Embed Size (px)
Citation preview
“RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS MEDIANTE LA APLICACIÓN DEL MÉTODODE POLYA PARA MEJORAR EL RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO.”
CAMPUS "SAN PEDRO CLAVER, S . J." DE LA VERAPAZSAN JUAN CHAMELCO, ALTA VERAPAZ, MARZO DE 2018
MARIO ANTHONY ALVARADO CUC CARNET 24281-12
TESIS DE GRADO
LICENCIATURA EN LA ENSEÑANZA DE MATEMÁTICA Y FÍSICAFACULTAD DE HUMANIDADES
UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVAR
HUMANIDADESTRABAJO PRESENTADO AL CONSEJO DE LA FACULTAD DE
“RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS MEDIANTE LA APLICACIÓN DEL MÉTODODE POLYA PARA MEJORAR EL RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO.”
EL TÍTULO Y GRADO ACADÉMICO DE LICENCIADO EN LA ENSEÑANZA DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
PREVIO A CONFERÍRSELE
SAN JUAN CHAMELCO, ALTA VERAPAZ, MARZO DE 2018CAMPUS "SAN PEDRO CLAVER, S . J." DE LA VERAPAZ
MARIO ANTHONY ALVARADO CUC POR
TESIS DE GRADO
UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVARFACULTAD DE HUMANIDADES
LICENCIATURA EN LA ENSEÑANZA DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
ING. JOSÉ JUVENTINO GÁLVEZ RUANO
DRA. MARTA LUCRECIA MÉNDEZ GONZÁLEZ DE PENEDO
P. JULIO ENRIQUE MOREIRA CHAVARRÍA, S. J.
LIC. ARIEL RIVERA IRÍAS
LIC. FABIOLA DE LA LUZ PADILLA BELTRANENA DE LORENZANA
SECRETARIA GENERAL:
VICERRECTOR ADMINISTRATIVO:
VICERRECTOR DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA:
VICERRECTOR DE INVESTIGACIÓN Y PROYECCIÓN:
P. MARCO TULIO MARTINEZ SALAZAR, S. J.
VICERRECTORA ACADÉMICA:
RECTOR:
AUTORIDADES DE LA UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVAR
AUTORIDADES DE LA FACULTAD DE HUMANIDADES
DECANO: MGTR. HÉCTOR ANTONIO ESTRELLA LÓPEZ, S. J.
VICEDECANO: DR. JUAN PABLO ESCOBAR GALO
SECRETARIA: MGTR. ROMELIA IRENE RUIZ GODOY
REVISOR QUE PRACTICÓ LA EVALUACIÓN
NOMBRE DEL ASESOR DE TRABAJO DE GRADUACIÓNMGTR. JULIO ARMANDO VALDEZ PINEDA
MGTR. OSCAR ALFREDO MOLINA CÚ
INDICE
I. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 1 1.1 Razonamiento ...................................................................................................................... 8 1.2 Tipos de Razonamiento........................................................................................................ 9 1.2.1 Razonamiento deductivo ................................................................................................... 9
1.2.2 Razonamiento inductivo ............................................................................................... 9 1.2.3 Razonamiento lógico y no lógico. ................................................................................ 9 1.2.4 Razonamiento hipotético ............................................................................................ 10 1.3 Razonamiento lógico matemático .................................................................................. 10 1.4 Modos de Razonamiento................................................................................................ 11
1.4.1 Analogía ...................................................................................................................... 11
1.4.2 Generalización ............................................................................................................ 11 1.4.3 Signos .......................................................................................................................... 12
1.4.4 Causa ........................................................................................................................... 12 1.4.5 Autoridad .................................................................................................................... 12 1.4.6 Racionalidad ............................................................................................................... 12 1.4.7 Moralidad .................................................................................................................... 12
1.4.8 Semejanza o comparación ........................................................................................... 12 1.4.9 Experiencia personal ................................................................................................... 13
1.4.10 Pragmático o de utilidad ........................................................................................... 13 1.5 Pensamiento o razonamiento ............................................................................................. 13
1.6. Método de Pólya ............................................................................................................... 14 1.6.1 Origen del Método de Pólya ....................................................................................... 14
1.6.2 Clasificación del Método de Pólya ............................................................................. 15 1.7 Niveles de Aprendizaje .................................................................................................. 18
1.8 Resolución de Problemas ................................................................................................... 18 1.8.1 Fases para resolver un problema mediante el método de Pólya ................................. 19 1.9 Clasificación de problemas matemáticos ....................................................................... 20
II. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.......................................................................... 22 2.1 Objetivo General ............................................................................................................ 24
2.2 Hipótesis .................................................................................................................... 24 2.2.1 Hipótesis Nulas y Alternas.......................................................................................... 24 2.3 Variables de estudio ....................................................................................................... 25 2.3.1 Variable independiente ............................................................................................... 25
2.3.2 Variable dependiente .................................................................................................. 25 2.4 Definición conceptual de las variables .............................................................................. 25
2.4.1 Variable conceptual .................................................................................................... 25 Variable operacional ............................................................................................................ 26 2.5 Alcances y límites .......................................................................................................... 27 2.6 Aportes ........................................................................................................................... 27
III. MÉTODO .......................................................................................................................... 28
3.1 Sujetos ................................................................................................................................ 28 3.2 Instrumento .................................................................................................................... 29 3.3 Procedimiento ................................................................................................................ 30 3.4 Tipo de Investigación, diseño y metodología estadística ............................................... 31
IV. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS ............................................................................ 33
4.1Resultados obtenidos: ..................................................................................................... 33 V. DISCUSIÓN DE RESULTADOS ...................................................................................... 45
VI. CONCLUSIONES ............................................................................................................. 48
VII. RECOMENDACIONES .................................................................................................. 50 VIII. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................ 51 IX. ANEXO ............................................................................................................................. 53
Resumen
Este trabajo de investigación fue realizado para con la finalidad de determinar si la resolución
de problemas mediante la aplicación del método Pólya mejora el razonamiento lógico
matemático, llevado a cabo con estudiantes de primero básico del Instituto Nocturno
“Guillermo Alonzo Argueta Arbizú” del municipio de San Juan Chamelco, departamento de
Alta Verapaz. Todo con el propósito de formar estudiantes con habilidades de razonamiento y
que a la vez adquieran capacidades constructivas, creativas e innovadoras que le permitan
desenvolverse dentro del aula como fuera de ella.
Para esta investigación se utilizó la metodología cuantitativa de diseño cuasiexperimental con
una distribución de 40 alumnos, 20 en cada sección.
Para la resolución de un ejercicio, el alumno aplica procedimientos básicos para llegar a un
resultado antes de que se inicie el tratamiento. Luego del tratamiento dicho alumno tendrá que
resolver problemas con el método de Pólya, para ello debe comprender, analizar, reflexionar y
ejecutar pasos originales que no había ensayado antes para resolver el problema, luego
comprobar si su respuesta ha sido la correcta.
Además dicha investigación también se basó en procesos como la observación para ver como
se desenvolvias en los estudiantes, luego se aplicó un pre-test y luego un pos-test, esto con la
finalidad de comprobar la efectividad de la resolución de problemas mediante la aplicación del
método Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático. Contando ya con la aplicación
de este método los estudiantes ahora trabajan analíticamente; comparten ideas, criterios e
intereses fomentando la unidad y así lograr trabajar en equipo, esto sirve como un antecedente
para futuros licenciados en matemática y física para que utilicen métodos que impliquen el uso
de la imaginación, la comprensión, la formulación de un plan y llevarlo a la práctica para lograr
resultados positivos
1
I. INTRODUCCIÓN
A lo largo de los años el Ministerio de Educación de Guatemala ha tratado de desarrollar en
los estudiantes el pensamiento lógico – matemático para ayudarlos a razonar con eficiencia,
buscando sobresalir ante cualquier contexto en el que se encuentre, dicho Ministerio ha
propuesto estrategias que generen un impacto en los estudiantes los cuales no han sido
suficientes para que se alcancen los resultados esperados, debido a que se ha dado prioridad a
otras materias dejando en el olvido lo propuesto en las áreas numéricas.
Según los datos publicados en la página web de la Dirección General de Evaluación e
Investigación Educativa del Ministerio de Educación de Guatemala, el logro en matemática en
el año 2013 del nivel medio fue de 8.51 por ciento, mientras que en el 2,014 alcanzó 8.47 por
ciento.
Y del logro en Matemática alcanzado en todo el territorio nacional, el 5.02 por ciento fue
excelente y el 3.49 por ciento, satisfactorio. Mientras, que los estudiantes que no alcanzaron el
logro en esta materia es el 91.49 por ciento, el 27.13 por ciento debe mejorar y el 64.36 es
insatisfactorio.
Para llegar a obtener estos resultados cabe resaltar que han influido muchos factores entre ellos
puede ser la poca especialización de docentes en dicha materia y la manera de enseñar los
contenidos del área, el docente de matemática no debe cubrir el curso solo por salir del paso
sino debe de enseñar con calidad para lograr formar estudiantes con capacidades cognitivas
que sean de beneficio para su formación académica.
Al conocer de estos datos es una obligación del docente especializado en matemática y física,
mejorar los índices de estudiantes de tal modo que todos puedan aprender y sobresalir en las
áreas numéricas, además, los estudiantes tienen que saber razonar con amplitud y desarrollar
el pensamiento lógico matemático para mejorar el aprendizaje.
A nivel nacional en dicho informe se presenta la tendencia del logro nacional en matemáticas
a partir del año 2006 al 2013. El punto de partida muestra un 5.4% de logro, los años posteriores
los resultados mostraron un descenso hasta caer a su punto más bajo en el año 2009. A partir
del año 2010, se inicia un proceso de recuperación hasta llegar a un 8% en el 2013.
2
El Ministerio de Educación de Guatemala (2013) presentó el informe de graduandos en el área
numérica del departamento de Alta Verapaz, el cual se ubica en el puesto 11, ordenados
descendentemente los departamentos, según el porcentaje de logro en matemáticas, un escalón
por debajo de la posición obtenida en el año 2012, quedando 2 municipios (San Juan Chamelco
y Cobán) por encima del logro departamental en matemática obteniendo el resto de los
municipios un logro insuficiente.
Con base a los datos publicados en los ultimos años por el Ministerio de Educacion se han
desarrollado distintas investigaciones con el fin de plantear resultados que beneficien a los
estudiantes para generar habilidades, destrezas y conocimientos en el área numérica. Por esa
razón esta investigación pretende establecer el efecto que tiene la resolución de problemas
mediante el método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático de los
estudiantes.
Saquic (2017) en el artículo de incidencia del método Pólya en la resolución de problemas con
operaciones aritméticas establece: Que su finalidad es determinar el desempeño de los
estudiantes de primero Básico Sección B del Centro Educativo Ri Tinamit Kuwalsaj Rib’, Fe
y Alegría Nó. 11, de la jornada matutina, utilizando el Método Pólya utilizando el método de
Pólya, además deja en claro que es una investigación cuantitativa de diseño cuasi experimental
teniendo como prioridad determinar el desempeño de los estudiantes de primero Básico del
grupo experimental a la hora de realizar operaciones aritméticas utilizando el método de Pólya.
Para ellos cabe destacar que trabajó con un grupo control y experimental usando un pre test y
post para determinar los resultados y así conocer la incidencia e impacto que ha logrado en los
estudiantes.
Para la obtención de los resultados se aplicó una pre y post prueba de 15 ítems con respuestas
múltiples y basados en la taxonomía de Marzano, una intervención de 15 sesiones con el grupo
experimental implementando el método de Pólya, donde en la post prueba el grupo
experimental alcanzó un promedio de 74.66 puntos, con una diferencia de 29.08 puntos
comparado con el grupo control con un promedio de 45.58 puntos. El grupo experimental
mejoró 23.49 puntos a comparación del promedio obtenido en la pre prueba (51.17 puntos). Se
comprobó la efectividad del método de Pólya en la resolución de problemas matemáticos
utilizando operaciones aritméticas
3
Beltrán (2016) en su investigación de dificultades de los adolescentes de Secundaria en la
resolución de problemas durante el aprendizaje matemático, recalca que tiene un fin, y es la de
encontrar ¿qué dificultades son las que más afectan al estudiante y conocer cuál es el nivel que
tienen los estudiantes con el objetivo de determinar el nivel de dificultad en la resolución de
problemas matemáticos?. El trabajo de campo se realizó con 36 estudiantes con edades
comprendidas de 12 a 16 años de primero Básico, del Instituto Nacional de Educación Básica
de Telesecundaria “Humberto Porta Mencos”, de Aldea Santa Inés, del municipio de los
Amates, departamento de Izabal. La investigación fue cuantitativa con un enfoque cuasi
experimental, dejando en claro que los instrumentos que se utilizaron en esta investigación
fueron un cuestionario para el que la resolviera el docente que consta de preguntas para
determinar si los estudiantes presentan dificultades para resolver problemas matemáticos, así
mismo un prueba para los estudiantes llegando a conocer si es el docente quien influye en las
dificultades que presentan y un test con distintos tipos de preguntas para conocer cuáles son las
dificultades que tienen dichos estudiantes y en qué nivel las presentan. Al analizar los datos se
concluyó que las tres dificultades que presentan los estudiantes son: comprensión del problema,
dificultad de razonamiento y dificultad en la elección del procedimiento. Al analizar los datos
se concluyó que la dificultad encontrada en los estudiantes con el nivel más alto es la de
razonamiento del problema ya que un 80% de ellos las presenta. Así mismo se encontró que la
metodología aplicada por el docente incide para resolver problemas matemáticos.
Arenales (2015) en el artículo de resolución de problemas mediante competencias realiza un
enfoque cuantitativo, con diseño no experimental de tipo correlacional, que realizó con el
objetivo de determinar la relación entre las competencias de comprensión lectora y la de
resolución de problemas matemáticos, en los estudiantes de tercero primaria de un
establecimiento privado ubicado en Santa Catarina Pínula, Municipio de Guatemala, Jornada
matutina. Se contó con una muestra de 85 estudiantes, cuya edad oscila entre 9 y 10 años. Los
instrumentos usados fueron la Serie Interamericana de Lectura, nivel 2, elaborada por
Guidance Testing Associates, que evalúa tres aspectos: Nivel de Comprensión, Velocidad de
Comprensión y Vocabulario. Además, se utilizó una prueba elaborada por la investigadora para
evaluar la resolución de problemas matemáticos y medir cual es el nivel que tienen los
estudiantes, la cual consta de dos partes: Una prueba de comprensión del problema, con un
enunciado y 10 ítems, que evalúan los cuatro pasos para resolver un problema matemático
según el modelo de Pólya: comprender, hacer un plan, resolver y revisar. Otra prueba de
4
resolución del problema, en la cual los estudiantes encuentran la solución del enunciado con
operaciones matemáticas, siguiendo el modelo mencionado. Los resultados que obtuvo a la
correlación entre la comprensión lectora y la resolución de problemas matemáticos es de 0.263
indicando así que si hay una correlación significativa la cual es baja, lo que quiere decir que la
lectura comprensiva sí incide en la resolución de problemas matemáticos. Por otra parte, en la
prueba de resolución de problemas matemáticos, la correlación entre la comprensión y la
resolución del problema muestra una correlación de 0.736, lo que demuestra que sí hay una
correlación estadísticamente significativa en una escala positiva alta entre las dos
competencias. Es por ello, que se sugiere e invita a que se implemente un programa de
estrategias de lectura ya que la implementación hará que los estudiantes cuenten con un proceso
estratégico de la misma. Esto tendrá un impacto para la mejora progresiva y continúa del nivel
lector de los estudiantes que reciban el programa, lo que incidirá positivamente en su habilidad
de resolución de problemas matemáticos.
Escalante (2015) en el artículo resolución de problemas matemáticos mediante el método de
Pólya realizado con los estudiantes de quinto primaria, sección “A”, de la Escuela Oficial Rural
Mixta “Bruno Emilio Villatoro López”, municipio de La Democracia, departamento de
Huehuetenango, Guatemala". Comenta que dicha investigación fue realizada con la finalidad
de determinar los pasos que se aplican en el método Pólya en la resolución de problemas
matemáticos. Teniendo como propósito formar estudiantes con competencias cognitivas y que
a la vez se adquieran capacidades constructivas e innovadoras. Para esta investigación se utilizó
la metodología cuantitativa de diseño cuasi-experimental, con una distribución probabilística,
de manera que la muestra fue de 25 sujetos entre las edades de 9 a 11 años que cursaron quinto
grado primaria. Ya a la hora de resolver los ejercicios, los estudiantes aplican procedimientos
para poder resolverlos, pero resolver problemas con este método el estudiante debe primero
comprender lo que está haciendo para luego razonar y ejecutar pasos originales que no había
ensayado antes para la solución del problema, continuando con una comprobación para ver si
su respuesta esta correcta. Dicha investigación también se basó en procesos como la
observación, luego se aplicó un pre y post test, esto con la única finalidad de corroborar si hubo
alguna efectividad a la hora de utilizar el método Pólya aplicado a la resolución de problemas
matemáticos. Con la aplicación de este método los estudiantes ahora trabajan analíticamente
de forma racional; dejando constancia como antecedente de que los futuros docentes
especializados en el área numérica puedan utilizarlo para mejorar el rendimiento académico de
los estudiantes.
5
Molina (2014) en el artículo Aprendizaje significativo y resolución de problemas de
ecuaciones de primer grado, indica que fue una investigación de tipo cuasi experimental,
llevado a cabo en el Instituto Nacional de Educación Básica Experimental “Fray Francisco
Jiménez”, de Santa Cruz del Quiché, departamento de El Quiché, en los resultados cabe
recalcar que es importante la aplicación de técnicas que ayudan a originar un aprendizaje
significativo, llegando a una conclusión clave que nos indica que la corriente pedagogía
impulsada por David Ausubel, en la década de 1970, provoca que los estudiantes tengan una
participación activa además mantiene la motivación y los estudiantes adquieren conocimientos
nuevos, luego en las actividades cotidianas se aplican esos nuevos conocimientos que ayudan
a construir el propio aprendizaje y el de los demás al momento de discernir y llegar a las
conclusiones. Para dicha investigación se trabajó con 38 estudiantes de primero básico del
Instituto Experimental Fray Francisco Jiménez, de Santa Cruz del Quiché, departamento de El
Quiché, que corresponde al 100% de la población, con edades que oscilan entre 12 y 14 años,
de ambos sexos y grupo étnico maya y mestiza, procedentes de diferentes zonas de la ciudad y
comunidades cercanas del casco urbano.
El trabajo de campo se llevó a cabo por medio de la aplicación de un pre test para conocer
inicialmente la situación de los estudiantes, luego un post test para establecer la relación del
antes y después. Para concluir Molina recomienda utilizar distintas técnicas que se adecuen a
la resolución de problemas buscando ser lo más creativo posible así mismo lograr un
aprendizaje significativo incentivando la motivación y participación de los estudiantes para que
logren un conocimiento que le permita desenvolverse en sus actividades cotidianas.
Por otro lado se encuentra el contexto internacional, en el cual se han desarrollado
investigaciones relacionadas con el área numérica, debido a la debilidad y dificultad que tienen
los estudiantes en esta área al momento de solucionar los problemas lógico- matemáticos que
se les presenta, es por ello que se busca implemetar estrategias de aprendizaje para que el
estudiante estimule sus habilidades y capacidades de aprendizaje, siendo importante para la
formación académica y profesional.
López (2014) en el artículo publicado llamado: Aplicación del Método de George Pólya en las
sesiones de enseñanza aprendizaje del Módulo Auto Instructivo influyó significativamente en
el desarrollo de las Capacidades de Aprendizaje de los estudiantes de Educación primaria en el
Área de Matemática del colegio Experimental de Aplicación de la Universidad Nacional de
Educación buscando mejorar el razonamiento lógico de los jóvenes en el curso. El tipo de
6
investigación que realizó es de tipo experimental donde se manipula la variable independiente
para ver los efectos que ocurren en la variable dependiente, la investigación corresponde a un
diseño cuasi experimental con pre y post test, con un grupo control y experimental.
Concluyendo que los estudiantes necesitan en todo el proceso de enseñanza un modelo de
enseñana para que puedan guiarse por sí mismos y todos aprendan al mismo tiempo.
Galindo (2007) en el artículo modelo de Pólya centrado en resolución de problemas en la
interpretación y manejo de la integral definida, concluye en lo siguiente: Una de las mayores
dificultades de los estudiantes es que no están acostumbrados a solucionar problemas por lo
que al ver el problema, el estudiante colapsa. Pero si se tratará de un problema que presenta ya
resuelto el planteamiento este no tiene dificultad alguna, ya que el estudiante prefiere tener una
buena lectura que razonar por sus propios medios, entonces el ejercicio al estudiante se le
convierte en una actividad frustrante y los desmotive, aunque para ellos es clara la importancia
de este manejo interpretativo y propositivo para su accionar.
Además, concluye que el método de Pólya es una estrategia que genera creatividad intelectual
en los estudiantes, se presenta mayor interrelación entre los estudiantes e ingenio para
solucionar los problemas propuestos.
Activa el pensamiento y la acción del estudiante, lo que permite al estudiante ir en busca del
conocimiento, fomenta el trabajo en equipo ya que genera actitud cooperativa, permite un
acercamiento muy seguido entre profesor-alumno convirtiendo el entorno en un lugar seguro
y de buen ambiente.
Como estrategia pedagógica el modelo de Pólya, para la resolución de problemas mejora la
actitud de todos los estudiantes en el curso de matemática, este método permite que el
estudiante este motivado en comparación con el método que llamamos método magistral
conocido como la forma tradicional de enseñar por como adopta la actitud del docente que solo
busca enseñar por salir del paso.
7
Vera (2013) en su artículo titulado resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales
con dos variables, en la facultad de Humanidades cuyo trabajo de investigación, detalla la
elaboración, aplicación y análisis de los resultados de una Secuencia didáctica orientada a
estimular en los estudiantes de cuarto año de Secundaria el desarrollo del razonamiento y la
capacidad de resolver problemas con sistemas de ecuaciones lineales con dos variables y
contribuir a que superen las dificultades que suelen presentarse. En el análisis de los resultados
se usa también la Teoría de Registros de Representación Semiótica de Duval. La secuencia
didáctica se aplicó a los alumnos del cuarto año del Nivel Secundario del Colegio Weberbauer,
y se recopiló y analizó los resultados obtenidos.
Peña (2008) su artículo consistió en proponer un diseño de estrategias a partir del método de
pólya para facilitar la resolución de problemas relacionada a figuras planas con estudiantes del
Liceo Bolivariano durante el ciclo escolar 2007-2008. La investigación tuvo un enfoque de
estudios proyectivos. Este tipo de estudio aportar una solución a un problema que es muy
notorio en una realidad que no solo se vive en Bolivia sino que es a nivel de latinoamérica en
especial en el ámbito educativo. El diseño fue de campo no experimental. Las poblaciones de
estudio estuvieron conformadas por distintos docentes del área de matemática y por 263
estudiantes. Entre los resultados se sacó una muestra estratificada que representó el 25%. En
ambas se paso una prueba semi-estructurada, conformada por pruebas abiertas y cerradas. En
dichos resultados se evidenció las debilidades de los estudiantes concluyendo en que los
jovenes dependen mucho de las estrategias para realizar los ejercicios de resolución de
problemas debido a que sin dichas estrategias los resultados son demasiado bajaos y utilizando
las estrategias los resultados estan por encima de lo esperado buscando como finalidad tener
una dinámica en el curso permitiendo que los alumnos desarrollen distintas habilidades de
razonamiento lógico que ayuden en su buen desarrollo en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Patiño (2007) en la investigación sobre el modelo de Pólya centrado en resolución de
problemas en la interpretación y manejo de la integral definida, comenta que en los cursos de
matemáticas se ha venido encontrando un desfase entre el manejo algorítmico y el conceptual
aplicado a la solución de problemas de situaciones reales ya que los alumnos presentan
demasiadas dificultades para poder resolverlas, por tal motivo, se hace necesario diseñar
nuevas estrategias didácticas que permitan cerrar esta brecha y así mejorar el desempeño del
estudiante y futuro profesional preparándolo con el único fin de desempeñarse de mejor manera
8
dentro de la sociedad. Bajo esta perspectiva, con el modelo de Pólya centrado en la resolución
de problemas, el enfoque de la metodología cualitativa, el diseño de la metodología
investigación acción y con el apoyo del profesor, se busca desarrollar en el aula de clase, una
actividad que mejore la interpretación y manejo de la integral definida, mediante la aplicación
del Modelo de Pólya centrado en la resolución de problemas de la vida real.
Al identificar las diferentes investigaciones realizadas en los últimos años tanto a nivel nacional
como internacional, cabe resaltar la importancia que tiene el razonamiento lógico- matemático
en los estudiantes, es por ello que se debe conocer el concepto de cada tema referente al
razonamiento para poder contextualizarlo en distintos niveles educativos.
En los siguientes párrafos se desarrolla el marco teórico el cual tiene como finalidad determinar
los pasos que aplica el método Pólya en la resolución de problemas matemáticos, teniendo
como prioridad mejorar el razonamiento lógico matemático y puedan aplicarlo tanto en el
contexto numérico como en su vida cotidiana.
1.1 Razonamiento
Damásio (1994) refiere al razonamiento como la facultad que permite a las personas poder
resolver problemas, extraer conclusiones y aprender de manera consciente en base a los
hechos.
Pero, más a fondo según Pierce (1988) el razonamiento es la capacidad del ser humano de que
con un ordenamiento de sus pensamientos pueda generar una idea lógica. Con esta idea
lógica se obtienen respuestas y resoluciones a los problemas de cualquier índole. Quien razona
tiene en su poder la herramienta más importante para definirse en sociedad como parte de esta.
El razonamiento es actividad mental y todo lo relacionado con el pensamiento que se pueda
conseguir una respuesta es llamado como tal.
Se llama razonamiento al resultado de la actividad mental de analizar, es decir, un conjunto de
proposiciones enlazadas entre sí que dan apoyo o justifican una idea. Monereo (2001).
9
Por lo tanto, razonar es la actividad mental que permite a la persona lograr una estructuración
y organización de distintas ideas para llegar a una conclusión. Para ello existen tipos de
razonamiento.
1.2 Tipos de Razonamiento
1.2.1 Razonamiento deductivo
Sócrates (399 a. C.) define al razonamiento que requiere de una conclusión que parte
de determinadas premisas. Este tipo de razonamiento va de lo general a lo particular. Este al
partir de premisas se considera como válido, por lo tanto, si las premisas son verdaderas,
también lo llegarán a ser las conclusiones.
Newman (2006) expresa que Aristóteles y sus discípulos lograron implantar el
razonamiento deductivo como un proceso del pensamiento en las afirmaciones generales se
llega a afirmaciones específicas aplicando las reglas de la lógica.
1.2.2 Razonamiento inductivo
Tversky (1972) define el tipo de razonamiento donde se crea una conclusión probable
que se establece acorde a las premisas dadas. Este se establece en que, si diversos
acontecimientos presentan la misma situación al de sus premisas, existe la probabilidad de que
el resultado sea el mismo. Se distingue del razonamiento deductivo, por su conclusión, la cual
no desprende obligatoriamente de las premisas. La conclusión en un razonamiento inductivo
se consigue con la observación directa de ciertos casos particulares. Este va de lo particular a
lo generar.
1.2.3 Razonamiento lógico y no lógico.
Carmona (2010) comenta que este tipo de razonamiento puede ser tanto válidos o
correctos, como no inválidos o incorrectos. Los primeros se dan cuando las premisas aportan
un soporte suficiente para la conclusión; y los no válidos son considerados como falacias.
10
En cambio el razonamiento no lógico se suele llamar como razonamiento informal, este no solo
parte de premisas, ya que tiene otras alternativas como son las soluciones, donde se basa del
contexto y de la experiencia.
El razonamiento también es una herramienta conductora de la persona por el camino
que decida tomar, independientemente cual sea, lo ayudará a que sea un complemento de las
decisiones. También da como resultado una conclusión, el entendimiento va de un nivel a otro
a medida que se puede lograr el aprendizaje, y de este modelo se consiguen resultados
concretos para beneficio de quien lo practique. Rodríguez (2004)
1.2.4 Razonamiento hipotético
Piaget (1988) comenta que por medio de la observación de variados signos llega a una
conclusión, donde al verlas en conjunto se logra confirmar una determinada hipótesis, ya que
las probabilidades aumentan considerablemente.
1.3 Razonamiento lógico matemático
Piaget (1988) define la capacidad que va adquiriendo la persona por el paso de los años
que le permite poder desarrollar y realizar todo tipo de ejercicios que se le van presentando en
su día a día.
Esto le permite a la persona familiarizarse con aspectos que pueden parecer ajenos a su
conocimiento y entorno pero que por lo general le es muy útil en su crecimiento. También le
permite estimularse positivamente en el aspecto creativo y su exploración en la búsqueda de
distintas soluciones que le beneficien a corto, mediano y largo plazo.
El razonamiento lógico matemático no existe por sí mismo en la realidad, la raíz del
razonamiento lógico-matemático está en la persona, cada sujeto lo construye por abstracción
reflexiva. Esta abstracción reflexiva nace de la coordinación de las acciones que realiza el
sujeto con los objetos.
El conocimiento lógico-matemático lo construye el niño, joven, adultos al relacionar las
experiencias obtenidas en la manipulación de los objetos. Un ejemplo más utilizado es que el
niño diferencia entre un objeto de textura suave de otro de textura áspera.
11
El conocimiento lógico matemático es el niño quien lo construye en su mente a través de las
relaciones con los objetos. Desarrollándose siempre de lo más simple a lo más complejo.
Teniendo en cuenta que el conocimiento adquirido una vez procesado no se olvida, ya que la
experiencia proviene de una acción.
En nuestra sociedad el razonamiento lógico-matemático no está muy bien potenciada, es decir
que es a lo que menos se le presta atención por parte de los docentes de hoy en día, ya que en
el área de matemática los alumnos no realizan ni desarrollan actividades de manera eficiente,
ocasionando a su vez un mal aprendizaje y esto se ve en los resultados cuando los alumnos se
dan por vencidos sin haber analizado bien la estructura del problema para la debida solución.
Cabe recalcar que el razonamiento lógico-matemático es una capacidad o proceso cognitivo
que se debe procurar potenciar en los estudiantes para que ellos puedan resolver todo tipo de
ejercicios con una mejor eficacia y no dejando que los problemas los absorban, ya que no hay
que olvidar que en todas las actividades y acciones que ellos realizan, necesitan de la aplicación
de esta capacidad para poder desenvolverse dentro y fuera de la sociedad.
1.4 Modos de Razonamiento
Muñoz, (2012) comenta que se entiende por modo de razonamiento a la operación
mental que hace el individuo en el momento que relaciona la tesis con los argumentos. Esta
relación puede hacerse de diferentes formas:
1.4.1 Analogía
Fiorentin (2012) establece que se utiliza este método para determinar la existencia de
objetos que se asemejan, especialmente en la explicación de fenómenos o conceptos nuevos
como una forma de facilitar la comprensión.
1.4.2 Generalización
Muñoz (2012) establece que se toman varios casos de similares características,
asumiendo una tesis común para todos ellos. Se debe tener cuidado en utilizar casos lo
suficientemente representativos y generales para sostener la tesis.
12
1.4.3 Signos
Muñoz (2012) a través de ellos se pretende establecer una conexión con la tesis, puesto
que su aparición indicaría la ocurrencia de algún fenómeno. Se debe procurar que la relación
entre el signo y lo que representa esté bien clara.
1.4.4 Causa
Muñoz (2012) establece una relación causal entre dos sucesos. En algunos casos las
bases son la causa de la tesis. Esta conclusión es bastante mas fuerte que la anterior, pues ya
no afirma la relación entre dos elementos, sino que uno causa el otro.
1.4.5 Autoridad
El portal educativo (2016) comenta que se puede sostener una tesis apoyándose en
alguna autoridad en la materia, ya sea algún experto en un tema determinado, un personaje
público, etc. Para ello es importante que dicho personaje sea idóneo dentro del área defendida.
1.4.6 Racionalidad
Fiorentin (2012) establece que dicha racionalidad tiene sus fundamentos en las ideas y
realidades que han sido admitidas por la sociedad.
1.4.7 Moralidad
Carmona (2010) comenta que el modo de razonamiento por moralidad se le da la
preferencia a aquello que se sustenta en un código moral, ante lo inmoral.
1.4.8 Semejanza o comparación
Carmona (2010) define el razonamiento de semejanza o comparación cuando se utiliza
en un texto explicativo o expositivo, algo en razón de ser muy parecido a otro elemento que es
persuasivo. Esto con el fin de dejar claro una idea.
13
1.4.9 Experiencia personal
Fiorentin (2012) resume el razonamiento por experiencia personal que el autor utiliza
su vivencia empírica para razonar, por lo tanto, como único argumento, es poco riguroso.
1.4.10 Pragmático o de utilidad
Muñoz (2012) comenta que para este tipo de razonamiento se aprecia lo útil, necesario
y eficaz, en contraposición a lo inútil, ineficaz o peligroso.
Este tipo de razonamiento conlleva a la persona de conocer y distinguir de lo bueno y
lo malo, además, aprende a razonar experimentando entre lo que puede servir para su vida
como lo que es innecesario.
1.5 Pensamiento o razonamiento
El pensamiento es la capacidad que tiene la persona de formar ideas y representaciones
de la realidad en su mente, buscando relacionarla con acontecimiento que pasaron o que pueden
pasar.
Es una relación entre lo que ya sabemos, nuestra memoria y lo que percibimos. Con esta
trilogía damos significado a las cosas, creamos, inferimos más allá de los que nos viene dado
y eso es el producto “pensamiento”. El pensamiento debe conducir alguna meta: una acción,
un resultado (Rojas, 2007).
El concepto de pensamiento refiere a la operación intelectual de carácter individual que se
produce a partir de procesos de la razón. Los pensamientos son productos que elabora la mente,
voluntariamente a partir de una orden racional, o involuntariamente a través de un estímulo
externo. De este modo se quiere establecer una definición concreta de algo tan abierto
como tener cualquier idea dentro de la cabeza. Todo tipo de obra, artística o científica, se forma
a partir de un pensamiento madre que se comienza a rellenar y complementar con otros.
Mientras que el razonamiento es el conjunto de actividades mentales que consiste en la
conexión de ideas de acuerdo a ciertas reglas y que darán apoyo o justificarán una idea. En
14
otras palabras, más simples, el razonamiento es la facultad humana que permite resolver
problemas tras haber arribado a conclusiones que permiten hacerlo.
Cabe recalcar que el razonamiento no es lo mismo que el pensamiento ya que los alumnos de
hoy en día a la hora de realizar un ejercicio lo primero que hacen es pensar y no logran avanzar.
Triste pero cierto, ya que están totalmente conformes con que todo se haga mecanizado, es
decir, que la calculadora, la computadora y la gran diversidad de tecnología que tienen al
alcance, hacen que no puedan razonar por su propios medios, pero, el razonar le permite al
alumno desarrollar habilidades lógicas para poder sobresalir dentro de su ámbito saliendo de
la monotonía en la que todo lo resuelven de manera mecánica, esto no quiere decir que se deje
a un lado la diversidad tecnológica, sino todo lo contrario, ya que puede utilizarla pero de una
manera controlada tratando de resolver los ejercicios mediante lógica.
1.6. Método de Pólya
Son estrategias generales de resolución y reglas de decisión, utilizadas para la solución
de problemas, basadas en la experiencia previa con problemas similares, provocando un
aprendizaje significativo. Estas estrategias indican las vías o posibles enfoques a seguir para
alcanzar una solución (Salazar, 2000). A demás el Método de Pólya consiste en una serie de
pasos que se utilizan para llegar a una respuesta. Esta consta desde entender el plan, diseñar un
plan, ejecutar el plan y examinar la solución para cerciorarse si la solución es correcta, si es
lógica y si es necesario analizar otros caminos para llegar a la respuesta correcta.
1.6.1 Origen del Método de Pólya
Hernandez (1994) relata que el 13 de diciembre de 1887 en Hungría nace George Pólya
que estudió en la Universidad de Budapest para luego llegar a Universidad de Brown en
Estados Unidos en el año 1940. Pólya tenía demasiado interés en el proceso del descubrimiento
y los resultados matemáticos llegaron en él, su obra más importe es la de resolución de
problemas. Se enfatizaba en el proceso de descubrimiento más que desarrollar ejercicios
sistematizados para que las personas pudieran resolver todo tipo de ejercicios mediante
distintos pasos a seguir.
15
Pólya muere en 1985 a la edad de 97 años, pero George no fue una persona cualquiera ya que
aportó y enriqueció a la matemática con un legado para poder resolver problemas dejando diez
instrucciones que todo docente debe seguir, estos son:
• Que las personas muestren interés en la materia.
• Que la persona que imparta el tema tenga el conocimiento de la materia.
• Observar las expectativas y dificultades de los estudiantes.
• Que juntos puedan descubrir e investigar.
• Que se promuevan actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico.
• Permitir aprender a conjeturar.
• Permitir aprender a comprobar.
• Advertir que los rasgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en la
solución de problemas futuros.
• No mostrar todo el secreto a la primera: dejar que los estudiantes las vayan
descubriendo poco a poco.
• Sugerir; no obligar que lo aprenda a la fuerza.
1.6.2 Clasificación del Método de Pólya
A pesar de los años desde que George Pólya dejo instituido la forma de cómo resolver
los ejercicios, hasta el día de hoy se consideran de un gran interés para la resolución de
problemas. Pólya estableció cuatro fases para dicha realización de dichos ejercicios, los cuales
son:
• Entender el problema
• Configurar un plan
• Ejecutar el plan
• Mirar hacia atrás
Dicho método ha sido enfocado para la solución de problemas matemáticos, pero para ello es
importante señalar la distinción entre un ejercicio y un problema.
Para poder resolver un ejercicio, el estudiante aplica un procedimiento monótono que lo lleva
a una respuesta, pero, para resolver un problema, el estudiante debe de hacer pausas continuas,
16
necesita reflexionar sobre lo que hasta haciendo y puede que desarrolle pasos originales que
nunca había hecho antes para llegar a una respuesta.
Esta característica que adopta el estudiante es una manera creativa para llegar a la solución sin
importar si es una manera resumida o extensa y por lo mismo eso distingue un problema de un
ejercicio.
Paso 1: Entender el Problema.
Parece increíble, pero a veces es innecesaria, sobre todo en contextos de educación, la manera
en cómo el estudiante pierde el control a la hora de hacer un ejercicio cuando no es de
formulación estrictamente matemática ya que el estudiante lo toma como una tarea muy difícil
y no puede llegar a una respuesta dando a entender que su nivel de razonamiento es muy bajo.
Por esa razón el primer paso para que esto no ocurra utilizando los cuatro pasos que dejo
George Pólya esta entender el problema utilizando la imaginación de que es lo que dice el
enunciado, haciéndose las siguientes preguntas:
- ¿Entiendes todo lo que dice?
- ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
- ¿Distingues cuáles son los datos?
- ¿Sabes a qué quieres llegar?
- ¿Hay suficiente información?
- ¿Hay información extraña?
- ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
Paso 2: Configurar un Plan.
Para esto se el estudiante de una manera flexible, recursiva y sencilla debe de configurar un
plan de cómo resolver el ejercicio. Entre las diferentes estrategias tenemos:
- Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
- Usar una variable.
- Buscar un Patrón
- Hacer una lista.
- Resolver un problema similar más simple.
- Hacer una figura.
17
- Hacer un diagrama
- Usar razonamiento directo.
- Usar razonamiento indirecto.
- Usar las propiedades de los Números.
- Resolver un problema equivalente.
- Usar casos
- Resolver una ecuación
- Buscar una fórmula.
Paso 3: Ejecutar el Plan.
Ya teniendo el plan, el estudiante puede ejecutar el problema.
- Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el
problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
- Que el estudiante se conceda un tiempo razonable para resolver el problema.
- Que no tenga miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o
una nueva estrategia conducen siempre al éxito.
- Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo que
se hace y para qué se hace.
Paso 4: Mirar hacia atrás.
Luego de resolver el problema, revisar el proceso que se ha hecho. Cerciorarse si la solución
es correcta, si es lógica y si es necesario, analizar otros caminos de solución.
- ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
- ¿Se puede hacer una solución más sencilla?
- ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?
Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así,
para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en
18
la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la
respuesta.
1.7 Niveles de Aprendizaje
Piaget (1966) comenta en su libro sobre el razonamiento y el jucio en el niño, que en
los procesos de aprendizaje que va pasando la persona y más en el ámbito de educación los
alumnos nunca piensan lo mismo al mismo tiempo ni aprenden de la misma manera, por lo que
para el docente se vuelve un reto el saber enseñar buscando como objetivo que todos puedan
llegar a tener una buena base independientemente del tema que estén viendo. Es por eso, que a
medida que se aprende, se obtienen diferentes niveles de aprendizaje.
A continuación, se describen cada uno de ellos:
-Nivel de comprensión: En este nivel, los estudiantes comprenden a totalidad el significado del
material y la información al punto que pueden repetirla e interpretarla con sus propias palabras.
-Nivel de aplicación: Aquí es cuando los estudiantes ya pueden aplicar todos los principios
aprendidos y solucionar problemas con poca información
-Nivel de análisis: En este nivel, los estudiantes pueden pensar utilizando la lógica y pueden
razonar de manera inductiva como deductivamente.
-Nivel de síntesis: Es donde los estudiantes demuestran la capacidad de aplicar los principios
que han aprendido para ponerlos en práctica.
-Nivel de evaluación: Es aquel en que los estudiantes aprender a diferenciar entre lo bueno y
lo malo. Además, da a conocer las formas en cómo va adquiriendo el conocimiento.
1.8 Resolución de Problemas
La resolución de problemas matemáticos ha sido considerara una parte fundamental en
la educación del área de matemática ya que los estudiantes potencian una necesidad que ha
carecido en muchos estudiantes de América Latina (García, 1992).
19
Además, el término de resolución de problemas a lo largo del tiempo ha servido para diferentes
tipos de investigación. También un problema de matemática puede ser un ejemplo real como
puede ser ficticio para que el alumno preste más atención por aprender. Esto por encima de
llamar su atención, involucra al estudiante en lo que conoce o puede llegar a conocer utilizando
la información que se tenga al alcance.
Otro aspecto importante que hay que tomar en cuenta es que el alumno ponga de su parte para
realizar planteamientos que le ayuden a resolver el problema que se le ha planteado, lo que
significa que, si no tiene motivación alguna, el problema planteado deja de ser un problema al
no llegar a sentir el deseo de querer resolverlo. En pocas palabras en la resolución de problemas
hay dos condiciones que son muy importantes las cuales son: la vía es desconocida y que la
persona tenga que resolver el problema para llegar a una respuesta.
1.8.1 Fases para resolver un problema mediante el método de Pólya
Para al alumno que intente resolver problemas debe de analizar detenidamente cuales son
las causas de dicho problema para poder llegar a una conclusión correspondiente, en este caso
sería llegar a la respuesta correcta. Estos procesos por los cuales el estudiante debe de pasar
para llegar a la conclusión son las siguientes:
- Identificación del problema: es una fase muy importante de la metodología pues de ella
depende el desarrollo para que le alumno pueda llegar a la solución debida. Un
problema bien formulado ayuda en gran manera para que el proceso general sea
efectivo; pero un problema mal planteado provocara que el estudiante tenga demasiadas
dificultades para aprender y no podrá obtener dichos conocimientos que le permitan
desarrollar su capacidad de razonamiento.
- Planteamiento de alternativas de solución: después de obtener la definición del
problema y de tener ya un análisis claro de los datos lo que toca a continuación es buscar
las alternativas de la solución. Por lo general la solución de un problema se puede
alcanzar por distintas vías. Pero siempre será útil tratar de plantear la mayor cantidad
de alternativas posibles para llegar a una solución. Elección de una alternativa: después
de tener todas de alternativas es necesario pasar a la siguiente etapa: saber elegir cual
20
de todas las posibilidades es la correcta debido a que en base a la elección que se haga
va a ser el avance final hasta llegar a la respuesta.
- Desarrollo de la solución: luego de haber elegido cuál alternativa o posibilidad de todas
las que había y llegar a la conclusión, en esta fase se aplican las operaciones necesarias
para llegar a la solución del problema.
- Evaluación de la solución: después de haber desarrollado la solución queda una última
etapa, que es la de evaluación, en todo proceso es importante determinar que la solución
a la que se ha llegado es la correcta utilizando la comprobación y así determinar que el
resultado final es el correcto.
1.9 Clasificación de problemas matemáticos
Hudgins (1996) establece un parámetro entre los estudiantes y la resolución de
problemas, ya que se debe de adoptar una actitud positiva, sabiendo que cada ejercicio es
distinto por lo que a la hora de la realización debe de buscar diferentes caminos para llegar a la
respuesta correcta. A continuación, se presentan los tipos de clases de problemas más
cotidianos en matemática:
- Problema de reconocimiento
Con este tipo ejercicio el estudiante debe de resolver, conocer y poder dar una definición
a una proposición de un teorema.
- Problema de repetición
Son diferentes tipos de ejercicios que el alumno puede resolver usando un proceso
algorítmico numérico.
- Problemas de traducción simple o compleja
Estos problemas formulados en un contexto concreto y cuyo único objetivo suponen
una traducción del enunciado ya sea oral o escrito convirtiéndolo a una expresión matemática.
21
- Problemas de procesos
Son problemas que se diferencian de los anteriores, dando la oportunidad de hacer
diferentes tipos de procedimientos para que se llegue a la solución.
- Problemas sobre situaciones reales
Este trata de plantear diferentes tipos de actividades lo más cercana posible a la realidad
que requiera habilidades y procesos matemáticos
- Problemas de historias matemáticas frecuentemente
Se puede observar en librerías libros de cuentos, novelas entre los que se encuentran
son algunas propuestas o planteamientos que requieren de un esfuerzo que impliquen algún
concepto matemático.
El tipo de número involucrado y el lugar de la incógnita son elementos del problema, que para
los estudiantes cambian en nivel de dificultad al momento de resolver cualquier problema
matemático. Presentar múltiples situaciones para resolver y reflexionar acerca de diversidad de
significados facilitará la comprensión de los alcances o límites de cada operación o problema
matemático presentado.
22
II. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
El último informe de resultados de la evaluación diagnóstica a estudiantes graduandos,
según el Ministerio de Educación (2015), de la Dirección General de Investigación Educativa
– DIGEDUCA- indica que el logro nacional en matemática es únicamente el 8.51%, sin
embargo, el resultado es aún peor en el departamento de Quiché que sólo alcanza el 3.53%.
Así también la misma entidad en su informe respecto a evaluación al de tercero Básico según
el Ministerio de Educación (2013) indica que el logro nacional alcanza el 18.35%, el logro
departamental sigue siendo deficiente con un logro de 12.19% debajo del logro nacional,
aunque el municipio de Zacualpa en el mismo año alcanza el 20.83% de logro, sin embargo,
indican que únicamente la quinta parte de los evaluados alcanzan el nivel de logro en el caso
de estudiantes de tercero Básico. Estos resultados nos dan la pauta de que el desarrollo del
razonamiento lógico matemático es aún muy escaso ya que dichos resultados reflejan las
deficiencias en el desarrollo de competencias matemáticas en los estudiantes y en las estrategias
que utilizan con sus docentes para la resolución de problemas matemáticos, como una de las
habilidades que representa el 37.04 % de contenido de la evaluación
Por lo tanto, es importante tomar en consideración la forma en que los jóvenes del nivel básico
resuelven problemas matemáticos ya que los resuelven según pueden o como aprenden.
Sabemos que para ellos no son nada fáciles, los docentes suelen estar convencidos que explicar
es lo mismo que enseñar y que el enseñar para los alumnos es aprender. Ni uno va de la mano
con lo otro, por lo que suele ser bastante común en el área de matemática que esto suceda, en
pocas palabras el docente intenta explicar con la intención de enseñar algo que no tiene mucho
sentido.
Entre las muestras más evidentes del problema se encuentra el hecho de intentar olvidar esa
creencia de que todo lo que se enseñe solo hay que explicarlo por lo que no es así. Es decir que
se debe tener la suficiente paciencia pedagógica para dejar que el estudiante resuelva un
problema matemático por sus propios medios y lo convierta en un conocimiento útil y
funcional, como también debe de encontrarle un significado y de cómo le puede servir para
resolver distintos tipos de problemas en los diferentes contextos que lo rodean.
23
En el aprendizaje de la matemática, la utilización de resolución de problemas utilizando el
método de Pólya tiene una gran incidencia debido a que tanto las características como el
propósito del problema generan en los estudiantes procesos de aprendizaje que le brindan una
construcción de conocimientos matemáticos que hace ver los ejercicios más interesantes y
dinámicos, evitando que el docente resuelva solo los ejemplos y caiga en la típica forma
tradicional de enseñar, sin darle oportunidad a los estudiantes de que logren, generen y
obtengan nuevos conocimientos que le ayuden a adquirir un razonamiento lógico matemático.
Diferentes estudios realizados han permitido determinar las dificultades que tienen los
estudiantes a la hora de resolver problemas, entre las cuales se pueden mencionar las siguientes:
- Bajo nivel de Análisis o análisis superficial de la situación planteada en el enunciado
del problema.
- Una mala estrategia de resolución.
- Dificultad para encontrar los datos intermedios, no explícitos en el enunciado del
problema.
- Bajos niveles afectivos y motivacionales hacia la matemática y hacia la resolución de
problemas.
- Desconocimiento en la resolución del Problemas.
-
Estos hallazgos han sido clave para saber porque el estudiante tiene tan mal rendimiento, pero
a la vez son de mucha preocupación por parte de todos los involucrados en la enseñanza de la
matemática porque esto lleva al alumno a un fracaso en el área numérica. Otro punto es la
dificultad que tiene para realizar actividades que le impliquen procesos algebraicos y por el
último al desconocimiento de que matemática también son problemas planteados y no sólo
operaciones básicas.
Debe de tenerse en cuenta los diferentes procesos y estilos de aprendizaje del alumno
imposibilitándole los diferentes tipos de ejercicios de resolución de problemas para que este
pueda aprender de una manera eficaz. Así mismo se le debe favorecer un método adecuado
para que pueda resolver problemas que le ayuden en su día a día. Por lo que sólo de esa manera
encontrará un sentido de comprensión, análisis y razonamiento siendo estos claves en su
proceso de aprendizaje. Por esa razón considero que este enfoque sugiere enfatizar el proceso
de resolución de problemas en la siguiente pregunta:
¿Será que la resolución de problemas mediante el Método de Pólya mejora el
razonamiento lógico matemático de los estudiantes?
24
2.1 Objetivo General
Establecer el efecto que tiene la resolución de problemas mediante el método de
Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático de los estudiantes
2.2 Hipótesis
Hipótesis nula: La aplicación del método de los cuatro pasos de Pólya no incide en el
mejoramiento del razonamiento lógico matemático en los estudiantes.
Hipótesis de investigación: La aplicación del método de los cuatro pasos de Pólya incide en el
mejoramiento del razonamiento lógico matemático en los estudiantes.
2.2.1 Hipótesis Nulas y Alternas.
H0 1 No existe diferencia estadísticamente significativa en el aprendizaje de la resolución
de problemas mediante la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico
matemático en la pre prueba al comparar el grupo control y experimental.
Ha1 Existe diferencia estadísticamente significativa en el aprendizaje de la resolución de
problemas mediante la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico
matemático en la pre prueba al comparar el grupo control y experimental.
H0 2 No existe diferencia estadísticamente significativa en el aprendizaje de la resolución
de problemas mediante la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico
matemático en la post prueba al comparar el grupo control y experimental.
Ha 2 Existe diferencia estadísticamente significativa en el aprendizaje de la resolución de
problemas mediante la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico
matemático en la post prueba al comparar el grupo control y experimental.
25
H0 3 No existe diferencia estadísticamente significativa en la resolución de problemas
mediante la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático
en el grupo control al comparar los resultados de la pre prueba y post prueba.
Ha 3 Existe diferencia estadísticamente significativa en la resolución de problemas mediante
la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático en el grupo
control al comparar los resultados de la pre prueba y post prueba.
H0 4 No existe diferencia estadísticamente significativa en la resolución de problemas
mediante la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático
en el grupo experimental al comparar los resultados de la pre prueba y post prueba.
Ha 4 Existe diferencia estadísticamente significativa en la resolución de problemas mediante
la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático en el grupo
experimental al comparar los resultados de la pre prueba y post prueba.
2.3 Variables de estudio
2.3.1 Variable independiente
- Aplicación del método de Pólya
2.3.2 Variable dependiente
- Razonamiento lógico matemático.
2.4 Definición conceptual de las variables
2.4.1 Variable conceptual:
- Método de Pólya
Galindo (2007) define que el método Pólya es un método general basado en cuatro pasos;
entender el problema, configurar el plan, ejecutar el plan y verificar la respuesta. Además,
permite facilitar la resolución de cualquier tipo de problema en distinto contexto que haga más
fácil el trabajo de lo que se pretende realizar.
26
- Resolución de Problemas
Vera (2013) define que la resolución de problemas es el proceso en el cual supone que la
persona puede llegar a una respuesta de un planteamiento y para ello tiene como pasos previos
la identificación de un problema y su estructura. La resolución de problemas consta de
principalmente en dos áreas específicas las cuales son: la resolución de problemas matemáticos
y la resolución de problemas personales, en los que se presenta algún tipo de obstáculo para
llegar a la respuesta
Variable operacional
Variable Indicadores Instrumento Quién lo
responde
Punteo Tipo de
Medida
Variable No.
1
Método de
Pólya
Variable No.
2
Razonamiento
lógico
Matemático
Necesidades
Aprender
Intereses
Enfoques
Saber ser
Saber hacer
Lógica
Razonamiento
Ejercitación
Estímulo
Diagnóstico
Pre Prueba
Post Prueba
Alumno
100 Puntos
Cualitativo
Cuantitativo
27
2.5 Alcances y límites
La intervención se orienta a la aplicación del método de Pólya adecuado y validado por el
Currículum Nacional Base (CNB) para llegar a la resolución de problemas matemáticos que
ayuden a mejorar el razonamiento lógico matemático, involucrado algunos de los miembros o
integrantes del centro educativo los cuales son: profesores y estudiantes.
- En el ámbito personal este será aplicado a los estudiantes entre las edades de 12 a 16
años.
- En el ámbito Institucional será un establecimiento por Cooperativa que ofrece nivel
Básico en jornada nocturna.
- En el ámbito geográfico, el establecimiento se encuentra en el municipio de San Juan
Chamelco, departamento de Alta Verapaz.
- En el ámbito temático, los ejes son el método de Pólya y la resolución de problemas
que mejoren el razonamiento lógico matemático.
2.6 Aportes
Existen diferentes formas de que todas las personas puedan alcanzar el éxito, pero sin
lugar a duda la principal es, ha sido y será la educación ya que se constituye desde que la
persona empieza desde cero y además es la más segura de las alternativas que le permiten
lograrlo. Es clave fomentar en el educando el hábito de razonar, de analizar y de investigar.
Para lograr estos objetivos se dejará constancia de dicha investigación al establecimiento esto
con el fin de beneficiar al centro educativo para que los docentes de matemática puedan saber
que aplicar en el tema resolución de problemas utilizando el método de Pólya de la mejor
manera buscando mejorar el razonamiento lógico matemático de los estudiantes del Instituto
Nocturno Por Cooperativa “GUILLERMO ALONZO ARGUETA ARBIZÚ” ya que en la
actualidad a los estudiantes se les dificulta la resolución de Problemas. Es importante readecuar
el tema al curso de matemática, actualizar contenidos e influir en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de los alumnos. Todo esto llevaría a la resolución correcta a los problemas que
tienen los estudiantes dentro del curso como en su vida cotidiana.
28
III. MÉTODO
3.1 Sujetos
Los sujetos involucrados en este estudio son alumnos del Instituto Mixto Nocturno
Guillermo Alonzo Argueta Arbizú, municipio San Juan Chamelco departamento Alta Verapaz
se trabajará con el grado de Primero Básico y se contará con dos secciones las cuales son “A”
y “B”.
El estudio cuenta para ellos con dos secciones del mismo grado siendo las secciones “A” el
grupo control y la sección “B” será el grupo experimental, cada sección cuenta con 20 alumnos
lo cual equivale a un total de 40 sujetos, hombres y mujeres, de diferente nivel económico, se
encuentran entre las edades de 12 y 16 años, la mayoría de los educandos trabaja por la mañana
y tarde, algunos desempeñan el trabajo de bordado, zapateros y las señoritas por su parte son
amas de casa, comerciantes.
Estudiantes de Primero Básico
Secciones “A” y “B”
Hombres Mujeres Edad
26 14 12 – 16 años
Total 40 estudiantes
Grupo Control
Hombres Mujeres Total
12 8 20
Grupo Experimental
Hombres Mujeres Total
17 3 20
29
3.2 Instrumento
Para la presente investigación, y con base en la necesidad de saber cuál es la incidencia
de la resolución de problemas mediante la aplicación del método de Pólya para mejorar el
razonamiento lógico matemático en los estudiantes de dicho instituto mencionado con
anterioridad; se utilizará un pre test para conocer inicialmente la situación de los estudiantes
previo a la aplicación del Método de Pólya y un post test para establecer la relación del antes
y después.
Para dicho test, se elaboró en función de una tabla de especificaciones que evalúa el desempeño
de los estudiantes del antes y el después de la aplicación, dicha tabla se encuentra en el anexo
del presente trabajo de investigación.
Contando con que el siguiente test ha sido elaborado por el docente Mario Anthony Alvarado
Cuc validado por el Ingeniero Agrónomo José Javier Córdova Méndez colegiado No. 2593,
catedrático 18496 de la Universidad Rafael Landívar Campus de la Verapaz, que además se
logra la confiabilidad en función de una tabla de especificaciones que se encuentra en el anexo.
El pre test y post test se elaboró con 20 enunciados que permiten conocer el nivel de
razonamiento lógico matemático que tienen los estudiantes, dicho test, será aplicado a
estudiantes de primero Básico secciones “A y B” del Instituto Mixto Nocturno “Guillermo
Alonzo Argueta Arbizú del Municipio de San Juan Chamelco, Alta Verapaz, siendo el grupo
control y el grupo experimental.
El test permitirá conocer el nivel de razonamiento lógico matemático que tienen los estudiantes
de ambos grupos.. Todo lo antes expuesto permitirá obtener información cuantitativa de la
investigación.
30
3.3 Procedimiento
La presente investigación contará con los siguientes pasos:
Paso 1. Selección, aprobación y delimitación del tema y campo de investigación: Se
seleccionará el tema “resolución de problemas mediante la aplicación del método de Pólya para
mejorar el razonamiento lógico matemático”, por ser un contenido de mucha importancia en el
ámbito estudiantil y de aplicación dentro del área numérica, así también se elegirá el
establecimiento a aplicar dicha investigación de campo como la muestra para la realización de
la misma.
Paso 2. Elaboración de antecedentes: Se elaborarán diez antecedentes entre nacionales e
internacionales, es decir la información recolectada del tema, las opiniones y las sugerencias
de los autores del tema, argumentando la validez de los mismos a través de tesis y documentos.
Paso 3. Fundamentación teórica: Se procederá a la investigación teórica y conceptual de cada
una de las variables, recopilando información importante en fuentes primarias y secundarias de
diferentes autores para fundamentar los antecedentes y el marco teórico.
Paso 4. Planteamiento del problema: Se presentará el tema, dando realce a la importancia,
relevancia y del porqué se eligió el tema asignado de la presente investigación.
Paso 5. Elaboración y aplicación de instrumentos: Consistirá en la preparación cuidadosa del
pre test y post test para recabar la información que favorezca a la investigación y de acuerdo a
los objetivos propuestos se obtengan dichos resultados para plantear una solución.
Paso 6. Discusión de resultados: Esta se realizará en base a los objetivos propuestos en dicha
investigación, se basará también en los antecedentes, en el marco teórico y en los resultados
obtenidos, analizando y comparándolo para demostrar si la hipótesis planteada fue efectiva o
no.
Paso 7. Conclusiones y recomendaciones: Después de realizar el proceso estadístico el
siguiente paso consistirá en la elaboración de una serie de conclusiones sin olvidar el propósito
de dicha investigación, así también se plantearán recomendaciones debidamente pertinentes
31
para las personas a las que les llegue a interesar dicho proyecto para realizar en su quehacer
pedagógico.
3.4 Tipo de Investigación, diseño y metodología estadística
La presente investigación tiene un enfoque cuantitativo y de acuerdo a Sampieri (2010)
este enfoque cuasi experimental se caracteriza por ser secuencial y de manera probatoria que
se basa en la recolección de datos con base en la medición numérica para establecer los patrones
de aprendizaje de los estudiantes.
Además Hernandez (2003) comenta que el diseño cuasi experimental es uno de los métodos
más utilizados en una investigación educativa por las facilidades que supone el no depender de
la elección de los sujetos al azar para obtener la muestra. Para minimizar las diferencias que
puedan existir entre el grupo de control, se puede asignar los participantes a uno y otro grupo
al azar, con lo que estará logrando la equivalencia entre ambos grupos. En el caso de que esto
no fuese posible, al investigador aún le queda la posibilidad de asignar al azar el grupo que
recibirá el tratamiento y el grupo que hará de control.
Esta investigación tiene un enfoque cuasi experimental, Achaerandio (2010) nos indica
que al manipular una o dos variables independientes en distintas condiciones ya que predice lo
que puede pasar en una o distitnas variables dependientes.
El alcance que va a tener es explicativo y descriptivo según el siguiente diagrama
Muestra
grupo
Pre Prueba Estímulo Post Prueba
IG1 O1 X O2
IG2 O3 NO O4
Prueba de conocimientos para la
mejora del razonamiento lógico
matemático.
V-D.
Prueba de conocimientos
para la mejora del
razonamiento lógico
matemático
V.I.
I= Intactos O4= Post-prueba aplicada
G1= Grupo experimental X= Al método experimental aplicado
G2= Grupo control V. D.= Variable dependiente
O1= Preprueba aplicada V. I.= Variable independiente
32
O2= Post - prueba aplicada
O3= Preprueba aplicada
Hernández (2010) en los diseños cuasi-experimentales a la hora de pasar el test el
experimentador no puede hacer la asignación al azar de los sujetos a los grupos experimentales
y de control. Y si puede controlar: cuándo llevar a cabo las observaciones, cuándo aplicar la
variable independiente o tratamiento y cuál de los grupos recibirá el tratamiento. Aunque estos
diseños no garantizan un nivel de validez interna y externa como en los experimentales, ofrece
un grado de validez suficiente, lo que hace muy viable su uso en el campo de la educación.
33
IV. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
4.1Resultados obtenidos:
En los resultados obtenidos se mostrarán a continuación el desempeño durante la ejecución del
pre y post test.
Resultados académicos
- Desempeño general
Tabla 1. Desempeño del pre-test. Grupo control
Desempeño Rango Número de
estudiantes
Porcentaje
Bajo Entre (1 ≤ x < 60) 18 90%
Intermedio Entre (60 ≤ x < 75) 2 10%
Superior Entre (75 ≤ x < 100)
0 0
Total 20 100%
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Bajo, 1<60 Intermedio, 60<75 Alto, 75<100
Número de Estudiantes evaluados 20
Número de Estudiantes evaluados 20
34
Tabla 2. Desempeño del post-test. Grupo control
Desempeño Rango Número de
estudiantes
Porcentaje
Bajo Entre (1 ≤ x < 60) 14 70%
Intermedio Entre (60 ≤ x < 75) 5 25%
Superior Entre (75 ≤ x < 100)
1 5%
Total 20 100%
Estas gráficas muestran como el grupo experimental tiene una ligera ventaja en resultados con
respecto al grupo control en el pre test, demostrando que sin conocer del tema hay debilidades
para fortalecer.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Bajo, 1<60 Intermedio, 60<75 Alto, 75<100
Número de Estudiantes evaluados 20
Número de Estudiantes evaluados 20
35
Grupo experimental pre-test
Tabla 3
Desempeño Rango Número de
estudiantes
Porcentaje
Bajo Entre (1 ≤ x < 60) 12 60%
Intermedio Entre (60 ≤ x < 75) 8 40%
Superior Entre (75 ≤ x < 100)
0 0%
Total 20 100%
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Bajo, 1<60 Intermedio, 60<75 Alto, 75<100
Número de Estudiantes evaluados 20
Número de Estudiantes evaluados 20
36
Grupo experimental post-test
Tabla 4
Desempeño Rango Número de
estudiantes
Porcentaje
Bajo Entre (1 ≤ x < 60) 3 15%
Intermedio Entre (60 ≤ x < 75) 14 70%
Superior Entre (75 ≤ x < 100)
3 15%
Total 20 100%
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Bajo Intermedio Alto
Número de Estudiantes evaluados 20
Número de Estudiantes evaluados 20
37
Comparación entre el grupo control y grupo experimental en el pre-test.
- De la tabla 1 y 3 se realiza un análisis comparativo del desempeño durante el pre-test
del grupo control y experimental.
Tabla 5
Desempeño Rango Porcentaje grupo
control
Porcentaje grupo
experimental
Bajo Entre (1 ≤ x < 60) 90% 60%
Intermedio Entre (60 ≤ x < 75) 10% 40%
Superior Entre (75 ≤ x < 100)
0% 0%
Total 100% 100%
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Bajo, 1<60 Puntos Intermedio, 60<75 Puntos Alto, 75<100 Puntos
Grupo Control Grupo Experimental
38
Se observa que en la nota final de la pre prueba el grupo control (ver tabla 1) un 10% de los
estudiantes superaron la nota de 60 que era el mínimo para aprobar el área de matemática,
mientras que el grupo control (ver tabla 2) sólo un 30% de estudiantes aprobaron, indicando
que hay una ligera ventaja en el grupo experimental teniendo en cuenta que aún no se a aplicado
la metodología en el grupo experimental.
- Comparación de la media y la desviación estándar en el pre-test del grupo control y
grupo experimental.
Grupo control Grupo experimental
Media 39.25 49.25
Desviación estándar 12.6762573 10.63896142
Se observa en esta tabla que la diferencia entre ambos grupos fue muy poca, observándose que
los datos obtenidos del grupo control están más alejados del promedio del grupo experimental.
- De la tabla 2 y 4 se realiza un análisis comparativo del desempeño durante el post-test
de los 20 estudiantes de cada grupo control y grupo experimental.
Tabla 6
Desempeño Rango Porcentaje grupo
control
Porcentaje grupo
experimental
Bajo Entre (1 ≤ x < 60) 90% 60%
Intermedio Entre (60 ≤ x < 75) 10% 40%
Superior Entre (75 ≤ x < 100)
0% 0%
Total 100% 100%
39
Se observa que en la nota final de la post prueba el grupo experimental (ver tabla 4-5) un 85%
de los estudiantes superaron la nota de 60 que era el mínimo para aprobar el área de matemática,
mientras que el grupo control fue el 30% de estudiantes que aprobaron, indicando que en el
grupo experimental hubo mejores resultados, hubo comprensión de las actividades y
apropiación de ellas durante la ejecución de la aplicación de resolución problemas mediante el
método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático.
Dentro de las ventajas que se observaron desde el trabajo con el grupo experimental es que
desde el aula como fuera de ella los estudiantes se explicaban los ejercicios cuando no le podían
entender, se compartían información para complementar los ejercicios lo cual facilitaba la
comprensión de los temas programados.
- Comparación de la media y la desviación estándar en el post-test del grupo control y
grupo experimental.
Grupo control Grupo experimental
Media 49.5
79
Desviación estándar 14.48274836
9.61769203
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Bajo, 1<60 Puntos Intermedio, 60<75 Puntos Alto, 75<100 Puntos
Grupo Control Grupo Experimental
40
Se observa en esta tabla que la diferencia entre ambos grupos es considerable, observándose
que los datos obtenidos del grupo experimental están más alejados del promedio del grupo
control.
A nivel educativo en general una de las herramientas más utilizadas para evaluar el nivel de
desempeño y competencia que tienen los estudiantes sobre los temas trabajados durante el
período de clase, es la prueba de desempeño, en este caso es el test. Es por eso que en este
trabajo fue necesario hacer un post test arrojando como resultados arrojando como resultados,
que el 85% de los estudiantes del grupo experimental han podido comprender los temas
propuestos y manejan la resolución de problemas mediante el método de Pólya propuestas para
el grado de primero Básico del Instituto Nocturno “Guillermo Alonzo Argueta Arbizú” de San
Juan Chamelco, Alta Verapaz, en contraposición a un 30% de los estudiantes del grupo control
que también manejan dichos conceptos, mostrando que los temas ya mencionados fueron
mayormente captados, analizados e interiorizados por el grupo experimental que por el grupo
control.
Para determinar si los resultados obtenidos difieren de un grupo a otro, se plantea un cuadro de
prueba t para medias de dos muestras emparejadas y prueba t para dos muestras suponiendo
varianzas iguales. Para efectos de realizar adecuadamente este proceso se establecen algunas
notaciones básicas de la prueba.
Las hipótesis a probar son:
H0 1 No existe diferencia estadísticamente significativa en el aprendizaje de la resolución
de problemas mediante la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico
matemático en la pre prueba al comparar el grupo control y experimental.
Ha 1 Existe diferencia estadísticamente significativa en el aprendizaje de la resolución de
problemas mediante la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico
matemático en la pre prueba al comparar el grupo control y experimental.
41
Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales
Pre-Prueba
Experimental
Pre-Prueba
Control
Media 49.2500 39.2500
Varianza 119.1447 169.1447
Observaciones 20.0000 20.0000
Varianza agrupada 144.1447 Diferencia hipotética de las
medias 0.0000 Grados de libertad 38.0000 Estadístico t 2.6339 P(T<=t) una cola 0.0061 Valor crítico de t (una cola) 1.6860 P(T<=t) dos colas 0.0121 Valor crítico de t (dos colas) 2.0244
Prueba T Student Decisión estadística: El criterio para decidir es: Si la probabilidad obtenida P-valor es menor o igual que alfa se rechaza la Ho.
Si la probabilidad obtenida P-valor es mayor que alfa no se rechaza la Ho
p-valor < α
0.0121< 0.05
Utilizando el nivel de significacia del 0.05 se concluye rechazar la hipótesis nula debido a que
el estadístico t es mayor al valor crítico de t (dos colas) = 2.0244 por lo que existe diferencia
estadísticamente significativa en el aprendizaje de la resolución de problemas mediante la
aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático en la pre
prueba al comparar el grupo control y experimental.
Las hipótesis a probas son:
H0 2 No existe diferencia estadísticamente significativa en el aprendizaje de la resolución
de problemas mediante la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico
matemático en la post prueba al comparar el grupo control y experimental.
Ha 2 Existe diferencia estadísticamente significativa en el aprendizaje de la resolución de
problemas mediante la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico
matemático en la post prueba al comparar el grupo control y experimental.
42
Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales
Post-Prueba
Experimental
Post-Prueba
Control
Media 70.0000 49.5000
Varianza 97.3684 220.7895
Observaciones 20.0000 20.0000
Varianza agrupada 159.0789 Diferencia hipotética de las medias 0.0000 Grados de libertad 38.0000 Estadístico t 5.1398 P(T<=t) una cola 0.0000 Valor crítico de t (una cola) 1.6860 P(T<=t) dos colas 0.0000
Valor crítico de t (dos colas) 2.0244
PRUEBA T student Decisión estadística: El criterio para decidir es:
Si la probabilidad obtenida P-valor es menor o igual que alfa se rechaza la Ho.
Si la probabilidad obtenida P-valor es mayor que alfa no se rechaza la Ho
P-valor < ∞
0.000 < 0.05
Utilizando el nivel de significacia del 0.05 se concluye rechazar la hipótesis nula debido a que
el estadístico t es mayor al valor crítico de t (dos colas) = 2.06 por lo que existe diferencia
estadísticamente significativa en el aprendizaje de la resolución de problemas mediante la
aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático en la post
prueba al comparar el grupo control y experimental.
43
H0 3 No existe diferencia estadísticamente significativa en la resolución de problemas
mediante la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático
en el grupo control al comparar los resultados de la pre prueba y post prueba.
Ha 3 Existe diferencia estadísticamente significativa en la resolución de problemas mediante
la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático en el grupo
control al comparar los resultados de la pre prueba y post prueba.
Prueba t para medias de dos muestras emparejadas
Pre-Prueba Post-Prueba
Media 39.2500 49.5000
Varianza 169.1447 220.7895
Observaciones 20.0000 20.0000
Coeficiente de correlación de Pearson 0.7129 Diferencia hipotética de las medias 0.0000 Grados de libertad 19.0000 Estadístico t -4.2856 P(T<=t) una cola 0.0002 Valor crítico de t (una cola) 1.7291 P(T<=t) dos colas 0.0004
Valor crítico de t (dos colas) 2.0930
PRUEBA T student Decisión estadística: El criterio para decidir es:
Si la probabilidad obtenida P-valor es menor o igual que alfa se rechaza la Ho.
Si la probabilidad obtenida P-valor es mayor que alfa no se rechaza la Ho
P-valor < α
0.0004<0.05
Utilizando el nivel de significacia del 0.05 se concluye rechazar la hipótesis nula debido a que
el estadístico t= -4.2856 es mayor al valor crítico de t (dos colas)= 2.0930 por lo que existe
diferencia estadísticamente significativa en la resolución de problemas mediante la aplicación
del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático en el grupo control al
comparar los resultados de la pre prueba y post prueba.
44
H0 4 No existe diferencia estadísticamente significativa en la resolución de problemas
mediante la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático
en el grupo experimental al comparar los resultados de la pre prueba y post prueba.
Ha 4 Existe diferencia estadísticamente significativa en la resolución de problemas mediante
la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático en el grupo
experimental al comparar los resultados de la pre prueba y post prueba.
Prueba t para medias de dos muestras emparejadas
Pre-Prueba Post-Prueba
Media 49.25 70
Varianza 119.1447 97.3684
Observaciones 20.0000 20.0000
Coeficiente de correlación de Pearson 0.5497 Diferencia hipotética de las medias 0.0000 Grados de libertad 19.0000 Estadístico t -9.3695 P(T<=t) una cola 0.0000 Valor crítico de t (una cola) 1.7291 P(T<=t) dos colas 0.000000
Valor crítico de t (dos colas) 2.0930
PRUEBA T student Decisión estadística: El criterio para decidir es: Si la probabilidad obtenida P-valor es menor o igual que alfa se rechaza la Ho.
Si la probabilidad obtenida P-valor es mayor que alfa no se rechaza la Ho
p-valor < ∞
0.0004 < 0.05
Utilizando el nivel de significacia del 0.05 se concluye rechazar la hipótesis nula debido a que
el estadístico t= -9.3695 es mayor al valor crítico de t (dos colas)= 2.0930 por lo que existe
diferencia estadísticamente significativa en la resolución de problemas mediante la aplicación
del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático en el grupo experimental
al comparar los resultados de la pre prueba y post prueba.
45
V. DISCUSIÓN DE RESULTADOS
El principal objetivo de la presente investigación pretende determinar los procesos que aplica
la resolución de problemas mediante la aplicación del método de Pólya para mejorar el
razonamiento lógico matemático en los estudiantes de primero básico secciones A y B del
Instituto Nocturno “Guillermo Alonzo Argueta Arbizú” del municipio de San Juan Chamelco,
departamento de Alta Verapaz, Guatemala.
El interés por este estudio surge por las dificultades que tienen los estudiantes en la resolución
de problemas y el bajo nivel de razonamiento lógico matemático que poseen, debido a que
desde su formación estudiantil tienen una mala base y tal como lo menciona Saquic (2017) que
la finalidad de la resolución de problemas tiene como prioridad determinar el desempeño de
los estudiantes a la hora de realizar operaciones utilizando el método de Pólya, ya que hoy en
día los alumnos resuelven los ejercicios con operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y
división) por pura intuición, esto le complica el poder aprender y poner en práctica los pasos
del método de Póly a la hora de resolver un ejercicio.
A partir de ese punto comienza la preocupación por la enseñanza y el aprendizaje de la
matemática la cual ha llevado a plantear la presente investigación que parte fundamentalmente
de la aplicación del método de Pólya, un método que se aplica a la resolución de problemas
matemáticos y así el logro satisfactorio del aprendizaje de los estudiantes al emplear una
manera muy distinta que les permita reconocer, razonar, analizar y resolver dichos problemas.
Coincidiendo con Hernandez (1994), describe que el método de Pólya está enfocado a la
solución de problemas matemáticos, por ello nos parece importante señalar alguna distinción
entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento
rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona
y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la
respuesta. Además comenta de la importancia al aplicar este método en la resolución de
problemas matemáticos en los estudiantes de primaria y básico debido a que ayuda a tomar las
medidas necesarias para el progreso en los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Por su parte Escalante (2015), explica que el profesor tiene en sus manos la llave del éxito ya
que, si es capaz de estimular en los alumnos la curiosidad, podrá despertar en ellos el gusto por
el pensamiento independiente pero, si por el contrario dedica el tiempo a ejercitar operaciones
46
de tipo rutinario, matará en ellos el interés. Esto con el propósito de formar estudiantes con
competencias cognitivas y que a la vez se adquieran de capacidades constructivas e
innovadoras.
Además comenta que con la aplicación del método Pólya debe de considerarse que la clase de
matemática debe de ser dinámica e interactiva con información recopilada y bien estructurada.
También el uso o aplicación del método Pólya en la resolución de problemas matemáticos debe
ir de lo concreto a lo abstracto, otro aspecto a resaltar es el hacer y aprender a aprender.
Previo al estudio se realizó una prueba inicial (pre-test) que sirvió para tener un diagnóstico
tanto del grupo control como experimental, tal prueba demostró resultados similares en ambas
secciones, lo cual indica que el grado de conocimiento y asimilación estaban casi al mismo
nivel, según la media obtenida, el grupo control posee un resultado de 39.25 mientras que el
grupo experimental de un 49.250, además con una desviación estándar de 12.676 del grupo
control y 10.638 del grupo experimental.
Luego del pre-test se dio inicio con el tratamiento y para ello se trabajaron temas como
razonamiento, método de Pólya y resolución de problemas con el objeto de observar el progreso
o evolución de los alumnos al emplear la aplicación de estrategias de resolución problemas
para mejorar el razonamiento lógico matemático.
Posterior a todo esto se logró avanzar en el nivel de conocimientos de los estudiantes
comprobando que el grupo experimental si tuvo mejoría con respecto al grupo control,
demostrando que en el grupo control donde no se aplicó el tratamiento hubo mucha carencia
de estimulación para que el alumno aprendiera a desarrollar el máximo potencial en sus
habilidades de razonamiento lógico.
Dicho esto, el grupo control en el post-test obtuvo una media de 49.5 logrando así una ligera
mejoría en resultados donde solo el 30% de los estudiantes aprobaron la nota mínima para
ganar que es 60 por lo que se encuentran en el rango de Intermedio. A comparación del grupo
experimental donde se aplicó el tratamiento obtuvieron una media de 70 dando a entender que
si hubo resultados positivos ya que el 85% de los estudiantes obtuvieron más de la nota mínima.
Por lo tanto se concluye que el empleo de la resolución de problemas mediante la aplicación
del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático fue significativo ya que
en poco tiempo se obtuvieron resultados muy favorables, esto comprueba que el tratamiento
47
fue muy favorable para el grupo experimental y no tanto para el grupo control, dejando claro
que se alcanzaron los objetivos propuestos en esta investigación.
Lo descrito con anterioridad en el trabajo de campo de esta investigación, se evidencia para el
grupo control los resultados del post-test son bajos lo cual podemos comprobar con la T de
Student o estadístico t= -4.2856 es mayor que el valor crítico de t (dos colas) = 2.0930. Esta
diferencia la podemos ver en el grupo experimental, dado que los resultados obtenidos superan
a los del grupo control con diferencia, esto lo podemos comprobar en el post-test en la cual la
T de Student o estadístico t= -9.3695 es mayor que el valor crítico de t (dos colas) = 2.0930 por
lo que si existe diferencia estadísticamente significativa en la resolución de problemas
mediante la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático.
Por lo que se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna H1, la que literalmente
dice: La aplicación del método de los cuatro pasos de Pólya incide en el mejoramiento del
razonamiento lógico matemático en los estudiantes.
Esto demuestra que los temas impartidos como lo son el método de Pólya y resolución de
problemas durante el tratamiento han sido altamente satisfactorios obteniendo resultados
positivos en el grupo experimental.
Estos datos comprueban con lo que comenta Molina (2014), que para tener resultados hay que
aplicar técnicas innovadoras que ayuden a originar un aprendizaje significativo, esto lo hace
llegar a una conclusión clave que es impulsada por David Ausubel en la década de 1970. En la
que esta enfocada a los estudiantes para que tengan particiáción activa, además mantiene la
motivación, esto provoca que adquieran conocimientos nuevos para luego aplicarlos en sus
actividades cotidianas
Con esto podemos destacar los beneficios que se obtienen al aplicar el tratamiento en el grupo
experimental en las cuales tenemos: mayor disponibilidad por parte del alumno, mayor
estimulación, más capacidad de retención de información, así mismo despierta en interés de
forma voluntaria para el aprendizaje e incremento del razonamiento lógico matemático, pues
el método de Pólya promueve este tipo de razonamiento tan útil para la resolución de
problemas, gracias a ellos la mente es más receptiva y se ejercita la memoria a largo plazo con
la finalidad de obtener resultados correctos.
48
VI. CONCLUSIONES
1. El estudio permitió concluir que la mayoría de los estudiantes de primero básico sección
“A” del Instituto Nocturno “Guillermo Alonzo Argueta Aribizú” del municipio de San
Juan Chamelco, Alta Verapaz; demostraron progreso en la resolución de problemas en
el curso de Matemática, con tendencias a seguir mejorando en las siguientes clases
después de la aplicación del método Pólya, con esto se comprueba la efectividad del
método Pólya en la resolución de problemas matemáticos para mejorar el razonamiento
lógico matemático de los estudiantes.
2. Los resultados obtenidos por el grupo experimental en comparación al grupo control
comprueban que la resolución de problemas mediante aplicación del método de Pólya
para mejorar el razonamiento lógico matemático en el área de la matemática ha sido
funcional y progresivo para su aprendizaje.
3. La resolución de problemas mediante la aplicación del método Pólya, si favoreció a
disminuir el temor de los estudiantes en el curso de matemática, por la falta de
metodología en la aplicación de pasos o procesos que ayudan a resolver problemas; se
obtuvieron cambios en la concentración y la capacidad de razonar de los estudiantes,
en la integración y participación activa del grupo, en la entrega puntual de las tareas, en
la asistencia a clases, explicaciones y en trabajos en grupo, por lo tanto el método Pólya
es efectivo específicamente en su aplicación en la resolución de problemas matemáticos
para mejorar el razonamiento lógico matemático
4. Se logró determinar los procesos al aplicar la resolución de problemas mediante la
aplicación del método Pólya para para mejorar el razonamiento lógico matemático de
los estudiantes primero básico secciones “A y B”, ya que al finalizar la investigación el
grupo experimental obtuvo una media aritmética de 70 a comparación del grupo control
que obtuvo una nota de 49.5000 que fue la media aritmética obtenida por los estudiantes
en el post test, lo que refleja una respuesta significativa y efectiva en el grupo
experimental para el aprendizaje de los estudiantes a través de la aplicación de este
método.
49
5. El método Pólya dentro de la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática ayuda a
despertar el interés en el estudiante y disminuir el temor al momento de resolver
problemas planteados lo cual es un verdadero reto para el docente, porque constituye
un proceso continuo que se enriquece a través de la práctica y ejercitación de problemas
en matemática.
6. El objetivo principal en matemática es analizar e interpretar los resultados de la
resolución de problemas, esto con el apoyo del método Pólya se evidencia el
aprendizaje de los estudiantes, así como también la capacidad de razonar del alumno
que no sea repetitivo o mecánico de una teoría, para que el mismo alumno sea capaz de
descubrir, plantear, analizar y facilitar el uso de estrategias que le beneficien en la
resolución de problemas o todo aquello que necesita para llegar a una solución.
50
VII. RECOMENDACIONES
1. Continuar con la aplicación del método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico
matemático de los estudiantes, ya que claro está, que las resoluciones de problemas no
deben realizarse solo en el aula, también pueden aplicarse fuera de ella y de igual
manera funcionar como recurso educativo, pues se debe recordar que no solo en el salón
de clases se adquieren y brindan conocimientos, la mima vida es una escuela.
2. Proponer al establecimiento de educación básica, principalmente a los docentes de
Matemática la utilización y enseñanza del método Pólya como herramienta
fundamental para facilitar la resolución de problemas matemáticos a los estudiantes.
3. El docente se debe preparar con problemas matemáticos acorde al contexto y nivel
intelectual de los estudiantes, pero siempre enfocados a trabajar el método Pólya,
creando un ambiente favorable en el que el estudiante experimente la suficiente
confianza en sí mismo, en la resolución de un problema y que satisfactoriamente logre
un avance significativo.
4. Que los docentes empleen métodos prácticos, creativos e innovadores que faciliten el
aprendizaje de conceptos matemáticos, y generar en el alumno expectativas para lograr
un dominio y seguridad en la resolución de problemas matemáticos que los ayude a
mejorar el razonamiento lógico matemático.
5. Que los docentes busquen nuevas alternativas metodológicas, que sean principalmente
significativas y aplicables en la vida, además que sepan utilizar y enseñar el método
Pólya, debido a que la concepción que cada persona se forma de la matemática depende
del modo en cómo se la enseñen para luego aplicarlos en su vida cotidiana.
51
VIII. BIBLIOGRAFÍA
Achaerandio, L. (2010). Inciación a la práctica de la investigación. Ed. Guatemala
Publicaciones.
Arenales, S.. (2015). Relación entre las competencias de comprensión lectora y resolución de
problemas matemáticos en los alumnos de tercero primaria de un establecimiento
privado. Guatemala.
Belmont, H. (1996). Cómo enseñar a resolver problemas en el aula. Buenos Aires: Editorial
Paidós.
Beltrán, D. (2016). Dificultades de los adolescentes de secundaria en la resolución de
problemas durante el aprendizaje matemático. Zacapa, Guatemala.
Carmona, N. (2010). El pensamiento en el desarrollo del pensamiento lógico a través de una
unidad didáctica basada en el enfoque de resolución de problemas. Obtenido de
http://repositorio.utp.edu.co/dspace/bitstream/handle/11059/1484/37235C287.pdf;jses
sionid=73919FE20E1BE7DC95F0024A229A4D53?sequence=1
Damásio, A. (1994). Razonamiento. Lisboa.
Digeduca. (Diciembre de 2013). Informe Nacional de Graduandos. Obtenido de
https://www.mineduc.gob>informes
Educativo, P. (Junio de 2016). Portal educativo conectando neuronas. Obtenido de
https://www.portaleducativo.net/movil/tercero-medio/17/tipos-de-razonamiento
Fiorentin, L. (2012). El razonamiento analógico desde el modelo de la teoría de los marcos
relacionales. SciELO - Scientific Electronic Library Online, 6.
Galindo, C. (2007). el modelo de Pólya centrado en resolución de problemas en la
interpretación y manejo de la integral definida para mejorar el razonamiento. Bogotá.
García, J. (1992). Piaget, logo y la resolución de problemas. San José: Programa de Informática
Educativa.
Hernandez, V. (1994). George Pólya: El padre de las estrategias para la solución de problemas.
Historia de la solución de problemas matemáticos.
López.J. (2014). Aprendizaje significativo y resolución de problemas de ecuaciones de primer
grado. Quetzaltenango.
López J. (2014). La aplicación del método de George Pólya y su influencia en el aprendizaje
en el área de matemática. Ed. Norma
Martinez Escalante, S. B. (2015). Método de pólya en la resolución de problemas matemáticos
(Estudio realizado con estudiantes de quinto primaria, sección "A", de la Escuela
52
Oficial Rural Mixta "Bruno Emilio Villatoro López", municipio de La Democracia,
Huehuetenango, Guatemala. Huehuetenango.
Marzano, J.. (2001). Designing a new taxonomy of educational objectives. Editorial Corwin:
Thousand Oaks.
Molina, J. (2014). Aprendizaje significativo y resolución de problemas de ecuaciones de primer
grado. Quetzaltenango.
Monereo, C. (2001). El Razonamiento de hoy día . Lima. Ed. Escuela Activa
Muñoz, A. (2012). Razonamiento. Formas de razonamiento, 3. Buenos Aires. Ed. Scielo
Newman, L. (2006). El razonamiento deductivo e inductivo dentro del proceso investigativo
en ciencias experimentales. Universidad Pedagógica Experimental Libertador
Venezuela. .
Patiño, M. (2007). El modelo de pólya centrado en resolución de problemas. Universidad de
la Salle Bogotá.
Peirce, C. (1988). ¿Qué es el razonamiento? Universidad de Navarra Pamplona, España.
Peña, K. (2008). Método de Pólya en el diseño de estrategias para facilitar la resolución de
problemas relacionadas con figuras planas. Trujillo.
Piaget, J. (1966). El razonamiento y el jucio en el niño. Buenos Aires: Ed. Guadalupe.
Piaget, J. (1988). Piaget en el aula. México. Ed. Limussa
Rodríguez, M. (2004). El pensamiento lógico matemático desde la perspectiva de Piaget.
Caracas. Ed. Paídos.
Rojas, C. M. (2007). El pensamiento de ahora. Ed. Andros impresiones.
Salazar, J. (2000). Resolución de problemas de matemática y práctivas de laboratorio.
Caracas: Litobrit.
Sampieri, R. (2010). Metodología de la Investigación. México. Ed. Lysra.
Saquic, D. (2017). Incidencia del Método de Pólya en la resolución de problemas con
operaciones aritméticas en primero básico del Instituto Tinamit Kuwasaj del Quiché.
Quiché.
Sócrates. (9 de Noviembre de 2008). Lugar destinado al encuentro con la filosofía y el "sapore"
por el saber y aprender a pensar... Obtenido de Sócrates: http://scrates-
athina.blogspot.com/2008/11/tipos-de-razonamiento.html
Tversky, K. (1972). Razonamiento Inductivo. Madrid, España. Ed. Planeta
Vera, R. (2013). Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones. Universidad Católica
de Perú.
53
IX. ANEXO
Ficha técnica
Nombre: Test de razonamiento lógico.
Autor: Mario Anthony Alvarado Cuc.
Duración: 1 hora
Material: hojas de papel bond y lápiz.
Objetivo: Evaluar las capacidades cognitivas necesarias para ser eficaz en las tareas que
requieren de capacidad analítica y de anticipación para mejorar el razonamiento lógico
matemático.
Número de Ítems: 20 preguntas
Instrucciones: se le presentan una serie de problemas de los cuales deberá rellenar el circulo
con la respuesta correcta.
Significación:
El pre test y post test se elaboró con 20 enunciados que permiten conocer el nivel de
razonamiento lógico matemático que tienen los estudiantes.
Descripción de la prueba: Es una prueba objetiva que evalúa el nivel de razonamiento de los
estudiantes como también las habilidades que poseen.
Evaluación: La prueba tiene un valor de 100 puntos, teniendo cada respuesta correcta un valor
de 5 puntos y por cada respuesta incorrecta no obtendrá punteo.
Niveles
Alumnos
Insatisfactorio
1-60 puntos
Medio
61-75 puntos
Satisfactorio
76-100 puntos
54
Universidad Rafael Landívar
Campus Regional San Pedro Claver S.J. de la Verapaz
0 Calle 5-98 zona 4, San Juan Chamelco, Alta Verapaz
Correo electrónico: [email protected]
Facultad de Humanidades
Licenciatura en Matemática y Física
(Marzano, 2001) Relata que los procesos mentales del Sistema Cognitivo toman acción desde
el Dominio del Conocimiento. Esto permite usar la información para usar del conocimiento.
Marzano ha dividido el conocimiento en cuatro procesos que cada uno requiere de la anterior
para tener éxito, las cuales son: a) conocimiento/recuerdo, b) comprensión, c) análisis y d) la
utilización del conocimiento.
Competencia Contenidos Recuerd
o
Comprensió
n
Análisi
s
Utilizació
n
Evaluació
n
Produce
patrones
aritméticos,
algebraicos y
geométricos,
aplicando
propiedades y
relaciones,
que faciliten el
planteamiento,
el análisis y la
solución
creativa de
problemas
matemáticos
que ayuden a
mejorar el
razonamiento
lógico
matemático.
1. Razonamiento
2. Tipos de
Razonamiento
3. Método de Pólya
4. Resolución de
Problemas
4
6
5
5
TOTAL 4 5 5 6 20
55
Test de razonamiento lógico
Instrucciones: A continuación, se le presentan una serie de problemas de los cuales deberá
rellenar el circulo con la respuesta correcta. A cada respuesta correcta se le sumará 5 puntos y
no obtendrá punteo por cada respuesta incorrecta.
Tiene 1 hora 30 minutos para resolver los problemas.
1. Tomás, Pedro, Jaime, Susana y Julia realizaron un test. Julia obtuvo mayor puntuación
que Tomás, Jaime puntuó más bajo que Pedro pero más alto que Susana, y Pedro logró
menos puntos que Tomás. ¿Quién obtuvo la puntuación más alta?
Jaime
Julia
Tomás
Susana
Pedro
2. El hermano de Juan tiene un hermano más que hermanas. ¿Cuantos hermanos más que
hermanas tiene June?
3
1
2
3. ¿Cuál de las formas de la línea inferior falta en el círculo vacío de la línea superior?
e
d
b
a
c
4. ¿Si el hijo de John es el padre de mi hijo, ¿qué parentesco tengo yo con John?
Soy su abuelo
Su hijo
Yo soy John
Su nieto
Su padre
5. De las siguientes afirmaciones. ¿Cuáles son las dos que. Tomadas conjuntamente,
prueban en forma concluyente que una o más niñas aprobaron el examen de historia?
Algunas niñas son casi tan competentes en historia como los niños.
Más de la mitad de los niños aprobaron el examen.
Las niñas que hicieron el examen de historia eran más que los niños.
56
6. ¿Qué número debe aparecer en la cabeza del tercer hombre?
4
3
4
5
7. ¿Cuál debe ser la cuarta fila de letras que faltan?
E C A B D
DEABC
CADBE
8. En una hilera de cuatro casas, los Brown viven al lado de los Smith pero no al lado de
los Bruce. Si los Bruce no viven al lado de los Jones, ¿quiénes son los vecinos
inmediatos de los Jones?
Los Smith
Los Brown
Los Brown y los Smith
Es imposible averiguarlo
9. La suma de cada fila, columna o diagonal de un cuadrado mágico de 3x3 es 15. Se le
dan los primeros números de la primera fila. ¿Cuáles serán todos los demás?
6 1 8
7 5 3
2 9 4
10. Si cuatro leones se comen cuatro ovejas en cuatro minutos. ¿En qué tiempo un león se
comerá a una oveja?
Un minuto
Dos minutos
Cuatro minutos
Falta información
57
11. Tenemos cuatro perros: un galgo, un dogo, un alano y un podenco. Éste último come
más que el galgo; el alano come más que el galgo y menos que el dogo, pero éste come
más que el podenco. ¿Cuál de los cuatro será más barato de mantener?
Galgo
Dogo
Alano
Podenco
12. Andrés, Beto y Carlín se encuentran charlando sentados alrededor de una mesa
circular. Beto no está a la derecha de Carlín.
¿Quién está a la derecha de Andrés?
Beto
Carlín
No se sabe
Beto y Carlín
13. Completa la siguiente pirámide numérica
14. ¿Cuantos triángulos hay en esta figura?
8
16
36
44
15. ¿Cuál de los siguientes nombres no encajan como científicos?
o Andrew Wiles
o Nelson Mandela
o Isaac Newton
o Bernhard Riemann
32
58
16. Ayer tenía 16 años y el próximo año tendré 17 años. Si el día de mañana cumplo años.
¿En qué día y mes nací?
28 de Febrero
01 de Marzo
29 de Febrero
01 de Enero
31 de Diciembre
17. Se compran tres manzanas por $10 y se venden cinco manzanas por $20, ¿Cuántas
manzanas se deben vender para ganar $150?
125
225
300
150
18 ¿Qué figura completa la serie?
a. 1
b. 2
c. 3
19 Se ha formado un triángulo compuesto por 10 monedas con un vértice hacia arriba
¿Cuántas monedas como mínimo debo mover para convertirlo en un triángulo con un
vértice hacia abajo?
4
5
3
2
20 El único número que podría seguir en la secuencia 2, 1, 9, 8, 16, 15…. Es:
23
22
19
14
59
PLANIFICACIONES UNIDAD DE APRENDIZAJE
Planificación Bimestral
Establecimiento: Instituto Nocturno Guillermo Alonzo Argueta Arbizú
Grado: Primero Básico
Área curricular: Matemática
Docente: Mario Anthony Alvarado Cuc Períodos semanales: 4 períodos de 45 minutos.
Descripción general del área: orientar el desarrollo del pensamiento analítico y reflexivo, mediante la integración de la búsqueda de
patrones y relaciones; la interpretación y el uso de un lenguaje particular, simbólico, abstracto; el estudio y representación de figuras;
la argumentación lógica y la demostración; la formulación y aplicación de modelos variados (aritméticos, geométricos y
trigonométricos y algebraicos), así como proporcionar herramientas útiles para recolectar, presentar y leer información, analizarla y
utilizarla para resolver problemas planteados mediante el método de Pólya para mejorar el razonamiento lógico matemático.
Unidad III del 1 de julio al 31 de agosto
Competencias a
desarrollar
Contenidos Actividades Recursos Evaluación
Produce patrones
aritméticos, algebraicos y
geométricos, aplicando
propiedades y relaciones,
1. Razonamiento
2. Tipos de
Razonamiento
De aprendizaje:
• Resolución de problemas
en los que se hace uso de
procedimientos de
• Recursos tecnológicos
(computadora,
Hoja de
Trabajo.
60
que faciliten el
planteamiento, el análisis
y la solución creativa de
problemas matemáticos
que ayuden a mejorar el
razonamiento lógico
matemático.
3. Método de
Pólya.
- Conocimientos
Previos.
¿Haz escuchado
sobre el Método de
Pólya?
¿Para qué sirve?
- ¿Qué es el método
de Pólya?
Introducción al tema.
Paso 1:
Entender el problema
¿Cuáles son
las argumentos? ¿Cuál es
el resultado? ¿Cuál
es nombre de la función?
¿Cuál es su tipo?
descripción, explicación,
evidencia y demostración,
así como de estrategias
para establecer las
diferencias entre ellos.
•
cañonera, pizarra
digital)
• Hojas de Trabajo
• Recursos Humanos
61
¿Cuál es
la especificación del
problema? ¿Puede
satisfacerse la
especificación? ¿Es
insuficiente? ¿Redundante?
¿Contradictoria? ¿Qué
restricciones se suponen
sobre los argumentos y el
resultado?
Paso 2: Configurar un Plan
¿Te has encontrado con un
problema semejante? ¿O
has visto el mismo
problema planteado en
forma ligeramente
diferente?
¿Conoces algún
problema relacionado con
62
éste? ¿Conoces alguna
función que te pueda ser
útil? Mira atentamente el
tipo y trata de recordar un
problema que sea familiar y
que tenga el mismo tipo o
un tipo similar.
¿Conoces algún problema
familiar con
una especificación similar?
Paso 3: Ejecutar el Plan
Al escribir el programa,
comprueba cada uno de los
pasos y funciones
auxiliares.
¿Puedes ver claramente que
cada paso o función auxiliar
es correcta?
63
Paso 4: Mirar Atrás
¿Puedes comprobar el
funcionamiento del
programa sobre una
colección de argumentos?
¿Puedes comprobar
propiedades del programa?
4. Resolución de
problemas.
64
Estrategias Utilizadas
Actividad 1: Actividad Diagnóstica
Teniendo en cuenta el nivel de aprendizaje de los estudiantes tanto para el grupo control
y experimental, para poder tener una impresión diagnóstica y un buen soporte para el
inicio del trabajo, se les propone a los estudiantes algunos problemas planteados al azar
para que puedan resolverlos por sí mismos sin algún tipo de límite de tiempo.
Pero antes de dicha prueba diagnóstica se le pregunta si en alguna parte de su vida
cotidiana han escuchado: ¿el método de George Pólya? y si lo han escuchado: ¿qué es? y
¿cómo se resuelven los ejercicios con el método de Pólya?
Algunos resultados
Tanto el grupo control y experimental respondieron de que lo han escuchado en algún
otro lado con personas de grados superiores, en canales de televisión, internet y cuando
los docentes lo mencionan, pero fue una minoría de estudiantes que nunca lo han
escuchado y no saben que es.
Actividad 2: Prueba pre-test para el grupo control y experimental
Luego de que se plantearon algunas preguntas de quién es George Pólya, cada alumno
(20 en total) realizaron la prueba para que la resolvieran, dicha prueba se encuentra en el
anexo.
Una vez realizada la prueba escribieron algunos comentarios de que les pareció la prueba.
En estas actividades realizadas utilizando el pre test con el grupo control y experimental
se busca iniciar en el estudiante una diferente perspectiva de que es matemática y que
además se pueden resolver los ejercicios de diferentes maneras, es decir, ayudarle a que
piense con mayor facilidad.
Algunos comentarios fueron:
- Lo difícil no es hacer los ejercicios, sino pensar con calma para llegar a la
respuesta correcta.
65
- Al saber que eran 20 ejercicios pensé que era fácil, pero conforme fue pasando el
tiempo me empecé a preocupar y ya no sabía cómo resolverlo.
- Los primeros ejercicios los hice sin mayor problema, pero no calcule el tiempo,
eso me afecto demasiado.
- Me costó bastante empezar, no tenía idea de cómo resolverlo.
- La verdad lo que más me cuesta es analizar un ejercicio, eso influye en que hiciera
muy pocos ejercicios.
Actividad 3: Razonamiento
Luego de pasar el pre-test en el grupo control y grupo experimental, se procedió a trabajar
directamente con el grupo experimental teniendo en cuenta de que en el grupo control se
trabajará de una manera diferente para no influir en los resultados que se obtengan.
Algunos ejercicios que se trabajaron en clase son los siguientes.
66
Actividad 4: Tipos de razonamiento
Para la segunda semana se trabajaron diferentes estrategias para descubrir que tipo de
razonamiento tiene cada estudiante y tratar de fortalecer esas debilidades que les impide
razonar a la hora de realizar ejercicios planteados.
Algunos de los ejercicios son los siguientes:
67
Comentarios sobre las primeras dos semanas trabajadas:
Los estudiantes han tomado el razonamiento como una manera de mejorar su habilidad a
la hora de resolver ejercicios en el área de matemática, pero no solo eso sino también en
su vida cotidiana. De a poco les ha ayuda a reconocer un universo de eventos donde no
solo se debe hacer sino a pensar antes de hacer y así poder establecer un parámetro de
donde comenzar y como se puede finalizar. En ese espacio entre comenzar y terminar les
ha permitido razonar con claridad para emitir un juicio con una solución razonable y que
no solo sea al azar. Por lo que a partir de este punto los estudiantes se han encontrado con
dos puntos importantes que les está ayudando a progresar las cuales son: a menudo no se
está seguro de su resultado final y por otro lado muchas veces resulta difíciles, pero
intentan resolverlo.
Esto los ha llevado a una conclusión de que sí a todos los estudiantes de grados inferiores
se les enseñara lo que están viendo en clase se tendría otra perspectiva que se tiene de
nuestro país todo esto con el fin de mejorar las áreas numéricas que tanto se carece.
68
Actividad 5: Método de George Pólya y Resolución de problemas
El método de George Pólya se caracteriza por tener 4 pasos importantes:
Paso 1:
Entender el problema
¿Cuáles son los argumentos? ¿Cuál es el resultado? ¿Cuál es nombre de la función? ¿Cuál
es su tipo?
¿Cuál es la especificación del problema? ¿Puede satisfacerse la especificación? ¿Es
insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria? ¿Qué restricciones se suponen sobre los
argumentos y el resultado?
Paso 2: Configurar un Plan
¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el mismo problema
planteado en forma ligeramente diferente?
¿Conoces algún problema relacionado con éste? ¿Conoces alguna función que te pueda
ser útil? Mira atentamente el tipo y trata de recordar un problema que sea familiar y que
tenga el mismo tipo o un tipo similar.
¿Conoces algún problema familiar con una especificación similar?
Paso 3: Ejecutar el Plan
Al escribir el programa, comprueba cada uno de los pasos y funciones auxiliares.
¿Puedes ver claramente que cada paso o función auxiliar es correcta?
Paso 4: Mirar Atrás
¿Puedes comprobar el funcionamiento del programa sobre una colección de argumentos?
¿Puedes comprobar propiedades del programa?
69
Actividad 6: Resolución de problemas
Para cerrar la última durante cada día se le entrega a cada estudiante una hoja de 3 a 5
ejercicios para poner ejercitar la resolución de problemas mediante el método de Pólya
procurando que cada estudiante tenga una idea clara de cómo hacer cada ejercicio
Estos son algunos ejercicios que se trabajaron con los estudiantes antes del post-test
70
Comentarios generales de las actividades propuestas.
Los estudiantes de por sí ya cuentan con una intuición que hace que con facilidad lleguen
a una respuesta sin saber si esta correcta o no, es por eso que a la hora de trabajar el
razonamiento lógico matemático usando el método de Pólya los ha hecho reflexionar si
su intuición los lleva a una respuesta correcta o es que en alguna parte está fallando.
71
Cabe recalcar que a la edad que tienen actualmente los estudiantes permiten que los
resultados sean bastante positivos ya que están a una edad donde se les puede explotar
ese potencial que tienen, es por ello que:
- El docente puede proponer constantemente ejercicios que haga que el estudiante
siga poniendo en práctica el razonamiento tanto en el aula como en su entorno
social.
- El profesor puede proponer actividades que puedan realizar en grupos pequeños
y que luego puedan ser analizados en general.
- Lo importante es que el estudiante desarrolle técnicas y métodos para resolver
ejercicios con problemas planteados utilizando el método de Pólya.
- La improvisación de actividades en el aula debe evitarse pues puede caerse en
resultados de difícil manejo.
Algunas fotografías:
72
73
