Aplicación de Curvas Residuo y de Permeato a Sistemas Batch y en Continuo

8/19/2019 Aplicación de Curvas Residuo y de Permeato a Sistemas Batch y en Continuo

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Aplicación de curvas residuo y de permeato a sistemas batch y

en continuo

Alan Didier Pérez Ávila

En el presente trabajo se presentara de manera breve como obtener las ecuaciones que generan lascurvas de residuo, de permeato y de permeato acumulado para sistemas batch y en continuo,aplicándolo a sistemas de permeación de gases, sin embargo el modelo aplica de igual forma parasistemas de pervaporación, lo único que cambia es la fuerza impulsora del flux. El modelo se aplicaun caso de estudio para permeación gaseosa y se muestran los resultados obtenidos.

Modelo matemático

Sistema de operación en batch

Las curvas residuo y de permeato se generan a partir de un balance de materia (global y por

componente), alrededor del sistema mostrado e la figura 1.

Figura 1. Sistema de separación con membrana en batch [1].

Balance Global:

dt

dR P

(1)

Balance para el componente i:

ii x Rdt d

y P

(2)

Resolviendo la derivada del producto de la ecuación dos se obtiene:

0

dt

dR x

dt

dx R y P i

i

i (2*)


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Igualando las ecuaciones (1) y (2*)

0

i

i

i x P dt

dx R y P

0

dt dx R x y P iii

iii y x

R

P

dt

dx

(3)

Se define un tiempo adimensional tal que:

R

P

dt

d

(4)

Al reemplazar la ecuación (4) en (1)

R

dRd

R

dt

dR

dt

d

Integrando desde τ = 0 donde R = R(t = 0) hasta τ = τ donde R = R(t = t ), se obtiene:

)(

)0(ln

t R

R (5)

Aplicando la regla de la cadena:

d

dt

dt

dx

d

dx ii (6)

Reemplazando las ecuaciones (3) y (4) en (6)

P

R y x

R

P

d

dxii

i

iii y x

d

dx

(7)

La ecuación (7) se resuelve para valores de τ que van desde cero hasta infinito, sin embargo se debeconocer también la composición en el lado del permeato, para lo cual se plantea las siguientesecuaciones:


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Flux del componente i para permeación gaseosa [1,2].

i P i Rii y x P N

(8)

O también se puede definir de forma general el flux como:

m

i

i A

Py N

(9)

La composición de vapor de la sustancia que atraviesa la membrana yi es desconocida pero se sabeque la siguiente condición se debe cumplir:

1c

i

i y

(10)

De esta forma se obtiene la siguiente expresión:

c

i

i

ii

N

N y (11)

En resumen el modelo de las curvas residuo de membrana para la pervaporación viene dado por el

siguiente sistema de ecuaciones:

ii

i y xd

dx

(7)

i P i Rii y x P N

(8)

c

i

i

ii

N

N y

(11)

Para obtener las curvas residuo se integra la ecuación (7) para un valor inicial de xi, para el cual sedebe conocer su correspondiente yi, que se obtiene al resolver iterativamente las ecuaciones (8) y

(11), de modo que para cada paso de integración se repite el cálculo de la composición del permeatocon las ecuaciones (8) y (11).

Para determinar la composición acumulada de permeato se sigue el sistema que se muestra en lafigura 2, y se realizan los respectivos balances.


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Figura 2. Sistema de separación con membrana en batch con acumulación de permeato [2].

Ahora bien si se considera que hay acumulación del permeato, se pude realizar un balance demateria (global y por componente) en función del tiempo [2].

t P t R R )()0( (12)

t y P t xt R x R acciii ,)()()0()0( (13)

Reorganizando la ecuación (5) se tiene:

)0()( Ret R (5*)

Al reemplazar la ecuación (5*) en las ecuaciones (12) y (13) y combinar estas dos últimasecuaciones despejando la composición de permeato acumulado se obtiene la siguiente expresión:

e

t xe xt y iiacci

1

)()0()(, (14)

De esta forma se observa que para determinar la composición de permeato acumulado es necesariodeterminar una curva residuo a una composición de alimentación dada, y reemplazar los valores de xi(t ), correspondientes a cada valor de τ .

Sistema de operación en continuo

Análogamente se define el sistema en continuo, a diferencia de que no se determina en función deltiempo y de un tiempo adimensional, si no del área ( A) y un área adimensional ( A´).

iii y x

dA

dx

´ (15)

)(ln´

A R

F A (16)


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acci P i Rii y x P N ,

(17)

c

i

i

i

i

N

N y

(11)

'

'

,1

)()0()(

A

i

A

iacci

e

A xe x A y

(18)

Para el sistema en continuo el modelo se resuelve todo acoplado puesto que el flux depende tambiénde la composición de permeato acumulado, que es la composición de salida que se acumulacontinuamente, a diferencia del batch que es cambiado para cada ciclo de operación.

Caso de estudio

Ciclohexano/Benceno/HidrógenoLa tabla 1 presente las permeabilidades del sistema [3] y las composiciones iniciales a las que sedesarrollaron los cálculos.

Tabla 1. Condiciones iniciales utilizadas en el sistema y permeabilidades de cada componente.

ComponentePermeabilidad

[mol/(s*Pa*m2)]

Composición

inicial

Ciclohexano 4.63*10-7 0.05Benceno 4.807*10-7 0.05

Hidrógeno 2.9923*10-6 0.9

La presión en el lado del retentato se fijó a un valor de 101325 Pa (1 atm).

Sistema en batch (πP = 0 Pa)

En la figura 3 se presenta las tres curvas obtenidas (residuo en rojo, permeato en verde y permeatoacumulado en azul).

Las curvas de permeato y permeato acumulado, deberían empezar en el mismo punto, puesto que enel primer instante la composición acumulada de permeato será la composición que halla en el permeato, para los instantes siguientes se empezará a acumular en el permeato y estascomposiciones se harán diferentes, sin embargo esto no ocurre para la figura 3, sin embargo seaprecia que si coincide el punto de inicio respecto a la composición de benceno ( xB). Podría seralgún error de cálculo, no obstante, el hecho de que la presión en el lado del permeato puede influir.

La composición final de permeato acumulado será la composición inicial, puesto que ésta es lamáxima cantidad que se puede acumular, como ocurre en la figura 3.


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Figura 3. Curva residuo, de permeato y permeato para un sistema de membrana de permeación gaseosa para el sistema deestudio en batch (πP = 0 Pa).

Sistema en batch (πP = 101.325 Pa)

En la figura 4 se presenta el sistema en batch pero a una presión de vacío en el lado del permeatomayor a cero.

Figura 4. Curva residuo, de permeato y permeato para un sistema de membrana de permeación gaseosa para el sistema deestudio en batch (πP = 101.325 Pa).

xH2

xB

permeato acumulado

permeato

residuo

xH2

xB

residuo

permeato

permeato acumulado


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Para este caso no ocurren contrariedades, como en el caso de que la presión en el lado del permeatoera igual a cero, puesto que los puntos de inicio de las composiciones del permeato y del permeatoacumulado coinciden, como se espera a lo explicado anteriormente. La presión en el lado del permeato aumento y con su aumento trajo un cambio notorio en la curva de permeato, de modo quelas composiciones de la curva residuo y del permeato se hacen similares.

Sistema en continuo (πP = 101.325 Pa)

En la figura 5 se presenta el sistema en continuo a una presión de vacío en el lado del permeatomayor a cero.

Figura 5. Curva residuo, de permeato y permeato para un sistema de membrana de permeación gaseosa para el sistema deestudio en continuo (πP = 101.325 Pa).

Para el sistema se nota una leve diferencia entre el proceso en batch y continuo puesto que tanto lacurva de residuo como la de permeato en el sistema continuo se hace asintótica un poco antes queen el sistema en batch, y esto puede ser debido a que ahora la composición que influencia la fuerzaimpulsora es la acumulada a lo largo del proceso.

Referencias

[1] M. Peters, S. Kauchali, D. Hildebrandt, D. Glasser, Derivation and Properties of Membrane

Residue Curve Maps, Industrial & Engineering Chemistry Research. 45 (2006) 9080-9087.[2] M. Peters, S. Kauchali, D. Hildebrandt, D. Glasser, Application of Membrane Residue

Curve Maps to Batch and Continuous Processes, Industrial & Engineering ChemistryResearch. 47 (2008) 2361-2376.

[3] J. Fontalvo Alzate, M.Á. Gómez García, Intensificación de Procesos utilizando Tecnologíasde Membrana, 1st ed., Editorial Blanecolor, Manizales, 2010.

xH2

xB

residuo

permeato

permeato acumulado


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