RazonaMatemticasLic. Sigifredo Herrera Cruzemail : sigifredoherreracruz@hotmail.com TALLER DE PERMUTACIONES

Anlisis combinatorio 1Factorial de "n" . Se define de la siguiente manera:n! = n x (n - 1) x (n - 2)x ... x 3 x 2 x 1 Donde 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 7! = 7 x 6 x 5 x 4 X 3 x 2 X 1= 5040

PERMUTACIONESSe define as a los diferentes ordenamientos que se pueden formar con todos los elementos de un conjunto. Al momento de estudiar las permutaciones veremos tres tipos:Permutacin linealPermutacin circularPermutacin con elementos repetidosPERMUTACIN LINEALSe origina cuando los elementos (nmero, letras, personas, animales y objetos) son distintos y se ordenan en lnea abierta.En general: Pn = n!Ejemplo:Cuntas palabras diferentes, con o sin significado, se pueden formar con las letras de la palabra "lapicero"?Solucin: Para formar nuevas palabras, debemos permutar las letras:1, a, p, i, c, e, r, o = 8 letras :. Se pueden formar 40320 palabras.PERMUTACIN CIRCULARSe da cuando los elementos son distintos y se ordenan formando una circunferencia (alrededor de un objeto). Para deducir la frmula, analicemos el siguiente ordenamiento circular.En general: Pc(n) = (n - 1)!

PERMUTACIN CON ELEMENTOS REPETIDOSSe da cuando los elementos que se van a ordenar se repiten al menos 1 vez. En general

donde a, b, c, ... es el nmero de veces de los elementos repetitivos:

PROBLEMAS DE APLICACIN

1. De cuntas maneras distintas se pueden sentar 6 personas en una banca que tiene capacidad para 6?a.720 b. 120 c.634 d.128 e.250

2. De cuntas maneras distintas se pueden sentar 7 personas en una banca que tiene capacidad para 7 personas, si dos de ellas siempre van juntas?a.240 b. 120 c.1440 d.128 e.250

3. De cuntas maneras distintas se pueden ubicar en fila 4 varones y 4 mujeres, si se sabe que las personas que pertenecen al mismo gnero no pueden pararse juntas?

a.2410 b. 1120 c.1234 d.1152 e.250

4. De cuntas maneras distintas se pueden ubicar 5 amigos para jugar a la ronda? a.240 b. 720 c.24 d.128 e.250

5. De cuntas maneras distintas se pueden ubicar 8 personas alrededor de una mesa si 3 de ellos tienen que estar siempre juntos? a.240 b. 120 c.234 d.128 e.7206. Se tiene los siguientes bloques lgicos:

De cuntas maneras distintas se pueden ubicar en una hilera? a.1680 b. 1220 c.2534 d.1428 e.2500

7. Cuntos nmeros de 6 cifras cumplen con la condicin de que el producto de sus cifras sea 6? a.24 b. 12 c.36 d.18 e.25

8. Vivian, Cristhian y Melissa van al cine con tres amigos y desean sentarse todos juntos en una misma fila. De cuntas maneras diferentes pueden sentarse en una fila de seis asientos si Vivian y Melissa desean sentarse juntasa.240 b. 120 c.234 d.128 e.250

9. Cuntas palabras distintas y sin importar si tienen sentido o no, se pueden formar con las letras de la palabra "TERRITORIO"? a.72240 b. 76120 c.72600 d.75600 e.62250

10. Calcula el nmero de palabras con o sin sentido que se pueden formar con las letras de la palabra "REGLA"a. 48 b.120 c. 240 d. 720 e. 24

11. De cuntas maneras distintas se pueden ubicar 6 personas en una banca de 6 asientos, si dos de ellas tienen que sentarse juntas?a. 40 b. 120 c.240 d. 220 e. 140

12. De cuntas maneras distintas se pueden ubicar 6 personas en una banca de 6 asientos, si se sabe que Jorge y Carlos tienen que sentarse en los extremos?a.48 b. 12 c. 24 d. 364 e.720

13. En un grupo de personas formado por 2 puneos, 3 piuranos y 4 limeos, de cuntas maneras se pueden ubicar en una fila para un concierto, si se sabe que las personas del mismo departamento tienen que sentarse juntas?a. 864 b.1 728 c. 688 d. 892 e. 1 700

14. De cuntas maneras diferentes se pueden ubicar 6 lapiceros de diferente color si el rojo y el rosado no pueden estar juntos?a. 720 b. 120 c. 240 d.480 e. 360

15. Cuntas palabras diferentes con o sin significado se pueden formar con las letras de la palabra "ANLISIS"?a.5040 b. 40320 c. 34980 d. 720 e. 1440

16. De cuntas maneras diferentes se pueden ubicar 7 sitios en fila si 4 de ellos son de color blanco y los otros 3 son marrones?a. 42 b.35 c. 120 d. 240 e. 48

17. Al lanzar 6 veces una moneda, de cuntas maneras diferentes se puede obtener 2 caras y 4 sellos como resultados?a. 30 b. 18 c.15 d. 24 e. 48

18. Cuntos nmeros de 6 cifras existen en el sistema decimal, de tal manera que el producto de sus cifras sea 35?a. 15 b. 24 c.30 d. 60 e. 48

19. De cuntas maneras se pueden ubicar 6 personas en una mesa redonda de 6 asientos?a. 720 b. 120 c. 240 d. 48 e. 144

20. De cuntas maneras diferentes se pueden ubicar 4 nios y 4 nias para jugar a la ronda, si las personas del mismo gnero no pueden estar juntas?a. 5040 b. 120 c. 48 d.144 e. 72

21. De cuntas maneras diferentes se pueden ubicar 6 personas alrededor de una mesa redonda, si 3 de ellas siempre tienen que estar juntas?a. 144 b. 72 c. 54 d. 18 e.36

22. Alrededor de una mesa de 9 asientos se quiere ubicar a 4 nios y 4 nias de modo que el asiento vaco est entre Joaqun y Gabriel. De cuntas maneras diferentes puedo ubicarlos?a. 720 b.1440 c. 480 d. 120 e. 2 160

23. Cuatro chicas y 2 varones van al cine y encuentran 6 asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse. De cuntas maneras diferentes pueden ubicarse si las 4 chicas quieren estar siempre juntas?144a.240 b. 120 c.144 d.128 e.250

24. Manuel, Marcos y Mirco van al cine y encuentran cuatro asientos consecutivos vacos. De cuntas maneras pueden sentarse? 24a.240 b. 120 c.234 d.128 e.24

25. De cuntas maneras 6 soldados pueden formar una fila? 720a.240 b. 120 c.234 d.720 e.250

26. Con las letras de la palabra "padre", cuntos ordenamientos distintos se pueden hacer sin importar si la palabra carece de significado, si la palabra debe comenzar por vocal?48a.240 b. 120 c.48 d.128 e.250

27. En un estante se van a acomodar 3 libros de RM, 2 de RV, 4 de lgebra y 1 de Historia. De cuntas maneras se puede ordenar de tal manera que los libros de los mismos cursos vayan juntos?6912a.6912 b. 120 c.234 d.128 e.250

28. De cuntas maneras se pueden alinear 5 varones y 5 mujeres de tal forma que aparezcan alternados?28800a.240 b. 120 c.28800 d.128 e.250

29. De cuntas maneras se puede disponer los jugadores de un equipo de ftbol de 11 jugadores?a. 2 lO! b. 11 C. 12! d.11! e. 10!

30. Cuntas posibilidades de ubicacin tienen 5 alumnos al sentarse en 5 sillas en lnea recta?a. 6 b. 12 c. 24 d. 60 o 120

31. De cuntas maneras diferentes se puede ordenar, en un estante 5 libros distintos?a.120 b. 240 c. 360 d. 480 e. 720

32. De cuntas maneras se puede ordenar la palabra "PADRE" sin importar su significado?a.120 b.1 720 c. 24 d. 60 e.6

33. Cuntas palabras, con significado o sin l, pueden formarse con las letras de la palabra "MUSA"?a. 6 b.24 c. 120 d. 720 240

34. Un fabricante de collares para damas emplea esferas de los 7 colores bsicos del espectro solar unidas con un hilo. De cuntas maneras distintas pueden unir estas 7 esferas de distinto color?a. 24 b. 120 c. 720 d.5040 e. 40320

35. Para una ceremonia se nombra una delegacin de 4 cadetes militares y 2 civiles. Se forman todos en una fila, y deben quedar los civiles juntos. De cuntas maneras pueden formarse?a.240 b. 120 c. 60 d 48 e. 720

36. Ana y Juana van al cine con 3 amigos, de cuntas maneras diferentes se podrn sentar en una fila de 5 asientos donde Ana y Juana deben estar juntas?a. 12 b. 24 c.48 d. 72 e. 96

37. De cuntas maneras distintas pueden sentarse Ana, Beto, Carlos, Dora y Emilia, si Ana quiere ocupar uno de los extremos del banco de 5 asientos?a. 24 b.48 c. 72 d. 96 e. 120

38. En el hipdromo en la primera carrera corren 8 caballos. Si "Caballo Loco" fue descalificado, de cuntas maneras distintas pudieran llegar los restantes?a. 24 b. 120 c. 720 d.5 040 e. 40320

39. 'De cuntas maneras se pueden sentar en una carpeta de 4 asientos en fila 2 hombres y 2 mujeres, de tal forma que las 2 mujeres siempre estn juntas?a. 6 b. 9 c 4 d. 8 e .12

40. Cuntas palabras diferentes que terminen en "O" pueden obtenerse con todas las letras de la palabra "PATIO" sin que se repita ninguna letra y sin importar las palabras tienen o no sentido?a. 24 b.120 c. 240 d. 720 e. 1440

41. Maritza, Lul y Dbora se van al teatro con Manolito. Si hay exactamente 4 butacas vacas, de cuntas formas diferentes podrn sentarse en estas butacas, si Manolito nunca est junto a Lul?a. 6 b.12 c. 18 d. 24 e. 20

42. De cuntas formas diferentes se podran ubicar, en una fila de 7 asientos numerados del 1 al 7, 4 mujeres y 3 varones, si estos deben ocupar los lugares pares?a. 24 b. 48 c. 72 d. 96 e.144

43. De cuntas maneras se pueden colocar 12 libros en un estante si 3 de ellos deben estar juntos?a. lO! b. 11! C. 12! d. 3 10! e.6 lO!

44. En una reunin hay 4 peruanos, 2 chilenos y 3 sudafricanos. De cuntas maneras diferentes se pueden ubicar en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten siempre juntos?a. 1 728 c. 1 440 e. 1 024 b. 1 260 d. 2 162

45. De cuntas maneras 8 personas se pueden sentar en una fila con 8 asientos vacos, si 2 de ellas no pueden estar juntas?a. 40320 b. 30 240 c. 24420 d. 32660 e. 10080

46. De cuntas maneras distintas se puede vestir una chica que tiene 7 polos, 5 pantalones y 4 pares de zapatos?a. 50 b. 60 c. 70 d. 140 e. 180

47. Cuntos nmeros distintos de 3 cifras se pueden formar con los nmeros 2; 3; 4; 5 y6?A) 20B) 30 C) 45 D) 60 E) 120

48. De cuantas formas pueden sentarse un padre, su esposa y sus 3 hijos en una fila de 5 asientos?A) 32B) 24C) 100 D) 120E) 150

49. De cuantas formas pueden sentarse en una mesa circular un presidente con sus 6 vocales?A) 120B) 720C) 840 D) 960 E) 5020

50. En un examen se ponen 7 temas para que el alumno escoja 4, De cuantas maneras puede hacerlo?A) 15B) 25C) 35D) 40E) 5551. con los colores del arco iris Cuntas banderas bicolores distintas se pueden formar?A) 36B) 42C) 48D) 56E) 63

06.Con 8 pantalones diferentes los cuales deben ser colocados en una bolsa. De cuantas maneras diferentes se pueden embolsar 3 pantalones si en dicha bolsa solo caben 3 pantalones?A) 24B) 36C) 48D) 56E) 64

07.10 corredores De cuantas maneras diferentes pueden obtener 3 premios distintos?A) 560B) 640C) 700D) 720E) 840

08.Cuntos comits de 3 miembros se pueden elegir con 12 personas?

A) 105B) 210C) 220D) 320E) 420

09.Silvia desea comprar una minifalda y una blusa. Un comerciante le muestra 8 minifaldas y 7 blusas de colores diferentes en los modelos que a Silvia le gusta. De cuantas maneras distintas puede escoger lo que desea comprar? A) 42B) 48C) 56D) 63E) 35

10.Una persona puede viajar de A hacia B por va area o por va terrestre y tienen a su disposicin 3 lneas areas y 5 lneas terrestres De cuantas maneras distintas puede realizarse el viaje?A) 15B) 8C) 13D) 24E) 36

11.En una carrera participan 5 atletas. De cuantas maneras distintas pueden llegar a la meta; si le llega uno a continuacin del otro?A) 36B) 24C) 64D) 120E) 720

12.Un grupo esta conformado por 7 personas y desean formar una comisin integrada por un presidente y un secretario. De cuantas maneras puede formarse dicha comisin?A) 14B) 21C) 42D) 30E) 56

13.De cuantas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra MATEMTICA.A) 130200B) 148600C) 149700D) 150300E) 151200

14.Se tiene 9 banderillas donde 2 son blancas; 3 rojas y 4 negras. De cuantas maneras se pueden hacer seales poniendo todas las banderas en fila?A) 1050B) 1150C) 1260D) 1320E) 1480

15. Con 8 hombres y 7 mujeres. Cuntos comits de 5 personas se pueden formar de modo que este conformado por 3 hombre y 2 mujeres?A) 648B) 948C) 1058D) 1176E) 1234

16.Se tienen lpices de 7 colores. De cuantas maneras se pueden formar grupo de 3 o 2 elementos con dichos lpices?A) 35B) 48C) 56D) 64E) 72

17.De cuantas maneras distintas pueden sentarse las personas A ; B ; C; D y E ; si A quiere ocupar uno de los extremos del banco?A) 12B) 24C) 36D) 48E) 56

18.En un campeonato de ftbol; 12 equipos deben jugar todos contra todos si llegan 3 equipos juntos mas. Cuntos partidos adicionales deben jugarse?A) 15B) 25C) 30D) 39E) 42

19.De cuantas maneras 5 parejas de esposos pueden ubicarse en una mesa circular para almorzar; si estas parejas siempre deben almorzar juntos?A) 576B) 648C) 756D) 768E) 780

20.De cuantas maneras pueden colocar 3 hombre y 3 mujeres alrededor de una mesa circular de tal manera que cada mujer este entre 2 hombre?A) 4B) 18C) 24D) 14E) 8

21.Cuntos paralelogramos se pueden formar al contar un sistema de 8 rectas paralelas con otro sistema de 5 rectas paralelas?A) 80B) 160C) 180D) 280E) 320

22.De cuantas maneras se pueden colocar 12 libros diferente sobre un estantera de manera que 3 de ellos siempre deben estar juntos?A) 3!, 9!B) 3! 10!C) 3!. 12!D) 3!.11!E) 3!.7!

23.Una alumna tiene 12 stiker para colocar en la pasta de su cuaderno: pero solo tiene espacio para 8. De cuantas maneras puede seleccionar que no va a colocar?A) 365B) 385C) 425D) 495E) 545

24.Tres mujeres y 2 hombres van al cine y encuentran 5 asientos juntos en una misma fila donde desean acomodarse de cuantas maneras diferentes pueden sentarse, si las tres mujeres no quieren estar juntas?A) 6B) 8C) 12D) 18E) 24

25.De cuantas formas pueden sentarse 5 personas alrededor de una mesa circular si una de ellas; permanece fija en su asiento?A) 6B) 12C) 18.D) 24E) 36

26.En una competencia automovilstica intervienen 5 autos A; B; C; D y E De cuantas maneras diferentes podrn culminar la competencia si el coche A siempre llega adelante del coche B?A) 12B) 24C) 18D) 36E) 48

27.Se tiene un estante con capacidad para 9 libros, si ene le se quiere ordenar 4 libros de fsica; 3 libros de qumica; y 2 de aritmtica. De cuantas maneras se podr realizar esto si los de aritmtica siempre se ubican a los extremos?A) 5040B) 2520C) 1080D) 1520E) 2060

28. Se va a colocar un mapa de 4 pases con colores diferentes para cada pas, si hay disponibles 7 colores diferentes. De cuantas maneras puede colorear el mapa?A) 1050B) 1220C) 840D) 1520E) 1680

29.En una urna se encuentran 6 bolos numerados del 1 al 6. De cuantas maneras se podr extraer en sucesin y sin reemplazarlo 3 de estas bolitas?A) 100B) 105C) 120D) 130E) 150

2. Un alumno tiene que llenar un cuestionario con s o no. De cuntas maneras distintas puede contestar, si el cuestionario tiene 5 preguntas?a. 8 b. 16 32 d. 64 e. 72

3. Se lanza un dado y se hace girar un trompo de 8 caras. Decuntas maneras diferentes pueden caer?a. 12 b. 16 e 24 d. 32 @ 48

4. Una persona desea trasladarse de Chorrillos al Callao y no hay un carro directo. De Chorrillos a Miraflores puede hacerlo con 5 diferentes lneas de mnibus y de Miraflores al Callao con 4 lneas diferentes. A. De cuntas maneras diferentes puede trasladarse de Chorrillos al Callao?a. 14 b. 16 e 18 @ 20 e. 22

B. Decuntas maneras diferentes puede ir y regresar de Chorrillos al Callao?a. 250 b. 280 e 320 d. 380 0 400

C. Decuntas maneras diferentes puede ir y regresar de Chorrillos al Callao, pero de regreso usa el mismo mnibus?a. 200 b. 220 (0 320 d. 260 e. 280

5. De cuntas maneras distintas pueden sentarse 5 personasen una banca?a. 20 b. 40 e 60 d. 80 @ 120

6. Para ir hacia una montaa solo hay 7 caminos. De cuntas maneras se puede trepar y descender con la condicin de que el ascenso y descenso sean por distintos caminos?a. 18 b. 24 e 30 d. 36 @ 42

7. De cuntas formas distintas pueden sentarse 3 parejas de novios alrededor de una mesa circular?a. 2 b. 12 e 24 @ 120 e. 720

10. Ocho amigas disponen de una mesa redonda para merendar. De cuntas maneras diferentes podrn ubicarse alrededor de ella?a. 8! ~ 5 040 e 256 d. 8 e. 64

11. En una carrera de caballos participan 6 de estos ejemplares. De cuntas maneras podrn ocupar los 6 primeros puestos?a. 120 b. 180 e 60 @720 e. 20

13. Madahi desea viajar desde Lima a Trujillo, para lo cual dispone de 5 lneas terrestres, 3 lneas areas y 2 rutas martimas. De cuntas maneras distintas puede realizar este viaje?a. 5 b. 8 (0 10 d. 11 e. 30

14. De "A" hacia "B" hay 3 caminos diferentes y de "B" a re: existen 4 caminos tambin diferentes. Porcuntos caminos diferentes se podr ir de "A"a "C" pasando por "B"?a. 7 ~ 12 e 14 d. 24 e. 16

15. Hans posee 3 camisas, 5 pantalones y 3 pares de zapatos. Si todas las prendas son diferentes, de cuntas maneras diferentes puede lucir una vestimenta constituida por camisa, pantaln y zapato?a. 5 b. 11 e 18 d. 30 045

16. Juanito tiene 4, camisas, 3 pantalones y 2 pares de zapatos.De cuntas formas pueden vestirse alternando estasprendas?a. 12 @ 24 e 36 d. 18 e. 49517. Cuntos nmeros de tres cifras diferentes que no seanmltiplos de 5, existen?a. 486 b. 648 e 729 d. 567 051218. De una ciudad "A" a una ciudad "B" hay 4 caminos diferentesy de la ciudad B a la ciudad "C 3 caminos diferentes.Decuntas maneras se puede viajar de "A" a "C"pasando por "B"?a. 11 ~ 12 e 13 d. 14 e. 1519. Decuntas formas se podrn ubicar 6 soldados en fila?G) 720 b. 64 e 120 d. 240 e. 14420. Cuntos nmeros capicas de tres cifras existen?a.90 e72 d. 64 e. 5621. Un vendedor de cerveza visita dos veces a la semana aun distribuidor. De cuntas manera podr el vendedorescoger dichos das de visita?G) 42 b. 12 e 24 d. 21