REVISTA 1'••IEXICANA DE FíSICA ~6 SlJI'I.El\.1ENTO 2. 11-15 NOVIEMBRE 2000

Análisis numérico de caos espacio-temporal en sistemas extendidos espacialmentee investigación de electrodisolución caótica de metales

M. Rivera, R. Madrigal y P. ParrnanandaFacultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado de MorelosAv. Universidad 1001, Col. Chamilpa. CuenwwlCa. Morelos. Mexico

M. EiswirthFritz-Haber./nstit/ll der Max-Pla1lck-Gesl'ilschaJt

FaradaYl1'eg 4.6. D-14195 Be1'¡¡",GemuUlY

L. Nyikos/'hysical Chemislry LaboratolY. Central Resea1'ch InJticutc Jo1'Physics

PO. /Jox49, H-J525 Budap!'.\"!,HIl1lK(II)'

1.Z. Kiss y V. GáspárI"stitltte oJPhy.üeal ChemistT)', Kos.mth Lajos U"iva.\'ity

P.O. Box 7. H-40/0 Deb1'eCl!11,JlulIgary

Recibido el 27 de abril de 2000; aceptado c14 de scpticmbrc dc 2000

Presentamos resultados (numéricos y cxperimentalcs) indicando el control dc la dinámica oscilatoria en un sistema electroquímico bajo lapresencia de forzamiento externo y por rctroalimenlaci{¡n del sistema. Corno primer caso se con<.;iderala inOuencia de una señal sobrepuestaa uno de los parámctros dc control. obteniendo que no únicamente la dinámica caótica puede ser convcrtida a estados periódicos. sino que losestados periódicos pueden ser convenidos incluso a una dinámica oscilatoria de mayor periodicidad. A continuación. aplicando una técnicacontinua de retroalimentación retardada, las oscilaciones caóticas son suprimidas por medio de la estabilización de soluciones de punto fijoy/o convertidas a <.'omportamiento peri6dico. Para terminar. se reporta la supresión numérica de caos espacio temporal observado en unsistema químico espacialmente extendido. Este sistema en una dimensi{¡n espacial cxhibe turhulencia bajo condiciones apropiadas en losparámetros y la consecuente supresión es llevada a cabo usando técnicas de retroalimentación y for/.amiento.

Dl'Scril'torrs: Sistemas dimí.micos: corrosión electroquímica; control de caos

\VCrepon rcsults (numerical and experimental) indicating control of [he observed oscillatory dynamics in an clcctrochcmical system usingexternal forcing and variable feedhack. Under the inlluence of external forcing it was ohscrved thatthe chaotic dynamics could be converted topcriodic states. r..1oreover. rcgul¡tr states with different periodicities could be stabilil.cd. Using a continuous delaycd feedback control strategychaotic oscillations are supprcsscd via stahilization 01' tlxcd point steady states and / or pcriodic dynamics. Finally wc report numerical resultsindicating control 01' spatiotcmporal chaos obscrvcd in a spatially extended chemical systelll. In (Jnc spatial dimension the rnodel dynamics11l1dcrappropiatc pararneter condilions exhibil chemical turbulcncc which is suppressed using feedhack and forcing lechniques.

Keyword.c Dynmnical systCl11s:cJc<..trochemical corrosion; controlling chaos

PAes: 05.45.Tp; 05.45.Jn; X7.1~.NIl; 05.45.X,

1. Introducción

El interés en la invesligaci6n de oscilaciones elcclroquímicassc ha incrementado dehido a los avances hechos en el campode la dinámica no lineal. Las oscilaciones han sido ohserva-das. caracterizadas y aun controladas en dislintos procesoseleclrnquímicos incluyendo reacciones anódicas y catódicashajo condiciones potenciosláticas y galvanostáticas. Está do-cumcntado (], 2] que el conlrol dinámico del comportamien-to caótico puede IIcvarse a caho utilizando pequeñas pertur-hacioncs a un parámetro accesihle de control. Estos even-los utili/an estrategias de control flexihles [3,41 para con-vertir el comportamiento a respuestas peri6dicas. Tamhiénhay reportes (:)-71 sohre cómo dirigir la dinámica del siste-ma a soluciones no oscilatorias (por ejemplo estados es lacio-narios inestahles) usando técnicas de retroalimentación (8].

En el caso de sislcmas no linealcs espacialmente extendi-dos. el c.ontrol de la dinámica turhulenta es de mucho interéspráctico. Los csfuerzos por conlrolar caos con diferentes es-trategias de control I ]-11 han sido naturalmente extendidos atratar de controlar el comportamiento dinámico complejo ob-servado en sistemas dinámicamenle distribuidos [9-13]. Elcontrol de C<lOS en estos casos es muy complicado dehido ala cxistcncia de numerosos modos espaciales inestables, peroresulla inmcnsamente importante también por su posible apli-cación en plasmas. disposilivos láser y en sistemas biológicosy químicos. donde las dependencias espaciales y Icmporalesdehen ser consideradas.

Los resultados de este artículo se muestran en las siguien-les secciones, En la Seco 2 se proponc el uso de una modula-ción sinusoidal sohrc uno de los parámclros de control parasuprimir (experimentahncnlc) caos vía conversión a cstados

12 M. RIVERA t't al

periódicos. En la Seco 3 se reporta la estabilización de estadosestacionarios inestables y respuestas periódicas en una celdae1cctroquímica, usando una estrategia de control por retroa-limentación retardada. Finalmente en la Seco 4 se propone lasupresión (numérica) de comportamiento turbulento ohserva-do en un modelo (una dimensión espacial) usado para la oxi-da<:iún de ca en una superficie dc cristal simple de Pt( 11O)bajo condiciones UHV [14, 15].

2. Modulación sinusoidal externa

Consideremos un sistema dinámico autónomo que es descritopor el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales:

35

3

L5

2.1. Resultados experiment;,lcs

donde 1)1 (O) es el valor inicial del parámetro y el término~('1l(...••..•t) cs la señal moduladora sohrepuesta a la dinámicano pCrlurhada 116.171. Como lo indican los resultados quesc mucstran a continuación. la transformación de la dinámicadel sistcma se lleva a caho mientras el control se mantengaaplic<ldo y. una vez concluido, el sistema regresa a su com~portamicnto inicial no pcrturhado.

donde x = (.r¡.:t2 ..f:l .... ,.r,,) YP = (PI,l':l,l':!, .... Pm) sonlas variahles del sistcma y los pafÚmclros de control, respec-tivamente. Dependiendo dc los pardmctros. el sistema pucdccxhihir una gran variedad de respuestas tales como puntoslijos. oscilaciones periódicas. caóticas, cte. Una transicióndiscontinua entre estos estados es conocida como bifurca-ción y la gr;\fica que muestra la localización de los diferentesestados dinámicos en el espacio de parámctros es conocidacomo diagrama de bifurcación. Considerando que en nues-lro sistcma electroquímico experimental existe una variahlede sistema fácilmente accesihle ;1:1 (por ejemplo. 1J corriente,uHldica). y un par,ímetro de control accesihle PI (por ejem-plo. el potencial ~lJlódico) que pueda ser continuamente per-turhado tic lal forma que

El sistL'ma experimental consistc de una celda clcctroquímicadc tres electrodos (EG&G Princeton Applied Research Mo-del K600(6) dispuesta para el estudio de la electrodisoluciónpotcllciostática de cohre en un bufferdc acetato [121 hajo con.dkiones tk tcmperatura amhiente (295-3(X) K) sin compen-sación iR externa [131. El ánodo es un disco rotante de cohre(5 111111de diámetro) rodeado por tcl1ón. El c1cctrolito es unhuffer de acetato. mezcla dc 70 cm3 de ácido acético gla.cial y .'0 cm:~de acetato dc sodio 2 1,,1.El potencial anódicoes medido rcspecto a un electrodo de referencia saturado dccalolllel (SCE), mientras que el cdlodo es un disco de plati-llO (2.5 cm:! de ,írca). Bajo condiciones potenciostáticas, elpotcncial dcl circuito es conlinuamente ajustado por un po-tcnci(lstato (EG&G Princeton Applied Rcsearch Model 362)para mantener el valor deseado del potencial V. Yla corriente

PI

(3)

15<>"lOTMlmpo (5)

5<>

V(I) = 1'(0) + ,'('11 (2""1).

1.5 o

La estabilización de la dinámica de un sistcma que se encuen-tra previamente en un estado inestahle requiere de un procedi-

Los valores de 1/ y -, se indican al pic dc la IIgura. Como resul-tado del forzamiento las oscilaciones caóticas fueron trans-formadas a oscilaciones de periodo 1 (PI). Cuando el controles apagado en f = 70." ..el sistema se tlparta de la dinámica dePI y después de un transitorio de 25 s (donde el sistema serecupera dc los efectos del contr(1) las oscilaciones caóticasaparecen Iluevamente. Este transitorio (rccupcración) es si-milar al ohservado en simulacioncs numéricas [201. La Fig. 2cOlllinlla predicciones numéricas referentes a que el forza-miento externo puede incrementar la complejidad del sistemadinámico. La corriente :lI1ódicaes l110strada sohre un periododurante el cual el forzamiento es aplicado (en t = 20 s) y apa-gado nucvamente. Durante la sesión de control. la corrienteoscilatoria periódica (P 1)es convertida a una respuesta de pe-riodo 2 (P2). Cuando el control es apagaJo (cn t :=: 30 s) elsistema se recupera y regresa a las oscilaciones de PI nueva.mente. Los pal"Úmetrosde control y del sistema son presenta-dos al pic dc la figura.

-'O Control por retroalimentacilÍn retardada

FIGURA 1. Estahilización a un e~tado de periodo (PI) en elsistCIIl;l electroquímico cuando éste cxhihc osrilaciollcs caóticas.La ratllll de rotación es de 25()O rplll. mientras que el potencialan6dico \'(0) es 0.770 V. Los parámetros de control usados son1 == :~g.IIllVy 11 = 0.7 Hz.

:módica 1 cs meJida entre el ánodo y el cátodo. Las seriesde datos para la corriente son capturados y almacenados porcomputadora usando una tarjeta de adquisición con frecuen-cia de muestreo de 25 Hz. Con el potencial ,módico y la razónde rotación dados en la Fig. l. el sistema electroquímico ex-hihe oscilaciones caóticas en la corricnte. El control sinusoi-dal es aplicado en f = 50 s por la perturhación continua delpotcncial de acuerdo con la siguiente f6rrnula:

(1)

(2)

x = f(x(l), p).

111 (1) = PI (O) +,S<'II(wl).

Rt'\ ..Me.\". FÍJ. ~6 S2 (2000) 11-15

ANÁLISIS NUMÉRICO DE CAOS ESPACI(nEMI~)RAL EN SISTEMAS EXTENDIDOS ESPACIALMENTE ... 13

'5 35

'50"lOt(s)

50

3

"É.. 2.5

5030Tiempo (5)

20\O

35

15

FIGURA 2. Estabilización a un estado de periodo 2 (P2) en el sis-lema electroquímico cuando éste exhibe oscilaciones de periodo J.La razón dc rotación es de 1700 rpm. mientras que el potencial:lnúdico '''(O) es O.6XOV. Lo~ parámetros dc control usados son; = 75.1 mY y v = 2.0 Hz.

FIGURA 3. Estabilización de un estado inestable en el sistemaelectroquímico exhibiendo oscilaciones caóticas. La razón de ro-tación es de 2700 rpm y el potencial ,módico \/(0) es 0.720 V. Losparámclrosdccolltrolusadosson¡ = -0.15 mV/mAy T = 15pa.sos de la muestra.

miento especial para lo cual el control por retroalimentaciónretardada aparece como un procedimiento viahle. Considc-ramIo nuevamente que en nuestro sistema electroquímico ex-perimental existe una variable de sistema fácilmente accesi-ble .rl U.e" la corriente an6dica), y un parámetro de controlaccesihle]J1 (i.e.• el potencial ~módico) que pueda ser conti-nl1~lIncntc perturbado de tal forma que

1'1(1) = 1'1(O) + 'Y [.rl (1) - .rl (1 - T)J, (4)

3.1. Resultados experimentales

El sistema experimental es el mismo que se presentó en lasección anterior. Con el potencial .módico y la razón de rota-ción indicados en la Fig. 3, el sistcma electroquímico exhibeoscilaciones caóticas en la corrientc. Las oscilaciones son es-lahilizadas perlurhandode manera continua el potencial \f(O)de acuerdo a la siguiente fórmula:

donde los parümetros f y T son dados al pie de la figura. Du-rante el control (entre los segundos 40 y 140) las oscilacionescaen a una respuesta de corriente dirccta con ruido.

Cuando el control es apagado cl sistema se aleja del pun.to fijo y ejecuta oscilaciones caóticas nuevamente. La imple-mentación del método de Pyragas para estabilizar una órbitaperiódica inestahle (UPO) conlenida dentro de un atractorcaótico involucra un procedimiento para determinar TUPO.

El valor de T = T(.pO en la fórmula de conlrol [Ec. (5)J fuecalculado utilizando un mapa de retorno de la siguiente ma-nera. En ve/. de graticar valores extremos consecutivos de lacorriente, se elahora una gráfica con el tiempo encontradoentre mínimos sucesivos de la corriente. Con lo anterior seconstruye el mapa que es de hecho un mapa de retorno tem-poral 111+1 I'J. 1 n. Usando la intersección de este mapa con lalínea de identidad nos permite identificar el valor TUpo parala órhita de periodo l. La Fig. 4 muestra la serie de tiempopara la corriente, mientras el control está apagado, prendido(en f = 70 seg.) y ;;'pagado nuevamente. Durante la sesiónde control. las oscilaciones caóticas son convertidas (dentrodel error experimcntal) a una respuesta periódica. Cuando elcontrol es apagado (en t = 135 seg.) el sistema se aleja de la

donde 1'1(O) es el valor inicial del parámetro y el lérmino'Y [.rl (t) - .rdl - T)I correspondiente a la retroalimentación.Es importante mencionar que esta perturhación cambia la es-tahilidad dc la dinámica blanco sin alterar la localización dclos puntos fijos y/o creando nuevas 6rhitas peri6dicas en elespacio fase [8).

Las primeras implementaciones de la estrategia de relro.alimentación retardada pueden ser clasificadas en dos casoslímite:

l. En el límite en que T -t O la técnica de control por re-troalimentación efectivamente se reduce a control de-rivativo [6]. la cual es capaz de estahilizar soluciones(puntos f1jos) de estado estacionario [71.

2. En c¡límite en que T -t TUPO' donde TUPO es el pedo.Jo de una órhita periódica inestahle (UPO) contenidaen el atractor caótico, la estrategia es la conocida comométodo dc Pyragas para controlar caos 121].

En un intento por estahilizar tanto los estados estaciona.rios inestahles como las soluciones periódicas, nuestra inves-tigaci6n numérica y experimental involucra la elección de T

dentro del intervalo O < T S; TUPO.

1'(1) = 1'(0) + 'Y [f(l) - f(l - T)J, (5)

Re". Mex. Fú. 46 S2 (2(XXl) 11-15

I~ M. RIVERA et al.

35

FtGURA 5. Gr:H1ca espacio.tiempo para el sistema de osciladoresacoplados Cllil la illlplcrncntación del control por retroalimentaciónglobal. El control produce la cstahilización del estado homogéneosin la desaparición tk la seil••l de control. Los parúmetros del sis-tem •• son (/ = 0.8.1. f = 0.12. tI = -O.O-l:j Y D = 1/5.2 Y lospar~ímctros dc control son l' = 0.005 Y T = 8.

" 60 '" leo1 (s)

Flmnu\ 4. Controlando el caos en el sistema electroquímico usan.do el método dc Pyragas, La razón de rotación es 2<JOOrrm. mien-tras que el potencial ~Hlódicoes 0.715 V. Los parámetros dc controlusados SOll) = -0.19 mY/mA y T = G5 pasos dc la muestra.

(¡rhita pL'riódlGl y regresa a las oscilaciones ca<íli<.:as nueva-mente. La clara ventaja de aplicar control por retroalimenta-ción consiste en la unificación de dos distintas estrategias decontrol. Ilamémoslas control derivativo y el método de Pyra-gas. Con la variación selectiva dc los parámetros dc controldisponihles ; y....,'. la estahilización de estados estacionariosinestahles y órhitas periódicas pueden ser ohtenidas. Resul-ta importante mencionar que una vez que la señal de rctroa~limcntaci6n dcsaparece durante el control. se asegura que elsistcma no ha sido arrastrado a un régimen donde la dinámicahlanco sea naturalmcnte estable.

4. Supresión de turbulencia (luÍmica en elsistema extendido

.•.t. :\Iodl'ln nnml-ri('o para la oxidación de en

,,< 1/;1 --+ f(lI) = O;

Irl:S " :s 1 --+ f(lI) = 1 - 6,,5"(11 - 1)2;

11> I --+ f(lI) = 1.

Considerando los valores apropiados para los parámetros enuna dimensión espacial. el modelo del sistema puede exhihirel comportamiento de un pulso viajero, turhulencia de ampli-tud y turhulencia de fase. El tamaño del sistema se escogióque fuera de I (JO (unidades adimensionales) y fue divididoen una malla de 2{)Oelementos para la simulación del mode-lo, usando un algoritmo de integración explícita con tiempoconstante y pasos espaciales (100/200) sujetos a condicionesa la frontera periódicas.

El sistema difu'ii\'o acoplado exhihe dinámica turhulen~ta para los siguientes valores de los parámetros: ti = O.S.l., = 0,12. ¡, = -0,0,1" Y D = 1/,),2, Las estrategias decontrol implementadas son presentadas en dos secciones co-rrespondientes a retroalimentación y forzamiento externo. es-tas estrategias son capaces de suprimir la din<Ímica turhulentapor medio de la estahililación de un punto fijo y/o la estahi-lización de soluciones periódicas. La rohustez de todos losresultados presentados en esta sección se verificó mediante laadición de una cantidad pequeña de fluctuaciones aleatorias .

En csta sección consideramos el sistcma extendido con con-diciones a la frontera periódicas cstudiadas extensivamcntepor Itir ('/ l/l. [1,1. 15) Y hrevemente discutidas a continua-ción. Para mostrar la supresión de caos espacio temporal seCOllsi(il'ra el siguientc modelo. usado para la descripción dc laoxidación de ca en una superficie de cristal simple Pt(IIO)hajo condiciones UHV [20,21):

".2. Técnka de retrnalimcnlación global retardada:t N'N Li=1 1Li(/. - T)

Dlu = __,,_(,_,_-_1_) (" __ "_+_/1)f (/

1 ,\'+ /),2" _) y L ",(1 - r). (X)

. i=!

(9 ),)", = f(") - ,',

A continuación implementamos una retroalimentación glo.hal con retraso al 1110delo que exhihe turhulencia química. LaJin~ímica hajo la inl1uencia del control es representada por

(7)

(6)+ l)y'2l1,

iJ,I' = f(lI) - ",

, 11(11-1)( v+/,)(JI 11 = ----- U ---

, 11

donde la variahle activ:Jdora It corresponde a la cohertura deCO adsorhido. mientras que la variahle inhihidora l' descriheun call1hio estructural. La función j(/l) es de la forma

La Fig . .5 muestra la implementación del control por re-troalimentación glohal. El control l1eva al sistema hacia un

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AN,\USIS NUMÉRICO DE CAOS ESPAClO.TEMPORAL EN SISTEMAS EXTE:'IDlDOS ESPACIALMENTE .. 15

estado homogéneo; no obstante, la señal de control permane-ce como una entidad que no se desvanece. Variando el valorde ~ipodemos ser capaces de estabilizar una gran cantidad dcestados oscilatorios no turbulentos .

..s.J. FOrlamiento: "Y sen (wt)

En eslc l'<lSO uno de los sitios (#1) de la serie de oscilado-res difusamente acoplados es perturbado con un forzamientoperiódico dc la forma indicada a continuación. Bajo la in-l1ucncia de forzamiento, la dinámica modificada de uno dclos osciladores (i = 1) (las ecuaciones de evolución para elreslo de los osciladores se mantienen intaclas) es representa.da por

FIGURA 6. Grálica cspncio-tiempo parn cl sistema de osciladoresacoplados con la implementación de forzamiento en un solo sitio.Estas pcrturhacioncs periódicas locales se propagan a los sitios vc-cinos. produciendo la aparición de un orden global. Los parámetrosdel sistema son (1 = O.H4, ~ = 0.12. b = -0.045 Y D = 1/5.2 Ylos parámetros de conlrol son I = -0.5 Yw = 0.05.

11(11-1)( "+IJ)Dlu = -.--- /l.---( /1

+ D'V211 - ¡'"'' (,,-,1). (lO)

La f'ig. 6 muestra la gr<ifica de espacio-tiempo para el sis-[ema extendido oajo el efecto del forzamiento local. Para laelecci6n apropiada de w y ,. esta figura muestra claramentela inducción de orden y su consecuente propagación mientrasque la supresión de la dinámica turoulenta es llevada a caoo.El estado estaoilizado es un tren de pulsos viajeros estahlesque se propagan en una dimensión espacial. Este control víaperturhaciones periódicas locales es aplicaole en situacionesexperimentales y se mantiene tanto tiempo como el forza-mienlo sea aplicado. Las perturbaciones periódicas locales sepropagan a los sitios vecinos, produciendo la aparición de unorden global.

UI" = ¡(II) - l'. (11 )

5. Discusión

Los resultados que se presentaron exhiben la aparición dedinámica compleja en sistemas químicos con dependenciatemporal y espacio temporal. y de hecho tanto las simulacio-nes como los experimentos revelan que bajo las condicionesapropiadas en los parámetros. se puede ohservar dinámicacaótica en el sistema. La complejidad ohservada es enton-ces analizada y suosecucntementc controlada usando el for-zamiento apropiado y/o técnica de retroalimentación. La su-presión de caos por mcdio de Sil convcrsión a una dinámicaperiódica o a la formación de patrones estables. puede ser degran importancia en aquellos sistemas donde la presencia decaos pueda provocar deficiencias en su desempeño.

Agradccimicnlos

Este trabajo ha sido realizado con el apoyo del proyectoNo. 26076-E (CONACYT. México).

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