APLICACIÓN DEL MÉTODO DE JACOBI

En una mezcla se hace el balance de materia por componente, y se obtuvo la siguiente tabla:

Componente Balance de materiaEtanol 10M1+M2+2M3-3M4=0

Metanol 4M1+6M2-M3-9M4=0Agua -2M1+3M2+8M3-51M4=0

Encontrar los posibles valores de M1 M2 M3

Solución:

Fijando una base de cálculo, por ejemplo M4=1Kg, se obtiene el sistema:

10M 1+M 2+2M3=3

4M1+6M 2−3M 3=9

−2M 1+3M 2+8M 3=51

Antes de proceder con la solución respectiva, se observa que los elementos ubicados en la diagonal principal cumplen satisfactoriamente con el criterio de convergencia o diagonal pesada. Las ecuaciones de recurrencia son:

M 1(k+1)=

3−M 2( k )−2M 3

(k )

10

M 2(k +1)=

9−4M 1( k )−M 3

( k )

6

M 3(k +1)=

51−2M 1(k )−3M2

(k)

8

La primera iteración k=1 es:

M(1)=[31096518

]M(1)=[ 0,31,56,375]

La segunda iteración k=2 se obtiene sustituyendo al vector M 1(16) en las primeras ecuaciones de recurrencia

M 1(2)=

3−(1,5)−2(6,375)10

M 2(2 )=9−4(0,3)−6,375

6

M 3(2)=51−2(0,3)−3(1,5)

8

M 2=[−1,1252,36255,8875 ]

Las sucesivas se muestra en el cuadro 1. Se dice que después de trece iteraciones, con una tolerancia= 0,000007, el vector solución es:

M(12)=[−1,000002,999985,00004 ]

Cuadro 1: iteraciones 0 a 6 por el método de Jácobi

Iteración

M 0 M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6

M 1 0,30000 -1,12500 -1,11375 -1,03469 -0,98802 -0,99087 -0,99705M 2 1,50000 2,36250 3,23125 3,11047 3,02393 2,98241 2,99292M 3 6,37500 5,88750 5,20781 4,88484 4,94240 4,99402 5,00888

tolerancia

1,73557 1,10310 0,34829 0,12915 0,06631 0,01922

CODIFICACIÓN DEL PROGRAMA

%Aplicación del método de Jacobiclc, clearA=[10 1 2; 4 6 -3; -2 3 8]b=[3 9 51]X0=zeros(1,3)k=0; Norma=1;fprintf('k X(1) X(2) X(3) X(4) Norma\n')while Norma >0.0001 k=k+1; fprintf('%2d',k) for i=1:3 suma=0; for j=1:3 if i~=j suma=suma+A(i,j)*X0(j); end end X(i)=(b(i)-suma)/A(i,i); fprintf('%10.4f\n',X(i)) end Norma=norm(X0-X);

fprintf('%10.4f\n', Norma) X0=X; if k>25 disp('No se alcanzó la convergencia') break endend

Corremos el programa y obtenemos lo siguiente:

A = 10 1 2

4 6 -3

-2 3 8

b = 3 9 51

X0 = 0 0 0

k X(1) X(2) X(3) Norma

1 0.3000 1.5000 6.3750 6.5560

2 -1.1250 4.4875 5.8875 3.3457

3 -1.3262 5.1938 4.4109 1.6491

4 -1.1016 4.5896 4.0958 0.7175

5 -0.9781 4.2823 4.3785 0.4355

6 -1.0039 4.3413 4.5246 0.1597

7 -1.0391 4.4316 4.4960 0.1010

8 -1.0424 4.4407 4.4534 0.0437

9 -1.0347 4.4216 4.4491 0.0210

10 -1.0320 4.4144 4.4582 0.0119

11 -1.0331 4.4171 4.4616 0.0045

12 -1.0340 4.4195 4.4603 0.0029

13 -1.0340 4.4195 4.4592 0.0011

14 -1.0338 4.4189 4.4592 0.0006

15 -1.0337 4.4188 4.4595 0.0003

16 -1.0338 4.4189 4.4595 0.0001

17 -1.0338 4.4189 4.4595 0.0001