ANTENAS FRACTALES

Ing. Ricardo Campana VargasIngeniero Electrónico UNI

CIP 98490

El auge y crecimiento de las telecomunicaciones abren cada vez más las puertas de la exploración de nuevas alternativas en diseño que cubran las exigencias en ancho de banda, eficiencia, rapidez, economía, del nuevo milenio. En la última década, una nueva y revolucionaria teoría: los fractales, se ha abierto paso, proponiendo modelos para el diseño de antenas permitiendo la implementación de nuevos y mejores servicios en los sistemas móviles, circuitos RFID, dispositivos de micro onda y otros.

Introducción

La geometría tradicional, Euclidiana, es la rama de la matemática que se encarga de las propiedades y de las mediciones de elementos tales como puntos, líneas, planos y volúmenes mientras que la Geometría Fractal nos sirve de gran ayuda para comprender el mundo real. Las formas encontradas en la naturaleza, como montañas, franjas costeras, sistemas hidrográficos, nubes, hojas, árboles, vegetales, copos de nieve, y un sinnúmero de otros objetos no son fácilmente descritos por la geometría Euclideana. Esta necesidad venía reclamando un desarrollo geométrico añadido a lo ya conocido, capaz de enfrentarse al mundo real en sus formas reales. Lo ha dicho muy claramente Benoît Mandelbrot, padre de los fractales: “Las nubes no son esferas” pudiéndose añadir: ni paralepípedos, ni las nubes (o cualesquier otra forma natural) se pueden representar por figuras geométricas regulares o irregulares de las que se tienen amplias descripciones con desarrollos gráficos y de cálculo exhaustivos.

La geometría fractal provee una representación y un modelo matemático para las aparentemente complicadas formas de la naturaleza. Esta geometría está revolucionando diferentes áreas de la ciencia, desde la física, medicina, el procesamiento digital de señales hasta el diseño de antenas para las telecomunicaciones, tema de interés en este artículo.

Es así como durante la última década, investigadores han empezado a aplicar Fractales para diseños de antenas. Estas podrían parecer simples juegos geométricos, pero la teoría detrás de ellas, basadas en las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo y la geometría fractal, es compleja y se encuentra aún en desarrollo.

Los fractales y sus propiedades

Mandelbrot comenzó considerando algo tan conocido como que el mundo en que vivimos no está formado por objetos y figuras de perfiles regulares; en la Naturaleza no aparecen tales formas rectangulares como en las cajas o en los edificios construidos por el hombre, es decir, el mundo natural está lleno de perfiles irregulares. Las superficies planas o las formas regulares son excepción en la naturaleza. De aquí se extrae una primera conclusión, por lo demás tan obvia, como que estamos acostumbrados a aceptar una geometría que describe figuras que raramente (o nunca) se encuentran en el mundo real. La geometría de Euclides describe objetos ideales: cuadrados, círculos, cubos, esferas, etc. Que si actualmente se encuentran en nuestras vidas provienen, en su mayoría, de las manos del hombre y no originalmente de las de la Naturaleza.

Aquí algunos ejemplos de lo mencionado en el párrafo anterior:

Figura 1. Fractales en la naturaleza

Fractal: Según Mandelbrot un fractal se puede definir como: “Que tiene una forma, bien sea sumamente irregular, sumamente interrumpida o fragmentada y sigue manteniendo la misma forma a cualquier escala que se produzca el examen“.

El término fractal, es un adjetivo que implica la evidencia de ciertas propiedades que posee el objeto categorizado. Sin embargo, es usado frecuentemente para designar al objeto en cuestión. Alguna de éstas propiedades son: autosimilaridad, dimensión fraccionaria y no derivabilidad.

La autosimilaridad, nos dice que el objeto estudiado tiene copias reducidas de sí mismo a diferentes escalas, por lo tanto, cada parte del conjunto u objeto contiene la misma información que todo el conjunto. La siguiente figura muestra el copo de nieve de Koch. Se observa que si se toman pequeñas porciones, éstas son copias del original.

Figura 2. Curva de Koch.

La dimensión fraccionaria, propiedad importante y de la que se desprenden las demás, nos adentra en terrenos matemáticos más abstractos: la topología, que se apartan de los alcances de este artículo. Sin embargo podemos decir que las figuras, curvas y conjuntos fractales desafían la geometría Euclideana, ya que se sumergen en espacios de dimensiones que pueden ser fraccionarios. Una fórmula que ilustra esto, proveniente del concepto de dimensión es:

Ecuación (1)

Donde N es el número de particiones o segmentos del objeto y δ es el tamaño de dichos segmentos.

La dimensión está directamente ligada con los grados de libertad. Cuando la dimensión es 0, solo podría existir ahí un punto inmóvil, y sin límites. Si en cambio la dimensión es 1 ya tenemos una recta y existe un grado de libertad, que es el de moverse de izquierda a derecha por ejemplo. Ahora, si la dimensión es 2 tenemos un plano, con 2 grados de libertad, podemos movernos de izquierda a derecha nuevamente y de arriba hacia abajo, y obviamente en diagonales. Por último, si la misma es 3 estamos en una situación como la anterior solo que se le agrega un tercer grado de libertad que es la profundidad.

Para poder visualizar la dimensión fraccionaria de un fractal, tomemos como ejemplo a la curva de Koch de la figura anterior y la manera de generarla. Un fractal se genera en tres etapas. En la primera de ellas elegimos una figura generadora. En nuestro caso será una línea recta, pero generalmente se puede elegir cualquiera. Después se aplica un algoritmo, y por último comenzamos a iterar la figura resultante. Así, tomamos una línea recta, le aplicamos un algoritmo tal que al apoderarse de la misma, la divida en tres segmentos iguales, una vez hecho eso, elimine el segmento del centro y lo reemplace por otros dos de la misma longitud, como lo muestra la siguiente figura. Hasta ahí los dos pasos de generación, ahora comienza la iteración.

Figura 3. Generación de la curva de Koch.

Para calcular la dimensión fractal utilizamos la ecuación (1). En este caso N es 3, ya que dijimos que el algoritmo dividiría nuestra imagen generadora en 3 segmentos iguales. Y aquí aparece la gran novedad. El algoritmo toma uno de esos segmentos y lo transforma en dos. Por lo tanto nuestra N no será 3, sino 4. En cuanto al tamaño de cada uno de estos segmentos, éste es 1/3 de la longitud del segmento original; y aplicando la ecuación (1) se obtiene la dimensión D = 1.26185… A manera de comprobar la validez de la fórmula, el lector puede evaluar la dimensión de una recta, un plano y un cubo, en cuyos casos las dimensiones serán de 1, 2 y 3 respectivamente (enteros).

Debido a su naturaleza fraccionada y discontinua, las figuras u objetos fractales, no poseen derivada en ningún punto contrastando con la naturaleza suave y continua de las funciones del cálculo.

Existen numerosos y muy variados conjuntos fractales documentados hasta ahora y muchas formas de clasificarlos. Se puede separarlos en dos grandes grupos: determinísticos y no determinísticos o estadísticos. También podemos clasificarlos como fractales matemáticos (por iteración de números complejos y otras operaciones) y geométricos, aunque todos tengan inevitablemente su representación gráfica. Esta clasificación se refiere al origen del algoritmo de recurrencia.

Antenas fractales

Las antenas son en esencia aparatos de banda estrecha. Su comportamiento es altamente dependiente de su tamaño y de la longitud de onda operante. Esto significa que para un tamaño de antena fijo, los parámetros principales de la antena (ganancia, impedancia de entrada, patrón de radiación, nivel y distribución secundarios del lóbulo) sufrirán fuertes variaciones cuando se cambia la frecuencia operante.

Tomemos, por ejemplo, un dipolo lineal. En la siguiente figura se muestra la evolución del patrón de radiación. Cada vez que la frecuencia se duplica, varios glóbulos aparecen, modificando el modo en que la antena irradia la potencia en el espacio.

Figura 4. Patrones de radiación de un dipolo lineal a distintas frecuencias.

Análogamente, la dependencia de la frecuencia también implica que la antena tiene que mantener un tamaño mínimo relativo a la longitud de onda para operar con eficiencia. Esto es, dada una frecuencia en particular, la antena no puede ser construida arbitrariamente pequeña; usualmente en el orden de un cuarto de longitud de onda.

La dependencia con el tamaño de la longitud de onda es un problema en muchos sistemas donde diseños de antenas anteriores no son convenientes. En ese sentido, el diseño de antenas fractales y arreglos puede ayudar a tratar el problema, contribuyendo con una amplio y variado conjunto de figuras geométricas con propiedades sorprendentes.

La razón por la cual usar un diseño fractal para hacer antenas es doble. Primero, uno puede esperar una antena con autosimilitud (que contiene varias copias de si mismas a diferentes escalas), que pueda operar en un modo similar en diferentes bandas de frecuencia. Segundo, debido a las propiedades de relleno de espacio de algunas figuras fractales (la dimensión fractal), pueden permitir el realizar antenas más pequeñas con figuras fractales para tomar ventaja del espacio circundante. En las siguientes figuras se

muestran algunas de estas antenas que vienen experimentándose y en algunos casos ya se cuenta con aplicaciones prácticas.

Figura 5. Antenas fractales. a) Triángulo de Sierpinski. b) Curva de Koch.

La propiedad de autosimilitud de los fractales las hace muy convenientes en el diseño de antenas multibanda. En diseños de antenas, el uso de formas fractales hace que la frecuencia de operación y las dimensiones de las antenas sean independientes. Luego entonces una antena fractal es un arreglo de pequeños elementos lineales con una distribución fractal en el espacio.

Propiedades

Son de banda ancha. Irradian y detectan de una manera muy eficiente un ancho rango de frecuencias. Este rango queda especificado por la más pequeña y la más grande de las dimensiones.

Tienen una ganancia considerablemente mayor en comparación con las antenas de dipolo y ésta depende de la frecuencia dentro del rango antes mencionado. Puede relacionarse con la estructura espacio – temporal del patrón de radiación.

El parámetro estructural que describe al fractal es la dimensión fraccionaria o dimensión fractal definida por la ecuación (1). Esta última, es un parámetro muy importante de las antenas fractales, el cual tiene un impacto significativo en la estructura espacial y en la intensidad del patrón de radiación.

Una antena fractal tiene una distribución no uniforme de elementos radiantes. Cada uno de ellos contribuye al total de la densidad de potencia radiada en un punto de campo con una amplitud vectorial y fase. Se debe tener en cuenta que, una antena fractal no es aquella en la cual se realizan infinitas iteraciones del algoritmo que las define, sino por el contrario, el diseñador es el que determina finalmente la cantidad de iteraciones de su antena.

Otra consideración a tener en cuenta es que una antena fractal es básicamente construida en microcinta, debido a las necesidades de miniaturización.

Antena hexagonal

A modo de ilustración veamos la siguiente figura en la que se muestra la forma base de un hexágono fractal y su primera y segunda iteración.

Figura 6. Fractal hexagonal.

Para esta antena, la longitud del lado del hexágono es de 3 cm. y un substrato de 2 mm de grosor. La línea de la microcinta es de 1 mm. de ancho y el material del substrato es cobre. La dimensión total es de 7 x 7

cm. La alimentación se encuentra a cada lado en una esquina. La figura 7 muestra la estructura de la antena en la capa de dieléctrico

Figura 7. Estructura de la antena.

El comportamiento de esta antena fue simulado en MWO (Microwave office), arrojando los siguientes resultados:

Figura 8. Pérdidas de retorno y relación de onda estación

Los gráficos de la figura 8 muestran que, efectivamente esta antena es de banda ancha y puede utilizarse en el rango de 0.1 GHz a 24 GHz, dado que las pérdidas de retorno a estas frecuencias son menores a los -10 dB y el VSWR < 2.

Si pasamos ahora al estudio del patrón de radiación en el plano E, los gráficos de la figura 9 muestran los patrones para el rango de frecuencias entre 0.1 y 24 GHz y en los planos principales φ = 0º y φ = 90º. Se observa que el campo eléctrico dentro del rango de frecuencias cambia muy poco.

Figura 9. Patrón de radiación de E en los planos principales φ = 0º y φ = 90º.

La figura 10 describe el patrón de radiación de densidad de potencia en el plano principal φ = 0º. Este solo depende de las componentes no radiales del campo eléctrico, mas no así de la polarización (circular derecha o circular izquierda).

Figura 10. Patrón de radiación de potencia en el plano principal φ = 0º.

Los resultados muestran que, efectivamente esta antena es de banda ancha y que su patrón de radiación no es dependiente de la frecuencia de operación.

Conclusiones

Los diseños y aplicaciones de las antenas fractales son muchos, dado que el avance de los sistemas de comunicaciones y el importante incremento de otras aplicaciones de los sistemas inalámbricos, las antenas de banda ancha y de bajo contorno, tienen gran demanda tanto para aplicaciones comerciales como militares.

Se pueden resumir las aplicaciones actuales así:

Sistemas Móviles Celulares:

Antenas en estaciones base y antenas en teléfonos receptores.

Dispositivos de Micro ondas:

Circuitos microcinta detectores de radiofrecuencia (RFID), antenas micro cinta.

Otras:

Aeronáutica, sector automotor, comunicaciones marítimas y aplicaciones militares.

Sus propiedades especiales como la autosimilitud, rugosidad, dimensión fraccionaria, etc., se están empleando en el diseño de nuevas y mejores antenas que abrirán las posibilidades de las nuevas generaciones de sistemas de comunicaciones 3G y 4G, permitiendo una integración eficiente de los nuevos servicios.

Actualmente los esfuerzos se centran principalmente en el diseño de antenas para los sistemas móviles, dando una solución barata, fácil y rápida.

Sin duda, estos nuevos diseños se constituirán en una pieza clave en el avance de los sistemas de telecomunicaciones del futuro.