Carlos Paredes CALCULO II

Apartado 5

Multiplicadores de Lagrange

TEMA 2

Introdución a la Optimización

Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

Carlos Paredes CALCULO II

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

MOTIVACION

Carlos Paredes CALCULO II

INTRODUCCION

Planteamiento problema genérico para funciones en IRn

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

Carlos Paredes CALCULO II

INTRODUCCION

Búsqueda de extremos absolutos para f en IR2 con una restricción

Dada f(x1,x2): IR2 → IR determinar dónde se encuentra el máximo (mínimo) de f sujeto a que los puntos (x1,x2) se encuentran sobre g(x1,x2) = 0 (restricción). En el punto donde la función f toma el mayor valor posible para los (x1,x2) en g, se verifica que la curva de nivel de f que pasa por dicho punto es tangente a la curva restricción g en dicho punto. Si se supone que g(x1,x2) = 0 es la curva de nivel de una función g(x1,x2), resulta que: grad f(x1,x2) || grad g(x1,x2) ⇔ ∃λ∈IR; grad f(x1,x2) = λgrad g(x1,x2)

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

Carlos Paredes CALCULO II

INTRODUCCION

Búsqueda de extremos absolutos para f en IR2 con una restricción

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

Carlos Paredes CALCULO II

MINMAX ABSOLUTO

Multiplicadores de Lagrange para f en IR2 con una restricción

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

Carlos Paredes CALCULO II

MINMAX ABSOLUTO

Multiplicadores de Lagrange para f en IR2 con una restricción, ejemplo

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

Carlos Paredes CALCULO II

MINMAX ABSOLUTO

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

Carlos Paredes CALCULO II

MINMAX ABSOLUTO

Multiplicadores de Lagrange para f en IR2 con una restricción, ejemplo

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

Carlos Paredes CALCULO II

MINMAX ABSOLUTO

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

Carlos Paredes CALCULO II

MINMAX ABSOLUTO

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

Carlos Paredes

Ejercicio

Considerado la función f de IR2 (x,y) de la figura: f(x,y) = 2x2 + y2 +2

Determinar los puntos extremos de f situados sobre la curva:

g(x,y): x2 + 4y2 – 4 = 0

CALCULO II

T1 – A1: Geometría de las funciones reales de varias variables reales

Carlos Paredes CALCULO II

MINMAX ABSOLUTO

Búsqueda de extremos absolutos para f en IR3 con una restricción

COROLLAY OF THEOREM At the points on a smooth curve C: r(t) = g(t)i + h(t)j + k(t)k where a differentiable function f(x, y, z) takes on its local maxima and minima relative to its values on the curve, ∇f · v = 0, where v = dr/dt.

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

Carlos Paredes CALCULO II

MINMAX ABSOLUTO

Búsqueda de extremos absolutos para f en IR3 con una restricción

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

Carlos Paredes CALCULO II

MINMAX ABSOLUTO

Multiplicadores de Lagrange para f en IR3 con una restricción

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

c

Carlos Paredes CALCULO II

MINMAX ABSOLUTO

Multiplicadores de Lagrange para f en IR3 con una restricción, ejemplo

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

Carlos Paredes CALCULO II

MINMAX ABSOLUTO

Búsqueda de extremos absolutos para f en IR3 con dos restricciones

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

Carlos Paredes CALCULO II

MINMAX ABSOLUTO

Búsqueda de extremos absolutos para f en IR3 con dos restricciones, ejemplo

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

Carlos Paredes CALCULO II

MINMAX ABSOLUTO

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

Carlos Paredes CALCULO II

MINMAX ABSOLUTO

Búsqueda de extremos absolutos para f en IR3 con dos restricciones, ejemplo

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange

Carlos Paredes CALCULO II

MINMAX ABSOLUTO

T2 – A5: Multiplicadores de Lagrange