Investigación de operaciones IAntecedentes de Investigación de Operaciones y tipos de modelos en IO

FRANCISCO JAVIER GAMBOA ESTRADA 252148 EMMANUEL ENRÍQUEZ GUTIÉRREZ 252132 EMMANUEL PORTILLO GARCÍA 245195

05/02/2014

Antecedentes históricos

El término IO se utiliza por primera vez en el año 1939 durante la 2da Guerra Mundial, específicamente cuando surge la necesidad de investigar las operaciones tácticas y estratégicas de la defensa aérea, ante la incorporación de un nuevo radar, en oportunidad de los ataques alemanes a Gran Bretaña. El avance acelerado de la tecnología militar hace que los ejecutivos y administradores militares británicos deban recurrir a los científicos, en pos de apoyo y orientación en la planificación de su defensa. El éxito de un pequeño grupo de científicos que trabajaron en conjunto con el ejecutivo militar a cargo de las operaciones en la “línea”, derivó en una mayor demanda de sus servicios y la extensión del uso de la metodología a USA, Canadá y Francia entre otros. Sin embargo, el origen de la Investigación Operativa puede considerarse como anterior a la Revolución Industrial, aunque fue durante este período que comienzan a originarse los problemas tipo que la Investigación Operativa trata de resolver. A partir de la Revolución Industrial y a través de los años se origina una segmentación funcional y geográfica de la administración, lo que da origen a la función ejecutiva o de integración de la administración para servir a los intereses del sistema como un todo.

La Investigación Operativa tarda en desarrollarse en el campo de la administración industrial. El uso de la metodología científica en la industria se incorpora al principiar los años 50, a partir de la 2da Revolución Industrial, propiciada por los avances de las Comunicaciones, y la Computación, que sientan las bases para la automatización, y por sobre todo por el florecimiento y bienestar económico de ese período.

Los primeros desarrollos de esta disciplina (IO) se refirieron a problemas de ordenamiento de tareas, reparto de cargas de trabajo, planificación y asignación de recursos en el ámbito militar en sus inicios, diversificándose luego, y extendiéndose finalmente a organizaciones industriales, académicas y gubernamentales.

1759 Quesnay (ecónomo) - Programación Matemática

1873 Jordan - Precursor de modelos lineales1896 Minkowsky - Precursor de modelos lineales1903 Farkas - Precursor de modelos lineales189~ Markov - Precursor modelos dinámicos

probabilísticos192~ Primer desarrollo de modelos de

inventarios191~ Erlang - Primeros estudios de líneas de

espera1920 30 Koning y Egervary - Métodos de

asignación (analíticos)1937 von Neuman - Teoría de juegos y de

preferencias1939 Kantorovich - Problemas de distribución

1945 2da guerra - Logística estratégica para vencer al enemigo1945 Finales 2da Guerra - Logística de distribución de recursos de los aliados (Rand

Corporation- Fuerza aérea norteamericana).1947 Dantzig, George - Método simplex en base al trabajo de

precursores, inicio a la Programación Lineal.1950-60 - BellmanProgramación dinámica.

- Kuhn y Tucker - Programación No Lineal. - Gomory - Programación Entera. - Ford y Fulkerson - Redes de optimización. - Markowitz - Simulación. - Arrow, Karloin, Scarf, Whitin - Inventarios. - Rafia - Análisis de Decisiones. - Howard - Procesos Markovianos de Decisión. - Churchman, Ackoff, Arnoff - Orientación a sistemas generalización de la Investigación Operativa.

1970 y parte década 80 - Receso en el uso de la Investigación de Operaciones1985 Reflorecimiento de la disciplina con el devenir del control

automático industrial, las microcomputadoras y las nuevas interfaces gráficas que impulsan el desarrollo de los Sistemas Automatizados de Apoyo a la Toma de Decisiones, donde la Investigación Operativa juega un papel preponderante.

Actualmente IO se aplica al sector privado y público, a la industria, los sistemas de Comercialización, financieros, de transportes, de salud etc., en los países desarrollados, “en vías de” y en los del tercer mundo.

¿Qué es la Investigación de Operaciones?

Una posible definición es: la Investigación Operativa es la aplicación del método científico por equipos interdisciplinarios a problemas que comprenden el control y gestión de sistemas organizados (hombre- máquina); con el objetivo de encontrar soluciones que sirvan mejor a los propósitos del sistema (u organización) como un todo, enmarcados en procesos de toma de decisiones.

Los pasos a seguir en la aplicación del método científico (coincidentes con los de la Teoría General de Sistemas) son, en su expresión más simple:

1.- Planteo y Análisis del problema

2.- Construcción de un modelo

3.- Deducción de la(s) solución(es)

4.- Prueba del modelo y evaluación de la(s) solución(es)

5.- Ejecución y Control de la(s) solución(es)

HERRAMIENTAS DE IO

1. Programación Lineal

Permiten optimizar los recursos en operaciones de opciones múltiples. Una de sus aplicaciones es el método de camino crítico (MCC); esta técnica es de mayor aplicación sobre todo en proyectos nuevos, puesto que permite encontrar el tiempo mínimo para realizarlo (ruta crítica).

Este procedimiento tiene como objetivo, minimizar los costos y maximizar la eficiencia mediante ciertos límites y obligaciones. Un requisito indispensable es que exista una localización de planta y hay que tomar en cuenta ciertas variables de materia prima, lugar de venta, etc.

2. Teoría de Colas

Es una herramienta valiosa para llegar a decisiones que requieren un balance óptimo entre el costo del servicio y el costo por pérdidas de espera, porque, al analizar "las colas" de espera, se pueden detectar costos muy grandes debido a deserciones, entre otras cosas. Sirven también para analizar cuellos de botella en la producción, e inclusive para programar el mantenimiento en una planta. Ejemplo: Las "unicolas" de los bancos, los parques de diversiones, la sala de espera del Doctor, etc. Su objetivo es optimizar distribuciones en condiciones de aglomeraciones. Se encarga de eliminar los tiempos de espera o demoras innecesarias y los puntos de interés son el tiempo de espera y el número de clientes (las unifilas de los bancos son una solución por éste medio).

3. Teoría de la Probabilidad:

Sirve para tomar una decisión entre varias alternativas de la solución, para comprender ésta teoría es necesario entender el concepto de toma de decisiones el cual se define a continuación: es el proceso de selección de una alternativa dentro de un conjunto de más de dos de éstas. Para una correcta toma de decisiones se requiere conocer el riesgo de cada alternativa y la probabilidad de éxito. Esto no es fácil debido a que el administrador no cuenta con toda la información del medio ambiente por lo que muchas decisiones se toman con un alto grado de riesgo; sin embargo podemos afirmar que las buenas decisiones no son producto del azar, sino de la buena y oportuna información y del conocimiento de la probabilidad, a fin de saber cuándo asumir un riesgo.Es un sistema que se utiliza cuando los datos son difíciles de obtener. El sistema estadístico muestra las características que debe tener una alternativa para que pueda ser elegida. Este sistema se utiliza mucho en control de calidad, créditos, seguros, etc. Este sistema permite conocer la probabilidad de éxito que tiene una alternativa.

4. Econometría Administrativa:

Disciplina que se encarga de medir la economía o el estado de un microsistema. Los administradores han recurrido a las matemáticas para estudiar el comportamiento de un mercado, en cuanto a precios, ingresos, preferencias de consumo y canales de distribución adecuados; es decir, la mercadotecnia o investigación de mercados es una parte de lo que conocemos como econometría.

5.-Teoría de juegos:

En esta teoría se analizan los conflictos. En él intervienen dos o más personas; a cada una se le da un número limitado de estrategias las cuáles reflejarán el resultado de cada uno de los cursos de acción. Los resultados son calculados preferentemente por medio de una matriz.

6.-Programación dinámica:

Este tipo de programación se utiliza cuando antes de llegar al objetivo final tenemos que pasar por ciertas fases intermedias, pero relacionadas y que si una de ellas no se logra adecuadamente se afecta el objetivo final.

Ejemplo: vendedores que tienen programadas una serie de visitas a sus clientes.

7.-Simulación de Computadora

Permite mediante la simulación de un problema o método, a través del uso de un programa por computadora, anticiparnos a conocer el impacto o resultado de un problema.

TIPOS DE MODELOS Y FUNCIONES

¿Qué es un modelo?

Un modelo es una representación de la realidad, es una representación explicita y externa de parte de la realidad como la ven las personas que desean usar el modelo para cambiar, entender, gestionar y controlar dicha parte de la realidad.

Los modelos son explícitos se construyen manejan y modifican como tales. Y aunque no se debe confundir el modelo con la realidad, el modelo debe tener una imagen física sobre la que los diferentes actores puedan opinar.Los modelos son externos mientras los modelos no tienen una representación externa respecto del modelador son simplemente una teoría mental del mismo. En esa presentación externa radica una de las grandes ventajas de los modelos: ponen negro sobre blanco los pensamientos, los datos, las hipótesis y las intuiciones. Este esfuerzo es más que suficiente, en algunas ocasiones, para reconocer que no hay tal modelo sino un conjunto de prejuicios. Una etapa bastante habitual en el ciclo de vida de un modelo exige, tras uno (o varios) intentos10 de modelado, cambiar de herramienta de modelado, puesto que el mejor entendimiento del problema provoca cambios radicales en la percepción de la realidad.

¿PARA QUE SIRVEN LOS MODELOS?

En atención a lo anterior se pueden definir tres ámbitos de utilidad de los modelos en la Investigación de Operaciones:

Aprender / EntenderUna vez construido el modelo, se puede utilizar su ejecución para conocer como el sistema actúa y reacciona. Es, por ejemplo, el caso de los “simuladores de vuelo” utilizados para el entrenamiento de los futuros pilotos. Además el modelo, como representación externa y explícita, puede Permitirnos conocer errores y fundamentalmente (de) mostrarlos. De tal modo que el responsable del error pueda reconocer sus equivocaciones sin que nadie tenga que “decírselo a la cara” (lo dice el ordenador).

Implementar en un ordenadorLa automatización de procesos exige el modelado previo. Si se desea gestionar la información que genera una empresa, o implementar un sistema de gestión de recursos humanos es necesario realizar un modelo de dicha empresa que comprenda de la manera más eficiente posible toda la información vinculada. Cuanto más general sea el modelo, mayor será la cantidad de empresas a las que se las podrá aplicar el mismo software.

Tomar decisionesLos modelos construidos permiten mediante su resolución ayudar a la toma de decisiones generando soluciones óptimas dado un objetivo establecido. Asimismo pueden ser utilizados para evaluar el impacto de tomar decisiones, antes de tomarlos, y de este modo elegir la que más se ajuste a la solución. Pero además, desarrollar el modelo, ejecutarlo y analizar las soluciones permite objetivar el proceso de análisis, permite “pintar una realidad” que todos tienen que aceptar, o aportar datos que mejoren el modelo.

CICLO DE VIDA EN LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS

No existe un método para construir un modelo perfecto de modo directo. En cualquier caso se puede decir que en la definición de cualquier modelo hay tres etapas o hitos básicos que se concretan en:• Definir el Problema. Esta fase incluye entender y estructurar el problema y acordar los resultados a obtener.• Modelar y Construir la Solución. Esta fase incluye definir el tipo de técnica a utilizar, generar el modelo (implementarlo informáticamente si es el caso) y por último validarlo.• Utilizar la Solución. Un modelo perfecto que no se utilice es un modelo perfectamente inútil.

Ser capaz de implementar el modelo de tal manera que el cliente lo utilice, y mantener un concreto sistema de actualización son los dos elementos básicos de esta fase. Cualquiera de las etapas citadas exige replantearse siempre la vuelta al principio del proceso. La mejor comprensión de la realidad puede llevar (lleva) a cambiar el tipo (o tipos) de técnica a utilizar para alcanzar el objetivo propuesto.

TIPOS DE MODELO

MODELO ICÓNICO Es una representación física de algunos objetos, ya sea en forma idealizada (bosquejos) o a escala distinta. Ejemplo: Planos y mapas (dos dimensiones).Maquetas y prototipos (4 dimensiones).

MODELO ANALÓGICO Puede representar situaciones dinámicas o cíclicas, son más usuales y pueden representar las características y propiedades del acontecimiento que se estudia. Ejemplo: Curvas de demanda. Curvas de distribución de frecuencia en las estadísticas y diagramas de flujo.

MODELO DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICALos modelos matemáticos son modelos formales que utilizan el lenguaje de las matemáticas para escribir un sistema, expresando parámetros, variables, relaciones. El lenguaje matemático no se limita a la expresión de números y operadores aritméticos que los relacionan. Así por ejemplo la teoría de grafos, ampliamente utilizada en aplicaciones prácticas, es un “subconjunto” de la más general teoría de conjuntos.Los modelos matemáticos tienen dos componentes básicos:• Datos: Valores conocidos y constantes.• Variables: Valores que se calculan.• Mediante la combinación lineal de los mismos se generan:• Función Objetivo que debe minimizarse o maximizarse.• Restricciones que establece límites al espacio de soluciones.

Los modelos matemáticos se pueden clasificar de múltiples maneras. Una clasificación de Modelos de Programación Matemática. Una clasificación de los modelos de programación matemática podría tener en cuenta las siguientes características:- Estructura, objetivos y restricciones (lineales o no-lineales)- Características de las Variables (Reales, Discretas -Enteras-, Binarias)- Certidumbre de los Parámetros (Ciertos e Inciertos)- Número de Objetivos (Ninguno, Uno o más de Uno)- Número de Restricciones (Ninguna, Más de Cero)

Modelos NormativosLos modelos normativos exigen el planteamiento de un modelo matemático (probablemente en forma de función objetivo y restricciones). Los modelos cuya estructura se ajusta a algunos de los patrones clásicos para los que es factible la optimización (programación lineal por ejemplo) forman el subconjunto de modelos de optimización. En ocasiones la estructura del modelo impide el uso de algún método de optimización conocido, es por ello que se plantean los procedimientos heurísticos de resolución que, si bien no garantizan óptimos, permiten encontrar soluciones en espacios cortos de tiempo.

Modelos DescriptivosLos modelos descriptivos abarcan todas aquellas técnicas de modelado que no comportan la definición de estructuras matemáticas que definen una solución como la deseable para ser implementada. Entre los modelos descriptivos se pueden citar los modelos de simulación, la teoría de colas e incluso las técnicas de previsión entre otras. Algunos de los modelos descriptivos llevan aparejada una carga matemática importante, mientras que otros su estructura no es de tipo matemático. Aunque ello no les quita ni un ápice de formalidad. Por poner un ejemplo los modelos IDEF-0 son altamente formales y estándar. Aunque tienen aspecto de grafo, no necesariamente debieran ser incluidos entre los que se denominan Modelos Matemáticos.

Tipos de Modelos Matemáticos

1. Cuantitativos y cualitativos. La mayor parte de los problemas de un negocio u organización comienzan con un análisis y definición de un modelo cualitativo y se avanza gradualmente hasta obtener un modelo cuantitativo. La investigación de operaciones se ocupa de la sistematización de los modelos cualitativos y de su desarrollo hasta el punto en que pueden cuantificarse. Cuando es posible construir uno modelo matemático insertando símbolos para representar relaciones entre constantes y variables estamos ante un modelo cuantitativo. Una ecuación es un modelo de este tipo. Las formulas, las matrices, los diagramas o series de valores que se obtienen mediante procesos matemáticos.

2. Estándares y hechos a la medida. Se llaman modelos estándar a los que solo hay que insertar o sustituir diferentes valores con el fin de obtener un valor a una respuesta de un sistema y son aplicables al mismo tipo de problemas en negocios afines. Ejemplo:

•El cálculo de costos o gastos.•El cálculo de las ganancias, etc.Se llaman modelos hechos a la medida cuando se crean modelos para resolver un caso de problema en específico que se ajusta únicamente a este problema.

3. Probabilísticas y determinísticosLos modelos que se basan en las probabilidades y estadísticas y que se ocupan de incertidumbres futuras se llaman probabilísticas y los modelos que no tienen consideraciones probabilísticas se llaman determinísticos el PERT, los inventarios, la programación lineal, enfocan su atención en aquellas circunstancias que son críticas y en los que las cantidades son determinadas y exactas.

4. Descriptivos y de optimizaciónCuando un modelo constituye sencillamente una descripción matemática de una condición real del sistema se llama descriptiva. Algunos de estos modelos se emplean para mostrar geográficamente una situación y ayudan al observador a evaluar resultados por secciones una sobre otra. Puede obtenerse una solución, sin embargo, en este modelo solo se intenta describir la situación y no escoger una alternativa.Cuando con la aplicación del modelo se llega a una solución óptima de acuerdo con los criterios de entrada, se trata de un modelo de optimización.

5. Estáticos y dinámicosLos modelos estáticos se ocupan de determinar una respuesta para una serie especial de condiciones fijas que probablemente no cambiaran significativamente a corto plazo es decir, la solución esta basada en una condición estática. Un modelo dinámico por el contrario esta sujeto al factor tiempo que desempeña un papel esencial en la secuencia de las decisiones, independientemente de cuales hayan sido las decisiones anteriores. A la programación dinámica pertenecen estos modelos.

6. De simulación y no simulaciónCon el uso de la computadora es fácil preparar un modelo simulado paso por paso donde se puede reproducir el funcionamiento de sistemas o problemas de gran escala. En un modelo de simulación los datos de entrada pueden ser reales o generados en forma aleatoria. Los modelos que no se prestan para usar datos empíricos o simulados en forma aleatoria son modelos no simulados como los de optimización o los creados a la medida.

7. Programación LinealEntre los tipos de modelos de uso más generalizado en Programación Matemática se encuentra la denominada Programación Lineal. Ésta, en su forma más básica, consiste en un conjunto de variables reales, que mediante combinación lineal de parámetros ciertos, permite establecer un objetivo y restricciones lineales. Los fundamentos matemáticos de los modelos lineales se encuentran en la teoría de las desigualdades lineales desarrollada en el siglo XIX como se puede leer en (Poler 2001). Aunque se encuentran precedentes en distintos campos (teoría de juegos, definición de dietas, problemas de transporte...), la formulación y resolución general de los problemas de Programación Lineal fue realizada en el proyecto SCOOP, lanzado en 1947 por el ejército del aire de los Estados Unidos de Norteamérica, dando lugar al algoritmo denominado Simplex expuesto inicialmente por Dantzig en 1947. En menos de 10 años la Programación Lineal experimento un fuerte desarrollo con trabajos que abordaron, entre otros temas, la degeneración, la dualidad y las formas compactas.

8. Programación Lineal Entera

Si a alguna de las variables de un problema lineal se le impone la condición de integridad el problema pasa a ser de Programación Lineal Entera Mixta. Si todas son variables enteras, el problema pasa a ser de Programación Lineal Entera. La condición de integridad puede venir impuesta, entre otros motivos, por el imposible fraccionamiento de determinados recursos. Uno de los procedimientos más efectivos para la resolución de este tipo de problemas se fundamenta en el concepto de ramificación y cota. Una variante especial de los problemas de Programación Lineal Entera lo constituyen aquellos donde algunas variables son bivalentes. El uso de este tipo de variables tiene su origen en la representación de aquellas decisiones que sólo admiten dos valores, pero también aquellos problemas que exigen restricciones de tipo lógico. Una gran cantidad de problemas reales se puede modelar utilizando variables enteras y restricciones lineales. En la mayor parte estos los valores que pueden adoptar las variables enteras son 0-1. Tales valores se utilizan para modelar decisiones “si o no”. Como se verá en los siguientes apartados, es posible establecer relaciones lógicas entre restricciones, usando este tipo de variables y manteniendo la linealidad.

9. Programación Estocástica

Si a los problemas de Programación Matemática (en general) se les incorpora la incertidumbre en los parámetros, esta incertidumbre se puede abordar mediante la denominada Programación Estocástica. Una variante de la misma especialmente interesante es la Programación Lineal Estocástica, que puede ser resuelta de modo óptimo, aunque con un coste computacional elevado. Uno de los mecanismos para abordar la incertidumbre en los datos es el uso de los denominados escenarios. Estos constituyen un posible conjunto de valores para los parámetros. Se utiliza cuando hay una serie de parametros especiales. Existen diferentes modos de formular mediante un problema de Programación Lineal un Problema Estocástico aunque básicamente consiste en obtener una decisión para el instante actual teniendo en cuenta los escenarios futuros. De este modo la decisión a tomar no será óptima, en general, para ninguno de los escenarios aunque sí para el conjunto de ellos. Otro modo de abordar la estocasticidad en los parámetros es obtener el óptimo para cada escenario y comparar el valor que esta decisión tendría ara el resto de escenarios, eligiendo como decisión definitiva la más buena, o la menos mala

10. Programación No-Lineal

Si a los modelos de Programación Lineal se les elimina el requerimiento de que la función objetivo o las restricciones sean lineales, se obtienen modelos de Programación No-Lineal. La eliminación del requerimiento de linealidad se suele fundamentar en la estructura no-lineal del objeto, o parte de él, a modelar. En realidad debiera ser planteado al revés, la realidad es generalmente no lineal y al linealizar estamos constriñendo el modelo. El teorema de optimalidad de Karush Kuhn y Tucker (más conocidas por condiciones KKT) que establecen las condiciones necesarias de optimalidad en problemas no lineales. Es de destacar que dichas condiciones no son suficientes sino necesarias.

11. Modelos de Optimización Combinatoria

La Optimización Combinatoria es una rama de la Investigación Operativa que consiste en encontrar la solución óptima a un problema en que cada solución está asociada a un determinado valor (el valor de la solución).El término Combinatoria hace a la rama de la matemática que estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen unos criterios especificados, y se ocupa, en particular, del "recuento" de los objetos de dichas colecciones (combinatoria enumerativa) y del problema de determinar si cierto objeto "óptimo" existe (combinatoria extrema). Los problemas de optimización combinatoria tratan de encontrar la mejor solución de entre un conjunto de ítems discreto y por tanto finito. En principio cualquier algoritmo constructivo o de búsqueda podría encontrar la solución óptima, pero no necesariamente tiene porqué garantizarla.

12. Teoría de Grafos

La Teoría de Redes es una rama de la teoría de conjuntos basada en los trabajos de Köning. En aquel momento, era para el autor, la rama de la teoría de conjuntos con más futuro. De hecho aporta una ayuda eficaz para modelar y resolver determinados problemas de carácter combinatorio que aparecen en los más diversos dominios. La teoría de redes, o de grafos, incluye un modo de representar y un soporte matemático para resolver. El modo de representar es intuitivo en su forma más simple, por su relación con la realidad física, de determinados tipos de problemas. El soporte matemático es especial para cada tipo de problema, que suelen ser complejos problemas de combinatoria, permite resolverlo de modo más simple que al utilizar la Programación Matemática convencional.

FUENTES

http://www.fing.edu.uy/inco/cursos/io/archivos/teorico/todo.pdf

http://www.mailxmail.com/curso-escuela-matematica/herramientas-matematicas-investigacion-operaciones

“Investigación de Operaciones". Hamdy A. Taha. Quinta edición. Alfaomega.