Aplicación de la integral

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MEXICALI.

Carrera: Ing. Industrial.

Materia: Calculo Integral.

Maestra: Rendon Miriam.

Alumna:Bernal Macías Alma Lizeth.

Trabajo Final.

Mexicali B.C a viernes 11 de diciembre del 2015.

“Introducción”

En este trabajo se desarrollaran los siguientes temas: Áreas, que vamos a mostrar como poder hallar áreas haciendo uso de la integral; Área bajo la gráfica de una función, Área entre las gráficas de funciones, Longitud de curvas, Calculo de volúmenes de sólidos de revolución, Cálculo de centroides y Otras aplicaciones.

Las aplicaciones incluidas son las básicas, con el objetivo de plantear por sí mismos la integral a aplicar y resolver. Se complementa aplicaciones con la identificación de la integral en diferentes temas de ingeniería. puesto que el cálculo de algunas integrales se facilita o posibilita representando la función a integrar como una serie de potencias.

3.1 Áreas………………………………………………………….Diap-4.

3.1.1 Área bajo la gráfica de una función………………………...Diap-5-,10.

3.1.2 Área entre las gráficas de funciones………………………..Diap-11-15.

3.2 Longitud de curvas…………………………………………...Diap-16-19.

3.3 Calculo de volúmenes de sólidos de revolución………….......Diap-20-25.

3.4 Cálculo de centroides…………………………………………Diap-26-31.

3.5 Otras aplicaciones…………………………………………….Diap-32-34.

“Índice”

El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial. Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

“3.1 Áreas”

“3.1.1 Área bajo la gráfica de una función”

Ejemplo:

“3.1.2 Área entre las gráficas de funciones”

Como ya hemos definido la integral definida como una suma y además hemos visto como se halla el área de una región comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se hace este mismo cálculo para hallar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las gráficas de dos funciones.

El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya habíamos estudiado. La región a trabajar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.

Como podemos ver en la Gráfica 4, el intervalo de la región esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante “tapas”, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos el intervalo en la aplicación anterior.Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que cambia el asunto de la altura del rectángulo. Y eso lo podemos representar así:Donde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo diferencial. Con esto ya hemos mostrado y definido otra aplicación de la integral definida.

Ya está visto que la integral definida es aplicable, cuando se trata de hallar áreas, pero ¿será aplicable para hallar volúmenes formados por rotación de una función?, la respuesta a esta pregunta es si, si es posible calcular estos volúmenes, llamados volúmenes de revolución, mediante integración definida. Más adelante y en el transcurso de este tema, veremos que el cálculo del volumen de un sólido, es como una expansión del cálculo del área, a una tercera dimensión.

Igual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, por ejemplo un cilindro. Dado que el cilindro es un prisma, igual que un paralelepípedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su base por su altura.

“3.2 Longitud de curvas”

La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del calculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Formula General

http://4.bp.blogspot.com/-j5nnq4A2XbY/Te2ZBShcAsI/AAAAAAAAAGE/HrV62z9R1gA/s1600/Img1.png

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos escojamos en C, mejor seria el valor obtenido como aproximación de la longitud de C.

(VER IMAGEN 1.0)

(IMAGEN 1.0)

http://reyesporfirio.blogspot.mx/2011/06/31-areas.html

Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave. (VER IMAGEN 2.0)

(IMAGEN 2.0)


Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2.

Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

“3.3 Calculo de volúmenes de sólidos de revolución”




COMO HALLAR VOLUMENES POR EL METODO DEL DISCO (O ARANDELA).

1.-Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que sea perpendicular al eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generara una sección transversal típica en forma de discos o arandela dependiendo el caso.2.-Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios internos u externos.3.-Establecer los limites de integración.4.-Por ultimo integrar para hallar el volumen deseado.



“3.4 Cálculo de centroides”En Matemáticas, los centroides de una figura bidimensional se refieren al punto en el cual todas las líneas de la figura correspondiente se intersectan unas con otras de tal manera que dividen la figura en dos partes iguales en los momentos equivalentes.Asimismo, la definición puede ser ampliada y se vuelve aplicable un objeto n-dimensional. Si se establece físicamente, un centroide se refiere al centro del objeto geométrico. Por lo tanto, al calcular el centroide de una figura en particular, sólo el área de la figura geométrica se toma en cuenta. Por este motivo, el centroide también se denomina como centro geométrico.


Una propiedad importante que forma la base del cálculo del centroide es que el centroide de un objeto convexoyace dentro del objeto, mientras que un objeto no convexo puede tener su centroide situado exterior a la figura. Existen muchos métodos disponibles para encontrar el centroide de una figura particular, incluyendo el método de la plomada, el método de descomposición geométrica y el método de integración. Entre todos, el método de integración es el método más fácil y ampliamente utilizado para localizar el centroide de un objeto o una figura. Para encontrar el centroide de figuras complejas la idea básica consiste en dividir la figura en rectángulos pequeños y entonces calcular la coordenadas x e y del centroide mediante calcular simplemente los momentos correspondientes sobre las coordenadas x e y.


Supongamos que el ancho del rectángulo, el cual está dibujado dentro de la curva de arriba, es Δx y la altura correspondiente es y2 − y1.Entonces el momento total y el área de la figura sobre el eje x viene a ser x (y2 – y1) dx y (y2 – y1) dx, respectivamente.Por lo tanto, la coordenada x del centroide viene a ser = Momento total.


Área total

Del mismo modo, calculando la coordenada y del centroide, la fórmula puede ser modificada a:


Una fuerte captación de la idea se puede hacer si estos se aplican de forma práctica. Un ejemplo puede ayudar en gran manera a apropiarse del concepto en cuestión. Suponga que el centroide de la curva limitada por el eje x, y = x3, x = 2 será encontrado.

Aplicando la fórmula

Aquí a = 0, b = 2, y1 = 0 y y2 = x3

x (x3 - 0) dx (x3 - 0) dx = x4 dx

x3 dx= [x5 / 5]02

[x4 / 4]02= 32 / 5

16 / 4= 1.6

Del mismo modo, buscando la coordenada y

Aplicando la fórmulaAquí x2 = 2, x1 = y 1/3, c= 0 y d =8. Ahora, obtenemos:-

= y (2 – y1/3)dy (2 – y1/3) dy= (2y – y4/3 ) dy (2 – y1/3) dy

= [y2 – (3y7/3 / 7)]08 [2y – (3y4/3 / 4)]08= 16 – 3/7(32)= 2.29

Por tanto, el centroide de la figura es (1.6, 2.29)

Una característica muy interesante del centroide es que el centroide de un objeto bidimensionales igual al centro de masa de ese objeto es por esto que podemos afirmar que el centroide de un objeto bidimensional es la posición de la media ponderada al centro del objeto dado.

“3.5 Otras aplicaciones”Dentro de los problemas típicos que se pueden expresar de manera directa mediante integrales y complementarios al problema básico de “área bajo la curva” se tienen:

· Área entre curvas.

· Sólidos de revolución.

· Longitud de curvas.

· Centroides de figuras planas.

· Momentos de Inercia de cuerpos planos.


EL MOMENTO DE INERCIA

El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimiento de giroscopios.


Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple.

Es posible que al estar realizando ese trabajo allá quedado algo por aprendido, ya sea el poder interpretar enunciados de problemas para construir la función que al ser integrada da la solución, el resolver problemas de cálculo de áreas, centroides, longitud de curvas o volúmenes de sólidos de revolución, Hasta ahora “únicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que éstas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes; esto nos ayuda a desarrollar mas nuestra mente, a pensar mas las posible soluciones que se le pueden dar a determinados problemas; la aplicación de las integrales son de uso cotidiano en nuestra vida aunque no nos demos cuenta siempre están y estarán ahí, quizá no como un problema de esos que hemos visto en el semestre o quizás si, pero planteado de otras formas.

“Conclusión”


http://aguilarserrano.blogspot.mx/2011/06/32-longitud-de-curvas.html

https://sites.google.com/site/cicpadillapgabrielaelizabeth/unidad-3-aplicaciones-de-la-integral/3-4-calculo-de-volumenes-de-solidos-de-revolucion

http://poncealdana.blogspot.mx/2011/07/33-calculo-de-volumenes-de-solidos-de.html

http://reyesporfirio.blogspot.mx/2011/06/34-calculo-de-centroides.html

http://garciasanchezj.blogspot.mx/2011/06/3-aplhttps://es.scribd.com/doc/95493008/3-4-Calculo-de-centroidesicaciones-de-la-integral.html

“Fuentes de Informacion”

http://garciasanchezj.blogspot.mx/2011/06/3-aplicaciones-de-la-integral.html














Documents

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