En el pasado, las matemticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometra), a los nmeros (como en la aritmtica), o a la generalizacin de ambos (como en el lgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta ltima nocin abarca la lgica matemtica o simblica, ciencia que consiste en utilizar smbolos para generar una teora exacta de deduccin e inferencia lgica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas ms complejos.Trataremos la evolucin de los conceptos e ideas matemticas siguiendo su desarrollo histrico. En realidad, las matemticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseos prehistricos de cermica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geomtrico y del inters en figuras geomtricas. Los sistemas de clculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numricos en los que las bases son los nmeros 5 y 10.Las matemticas en la antigedadLas primeras referencias a matemticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemticas estaban dominadas por la aritmtica, con cierto inters en medidas y clculos geomtricos y sin mencin de conceptos matemticos como los axiomas o las demostraciones.Los primeros libros egipcios, escritos hacia el ao 1800a.C., muestran un sistema de numeracin decimal con distintos smbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100), similar al sistema utilizado por los romanos. Los nmeros se representaban escribiendo el smbolo del 1 tantas veces como unidades tena el nmero dado, el smbolo del 10 tantas veces como decenas haba en el nmero, y as sucesivamente. Para sumar nmeros, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas de cada nmero. La multiplicacin estaba basada en duplicaciones sucesivas y la divisin era el proceso inverso.Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (a), junto con la fraccin B, para expresar todas las fracciones.Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritmticos con fracciones, as como problemas algebraicos elementales. En geometra encontraron las reglas correctas para calcular el rea de tringulos, rectngulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirmides. Para calcular el rea de un crculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado Udel dimetro del crculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14).El sistema babilnico de numeracin era bastante diferente del egipcio. En el babilnico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cua (cuneiforme); una cua sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10 . Los nmeros menores que 59 estaban formados por estos smbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemticas egipcias. El nmero 60, sin embargo, se representaba con el mismo smbolo que el 1, y a partir de ah, el valor de un smbolo vena dado por su posicin en el nmero completo. Por ejemplo, un nmero compuesto por el smbolo del 2, seguido por el del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 602+ 27 60 + 10. Este mismo principio fue ampliado a la representacin de fracciones, de manera que el ejemplo anterior poda tambin representar 2 60 + 27 + 10 (), o 2 + 27 () + 10 ()-2. Este sistema, denominadosexagesimal(base 60), resultaba tan til como el sistema decimal (base 10).Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemticas ms sofisticadas que les permitieron encontrar las races positivas de cualquier ecuacin de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las races de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas ms complicados utilizando el teorema de Pitgoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de inters compuesto. Adems, calcularon no slo la suma de progresiones aritmticas y de algunas geomtricas, sino tambin de sucesiones de cuadrados. Tambin obtuvieron una buena aproximacin de.Las matemticas en GreciaLos griegos tomaron elementos de las matemticas de los babilonios y de los egipcios. La innovacin ms importante fue la invencin de las matemticas abstractas basadas en una estructura lgica de definiciones, axiomas y demostraciones. Segn los cronistas griegos, este avance comenz en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitgoras de Samos.............................................................................................................................................................................................Tales de Mileto(Mileto, actual Grecia, 624 a.C.-?, 548 a.C.)Filosfo y matemtico griego. Ninguno de sus escritos ha llegado hasta nuestros das; a pesar de ello, son muy numerosas las aportaciones que a lo largo de la historia, desde Herodoto, Jenfanes o Aristteles, se le han atribuido. Entre las mismas cabe citar los cinco teoremas geomtricos que llevan su nombre (todos ellos resultados fundamentales), o la nocin de que la esencia material del universo era el agua o humedad.Aristteles consider a Tales como el primero en sugerir un nico sustrato formativo de la materia; adems, en su intencin de explicar la naturaleza por medio de la simplificacin de los fenmenos observables y la bsqueda de causas en el mismo entorno natural, Tales fue uno de los primeros en trascender el tradicional enfoque mitolgico que haba caracterizado la filosofa griega de siglos anteriores........................................................................................................................................................................................Pitgoras ense la importancia del estudio de los nmeros para poder entender el mundo. Algunos de sus discpulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teora de nmeros y la geometra, que se atribuyen al propio Pitgoras........................................................................................................................................................................................Pitgoras(isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.-Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.)Filsofo y matemtico griego. Se tienen pocas noticias de su vida que puedan considerarse fidedignas, ya que su condicin de fundador de una secta religiosa propici la temprana aparicin de una tradicin legendaria en torno a su persona. Parece seguro que fue hijo de Mnesarco y que la primera parte de su vida la pas en Samos, la isla que probablemente abandon unos aos antes de la ejecucin de su tirano Polcrates, en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este ltimo pas, cuna del conocimiento esotrico, se le atribuye haber estudiado los misterios, as como geometra y astronoma.Algunas fuentes dicen que march despus a Babilonia con Cambises, para aprender all los conocimientos aritmticos y musicales de los sacerdotes. Se habla tambin de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en Crotona, donde goz de considerable popularidad y poder. La comunidad liderada por Pitgoras acab, plausiblemente, por convertirse en una fuerza poltica aristocratizante que despert la hostilidad del partido demcrata, de lo que deriv una revuelta que le oblig a pasar los ltimos aos de su vida en Metaponto. La comunidad pitagrica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discpulos deban esperar varios aos antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseanzas recibidas. Las mujeres podan formar parte de la cofrada; la ms famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quiz del propio Pitgoras y madre de una hija y de dos hijos del filsofo.El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal asctico y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificacin ritual (catarsis) de sus miembros a travs del cultivo de un saber en el que la msica y las matemticas desempeaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofa, trmino que, segn la tradicin, Pitgoras fue el primero en emplear en su sentido literal de amor a la sabidura. Tambin se le atribuye haber transformado las matemticas en una enseanza liberal mediante la formulacin abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; ste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relacin entre los lados de un tringulo rectngulo, una relacin de cuyo uso prctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega.El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemtico a partir de su cumplimiento en casos particulares, ejemplifica el mtodo pitagrico para la purificacin y perfeccin del alma, que enseaba a conocer el mundo como armona; en virtud de sta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposicin armnica que haca que sus distancias estuvieran entre s en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armona era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numrico, y si todo era armona, el nmero resultaba ser la clave de todas las cosas. La voluntad unitaria de la doctrina pitagrica quedaba plasmada en la relacin que estableca entre el orden csmico y el moral; para los pitagricos, el hombre era tambin un verdadero microcosmos en el que el alma apareca como la armona del cuerpo. En este sentido, entendan que la medicina tena la funcin de restablecer la armona del individuo cuando sta se viera perturbada, y, siendo la msica instrumento por excelencia para la purificacin del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para el cuerpo.La santidad predicada por Pitgoras implicaba toda una serie de normas higinicas basadas en tabes como la prohibicin de consumir animales, que parece haber estado directamente relacionada con la creencia en la transmigracin de las almas; se dice que el propio Pitgoras declar ser hijo de Hermes, y que sus discpulos le consideraban una encarnacin de Apolo..........................................................................................................................................................................................En el siglo V a.C., algunos de los ms importantes gemetras fueron el filsofo atomista Demcrito de Abdera, que encontr la frmula correcta para calcular el volumen de una pirmide, e Hipcrates de Cos, que descubri que el rea de figuras geomtricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos tringulos........................................................................................................................................................................................Demcrito de Abdera(Abdera?, hoy desaparecida, actual Grecia, h. 460 a.C.-id.?, h. 370 a.C.)Filsofo griego. Fue tan famoso en su poca como Platn o Aristteles y debi de ser uno de los autores ms prolficos de la Antigedad, aunque slo se conservan fragmentos de algunas de sus obras, en su mayora de las dedicadas a la tica, pese a que se le atribuyen diversos tratados de fsica, matemticas, msica y cuestiones tcnicas. Fund la doctrina atomista, que conceba el universo constituido por innumerables corpsculos o tomos sustancialmente idnticos, indivisibles (tomo significa, en griego, inseparable), eternos e indestructibles, que se encuentran en movimiento en el vaco infinito y difieren entre s nicamente en cuanto a sus dimensiones, su forma y su posicin. La inmutabilidad de los tomos se explica por su solidez interior, sin vaco alguno, ya que todo proceso de separacin se entiende producido por la posibilidad de penetrar, como con un cuchillo, en los espacios vacos de un cuerpo; cualquier cosa sera infinitamente dura sin el vaco, el cual es condicin de posibilidad del movimiento de las cosas existentes.Todo cuanto hay en la naturaleza es combinacin de tomos y vaco: los tomos se mueven de una forma natural e inherente a ellos y, en su movimiento, chocan entre s y se combinan cuando sus formas y dems caractersticas lo permiten; las disposiciones que los tomos adoptan y los cambios que experimentan estn regidos por un orden causal necesario. En el universo, las colisiones entre tomos dan lugar a la formacin de torbellinos a partir de los que se generan los diferentes mundos, entre los cuales algunos se encuentran en proceso de formacin, mientras que otros estn en vas de desaparecer. Los seres vivos se desarrollan a partir del cieno primitivo por la accin del calor, relacionado con la vida como tambin lo est el fuego; de hecho, los tomos del fuego y los del alma son de naturaleza similar, ms pequeos y redondeados que los dems. La tica de Demcrito se basa en el equilibrio interno, conseguido mediante el control de las pasiones por el saber y la prudencia, sin el recurso a ninguna idea de justicia o de naturaleza que se sustraiga a la interaccin de los tomos en el vaco. Segn Demcrito, la aspiracin natural de todo individuo no es tanto el placer como la tranquilidad de espritu (eutimia); el placer debe elegirse y el dolor, evitarse, pero en la correcta discriminacin de los placeres radica la verdadera felicidad.........................................................................................................................................................................................Hipcrates de Cos, llamado el Grande(Isla de Cos, actual Grecia, 460 a.C.-Larisa, id., 370 a.C.)Mdico griego. Segn la tradicin, descenda de una estirpe de magos de la isla de Cos y estaba directamente emparentado con Esculapio, el dios griego de la medicina. Contemporneo de Scrates y Platn, ste lo cita en diversas ocasiones en sus obras. Al parecer, durante su juventud visit Egipto, donde se familiariz con los trabajos mdicos que la tradicin atribuye a Imhotep. Aunque sin base cierta, se le considera autor de una especie de enciclopedia mdica de la Antigedad constituida por varias decenas de libros (entre 60 y 70).En sus textos, que en general se aceptan como pertenecientes a su escuela, se defiende la concepcin de la enfermedad como la consecuencia de un desequilibrio entre los llamados humores lquidos del cuerpo, es decir, la sangre, la flema y la bilis amarilla o clera y la bilis negra o melancola, teora que desarrollara ms tarde Galeno y que dominara la medicina hasta la Ilustracin. Para luchar contra estas afecciones, el corpus hipocrtico recurre al cauterio o bistur, propone el empleo de plantas medicinales y recomienda aire puro y una alimentacin sana y equilibrada.Entre las aportaciones de la medicina hipocrtica destacan la consideracin del cuerpo como un todo, el nfasis puesto en la realizacin de observaciones minuciosas de los sntomas y la toma en consideracin del historial clnico de los enfermos. En el campo de la tica de la profesin mdica se le atribuye el clebre juramento que lleva su nombre, que se convertir ms adelante en una declaracin deontolgica tradicional en la prctica mdica, que obliga a quien lo pronuncia, entre otras cosas, a entrar en las casas con el nico fin de cuidar y curar a los enfermos, evitar toda sospecha de haber abusado de la confianza de los pacientes, en especial de las mujeres y mantener el secreto de lo que crea que debe mantenerse reservado.Aunque inicialmente atribuida en su totalidad a Hipcrates, la llamada coleccin hipocrtica es en realidad un conjunto de escritos de temtica mdica que exponen tendencias diversas, que en ciertos casos pueden incluso oponerse entre s. Estos escritos datan, por regla general, del perodo comprendido entre los aos 450 y 350 a.C., y constituyen la principal fuente a travs de la cual es posible hoy hacerse una idea de las prcticas y concepciones mdicas anteriores a la poca alejandrina.En esta coleccin, la llamada Antigua medicina es uno de los tratados ms antiguos y ms clebres y en l sugiere el autor, entre otras propuestas, investigar el origen del arte que practica, origen que halla en el deseo de ofrecer al ser humano un rgimen de vida y, en especial, una forma de alimentacin que se adapte de una manera completamente racional a la satisfaccin de sus necesidades ms inmediatas. Por este motivo, considera por ejemplo el aprendizaje de la correcta coccin de los alimentos como una primera manifestacin de la bsqueda de una existencia mejor. Por otro lado, los textos de la coleccin hipocrtica demuestran sin lugar a dudas que la prctica de la observacin precisa no era en el conjunto de la medicina griega una conquista de la poca clsica, sino que ms bien constitua una tradicin slidamente afianzada en el pasado y que a mediados del siglo V haba alcanzado ya un notable nivel de desarrollo.........................................................................................................................................................................................Este descubrimiento est relacionado con el famoso problema de la cuadratura del crculo (construir un cuadrado de rea igual a un crculo dado). Otros dos problemas bastante conocidos que tuvieron su origen en el mismo perodo son la triseccin de un ngulo y la duplicacin del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos mtodos, utilizando instrumentos ms complicados que la regla y el comps. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentos bsicos.A finales del siglo V a.C., un matemtico griego descubri que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades esinconmensurable.Esto significa que no existen dos nmeros naturalesmyncuyo cociente sea igual a la proporcin entre el lado y la diagonal. Dado que los griegos slo utilizaban los nmeros naturales (1, 2, 3), no pudieron expresar numricamente este cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este nmero es lo que hoy se denominanmero irracional). Debido a este descubrimiento se abandon la teora pitagrica de la proporcin, basada en nmeros, y se tuvo que crear una nueva teora no numrica. sta fue introducida en el siglo IV a.C. por el matemtico Eudoxo de Cnido, y la solucin se puede encontrar en losElementosde Euclides. Eudoxo, adems, descubri un mtodo para demostrar rigurosamente supuestos sobre reas y volmenes mediante aproximaciones sucesivas.........................................................................................................................................................................................Eudoxo de Cnidos(Cnidos, actual Turqua, 400 a.C.-id., 350 a.C.) Astrnomo y matemtico griego.Estudi matemticas con Arquites, filosofa en la escuela de Platn en Atenas y astronoma en Helipolis. Fue el primero en dar una explicacin sistemtica de los movimientos del Sol, la Luna y los planetas: para ello, construy un modelo de 27 esferas concntricas en el que la esfera exterior corresponda a las estrellas como puntos fijos en el cielo y en el centro, la esfera Tierra. As mismo, dividi la esfera celeste en grados de longitud y latitud. En matemticas se atribuye a Eudoxo la teora de la proporcin que se encuentra en el libro V de Euclides, adems de la elaboracin de un mtodo de calcular reas y volmenes delimitados por curvas........................................................................................................................................................................................Euclides, matemtico y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandra, tambin escribi tratados sobre ptica, astronoma y msica. Los trece libros que componen susElementoscontienen la mayor parte del conocimiento matemtico existente a finales del siglo IV a.C., en reas tan diversas como la geometra de polgonos y del crculo, la teora de nmeros, la teora de los inconmensurables, la geometra del espacio y la teora elemental de reas y volmenes........................................................................................................................................................................................Euclides(?, h. 330 a.C.-?, h. 275 a.C.)Matemtico griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la vida de quien fue el matemtico ms famoso de la Antigedad. Se educ probablemente en Atenas, lo que explicara con su buen conocimiento de la geometra elaborada en la escuela de Platn, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristteles.Ense en Alejandra, donde alcanz un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de TolomeoISter; se cuenta que ste le requiri para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemticas, a lo que Euclides repuso que no exista una va regia para llegar a la geometra (el epigrama, sin embargo, se atribuye tambin a Menecmo como rplica a una demanda similar por parte de AlejandroMagno). La tradicin ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable amabilidad y modestia, y ha transmitido as mismo una ancdota relativa a su enseanza, recogida por Juan Estobeo: un joven principiante en el estudio de la geometra le pregunt qu ganara con su aprendizaje; Euclides, tras explicarle que la adquisicin de un conocimiento es siempre valiosa en s misma, orden a su esclavo que diera unas monedas al muchacho, dado que ste tena la pretensin de obtener algn provecho de sus estudios. Fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos, los "Elementos", que rivaliza por su difusin con las obras ms famosas de la literatura universal, como la Biblia o el Quijote. Se trata, en esencia, de una compilacin de obras de autores anteriores (entre los que destaca Hipcrates de Quos), que las super de inmediato por su plan general y la magnitud de su propsito. De los trece libros que la componen, los seis primeros corresponden a lo que se entiende todava como geometra elemental; recogen las tcnicas geomtricas utilizadas por los pitagricos para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadrticas, e incluyen tambin la teora general de la proporcin, atribuida tradicionalmente a Eudoxo. Los libros del sptimo al dcimo tratan de cuestiones numricas y los tres restantes se ocupan de geometra de los slidos, hasta culminar en la construccin de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que haba sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto.La influencia posterior de los "Elementos" fue decisiva; tras su aparicin, se adopt inmediatamente como libro de texto ejemplar en la enseanza inicial de la matemtica, con lo cual se cumpli el propsito que debi de inspirar a Euclides. Ms all, incluso, del mbito estrictamente matemtico, fue tomado como modelo, en su mtodo y exposicin, por autores como Galeno, para la medicina, o Espinoza, para la tica. De hecho, Euclides estableci lo que, a partir de su contribucin, haba de ser la forma clsica de una proposicin matemtica: un enunciado deducido lgicamente a partir de unos principios previamente aceptados. En el caso de los "Elementos", los principios que se toman como punto de partida son veintitrs definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones comunes.La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente discusin a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al quinto (postulado de las paralelas). Su condicin distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigedad, y hubo diversas tentativas de demostrarlo como teorema; los esfuerzos por hallarle una demostracin prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando se puso de manifiesto que era posible definir geometras consistentes, llamadas no euclidianas, en las que no se cumpliera la existencia de una nica paralela trazada a una recta por un punto exterior a ella........................................................................................................................................................................................El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemticas, como se puede comprobar en los trabajos de Arqumedes de Siracusa y de un joven contemporneo, Apolonio de Perga. Arqumedes utiliz un nuevo mtodo terico, basado en la ponderacin de secciones infinitamente pequeas de figuras geomtricas, para calcular las reas y volmenes de figuras obtenidas a partir de las cnicas. stas haban sido descubiertas por un alumno de Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecan como tema de estudio en un tratado de Euclides; sin embargo, la primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de Arqumedes. Tambin investig los centros de gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos slidos flotando en agua. Casi todo su trabajo es parte de la tradicin que llev, en el siglo XVII, al desarrollo del clculo. Su contemporneo, Apolonio, escribi un tratado en ocho tomos sobre las cnicas, y estableci sus nombres: elipse, parbola e hiprbola. Este tratado sirvi de base para el estudio de la geometra de estas curvas hasta los tiempos del filsofo y cientfico francs Ren Descartes en el siglo XVII..........................................................................................................................................................................................Arqumedes(Siracusa, actual Italia, h. 287 a.C.-id., 212 a.C.)Matemtico griego. Hijo de un astrnomo, quien probablemente le introdujo en las matemticas, estudi en Alejandra, donde tuvo como maestro a Conn de Samos y entr en contacto con Eratstenes; a este ltimo dedic Arqumedes su Mtodo, en el que expuso su genial aplicacin de la mecnica a la geometra, pesando imaginariamente reas y volmenes desconocidos para determinar su valor. Regres luego a Siracusa, donde se dedic de lleno al trabajo cientfico.De la vida de este gran matemtico e ingeniero, a quien Plutarco atribuy una inteligencia sobrehumana, slo se conocen una serie de ancdotas. La ms divulgada la relata Vitruvio y se refiere al mtodo que utiliz para comprobar si existi fraude en la confeccin de una corona de oro encargada por Hiern II, tirano de Siracusa y protector de Arqumedes, quizs incluso pariente suyo. Hallndose en un establecimiento de baos, advirti que el agua desbordaba de la baera a medida que se iba introduciendo en ella; esta observacin le inspir la idea que le permiti resolver la cuestin que le plante el tirano. Se cuenta que, impulsado por la alegra, corri desnudo por las calles de Siracusa hacia su casa gritando Eureka! Eureka!, es decir, Lo encontr! Lo encontr!.La idea de Arqumedes est reflejada en una de las proposiciones iniciales de su obra Sobre los cuerpos flotantes, pionera de la hidrosttica; corresponde al famoso principio que lleva su nombre y, como all se explica, haciendo uso de l es posible calcular la ley de una aleacin, lo cual le permiti descubrir que el orfebre haba cometido fraude. Segn otra ancdota famosa, recogida por Plutarco, entre otros, Arqumedes asegur al tirano que, si le daban un punto de apoyo, conseguira mover la Tierra; se cree que, exhortado por el rey a que pusiera en prctica su aseveracin, logr sin esfuerzo aparente, mediante un complicado sistema de poleas, poner en movimiento un navo de tres mstiles con su carga.Son clebres los ingenios blicos cuya paternidad le atribuye la tradicin y que, segn se dice, permitieron a Siracusa resistir tres aos el asedio romano, antes de caer en manos de las tropas de Marcelo; tambin se cuenta que, contraviniendo rdenes expresas del general romano, un soldado mat a Arqumedes por resistirse ste a abandonar la resolucin de un problema matemtico en el que estaba inmerso, escena perpetuada en un mosaico hallado en Herculano.Esta pasin por la erudicin, que le caus la muerte, fue tambin la que, en vida, se dice que hizo que hasta se olvidara de comer y que soliera entretenerse trazando dibujos geomtricos en las cenizas del hogar o incluso, al ungirse, en los aceites que cubran su piel. Esta imagen contrasta con la del inventor de mquinas de guerra del que hablan Polibio y TitoLivio; pero, como seala Plutarco, su inters por esa maquinaria estrib nicamente en el hecho de que plante su diseo como mero entretenimiento intelectual.El esfuerzo de Arqumedes por convertir la esttica en un cuerpo doctrinal riguroso es comparable al realizado por Euclides con el mismo propsito respecto a la geometra; esfuerzo que se refleja de modo especial en dos de sus libros: en los Equilibrios planos fundament la ley de la palanca, deducindola a partir de un nmero reducido de postulados, y determin el centro de gravedad de paralelogramos, tringulos, trapecios, y el de un segmento de parbola.En la obra "Sobre la esfera y el cilindro", utiliz el mtodo denominado de exhaustin, precedente del clculo integral, para determinar la superficie de una esfera y para establecer la relacin entre una esfera y el cilindro circunscrito en ella. Este ltimo resultado pas por ser su teorema favorito, que por expreso deseo suyo se grab sobre su tumba, hecho gracias al cual Cicern pudo recuperar la figura de Arqumedes cuando sta haba sido ya olvidada.......................................................................................................................................................................................Despus de Euclides, Arqumedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningn gemetra de la misma talla. Los escritos de Hern de Alejandra en el siglo I d.C. muestran cmo elementos de la tradicin aritmtica y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lgicas de los grandes gemetras.Los libros de Diofante de Alejandra en el siglo III d.C. continuaron con esta misma tradicin, aunque ocupndose de problemas ms complejos. En ellos Diofante encuentra las soluciones enteras para aquellos problemas que generan ecuaciones con varias incgnitas. Actualmente, estas ecuaciones se denominan diofnticas y se estudian en el anlisis diofntico........................................................................................................................................................................................Hern de Alejandra, llamado el Viejo(s. I)Matemtico e inventor griego. En su principal trabajo sobre geometra (Mtrica) enumera diferentes maneras de hallar el rea de tringulos, cuadrilteros, polgonos regulares de tres a doce lados, crculos, elipses y superficies y volmenes de cilindros, conos y esferas. En l se incluyen, adems, la conocida frmula que permite calcular el rea de un tringulo a partir de la longitud de sus lados, y un mtodo aproximado para hallar la raz cuadrada de un nmero, usado hoy da por los modernos ordenadores.En otro libro, "Neumtica", describe el diseo de sifones, de mquinas que funcionan con monedas y del aelopilo, que vendra a ser el equivalente de una turbina de vapor.........................................................................................................................................................................................Las matemticas aplicadas en GreciaEn paralelo con los estudios sobre matemticas puras hasta ahora mencionados, se llevaron a cabo estudios de ptica, mecnica y astronoma. Muchos de los grandes matemticos, como Euclides y Arqumedes, tambin escribieron sobre temas astronmicos. A principios del siglo II a.C., los astrnomos griegos adoptaron el sistema babilnico de almacenamiento de fracciones y, casi al mismo tiempo, compilaron tablas de las cuerdas de un crculo. Para un crculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en funcin del ngulo central correspondiente, que creca con un determinado incremento. Eran similares a las modernas tablas del seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometra. En la primera versin de estas tablas las de Hiparco, hacia el 150a.C. los arcos crecan con un incremento de 71, de 0 a 180. En tiempos del astrnomo Tolomeo, en el siglo II d.C., la maestra griega en el manejo de los nmeros haba avanzado hasta tal punto que Tolomeo fue capaz de incluir en su "Almagesto" una tabla de las cuerdas de un crculo con incrementos de1 que, aunque expresadas en forma sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifra decimal..........................................................................................................................................................................................Hiparco de Nicea(?, h. 127 a.C.-Rodas, actual Grecia, ?)Astrnomo y gegrafo griego. Llev a cabo sus observaciones en Rodas, donde construy un observatorio, y en Alejandra. El ao 127 a.C. es citado habitualmente como la ltima fecha conocida de sus trabajos; sin embargo, el astrnomo francs Jean Delambre (1749-1822) demostr que algunas de las observaciones de Hiparco sobre la estrella Eta Canis Majoris tuvieron que ser realizadas en una fecha posterior. Ninguno de sus estudios ha llegado hasta nuestros das, pero tenemos noticia de ellos gracias a los escritos de Estrabn y de Tolomeo.En el 134 a.C. observ una nueva estrella en la constelacin de Escorpin; estimulado por el descubrimiento, elabor un catlogo de alrededor de 850 estrellas, clasificadas segn su luminosidad de acuerdo con un sistema de seis magnitudes de brillo, similar a los actuales. Compar la posicin de las estrellas de su tiempo con los resultados obtenidos siglo y medio antes por Timocharis, y calcul que la diferencia era mayor de lo que cabra esperar de posibles errores en la medicin (concretamente, de 45 segundos de arco en un ao, valor muy prximo a los 50,27 segundos aceptados actualmente), y dedujo que tal diferencia no era debida al movimiento de las estrellas, sino al movimiento o precesin de este a oeste del punto equinoccial (es decir, el punto de interseccin de la eclptica con el ecuador celeste). Precis el perodo del ao solar en 365 das y 6 horas.Se sabe poco acerca de los instrumentos que utilizaba para sus observaciones, aunque Tolomeo le atribuye la invencin de un teodolito que mejor la medicin de los ngulos. En el campo de la geografa destacan sus trabajos sobre trigonometra esfrica, gracias a los cuales le fue posible precisar la localizacin de puntos en la superficie terrestre por medio de su latitud y longitud.........................................................................................................................................................................................Tolomeo, Claudio(s. II)Astrnomo, matemtico y gegrafo griego. Es muy poca la informacin sobre la vida de Tolomeo que ha llegado hasta nuestro tiempo. No se sabe con exactitud dnde naci, aunque se supone que fue en Egipto, ni tampoco dnde falleci; su actividad se enmarca entre las fechas de su primera observacin, cuya realizacin asign al undcimo ao del reinado de Adriano (127 d.C.), y de la ltima, fechada en el 141 d.C. En su catlogo de estrellas, adopt el primer ao del reinado de Antonino Po (138 a.C.) como fecha de referencia para las coordenadas.Tolomeo fue el ltimo gran representante de la astronoma griega y, segn la tradicin, desarroll su actividad de observador en el templo de Serapis en Canopus, cerca de Alejandra. Su obra principal y ms famosa, que influy en la astronoma rabe y europea hasta el Renacimiento, es la "Sintaxis matemtica", en trece volmenes, que en griego fue calificada de grande o extensa (megal) para distinguirla de otra coleccin de textos astronmicos debidos a diversos autores. La admiracin inspirada por la obra de Tolomeo introdujo la costumbre de referirse a ella utilizando el trmino griego megist (la grandsima, la mxima); el califa al-Mamun la hizo traducir al rabe en el ao 827, y del nombre de al-Magisti que tom dicha traduccin procede el ttulo de "Almagesto" adoptado generalmente en el Occidente medieval a partir de la primera traduccin de la versin rabe, realizada en Toledo en 1175.Utilizando los datos recogidos por sus predecesores, especialmente por Hiparco, Tolomeo construy un sistema del mundo que representaba con un grado de precisin satisfactoria los movimientos aparentes del Sol, la Luna y los cinco planetas entonces conocidos, mediante recursos geomtricos y calculsticos de considerable complejidad; se trata de un sistema geocntrico segn el cual la Tierra se encuentra inmvil en el centro del universo, mientras que en torno a ella giran, en orden creciente de distancia, la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Jpiter y Saturno. Con todo, la Tierra ocupa una posicin ligeramente excntrica respecto del centro de las circunferencias sobre las que se mueven los dems cuerpos celestes, llamadas crculos deferentes. Adems, nicamente el Sol recorre su deferente con movimiento uniforme, mientras que la Luna y los planetas se mueven sobre otro crculo, llamado epiciclo, cuyo centro gira sobre el deferente y permite explicar las irregularidades observadas en el movimiento de dichos cuerpos.El sistema de Tolomeo proporcion una interpretacin cinemtica de los movimientos planetarios que encaj bien con los principios de la cosmologa aristotlica, y se mantuvo como nico modelo del mundo hasta el Renacimiento, aun cuando la mayor precisin alcanzada en las observaciones astronmicas a finales del perodo medieval hizo necesaria la introduccin de decenas de nuevos epiciclos, con lo cual result un sistema excesivamente complicado y farragoso. Como gegrafo, ejerci tambin gran influencia sobre la posteridad hasta la poca de los grandes descubrimientos geogrficos. En su "Geografa", obra en ocho volmenes que complet la elaborada poco antes por Marino de Tiro, se recopilan las tcnicas matemticas para el trazado de mapas precisos mediante distintos sistemas de proyeccin, y recoge una extensa coleccin de coordenadas geogrficas correspondientes a los distintos lugares del mundo entonces conocido. Tolomeo adopt la estimacin hecha por Posidonio de la circunferencia de la Tierra, inferior al valor real, y exager la extensin del contiente euroasitico en direccin este-oeste, circunstancia que alent a Coln a emprender su viaje del descubrimiento.Entre las dems obras de Tolomeo figura la "ptica", en cinco volmenes, que versa sobre la teora de los espejos y sobre la reflexin y la refraccin de la luz, fenmenos de los que tuvo en consideracin sus consecuencias sobre las observaciones astronmicas. Se le atribuye tambin la autora de un tratado de astrologa, el "Tetrabiblos", que presenta las caractersticas de otros escritos suyos y que le vali buena parte de la fama de que goz en la Edad Media....................................................................................................................................................................................Mientras tanto, se desarrollaron otros mtodos para resolver problemas con tringulos planos y se introdujo un teorema que recibe el nombre del astrnomo Menelao de Alejandra para calcular las longitudes de arcos de esfera en funcin de otros arcos. Estos avances dieron a los astrnomos las herramientas necesarias para resolver problemas de astronoma esfrica, y para desarrollar el sistema astronmico que sera utilizado hasta la poca del astrnomo alemn Johannes Kepler.Las matemticas en la edad mediaEn Grecia, despus de Tolomeo, se estableci la tradicin de estudiar las obras de estos matemticos de siglos anteriores en los centros de enseanza. El que dichos trabajos se hayan conservado hasta nuestros das se debe principalmente a esta tradicin. Sin embargo, los primeros avances matemticos consecuencia del estudio de estas obras aparecieron en el mundo rabe.Las matemticas en el mundo islmicoDespus de un siglo de expansin en la que la religin musulmana se difundi desde sus orgenes en la pennsula Arbiga hasta dominar un territorio que se extenda desde la pennsula Ibrica hasta los lmites de la actual China, los rabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras". Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabidura de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones rabes de los trabajos de matemticos griegos e indios.Hacia el ao 900, el periodo de incorporacin se haba completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otros avances, los matemticos rabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmtica de nmeros enteros, extendindolo a las fracciones decimales.En el siglo XII, el matemtico persa Omar Jayyam generaliz los mtodos indios de extraccin de races cuadradas y cbicas para calcular races cuartas, quintas y de grado superior. El matemtico rabe Al-Jwarizm,(de su nombre procede la palabra algoritmo, y el ttulo de uno de sus libros es el origen de la palabra lgebra), desarroll el lgebra de los polinomios; al-Karayi la complet para polinomios incluso con infinito nmero de trminos. Los gemetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de Arqumedes sobre reas y volmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teora de las cnicas a la resolucin de problemas de ptica. Los matemticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometras plana y esfrica utilizando la funcin seno de los indios y el teorema de Menelao. Estas trigonometras no se convirtieron en disciplinas matemticas en Occidente hasta la publicacin del "De triangulis omnimodis"(1533) del astrnomo alemn Regiomontano.Finalmente, algunos matemticos rabes lograron importantes avances en la teora de nmeros, mientras otros crearon una gran variedad de mtodos numricos para la resolucin de ecuaciones. Los pases europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los rabes, junto con las traducciones de los griegos clsicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemticas durante la edad media. Los matemticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en lgebra y aritmtica, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente en fuentes rabes para sus estudios.Las matemticas durante el renacimientoAunque el final del perodo medieval fue testigo de importantes estudios matemticos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemtico de trascendencia en Occidente. Era una frmula algebraica para la resolucin de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matemtico italiano Gerolamo Cardano en su "Ars magna".Este hallazgo llev a los matemticos a interesarse por los nmeros complejos y estimul la bsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta bsqueda la que a su vez gener los primeros trabajos sobre la teora de grupos a finales del siglo XVIII y la teora de ecuaciones del matemtico francs variste Galois a principios del XIX..........................................................................................................................................................................................Cardano, Gerolamo [Jrme Cardan](Pava, actual Italia, 1501-Roma, 1576)Matemtico italiano. Se gradu en la Universidad de Pava y se doctor en medicina (1526) en la de Padua. En 1536 se traslad a Miln, donde empez a ejercer como profesor de matemticas. En 1539 public su primera obra en dicha materia, la "Prctica de matemticas y mediciones individuales", en la que recogi el contenido de sus clases. Ese mismo ao fue admitido en la facultad de medicina, de la que al poco fue nombrado rector. En 1543, ya con una slida fama como mdico (a l se debe la primera descripcin clnica de la fiebre tifoidea), se traslad de nuevo a Pava.Dos aos despus public su obra cientfica ms importante, el "Ars magna", donde se recoge un exhaustivo estudio de las ecuaciones de tercer grado o cbicas, y en la que se ofrece la regla para la resolucin de las mismas que lleva su nombre. Por la publicacin de dicho resultado fue duramente criticado por el tambin matemtico NiccolTartaglia, quien se lo haba revelado con la condicin de que lo mantuviera en secreto y no lo divulgara, si bien Cardano, al descubrir otra fuente en la que se contena dicha regla, se crey liberado de su promesa.Otras obras suyas de importancia fueron el "Libro sobre juegos y azar", en el cual ofreci la primera aproximacin sistemtica a la teora de la probabilidad y enunci la ley de los grandes nmeros, resultados todos ellos que no seran abordados de nuevo (por BlaisePascal y PierredeFermat) hasta un siglo ms tarde. As mismo, public ttulos de contenido filosfico, como "La sutileza de las cosas", que fueron muy ledos en su tiempo. Los ltimos aos de su vida estuvieron plagados de desgracias, desde la ejecucin en el ao 1560 de uno de sus hijos, acusado de asesinato, hasta un proceso por hereja por el que lleg a ser encarcelado (1570).Absuelto un ao despus, pero privado del derecho de publicar obra alguna, se traslad a Roma ciudad en la que redact su autobiografa Mi propia vida, que concluy poco antes de su muerte......................................................................................................................................................................................Galois, variste(Bourg-la-Reine, Francia, 1811-Pars, 1832)Matemtico francs. Hijo de una familia de polticos y juristas, fue educado por sus padres hasta los doce aos, momento en el que ingres en el Collge Royal de Louis-le-Grand, donde enseguida mostr unas extraordinarias aptitudes para las matemticas. Con slo dieciseis aos, interesado en hallar las condiciones necesarias para definir si una ecuacin algebraica era susceptible de ser resuelta por el mtodo de los radicales, empez a esbozar lo que ms adelante se conocera con el nombre genrico de teora de Galois, analizando todas las permutaciones posibles de las races de una ecuacin que cumplieran unas condiciones determinadas. Mediante dicho proceso, que en terminologa actual equivale al de hallar el grupo de automorfismos de un cuerpo, sent las bases de la moderna teora de grupos, una de las ramas ms importantes del lgebra.Galois intuy que la solubilidad mediante radicales estaba sujeta a la solubilidad del grupo de automorfismos relacionado. A pesar de sus revolucionarios descubrimientos, o tal vez por esa misma causa, todas las memorias que public con sus resultados fueron rechazadas por la Academia de las Ciencias, algunas de ellas por matemticos tan eminentes como Cauchy, Fourier o Poisson. Subsiguientes intentos de entrar en la Escuela Politcnica se saldaron con sendos fracasos, lo cual le sumi en una profunda crisis personal, agravada en 1829 por el suicidio de su padre.Miembro activo de la oposicin antimonrquica, se vio implicado en un duelo cuyas motivaciones an hoy permanecen confusas. Previendo su ms que posible muerte en el lance, trabaj febrilmente en una especie de testamento cientfico que dirigi a su amigo Auguste Chevalier. A los pocos das tuvo lugar el duelo y el matemtico, herido en el vientre, muri unas horas despus, apenas cumplidos los veintin aos.....................................................................................................................................................................................Tambin durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemticos y algebraicos. El matemtico francs Franois Vite llev a cabo importantes estudios sobre la resolucin de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra....................................................................................................................................................................................Vieta o Vite, Franois(Fontenay-le-Comte, Francia, 1540-Pars, 1603)Matemtico francs. Fue miembro del Parlamento de Bretaa (1573-1582) y despus consejero privado de las cortes de EnriqueIII y de EnriqueIV. Conocedor de Diofanto y Cardano, estableci las reglas para la extraccin de races y dio a la trigonometra su forma definitiva en "Canon mathematicus" (1570). Se dedic as mismo al estudio de los fundamentos del lgebra, con la publicacin, en 1591, de "In artem analyticam isagoge", en el cual introdujo un sistema de notacin que haca uso de letras en las frmulas algebraicas. Se ocup finalmente de diversas cuestiones geomtricas, como la trigonometra plana y esfrica......................................................................................................................................................................................Fermat, Pierre de(Beaumont, Francia, 1601-Castres, id., 1665)Matemtico francs. Poco se conoce de sus primeros aos, excepto que estudi derecho, posiblemente en Toulouse y Burdeos. Interesado por las matemticas, en 1629 abord la tarea de reconstruir algunas de las demostraciones perdidas del matemtico griego Apolonio relativas a los lugares geomtricos; a tal efecto desarrollara, contempornea e independientemente de RenDescartes, un mtodo algebraico para tratar cuestiones de geometra por medio de un sistema de coordenadas.Dise as mismo un algoritmo de diferenciacin mediante el cual pudo determinar los valores mximos y mnimos de una curva polinmica, amn de trazar las correspondientes tangentes, logros todos ellos que abrieron el camino al desarrollo ulterior del clculo infinitesimal por Newton y Leibniz. Tras asumir correctamente que cuando la luz se desplaza en un medio ms denso su velocidad disminuye, demostr que el camino de un rayo luminoso entre dos puntos es siempre aquel que menos tiempo le cuesta recorrer; de dicho principio, que lleva su nombre, se deducen las leyes de la reflexin y la refraccin.En 1654, y como resultado de una larga correspondencia, desarroll con BlaisePascal los principios de la teora de la probabilidad. Otro campo en el que realiz destacadas aportaciones fue el de la teora de nmeros, en la que empez a interesarse tras consultar una edicin de la Aritmtica de Diofanto; precisamente en el margen de una pgina de dicha edicin fue donde anot el clebre teorema que lleva su nombre y que tardara ms de tres siglos en demostrarse. De su trabajo en dicho campo se derivaron importantes resultados relacionados con las propiedades de los nmeros primos, muchas de las cuales quedaron expresadas en forma de simples proposiciones y teoremas.Desarroll tambin un ingenioso mtodo de demostracin que denomin del descenso infinito. Extremadamente prolfico, sus deberes profesionales y su particular forma de trabajar (slo public una obra cientfica en vida) redujeron en gran medida el impacto de su obra. Ha pasado a la historia su clebre Si n es un entero mayor que 2, la ecuacin: x (elevada a n) + y (elevada a n) = z (elevada a n) no tiene solucin entera positiva distinta de x=y=z=0. (ltimo teorema o, simplemente, teorema de Fermat)......................................................................................................................................................................................Newton, sir Isaac(Woolsthorpe, Gran Bretaa, 1642-Londres, 1727)Fsico y matemtico ingls. Fue hijo pstumo de un pequeo terrateniente fallecido tres meses antes de su nacimiento, el cual se produjo de forma prematura. Cuando acababa de cumplir los tres aos, su madre contrajo segundas nupcias y lo dej al cuidado de su abuela materna, lo cual le ocasion un trauma emocional en el que ha querido verse, junto a su condicin de prematuro, el origen del temperamento neurtico e hipocondraco que caracteriz al Newton maduro.Recibi su educacin primaria en la King's School de Grantham y, tras mostrar su incapacidad para ocuparse de la hacienda familiar, en 1661 fue enviado a la Universidad de Cambridge. Eligi estudiar fsica y matemticas, pero no parece que fuera un alumno especialmente destacado. La peste le oblig a abandonar Cambridge en el verano de 1665, por lo que tuvo que iniciar un perodo de descanso forzoso en el que sent las bases de sus principales aportaciones cientficas, pues fue entonces cuando concibi la idea de gravitacin universal tras preguntarse, al parecer, por qu razn una manzana caa siempre perpendicularmente hacia el centro de la Tierra en lugar de seguir otras trayectorias. Tambin redact un esbozo del futuro clculo de fluxiones y acometi el estudio experimental de la descomposicin de la luz blanca mediante un prisma de refraccin. De regreso en Cambridge, en 1667 fue elegido miembro del Trinity College y dos aos despus sucedi a su maestro Isaac Barrow en la ctedra de matemticas. Sus descubrimientos de ptica, que expuso en sus clases, le valieron ser elegido miembro de la Royal Society en 1672, hecho que seal el inicio de su notoriedad, pero tambin el de una serie de controversias acerca de la prioridad en dichos descubrimientos, en particular con RobertHooke; ello determin que demorara hasta 1704, tras la muerte de Hooke, la publicacin de su tratado de ptica.En 1676 renunci a proseguir la polmica, y durante unos aos se sumi en sus trabajos sobre el clculo diferencial y en su inters por la alquimia y los estudios bblicos. En esa poca redact las primeras exposiciones sistemticas de su clculo infinitesimal y us su conocida frmula para el desarrollo en potencia de un binomio de exponente cualquiera, que haba establecido ya unos aos antes.La correspondencia mantenida con Hooke a partir de 1679 parece que aviv su inters por la dinmica, campo en el que se concentr en la demostracin terica de las leyes de los movimientos planetarios enunciadas por Kepler. Cuando EdmondHalley le visit en 1684, comprob que Newton haba resuelto ya el problema y lo anim a hacer pblicos sus resultados. La intervencin de Halley result decisiva en la publicacin de los "Principia", la obra cientfica ms influyente y significativa de su poca, que contiene la formulacin matemtica de la ley de la gravitacin universal, interpretada como principio unificador del movimiento; Halley se ocup de que el manuscrito fuese presentado ante la Royal Society, que se encarg de la edicin, costeando l personalmente la impresin, terminada en julio de 1687.La obra contiene la demostracin del hecho experimental segn el cual una esfera gravitatoria homognea ejerce una atraccin sobre los puntos exteriores a ella y se comporta como si toda su masa se encontrara situada en su centro; y la ley de la atraccin gravitatoria, que aparece comprobada para el movimiento de la Luna. Incluye tambin la primera publicacin impresa del clculo infinitesimal creado por Newton, reconociendo, en su primera edicin, que Leibniz estaba en posesin de un mtodo anlogo; pese a ello, los partidarios de uno y otro se enzarzaron en una nueva disputa de prioridades, que el propio cientfico alent entre bastidores.En 1687 form parte de la comisin formada por la Universidad de Cambridge en oposicin a las medidas de catolizacin del rey JacoboII. Tras la Revolucin de 1688, fue elegido representante de la universidad ante el Parlamento. En 1696 acept el nombramiento de director de la Casa de la Moneda, que pas a presidir tres aos despus. En 1701 renunci a su condicin de profesor universitario y en 1703 fue elegido presidente de la Royal Society, cargo que desempe hasta su fallecimiento......................................................................................................................................................................................Avances en el siglo XVIILos europeos dominaron el desarrollo de las matemticas despus del renacimiento.Durante el siglo XVII tuvieron lugar los ms importantes avances en las matemticas desde la era de Arqumedes y Apolonio. El siglo comenz con el descubrimiento de los logaritmos por el matemtico escocs John Napier (Neper); su gran utilidad llev al astrnomo francs Pierre Simon Laplace a decir, dos siglos ms tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrnomos a la mitad, les haba duplicado la vida.......................................................................................................................................................................................Napier o Neper, John(Merchiston Castle, Escocia, 1550-id., 1617)Matemtico y telogo escocs. Protestante convencido, critic enconadamente a la Iglesia catlica y abog por la persecucin de papistas, ateos y neutrales en una carta dirigida al rey, JacoboI, en la que le dedicaba su obra teolgica "Plaine Discovery of the Whole Revelation of Saint John". A pesar de la notoriedad que le procuraron las ms de treinta ediciones de dicha obra, el nombre de Napier haba de quedar por siempre ligado al desarrollo de los logaritmos, un mtodo matemtico ideado con el objeto de simplificar el clculo numrico que iba a ejercer una enorme influencia en todos los campos de la matemtica aplicada. Napier tard algo ms de veinte aos en madurar sus ideas iniciales, que public finalmente en 1614. Poco despus, el matemtico ingls Henry Briggs se desplaz a Escocia y convenci a Napier para modificar la escala inicial usada por ste; nacieron as los logaritmos de base 10, forma en la que se impusieron en toda Europa......................................................................................................................................................................................La ciencia de la teora de nmeros, que haba permanecido aletargada desde la poca medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basndose en los estudios de la antigedad clsica. La obra "Las aritmticas"de Diofante ayud a Fermat a realizar importantes descubrimientos en la teora de nmeros. Su conjetura ms destacada en este campo fue que no existen soluciones de la ecuacinan+bn=cncona, bycenteros positivos sines mayor que 2. Esta conjetura, conocida como ltimo teorema de Fermat, ha generado gran cantidad de trabajos en el lgebra y la teora de nmeros.En geometra pura, dos importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo. El primero fue la publicacin, en el "Discurso del mtodo"(1637) de Descartes, de su descubrimiento de la geometra analtica, que mostraba cmo utilizar el lgebra (desarrollada desde el renacimiento) para investigar la geometra de las curvas (Fermat haba hecho el mismo descubrimiento pero no lo public). El "Discurso del mtodo",junto con una serie de pequeos tratados con los que fue publicado, ayud y fundament los trabajos matemticos de Isaac Newton hacia 1660....................................................................................................................................................................................Descartes, Ren(La Haye, Francia, 1596-Estocolmo, Suecia, 1650)Filsofo y matemtico francs. Se educ en el colegio jesuita de La Flche (1604-1612), donde goz de un cierto trato de favor en atencin a su delicada salud. Obtuvo el ttulo de bachiller y de licenciado en derecho por la facultad de Poitiers (1616), y a los veintids aos parti hacia los Pases Bajos, donde sirvi como soldado en el ejrcito de MauriciodeNassau. En 1619 se enrol en las filas del duque de Baviera; el 10 de noviembre, en el curso de tres sueos sucesivos, experiment la famosa revelacin que lo condujo a la elaboracin de su mtodo.Tras renunciar a la vida militar, viaj por Alemania y los Pases Bajos y regres a Francia en 1622, para vender sus posesiones y asegurarse as una vida independiente; pas una temporada en Italia (1623-1625) y se afinc luego en Pars, donde se relacion con la mayora de cientficos de la poca. En 1628 decidi instalarse en los Pases Bajos, lugar que consider ms favorable para cumplir los objetivos filosficos y cientficos que se haba fijado, y residi all hasta 1649. Los cinco primeros aos los dedic principalmente a elaborar su propio sistema del mundo y su concepcin del hombre y del cuerpo humano, que estaba a punto de completar en 1633 cuando, al tener noticia de la condena de Galileo, renunci a la publicacin de su obra, que tendra lugar pstumamente.En 1637 apareci su famoso "Discurso del mtodo", presentado como prlogo a tres ensayos cientficos. Descartes propona una duda metdica, que sometiese a juicio todos los conocimientos de la poca, aunque, a diferencia de los escpticos, la suya era una duda orientada a la bsqueda de principios ltimos sobre los cuales cimentar slidamente el saber. Este principio lo hall en la existencia de la propia conciencia que duda, en su famosa formulacin pienso, luego existo. Sobre la base de esta primera evidencia, pudo desandar en parte el camino de su escepticismo, hallando en Dios el garante ltimo de la verdad de las evidencias de la razn, que se manifiestan como ideas claras y distintas. El mtodo cartesiano, que propuso para todas las ciencias y disciplinas, consiste en descomponer los problemas complejos en partes progresivamente ms sencillas hasta hallar sus elementos bsicos, las ideas simples, que se presentan a la razn de un modo evidente, y proceder a partir de ellas, por sntesis, a reconstruir todo el complejo, exigiendo a cada nueva relacin establecida entre ideas simples la misma evidencia de stas. Los ensayos cientficos que seguan, ofrecan un compendio de sus teoras fsicas, entre las que destaca su formulacin de la ley de inercia y una especificacin de su mtodo para las matemticas. Los fundamentos de su fsica mecanicista, que haca de la extensin la principal propiedad de los cuerpos materiales, los situ en la metafsica que expuso en 1641, donde enunci as mismo su demostracin de la existencia y la perfeccin de Dios y de la inmortalidad del alma.El mecanicismo radical de sus teoras fsicas, sin embargo, determin que fuesen superadas ms adelante. Pronto su filosofa empez a ser conocida y comenz a hacerse famoso, lo cual le acarre amenazas de persecucin religiosa por parte de algunas autoridades acadmicas y eclesisticas, tanto en los Pases Bajos como en Francia.En 1649 acept la invitacin de la reina CristinadeSuecia y se desplaz a Estocolmo, donde muri cinco meses despus de su llegada a consecuencia de una neumona. Descartes es considerado como el iniciador de la filosofa racionalista moderna por su planteamiento y resolucin del problema de hallar un fundamento del conocimiento que garantice la certeza de ste, y como el filsofo que supone el punto de ruptura definitivo con la escolstica. Sus obras maestras fueron: "Discurso del mtodo (Discours de la Mthode pour bien conduire sa raison et chercher la vrit dans les sciences, plus La Dioptrique, Les Mtores et La Gomtrie, qui sont des essais de cette mthode, 1637)Las meditaciones (Meditationes de prima philosophia. 1641)Los principios de la filosofa (Principia philosophiae, 1644)Las pasiones del alma (Les passions de lme, 1649)Tratado del Mundo (Le Monde de M. Descartes ou le Trait de la Lumire, 1664)Tratado del Hombre (LHomme de Ren Descartes et un Trait de la Formation du Ftus, 1664)Reglas para la direccin del espritu (Reguale ad directionem ingenii, 1701)".....................................................................................................................................................................................El segundo acontecimiento que afect a la geometra fue la publicacin, por el ingeniero francs Grard Desargues, de su descubrimiento de la geometra proyectiva en 1639. Aunque este trabajo fue alabado por Descartes y por el cientfico y filsofo francs Blaise Pascal, su terminologa excntrica y el gran entusiasmo que haba causado la aparicin de la geometra analtica retras el desarrollo de sus ideas hasta principios del siglo XIX, con los trabajos del matemtico francs Jean Victor Poncelet...................................................................................................................................................................................Pascal, Blaise(Clermont-Ferrand, Francia, 1623-Pars, 1662)Filsofo, fsico y matemtico francs. Su madre falleci cuando l contaba tres aos, a raz de lo cual su padre se traslad a Pars con su familia (1630). Fue un genio precoz a quien su padre inici muy pronto en la geometra e introdujo en el crculo de Mersenne, la Academia, a la que l mismo perteneca. All se familiariz con las ideas de Girard Desargues y en 1640 redact su "Ensayo sobre las cnicas (Essai pour les coniques"), que contena lo que hoy se conoce como teorema del hexgono de Pascal.La designacin de su padre como comisario del impuesto real supuso el traslado a Run, donde Pascal desarroll un nuevo inters por el diseo y la construccin de una mquina de sumar; se conservan todava varios ejemplares del modelo que ide, algunos de cuyos principios se utilizaron luego en las modernas calculadoras mecnicas.En Run comenz tambin a interesarse por la fsica, y en especial por la hidrosttica, y emprendi sus primeras experiencias sobre el vaco; intervino en la polmica en torno a la existencia del horror vacui en la naturaleza y realiz importantes experimentos (en especial el de Puy de Dme en 1647) en apoyo de la explicacin dada por Torricelli al funcionamiento del barmetro. La enfermedad lo indujo a regresar a Pars en el verano de 1647; los mdicos le aconsejaron distraccin e inici un perodo mundano que termin con su experiencia mstica del 23 de noviembre de 1654, su segunda conversin (en 1645 haba abrazado el jansenismo); convencido de que el camino hacia Dios estaba en el cristianismo y no en la filosofa, suspendi su trabajo cientfico casi por completo. Pocos meses antes, como testimonia su correspondencia con Fermat, se haba ocupado de las propiedades del tringulo aritmtico, hoy llamado de Pascal, y que da los coeficientes de los desarrollos de las sucesivas potencias de un binomio; su tratamiento de dicho tringulo en trminos de una geometra del azar lo convirti en uno de los fundadores del clculo matemtico de probabilidades.En 1658, al parecer con el objeto de olvidarse de un dolor de muelas, elabor su estudio de la cicloide, que result un importante estmulo en el desarrollo del clculo diferencial. Desde 1655 frecuent Port-Royal, donde se haba retirado su hermana Jacqueline en 1652. Tom partido en favor de Arnauld, el general de los jansenistas, y public annimamente sus Provinciales. El xito de las cartas le llev a proyectar una apologa de la religin cristiana; el deterioro de su salud a partir de 1658 frustr, sin embargo, el proyecto, y las notas dispersas relativas a l quedaron ms tarde recogidas en sus famosos "Pensamientos (Penses sur la religion", 1669).Aunque rechaz siempre la posibilidad de establecer pruebas racionales de la existencia de Dios, cuya infinitud consider inabarcable para la razn, admiti no obstante que esta ltima poda preparar el camino de la fe para combatir el escepticismo. La famosa apuesta de Pascal analiza la creencia en Dios en trminos de apuesta sobre su existencia, pues si el hombre cree y finalmente Dios no existe, nada se pierde en realidad. La tensin de su pensamiento entre la ciencia y la religin qued reflejada en su admisin de dos principios del conocimiento: la razn (esprit gomtrique), orientada hacia las verdades cientficas y que procede sistemticamente a partir de definiciones e hiptesis para avanzar demostrativamente hacia nuevas proposiciones, y el corazn (esprit de finesse), que no se sirve de procedimientos sistemticos porque posee un poder de comprensin inmediata, repentina y total, en trminos de intuicin. En esta ltima se halla la fuente del discernimiento necesario para elegir los valores en que la razn debe cimentar su labor.....................................................................................................................................................................................Otro avance importante en las matemticas del siglo XVII fue la aparicin de la teora de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llev al cientfico holands Christiaan Huygens a escribir un pequeo folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el "Ars coniectandi"(1713) del matemtico suizo Jacques Bernoulli. Tanto Bernoulli como el francs Abraham De Moivre, en su "Doctrina del azar"de 1718, utilizaron el recin descubierto clculo para avanzar rpidamente en su teora, que para entonces tena grandes aplicaciones en pujantes compaas de seguros......................................................................................................................................................................................Huygens, Christiaan(La Haya, 1629-id., 1695)Matemtico, astrnomo y fsico holands. Hijo del poeta renacentista Constantin Huygens, pronto demostr un gran talento para la mecnica y las matemticas. Estudi en la Universidad de Leiden y en el Colegio de Breda. Huygens adquiri una pronta reputacin en crculos europeos por sus publicaciones de matemticas y por sus observaciones astronmicas, que pudo realizar gracias a los adelantos que introdujo en la construccin de telescopios.Destacan, sobre todo, el descubrimiento del mayor satlite de Saturno, Titn (1650), y la correcta descripcin de los anillos de Saturno, que llev a cabo en 1659. Ms tarde se traslad a Pars, donde permaneci desde 1666 a 1681, fecha de su regreso a La Haya. En 1666 fue miembro fundador de la Academia Francesa de Ciencias.En 1673 se public su famoso estudio sobre "El reloj de pndulo", brillante anlisis matemtico de la dinmica pendular en el que se incluyeron las soluciones completas a problemas como el perodo de oscilacin de un pndulo simple y las leyes de la fuerza centrfuga para un movimiento circular uniforme. Contemporneo de IsaacNewton, su actitud mecanicista le impidi aceptar la idea de fuerzas que actan a distancia. El mayor logro de Huygens fue el desarrollo de la teora ondulatoria de la luz, descrita ampliamente en el "Trait de la lumire" (1690), y que permita explicar los fenmenos de la reflexin y refraccin de la luz mejor que la teora corpuscular de Newton....................................................................................................................................................................................Bernoulli, familiaJakob (Basilea, Suiza, 1654- id., 1705), Johann (Basilea, 1667- id., 1748) y Daniel (Groninga, Holanda, 1700- Basilea, 1782).Familia de cientficos suizos. Jakob, el iniciador de la dilatada saga de los Bernoulli, naci en el seno de una familia de comerciantes procedentes de los Pases Bajos. Tras licenciarse en teologa y haber estudiado matemticas y astronoma contra la voluntad familiar, entre 1677 y 1682 viaj a Francia (donde se familiariz con el pensamiento de Descartes), los Pases Bajos e Inglaterra. De regreso en Suiza, desde 1683 ense mecnica en Basilea y en secreto introdujo en el estudio de las matemticas a su hermano Johann, a quien su padre haba destinado a la medicina.En 1687 se hizo cargo de la ctedra de matemticas en la Universidad de Basilea. Con su hermano, estudi las aportaciones de G.W.Leibniz al clculo infinitesimal, el cual aplic al estudio de la catenaria (la curva que forma una cadena suspendida por sus extremos), y en 1690 introdujo el trmino de integral en su sentido moderno. Al ao siguiente, Johann solucion el problema de la catenaria, lo cual le vali situarse entre los matemticos de primera lnea de la poca; de los dos hermanos, l fue el ms intuitivo y el que con mayor soltura manejaba el formulismo matemtico, mientras que Jakob era de inteligencia ms lenta pero ms penetrante. Ambos compartieron un exagerado afn por ver reconocidos sus mritos, e incluso mantuvieron frecuentes disputas de prioridad entre ellos y con otros autores. Johann inici en el clculo infinitesimal creado por Leibniz al marqus de LHpital, quien aprovech las lecciones para publicar el primer libro de texto sobre el tema.En 1695, Johann decidi aceptar el ofrecimiento de ocupar una ctedra de matemticas en Groninga, perdidas las esperanzas de obtener plaza en Basilea en vida de su hermano Jakob, y resentido con l por la actitud condescendiente con que le trataba. En 1697, Johann dio una brillante solucin al problema de la braquistcrona, que l mismo haba planteado el ao anterior. Jakob analiz tambin la cuestin y aport su propia solucin, mucho menos elegante, pero que le condujo a las puertas de una nueva disciplina, el clculo de variaciones, en cuyo mbito propuso a su vez el llamado problema isoperimtrico. Johann subestim la complejidad del tema, que resolvi de forma incompleta; las despiadadas crticas que por ello le dedic su hermano supusieron el inicio del abierto enfrentamiento entre ambos. Johann regres a Basilea como sucesor de Jakob a la muerte de ste, debido a la cual qued incompleta e indita su gran obra sobre el clculo de probabilidades, el "Ars conjectandi", publicada en 1713 por su sobrino Nikolaus, hijo de Johann y hermano mayor de Daniel Bernoulli.Este ltimo, que se doctor en medicina en Basilea (1721) con una tesis sobre la respiracin, en 1725 fue nombrado profesor de matemticas en la Academia de San Petersburgo; se traslad a Rusia en compaa de su hermano Nikolaus, quien falleci al ao siguiente de su llegada; en San Petersburgo cont, desde 1727, con la colaboracin de L.Euler, discpulo de su padre y de su to Jakob, que sucedi a Daniel cuando, en 1732, ste regres a Basilea como catedrtico de anatoma y de botnica.Autor de notables contribuciones a la teora de las ecuaciones diferenciales, el tercer Bernoulli destac sobre todo por su estudio de la mecnica de fluidos; su obra principal, "Hydrodynamica", se public en 1738, aunque ya la haba concluido en 1734. Contiene la idea de lo que ms tarde se conoci como teorema de Bernoulli, as como los fundamentos de la moderna teora cintica de los gases. Desde 1750 hasta 1776 ocup la ctedra de fsica en Basilea; se distingui por ilustrar sus clases con interesantsimos experimentos que le valieron grandes xitos de audiencia......................................................................................................................................................................................Sin embargo, el acontecimiento matemtico ms importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los clculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Newton se bas en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, as como en los estudios de otros matemticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval. Unos ocho aos ms tarde, el alemn Gottfried Wilhelm Leibniz descubri tambin el clculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notacin de Leibniz es el que se usa hoy en el clculo.......................................................................................................................................................................................Cavalieri, Bonaventura Francesco(Miln, 1598-Bolonia, 1647)Matemtico italiano. Jesuita y discpulo de Galileo, fue desde 1629 catedrtico de astronoma en Bolonia. De su numerosa obra destacan "Un cierto mtodo para el desarrollo de una nueva geometra de continuos indivisibles" (1635) y "Seis ejercicios de geometra" (1649), en donde establece y perfecciona su teora de los indivisibles, precursora del clculo integral. Realiz la primera demostracin rigurosa del teorema de Papus relativo al volumen de un slido de revolucin. Populariz el empleo de los logaritmos en Italia gracias a la publicacin de su obra "Un directorio general de uranometra" (1632)......................................................................................................................................................................................Leibniz, Gottfried Wilhelm(Leipzig, actual Alemania, 1646-Hannover, id., 1716)Filsofo y matemtico alemn. Su padre, profesor de filosofa moral en la Universidad de Leipzig, falleci cuando l contaba seis aos. Capaz de escribir poemas en latn a los ocho aos, a los doce empez a interesarse por la lgica aristotlica a travs del estudio de la filosofa escolstica. En 1661 ingres en la universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos aos despus se traslad a la Universidad de Jena, donde estudi matemticas con E. Weigel.En 1666, la Universidad de Leipzig rechaz, a causa de su juventud, concederle el ttulo de doctor, que obtuvo sin embargo en Altdorf; tras rechazar el ofrecimiento que all se le hizo de una ctedra, en 1667 entr al servicio del arzobispo elector de Maguncia como diplomtico, y en los aos siguientes despleg una intensa actividad en los crculos cortesanos y eclesisticos. En 1672 fue enviado a Pars con la misin de disuadir a LuisXIV de su propsito de invadir Alemania; aunque fracas en la embajada, permaneci cinco aos en Pars, donde desarroll una fecunda labor intelectual. De esta poca datan su invencin de una mquina de calcular capaz de realizar las operaciones de multiplicacin, divisin y extraccin de races cuadradas, as como la elaboracin de las bases del clculo infinitesimal.En 1676 fue nombrado bibliotecario del duque de Hannover, de quien ms adelante sera consejero, adems de historiador de la casa ducal. A la muerte de Sofa Carlota (1705), la esposa del duque, con quien Leibniz tuvo amistad, su papel como consejero de prncipes empez a declinar. Dedic sus ltimos aos a su tarea de historiador y a la redaccin de sus obras filosficas ms importantes, que se publicaron pstumamente. Representante por excelencia del racionalismo, Leibniz situ el criterio de verdad del conocimiento en su necesidad intrnseca y no en su adecuacin con la realidad; el modelo de esa necesidad lo proporcionan las verdades analticas de las matemticas. Junto a estas verdades de razn, existen las verdades de hecho, que son contingentes y no manifiestan por s mismas su verdad.El problema de encontrar un fundamento racional para estas ltimas lo resolvi afirmando que su contingencia era consecuencia del carcter finito de la mente humana, incapaz de analizarlas por entero en las infinitas determinaciones de los conceptos que en ellas intervienen, ya que cualquier cosa concreta, al estar relacionada con todas las dems siquiera por ser diferente de ellas, posee un conjunto de propiedades infinito. Frente a la fsica cartesiana de la extensin, defendi una fsica de la energa, ya que sta es la que hace posible el movimiento. Los elementos ltimos que componen la realidad son las mnadas, puntos inextensos de naturaleza espiritual, con capacidad de percepcin y actividad, que, aun siendo simples, poseen mltiples atributos; cada una de ellas recibe su principio activo y cognoscitivo de Dios, quien en el acto de la creacin estableci una armona entre todas las mnadas. Esta armona preestablecida se manifiesta en la relacin causal entre fenmenos, as como en la concordancia entre el pensamiento racional y las leyes que rigen la naturaleza.Las contribuciones de Leibniz en el campo del clculo infinitesimal, efectuadas con independencia de los trabajos de Newton, as como en el mbito del anlisis combinatorio, fueron de enorme valor. Introdujo la notacin actualmente utilizada en el clculo diferencial e integral. Los trabajos que inici en su juventud, la bsqueda de un lenguaje perfecto que reformara toda la ciencia y permitiese convertir la lgica en un clculo, acabaron por desempear un papel decisivo en la fundacin de la moderna lgica simblica. Pueden considerarse como sus obras maestras: "Discurso de metafsica (Discours de mtaphysique, 1686)Nuevo sistema de la naturaleza (Systme nouveau de la nature, 1695)Teodicea (Essais de thodice sur la bont de Dieu, la libert de l'homme et l'origine du mal, 1710)Monadologa (Monadologie, 1714)Nuevo tratado sobre el entendimiento humano (Nouveaux essais sur l'entedement humain, 1765)"........................................................................................................................................................................................Situacin en el siglo XVIIIDurante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discpulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de fsica, astronoma e ingeniera, lo que les permiti, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemticas. As, los hermanos Jean y Jacques Bernoulli inventaron el clculo de variaciones y el matemtico francs Gaspard Monge la geometra descriptiva.........................................................................................................................................................................................Monge, Gaspard(Beaune, Francia, 1746-Pars, 1818)Matemtico francs. Hijo de un comerciante, sus grandes dotes para el dibujo (siendo muy joven realiz un perfecto mapa de su ciudad natal) le abrieron las puertas de la Escuela Militar de Mezires. All empez a desarrollar mtodos de representacin de objetos tridimensionales mediante su proyeccin sobre dos planos, mtodos que fueron clasificados como de alto secreto por el ejrcito y que constituyen los inicios de la geometra descriptiva. Afiliado a la causa revolucionaria (fue miembro del club de los Jacobinos), tras el triunfo de la misma, Monge desempe numerosos cargos gubernamentales; como ministro de Marina, fue el encargado de firmar la condena oficial a muerte de LuisXVI. Convencido de la importancia de la educacin, intervino en la creacin de instituciones acadmicas como la cole Normale Suprieure o la Polytechnique.Amigo personal de NapolenBonaparte, acompa al entonces general en su campaa de Egipto (1798-1801). A su regreso continu dando clases en la Polytechnique; su labor pedaggica result decisiva en la formacin de una esplndida generacin de gemetras franceses, entre los que cabe citar a Poncelet, Dupin, Meusnier y Rodrigues. La contribucin de Monge a la geometra fue inmensa, tanto en diversidad como en profundidad; amn de la rama descriptiva, se le considera a menudo el fundador de la geometra diferencial.En su obra "Aplicaciones del anlisis a la geometra", introdujo importantes conceptos. As mismo fue el primero en emplear de forma sistemtica las ecuaciones en derivadas parciales para el estudio de las superficies. En su doble faceta de cientfico y pedagogo, se le considera el principal responsable de la gran expansin experimentada por la geometra en el siglo XIX........................................................................................................................................................................................Joseph Louis Lagrange, tambin francs, dio un tratamiento completamente analtico de la mecnica en su gran obra "Mecnica analtica"(1788), en donde se pueden encontrar las famosas ecuaciones de Lagrange para sistemas dinmicos. Adems, Lagrange hizo contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teora de nmeros, y desarroll la teora de grupos. Su contemporneo Laplace escribi "Teora analtica de las probabilidades"(1812) y el clsico "Mecnica celeste"(1799-1825), que le vali el sobrenombre de el Newton francs........................................................................................................................................................................................Lagrange, Joseph-Louis de(Turn, 1736-Pars, 1813)Matemtico francs de origen italiano. Estudi en su ciudad natal y hasta los diecisiete aos no mostr ninguna aptitud especial para las matemticas. Sin embargo, la lectura de una obra del astrnomo ingls EdmundHalley despert su inters y, tras un ao de incesante trabajo, era ya un matemtico consumado. Nombrado profesor de la Escuela de Artillera, en 1758 fund una sociedad, con la ayuda de sus alumnos, que fue incorporada a la Academia de Turn.En su obra "Miscellanea taurinensia", escrita por aquellos aos, obtuvo, entre otros resultados, una ecuacin diferencial general del movimiento y su adaptacin para el caso particular del movimiento rectilneo y la solucin a muchos problemas de dinmica mediante el clculo de variantes. Escribi as mismo numerosos artculos sobre clculo integral y las ecuaciones diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos a fuerzas de atraccin mutuas.A principios de 1760 era ya uno de los matemticos ms respetados de Europa, a pesar del flagelo de una salud extremadamente dbil. Su siguiente trabajo sobre el equilibrio lunar, donde razonaba la causa de que la Luna siempre mostrara la misma cara, le supuso la concesin, en 1764, de un premio por la Academia de Ciencias de Pars. Hasta que se traslad a la capital francesa en 1787, escribi gran variedad de tratados sobre astronoma, resolucin de ecuaciones, clculo de determinantes de segundo y tercer orden, ecuaciones diferenciales y mecnica analtica. En 1795 se le concedi una ctedra en la recin fundada cole Normale, que ocup tan solo durante cuatro meses. Dos aos ms tarde, tras la creacin de la cole Polytechnique, Lagrange fue nombrado profesor, y quienes asistieron a sus clases las describieron como perfectas en forma y contenido. Sus enseanzas sobre clculo diferencial forman la base de sus obras "Teora de las funciones analticas" y "Resolucin de ecuaciones numricas" (1798). En 1810 inici una revisin de su Teora, pero slo pudo concluir dos terceras partes antes de su muerte.......................................................................................................................................................................................Laplace, Pierre-Simon, marqus de(Beaumont-en-Auge, Francia, 1749-Pars, 1827)Matemtico francs. Hijo de un granjero, inici sus estudios primarios en la escuela local, pero gracias a la intervencin de DAlembert, profundamente impresionado por un escrito del joven sobre los principios de la mecnica, pudo trasladarse a la capital, donde consigui una plaza en la cole Militaire. Entre 1771 y 1789 desarroll la mayor parte de su trabajo sobre astronoma, particularmente su estudio sobre las desigualdades planetarias, seguido por algunos escritos sobre clculo integral y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.Destaca entre su produccin del perodo 1784-1787 la determinacin de la atraccin de un esferoide sobre una partcula situada en su exterior, para cuya determinacin introducira el anlisis de armnicos o coeficientes de Laplace y el concepto de potencial. En 1796 public su "Exposicin del sistema del mundo", en el que ofreci una versin divulgativa de la mecnica newtoniana y una exposicin del sistema solar. Sus resultados analticos sobre la mecnica estelar se publicaron en los cinco volmenes del "Tratado de mecnica celeste" (1799-1825). En los dos primeros volmenes describi mtodos para el clculo del movimiento de los planetas y sus satlites, y determin sus trayectorias. El tercero contiene la aplicacin de estos mtodos y muchas tablas astronmicas. En 1814, Laplace public un ensayo sobre probabilidades orientado al lector profano, que le servira de base para la segunda introduccin de su "Teora analtica de las probabilidades" (tratado publicado en 1812), donde incluy una exposicin del mtodo de los mnimos cuadrados, base de toda la teora de los errores.......................................................................................................................................................................................El gran matemtico del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler, quien aport ideas fundamentales sobre el clculo y otras ramas de las matemticas y sus aplicaciones. Euler escribi textos sobre clculo, mecnica y lgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. Sin embargo, el xito de Euler y de otros matemticos para resolver problemas tanto matemticos como fsicos utilizando el clculo slo sirvi para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas bsicas del clculo. La teora de Newton estaba basada en la cinemtica y las velocidades, la de Leibniz en los infinitsimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparacin con el modelo lgico de la geometra griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior........................................................................................................................................................................................Euler, Leonhard(Basilea, Suiza, 1707-San Petersburgo, 1783)Matemtico suizo. Las facultades que desde temprana edad demostr para las matemticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli,Johann, uno de los ms eminentes matemticos de su tiempo y profesor de Euler en la Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institucin en 1723, cuatro aos ms tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidi con otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relev en la ctedra de matemticas. A causa de su extrema dedicacin al trabajo, dos aos ms tarde perdi la visin del ojo derecho, hecho que no afect ni a la calidad ni al nmero de sus hallazgos.Hasta 1741, ao en que por invitacin de Federico el Grande se traslad a la Academia de Berln, refin los mtodos y las formas del clculo integral (no slo gracias a resultados novedosos, sino tambin a un cambio en los habituales mtodos de demostracin geomtricos, que sustituy por mtodos algebraicos), que convirti en una herramienta de fcil aplicacin a problemas de fsica. Con ello configur en b