiMatch Impedance-Matching Module, the artwork capabilities and some of the schematic capabilities of the Analysis Module, and the Microstrip Module have been integrated in this version. MultiMatch Mosaic V8.40 is a multiple document, multiple view WindowsTM application. http://www.ampsa.com/ 2. Agilent Technologies • Agilent EEsoft EDA
Agilent EEsof EDA is the leading supplier of Electronic Design Automation (EDA) software for high-frequency system, circuit, and modeling applications. Agilent EEsof EDA products include Advanced Design System EDA software, which is available in a wide range of affordable, design-focused configurations; RF Design Environment, for large-scale RF/mixed-signal IC design in the Cadence environment; and IC-CAP device modeling software and systems. http://eesof.tm.agilent.com/
Sitios de interés • LNA Bias Optimization
http://cfa-www.harvard.edu/~epedrett/msc/msc.html
• PA and LNA tools and links
http://www.circuitsage.com/
• Tonne Software: A technically-oriented site for engineers and technicians offering
to the fraternity a collection of original engineering software
http://tonnesoftware.com/
• MOS Common Source LNA Design Tutorial
http://www.odyseus.nildram.co.uk/RFIC_Circuits_Files/MOS_CS_LNA.pdf • Experimental Amateur Radiostation PA2DW http://www.qsl.net/pa2dw/ 11.11 Bibliografía Collin R., “Foundations for microwave engineering” ,McGraw-Hill,2° edición 1992. Misra D., “Radio- Frequency and Microwave communication circuits analysis and design” John Wiley & Sons, 2001. Chang K., Bahl I., Fair V.,”RF and Microwave Circuit and Component design for Wireless Systems”, John Wiley &Sons , 2002. Maas S., “The RF and Microwave Circuit Design Cookbook”, Artech House, 1998. Gonzales G., “Microwave Transistor Amplifiers Analysis and Design”, 2nd Edition, Prentice Hall, Englewood, Cliffs, NJ, 1997.
