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REVISTA LAGUNA, 13; julio 2003, pp. 41-67

LA TEORA CUNTICA Y SUS INTERPRETACIONES:UN ENFOQUE FILOSFICO REALISTA

Antonio Aparicio Juanaaj@ll.iac.es

RESUMEN

La teora cuntica ha generado la mayor crisis del realismo de la historia de la ciencia mo-derna. Su incuestionable xito predictivo va acompaado de una singular cadena de aspec-tos extraos, cuando no decididamente paradjicos, que surgen de la llamada interpreta-cin ortodoxa. En este artculo presento resumidamente los fundamentos del formalismo ysus consecuencias inmediatas y paso revista a las principales alternativas interpretativas.Pretendo mostrar que el divorcio entre la teora cuntica y una interpretacin realista delmundo no es, en absoluto, inevitable.

ABSTRACT

Quantum theory and its interpretations: A realist philosophical approach Quantum theoryhas produced the biggest crisis of realism of the modern history of science. Its unquestionablepredictive success is accompanied by a singular stream of weird aspects, if not definitelyparadoxal, which arise from the so called ortodox interpretation. In this paper, I summarizethe formalism fundamentals and its immediate consequences and I review the maininterpretative alternatives. I intend to show that the divorce between quantum theory anda realist interpretation of the world is by no mean unavoidable.

La Teora Cuntica es uno de los mayores acontecimientos de la historia delconocimiento humano. Pero ha generado tambin una crisis considerable sobre lacomprensin de la naturaleza desde el punto de vista de la Fsica. Es una situacindelicada; quiz desproporcionada. Desproporcin entre el enorme xito de la Fsicaen la resolucin de viejos y nuevos problemas, con una precisin predictiva a menu-do espectacular y la falta de comprensin de la esencia de tales problemas. Las res-puestas a preguntas tan inmediatas y antiguas como qu es un tomo o de qu esthecha la luz ponen de manifiesto una situacin de incertidumbre, paradojas y con-fusin que sorprende por la capacidad que, por otra parte, tenemos para predecir elcomportamiento de tomos y luz y para construir artilugios que explotan tales pre-dicciones con xito. Todo ello ha contribuido al desarrollo de una interpretacininstrumentalista de la Fsica y a un afianzamiento del idealismo en la explicacin dela Naturaleza. Ha generado una actitud de renuncia a la comprensin del mundo a

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un nivel algo ms profundo que el de los resultados de los experimentos, cuando nouna abierta declaracin de que tal comprensin es imposible. Dnde est el proble-ma? Quiz en la complejidad del conocimiento fsico y matemtico requerido paraabordar el problema? Quiz el enfoque (filosfico) que muchos de los fsicos tienendel asunto es inadecuado y conduce la interpretacin por derroteros poco slidos?

Popper1 identifica dos razones para la crisis: (1) la intrusin del subjetivismoy (2) la idea de que la teora cuntica ha alcanzado la verdad total y final. Ambascosas se combinan para producir efectos demoledores, en mi opinin. Pero, mien-tras que la segunda aparece con cierta periodicidad, precisamente en Fsica, dandolugar, dicho sea de paso, a una cierta parlisis en el progreso del conocimientoconceptual de esta disciplina, resulta chocante la irrupcin de la primera. Los fsi-cos que, confiados en sus ecuaciones y los resultados de los experimentos, han mos-trado siempre una tendencia, creo que natural, a considerar que el mundo de ahafuera existe realmente y por s, resulta que, ante el formalismo de la teora cuntica,retroceden. Las cosas no parecen claras y el resultado es la renuncia al realismo.

Es menester sealar que tal renuncia, no slo no ha sido compartida portodos sino que, aparentemente, est remitiendo en los ltimos aos. Pero la in-fluencia de la interpretacin de Copenhague, o interpretacin ortodoxa de la teoracuntica, ha sido enorme y pervive en la actualidad. En el presente artculo quierohacer una discusin crtica de esta interpretacin y de las posibles alternativas quese presentan. Mi objetivo es mostrar que la interpretacin realista de los fenmenoses perfectamente viable. Tanto, al menos, como la ortodoxa. Para comprender lasrazones de estas interpretaciones, es necesario conocer los aspectos fundamentalesde la teora cuntica. Comenzar, por tanto, con una presentacin resumida deellos. Adems, al final del artculo, se incluye un apndice con una descripcin muybreve, pero ms tcnica, de las herramientas matemticas esenciales. Para algunoslectores puede ser til comenzar revisando este apndice.

EL FORMALISMO DE LA TEORA CUNTICA

En muchos lugares en que se presentan los fundamentos de la teora cuntica,se comienza con una descripcin histrica de su desarrollo. Las razones que le die-ron origen son, adems de un apasionante episodio de la Historia de Ciencia, im-portantes para comprender el desarrollo de la teora. Sin embargo, no resultan im-prescindibles si de lo que se trata es de discutir el sentido del formalismo actualmenteen vigor. Por razones de brevedad, prescindiremos de la justificacin histrica eiremos directamente a presentar el formalismo, debido principalmente a vonNeuman.

1 K. POPPER, 1982. Quantum Theory and the Schism in Physics. From the Postscript to theLogic of Scientific Discovery. Ed. W.W. Bartley III. Edicin en espaol: Tecnos, 1992.

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El estado fsico de un objeto macroscpico, por ejemplo, una pelota degolf, sin rotacin puede darse por un conjunto de seis cantidades. Tres de ellas fijansu posicin en el espacio. Las otras tres, determinan su estado de movimiento y sonlas tres componentes del momento del objeto, que se obtiene multiplicando sumasa por su velocidad. A estas seis variables cabe aadir otras tres que proporcionaninformacin sobre la rotacin, si est presente. Conocidas todas ellas en un ciertoinstante de tiempo y las fuerzas que intervienen sobre el cuerpo, se puede determi-nar su posicin y estado de movimiento en cualquier otro instante (del futuro y delpasado). Esto es lo que nos dice la Fsica clsica. Pero la situacin es diversa cuandose trata de objetos muy pequeos, como partculas elementales. La teora cunticase refiere a estos sistemas, a los que, a menudo y por brevedad, llamaremos mi-croscpicos a lo largo de este artculo.

Supongamos, para centrar ideas, que nos referimos a una de estas partculaselementales, por ejemplo, un electrn, o a un conjunto de ellas, a lo que denomina-remos sistema fsico. El formalismo de la teora cuntica nos dice lo siguiente2:

1. A cada sistema fsico va asociado un espacio de Hilbert multidimentional, H.2. Los estados del sistema fsico son vectores normalizados del espacio de Hilbert H

asociado3. Un vector de estado4 constituye una representacin completa delsistema; es decir, contiene toda la informacin sobre ste.

3. Los observables fsicos del sistema estn representados por operadores autoadjuntos(y, por tanto, lineales) de H5.

La teora se articula, adems, sobre una serie de postulados referidos a laevolucin temporal de los sistemas y a los resultados obtenidos al realizar medidas.En esencia, son los siguientes:

1. La evolucin temporal de un sistema fsico est gobernada por la ecuacin deSchrdinger:

i(i|Y}/it) = H|Y}en la que |Y} es el vector de estado en el instante de tiempo t, H es eloperador lineal hamiltoniano, i=B-1, es la constante de Planck (dividida

2 El lector no familiarizado con las cuestiones relativas a los espacios de Hilbert y losoperadores lineales encontrar un breve resumen de lo esencial en el apndice al final de este artculo.

3 Representamos los vectores de H dentro de un semicorchete del tipo |a}. sta es lanotacin habitual de la Teora Cuntica, introducida por Dirac.

4 El vector de estado recibe tambin el nombre de funcin de onda. No hay incompati-bilidad con el formalismo del espacio de Hilbert puesto que los conjuntos de funciones (con deter-minadas propiedades) son espacios de Hilbert.

5 Representamos los operadores con letras cursivas maysculas, como A.

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por 2p) y i/it es la derivada parcial con respecto al tiempo que representa,precisamente, la evolucin temporal.

2. Los nicos resultados que pueden obtenerse en la medida de un observable fsicoson los autovalores del operador A asociado a tal observable. El resultado dela medida no est determinado de antemano, sino que existe una cierta pro-babilidad de obtener cada uno de los autovalores de A. La probabilidad deobtener el autovalor a

i, es el cuadrado del mdulo del producto escalar del

vector de estado del sistema y el autovector asociado a ai. En otras palabras,

si |Y} es el vector de estado antes de la medida y |yi} es el autovector asocia-

do al autovalor ai, el resultado del producto escalar y

i|Y} es un nmero

complejo x=a+ib, el cuadrado de cuyo mdulo, es decir a2+b2, es, oportuna-mente normalizado, la probabilidad de obtener el resultado a

i en la medida.

3. Al realizar una medida sobre el sistema en el instante t, el vector de estado |Y} setransforma en el autovector asociado al autovalor obtenido en la medida.Este proceso recibe denominaciones tales como reduccin del paquete deondas o colapso del vector de estado.

sta es, en resumen, la esencia del formalismo de la teora cuntica. El an-lisis de sus consecuencias est en la base de la discusin suscitada sobre la realidad delos fenmenos que describe y de los propios entes a los que se aplica. Es necesariollamar la atencin sobre algunas caractersticas de lo que hemos presentado.

CONSECUENCIAS DEL FORMALISMO

PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

Una de las primeras consecuencias de la teora es la imposibilidad de deter-minar simultneamente, para un sistema, valores de observables cuyos operadoresno conmuten. Que dos operadores, A y B no conmuten implica que tienen sistemasde autoestados diferentes. Si, sobre un sistema fsico, digamos una partcula, reali-zamos la medida del (observable asociado al) operador A y obtenemos a

i, el vector

de estado de la partcula colapsar hacia el autoestado asociado a ai, |y

i}. El hecho

de que |yi} no sea autoestado de B implica que el observable asociado a este opera-

dor no posee un valor definido en el nuevo estado. Es ms, la medida de B destrui-ra inmediatamente el valor del observable A. Si, despus de medir B, repitiramosla medida de A, obtendramos un resultado a

j, que no tendra por qu coincidir con

el anterior. Por simplicidad nos estamos refiriendo a sistemas de valores propiosdiscretos. Cuando los valores que pueden resultar de una medida se distribuyen demanera continua, lo que hemos dicho se traduce en un emborronamiento de losresultados cuando se miden dos observables cuyos operadores no conmutan. ste esel caso de la medida simultnea de la posicin y el momento de una partcula sobreuna misma direccin. El anterior salto de un autovector a otro se traduce ahora enque ambos resultados llevarn asociado un intervalo de posibilidades que no puedehacerse disminuir arbitrariamente de forma simultnea. En otras palabras, estre-

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char el intervalo de incertidumbre asociado a la medida de una de las variables hastaprcticamente cero hace que se agrande el de la otra, de forma que queda completa-mente indeterminada. ste es el principio de incertidumbre de Heisenberg. Es desealar que las incertidumbres mencionadas son no epistmicas. Es decir, no setrata simplemente de que al intentar la medida de una de las variables se estropee laotra. Se trata de que no tiene sentido hablar de las dos simultneamente.

SUPERPOSICIN DE ESTADOS

Quiz la consecuencia ms significativa de la teora sea la superposicin deestados. Supongamos que |y} y |n} son dos vectores del espacio de Hilbert H. Son,por tanto, dos estados del sistema fsico asociado a H y tambin lo es cualquiercombinacin lineal |X}=a|y}+b|n}. Supongamos, que |y} y |n} son ortogonales yque son los autoestados de un operador A; es decir, los estados en los que el sistemapodra colapsar tras realizar una medida del observable asociado a A. Segn esto,podemos decir que, al menos tras la medida, |y} y |n} son posibles estados en losque el sistema podr encontrarse objetivamente. Incluso aunque no nos hayamosinformado del resultado de la medida de A, podremos afirmar que, despus de lamedida, el sistema se encuentra o bien en el estado |y}, o bien en el estado |n}. Sinembargo, antes de realizarla, el sistema se encuentra en el estado |X}, que no esninguno de los dos anteriores y que, por tanto, no es ningn estado objetivamenteenunciable del observable A. El sistema se encuentra en lo que se denomina unasuperposicin de los estados |y} y |n}. En tal situacin, la ignorancia que un obser-vador tiene sobre el estado no es epistmica. No se trata de que el sistema se encuen-tre en |y} o en |n}, pero que el observador no lo sepa. Se trata de que el sistema nose encuentra ni en |y} ni en |n} y, por tanto, como stos son los estados que llevanasociado un valor (el autovalor correspondiente) para el observable A, no es posibleasignar ningn valor a tal observable.

Veamos dos ejemplos para aclarar lo anterior. Consideremos el espn de unelectrn. El espn es una propiedad interna de las partculas elementales que notiene equivalente en los cuerpos macroscpicos. Podramos imaginar que es algosimilar a la rotacin de una pelota de golf6. Medido en cualquier direccin, el espndel electrn puede arrojar dos posibles valores: 1/2 y -1/2. Representaremos losautoestados asociados por |K} y |L}. Por tanto, el estado de espn de un electrn sepuede dar en general por |s}=a|K}+b|L}. Supongamos que lanzamos un electrnhacia un detector que mide su espn. El detector dar la respuesta S si obtiene 1/2y NO en caso contrario. Inmediatamente despus de realizar la medida, el electrn

6 Esta similitud, aunque es habitual hacerla, puede dar lugar a confusin. Las propiedadesde un objeto macroscpico, por lo que a rotacin se refiere, no se parecen a las que se derivan delespn de una partcula. La nica similitud que cabe sealar es que se refiere a una propiedad internade la partcula, independiente de su estado de movimiento y de su posicin.

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se encontrar con seguridad en uno de los estados |K} o |L}. Pero antes de realizarla medida, su estado de espn, |s}, no corresponde a ninguna de las dos opciones alas que cabe asignar la respuesta S o la respuesta NO del detector.

El segundo ejemplo muestra quiz ms claramente el significado de estadosuperpuesto. Supongamos que enviamos un fotn contra un espejo semiplateado7 yque, detrs del espejo, instalamos un detector que sealar S si el fotn incidesobre l y NO, si no lo hace. Cuando el fotn incide sobre el espejo aparecen dosestados ortonormales posibles: transmitido, |T}, y reflejado, |R}. Puesto que existela misma probabilidad de que el fotn se transmita o se refleje, el vector de estadodel fotn despus de incidir sobre el espejo es |F}=(1/B2)|T}+(1/B2)|R}. Pocodespus, cuando ha transcurrido el tiempo necesario para que el fotn llegue aldetector, si este arroja S, el vector de estado del fotn pasa a ser |T}; si el detectorarroja NO, el vector de estado del fotn pasa a ser |R}. Las probabilidades de uno yotro resultados son los mdulos al cuadrado de los productos escalares de |F} y losrespectivos autovectores; es decir |{T|F}|2 y |{R|F}|2, respectivamente. En amboscasos, el resultado es 1/2. El vector |F representa un estado superpuesto. Es decir,en el contexto del experimento diseado, la posicin del fotn desde que incide enel espejo hasta que es o no es detectado no tiene ningn valor objetivamente enun-ciable. Es decir, mientras que despus de haber sido detectado o no detectado sepuede decir que el estado del fotn es |T} o |R}, un instante antes de esa deteccin,no tiene sentido decir si el estado es uno u otro. No es una limitacin epistmica;no es que el observador an no ha sido informado. Se trata de que el estado super-puesto del fotn no es un estado propio del observable y, por tanto, no es posibleasociar un valor (S o NO) a la situacin.

El experimento ideal anterior pone claramente de manifiesto otra caracte-rstica del formalismo. El hecho de que el detector seale S hace que el vector deestado del fotn salte a |T}. Pero el hecho de que el detector no seale nada (NO),cuando podra haberlo hecho, hace que el vector de estado salte a |R}, lo que consti-tuye un notable suceso contrafctico.

Los estados superpuestos poseen otras caractersticas notables. Una de ellas,que deriva de la linealidad de la ecuacin de Schrdinger y de la del hamiltoniano,es que el estado al que se llega tras la evolucin temporal de un estado superpuestoes el mismo que se obtendra superponiendo dos autoestados evolucionados. Enotros trminos, si |X}=a|y}+b|n} es el estado (superpuesto) de un sistema y |X},|y} y |n} son los estados a los que evolucionan |X}, |y} y |n} tras un ciertointervalo de tiempo, entonces |X}=a|y}+b|n}. Por esto podemos afirmar que laevolucin de un estado cualquiera |X}, gobernada por la ecuacin de Schrdinger,es completamente determinista.

7 Al margen de los aspectos tcnicos de su realizacin, un espejo semiplateado proporcio-na una probabilidad de un 50% de que un fotn que incide sobre l sea reflejado. En caso contrario,el fotn es transmitido.

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DETERMINISMO Y ALEATORIEDAD

El espacio de Hilbert que utiliza la teora cuntica se asienta sobre el campode los nmeros complejos. Esto, de por s, no es muy significativo, pero s que lo esel hecho de que el vector de estado, que se supone que contiene toda la informacinsobre el estado fsico en estudio, es una funcin compleja del tiempo y que su evolu-cin temporal est gobernada por el hamiltoniano, que es tambin un operador com-plejo. Sin embargo, la informacin a la que podemos tener acceso, los resultados delas medidas, son nmeros reales. Por otra parte, la ecuacin de Schrdinger garantizauna evolucin completamente determinista del sistema. Es decir, tal como hemosvisto, conocido el estado del sistema en un cierto instante de tiempo, |Y} y conocidoel hamiltoniano del sistema, podemos determinar el estado |Y} del sistema en cual-quier instante anterior o posterior, tanto si |Y} es autoestado de algn observablecomo si es un estado superpuesto. No hay, por tanto, cabida a las dudas sobre eldeterminismo en la ecuacin de Schrdinger, la fundamental de la teora cuntica.

Sin embargo, todo cambia si se realiza una medida del estado del sistema.No slo el resultado es incierto sino que, tras la medida, el vector de estado cambiade una forma que es completamente no determinista, si bien gobernada por unaprobabilidad bien definida. Pero el estado |Y} es un vector complejo y no contienedirectamente esta probabilidad. Las probabilidades son nmeros reales y se obtie-nen mediante el proceso explicado en el postulado 2 anterior.

Esta mezcla de determinismo y aleatoriedad es el primer problema que planteala teora. No slo por la presencia de la aleatoriedad sino porque, segn est postulado,esa aleatoriedad se produce cuando se realiza una medida. Si no se realizan medidas, esdecir, si no hay observadores involucrados, el sistema evoluciona de modo completa-mente determinista. Parecera como si fuera la presencia de una voluntad consciente loque rompe el tranquilo devenir determinista de las cosas. No es ya que esa voluntadpueda ser caprichosa, sino que introduce un comportamiento caprichoso en el mun-do exterior. Por otra parte, mientras que est claramente especificado el estado delsistema inmediatamente despus de efectuar una medida, se no es, en general, el caso.En otras palabras, qu significa que el sistema fsico se encuentra en un estado |Y} enel instante t ? Puesto que no hay modo de tener acceso a ese estado, puesto que alintentar determinarlo lo destruimos de un modo que escapa a nuestro control, qupodemos decir sobre su realidad objetiva? Volveremos sobre todo esto ms adelante.

ESTADOS ENMARAADOS

Otra consecuencia fundamental del formalismo son los estados enmara-ados8. Supongamos que tenemos dos sistemas fsicos formados, cada uno, por

8 El trmino habitual en ingls es entagled. Usaremos aqu su traduccin literal de estadoenmaraado. Otros trminos que suelen emplearse son correlacionado y entrelazado.

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una sola partcula elemental; por ejemplo, un electrn. Los espacios de Hilbertasociados a cada uno son H

1 y H

2. Consideremos el sistema formado por las dos

partculas. A l ir asociado otro espacio de Hilbert H1,2

, que es, precisamente, elproducto directo de H

1 y H

2. Los vectores de H deben contener informacin sobre

el estado de cada partcula. Como cada partcula puede estar en cualquier estado delos posibles en sus respectivos espacios de Hilbert, el sistema compuesto deber serrepresentado por estados de la forma |Y}|F}, que se refieren al hecho de que laprimera partcula se encuentra en el estado |Y} y la segunda, en el estado |F}. Estosestados se obtienen, como los de cualquier espacio de Hilbert, mediante combina-ciones lineales del tipo

|Y}|F}= Ai a

i,j|Y

i}|n

j}.

Una propiedad importante de estos sistemas es que la evolucin (segn laecuacin de Schrdinger) del sistema combinado es la evolucin combinada de lossistemas individuales. En otros trminos, si al cabo de un cierto tiempo t, |Y} hu-biera evolucionado, por s slo y sin interaccin, a |Y} y |F} lo hubiera hecho a|F}, entonces el sistema compuesto, que se encontraba en el estado |Y}|F}, habrevolucionado hasta el estado |Y}|F}. Sin embargo, el estado del sistema compues-to tiene entidad propia y corresponde a un vector de H

1,2.

Si las dos partculas interaccionan, la independencia de una respecto de laotra desaparece y las propiedades de cada partcula por separado pierden su sentido.Un vector del tipo |Y}|F}, que representa un estado cualquiera del sistema, no esun vector de H

1 ni de H

2. Al realizar una medida sobre el sistema compuesto,

obtendremos uno de los autovectores del operador utilizado que, en general, tendrla forma |l

i}|m

j}. De nuevo, este vector es del espacio H

1,2 y nada nos dice sobre los

estados de las partculas individuales. Cabe entonces afirmar que, en el caso gene-ral, dos partculas cuyos estados estn enmaraados dejan de tener, de forma indivi-dual, las propiedades asociadas a ellos.

Veamos un ejemplo significativo: el argumento de incompletud original-mente propuesto por Einstein, Podolsky y Rosen9 (EPR) en 1935, pero segn lareformulacin realizada por Bohm10 en 1951. Imaginemos una partcula de espn 0que se desintegra en dos partculas de espn 1/2 y que se alejan en direccionesopuestas. El estado de espn del sistema formado por las dos partculas es un estadoenmaraado de la forma |s}=|1K}|2L}-|1L}|2K}, donde 1 y 2 se refieren a cadauna de las partculas. El espn del sistema sigue siendo cero, pero es un estado

9 A. EINSTEIN, B. PODOLSKY y N. ROSEN, 1935. Can quantum-mechanical description ofphysical reality be considered complete?, Physical Review, serie 2, 47, 777-780. Ms recientemente, enQuantum theory and measurement, ed. J.A. WHEELER y W.H. ZUREK, Princeton University Press, 1983.

10 D. BOHM, 1951. The paradox of Einstein, Rosen and Podolsky, Quantum Theory, Ch.22, sect. 15-19. Prentice-Hall, Englewoods-Clifts. Ms recientemente, en Quantum theory andmeasurement, ed. J.A. WHEELER y W.H. ZUREK, Princeton University Press, 1983.

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enmaraado. Ahora bien, estas dos partculas pueden alejarse arbitrariamente unade la otra. Podemos entonces realizar una medida de espn sobre la partcula 1.Supongamos que obtenemos (el autovalor asociado a) |1K}. Esto desenmaraa elestado del sistema: automticamente, la partcula 2 pasa al estado |2L}. Lo notabledel caso es que este salto en el estado de la partcula 2 se produce de forma instan-tnea, independientemente de la distancia a la que se encuentren las dos partculas.El argumento de EPR era que si, sin realizar ninguna medida sobre la partcula 2,podemos saber su estado es porque existe un elemento de realidad intrnseca en talestado (lo que implica la incompletud de la teora), a menos que se admita la trans-misin de informacin instantnea entre las dos partculas a distancias arbitraria-mente grandes. Bohm se apoy en esto en el planteamiento de su formulacinalternativa de variables ocultas, que veremos ms adelante. Sin embargo, es conve-niente sealar desde ahora que el comportamiento de estados enmaraados y eldesenmaraamiento a distancias arbitrariamente grandes que hemos descrito hasido comprobado en experimentos ms recientes11. Sin embargo, el lmite impuestopor la teora de la relatividad a la velocidad de transmisin de informacin (la velo-cidad de la luz) se mantiene a salvo. Si se midiera el espn de la partcula 1, elresultado no podra correlacionarse con el obtenido en la 2, a menos que el observa-dor en 1 le comunicara al observador en 2 tal resultado, lo que debera hacer me-diante otros medios, por ejemplo mediante una seal luminosa, o a menos que elobservador en 1 conociera el estado de su partcula antes de medirlo, lo que est encontradiccin con el formalismo.

Lo que s implica el colapso del vector de estado de la partcula 2 es que elproceso es esencialmente no local. Como ambas partculas pueden estar arbitraria-mente lejos y como, en rigor, el propio estado de todo el Universo debe considerar-se un estado enmaraado, esto implica que la no-localidad debe afectar a todo elUniverso y que la medida del estado de cualquier partcula debe hacer colapsar, dealgn modo, el vector de estado global del Universo.

Volviendo al sistema de dos partculas anterior, es de sealar que, en gene-ral, el colapso del vector de estado de la partcula 1 no implica, necesariamente, queel de la 2 pase a ser uno de los autoestados del mismo observable. Supongamos que,en lugar de lo supuesto en el caso anterior, el estado enmaraado fuera|s}=|1K}|2L}+|1K}|2K}-|1L}|2K} y que al medir el estado de la partcula 1, stecolapsa al |1K}. El estado de la partcula 2 salta entonces al |2L}+|2K}, que es unasuperposicin de autoestados. Lo que ha ocurrido es que la partcula 2 recobra suidentidad y que su estado pasa entonces a evolucionar por separado del correspon-diente al de la 1.

11 A. ASPECT, J. DALIBARD, G. ROGERS, 1982. Experimental tests of Bells inequalities usingtime-varying analyzers. Physical Review Letters, nm. 49, pp. 1.804-1.807.

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MEDIDAS E INTERACCIONES CUNTICAS

La ltima cuestin que quiero mencionar respecto a la teora, antes de pa-sar a una discusin crtica, se refiere al proceso de medida. Hemos visto cmo lamedida de un observable A

s para una partcula genera el colapso de su vector de

estado. Pero la realizacin de la medida implica el uso de un aparato que ample elestado de la partcula hasta niveles macroscpicos. Un aparato, por otra parte, quedebe interaccionar con la partcula. Esta interaccin entre aparato de medida ypartcula implica la formacin de un estado enmaraado de ambos, estado queincluye, dicho sea de paso, a todas las partculas que componen el propio aparato.Cabe entonces asumir que todo el sistema (partcula medida y todas las partculasdel aparato) est en un estado enmaraado |Y}, que se podr expresar como combi-nacin lineal de los autovectores de un nuevo operador A

s,k. Estos vectores forman

un sistema ortonormal completo del espacio de Hilbert producto directoH=H

sH

1...H

n, donde H

s es el espacio de Hilbert asociado a la partcula que se

trata de medir y H1,...,H

n son los espacios de Hilbert asociados a las partculas del

aparato de medida. Esto introduce dos dificultades. En primer lugar, el sistemaglobal (partcula y aparato) se encontrar, inmediatamente despus de la medida,que no es ms que una interaccin fsica entre sistemas, en una superposicin de losautoestados de A

s,k y no en alguno concreto de tales autoestados. Por otra parte, aun

si consiguiramos uno de los autoestados de As,k

, tal estado sera enmaraado y norepresentara el estado ni de la partcula ni del aparato de medida. Sin embargo, lateora postula que el resultado de una medida es un autovalor de A

s y que el estado

final es uno de sus autoestados. Adems, de hecho, es eso lo que observamos: almedir, el ndice del aparato o la informacin digital que proporciona tiene un valorconcreto; un valor que es, precisamente uno de los autovalores de A

s.

Todo lo explicado indica un comportamiento ciertamente peculiar de lascosas e induce a pensar, como muchos autores han hecho, que la teora cuntica es,de algn modo, incompleta, ya sea porque el vector de estado no contiene una des-cripcin completa del estado de un sistema, porque la ecuacin de Schrdinger no esuna representacin adecuada o porque el formalismo falla en algn otro lugar. Resul-ta muy notable el hecho de la coexistencia de dos tipos de evolucin, una determinista(dada por la ecuacin de Schrdinger) y otra no determinista, que hace acto de pre-sencia, al parecer, cuando un observador consciente decide hacer una medida. Peroeso no es todo. El proceso de medida conlleva una fuerte inconsistencia interna, queradica en que el aparato de medida es tambin un sistema fsico. Como tal, debeevolucionar segn la ecuacin de Schrdinger en sus interacciones habituales conotros sistemas, incluidas las partculas. Pero debe comportarse como aparato demedida cuando se est utilizando como tal, comportndose entonces segn las re-glas no deterministas de la medida. Muchas de las consecuencias de la teora cunticaresultan ms o menos sorprendentes. Pero este doble comportamiento de los apara-tos de medida, ms que sorprender, supone una manifiesta contradiccin.

A continuacin vamos a presentar una discusin crtica de la llamada inter-pretacin ortodoxa o de Copenhague de la teora cuntica y a explicar, de maneraresumida varias posibles alternativas a ella.

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LA INTERPRETACIN ORTODOXA DE LA TEORA CUNTICA

Hasta ahora hemos expuesto las consecuencias directas ms problemticasde la teora cuntica. Hemos ido planteando algunas de las dificultades, pero nues-tro inters ha sido, sobre todo, presentar el formalismo y mencionar estas conse-cuencias como derivadas de l. La mayora de los fsicos reaccionan con diferentesgrados de insatisfaccin ante ellas, que van desde el convencimiento de que la teoraes incompleta hasta el cuestionamiento de si est dicindonos algo realmente signi-ficativo sobre la naturaleza o si, por el contrario, no se trata ms que de una herra-mienta de clculo til sin relacin con la (posible) realidad de las cosas. Resumien-do lo que hemos presentado hasta ahora, podemos decir que la teora da lugar a lassiguientes consecuencias que, como mnimo, llaman la atencin:

1. Imposibilidad de medir simultneamente dos observables cuyos operadores noconmuten. En particular, imposibilidad de medir con precisin arbitrariala posicin y el momento de una partcula.

2. Estados de un sistema fsico como superposicin de autoestados. Implica que, engeneral, un sistema fsico no se encuentra en ningn estado asociable alresultado de una medida.

3. Evolucin determinista del estado de un sistema (segn la ecuacin de Schrdinger)pero aparicin de sucesos no deterministas en la medida de observables(colapso del vector de estado).

4. Estados enmaraados en partculas que han interactuado y colapso del vector deestado de una de ellas al realizar una medida sobre la otra, implicando la nolocalidad del proceso.

5. Separacin entre el comportamiento de los sistemas microscpicos (aquellos re-gidos por la teora cuntica) y los macroscpicos (regidos por la Fsica cl-sica), como los aparatos de medida. Dificultad para identificar el lugar enque se produce la frontera entre el mundo cuntico y el clsico.

6. Papel especial asignado al observador y a su voluntad. Tomar la decisin derealizar una medida afecta (segn lo dicho en el punto 4) al estado de todoel Universo o, al menos, de un modo significativo, a partes de l muy dis-tantes (no conectadas por intervalos temporales en el sentido de la teora dela relatividad).

Durante los aos de desarrollo de la teora cuntica surgi, no sin fuertescontra argumentos, como los propuestos por Einstein o Schrdinger, un esquemainterpretativo que se denomina interpretacin ortodoxa o interpretacin deCopenhague. Dentro de esta lnea se emplazaron figuras como Bohr (su principalartfice), Heisenberg o Dirac y es la interpretacin de la teora cuntica ms difun-dida y aceptada entre los fsicos, sobre todo hasta los aos 1980. Segn la interpre-tacin de Copenhague, la descripcin proporcionada por la teora cuntica es com-pleta. El asunto es, en cambio, que no tiene sentido hablar de propiedadesobjetivamente posedas por un sistema cuntico a menos que se realice una obser-vacin sobre l. En otras palabras, una propiedad de una partcula, como es su

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posicin, slo tiene sentido cuando se realiza una medida de la partcula con unaparato diseado para detectar su posicin. Es decir, la posicin es algo que sloexiste en el contexto del aparato y del observador que lo utiliza; no en el contexto dela partcula. Aplicado al caso de la dualidad onda-corpsculo manifestadas tantopor fotones como electrones, esta interpretacin se convierte en el principio decomplementariedad: las partculas no poseen ambas propiedades o a veces una y aveces otra. No poseen ninguna de las dos. Una u otra se manifiestan slo en elcontexto de un proceso de medida adecuado. No existiendo procesos de medida enque se manifiesten las dos, es imposible que ambas aparezcan juntas.

Heisenberg prefera una variante de este esquema interpretativo segn lacual el sistema fsico posee un estado definido en cada momento, slo que ese esta-do no es directamente accesible mediante un proceso de medida. Estas limitacio-nes, quiz insalvables, del proceso de medida, implican, sin embargo, que la teoracuntica proporciona una descripcin incompleta de la realidad fsica. A cambio, escompatible con la existencia de una realidad fsica independiente de la presencia deobservadores y aparatos de medida. Esta interpretacin parece prudente porquepara cualquier vector del espacio de Hilbert existe siempre un operador para el quees un autovector. Como no tenemos acceso al vector de estado si no lo medimos, nopodemos saber cul es ese operador. Pero el formalismo establece su existencia. Eneste sentido, Heisenberg tena razn.

Sin embargo, una cuidadosa mirada pone de manifiesto algunas dificulta-des. Si nos referimos a la posicin, por ejemplo, de un electrn libre, su evolucintemporal produce un vector de estado que es una combinacin lineal de infinitosautoestados del operador posicin, cualquiera que sea el sistema de coordenadasutilizado para definir el operador. Estos autoestados caracterizan todas las posicio-nes que el electrn puede ocupar tras una medida, posiciones que presentan unadistribucin continua. Si el electrn est dentro de una caja, al medir su posicin, elresultado puede ser cualquiera, dentro de la caja. Sin embargo, en general, cuandono se realiza una medida, lo que el vector de estado dice es que la posicin queocupa el electrn (que evoluciona de un modo determinista segn la ecuacin deSchrdinger) es una superposicin de todas las posiciones, de todos los puntosespaciales, dentro de la caja. Segn esto, aunque la interpretacin de Heisenbergpareca razonable, no es eso lo que la teora est representando. Si Heisenberg tuvie-ra razn, habra algo mal en la teora, ms all de una cuestin de limitacinepistmica de informacin por parte de un observador. La existencia de estadosenmaraados, que no haba sido bien comprendida cuando Heisenberg propuso suinterpretacin, parece indicar tambin que la indefinicin del estado del sistemaentre medidas es algo ms que el resultado de nuestra mera ignorancia.

Volviendo a la interpretacin ortodoxa pura (la que defenda Bohr), he-mos visto que una de sus consecuencias es que no cabe ni siquiera hablar de cmo esun sistema fsico entre medidas, puesto que cualquier respuesta a preguntas de estetipo slo puede darse en el contexto de una medida. Esto puede resultar chocantepara el sentido comn, habituado a tratar con objetos que estn en sitios concretosy que se mueven con velocidades, direcciones y sentidos concretos. Sin embargo, nohay contradiccin formal en ello. El siguiente experimento, tomado de la experien-

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cia ordinaria, aun no siendo completamente equivalente al caso cuntico, puederesultar ilustrativo. Supongamos que lanzamos una moneda al aire y que, al llegar alsuelo, puede quedar de cara o de cruz. Estos dos estados, cara y cruz, pueden consi-derarse resultados de una medida y puede tomarse como autoestados de un obser-vable. Ahora bien, en qu estado se encuentra la moneda mientras va por el aire? Esclaro que no estar de cara ni de cruz ni en ningn estado concreto que sea unacombinacin de los dos. Podramos describir la situacin mediante una funcin deonda que nos informara sobre la probabilidad de obtener cara o cruz al realizar unamedida (al caer al suelo). Pero en ningn momento cabe decir que la moneda estde cara o de cruz, hasta que no cae al suelo y se produce la medida. Complique-mos un poco el experimento. Supongamos que, en vez de una moneda, disponemosde un dado que tiene las caras marcadas del siguiente modo. Dos caras opuestasentre s estn pintadas de verde; otras dos, de azul y, otras dos, de amarillo. Una delas caras verdes tiene escrita una A y la otra una B. Les llamaremos estadosverdes. De las dos azules, una est marcada C y la otra D. Llamaremos a stosestados azules. Anlogamente, de las dos amarillas, una est marcada con una Ey la otra con una F. Los llamaremos estados amarillos. Cuando, despus delanzar el dado, se para en una posicin, diremos que se encuentra en el estado quecorresponde a la cara que mira hacia arriba. Supongamos que lanzamos el dado ycae sobre una cara verde. Podremos decir entonces que se encuentra en el estado Ao B verde. Pero no se encontrar en ningn estado azul ni amarillo, ni serposible determinar un estado amarillo y uno verde simultneamente.

Los dos sencillos ejemplos expuestos no pretenden dar una idea intuitiva dela teora cuntica12. Simplemente, ponen de manifiesto que el tipo de fenmenosdescrito no es privativo de la teora cuntica. En otras palabras, el hecho de que laspartculas se comporten segn la descripcin de estados superpuestos y el principiode indeterminacin, puede resultar chocante. Pero no es, de ningn modo, absur-do; no hay contradiccin en la descripcin proporcionada por la teora. El proble-ma es, en realidad, de otro tipo y reside en la divisin del mundo fsico en dosdominios, cuya lnea de separacin no est clara y objetivamente definida. Uno secomporta segn el formalismo de la teora cuntica y, fuera del contexto de unproceso de medida, no posee valores definidos de las diferentes magnitudes fsicasobservables. El otro est descrito por la Fsica clsica y es el mundo macroscpico. Al pertenecen los propios aparatos de medida, que siempre tienen valores definidos,pero que no estn directamente gobernados por las leyes de la teora cuntica. Perocualquier sistema que acte como instrumento de medida puede ser considerado

12 Para adquirir una visin adecuada de lo que la teora cuntica significa, es necesarioevitar analogas basadas en el comportamiento del mundo clsico. Lo nico que pretendo con estosejemplos es mostrar que es posible un sistema macroscpico en el que, como ocurre con la moneda,un observable no tiene ningn valor definido hasta que se le observa y, como en el caso del dado, losestados de dos observables no tienen valores concretos simultneos. Cualquier extrapolacin de estaanaloga puede producir confusin en lugar de clarificar.

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como sistema cuntico, que interacta con otros sistemas cunticos segn las leyesdeterministas que gobiernan la evolucin del vector de estado o como sistema clsi-co, siempre con propiedades observables definidas, pero no determinista.

Cabra pensar que este problema no es sino un caso ms de descripcionesde la naturaleza, una ms perfecta que la otra, pero ambas vlidas cuando la preci-sin requerida no es muy alta. Es el caso de la Fsica prerelativista y relativista. Lasegunda engloba a la primera. En situaciones en que las velocidades y aceleracionesinvolucradas son pequeas, las predicciones de ambas son prcticamente indistin-guibles. Pero no es sta la situacin de la teora cuntica: si es completa, la superpo-sicin de autoestados debera darse en el mundo macroscpico tambin, como su-cedera en el caso del famoso gato de Schrdinger, que trataremos a continuacin.Y, desde luego, no hay razn para que la teora (siendo completa) no d una des-cripcin completa del proceso de medida. Adems, un proceso de medida es unainteraccin entre partculas. No hay razones de principio que distingan cundo unainteraccin forma parte o no de un proceso de medida y, por tanto, cundo debeestar gobernada por la teora cuntica y cundo no.

Ante este estado de cosas, la posicin de muchos fsicos ha sido y es que lateora cuntica no debe ser tomada en serio por lo que a descripcin realista delmundo se refiere. La realidad es una cosa, quiz indescriptible. La teora cunticaslo proporciona una herramienta de clculo, extremadamente precisa, por cierto.Es una va de escape. Sin embargo, resulta desagradablemente similar a la que sobrela Astronoma imperaba en la Edad Media: la Astronoma proporcionaba herra-mientas para calcular la posicin de los planetas, pero no una descripcin de comose movan los planetas.

SUPERPOSICIN DE ESTADOS MACROSCPICOS

Hemos visto cmo los estados de los sistemas compuestos son vectores de unespacio de Hilbert construido como producto directo de los espacios de Hilbert aso-ciados a cada partcula y cmo, despus de una interaccin entre las partculas delsistema compuesto, el estado de ste resulta enmaraado. El estado enmaraado evo-luciona como una entidad individual, gobernado por la ecuacin de Schrdinger, yel estado de cada partcula de las que forman parte del sistema no vuelve a manifes-tarse hasta que se realiza una medida que afecte slo a esa partcula (lo que, por otraparte, produce el colapso del vector de estado del resto del sistema). El proceso deconstruccin de espacios de Hilbert mediante producto directo de los asociados acada partcula no tiene lmite, por lo que se puede llegar al espacio de Hilbert asocia-do a un sistema macroscpico. Los observables seguirn representados por operado-res que tendrn asociados sistemas ortonormales completos de autovectores13. Lo

13 Asumimos, como en el resto del artculo, que no hay degeneracin; es decir, que cadaautovector lleva asociado un autovalor distinto.

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mismo que para un sistema de pocas partculas, la realizacin de una medida ahoracomporta tambin el colapso del vector de estado y, desde luego, el estado del siste-ma cuando no se realiza una medida es un estado superpuesto (y enmaraado). Siesto es cierto, debera ser posible detectar la presencia de estos estados superpuestosen procesos del mundo macroscpico al que, intuitivamente, estamos habituados.El clebre experimento mental del gato de Schrdinger14 muestra lo peculiar de unasituacin similar y supone una dificultad realmente seria a la interpretacin orto-doxa de la teora.

Con alguna modificacin, que tomo de Penrose15 y que lo hace ms claro,el experimento es como sigue. Supongamos que disponemos en una habitacincerrada una ampolla con cianuro y una fotoclula con un dispositivo que, en casode que la fotoclula detecte la llegada de un fotn, salta y rompe la ampolla permi-tiendo as que el cianuro se expanda. En un lugar de la habitacin se coloca unemisor de fotones (una bombilla) que es capaz de emitirlos de uno en uno. En otrolugar se coloca un espejo semireflectante; es decir, un espejo que, al llegar a l unfotn, lo deja pasar o lo refleja con una probabilidad de un 50% en cada caso. Elespejo est dispuesto de forma que, si el fotn es reflejado (y slo en este caso),incidir sobre la fotoclula (lo que desembocar en la rotura de la ampolla). En lahabitacin se introduce un gato (vivo). Se emite un fotn. La pregunta es: qu leocurre al gato?

La respuesta que puede resultar obvia tras un razonamiento de tipo clsi-co es que el gato tiene un 50% de probabilidades de sobrevivir: todo depende de siel fotn es reflejado o transmitido por el espejo. Pero el contenido de la habitacines un sistema cuntico. Por tanto su evolucin temporal debe estar regida por laecuacin de Schrdinger y debe ser un proceso determinista hasta que se realice unamedida sobre l. Ese proceso determinista implica lo siguiente. Al principio tene-mos un fotn en un determinado estado; cianuro cuyas partculas estn en un de-terminado estado (dentro de la ampolla, cuyas partculas estn tambin en un de-terminado estado, cada una); fotoclula, dem; un espejo, dem, y un gato, cuyaspartculas estn en ciertos estados cuya consecuencia es el estado |gato-vivo}. Alincidir el fotn sobre el espejo, pasa a un estado superpuesto cuyas componentes,con pesos idnticos, son fotn transmitido y fotn reflejado, que representaremospor |T} y |R}, respectivamente. Como la ecuacin de Schrdinger es lineal, pode-mos seguir la evolucin de cada componente por separado. La componente |T}sigue su curso (que, en este caso, no nos interesa especialmente) y, despus de uncierto tiempo, evoluciona por s sola a |T}. La componente |R} incide sobre lafotoclula y pasa al estado |D}, dispara el dispositivo, rompe la ampolla, difunde elcianuro y concluye en el estado |gato-muerto} para el gato. Prescindiendo, por

14 E. SCHRDINGER, 1935. Die gegenwrtige Situation in der Quantenmechanik. Na-turwissenchaften, 23, 807-812, 823-828, 844-849.

15 R. PENROSE, 1989. The Emperors New Mind. Oxford University Press, p. 366. Traduc-cin al espaol: La nueva mente del emperador. Ed. Mondadori, 1991.

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simplicidad, de escribir los estados de los dispositivos intermedios (fotoclula, am-polla, etc.) y centrndonos en el fotn y el gato, tenemos la siguiente superposicinde estados enmaraados:

|H}=|T}|gato-vivo}+|D}|gato-muerto}

La situacin, por lo que al gato se refiere, es un tanto extraa. No es, nisiquiera, una superposicin de |gato-vivo} y |gato-muerto}, como se menciona enalgunos lugares. Ms bien, tratndose de un estado enmaraado, el estado del gatopierde entidad. No tiene sentido hablar de l puesto que todo el sistema est en unestado enmaraado que es la superposicin |H}, difcil de compatibilizar con laexperiencia cotidiana de las cosas, incluidas las relativas al envenenamiento de losgatos. Sin embargo, sta no es la prediccin ms sorprendente del formalismo. Hastaahora nos hemos centrado en la evolucin determinista, guiada por la ecuacin deSchrdinger, del estado del sistema cuntico formado por lo que hay en la habita-cin. Pero no ha hecho an acto de presencia el proceso de medida. Si esto ocurre,el estado del sistema colapsa hacia uno de los autoestados. Un proceso de medida esalgo conducente a determinar una propiedad de un observable. Vale, por tanto,asomarse a la habitacin para comprobar qu ha sido del gato. En ese momento, elvector de estado |H} se desenmaraa y colapsa bien a |T} y |gato-vivo}, bien a |D}y |gato-muerto}. La medida podra referirse tambin al fotn (o a cualquier otro delos dispositivos presentes en la habitacin y cuyo vector de estado hemos omitidoen la ecuacin anterior para |H}). Por ejemplo, podramos haber dispuesto undetector en el camino de |T} que emitiera un sonido audible desde el exterior si elfotn incide sobre l. En el momento en que ese sonido se produce, el vector deestado del gato colapsa a |gato-vivo}. Tambin, en el momento en que, transcurridoel tiempo pertinente, el sonido deja de producirse, el vector de estado del gatocolapsa a |gato-muerto}. Hasta que se realiza algn proceso de ese tipo, no tiene nisiquiera sentido, segn la interpretacin ortodoxa, hablar sobre el estado del gato.

Quiz no sea necesario insistir una vez ms en que el experimento anterior nose refiere a la falta de conocimiento sobre el destino del gato que tiene un observadorhasta que, de hecho, comprueba lo que le ha ocurrido. Se refiere a que, hasta ese mo-mento, no cabe decir si el gato est vivo o muerto. Tales estados cobran sentido slo enel contexto de una observacin dirigida a ponerlos de manifiesto. Desde luego, cabedecir, como justificacin de este estado de cosas que, evidentemente, la teora cunticano se aplica a un sistema macroscpico complejo, como un gato. Pero, como hemosdicho, no hay ningn criterio, en la propia teora, para decidir dnde est el lmite; aqu se aplica y a qu no. Este contexto es muy adecuado para volver al asunto de qu esuna medida. Por ejemplo, podramos considerar que la fotoclula, por s sola, efectauna medida del sistema y que, por tanto, el vector de estado colapsa en ese momento.Pero qu tiene la fotoclula que no tenga el fotn? Quiz que ha sido dispuesta all porun observador consciente para materializar tal proceso de medida. El observador cons-ciente desempea entonces un papel distintivo y singular en la Naturaleza. Qu ocu-rre si la totoclula fue abandonada all distradamente? O si estaba en una caja y fue elpropio gato el que, jugando, la sac? Alternativamente, podramos considerar que el

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papel de aparato de medida lo desempea el gato. No hace falta la observacin de unser humano para que el gato muera o sobreviva. De nuevo, qu tiene el gato parapoder desempear ese papel? Podra desempearlo una ameba? A la inversa, si utiliza-mos un detector en el camino de |T}, que emite un sonido, la simple emisin delsonido sirve para salvar al gato? O tiene que haber alguien escuchando? Qu tal si esealguien no sabe lo que est pasando y no es capaz de interpretar el sonido? Es necesariala presencia de un doctor en Fsica (que no est sordo)?

La cadena de argumentos anterior puede parecer un tanto absurda, pero esel tipo de argumentos que surgen de la interpretacin ortodoxa y es el tipo de argu-mentos sobre los que se ha debatido con intensidad desde la formulacin de lateora. Podran parecer ociosos. Pero no lo son puesto que la teora cuntica propor-ciona, como hemos dicho, una precisin asombrosa en la prediccin del comporta-miento del mundo microscpico. Comportamiento que forma parte de multitud deartilugios cotidianos actuales.

POSIBLES VAS DE ESCAPE

En la introduccin hablbamos de la crisis producida por la teora cunticasobre la comprensin fsica de la naturaleza y que Popper16 identifica dos causas paraesta crisis: (1) la intrusin del subjetivismo y (2) la idea de que la teora cuntica haalcanzado la verdad total y final. Con lo expuesto en las secciones precedentes las razo-nes de la posicin de Popper deben haber quedado claras. Sin embargo, ni el subjetivismoni la completud son imprescindibles. Desde luego, asumir que la teora cuntica escompleta es, de por s, tan arriesgado como lo fue el asumir que el electromagnetismoy la mecnica racional del siglo XIX lo eran. Mxime con la cadena de dificultadesinterpretativas que la teora cuntica presenta. Por otra parte, la visin subjetiva de lascosas es, al menos, tan prescindible aqu como en cualquier otro campo de la Filosofa.

Se puede argumentar de otro modo. Se puede partir de una posicin realistay ver hasta dnde llegamos. Puede no ser correcto. Pero no hay nada que indique queel colapso del vector de estado al realizar una medida lo sea, sobre todo si no somoscapaces de definir lo que es una medida en el contexto de la propia teora. Esto,dicho sea de paso, debera ser suficiente para abandonar tal esquema de trabajo a lamenor oportunidad que se presentara. Bien, de hecho, es lo que hacen muchos fsi-cos al considerar que la teora cuntica no es ms que una poderosa herramienta declculo. Pero esto es desagradablemente similar a la posicin escolstica respecto almodelo de epiciclos de Tolomeo. Y, desde luego, supone una renuncia a la compren-sin del mundo tal como es a la que no todos tienen por qu estar dispuestos. Esposible, despus de todo, que el mundo no sea de ninguna manera concreta. Peropara admitirlo quiz haran falta argumentos ms slidos que el buen funcionamien-

16 K. POPPER, 1982. Quantum Theory and the Schism in Physics. From the Postscript to theLogic of Scientific Discovery. Edicin en espaol: Tecnos, 1992

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to de la ecuacin de Schrdinger puesto que, para describir las propiedades de lascosas, ese buen comportamiento debe ir acompaado del ambiguo proceso de medi-da. Insisto, antes de seguir adelante, en que la principal dificultad de este proceso noes que d lugar a cosas ms o menos chocantes, sino la dualidad del comportamientocomo sistema fsico y como aparato de medida que posee el artilugio encargadode la determinacin del estado del sistema microscpico y el hecho de que, dichoartilugio, se comporte de un modo u otro segn la voluntad de un observador.

Si se parte de una posicin realista, est claro que la teora necesita de algoque ligue los procesos microscpicos con los macroscpicos, incluidas las medidas ysus resultados. Se debe introducir algo que, en algn punto de la cadena, haga quelas cosas pasen de comportarse como lo hacen las partculas elementales (ecuacinde Schrdinger, superposicin de estados) a comportarse como lo hacen las pelotasde golf o los aparatos de medida. Ha habido varios intentos de salvar la situacin.Har, en primer lugar, una mencin rpida a tres alternativas que utilizan un enfo-que no realista y discutir, con algo ms de extensin, en la seccin siguiente, lasque considero las principales vas de escape realistas.

REDUCCIN POR PARTE DE LA CONCIENCIA

Wigner17 propuso que lo que distingue un proceso de medida de una merainteraccin fsica es la presencia de un ser consciente. Esto traslada el problema a ladeterminacin de qu es un ser consciente. Slo un ser consciente se puede pregun-tar dnde y en que estado estn las cosas; slo un ser consciente las ve o sabe de ellasque estn en ese estado. En particular, si el gato slo puede estar vivo o muerto(aunque nade lo mire), el gato ha de ser consciente. En cualquier caso, introduceuna visin idealista de las cosas. Adems deja abierta una cuestin simple: aunque laposicin de la aguja de un aparato de medida slo tenga un significado a la vista deun ser (suficientemente) consciente, parece difcil sostener que, en ausencia de talser, se limite a estar en una superposicin de autoestados enmaraados.

MEZCLA ESTADSTICA

Por otra parte, es un resultado del formalismo la imposibilidad de distin-guir medidas estadsticas realizadas sobre una coleccin de partculas que se en-cuentren todas en el mismo estado superpuesto (estado puro) o sobre una coleccinde partculas que, en fracciones adecuadas18, se encuentren en autoestados del ob-

17 E.P. WIGNER, 1961. Remarks on the mind-body question. En The scientist speculates.Ed. I.J. GOOD, Heinemann, Londres.

18 Las fracciones deben ser las probabilidades asociadas a cada autoestado en una medidarealizada sobre el estado superpuesto.

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servable (mezcla estadstica). Al realizar una medida sobre la coleccin de partculasen el estado puro, cada una acabar en un autoestado del observable. Al realizarlasobre la mezcla estadstica, cada una permanecer en el autoestado en que ya estaba.Pero el valor medio obtenido (y la desviacin tpica) son iguales en ambos casos. Enel caso general de una mezcla estadstica con pesos y estados arbitrarios (superpues-tos o no), el resultado no pierde generalidad puesto que el observador no sabe, deantemano, cules son las distribuciones. En tal caso, simplemente no se puede dis-tinguir qu contribucin a la media final se debe a los pesos estadsticos clsicos ycul est asociada al colapso de los vectores de estado. A partir de este hecho, se haargumentado que el problema del colapso del vector de estado es algo cuya natura-leza no incumbe al fsico, puesto que las medidas que se realizan son estadsticas y aese nivel es imposible de poner de manifiesto. Sin embargo, esta posicin es, denuevo, instrumentalista. Aunque hay una limitacin epistmica al conocimientoque se puede adquirir, el formalismo plantea una limitacin no epistmica adicio-nal, que subyace a todo el proceso. Es esta limitacin la que un enfoque realista dela naturaleza trata de eliminar.

ALTERNATIVA DE LOS MUCHOS MUNDOS

Everett19 propuso la llamada interpretacin de muchos mundos. Segn ella,las cosas, incluidos los aparatos de medida y los observadores, ocupan todos losautoestados posibles, de forma que, ante cada interaccin, el Universo se desdoblaen tantos Universos como posibles resultados tenga tal interaccin. De este modo,el gato de Schrdinger no se encuentra en una superposicin de autoestados sinoque, inmediatamente, el Universo se desdobla en dos: uno con el gato vivo (y elobservador consciente de ello) y otro con el gato muerto (y el observador conscien-te de ello). Formalmente correcta, es una alternativa realista aunque ciertamentepoco econmica. Por esta razn, entre otras, no hay muchos fsicos que le prestendemasiada atencin. Pero quiz la cuestin ms importante es que, despus de todo,tal desdoblamiento continuado de universos no proporciona una va para la des-superposicin de estados.

REALISMO POSIBLE

Me voy a centrar en tres alternativas que considero particularmente atractivas.Mucho ms, en todo caso, que la interpretacin ortodoxa. Son las propuestas de Bohm,de Ghirardi, Rimini y Weber (GRW) y de Penrose. Las tres asumen que el vector deestado y la ecuacin de Schrdinger proporcionan una descripcin realista de las cosas,

19 H. EVERETT, 1957. Relative State formulation of Quantum Mechanics. Reviews ofModern Physics, 29, pp. 454-462.

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pero incompleta. La propuesta de Bohm elimina tambin el indeterminismo mientrasque las otras dos mantienen una componente probabilista fundamental.

VARIABLES OCULTAS Y ONDA PILOTO

En 1952, David Bohm20 propuso una interpretacin de la teora cuntica o,ms bien, una reformulacin, que eliminaba el problema de la superposicin de esta-dos y del colapso del vector de estado al realizar una medida. La propuesta de Bohm erala misma, actualizada, que ya haba defendido de Broglie21 veinticinco aos antes enrelacin con la dualidad onda-corpsculo y fue posteriormente puesta de una formarelativamente simple desde el punto de matemtico por John Bell en 1982. En esencia,la propuesta de Bohm introduce dos tipos de entidades: la partcula y una fuerza cunticaque la hace moverse. Es esta fuerza la que est descrita por el vector de estado, la quepuede combinarse linealmente con otras y la que evoluciona segn la ecuacin deSchrdinger. La informacin contenida en el vector de estado se complementa con lade las llamadas variables ocultas, que no son ms que la posicin precisa de la partcula.Es decir, de todas las posiciones previstas por el vector de estado, la partcula estar enuna concreta con una probabilidad que es la que asigna el formalismo a cada estado.Esta posicin, aun oculta al observador, no pierde nunca realidad. La partcula se com-porta entonces como un punto material que evoluciona guiado por el vector de estadou onda piloto. Todos los observables no son sino una manifestacin de esta combina-cin. Al proceder a una medida, lo que se descubre es dnde est realmente la partcula,dentro de todas las posibilidades ofrecidas por la onda piloto.

Las variables ocultas pueden servir para resolver los problemas de no locali-dad derivados del enmaraamiento de estados puestos de manifiesto en el experi-mento de EPR. Si cada partcula tiene una entidad individual objetiva, la medidasobre una de ellas en nada afecta a la otra, tal como argumentaban EPR y no hay,por tanto, efectos no locales. Sin embargo, en 1966, Bell22 present su teorema deno localidad exponiendo las pautas que los resultados de ciertas medidas efectuadassobre partculas que hubieran interaccionado deban seguir en el caso de que talesmedidas tuvieran efectos slo locales. En un experimento realizado en 1982, Aspecty colaboradores23 mostraron que tales pautas no son compatibles con la localidad y

20 D. BOHM. A suggested interpretation of the quantum theory in terms of Hidden Varia-bles I and II. The Physical Review, vol. 85, pp. 166-179, 180-193.

21 De Broglie haba presentado una versin simplificada de la que habra de ser la interpre-tacin de Bohm en el congreso de Solvay de 1927. Bohm slo supo de la propuesta de de Brogliedespus de haber formulado su propia interpretacin.

22 J.S. BELL, 1966. On the problem of hidden variables in quantum mechanics. Reviewsin Modern Physics, vol. 38, pp. 447-475. Publicado tambin en J.S. BELL: Speakable and unspeakablein quantum mechanics, Cambridge University Press, Cambridge, 1987.

23 A. ASPECT, J. DALIBARD, G. ROGERS, 1982. Experimental tests of Bells inequalitiesusing time-varying analyzers. Physical Review Letters, nm. 49, pp. 1.804-1.807.

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que corresponden a un proceso no local. La imposibilidad de la no localidad erauna de las hiptesis formuladas por EPR. Una vez que se ha mostrado que no esvlida, ya no es necesaria la conclusin de que las propiedades de la partcula tienenrealidad fsica sin medirla. A veces se interpreta la no localidad como una refutacintambin del formalismo de la onda piloto de Bohm. Sin embargo, Bohm no niegala no localidad: en los estados enmaraados, lo que se encuentra enmaraado es elvector de estado, no la posicin real de cada partcula individual. Si el estado serefiere a dos partculas que han interactuado, al realizar una medida sobre una deellas, lo que cambia instantneamente para la otra es el vector de estado. La evolu-cin de la posicin de la partcula pasa entonces a estar gobernada por el nuevovector de estado desenmaraado. Pero la partcula, como objeto real, no experi-menta saltos no locales o a velocidades superiores a la de la luz. En otras palabras, alafectar a una de las partculas, es la onda piloto la que queda instantneamentemodificada. Como esta onda no transporta energa (al contrario que los camposgravitatorio o electromagntico usuales) no hay contradiccin con la relatividad.

Se argumenta tambin que, habiendo quedado demostrada la no locali-dad, la interpretacin ortodoxa ha sido definitivamente respaldada. Sin embargo,aunque la no localidad era una de las cosas extraas que se criticaban de dichainterpretacin, no era el principal argumento en su contra. La naturaleza puede, y,de hecho, as parece que es, comportarse segn procesos no locales. Puede parecerextrao, pero slo significa que debemos cambiar nuestra idea de cmo es la natu-raleza. Lo que representa el problema insalvable de la interpretacin ortodoxa es eldoble comportamiento clsico-cuntico atribuido a los sistemas segn se utilicenpara medir o interacten libremente con otros sistemas; es decir, todo el asuntoasociado al proceso de medida. Y este problema s queda resuelto en el formalismode Bohm.

Se argumenta, finalmente, que, al fin y al cabo, el formalismo de Bohm noaporta nada a efectos prcticos. Es decir, al realizar clculos, hay que seguir utilizan-do el vector de estado y el colapso del paquete de ondas tal como se hace con elformalismo estndar. No parece, sin embargo, que esto tenga nada que ver con loque se est discutiendo, a menos que se adopte una visin extremadamente instru-mentalista de la naturaleza. Lo que aporta el formalismo de Bohm son dos cosasfundamentales. Por una parte, elimina el problema del proceso de medida y de ladoble interpretacin de los sistemas fsicos como sistemas cunticos (regidos por laecuacin de Schrdinger) y aparatos de medida (regidos por el colapso del vector deestado). Por otra parte, presenta un enfoque completamente determinista de lanaturaleza: conociendo las posiciones de todas las partculas y los vectores de esta-do, se puede determinar cualquier estado pasado y futuro, as como el resultado(probabilista para la interpretacin ortodoxa) de las medidas. Mantiene, no obstan-te, como hemos dicho, la no localidad de los procesos fsicos. Pero, despus de todo,nada nos aseguraba que no debiera ser as, excepto, claro, nuestro sentido comn,forjado a la vista de procesos clsicos.

En realidad, el principal problema del formalismo de Bohm es otro: elegidala posicin de la partcula como variable oculta, todas las dems propiedades fsicasresultan contextuales. Sin entrar en demasiados detalles tcnicos, supongamos un

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experimento de medida del espn de una partcula. Supongamos que sometemos lapartcula a la accin de un campo magntico de intensidad creciente en una deter-minada direccin (experimento de Stern-Gerlach) y que la intensidad del campocrece hacia arriba. Un dispositivo de este tipo har que las partculas con espn enun determinado estado, que representamos por |K}, se desven hacia abajo, y, alcontrario, que se desven hacia arriba las que estn en el estado |L}. Segn la inter-pretacin ortodoxa, antes de entrar en el aparato, el vector de estado de espn de lapartcula es una superposicin de estados. Si se realiza una medida de dnde ha idoa parar la partcula, el vector de estado colapsa y se pone de manifiesto uno de losdos autoestados |K} o |L}. Segn el formalismo de Bohm, es la posicin real de lapartcula, dentro del mbito que le permite el vector de estado, la que hace que sedesve hacia arriba o hacia abajo. Si al medirla est por arriba, diremos que est en elautoestado |L}, y si al medirla est por abajo, diremos que est en el autoestado |K}.

Supongamos ahora que hubiramos hecho el experimento anterior de for-ma que la intensidad del campo magntico decreciera hacia arriba, en vez de crecer.Como la desviacin de la partcula depende slo de su posicin dentro de la ondapiloto, se seguir desviando ahora de la misma forma que antes. Pero ahora, siencontramos la partcula por arriba diremos que est en el autoestado |K} y si laencontramos por abajo, en el autoestado |L}; es decir, lo contrario que antes. Endefinitiva, al elegir la posicin de la partcula como variable oculta, convertimos suespn en algo contextual que depende de la orientacin que damos al aparato deStern-Gerlach. Este razonamiento se puede extender al resto de las propiedadesfsicas de la partcula y, de paso, de todas las partculas que se encuentren en estadosenmaraados con el suyo. En otras palabras, el formalismo de Bohm elimina elproblema crucial de la medida en la interpretacin ortodoxa junto con el indeter-minismo de la teora cuntica pero lo hace a costa de la objetividad de todas lavariables fsicas excepto de las que elige como variables ocultas.

REALISMO PROBABILISTA: LA PROPUESTA GRW

En 1986, Ghirardi, Rimini y Weber24 (GRW) propusieron un esquemasimple y elegante para superar las dificultades y que fue fuertemente apoyado porBell, que contribuy tambin a su desarrollo. La propuesta de GRW no hace uso devariables ocultas propiamente dichas, sino que introduce un proceso adicional paracompletar la teora. Segn GRW, en general, las partculas se comportan segn loprescrito por la teora cuntica habitual. Pero, de vez en cuando, raramente, susvectores de estado sufren procesos de colapso espontneo. Estos procesos sonaleatorios y, en principio, imprevisibles y el valor sobre el que se producen es deter-minado por las probabilidades usuales asociadas al propio vector de estado. Mate-

24 G.C. GHIRARDI, A. RIMINI, T. WEBER, 1986. Unified dynamics for microscopic andmacroscopic systems. Physical Review D. nm. 34, pp. 470-491.

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mticamente, este colapso se describe multiplicando el vector de estado por unafuncin gausiana muy estrecha. Por ejemplo, la posicin de una partcula libre queevoluciona segn la ecuacin de Schrdinger se difumina por completo en unaamplia regin espacial. Cuando el vector de estado colapsa, la posicin queda muydefinida y, a partir de ese momento, vuelve a evolucionar deterministamente.

Los efectos de estos procesos sobre los objetos macroscpicos son claros. Sila partcula cuyo vector de estado experimenta el colapso forma parte de un objetomacroscpico, se encontrar en un estado enmaraado con el resto de las partcu-las. El colapso de su vector de estado arrastrar, por tanto, al de todas las partculasy el objeto macroscpico, como un todo, manifestar un estado definido. Bastaahora que la probabilidad de que a una partcula le ocurra uno de estos colapsos seala adecuada para que los efectos cunticos se manifiesten en el mundo microscpicoy no en el macroscpico. Si, por ejemplo, como sugieren GRW, una partcula con-creta sufre un colapso cada 1016 segundos (o sea, cada 100 millones de aos), losefectos del proceso sern prcticamente indetectables y la teora cuntica mantienepor completo su aplicabilidad: superposicin de estados, evolucin segn la ecua-cin de Schrdinger, etc. Sin embargo, un sistema macroscpico, como una pelotade golf o un gato, est formado por un nmero de partculas del orden del nmerode Avogadro: 1024 partculas. Por tanto, en su interior, alguna partcula sufrir unode estos colapsos cada 10-8 segundos, en promedio. Cada vez que esto ocurre, colapsael vector de estado de todo el sistema que, por tanto, se mantiene perfectamentedefinido desde un punto de vista macroscpico. En concreto, en un proceso demedida, en el que una partcula interacciona con un detector macroscpico, elcolapso del vector de estado y su amplificacin, manifestada por el aparato, vienendados por la primera partcula del sistema enmaraado cuyo vector de estado colapsa.

El esquema de GRW presenta el problema de que implica la violacin delprincipio de conservacin de la energa, si bien a una escala posiblemente indetectable.Pero pone de manifiesto, y esto es, segn creo, lo ms importante, que la interpre-tacin ortodoxa no es, ni mucho menos, imprescindible. Se puede decir, desdeluego, en contra suyo, que es una propuesta ad hoc, como lo son (claramente) losvalores elegidos para la probabilidad de colapso y para la anchura de la funcingausiana que lo determina. Es cierto. Pero muestra una va clara para la resolucinde la situacin intrnsecamente contradictoria de la duplicidad de papeles de lossistemas fsicos (repetimos, como sistemas meramente interactuantes o como apa-ratos de medida).

Por otra parte, comparando las dos alternativas expuestas, la propuesta deBohm, como todas las teoras de variables ocultas, se dirige al objetivismo a todoslos niveles; tanto microscpico como macroscpico. Para conseguirlo debe salir delformalismo del espacio de Hilbert y pagar el precio de la contextualidad de lasvariables. La propuesta de GRW se mantiene completamente dentro del formalis-mo cuntico tradicional y admite el indeterminismo, la superposicin de estados yel hecho de que un microsistema pueda no tener propiedades individuales objeti-vas, como consecuencia del enmaraamiento de estados. Pero comporta, de unmodo natural, que los sistemas macroscpicos se mantengan en estados bien defini-dos y da una explicacin consistente del proceso de medida.

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COLAPSO INDUCIDO GRAVITATORIAMENTE

La ltima alternativa que voy a discutir se debe esencialmente a R. Penrose25.Es, adems de plausible, particularmente elegante. Se basa en la idea de GRW, peroelimina (en gran medida) la eleccin ad hoc de parmetros introduciendo un crite-rio absoluto para valorar cundo un vector de estado se ve obligado a colapsar.

La idea es la siguiente. Supongamos una partcula cuya posicin se en-cuentra en un estado superpuesto de dos autoestados de un observable. Cada unade estas dos posiciones tiene asociado un campo gravitatorio, que tambin debeestar incluido en la superposicin. Pero el campo gravitatorio es la geometra delespacio-tiempo, por lo que tendremos dos geometras del espacio-tiempo diferen-tes superpuestas. La pregunta es entonces si esta situacin puede mantenerse o siexiste un punto en el cual las dos geometras se hacen lo suficientemente diferentescomo para que la naturaleza escoja una de ellas, dando lugar a un suceso tiporeduccin del vector de estado. sta es una situacin particularmente oscura por-que la teora estndar no permite describir estados sin un soporte geomtrico claro.La propuesta de Penrose es que las dos geometras se hacen demasiado diferentescuando tal diferencia se hace comparable a la escala de Planck, que se considerala escala espacial a la que los efectos de gravedad cuntica se pondran de manifies-to. Esta escala es del orden de 10-33 cm, veinte rdenes de magnitud menor que eltamao de una partcula nuclear. Precisamente, la pequeez de la escala de Planckhace a muchos fsicos dudar de que la gravedad cuntica pueda estudiarse de ma-nera efectiva. Sin embargo, segn la propuesta de Penrose, podra estar directa-mente involucrada en dotar de realidad a la explicacin del mundo dada por lateora cuntica.

El tiempo caracterstico en que tendra lugar la reduccin del vector deestado vendra dado por /E, donde E, es la energa gravitatoria involucrada en laseparacin entre los estados superpuestos. Esto, para un neutrn o un protn, setraduce en ms de 10 millones de aos. Pero, para una pelota de golf, se convierteen 10-23 segundos. Es decir, cada 10-23 segundos, el estado de la pelota colapsara.Algunos clculos muestran que el colapso se produce en escalas temporalmentemuy breves cuando tienen lugar interacciones entre partculas elementales y obje-tos macroscpicos aunque no haya movimientos significativos de masas a nivelmacroscpico26.

La propuesta de Penrose puede recibir distintas crticas, entre ellas que sebasa en cosas que an no han sido puestas de manifiesto experimentalmente. Siembargo, el hecho de que la gravitacin sea identificable con la propia geometradel espacio-tiempo, en la que los fenmenos cunticos tienen lugar, hace que, cuan-do menos, no parezca absurdo pensar que lo que le ocurra a esa geometra por

25 R. PENROSE, 1994. Shadows of the Mind. Oxford University Press. Editada en espaolpor Drakontos, 1996, pp. 355 y ss. de la edicin en espaol.

26 R. PENROSE. Shadows of the Mind. Ibid, pp. 361 de la edicin en espaol.

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efecto de un proceso tpicamente cuntico pueda tener alguna influencia sobre elmodo en que tal proceso se produce. Por otra parte, la escala de Planck (junto conel tiempo de Planck y la masa de Planck) es una magnitud caracterstica asociada alos valores de las que parecen ser las tres constantes fundamentales que gobiernan ala naturaleza: la constante de Planck, la constante de la gravitacin y la velocidad dela luz. La escala de Planck es la unidad de longitud que se obtiene asumiendo queesas tres constantes tomen valores de unidad. El razonamiento no es inevitabledesde un punto de vista lgico. Pero, desde una posicin realista, no debe resultarproblemtico ligar el diferente comportamiento de los objetos macroscpicos res-pecto a los microscpicos con las constantes que proporcionan las escalas caracters-ticas en el comportamiento de la naturaleza.

INSTRUMENTALISMO EVITABLE

En la seccin anterior he presentado las alternativas a la interpretacin or-todoxa de la teora cuntica que me parecen ms atractivas. Como hemos visto, laspropuestas no estn, en modo alguno, completamente establecidas. Sin embargo,tampoco hay razn slidamente establecida que apoye la interpretacin ortodoxaen sentido estricto. El apego de muchos fsicos y filsofos a esta interpretacin sebasa en el xito prctico del formalismo. Pero limitarse a este xito implica unaposicin fuertemente instrumentalista que es, cuando menos, prescindible. Desdeluego, las interpretaciones realistas no tienen un apoyo directo por parte de los expe-rimentos. Pero la interpretacin instrumentalista carece igualmente de ese apoyo,excepto por el hecho trivial de que cualquier explicacin instrumentalista de unaherramienta es vlida dentro del propio marco instrumentalista.

Lo que quiero decir, en definitiva, es que no es cierto que la teora cunticamuestre un mundo conceptualmente inaccesible al ser humano; un mundo en el queno quepa preguntarse por la naturaleza real de las cosas; cuyo comportamiento nosea ms que una eventualidad sujeta al arbitrio del observador. Los contrasentidos enlos que cae la interpretacin ortodoxa (bsicamente del tipo gato de Schrdinger)y los esquemas de interpretacin alternativa que he mencionado deben ser suficien-tes para mostrar que la realidad del mundo de ah afuera est ahora tan a salvo comolo estaba en el contexto de la Fsica clsica. Puede que la naturaleza tenga un compor-tamiento intrnsecamente probabilista. Pero ese comportamiento, no debido a nues-tra ignorancia, es real; forma parte del mundo tal como es, que puede seguir adelantesin necesidad de mentes conscientes que se pregunten sobre l.

APNDICE: ESPACIO DE HILBERT

Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial con ciertas propiedades adi-cionales. Como aqu no estamos interesados en una presentacin matemticamen-te formal, vamos simplemente a revisar cules son las propiedades que nos intere-san, sin detenernos a discutir si son generales de un espacio vectorial o especficas de

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un espacio de Hilbert. Un espacio de Hilbert H es un conjunto cuyos elementos,llamados vectores, satisfacen dos operaciones bsicas: la suma de dos de ellos y elproducto de uno de ellos por un nmero es tambin un vector del espacio. Hay quehacer la salvedad de que, en el caso que nos ocupa, los nmeros por los que semultiplica son nmeros complejos. Por aplicacin de estas propiedades, resulta queuna combinacin lineal (es decir, una suma pesada) de vectores de H es un vectorde H. Matemticamente, si |u} y |v} son vectores de H (representamos los vectorescon esta notacin, introducida por Dirac) y a y b son nmeros complejos, entoncesa|u}+b|v} es un vector de H.

Existe otra operacin, el producto escalar de dos vectores, que representa-mos por u|v, cuyo resultado es un nmero complejo. El producto escalar estdefinido de forma que el de un vector por s mismo, u|u, es un nmero real. Sedefine la norma de un vector como la raz cuadrada positiva del producto escalardel vector por s mismo. Los vectores de un espacio de Hilbert tienen norma finita.Los trminos longitud y mdulo se utilizan tambin para designar la norma. Sedenomina vector normalizado a aqul cuya norma vale 1 o, en otras palabras, al queresulta de dividir un vector cualquiera por su norma.

Se dice que dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0. Si,adems, sus normas son iguales a 1, se dice que son ortonormales. Se denominasistema ortonormal completo a un subconjunto de vectores ortonormales de H apartir de los cuales, mediante combinacin lineal, se puede obtener cualquier otrovector de H. Se define la dimensin de H como el nmero de vectores de un siste-ma ortonormal completo. En el caso general, la dimensin puede ser infinitia. Enun espacio de Hilbert hay infinitos sistemas ortonormales completos, pero todoscon el mismo nmero de vectores.

Otro concepto de gran inters es el de producto directo de espacios de Hilbert.Sean H

1 y H

2 dos espacios de Hilbert para los que {|n

1},|n

2},...,|n

n}} y

{|c1},|c

2},...,|c

n}} constituyen sistemas ortonormales completos. El producto direc-

to de los dos espacios de Hilbert es otro espacio de Hilbert, que denotamos porH=H

1H

2, cuyos elementos son pares ordenados de vectores, de la forma |u|v, de

los que |u pertenece a H1 y |v pertenece a H

2. El subconjunto de H formado por

todos los pares ordenados de la forma |n1}|c

1} obtenidos a partir de {|n

1},|n

2},...,|n

n}}

y {|c1},|c

2},...,|c

n}} constituye un sistema ortonormal completo de H.

Un operador es una correspondencia que asocia a un vector de un ciertosubconjunto de H, otro vector de H. Matemticamente, A|u}=|v}, donde denota-mos con A al operador. El tipo de operadores en que estamos interesados (autoad-juntos) tiene una serie de propiedades, entre las que est la linealidad. Esto implicaque la combinacin lineal de operadores es un operador y que la actuacin sucesivade dos operadores A y B es equivalente a la de otro operador C segn:A(B |v})=AB|v}=C |v}, de forma que podemos escribir C=AB.

Dos conceptos de gran importancia en el desarrollo de la teora cunticason los de autovalor y autovector. Consideremos la ecuacin A|v

i}=a

i|v

i}. Lla-

mamos autovectores del operador A a todos los |vi} que verifican esta relacin y

autovalores a los correspondientes nmeros complejos ai. Dejando de lado cues-

tiones tcnicas importantes (degeneracin y espectro continuo), que requieren

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una oportuna generalizacin pero que exceden los objetivos de este artculo, re-sulta fundamental el hecho de que el conjunto de todos los |v

i} forman un siste-

ma ortonormal completo de H. Por otra parte, es de sealar que, dado un sistemaortonormal completo de H, existe un operador cuyos autovectores son los ele-mentos de dicho sistema.

El ltimo concepto que introduciremos es el de operadores conmutantes.Dos operadores conmutan si el resultado de aplicarlos sucesivamente es el mismo,independientemente del orden en que se realice esta aplicacin. Matemticamente,AB|v}=BA|v}. O bien (AB-BA)|v}=|0}, que es lo mismo que escribir (AB-BA)=O,donde |0} es el vector nulo y O el operador nulo, definido como el que asigna acualquier vector el vector nulo. Un resultado de enorme importancia para la teoracuntica es que los autovectores de dos operadores que conmuten son comunes; osea que el sistema ortonormal completo definido por un operador es el mismo paratodos los operadores que conmuten con l y slo para ellos.

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