APLICACIÓN: TEOREMA DE VIVIANI

OBJETIVO: APLICAR LA FÓRMULA DE DISTANCIA Y PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS.

CONCEPTOS PREVIOS PARA LA CLASE DE HOY

• Ecuación de distancia entre dos puntos.

• Ecuación de punto medio entre dos puntos.

• Concepto de perpendicularidad

CONTEXTO

Usaré un teorema del siglo XVII para que ejercitemos las ecuaciones de distancia ypunto medio entre dos puntos. Este teorema fue descubierto por el italiano VincenzoViviani.

Anécdotas de Viviani:• Galileo lo contrató como colaborador

impresionado por su talento.• Al morir Galileo, quiso publicar todas

sus obras y una biografía pero la iglesia lo prohibió.

• Tradujo al italiano los Elementos de Euclides.

(1622,1703)

EL TEOREMA DE VIVIANI

El teorema dice que:

”Dado un triángulo rectángulo y un punto cualquiera en el interior de este. La suma de

las distancias perpendiculares desde este punto a los lados es igual a la altura del

triángulo”

Según la imagen, si el triángulo ABC tienealtura h:

h = u + t + s

VEAMOS SI SE CUMPLEVamos a darnos un punto P tal que sus proyecciones perpendicularescaigan en los puntos medios de los lados del triángulo equilátero.

Sean los puntos 𝐴 −3,0 , 𝐵 3,0 , 𝐶 0,3 3 y el punto interior 𝑃(0, 3).

Realicemos los siguientes pasos:• ¿Cuánto mide la altura del triángulo?• ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos

medios de los lados del triángulo?• ¿Cuánto miden los segmentos perpendiculares

desde P a los lados del triángulo?• ¿Se cumple el teorema de Viviani?

¿Y?

• https://www.youtube.com/watch?v=e6y4bfVcVXU

EXTENSIONES DEL TEOREMA DE VIVIANI

• El Teorema de Viviani se puede extender a cualquier polígono regular. En polígonos de n lados se cumple que dado un punto cualquiera P: la suma de las proyecciones perpendiculares desde P a los lados del polígono ES IGUAL a n veces la apotema.

• Ejercicio: Comprobémoslo con las coordenadas del pentágono regular y el punto P(0,0).