APÉNDICE B • Repaso de matemáticas

El propósito de estos apéndices de matemáticas es repasar operaciones y métodosen forma breve. Al principio de este curso usted debió estar totalmente familiarizadocon las técnicas algebraicas básicas, la geometría analítica y la trigonometría. Losapéndices sobre cálculo diferencial e integral son más detallados y se dirigen a aque-llos estudiantes que tienen dificultades al aplicar los conceptos de cálculo en situa-ciones físicas.

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Muchas cantidades con las que trabajan los científicos a menudo tienen valores omuy grandes o muy pequeños. Por ejemplo, la rapidez de la luz es aproximadamentede 300 000 000 m/s, y la tinta que se usó para hacer el punto sobre una i en este li-bro de texto tiene una masa de casi 0.000 000 001 kg. Como es evidente, es muyproblemático leer, escribir y recordar números como éstos. Este problema se evitausando un método relacionado con potencias del número 10:

10° =1

101 = 10

102 = 10 x 10 = 100

103 = 10 x 10 x 10 = 1 000

104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000

105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100 000

v así sucesivamente. El número de ceros corresponde a la potencia a la cual se elevael 10, llamado exponente de 10. Por ejemplo, la rapidez de la luz, 300 000 000 m/s,puede expresarse como 3 x 108 m/s.

En este método algunos números representativos más pequeños que la unidadson

10"1 = — = 0.110

io-2 =10x10

1

io-4 =

io-5 =

= 0.01

= 0.001

= 0.0001

= 0.000 01

10x10x101

10x10x10x101

I Q x l O x l O x l O x 10A.15

A.16 APÉNDICE B

En estos casos el número de lugares que el punto decimal está a la izquierdadígito 1 es igual al valor del exponente (negativo). Los números expresados :alguna potencia de 10 multiplicados por otro número entre 1 y 10 se dice queen notación científica. Por ejemplo, la notación científica para 5 943 000 <»"5.943 x 109, y la correspondiente a 0.000 083 2 es 8.32 x 10'5.

Cuando los números expresados en notación científica se multiplican, '.iguíente regla general es muy útil:

10" x 10m= lQH+m

donde njm pueden ser cualesquiera números (no necesariamente enteros). Paejemplo, 102 X 105 = 107. La regla se aplica también si uno de los exponentes e> :gativo: 103 x 10'8 = 10'5.

Advierta que cuando se dividen números expresados en notación científica..

10"

10*"= 10" xlO"" = 10"""1 ! E 2

EJERCICIOSCon la ayuda de las reglas anteriores verifique las siguientes respuestas:

1. 86 400 = 8.64 x 104

2. 9 816 762.5 = 9.816 762 5 x 106

3. 0.000 000 039 8 = 3.98 X 10'8

4. (4 x 108) (9 x 109) = 3.6 x 1018

5. (3 x 107) (6 x 10-12) = 1.8 x 10-4

6.

7.

=1.5xlO-5 x 10'3

(3xlQ6)(8xlQ-2)

(2xl017)(6xl05)= 2 x 10-18

ALGEBRA

Algunas reglas básicas

Cuando se efectúan operaciones algebraicas se aplican las leyes de la aritméncSímbolos como x, y y z se utilizan por lo común para representar cantidades que iestán especificadas, las cuales se denominan incógnitas.

Comience por considerar la ecuación

Si desea resolver para x, puede dividir (o multiplicar) cada lado de la ecuación peel mismo factor sin afectar la igualdad. En este caso, si se dividen ambos lados enn8, se tiene

8x 32

x = 4

B.2 Álgebra A.17

A continuación considere la ecuación

En expresiones de este tipo puede sumar o restar la misma cantidad de cada lado.Si se sustrae 2 de cada lado, se obtiene

x + 2 - 2 = 8 - 2x=6

En general, si x + a = b, entonces x = b - a.Considere ahora la ecuación

Si se multiplica cada lado por 5, nos quedamos sólo con x a la izquierda y 45 a laderecha:

'x- (5) = 9 x 5

En todos los casos cualquier operación que se realice en el lado izquierdo de la igualdad debeefectuarse también en el lado derecho.

Las siguientes reglas para multiplicar, dividir, sumar y restar fracciones debenrecordarse, donde a, b y c son tres números:

Regla Ejemplo

Multiplicando

Dividiendo

Sumando

í-lí-1UJUJ(a/b)

(c/d)

a + c

b d

ac

~ ~bd

ad

be

ad± be

bd

í-lí1]UJUJ2/34/5

2 43 5

815

(2) (5) 10(4) (3) 12

(2) (5) -(4) (3)(3) (5)

215

EJERCICIOS

En los siguientes ejercicios resuelva para x:Respuestas

l + x a

2. ?>x - 5 = 13 x = 6

73. ax — 5 = bx + 2 x =

4.

a — b

5 3 1 1

2x + 6 4x +

Potencias

Cuando se multiplican potencias de una cantidad dada x, se aplican las siguientesreglas:

x"xm=xn + m (B.3)

A.18 APÉNDICE B

Por ejemplo x2x4 = x2 + 4 = xñ.Cuando se dividen las potencias de una cantidad dada, la regla es

= x

TABLA B.1

Reglas de los exponentes

x° =1

"xm = x"xm = xn

Por ejemplo, xs/x2 = xs 2 = x&.Una potencia que es una fracción, como ¿, corresponde a una raíz de 1;

ra siguiente:

Por ejemplo, 41/s = V4 = 1.5874. (En estos cálculos es muy útil unacientífica.)

Por último, cualquier cantidad xn elevada a la potencia m-ésima es

(xn)'"= xnm

La tabla B.l resume las reglas de los exponentes.

EJERCICIOS

Verifique lo siguiente:

1. 32 X 3a = 243o v5v-8 _ v-3¿,. A A — A

3 x10/xr3 = x15

4. 51/3 = 1.709 975 (Utilice su calculadora.)

5. 601/4 = 2.783 158 (Utilice su calculadora.)

E :

=. i

Factorización

Algunas fórmulas útiles para factorizar una ecuación son:

ax + ay + az = a(x + y + z) factor común

a2 + 2ab + b2 = (a+ b)z cuadrado perfecto

a2 - ¿2 = (a + b) (a - b) diferencia de cuadrados

Ecuaciones cuadráticas

La forma general de una ecuación cuadrática es

ax2 + bx + c = O I B ?

donde x es la cantidad desconocida, y a, b y c son factores numéricos conocidos ce —•;coeficientes de la ecuación. Esta ecuación tiene dos raíces, dadas por

-b ± - 4acx —

2a E E

Si b2 S 4ac, las raíces son reales.

B.2 Álgebra A.19

EJEMPLO 1

La ecuación x2 + 5x+ 4 = O tiene las siguientes raíces que corresponden a los dos signosdel término de la raíz cuadrada:

-5 ± T 5 2 - (4) (1) (4) -5 ± ^9 -5 ± 32(1)

-5 + 3

2 2

-5-3

-donde x+ se refiere a la raíz que corresponde al signo positivo y x_ se refiere a la raíz quecorresponde al signo negativo.

EJERCICIOS

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas:

x+=l+

Respuestas

3. 2x2 - 4x - 9 = O *_ = 1 - V22/2

Ecuaciones lineales

Una ecuación lineal tiene la forma general

y = mx + b (B.9)

donde m y b son constantes. Esta ecuación se denomina lineal debido a que la grá-fica de y versus x es una línea recta, como se muestra en la figura B.l. La constanteb, conocida como ordenada al origen, representa el valor de y al cual la línea rectacruza al eje y. La constante m es igual a la pendiente de la línea recta y también esigual a la tangente del ángulo que la línea forma con el eje x. Si dos puntos cua-lesquiera en la línea recta se especifican por las coordenadas (x1; y-¡) y (xz, y%), comoen la figura B.l, entonces la pendiente de una línea recta puede expresarse como Figura B.l

Vo — Ali A"VPendiente = ——— = — = tan 0 (B.10)

Advierta que m y b pueden tener valores positivos o negativos. Si m > O, la línearecta tiene una pendiente positiva, como en la figura B.l. Si m < O, la línea rectatiene una pendiente negativa. En la figura B.l, tanto m como b son positivas. Otrastres situaciones posibles se presentan en la figura B.2.

EJERCICIOS

1. Dibuje gráficas de las siguientes líneas rectas:

2. Encuentre las pendientes de las líneas rectas descritas en el ejercicio 1.

Respuestas a) 5 b) -2 c) -3

1) ,m>0b<0

2) m< O

3) m< O

Figura B.2

A.20 APÉNDICE B

3. Encuentre las pendientes de las líneas rectas que pasan por los siguiente?juntos de puntos:a) (O, -4) y (4, 2), b) (O, 0) y (2, -5), y c) (-5, 2) y (4, -2)

Respuestas a) 3/2 b) -5/2 c) -4/9

Resolución de ecuaciones lineales simultáneas

Considere la ecuación 3x+ 5y = 15, la cual tiene dos incógnitas, xy y. Esta ecuacio»no tiene una solución única. Por ejemplo, advierta que (x = O, y = 3), (x = 5, T = 9y (x = 2, y = 9/5), son todas soluciones de esta ecuación.

Si un problema tiene dos incógnitas, una solución única es posible sólo si setienen dos ecuaciones. En general, si un problema tiene n incógnitas, su solución re-quiere n ecuaciones. Con el propósito de resolver dos ecuaciones simultáneas queinvolucran dos incógnitas, xy y, resuelva una de las ecuaciones respecto de xen fun-ción de y y sustituya esta expresión en la otra ecuación.

EJEMPLO 2-.••••••

Resuelva las siguientes dos ecuaciones simultáneas:

(1) 5x + y = -8

(2) 2x - 2y = 4

Solución De (2), x = y + 2. La sustitución de esto en (1) pro-duce

5(y + 2) +y = -8

6y = -18

j = -3

X = y + 2 = -1

Solución alternativa Multiplique cada término en (1) pe»el factor 2 y sume el resultado a (2) :

12* = -12

x=-l

y = X - 2 = -3

Dos ecuaciones lineales que contienen dos incógnitas pueden resolverse tam-bién mediante un método gráfico. Si las líneas rectas correspondientes a las dosecuaciones se granean en un sistema de coordenadas convencional, la intersecciónde las dos líneas representa la solución. Por ejemplo, considere las dos ecuaciones

x-y=2

Éstas se granean en la figura B.3. La intersección de las dos líneas tiene las coorde-nadas x = 5, y = 3. Esto representa la solución a las ecuaciones. Usted debe com-probar esta solución por medio de la técnica analítica estudiada con antelación.

EJERCICIOSResuelva los siguientes pares de ecuaciones simultáneas que involucran dos incóg-nitas:

Respuestas

1. x+y = x=5, 3) =3

B.3 Geometría A. 21

98-7= 10a T= 65, a =3.27T-49 = 5a6x + 2y = 6 x = 2, 31 = -3

Logaritmos

Suponga que la cantidad x se expresa como una potencia de alguna cantidad de a:

El número a se conoce como base. El logaritmo de x respecto de la base a es igualal exponente al cual debe elevarse la base con el fin de satisfacer la expresión x = a?:

y = logax (B.12)

Por el contrario, el antilogaritmo de y es el número x:

x = antilog0 ;y (B.13)

En la práctica las dos bases que se usan con mayor frecuencia son la base 10, de-nominada base logarítmica común, y base e= 2.718..., que recibe el nombre de cons-tante de Euler o base logarítmica natural. Cuando se usan logaritmos comunes,

y = loglox (o* =100 (B-14)

Cuando se usan logaritmos naturales,

Por ejemplo, Iog10 52 = 1.716, por lo que antilog10 1.716 = 101716 = 52. De igual modo,In, 52 = 3.951, de modo que antiln, 3.951 = e3951 = 52.

En general, observe que usted puede convertir entre la base 10 y la base e conla igualdad

In, * = (2-302 585) log]0 x (B.16)

Por último, algunas propiedades útiles de los logaritmos son

log(ab) = log a+ log b

log(a/b) = log a — log b

log(an) = n log a

In e= 1

In ea = a

In — = —In a

GEOMETRÍA

La distancia d entre dos puntos que tienen coordenadas (xl} y-¡) y (x2 j)2) es

d =

A.22 APÉNDICE B

Figura B.4

Medida de radianes: La longitud de arco s de un arco circular (Fig. B.4porcional al radio r para un valor fijo de 6 (en radianes):

i = r8

La tabla B.2 proporciona las áreas y volúmenes de varias formas geométrica*lizadas a lo largo de este texto:

m = pendiente = tan Q

TABLA B.2 información útil de geometría

Forma Área o volumen Forma Área <

Área = (w

RectánguloEsfera

Área =(Circunferencia = Z

Área de la superficie =

Volumen ="=?-

Área de la superficielateral = 2nrt

Volumen =;rr2í

CírculoCilindro

Área =

Volumen = fwh

I1b

\" *

¿X"*'*J^ Triángulo€

Caja rectangular

Figura B.5

La ecuación de una línea recta (Fig. B.5) es

31= mx+ b (B.19

donde b es la ordenada al origen y w es la pendiente de la recta.La ecuación de un círculo de radio R centrado en el origen es

*2 + / = R2 (B.20I

La ecuación de una elipse que tiene el origen en su centro (Fig. B.6) es

1 b2(B.21

Figura B.6donde a es la longitud del eje semimayor (el más largo) y b es la longitud delsemimenor (el más corto).

B.4 Trigonometría A.23

La ecuación de una parábola cuyo vértice se encuentra en y = b (Fig. B.7) es

y = ax¿ + b (B.22)

La ecuación de una hipérbola rectangular (Fig. B.8) es

xy = constante (B.23)

TRIGONOMETRÍA

La parte de las matemáticas que tiene su fundamento en las propiedades especialesdel triángulo recto recibe el nombre de trigonometría. Por definición, un triángulorecto es uno que incluye un ángulo de 90°. Considere el triángulo recto que se mues-tra en la figura B.9, donde el lado a es opuesto al ángulo O, el lado b es adyacenteal ángulo 9y el lado ees la hipotenusa del triángulo. Las tres funciones trigonométri-cas básicas definidas para dicho triángulo son las funciones seno (sen), coseno (eos)

:_ingente (tan). En términos del ángulo O estas funciones se definen por medio de

lado opuesto 6 asen O = -—,—*- = -

hipotenusa c

lado adyacente a B beos 9 = = -

hipotenusa c

lado opuesto 0 atan 9 = = -

lado adyacente a 9 b

(B.24)

(B.25)

(B.26)

El teorema de Pitágoras brinda la siguiente relación entre los lados de un trián-gulo recto:

c2 = a2 + b2 (B.27)

A partir de las definiciones anteriores y del teorema de Pitágoras se deduce que

sen2 9 + eos2 9 = 1

sen 6

eos, 9

Las funciones cosecante, secante y cotangente están definidas por

CSC tí = secf? =1

cotfl =sen 0 eos 6 tan 9

Las relaciones siguientes surgen directamente del triángulo recto mostrado en lafigura B.9:

sen 6 = eos (90° - 9)

eos 9 = sen (90° - 9)

cot 9 = tan (90° - 9)

Algunas propiedades de las funciones trigonométricas son:

sen (-9) - -sen 9

eos (-9) = eos 9

tan (-9) - -tan 6

Las siguientes relaciones se aplican a cualquier triángulo, como se muestra en lafigura B. 10:

a + (3 + y = 180°

Figura B.7

Figura B.8

a = lado opuestob = lado adyacentec = hipotenusa

Figura B.9

A.24 APÉNDICE B

Figura B.10

Lev de los cosenos

a¿ = ¿>2 + c¿ - '¿be eos a

tí2 = a2 + c2 - 2ac eos /3

c1 = a2 + ¿>2 - 2«fr eos -y

senLey de los senos

La tabla B.3 registra varias identidades trigonométricas útiles.

TABLA B.3 Algunas identidades trigonométricas

sen2 6 + eos2 0=1

sec2 0=1 + tan2 6

ese2 8= I + cot20

sen2 — = •!• (1 -

EJEMPLO 3

sen 20 = 2 sen 0 eos 0

eos 20 = eos2 0 - sen2 6

2tan0tan 20= r—

1 - tan2 0

sen(A ± B) = sen A eos B ± eos A sen Bcos(A ± B) - eos A eos B + sen A sen Bsen A ± sen 5= 2 sen [|(A ± B)] eos [|(A ? 5)]eos A + eos B = 2 eos [|(A + B)] eos [|(A - B)]eos A - eos B = 2 sen [|(A + B)] sen [|(5- A)]

1 - eos 0 = 2 sen2 ••

,Considere el triángulo recto en la figura B.ll, en el cual a = donde tan l (0.400) es la notación para "ángulo cuva2, b = 5 y c se desconoce. A partir del teorema de Pitágoras se gente es 0.400", escrito algunas veces como arctan •'. Jifllltiene

= 22 + 52 = 4 + 25 = 29

= 5.39

Para encontrar el ángulo 0, advierta que

tan 6 = - = - = 0.400b 5

De una tabla de funciones o de una calculadora se tiene

0=tan-' (0.400) = 21.8°

Figura B.ll

Figura B.12

EJERCICIOS1. En la figura B.12 identifique a) el lado opuesto a 6 y b) el lado adyacen

luego c) eos 6, d) sen 4> Y e) tan $•

Respuestas a) 3, b) 3, c) \ d) \ e) |

2. En cierto triángulo recto los dos lados que son perpendiculares entre síy 7 m de largo. ¿Cuál es la longitud del tercer lado?

Respuesta 8.60 m

B.6 Cálculo diferencial A.25

I. Un triángulo recto tiene una hipotenusa de 3 m de longitud y uno de sus ángu-los es de 30°. ¿Cuál es la longitud de a) el lado opuesto al ángulo de 30° y b) ellado adyacente al ángulo de 30o?

Respuestas a) 1.5 m, b) 2.60 m

DESARROLLOS DE SERIES

(a2!

x)n = — - -2!

ex = 1 + x + — + — + •••2! 3!

sen x = x --- 1 --- •3! 5!

eos x — 1 --- 1 --- •2! 4!

tan x = x H --- 1 --- 1 ---- \ ~ H/23 15

•x en radianes

Para x « 1 pueden usarse las siguientes aproximaciones:1

(1 + x)n ~ 1 + nx sen x = x

e* = 1 + x eos x ~ 1

In (1 ± x) ~ ±x tan x = x

CALCULO DIFERENCIAL

En diversas ramas de la ciencia en ocasiones es necesario usar las herramientas bási-cas del cálculo, inventadas por Newton, para describir los fenómenos físicos. El usodel cálculo es fundamental en el tratamiento de distintos problemas en la mecánicanewtoniana, la electricidad y el magnetismo. En esta sección sólo se establecen al-gunas propiedades básicas y reglas prácticas que le conviene al estudiante repasar.

Primero debe especificarse una función que relacione una variable con otra(por ejemplo, una coordenada como función del tiempo). Suponga que una de lasvariables se denomina y (la variable dependiente) y la otra x (la variable indepen-diente) . Podría tener una relación de función como

y(x) = + bx- + cx+ d

Si a, b, c y d son constantes especificadas, entonces y puede calcularse para cualquiervalor de x. Por lo común se trata con funciones continuas, es decir, aquellas para lascuales y varía "uniformemente" con x

'Las aproximaciones para las funciones sen x, eos x y tan * son para x < 0.1 rad.

A.26 APÉNDICE B

xl

Figura B.13

La derivada de y respecto de x se define como el límite, conforme Ax tieicero, de las pendientes de las cuerdas dibujadas entre dos puntos en la curvasus x. Matemáticamente, esta definición se escribe como

. = Km 1. = Kmdx A^° A* A'^°

- y(x)

Axi E :••

donde Ají y A a: se definen como A A: — x% - xl y A;y = yz - yt (Fig. B.13). Es imporadvertir que dy/'dx no significa dy dividida entre dx, sólo que es una notación del UP».ceso del límite de la derivada según la define la ecuación B.28.

Una expresión útil que debe recordarse cuando y(x) = axn, donde a es una •-vi-tante y n es cualquier número positivo o negativo (entero o fraccionario), es

dy

dx= nax 16 2'r

Si y(x) es una función polinomial o algebraica de x, aplique la ecuación B.iVcada término en el polinomio y tome ¿[constante]/dx = 0. En los ejemplos del 47 se evalúan las derivadas de varias funciones.

EJEMPLO 4

Suponga que y(x) (es decir, y como una función de x) está por lo que

(x) = axs+bx+c

donde a y b son constantes. Así, se concluye que

y(x+ Aje) = a(x+ A*)3

+ b(x + AJÍ) + c

+ b(x + AJÍ) + c

Ají = y(x + A*) - y(x) = a(3x2

+b£^xSustituyendo esto en la ecuación B.28 se obtiene

EJEMPLO 5

y(x) = 8x5 + 4x!>

Solución Al aplicar la ecuación B.29 a cada término inde-pendientemente, y recordando que d/ dx (constante) = O, setiene

dx

dxO

Propiedades especiales de la derivada

A. Derivada del producto de dos funciones Si una función f ( x ) está dada por dproducto de dos funciones, por ejemplo, g(x) y h(x), entonces la derivada dese define como

7-dx dx dx dx

(B.:

B.7 Cálculo integral A.27

E. Derivada de la suma de dos funciones Si una función f ( x ) es igual a la suma dedos funciones, entonces la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas:

-dx

-dx

^ + -dx dx

(B.31)

C Regla de la cadena del cálculo diferencial Si y=f(x) y x = g ( z ) , entonces dy/dxpuede escribirse como el producto de dos derivadas:

dy dy dx

dz dx dz(B.32)

D. La segunda derivada La segunda derivada de y respecto de x se define como laderivada de la función dy/dx (la derivada de la derivada). Suele escribirse

dx1

d | dy

dx \ (B.33)

EJEMPLO é?

Encuentre la derivada de y (x) = xí/(x + I)2 respecto de x.

Solución Puede reescribir esta función como y(x) = xs(x +1)~2 y aplicar la ecuación B.30:

dx—dx

—dx

d

dx (x + I)2 (x + I)3

EJEMPLO 7

Una fórmula útil que se desprende de la ecuación B.30 es laderivada del cociente de dos funciones. Demuestre que

dg dh"

dx\_h(x)

Solución Puede escribir el cociente como gh~l y despuésaplicar las ecuaciones B.29 y B.30:

dx dx

q dh , dg= -gh-2 - + /T1 -2-

dx dx, dg dhh—-g —

_ dx dx1,2

T-dx

Algunas de las derivadas de funciones que se usan más comúnmente se listan entabla B.4.

CALCULO INTEGRAL

La integración se considera como la inversa de la diferenciación. Como ejemplo, seala expresión

f ( x ) = - =dx

que fue el resultado de diferenciar la función

y(x) = ax3 + bx+ c

(B.34)

A.28 APÉNDICE B

TABLA S,4

Derivadas para diversasfunciones

-(«) = o

— (axn) = naxn~ldx

— (eax) = ae"dx

— (sen ax) = a eos axdx

dx(eos ax) = —a sen ax

— (tan ax) = a sec2 axdx

— (cot ax) = -a ese2 axdx

— (sec x) = tan x sec xdx

dx(cscx) = —cotxcscx

— (In ax) = —dx x

Nota: Las letras a y n son cons-tantes.

en el ejemplo 4. Puede escribir la ecuación B.34 corno dy = f(x)dx = (Sowc2 + btobtener y(x) "sumando" sobre todos los valores de x. Matemáticamente, esta opción inversa se escribe

y(x) = I f(x) dx

Para la función/(x) dada por la ecuación B.34 se tiene

y(x) = I (3a*2 + b)dx — ax3 + bx + cJ

donde c es una constante de la integración. Este tipo de integral se conoce comí:tegral indefinida debido a que su valor depende de la elección de c.

Una integral indefinida general I(x) se define como

x) = f(x)dx

donde f(x) recibe el nombre de integrando y f ( x ) —

(B 25

dl(x)dx

Para una función continua generalf(x) la integral puede describirse como el áreabajo la curva acotada por f ( x ) y el eje x, entre dos valores especificados de x,ejemplo, xl y x<¿, corno en la figura B.14.

El área del elemento azul es aproximadamente /(x¡)Ax(. Si se suman todostos elementos de área de x} y x2 y se toma el límite de esta suma a medida que—> O, se obtiene el área real bajo la curva acotada por f ( x ) y x, entre los límites x

(EÁrea = ™ I/(*,.)Ax,- =

Las integrales del tipo definidas por la ecuación B.36 se conocen como integdefinidas.

/(*)

^*

„•"

/(*,•>

3£2

< — Ax¿

Figura B.14

Una integral común que surge en situaciones prácticas tiene la forma

xn dx =n + l

(B.3>

Este resultado es evidente, pues la diferenciación del lado derecho respecto de x pro-duce directamente f ( x ) = xn. Si se conocen los límites de integración, esta integralse vuelve una integral definida y se escribe

xn dx =n + l

.(n ^ -1) (B.38;

B.7 Cálculo integral A.29

EJEMPLOS

1.

*5/2

5/2

3.X

2

25

52 -32

Integración parcial

Algunas veces es útil aplicar el método de integración pardal (llamado también "in-tegración por partes") para evaluar ciertas integrales. Este método aprovecha lapropiedad de que

iu dv = uv - I v du (B.39)

donde u y v se eligen con sumo cuidado de manera que se reduzca una integral com-pleja a una más simple. En muchos casos es necesario efectuar varias reducciones.Considere la función

I(x) = I x'2e* dx

Esta puede evaluarse integrando por partes dos veces. Primero, si elige u = x-, v =e", se obtiene

dx = \xz d(ex) = x2ex - 2l e"x dx

Ahora, en el segundo término escoja u = x, v= ex, lo que produce

rex dx = xzex - 2xe" + 21 ex dx + cl

x2e* dx = xzex — 2xex + 2e" + c9

La diferencial perfecta

Otro método útil que se debe recordar es el empleo de la diferencial perfecta, en lacual se busca un cambio de variable de modo que la diferencial de la función sea ladiferencial de la variable independiente que aparece en el integrando. Por ejemplo,considere la integral .

I(x) = eos2 x sen x dx

Ésta se vuelve más fácil de evaluar si reescribe la diferencial como ¿(eos x) = -sen xdx. La integral se vuelve entonces

r rI eos2 x sen x dx = - I eos2 x d(cos x)

Si después de esto se cambian las variables, dejando y = eos x, se obtieneC a ÍJI y1 COS %

eos2 x sen x dx = -\2 dy = --—\- c = \- c}} y 3 3

A.30 APÉNDICE B

La tabla B.5 lista algunas integrales indefinidas útiles. La tabla B.6 proporciónla integral de probabilidades de Gauss y otras integrales definidas. Una lista rnácompleta puede encontrarse en varios manuales, como The Handbook ofChemistry anPhysics, CRC Press.

TABLA B.5 Algunas integrales indefinidas (se debe añadir una constante arbitraria a cada una de estas integrales)

x" dx =n+ 1

(siempre que n ^ —1)

r dx _ fJ x -J

í= x dx = In x

—J— = -j- ln(a+ bx)a + bx b

x dx x a= 5-ln(a + bx)

a + bx b b

dx 1 x + a= In

x(x + a) a x

dx 1

(a + bx)2 b(a + bx)

dxTT = — tan ' —

í9 i 2a + x a

dx 1 a + x— 2 9 ~ = Ti 'na — xz 2a a — x

dx

x2 - a2 2a

x dx

1 x — aIn

(a2 - x2 > 0)

(x2 - a2 > 0)

= ± | l n ( a 2 ± x 2

dxr— = sen — = - eos

Va2 - x2 a a

dx= ln(x + A/x2 ± a2)V7T7

x dx

Va2 - x2

xdx

9 9 i 1 9 9Ja — x dx = J I x"Va — x + a'sen

/ 9 9 T 1 / 9 9\S/2I x va — x ax — — (a — x )

r~JXZ ± a2 ¿x=l rWx2 ± a2 ± a2 ln(x + V*2 ± a2)]

J

:dx = — eaxa

In ax dx — (x\n ax) — x

xeax dx = r (ax - 1)

dx x I— in (a T" 06 )

a + becx a ac

1sen ax dx = eos ax

a

eos ax dx = — sen axa

tan ax dx = — ln(cos ax) = — ln(sec ax)a a

cot ax dx = — In(senax)a

1 1 / ax 77sec ax dx = — Inísec ax + tan ax) = — In tañí 1 I

a a \_ \

1 1 / axese ax dx = — Inícsc ax — cot ax) = — In tan

a a \9 x sen 2 ax

sen¿ ax ax =2 4a

9 x sen 2 axeos ax ax = 1

2 4a

dx 15 = cot ax

sen ax a

dx 15 = — tan ax

eos' ax a

tan2 ax dx = — (tan ax) — x

cot2 ax dx = (cot ax) — xa

sen * ax dx = x(sen J ax) +

eos 1 ax dx = x(cos 1 ax) —

dx x

í-

+ a2)3/2

x dx

+ a2)3/2

1

B.7 Cálculo integral A.31

TABLA B.6 Integral de probabilidad de Gauss y otras integralesdefinidas

n -«j nlx e dx —o d

f" - " I Í~7T/o = I e ax~ dx = — "VI— (Integral de probabilidad de Gauss)

Jo 2 " a

aa 4 X a

8 a

Conversiones"

Longitud1 pulgada (pulg) = 2.54 cm (exacto)1 m = 39.37 pulg = 3.281 pie1 pie = 0.304 8 m12 pulg = 1 pie3 pie = 1 yarda1 yarda = 0.914 4 m1 km = 0.621 milla1 milla = 1.609 km1 milla = 5 280 pie1 Á = 10-10m1 ¿un = 1 n = 10-6 m = 103 nm1 año luz = 9.461 x 1015 m

Área1 m2 = 104 cm2 = 10.76 pie2

1 pie2 = 0.092 9 m2 = 144 pulg2

1 pulg2 = 6.452 cm2

Volumen1 m3 = 106 cm3 = 6.102 x 104 pulg3

1 pie3 = 1 728 pulg3 = 2.83 x 10~2 m3

1 L = 1 000 cm3 = 1.057 6 qt (cuartos) = 0.035 3 pie3

1 pie3= 7.481 galón (gal) = 28.32 L = 2.832 x lO'2 m3

1 gal = 3.786 L = 231 pulg3

Masa1 000 kg = 1 t (tonelada métrica)1 slug = 14.59 kg1 u = 1.66 x 10"27 kg = 931.5 MeV/c2

Fuerza1 N = 0.224 8 Ib1 Ib = 4.448 N

Velocidad1 milla/h = 1.47 pie/s = 0.447 m/s = 1.61 km/h1 m/s = 100 cm/s = 3.281 pie/s1 milla/min = 60 milla/h = 88 pie/s

Aceleración1 m/s2 = 3.28 pie/s2 = 100 cm/s2

1 pie/s2 = 0.304 8 m/s2 = 30.48 cm/s2

Presión1 bar = 105 N/m2 = 14.50 lb/pulg2

1 atm = 760 mm Hg = 76.0 cm Hg1 atm = 14.7 lb/pulg2 = 1.013 x-105 N/m2

1 Pa = 1 N/m2 = 1.45 x 10~4 lb/pulg2

Tiempo1 año = 365 días = 3.16 x 10' s1 día = 24 h = 1.44 x 103 min = 8.64 x 104 s

Energía1J = 0.738 pie-Ib1 cal = 4.186 J1 Btu = 252 cal = 1.054 x 103J1 eV = 1.6 x 10-19J1 kWh = 3.60x 106J

Potencia1 hp = 550 pie-lb/s = 0.746 kW1 W = 1 J/s = 0.738 pie • Ib/s1 Btu/h = 0.293 W

Algunas aproximaciones útiles para problemas de estimación1 mI k g1 N1 L '

1 yarda= 2 Ib*\bi gal

1 m/s « 2 millas/h1 año « n x 107 s60 millas/h = 100 pies/s1 km = 5 milla

1 Véase la tabla A.l del apéndice A para una lista más completa.

El alfabeto griego

AlfaBetaGammaDeltaEpsilonZetaEtaTheta

ABrAEZHe

a

Pyse

c17e

IotaKapaLambdaMuNúXiOmicronPi

IKAMNB

0n

L

K

A

M

V

eo77

RhoSigmaTauUpsilonFiChiPsiOmega

P2TY$X

n̂

paT

V

*X

*ta

Algunas constantes fundamental

Cantidad Símbolo

Unidad de masa atómica

Número de Avogadro

Magnetón de Bohr

u 1.660 540 2(10) x 10"27 kg931.49432(28) MeV/c2

NA 6.022 136 7(36) x 1023 partículas/mol

(h>=~— 9.274015 4(31) x 10-24J/T

Radio de Bohr

Constante de Boltzmann

Longitud de onda Compton

0.529 177 249 (24) x 1Q-'0 m

1.380658 (12) xlO-25J/K

2.426 310 58(2 2) x 10'12 m

Constante de Coulomb

Masa del deuterón

Masa del electrón

Electrón-voltCarga elementalConstante de los gasesConstante gravitacional

Energía del estado basedel hidrógeno

Proporción frecuencia-voltajede Josephson

Cuanto de flujo magnético

Masa del neutrón

Magnetón nuclear

Permeabilidad del espacio librePermitividad del espacio libre

Constante de Planck

Masa del protón

Constante de RydbergRapidez de la luz en el vacío

k, = 8.987 551 787 x 109 X • m- .'C2 (exacto)4tre0

eVeRG

EI=-2a0

3.343 586 0(20) x 10"" kg2.013 553 214 (24) u9.109 389 7(54) x 1Q-31 kg5.485 79903(1 3) x 10^ u0.51099906(1 5) MeV -1.602 177 33(49) x 1Q-19J1.602 177 33(4 9) x lO'1* C8.314510 (70) J/K-mol6.672 59(8 5) x 10"11 X-rrr kg2

-13.605 698 (40) eV

2e/h 4.835 976 7(14) x 10H Hz/V

$0 = — 2.06783461(6 1) x 10-15 T-m2

mn 1.674 928 6(10) x 10~27 kg1.008 664 904 (14) u939.565 63(2 8) MeV/r2

Atn = -^— 5.0507866(17) x 10-27J/T2mp

/u0 47T x 10~7 T-m/A (exacto)€0 = l/At0f2 8.854 187 817 x 10^12

C2 /N-m2 (exacto)h 6.626075(40) x lQ-34J-s

1.054572 66(63) x 10~34J-s1.672 623 (10) x 10~27 kg1.007 276470 (12) u938.272 3(28) MeV/c2

1.097373 1534(13) x 107 nr1

2.997 924 58 x 108 m/s (exacta)

a Estas constantes son los valores recomendados en 1986 por la CODATA, están basados en un ajuste demínimos cuadrados de datos de distintas mediciones. Para una lista más completa véase E. R. Cohén y B.X. Tavlor, Rev. Mari. Plns. 59:1121., 1987.b Los números entre paréntesis para los valores en esta columna representan las incertidumbres de los úl-timos dos dígitos.

Datos del Sistema Solar

Cuerpo

MercurioVenusTierraMarteJúpiterSaturnoUranoNeptunoPlutónLunaSol

Masa (kg)

3.18 x 1023

4.88 x 1024

5.98 x 1024

6.42 x 1023

1.90 x 1027

5.68 x 1026

8.68 x 1025

1.03 x 1026

«1.4 x 1022

7.36 x 1022

1.991 x 1030

Radio medio(m)

2.43 x 106

6.06 x 106

6.37 x 106

3.37 x 106

6.99 x 107

5.85 x 107

2.33 x 107

2.21 x 107

« 1.5 x 106

1.74 x 106

6.96 x 108

Periodo (s)

7.60 x 106

1.94 x 107

3.156 x 107

5.94 x 107

3.74 x 108

9.35 x 108

2.64 x 109

5.22 x 109

7.82 x 109

——

Distancia desdeel Sol (m)

5.79 x 1010

1.08 x 10"1.496 x 10"2.28 x 1011

7.78 x 1011

1.43 x 1012

2.87 x 1012

4.50 x 1012

5.91 x 1012

—

—

Datos físicos usados con frecuencia3

Distancia promedio Tierra-LunaDistancia promedio Tierra-SolRadio promedio de la TierraDensidad del aire (0°C y 1 atm)Densidad del agua (20°C y 1 atm)Aceleración de caída libreMasa de la TierraMasa de la LunaMasa del SolPresión atmosférica estándar

3.84 x 108 m1.496x 10" m6.37 x 106 m1.29 kg/m3

1.00 x 103 kg/m3

9.80 m/s2

5.98 x 1024 kg7.36 x 1022 kg1.99x 1030kg1.013 x 105 Pa

aEstos son los valores de las constantes como se usan en el texto.

Algunos prefijos para las potencias de diez

Potencia Prefijo Abreviatura Potencia Prefijo Abreviatura

1Q-24

io-2110-18

io-15io-12io-9io-6io-3io-2lo-1

yoctozeptoatofemtopiconanomicromilicentideci

yzaf

Pn

Mmcd

101

102

103

106

109

1012

1015

1018

1021

1024

decahectokilomega

gigaterapetaexazetayota

dahkMGTPEZY