APLICACION TRANSFORMA Wavelets Para El Estudio de Calidad de Energia -TESIS

5/26/2018 APLICACION TRANSFORMA Wavelets Para El Estudio de Calidad de Energia -TESIS

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INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL

ESCUELASUPERIORDEINGENIERIAMECANICAYELECTRICAUNIDADPROFESIONALADOLFOLPEZMATEOS

APLICACIN DE LA TRANSFORMADA WAVELET EN EL ANLISIS

DE CALIDAD DE LA ENERGA

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE:

INGENIERO ELECTRICISTA

PRESENTA:

RODRIGO DAVID REYES DE LUNA

ASESORES:

M. EN C. MIGUEL JIMNEZ GUZMNING. GUILLERMO BASILIO RODRGUEZ

MXICO, D.F. 2009


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I

DEDICATORIA

A MIS PADRES POR HABERME DADO LA VIDA, Y SIEMPRE GUIARMEPOR EL CAMINO CORRECTO.

A MIS HERMANOS QUE ME APOYAN EN TODO MOMENTO.


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II

AGRADECIMIENTOS

Agradezco muy especialmente


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III

RESUMEN

En esta tesis se presenta la aplicacin de la transformada Wavelet en el anlisis dela calidad de la energa. Esta herramienta matemtica se emplea para la deteccin ylocalizacin de diversas perturbaciones de la calidad de energa en sistemaselctricos.En este trabajo se describen sus propiedades, caractersticas, ventajas y desventajascon respecto a la transformada de Fourier.A diferencia de otras propuestas para la deteccin de perturbaciones que serealizan directamente en el dominio del tiempo, la deteccin mediante latransformada wavelet se enfoca en la escala dominio-tiempo. Este enfoque esaplicado en la deteccin y localizacin de una amplia gama de disturbios de

calidad de la energa, tales como las fluctuaciones rpidas de tensin, lasvariaciones de tensin de corta y larga duracin y la distorsin armnica.


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IV

ABSTRACT

In this thesis is presented the Wavelet transform application in the power quality

analysis. This mathematic tool gives an approach to detect and localize variouselectric power quality disturbances in electric systems.In this work is presented its properties, features, advantages and disadvantagesover the Fourier transform.Unlike other approaches where the detection is performed directly in the timedomain, detection using wavelet transform analysis approach is carried out in thetime-scale domain. This approach is robust in detecting and localizing a widerange of power disturbances such as fast voltage fluctuations, short and longduration voltage variations, and harmonic distortion.


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NDICE GENERAL

Dedicatoria.....IAgradecimientos......IIResumen......III

Abstract........IVndice General......Vndice de Figuras ....VIII

Capitulo 1. Introduccin....11.1 Introduccin11.2 Antecedentes...21.3 Objetivo31.4 Justificacin.41.5 Organizacin de la tesis.....5

Capitulo 2. Trminos y Definiciones de Calidad de la Energa.62.1 Introduccin....62.2 Clasificacin General de los Disturbios de Calidad de la Energa..62.3 Evento o disturbio..9

2.3.1 Transitorios....112.3.1.1 Impulso Transitorio...112.3.1.2 Transitorio Oscilatorio...12

2.3.2 Variaciones de Voltaje de Larga Duracin....152.3.3 Sobre Voltaje..15

2.3.4 Cadas de Voltaje..152.3.5 Interrupciones Sostenidas....162.3.6 Variaciones de Voltaje de Corta Duracin.162.3.7 Interrupcin...172.3.8 Depresin de voltaje (sag,dip) ....182.3.9 Swells..202.3.10 Desbalance de voltaje.212.3.11 Distorsin de la forma de onda.222.3.12 Dc offset(desplazamiento de cd) ..232.3.13 Armnicas............232.3.14 Interarmnicas.....252.3.15 Notching...252.3.16 Ruido (noise) ....262.3.17 Fluctuaciones de voltaje (parpadeo flickers) ...262.3.18 Variaciones de frecuencia del sistema..272.3.19 Curva ITI (CBEMA) ...29


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Capitulo 3. Tratamiento de Seales...33 3.1 Introduccin..333.2 Tipos de seales....34

3.2.1 Seales Estacionarias y no estacionarias....343.2.2 Seales Continuas y Discretas.....34

3.2.3 Seales Analgicas y Digitales363.2.4 Seales Reales y Complejas..363.2.5 Seales Determinsticas y Aleatorias..363.2.6 Seales Pares e Impares....373.2.7 Seales Peridicas y No Peridicas.....37

3.3 Anlisis de seales....373.4 Transformada de Fourier........42

3.4.1 La transformada discreta de Fourier..433.4.2 La transformada de rpida Fourier 47

3.4 Otras trasformadas matemticas....60

3.4.1 Transformada de Fourier..613.4.2 Transformada Hartley...623.4.3 Transformada de Laplace.....633.4.4 Transformada Z.633.4.5 Transformada Hilbert...633.4.6 Transformada de Gabor...........643.4.7 Transformada de Hankel..653.4.8 Transformada Wavelet..65

Capitulo 4. La transformada Wavelet....67

4.1 Introduccin..674.1.1 Traslacin....694.1.2 Escala...694.1.3 Conjugacin traslacin-escala.....70

4.2 Transformada Wavelet Continua.......724.3 Transformada Wavelet Discreta.....754.4 Ejemplo de aplicacin de la transformada Wavelet contina....76

Capitulo 5. Aplicacin de la transformada wavelet a la calidad de la energa ensistemas elctricos.................................................84

5.1 Introduccin..845.2 Transformada wavelet aplicado a la calidad de la energa....855.3 Localizacin y deteccin de perturbaciones de calidad de laenerga..........875.4 Eleccin de la wavelet madre.895.5 Resultados......90

5.5.1 Disturbios en la forma de onda en bordes mximos....905.5.2 Depresin del voltaje (Sag)... ...92


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VII

5.5.3 Distorsin armnica......93

Capitulo 6. Conclusiones.....96

BIBLIOGRAFIA....98

Apndice A. Cdigos de MATLAB......................................................................101


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INDICE DE FIGURAS

Figura 2.1.- Ejemplo de un sobrevoltaje transitorio, que es un disturbio provocadopor una falla de fase a tierraFigura 2.2.-Corriente de rayo que genera un impulso transitorioFigura 2.3.- Transitorio oscilatorio de corriente causado por el switcheo de un

banco de capacitores.Figura 2.4.- Transitorio oscilatorio de frecuencia baja causado por la energizacin

de un banco de capacitoresFigura 2.5.-Transitorio oscilatorio de baja frecuencia causado por ferroresonancia

de un transformador desbalanceadoFigura 2.6.- Interrupcin momentnea debido a una falla y liberacin de la misma.

Figura 2.7.- Sag de voltaje causado por una falla de una fase con tierra (SLG)Figura 2.8.- Sag de voltaje temporal causado por el arranque de un motorFigura 2.9.- Swell de voltaje instantneo causado por la falla de fase a tierra

(SLG)Figura 2.10.-El comportamiento de desbalance sobre un alimentador residencialFigura 2.11.- Forma de onda de la corriente y contenido armnico para un

controlador de velocidadFigura 2.12.-Ejemplo de notches de voltaje causado por un convertidor trifsicoFigura 2.13.-Ejemplo de un flicker de voltaje causado por la operacin de un horno

de arco elctrico.Figura 2.14.- Power frequency trend and statistical distribution at 13-kV

substation bus. (Courtesy of Dranetz-BMI/Electrotek Concepts.)Figure 2.15.- A portion of the CBEMA curve commonly used as a design target for

equipment and a format for reporting power quality variation data.Figura 2.16.-Curva ITIFigura 3.1.- Ejemplo de una seal de tensin de 60Hz.Figura 3.2.- Ejemplo de una seal contina.Figura 3.3.- Ejemplo de una seal discreta.Figura 3.4.-Obtencin de una seal discreta al muestrearuna seal continua.Figura 3.5.- Dos seales de 3 y 10 Hz. respectivamente.Figura 3.6.- Seal de 50 Hz. y su transformada de Fourier.Figura 3.7.- Seal estacionaria y su respectivo espectro en frecuencia.Figura 3.8.- Seal no estacionaria y su respectivo espectro en frecuencia.Figura 3.9.-Grafica que muestra los valores discretos de la funcin muestreada.Figura 3.10.- Contenido armnico de la figura 3.9.Figura 3.11.- Valores discretos en un periodo de corriente de una PC.Figura 3.12.- Contenido armnico de la figura 3.11.Figura 3.13.- Contenido armnico de la seal de corriente utilizando la TDF.


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Figura 3.14.- Seal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz.Figura 3.15.- STFT de la seal de la figura 3.14.Figura 3.16.-Enrejado resultante en el plano tiempo-frecuencia de la transformada

enventanada de fourier, en el primer caso se utiliza una mejorresolucin en el tiempo a costa de tener poca resolucin en la

frecuencia. En el segundo caso, la resolucin en la frecuencia seincrementa, a costa de perder resolucin en el tiempo.

Figura 3.17.-Representacin de la funcin gaussianna para distintas anchuras.Figura 3.18.- STFTde la funcin dela figura 3.14 con funcin gaussiana de a=1800.Figura 3.19.- STFTde la funcin dela figura 3.14 con funcin gaussiana de a=18.Figura 3.20.- STFTde la funcin dela figura 3.14 con funcin gaussiana de a=1.8.Figura 3.21.- Ejemplo de descomposicin donde muestra que los dos primeros

filtrados contienen principalmente ruido, mientras que los demayor nivel aproximan la seal.

Figura 3.22.- Interpretacin grafica de la resolucin en tiempo y en la frecuencia.

a) Transformada wavelet continuab) Transformada wavelet discretaFigura 4.1.- Estas son algunas wavelets madre ms utilizadas en la prctica,

definidas segn un eje de tiempo continuo.Figura 4.2.- Ejemplo de una seal coseno para distintas escalas.Figura 4.3.- Las dos operaciones bsicas de escalado y traslacin definen el

enrejado del plano tiempo-escala. En caso de tener buena resolucintemporal, la wavelet madre, representada en el eje inferior, seestrecha, con lo que se pierde resolucin en frecuencia. Si la waveletmadre se ensancha, se pierde resolucin en tiempo se gana en

frecuencia, la anchura y desplazndola por el eje temporal, secalculara el valor correspondiente a cada celda.Figura 4.4.- Funciones wavelet madre ms utilizadas en el dominio temporal.Figura 4.5.- Dominio en frecuencia de la DFT y de la DWT respectivamente.Figura 4.6.- Forma del calculo para s=.0001 de la funcin Wavelet y distintos

valores de .Figura 4.7.-Forma del calculo para s=.002 de la funcin Wavelet y distintos valores

de .Figura 4.8.-Forma del calculo para s=.004 de la funcin Wavelet y distintos valores

de .Figura 4.9.- Transformada wavelet continua de la seal de la figura 3.14.Figura 4.10.- TWC aplicada a seal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y

100 Hz.Figura 5.1.- Porcentaje de publicaciones que emplean la transformada wavelet

agrupadas en diferentes reas en los sistemas elctricos de potencia.Figura 5.2.- Seal con borde mximo aplanado.Figura 5.3.- a) seal analizada mediante wavelet, Daub4 y b) seal analizada

mediante wavelet, Daub10.


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X

Figura 5.4.-Seal con depresin de voltaje por 4 ciclos.Figura 5.5.-a) seal de analizada mediante wavelet con Daub4 y b) seal analizada

con Daub10.Figura 5.6.-Seal con distorsin armnica.Figura 5.7.-Wavelet de la seal de la figura 4.6, a) analizada mediante Daub4 y b)

analizada mediante Daub10


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CAPITULO 1. INTRODUCCIN

1.1 INTRODUCCION

El uso masivo de cargas no lineales y el creciente uso de cargas pulsantes nosncronas con la frecuencia fundamental de la red ha estado cambiando lacomposicin del espectro armnico de corrientes y tensiones en redes elctricas,dando origen a una presencia cada vez mayor de componentes armnicos variablesen el tiempo y de componentes no sncronos con la frecuencia fundamental. En estasituacin, el desarrollo de mtodos de medida que puedan superar las limitacionesque el anlisis de Fourier presenta, es fundamental para poder caracterizarcorrectamente el espectro de frecuencia de las seales de tensin y corriente en lasredes elctricas.

Muchos fenmenos fsicos pueden describirse mediante una seal en el dominio detiempo; es decir una de las variables es el tiempo y la otra la amplitud. Cuando sedibuja esta seal se obtiene una funcin tiempo-amplitud; sin embargo, lainformacin que se puede obtener directamente de esta representacin no siempre esla mas apropiada, puesto que la informacin que caracteriza la seal, en muchoscasos, puede observarse mas claramente en el domino de la frecuencia, es decir,mediante un espectro de frecuencias que muestre las frecuencias existentes en laseal. Por lo tanto, para una mejor representacin de la seal se hace necesariodisponer de su representacin en el dominio del tiempo y de la frecuencia.

Si bien los estndares internacionales de medida de armnicos establecen lautilizacin del anlisis de Fourier para el estudio de las formas de onda de la tensiny la corriente, no excluyen la posibilidad de utilizar otras herramientas de procesadode seales para el anlisis armnico, citando expresamente el estndar IEC 61000-4-7la posibilidad de emplear las wavelets para esta funcin.


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1.2 ANTECEDENTES

Las wavelets han tenido una historia cientfica inusual, marcada por muchosdescubrimientos y redescubrimientos independientes.

En1807 Jean Baptiste Joseph Fourier, un matemtico francs afirma que cualquierfuncin peridica, u onda, se puede expresar como una suma infinita de ondassinusoidales y cosenoidales de distintas frecuencias. Como haba serias dudas sobrela exactitud de sus argumentos, su artculo no se public hasta 15 aos despus. Afinales del siglo, las series de Fourier estn omnipresentes en la ciencia. Son unaherramienta ideal para analizar varios tipos de seales. Sin embargo, no son igual deeficaces para el estudio de fenmenos transitorios, tales como rfagas breves desonido o de luz.

Fue Alfred Haar, en 1910 quien utiliza el trmino wavelet, finalmente en 1984,Grossman y Morlet establecen la forma terica tal como ahora la conocemos. En 1988,Stephane Mallat desarrolla varios algoritmos que actualmente son aplicados. Ahorase denomina transformada Wavelet al instrumento matemtico que permite describiruna variable en el tiempo como una variacin en las frecuencias, tal como latransformada de Fourier, pero con algunas diferencias que permiten su aplicacin enel anlisis de seales, como las series de tiempo no estacionarias.

La transformada wavelet es un procedimiento matemtico, que representa a unafuncin en partes pequeas, localizadas; para descomponer en seales con

componentes vibratorios.


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1.3 OBJETIVO

El objetivo de este trabajo es implementar la transformada wavelet para lalocalizacin y deteccin de perturbaciones de la calidad de la energa en los sistemas

elctricos.


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1.4 JUSTIFICACIN

El anlisis de Fourier es el mtodo fundamental para la medida de armnicos einterarmnicos en seales elctricas y es el principio de anlisis que establece la

International Electrotechnical Commission (IEC) para los instrumentos de medicin.

Con el objetivo de superar las limitaciones que lo hacen poco efectivo endeterminadas condiciones se han propuesto otras tcnicas de anlisis como laTransformada Wavelet.

En este trabajo se explora esta alternativa para el anlisis de seales en el campo de lacalidad de energa elctrica.

Se utiliza la metodologa de anlisis de seales para la medicin de perturbaciones en

seales basado en la Transformada Wavelet. El mtodo propuesto utiliza un rbol dedescomposicin wavelet, que en sus distintos niveles suministra la medida deperturbacin en la seal, adems de informacin de sus variaciones en el dominiotemporal.

Se analizan diferentes casos del mtodo en medida de armnicos, tanto encondiciones estacionarias como en el caso de prdida de sincrona por variacin de lafrecuencia fundamental, presencia de componentes no sncronas con la frecuencia dela red o presencia de componentes de amplitud variable.


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1.5 ORGANIZACIN DE LA TESIS

La presente tesis est organizada en cinco captulos donde se exponen los resultados

de la labor de investigacin desarrollada. De forma descriptiva este es el contenido decada uno de ellos:

Capitulo 2En este capitulo se introducen y se describen las perturbaciones en la calidad de laenerga.

Captulo 3En este capitulo se introduce el tratamiento de seales, tipos de seales y lacomparativa entre el anlisis de Fourier y Wavelet, tambin se presenta otro tipo de

transformadas.

Captulo 4En este capitulo se analiza la transformada wavelet como herramienta matemtica,sus propiedades y caractersticas.

Captulo 5En este capitulo se aplica el anlisis wavelet a los sistemas elctricos de potencia parala deteccin y localizacin de perturbaciones tales como distorsin armnica,depresin del voltaje y aplanamiento en bordes mximos del voltaje en la red

elctrica.Capitulo 6En el ltimo captulo se exponen las conclusiones obtenidas en la realizacin de lainvestigacin y se presentan futuras lneas de trabajo.


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CAPITULO 2. TRMINOS Y DEFINICIONES DE CALIDAD DE LAENERGA [19]

2.1 INTRODUCCION

El termino calidad de la energa se aplica a una amplia variedad de fenmenoselectromagnticos en un sistema elctrico de potencia. El incremento en la aplicacinde equipo de electrnica de potencia y generacin distribuida ha aumentado elinters en la calidad de la energa en aos recientes y este ha estado acompaado porel desarrollo de una terminologa especial para describir el fenmeno.Desafortunadamente esta terminologa no ha sido consistente a travs de losdiferentes segmentos de la industria. Esto ha causado una gran confusin parafabricantes y usuarios finales que se han esforzado por entender por que el equipo

elctrico no trabaja como se esperaba. As mismo es complicado para el vendedor deequipo diferenciar entre una gran cantidad de soluciones propuestas.

Han sido usadas muchas palabras ambiguas que han multiplicado o confundido lossignificados. Por ejemplo, surge es usado para describir una gran variedad dedisturbios que causan fallas en los equipos. Un surge suppressor puede suprimiralgunos de estos disturbios pero no tendr ningn efecto sobre otros. Parecido sucedecon los trminos glitchy blinkque no tienen un significado tcnico se han eliminadodel vocabulario. Vendedores sin escrpulos toman ventaja del desconocimiento delos usuarios, vendiendo aparatos a sobre precios con poca utilidad para mejorar la

calidad de la energa. Esto se puede corregir teniendo un mejor entendimiento delvocabulario de calidad de la energa e insistiendo en manuales tcnicos de cmotrabajan los dispositivos.

A continuacin se presenta una terminologa consistente que puede ser usada paradescribir los disturbios de calidad de la energa. Tambin se explican algunas de lasterminologas inapropiadas comnmente usadas en calidad de la energa.

2.2 CLASIFICACIN GENERAL DE LOS DISTURBIOS DE CALIDAD DE LAENERGA

La terminologa presentada aqu refleja los esfuerzos internacionales paraestandarizar las definiciones de calidad de la energa. El IEEE (Institute of Electrical andElectronics Engineers) Standards Coordinating Committee 22, IEEE SCC22 (Comit deCoordinacin de Estndares 22) ha liderado el principal esfuerzo en E.U.A. paracoordinar los estndares de calidad de la energa. Ellos tienen la responsabilidad atravs de muchas sociedades pertenecientes principalmente al IEEE, especficamentela Sociedad de Aplicaciones Industriales y la Sociedad de Ingeniera de Potencia(Industry Applications Society y Power Engineering Society, respectivamente). El IEEE


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SCC22 se coordina con los esfuerzos internacionales a travs de alianzas con laComisin Internacional Electrotcnica IEC (International Electrotechnical Comission) y elConsejo Internacional de Grandes Sistemas Elctricos CIGRE (International Council onLarge Electric Systems).

El IEC clasifica los fenmenos electromagnticos en los grupos como se muestra en laTabla 2.1.

Tabla 2.1. Principales fenmenos causados por disturbios electromagnticos

Fenmenos de Baja Frecuencia Conducidos Armnicas e Interarmnicas Seales en Sistemas (Portadora en la Lnea de Potencia) Fluctuaciones de Voltaje Interrupciones y Dipsde Voltaje

Desbanlace de Voltaje Variaciones de Frecuencia Voltajes Inducidos de Baja Frecuencia CD en Redes de CA

Fenmenos de Baja Frecuencia Radiados Campos Magnticos Campos Elctricos

Fenmenos de Alta Frecuencia Conducidos Ondas Continuas de Voltajes o Corrientes Inducidas Transitorios Unidireccionales

Transitorios OscilatoriosFenmenos de Alta Frecuencia Radiados

Campos Magnticos Campos Elctricos Campos Electromagnticos Ondas Continuas Transitorios

Fenmeno de Descarga Electrosttica (ESD)Pulso Nuclear Electromagntico (NEMP)

La industria elctrica de E.U.A se ha esforzado por desarrollar algunas practicasrecomendables para el monitoreo de la calidad de la energa elctrica y ha adicionadoalgunos trminos a la terminologa del IEC. Sages usado como sinnimo del trminodip de IEC. La categora de variaciones de voltaje de corta duracin es usada parareferirse a dips de voltaje e interrupciones de corta duracin. El termino swell esintroducido como un inverso a sag (dip). La categora de variacin de larga duracinhasido adicionada para concordar con los lmites del American National Standards


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Institute (ANSI) C84.1. la categora de noiseha sido adicionada para aplicarse a unancho de banda de fenmenos conducidos.

La categora de distorsin de la forma de onda (waveform distortion) es usada comouna categora que contiene varios disturbios para el IEC armonicas, interarmonicas, y

cd en redes de ca, as como un fenmeno adicional al estndar IEEE Standard 519-1992, Recommended Practices and Requirements for Harmonic Control in Electrical PowerSystems, llamado notching.

La Tabla 2.2, muestra la clasificacin de los fenmenos electromagnticos usados porla comunidad de calidad de la energa. Los fenmenos listados en la tabla pueden serdescritos ms ampliamente que los atributos listados. Para los fenmenos en estadoestable, se pueden usar los siguientes atributos:

Amplitud Frecuencia

Espectro Modulacin Impedancia de la Fuente Profundidad de la Muesca rea de la Muesca

Para fenmenos que no son de estado estable, se pueden requerir otros atributos: ndice de rizo Amplitud Duracin

Espectro Frecuencia ndice de ocurrencia Energa potencial Impedancia de la Fuente

La Tabla 2.2 proporciona informacin con respecto al contenido tpico espectral, laduracin, y la magnitud apropiada para cada categora de fenmenoelectromagntico. Las categoras de la tabla, cuando se utilizan con los atributosmencionados previamente, proporcionan un medio de describir claramente un

disturbio electromagntico. Las categoras y sus descripciones son importantes parapoder clasificar resultados de medicin y describir los fenmenos electromagnticosque pueden causar problemas de la calidad de la energa.


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Tabla 2.1. IEEE 1159 Categoras y caractersticas de fenmenos electromagnticos en sistemasde potencia.Categora Contenido Tpico

EspectralDuracin Tpica Magnitud Tpica

del Voltaje1.0 TransitoriosImpulsosNanosegundos 5 ns de elevacin < 50 nsMicrosegundos 1 s de elevacin 50 ns 1 ms

Milisegundos 0.1 ms de elevacin > 1 msOscilatoriosBaja frecuencia < 5 kHz 0.3 50 ms 0 4 puMedia frecuencia 5 500 kHz 20 s 0 8 puAlta frecuencia 0.5 5 MHz 5 s 0 4 pu2.0 Variaciones de corta duracinInstantneasSag 0.5 30 ciclos 0.1 0.9 puSwell 0.5 30 ciclos 1.1 1.8 puMomentneasInterrupcin 0.5 ciclos 3 seg < 1.0 puSag 30 ciclos 3seg 0.1 0.9 puSwell 30 ciclos 3seg 1.1 1.4 puTemporalInterrupcin 3 seg 1 min < 1.0 puSag 3 seg 1 min 0.1 0.9 puSwell 3 seg 1 min 1.1 1.2 pu3.0 Variaciones de larga duracinInterrupcin sostenida > 1 min 0.0 puBajo voltaje > 1 min 0.8 0.9 puSobrevoltaje > 1 min 1.1 1.2 pu4.0 Desbalance de voltaje Estado estable 0.5 2 %

5.0 Distorsin de forma de ondaComponente de directa Estado estable 0 0.1 %Contenido armnico 0 100th H Estado estable 0 20 %Interarmnicas 0 6 kHz Estado estable 0 2 %Muescas en el voltaje Estado estableRuido Banda amplia Estado estable 0 1 %6.0 Fluctuaciones de voltaje < 25 kHz Intermitente 0.1 7 %7.0 Variaciones en la frecuencia < 10 seg

Los trminos usados para describir los disturbios frecuentemente tienen diferentesignificado para diferentes usuarios. Pero muchos atributos de calidad de la energa

son comnmente reconocidos. A continuacin se da una breve descripcin de losdisturbios ms comunes.

2.3 EVENTO O DISTURBIO

Los eventos son fenmenos que solamente suceden una vez en un cierto instante. Unainterrupcin del suministro de voltaje es el mejor ejemplo conocido. Esto puede enteora ser visto como una extrema variacin de magnitud de voltaje, y puede serincluida en una funcin de probabilidad de distribucin de la magnitud de voltaje.


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Pero esto no pudiera dar demasiada informacin til. La mayora de los eventosestn comnmente asociados con los siguientes parmetros:

Magnitud: La magnitud es la desviacin de voltaje de la onda normal sinusoidal.

Duracin: La duracin es el tiempo que dura el disturbio, la cual puede estar divididaen:

El tiempo promedio de la cada de voltaje. El tiempo en que el voltaje ha recuperado el 10% de la magnitud del

sobrevoltaje transitorio. La razn de la integral Vt definida debajo de la curva y la magnitud del

sobrevoltaje transitorio.

Integral Vt: La integral Vtes definida como

( )=T

dttvVt0

(1)

Figura 2.1. Ejemplo de un sobrevoltaje transitorio, que es un disturbio provocado poruna falla de fase a tierra

Los disturbios se pueden clasificar como:

Fenmeno de alta frecuencia (transitorios) Fenmeno de baja frecuencia. (dips, interrupciones, y swell)


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2.3.1 TRANSITORIOS

El trmino transitorio ha sido usado por mucho tiempo en el anlisis de variacionesdel sistema elctrico para denotar un evento indeseado que momentneamente esnatural. La nocin de un transitorio oscilatorio amortiguado debido a una red RLC, es

probablemente lo que muchos Ingenieros piensan cuando escuchan la palabratransitorio.

Otra definicin comn de transitorio es la parte del cambio en una variable quedesaparece durante la transicin de una condicin de operacin de estado estable aotra. Desafortunadamente, esta definicin pudiera ser usada para describircualquier cosa poco comn que suceda en el sistema elctrico.

Otro trmino comnmente usado para describir un transitorio es surge. Un ingenieroelectricista puede pensar que un surge es el transitorio resultante de una descarga

atmosfrica para el cual un surge arresteres utilizado para proteccin. Los usuariosfrecuentemente usan la palabra indiscriminadamente para describir cualquierfenmeno inusual que puede ser observado en el suministro de energa en el rangode los sags, swells o interrupciones. Debido a que hay muchas potencialesambigedades con estas palabras en el campo de la calidad de la energa. En general,los transitorios pueden ser clasificados dentro de dos categoras de impulsos yoscilatorios. Estos trminos reflejan la forma de onda de un transitorio de corriente ode voltaje. A continuacin se describen estas dos categoras con ms detalle.

2.3.1.1 IMPULSO TRANSITORIO

Un impulso transitorio es un cambio sbito en la condicin de estado estable delvoltaje, corriente o ambos que no provoca cambios en la frecuencia del sistema, que esunidireccional en polaridad (principalmente positivos o negativos).

Un impulso transitorio normalmente es caracterizado por su pendiente y sudecaimiento en el tiempo, el cual puede tambin ser revelado por su contenidoespectral. Por ejemplo, un impulso transitorio de 2000 (V) nominalmentese eleva desde cero a su valor pico de 2000 V en y despus decae a su valormedio del pico en . La causa ms comn del impulso transitorio es la descargaatmosfrica. La Figura 2.2 ilustra una corriente tpica del impulso transitorio causadopor una descarga atmosfrica.

Debido a las altas frecuencias involucradas, la forma del impulso transitorio puedecambiar rpidamente por los componentes del sistema elctrico y puede tenercaracterstica significativamente diferente visto desde diferentes puntos del sistemaelctrico. Generalmente no se conducen lejos de la fuente de donde entraron alsistema elctrico, aunque pueden, en algunos casos ser conducidos una ciertadistancia a lo largo de las lneas. Los impulsos transitorios pueden excitar la


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frecuencia natural de los circuitos del sistema elctrico y producir transitoriososcilatorios.

Figura 2.2. Corriente de rayo que genera un impulso transitorio

2.3.1.2 TRANSITORIO OSCILATORIO

Un transitorio oscilatorio es un cambio sbito en la condicin de estado estable delvoltaje, corriente o ambos que no provoca cambios en la frecuencia del sistema, queincluye valores de polaridad positiva y negativa.

Un transitorio oscilatorio consiste de un voltaje o corriente cuyos valores instantneoscambian de polaridad rpidamente. Es descrito por su contenido espectral (frecuenciapredominante), duracin y magnitud. El contenido espectral se define en subclasesalta, media, y bajafrecuencia como se indica en la Tabla 2.2. Los rangos de frecuenciapara estas clasificaciones son escogidas para coincidir con tipos comunes defenmenos transitorios oscilatorios en sistemas elctricos.

Un transitorio oscilatorio con una componente de frecuencia fundamental mayor a500 kHz y una duracin tpica medida en milisegundos (o algunos ciclos de lafrecuencia fundamental), son considerados transitorios oscilatorios de alta frecuencia.Estos transitorios son con frecuencia el resultado de una respuesta local del sistema aun impulso transitorio.


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Un transitorio con una componente de frecuencia fundamental entre 5 y 500 kHz, conduracin medida en las decenas de microsegundos (o algunos ciclos de la frecuenciafundamental) es denominado transitorio de frecuencia media.

En la energizacin de un banco de capacitores resulta un transitorio oscilatorio de

corriente en las decenas de kilohertz como se ilustra en la Figura 2.3 En el switcheo decables resultan transitorios oscilatorios de voltaje en el mismo rango de frecuencia.Transitorios de frecuencia media tambin pueden ser el resultado de la respuesta delsistema a un impulso transitorio.

Figura 2.3. Transitorio oscilatorio de corriente causado por el switcheo de un bancode capacitores.

Un transitorio con una componente de frecuencia fundamental menor a 5 kHz, y unaduracin de 0.3 a 50 ms, es considerado un transitorio de baja frecuencia. Esta categorade fenmenos es frecuentemente encontrada en los sistemas de subtransmisin ydistribucin y es causado por bastantes tipos de eventos. El ms frecuente es la

energizacin de bancos de capacitores, los cuales tpicamente resultan en untransitorio oscilatorio de voltaje con una frecuencia fundamental de entre 300 y 900Hz. La magnitud del pico puede acercarse a 2.0 pu, pero tpicamente son de 1.3 a 1.5pu con una duracin de entre 0.5 y 3 dependiendo del amortiguamiento del sistema.En la Figura 2.4 se ilustra un transitorio oscilatorio de baja frecuencia causado por laenergizacin de un banco de capacitores.


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Figura 2.4.Transitorio oscilatorio de frecuencia baja causado por la energizacin deun banco de capacitores

Figura 2.5.Transitorio oscilatorio de baja frecuencia causado por ferroresonancia deun transformador desbalanceado

Los transitorios oscilatorios con frecuencias fundamentales menores a 300 Hztambin pueden ser encontrados en los sistemas de distribucin. Esto generalmente


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es asociado con la ferroresonancia y energizacin de transformadores como se ilustraen la Figura 2.5. Transitorios concernientes a capacitores en serie tambin pueden caeren esta categora. Estos ocurren cuando el sistema responde por resonancia concomponentes de baja frecuencia con la corriente inrushdel transformador (segunda ytercera armnica) o cuando condiciones inciales resultan en ferroresonancia.

Tambin es posible clasificar transitorios (y otros disturbios) de acuerdo a su modo.Bsicamente, un transitorio en un sistema trifsico con un conductor neutro separadopuede ser de modo comno modo normal, dependiendo de si aparece entre la lnea o elneutro y tierra, o entre la lnea y el neutro.

2.3.2 VARIACIONES DE VOLTAJE DE LARGA DURACIN

Las variaciones de larga duracin abarcan desviaciones rms (root-mean-square) afrecuencia fundamental por tiempos mayores de 1 minuto. El estndar ANSI C84.1 -

Electric Power Systems and Equipment - Voltage Ratings (60 Hz),especifica las toleranciasdel voltaje de estado estable esperadas en un sistema elctrico. Una variacin devoltaje es considerada como de larga duracin cuando los lmites establecidos por laANSI son mayores de 1 minuto.

Las variaciones de larga duracin pueden ser sobre voltajes o bajos voltajes(overvoltage undervoltage). Los sobre voltajes y bajos voltajes generalmente no son elresultado de fallas del sistema, pero son causados por variaciones de carga en elsistema, y operaciones de conmutacin en el sistema. Tales variaciones sontpicamente desplegadas como graficas de voltaje rmscontra tiempo.

2.3.3 SOBRE VOLTAJE

Un sobre voltaje es un incremento en el voltaje rmsde c.a. de ms del 110 porcientodel valor nominal con una duracin de ms de 1 minuto. Los sobre voltajesusualmente son el resultado de la conmutacin de cargas (p.e. conmutacin degrandes cargas, o la energizacin de un banco de capacitores). El sobre voltaje resultadebido a que el sistema es demasiado dbil para la regulacin de voltaje deseada o loscontroles de voltaje son inadecuados. La posicin incorrecta de los taps entransformadores tambin puede resultar en sobre voltajes en el sistema.

2.3.4 CADAS DE VOLTAJE

Un bajo voltaje es un decremento en el voltaje rms de menos del 90 porciento delvalor nominal con una duracin mayor a 1 minuto. Loa bajos voltajes son el resultadode eventos de conmutacin que son lo contrario de los eventos que causan sobrevoltajes. La conexin de una carga, o la desconexin de un banco de capacitores,pueden causar un bajo voltaje hasta que el equipo de regulacin de voltaje en el


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sistema pueda regresar dentro de tolerancias. Circuitos sobrecargados puedentambin resultar en bajos voltajes.

El trmino brownout a menudo es usado para describir periodos sostenidos de bajosvoltajes, iniciados como una estrategia especifica de despacho para reducir la

demanda de potencia. Por lo que no hay una definicin formal para brownouty no estan claro como el termino bajo voltaje cuando se trata de caracterizar un disturbio, eltermino brownoutsw debe evitar.

2.3.5 INTERRUPCIONES SOSTENIDAS

Cuando el suministro de voltaje es cero por un periodo de tiempo mayor a 1 minuto,la variacin de voltaje de larga duracin es considerada como una interrupcinsostenida. Las interrupciones de voltajes mayores de un 1 minuto son a menudopermanentes y requieren intervencin humana para reparar y restaurar el sistema. El

trmino interrupcin sostenida se utiliza para especificar fenmenos en el sistemaelctrico y en general, no tiene relacin con el uso del trmino outage. Las compaasde suministro usan outage o interrupcin para describir fenmenos de naturalezasimilar para informes con propsito de confiabilidad. Sin embargo, esto causaalgunas confusiones y los usuarios son quienes piensan de un outagecomo cualquierinterrupcin del sistema que pone fuera de servicio al proceso. Estas pueden ser tanpequeas como de medio ciclo. Outage, como esta definido en el estndar IEEE 100,no se refiere a un fenmeno especfico, ms bien al estado de un componente en elsistema donde este ha fallado o funciona como se esperaba. Tambin, el uso deltermino interrupcin en el contexto del monitoreo de la calidad de la energa no tiene

relacin con confiabilidad u otras estadsticas de continuidad del servicio. Estetrmino se ha definido para ser ms especfico a lo relacionado con ausencia devoltaje en periodos largos.

2.3.6 VARIACIONES DE VOLTAJE DE CORTA DURACIN

Esta categora abarca la categora IEC de dips de voltaj e interrupciones cortas. Cadatipo de variacin puede ser designada como instantnea, momentnea, temporal,dependiendo de su duracin como se defini en la Tabla 2.2.

Las variaciones de voltaje de corta duracin son causadas por condiciones de falla, laenergizacin de grandes cargas que requieren una alta corriente de arranque, oprdidas intermitentes de conexiones de los conductores. Dependiendo de lalocalizacin de la falla y de las condiciones del sistema, la falla puede causartemporalmente bajo voltaje (sag), alto voltaje (swell), o la prdida completa de voltaje(interrupcin). La condicin de falla puede estar cerca a o remota desde el punto deinters. En ambos casos, el impacto en la duracin del voltaje durante la condicinactual de la falla es de una variacin de corta duracin hasta que los dispositivos deproteccin operen para liberar la falla.


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2.3.7 INTERRUPCIN

Una interrupcin ocurre cuando el suministro de voltaje o la corriente de cargadecrece a menos de 0.1 p.u. por un periodo de tiempo que no exceda 1 minuto. Lasinterrupciones pueden ser el resultado de fallas en el sistema elctrico, fallas en el

equipo, fallas en el funcionamiento del control. Las interrupciones son medidas porsu duracin desde que la magnitud de voltaje sea menor que 10% del nominal. Laduracin de una interrupcin debido a una falla en el sistema elctrico esdeterminada por el tiempo de operacin de los sistemas de proteccin de la empresaelctrica. Re-cierres instantneos generalmente limitaran la interrupcin causada poruna falla no permanente menor a 30 ciclos. Retardos de re-cierre de los dispositivosde proteccin pueden causar una interrupcin momentnea o temporal. La duracinde una interrupcin debida a un mal funcionamiento del equipo o perdida deconexin puede ser irregular.

Algunas interrupciones pueden ser precedidas por un voltaje sag cuando estasinterrupciones son debidas a fallas en la fuente del sistema. El voltajesagocurre entreel tiempo de inicio de la falla y la operacin del dispositivo de proteccin. La Figura2.6 muestra una interrupcin momentnea precedida por un voltaje sag en una fasedel 20% durante tres ciclos y despus caen a cero en 1.8 seg. Hasta que el cierra elrestaurador (recloser).

Figura 2.6. Interrupcin momentnea debido a una falla y liberacin de la misma.


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2.3.8 DEPRESIN DE VOLTAJE (SAG,DIP)

Un sages un decremento entre 0.1 y 0.9 p.u. del voltaje o corriente rms a frecuenciafundamental para una duracin desde 0.5 ciclos hasta 1 minuto.

El trmino sagse ha usado por bastantes aos para describir un decremento de voltajede corta duracin. Aunque el trmino no ha sido formalmente definido, este ha sidoampliamente aceptado y usado por compaas suministradoras, fabricantes, yusuarios. La definicin del IEC para este fenmeno es dip. Los dos trminos sonconsiderados intercambiables, pero el trmino sagha sido el sinnimo preferido en lacomunidad de calidad de la energa en Amrica y dipen Europa.

La terminologa usada para describir la magnitud de un sag de voltaje es a menudomuy confusa, por los intervalos de tiempo que se dan y por el valor rmsdel valor delvoltaje. Un sag de 20% puede referirse a un sag el cual resulta en un voltaje de 0.8 o

0.2 pu. Cuando no se especifica otra cosa, un sag de 20% es considerado un eventodurante el cual el voltaje rms decrese en 20% o 0.8 pu. El nivel de voltaje nominal obase se debe especificar.

Un sagde voltaje es usualmente asociado con fallas del sistema pero tambin puedeser causado por la energizacin de grandes cargas o por el arranque de grandesmotores. La Figura 2.7 muestra un sag de voltaje tpico que puede ser asociado conuna falla de fase a tierra (SLG single-line-to-ground) sobre algn otro alimentador de lamisma subestacin. Un sag del 80% tienen una duracin de casi 3 ciclos, tiemporegido por el tiempo de apertura de interruptores que liberan la falla. Una falla tpica

es corregida en los rangos de tiempo de 3 hasta 30 ciclos, dependiendo de lamagnitud de la corriente y de los equipos de proteccin.

La Figura 2.8. Ilustra el efecto del arranque de un motor grande. Un motor deinduccin que requiere de 6 a 10 veces su corriente de carga nominal durante elarranque. Si la magnitud de la corriente es grande en relacin a la capacidad decorriente de falla en el sistema en ese punto, el sag de voltaje resultante puede sersignificante. En este caso, los sags de voltaje inmediatamente sern del 80% y despusgradualmente regresaran a su condicin nominal en aproximadamente 3 seg. Note ladiferencia en tiempo entre estos sags y los debidos a fallas en el sistema.

Hasta ahora, la duracin de eventos sag no ha sido claramente definida. La duracintpica esta definida en algunas publicaciones en un rango de 2 ms (cerca de undecimo de ciclo) a un par de minutos. Los bajos voltajes que duran menos de mediociclo no pueden ser caracterizados efectivamente por un cambio en el valor rmsdelvalor a frecuencia fundamental. Sin embargo, estos eventos son consideradostransitorios.


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Los bajos voltajes que duran ms de 1 minuto pueden tpicamente ser controladospor equipo de regulacin de voltaje y pueden ser asociados con causas distintas afallas en el sistema. De esta forma, estos son clasificados como variaciones de largaduracin.

La duracin de los sags esta subdividida en tres categoras instantnea,momentnea, y temporal lo cual coincide con las tres categoras de interrupcionesyswells. Estas duraciones corresponden a los tiempos de operacin de los dispositivostpicos de proteccin.

Figura 2.7. Sag de voltaje causado por una falla de una fase con tierra (SLG)


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Figura 2.8. Sagde voltaje temporal causado por el arranque de un motor

2.3.9 SWELLS

Un swell es definido como un incremento de entre 1.1 y 1.8 p.u. en el voltaje o

corriente rmscon una duracin de 0.5 ciclos hasta 1 minuto. Como los sags, los swellsson usualmente asociados con las condiciones de falla en el sistema, pero estos no sontan comunes como los sagsde voltaje. Una forma que un swellpuede ocurrir es de laelevacin de voltaje temporal en las fases no falladas durante una falla entre fases ofalla de fase a tierra. La figura 2.9 ilustra un voltaje swell ocasionado por la falla defase a tierra (SLG). Los swell tambin pueden ser ocasionados por la desconexin degrandes cargas o por la energizacin de bancos de capacitores grande.


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Figura 2.9. Swellde voltaje instantneo causado por la falla de fase a tierra (SLG)

El swelles caracterizado por la su magnitud (valor rms) y su duracin. La severidadde un voltaje swell durante una condicin de falla est en funcin de la localizacinde la falla, de la impedancia del sitema, y del sistema de tierra. En un sistemasubterrneo con una impedancia de secuencia cero infinita, los voltajes de lnea a

tierra en las fases subterrneas ser 1.73 p.u. durante una condicin de falla de lnea atierra SLG. Cerca de la subestacin en un sistema subterrneo habr poca o ningunaelevacin de voltaje en las fases no falladas debido a que el transformador de lasubestacin esta usualmente conectado en delta-estrella proporcionando un caminode baja impedancia de secuencia cero para la corriente de falla. Las fallas endiferentes puntos en alimentadores de 4 hilos multiaterrizados tendrn varios gradosde swells de voltaje en las fases no falladas. Un swell de 15%, como el que se muestraen la figura 2.9 es comn en alimentadores en empresas elctricas americanas.

El trmino sobre voltaje momentneo esusado como un sinnimo del termino swell.

2.3.10 DESBALANCE DE VOLTAJE

El desbalance de voltaje (tambin llamado desequilibrio de voltaje) es algunas vecesdefinido como la mxima desviacin de el promedio de los 3 voltajes o corrientestrifsicos dividido por el promedio de los 3 voltajes o corrientes trifsicos, expresadosen por ciento. El desbalance esta ms rigurosamente definido en los estndaresusando componentes simtricas. La razn de la componente de secuencia negativa ocero a la componente a la secuencia positiva puede ser usado para especificar el por


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ciento de desbalance. Estandares ms recientes especifican que el mtodo desecuencia negativa sea usado. La figura 2.10 muestra un ejemplo de estas dosproporciones para una tendencia de una semana de desbalance en un alimentadorresidencial.

Figura 2.10. El comportamiento de desbalance sobre un alimentador residencial

La principal fuente de desbalance de voltaje de menos del 2% son cargas monofsicasen un circuito trifsico. El desbalance de voltaje tambin puede ser el resultado de laoperacin de fusibles en una fase de un banco de capacitores trifsico. Muchosdesbalances de voltaje (mayores al 5%) pueden resultar de condiciones de faseomonofsico.

2.3.11 DISTORSIN DE LA FORMA DE ONDA

La distorsin de la forma de onda esta definida como una desviacin del estadoestable de una forma de onda senoidal ideal a frecuencia fundamental principalmentecaracterizada por el contenido espectral de la desviacin.


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Hay 5 tipos de formas principales de distorsin.

Dc offset(desplazamiento de cd) Armnicas Interarmnicas

Notching (muescas) Noise(ruido)

2.3.12 DC OFFSET (DESPLAZAMIENTO DE CD)

La presencia de un voltaje o corriente de cd en un sistema de potencia de ca esdenominado dc offset. Esto puede ocurrir como el resultado de un disturbiogeomagntico o debido a la simetra de los convertidores de electrnica de potencia.Los dispositivos para incrementar la vida til de las luminarias, por ejemplo, unsistema de rectificacin de media onda con diodos, puede reducir el valor rms del

voltaje suministrado a lmparas incandescentes por rectificacin de media onda. Lacorriente directa en redes de corriente alterna, puede tener un efecto dainoafectando los devanados del transformador para que se saturen en una operacinnormal. Esto causa calentamiento adicional y prdida de vida til del transformador.La corriente directa tambin puede causar la erosin electroltica de los electrodos detierra y otros conectores.

2.3.13 ARMNICAS

Las armnicas son voltajes o corrientes senoidales que tiene frecuencias que son

mltiplos enteros de la frecuencia fundamental del sistema elctrico (50 60 Hz).Formas de onda peridicamente distorsionadas pueden ser descompuestas en unasuma de la frecuencia fundamental y las armnicas. La distorsin armnica originadaen las caractersticas no lineales de dispositivos y cargas en el sistema de potencia.

Los niveles de distorsin armnica son descritos por el espectro armnico completocon magnitudes y ngulos de fase de cada componente armnico individual.Tambin es comn usar una sola cantidad, The Total Harmonic Distorsion (THD),como una medida del valor efectivo. Los niveles de distorsin de corriente puedenser caracterizados por un valor THD, como se describi previamente, pero esto puedeser con frecuencia engaoso. Por ejemplo muchos ASD mostrarn altos valores deTHD para una corriente de entrada cuando estos estn operando a cargas muyligeras. Esto no es necesariamente un problema significante debido a que la magnitudde la corriente armnica es baja aun cuando su distorsin relativa es alta.

%1001

2

4

2

3

2

2 +++

=V

VVVTHD

K

(2)


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Estas corrientes y/o voltajes armnicos son generados por elementos no lineales de lared como son saturacin de transformadores, hornos de arco elctrico, y dispositivoselectrnicos como rectificadores, controladores de velocidad, lmparas ahorradoras,sistemas de cmputo, entre otros. La Figura 2.11 muestra la forma de onda y sucontenido armnico para una corriente tpica de un controlador de velocidad.

Figura 2.11. Forma de onda de la corriente y contenido armnico para uncontrolador de velocidad

Para el respaldo de esta preocupacin existen estndares tales como el IEEE 519 quedefine ms ndices de distorsin as como la recomendacin para el control de lapropagacin de las armnicas en redes elctricas.


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En el alumbrado la mayora de las balastras electromagnticas estn siendoreemplazadas por balastras de estado slido, las cuales generan un 30% mas dearmnicas en los circuitos de alumbrado. Como ejemplo se tiene que las armnicas dealumbrado, equipo electrnico y de oficina provocan una sobrecarga del neutrodebido a la 3aarmnica principalmente.

En la industria, adems del alumbrado y el equipo de oficina, las armnicas sonproducidas por los variadores de velocidad. Los variadores han sido creados paracontrolar la energa de los motores y requieren que la corriente alterna sea convertidaa corriente directa por medio de rectificadores, que contribuyen con la generacin dearmnicas. Los rectificadores de 6 y 12 pulsos contribuyen con la 5 y 11 armnica,las cuales son de secuencia negativa y producen un par negativo en los motores deinduccin expuestos a estas armnicas. En general, los problemas con la distorsinarmnica comienzan a presentarse cuando las cargas no lineales (computadoras,variadores de velocidad, equipo electrnico) se aproximan al 30% de la capacidad del

transformador.

2.3.14 INTERARMNICAS

Las interarmnicas son seales de voltajes o corrientes que tienen componentes defrecuencia mayores a las del sistema, pero que no son mltiplos enteros de lafrecuencia fundamental (50 o 60 Hz). Ellas pueden aparecer como frecuenciasdiscretas o como una banda amplia en el espectrum.Las interarmnicas pueden ser encontradas en las redes de todos los niveles devoltajes. La principal fuente de distorsin de forma de onda de interarmnicas son

los convertidores estticos de frecuencia, ciclo convertidores, motores de induccin, yhornos de arco. Los efectos de las nterarmnicas son muy poco conocidos.

2.3.15 NOTCHING

El notching es un periodo de disturbio del voltaje causado por la operacin normal deconvertidores electrnicos cuando la corriente es conmutada desde una fase a otra(perodo de conmutacin).

Como los notchingpueden ser tratados como un efecto en estado estable, esto puedeser caracterizado a travs de su contenido armnico. Sin embargo, esto esgeneralmente tratado como un caso especial. Las componentes de frecuenciaasociadas con los notching pueden ser realmente elevadas y no ser prontamentecaracterizadas por los equipos de medicin convencionales. La Figura 2.12 muestraun ejemplo de notchesde voltaje de un convertidor trifsico.


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Figura 2.12. Ejemplo de notchesde voltaje causado por un convertidor trifsico

2.3.16 RUIDO (NOISE)

El ruidoes definido como una seal elctrica no deseada con contenido espectral deancho de banda menor de 200 KHz sobrepuesto al voltaje o corriente de fase delsistema elctrico, o sobre los conductores del neutro, tambin este ruido se presentaen los sistemas de comunicaciones.

El ruido en los sistemas elctricos puede ser causado por dispositivos electrnicos,

circuitos de control, equipo de arco elctrico, cargas con rectificadores de estadoslido, y apertura y/o cierre de los suministros de energa. Bsicamente, el ruidoconsiste de cualquier distorsin no deseada de la seal elctrica, esto no puede serclasificada como distorsin armnica o transitorio. El disturbio del ruido puede serprovocado por los dispositivos electrnicos tal como microcomputadoras y controlesprogramables. El problema puede ser mitigado usando filtros, aislando lostransformadores y un buen sistema de tierras.

2.3.17 FLUCTUACIONES DE VOLTAJE (PARPADEO FLICKERS)

Las fluctuaciones de voltaje son variaciones sistemticas del voltaje o series decambios de voltaje, la magnitud permisibles de estas fluctuaciones no debe deexcederse de los rangos de voltajes especificados por el ANSI C84.1-1982 de 0.9 hasta1.1 pu.

Las cargas grandes presentan variaciones rpidas en la magnitud de la corriente,pueden causar estas variaciones de voltaje que son a menudo referidos como flicker(parpadeo). El trmino flicker es derivado del impacto de la fluctuacin de voltajesobre lmparas tal que su impacto es percibido por el ojo humano como un


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parpadeo. Para ser tcnicamente ms correcto, fluctuaciones de voltaje es unfenmeno electromagntico mientras que unflicker es un resultado no deseado de lafluctuacin de voltaje en algunas cargas. Sin embargo, los dos trminos son amenudo asociados en los estndares.

Un ejemplo de una forma de onda de voltaje que produce flicker es mostrada en laFigura 2.13. Esto es causado por un horno de arco elctrico, es uno de las causas mscomunes de fluctuaciones de voltaje sobre los sistemas de transmisin y dedistribucin.

Figura 2.13. Ejemplo de unflickerde voltaje causado por la operacin de un horno dearco elctrico.

La seal delflicker es definida por la magnitud rmsexpresada como un porcentaje dela componente a frecuencia fundamental. El flicker es medido con respecto a lasensibilidad del ojo humano. Tpicamente, las magnitudes son tan bajas como 0.5 porciento que pueden ser perceptibles en las lmparas dentro del rango de frecuencias de6 hasta 8 Hz.

2.3.18 VARIACIONES DE FRECUENCIA DEL SISTEMA

Las variaciones de frecuencia del sistema son definidas como la desviacin de lafrecuencia fundamental del sistema que es especificada como valor nominal (50 60Hz).


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La frecuencia del sistema es directamente relacionada para la velocidad de rotacinde los generadores que suministran la energa al sistema. Estas son variaciones en lafrecuencia producidas por el desbalance dinmico entre cargas y cambios degeneracin. Existen cambios en la frecuencia que son aceptados dentro de ciertoslimites para la operacin normal en estado estable, estos cambios de frecuencia

pueden ser provocados por un gran bloque de carga que ha sido desconectada, o unafuente grande de generacin que se desconect.

En las modernas interconexiones de sistemas elctricos son raras las variaciones defrecuencia, debido a que cuentan con sofisticado equipo de control de generacin.

Figura 2.14. Power frequency trend and statistical distribution at 13-kV substationbus. (Courtesy of Dranetz-BMI/Electrotek Concepts.)


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2.3.19 CURVA ITI (CBEMA)

La curva ITI (CBEMA) fue publicada por el Technical Committee3 (TC) del InformationTechnology Industry Council(ITI, anteriormente conocida como el Computer & BusinessEquipment Manufacturer Association, CBEMA).

La curva ITI (CBEMA) describe la envolvente del voltaje de alimentacin el cualpuede ser tpicamente tolerado por la curva ITI (CBEMA) describe la envolvente delvoltaje de alimentacin el cual puede ser tpicamente tolerado por mayora de losequipos de informacin (Information Technology Equipment, ITE). Esta curva es unaadecuacin de la curva CBEMA publicada en 1980, la cual se muestra en la Figura2.15.

Esta curva ITI, es aplicada para voltajes nominales de 120 V obtenidos de sistemas de120V, 208 Y/120V, y 120/240V a 60Hz. Para todas las consideraciones, el trmino de

voltaje se aplica a condiciones de 120 V rms, 60 Hz.

Figure 2.15 A portion of the CBEMA curve commonly used as a design target forequipment and a format for reporting power quality variation data.


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Figura 2.16. Curva ITI

Ocho tipos de eventos pueden ser descritos en esta curva ITI, como se describen acontinuacin:

Tolerancia en estado estable. El rango de tolerancia en estado estable est descrito envalores rms del voltaje. El rango permisible es de 10% del voltaje nominal. Esterango de voltaje puede estar presente por un periodo indefinido, como funcin de lacarga nominal y prdidas del sistema de distribucin.

Voltajes Swell. Esta regin describe la regin permisible deswell en base al valor rmsel cual est marcado hasta un 120% del voltaje nominal con duracin de hasta 0.5

segundos. Este transitorio puede ocurrir cuando grandes cargas son desconectadasdel voltaje de alimentacin, o cuando la carga es alimentada de otro sistema que nosea el de la compaa elctrica.

Oscilaciones de baja frecuencia. Esta regin est descrita por el decaimiento deltransitorio (del voltaje) ocasionado principalmente por la conexin de bancos decapacitores usados para la correccin del factor de potencia. La frecuencia de estetransitorio est en el rango de 200 Hz a 5 KHz, dependiendo de la frecuencia deresonancia del sistema de distribucin. La magnitud del transitorio es expresada en %


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del valor pico de la frecuencia fundamental de 60 Hz del voltaje (no del valor rms). Eltransitorio se asume que decae completamente al final de medio ciclo despus deocurrir el disturbio. El transitorio se asume que ocurre cerca del pico de la forma deonda del voltaje. La amplitud del transitorio vara de 140% para 200 Hz a 200% para5KHz, con un incremento lineal en la amplitud con respecto a la frecuencia.

Oscilaciones de alta frecuencia. Est regin est descrita por transitorios tpicamenteprovocados por descargas atmosfricas. Formas de onda de este tipo de transitoriosson generalmente tratados en el estndar ANSI/IEEE C62, 41-1991. La regin descritapor estos transitorios en la curva ITI trata con amplitud y duracin (energa), en lugarde amplitud en valores rms. Esto intenta proveer un transitorio mnimo de 80 Joulesinmunes para el equipo.

Sagsde voltajes.Dos valores rms de voltajes sagsson descritos. Generalmente, estostransitorios resultan al ser conectadas grandes cargas a la red elctrica, as mismo por

fallas en varios puntos del sistema, ya sea de distribucin o de transmisin. Elprimero, sags de voltaje de 80% del valor nominal (mxima desviacin de 20%)considerados tpicamente con un duracin de hasta 10 segundos, y sagsde 70% delvalor nominal (mxima desviacin de 30%) considerados con una duracin de hasta0.5 segundos.

Interrupciones (Dropout). Una interrupcin de voltaje incluye varios sagsde voltaje ycompleta interrupcin del voltaje, seguido de una inminente restauracin del voltaje.La interrupcin puede sostenerse hasta 20 milisegundos. Este transitorio tpicamenteresulta del recierre de interruptores al tratar de eliminar una falla en el sistema

elctrico.Regin de no dao. En est regin se incluyen eventos como sagse interrupcionesque son mas severas que las antes ya mencionadas, son voltajes cuyo limite est pordebajo del limite mnimo de tolerancia en estado estable (90%). En esta regin, no seespera que los equipos (ITE) funcionen, pero tampoco son daados.

Regin prohibida. Esta regin incluye cualquier disturbio que exceda la envolventesuperior de la curva ITI. Si el equipo (ITE) est expuesto a estos disturbios, puederesultar en un dao al mismo.


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La Tabla 2.3 muestra los estndares de calidad de la energa relacionados a distintostpicos de estudio y/o anlisis.

Tabla 2.3. Estndares de calidad de la energa por tpicoTpico Estndares

Grounding IEEE Std 446, IEEE Std 141, IEEE Std 142, IEEE Std 1100,ANSI/NFPA 70

Powering ANSI C84.1, IEEE Std 141, IEEE Std 446, IEEE Std 1100, IEEEStd 1250

Surge protection IEEE C62 series, IEEE Std 141, IEEE Std 142, NFPA 78, UL 1449Harmonics IEEE Std C57.110, IEEE Std 519, IEEE P519a, IEEE Std 929, IEEE

Std 1001Disturbances ANSI C62.41, IEEE Std 1100, IEEE Std 1159a, IEEE Std 1250Life/fire safety FIPS PUB94, ANSI/NFPA 70, NFPA 75, UL 1478, UL 1950Mitigation

equipment

IEEE Std 446, IEEE Std 1035, IEEE Std 1100, IEEE Std 1250,

NEMA-UPSTelecommunicationsEquipment

FIPS PUB94, IEEE Std 487, IEEE Std 1100

Noise control FIPS PUB94, IEEE Std 518, IEEE Std 1050Utility interface IEEE Std 446, IEEE Std 929, IEEE Std 1001, IEEE Std 1035Monitoring IEEE Std 1100, IEEE Std 1159Load immunity IEEE Std 141, IEEE Std 446, IEEE Std 1100, IEEE Std 1159a, IEEE

P1346System reliability IEEE Std 493


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CAPITULO 3. TRATAMIENTO DE SEALES [12]

3.1 INTRODUCCIN

Una seal es una funcin de una o ms variables fsicas que contiene informacinacerca del comportamiento o la naturaleza de algn fenmeno.

Ejemplos de seales:

Los voltajes y corrientes en circuitos elctricos Nuestra voz Las imgenes

En la figura 3.1 se muestra una seal de voltaje con frecuencia de 60Hz. y unamagnitud de 127V, donde la ordenada es el eje del tiempo y la absisa es la magnituddel voltaje.

Esta seal de voltaje es la que se maneja en las zonas habitacionales de Mxico.

Figura 3.1.- Ejemplo de una seal de tensin de 60 Hz.


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3.2 TIPOS DE SEALES

La primera divisin natural de todas las seales es en las categoras estacionarias y noestacionarias.

3.2.1 SEALES ESTACIONARIAS Y NO ESTACIONARIAS

Las seales estacionarias son constantes en sus parmetros estadsticos sobre eltiempo.

Si se observa una seal estacionaria, durante unos momentos y despus espera untiempo y vuelve a observar, esencialmente se vera igual, esto es, su nivel generalseria casi lo mismo y su distribucin de amplitud y su desviacin estndar serian casilo mismo.

Las seales no estacionarias son aquellas en las que vara su frecuencia en el tiempo,esto es, que la frecuencia no es constante durante el periodo de tiempo analizado.Para esto, su anlisis debe de ser con una herramienta matemtica donde lafrecuencia no sea constante para todo instante t.

3.2.2 SEALES CONTINUAS Y DISCRETAS

Una seal x(t) es una seal continua si est definida para todo el tiempo t.

Una seal discreta es una secuencia de nmeros, denotada comnmente como x[n],donde n es un nmero entero.

En el siguiente ejemplo se muestra una seal continua, esta seal no muestra cambiosen la frecuencia, se mantiene definida para cualquier instante en el tiempo t.


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Figura 3.2.- Ejemplo de una seal contina.

En la figura 3.3 se muestra una seal discreta donde sus valores estn posicionadosnicamente sobre nmeros enteros en el eje del tiempo.

Figura 3.3.- Ejemplo de una seal discreta.

Una seal discreta se puede obtener al muestrearuna seal continua. En la siguientefigura se muestra una seal discreta al muestrear la seal continua.


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36

Figura 3.4.- Obtencin de una seal discreta al muestrearuna seal continua.

3.2.3 SEALES ANALGICAS Y DIGITALES

Si una seal continua x(t) puede tomar cualquier valor en un intervalo continuo,entonces esa seal recibe el nombre de seal analgica. Si una seal discreta x[n]puede tomar nicamente un nmero finito de valores distintos, recibe el nombre de

seal digital.

3.2.4 SEALES REALES Y COMPLEJAS

Una seal x(t) es realsi sus valores son nmeros reales, y una seal x(t) es complejasisus valores son nmeros complejos, es decir: x(t) = x1(t) + jx2(t).

3.2.5 SEALES DETERMINSTICAS Y ALEATORIAS

Las seales determinsticas son aquellas cuyos valores estn completamenteespecificados en cualquier tiempo dado y por lo tanto, pueden modelarse comofunciones del tiempo t. Las seales aleatorias son aquellas que toman valoresaleatorios (al azar) en cualquier tiempo dado y deben ser caracterizadasestadsticamente.


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37

3.2.6 SEALES PARES E IMPARES

Una seal es par si se cumple que x(-t) = x(t) para todo t.Es impar si x(-t) = -x(t) para todo t.

3.2.7 SEALES PERIDICAS Y NO PERIDICAS

Una seal continua esperidicacon periodo Tsi existe un valor positivo Ttal que x(t+T) = x(t) para todo t.

Cualquier seal que no sea peridica se llama no peridicao aperidica. El valor mspequeo de Tque satisface esta ecuacin se llama periodo fundamental.

El recproco del periodo fundamental es la frecuencia fundamental F, se mide enHertz (ciclos por segundo) y describe qu tan seguido la seal peridica se repite.

TF 1= (3)

La frecuencia angular, medida en radianes por segundo, se define como (4):

T

2= (4)

Una seal discreta x[n] es peridica si satisface la condicin (5):

x[n] = x[n+ N] (5)para todos los enteros n.

Donde N es un nmero entero. El valor ms pequeo de N que satisface estaecuacin se llama periodo fundamental. La frecuencia angular fundamental, medidaen radianes, se define por (6).

N

2= (6)

3.3 ANLISIS DE SEALES

Muchos de los fenmenos pueden describirse mediante una seal en el dominio deltiempo; es decir, una de las variables es el tiempo (variable independiente) y la otra esla magnitud (variable dependiente).

Cuando se dibuja esta seal se obtiene una funcin tiempo-amplitud, sin embargo lainformacin que se puede obtener de esta representacin no siempre es la mas


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apropiada, puesto que la informacin que caracteriza a la seal, en muchos casos,puede observarse mas claramente en el demonio de la frecuencia, es decir medianteun espectro de frecuencias que muestre las frecuencias existentes en la seal. Por lotanto, para una mejor representacin de la seal se hace necesario disponer de surepresentacin en el dominio del tiempo y la frecuencia.

En las siguientes figuras se muestran 2 seales en el dominio del tiempo, paraencontrar el contenido de frecuencia de cada una de estas seales se puede hacer usode la transformada de Fourier, esta transformada parte de una representacin en eldominio del tiempo de la seal y obtiene la representacin en frecuencias de lamisma, es decir, si se representa esto grficamente en un eje se mostrara la frecuenciay en el otro la amplitud.

La figura 3.5 muestra 2 seales que tienen una sola componente de frecuencia, 3Hz y10Hz respectivamente, ambas con magnitud unitaria.

Seal de 3Hz.

Tiempo en milisegundos

Seal de 10Hz

Tiempo en milisegundos

Figura 3.5.- Dos seales de 3 y 10 Hz. respectivamente.


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En la figura 3.6 se muestra una seal con frecuencia desconocida a la que se le aplicala transformada de fourier, donde se aprecia que en todo el espectro de frecuenciassolamente existe una componente de 50Hz.

Figura 3.6.- Seal de 50 Hz. y su transformada de Fourier.

Ntese que en la figura 3.6 c) se muestra la primer mitad de la figura 3.6 b) puestoque espectro de frecuencias de una seal es simtrico y por lo tanto la segunda mitades redundante, por otra parte la transformada de fourier entrega la informacin enfrecuencia de la seal, pero no indica el instante de tiempo en el que aparece, estainformacin no es necesaria cuando la seal es estacionaria, pero es de vitalimportancia para seales no estacionarias.

El concepto de seal estacionaria es muy importante en el anlisis de seales, lasseales cuyo contenido de frecuencia no cambia en el tiempo se denominan sealesestacionarias, por lo cual no se necesita saber en que instante de tiempo existen esas

Frecuencia

Frecuencia

Tiempo


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componentes de frecuencia, ya que todas las componentes de frecuencia estnpresentes en todo instante de tiempo.

Por ejemplo:

f(t)=cos (62.83t) + cos (157.08t) + cos (314.16t) + cos (628.32t) (7)

es una seal estacionaria cuyas frecuencias son 10, 25, 50 y 100Hz estn presentes encualquier instante.

En la figura 3.7 se muestran la seal en el dominio del tiempo y su respectivo espectroen frecuencias.

Figura 3.7.- Seal estacionaria y su respectivo espectro en frecuencia.

Por otra parte la siguiente figura muestra una seal no estacionaria con cuatrocomponentes de frecuencia distintas para 4 intervalos de tiempo diferentes. En elintervalo de 0 a 300 ms contiene una seal sinusoidal de 100Hz, de 300 a 600 ms

Seal estacionaria con contenido de 10, 25, 50 100 Hz.

Espectro de frecuencias de seal con contenido de 10, 25, 50 100 Hz.

Tiempo

Frecuencia


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contiene una seal sinusoidal de 50Hz, de 600 a 800 ms contiene una seal sinusoidalde 25Hz y de 800 a 1000 ms contiene una seal sinusoidal de 10Hz. Si se realiza latransformada de fourier se observa que se obtienen 4 picos correspondientes a lasfrecuencias presentes en la seal, 10, 25, 50 y 100Hz, tal y como se haba obtenido enel anlisis de la seal estacionaria.

Figura 3.8.- Seal no estacionaria y su respectivo espectro en frecuencia.

Si se comparan los espectros de las seales en el dominio del tiempo de la sealestacionaria y la no estacionaria puede observarse que ambos muestran 4componentes espectrales para las mismas frecuencias: 10, 25, 50 y 100Hz aparte delrizado y de la diferencia de amplitud los dos espectros son casi iguales, aunque lasseales en el dominio del tiempo son completamente diferentes. Ambas sealescontienen las mismas componentes de frecuencia, pero la figura de la seal


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estacionaria contiene estas frecuencias para todo el tiempo y la figura de la sealestacionaria presenta estas frecuencias en diferentes intervalos de tiempo.Esta es la razn por la cual la transformada de Fourier no es una tcnica adecuadapara seales no estacionarias cuando se desea obtener una correspondencia tiempo-frecuencia.

3.4 TRANSFORMADA DE FOURIER [10]

Aunque en el anlisis de seales la transformada de Fourier TF es una de las msempleadas, no es la nica, hay muchas otras transformadas que se emplean, cada unacon su rea de aplicacin, con sus respectivas ventajas y desventajas.

La Transformada rpida de Fourier expresa una funcin peridica como una suma deexponenciales complejas peridicas tal como muestran en las siguientes ecuaciones

donde (8): La transformada de fourier de la seal en el dominio del tiempo x(t).

De la ecuacin (8) se observa que la seal es multiplicada por un termino senoidal defrecuencia f entonces el producto de la seal y el termino senoidal es relativamentegrande, esto indica que la seal x(t) tiene una fuerte componente de frecuencia f.Sin embargo si la seal no tiene componente de frecuencia f el producto tiende acero.

Es importante destacar que la informacin proporcionada por la integral correspondea todos los instantes de tiempo, ya que el intervalo de integracin va desde menosinfinito hasta el infinito, esto significa que no importa el instante de tiempo en el queaparece la componente de frecuencia f porque no afectara el resultado de laintegracin. Por lo tanto la TF es capaz de entregar informacin de la existencia o node ciertas componentes de frecuencia.

Esto explica que los resultados obtenidos en el anlisis de seales no estacionarias noes conveniente con la TF, por lo tanto se deben emplear otras tcnicas.

(9)

(8)2X(f)= ( ) ftx t e dt

2x(t)= ( ) ftX f e dt


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3.4.1 TRANSFORMADA DISCRETADE FOURIER[10]

La transformada discreta de Fourier (TDF) es obtenida de la transformada de Fourierde una funcin muestreada (discreta) en un intervalo de tiempo [ ]T,0 . La TDF de unafuncin discreta [ ]nf esta dada por [ ]kF ,

[ ] [ ] 1,...,3,2,1,01

1

0

/2 ==

=

Nkenf

NkF

N

n

Njkn

y la transformada inversa por

[ ] [ ] 1,...,3,2,1,01

0

/2 ==

=

NnekFnf

N

k

Njkn

donde Nes el numero de muestras.

Se debe de hacer notar que [ ]kF es la contraparte de nF , y [ ]nf la contraparte de)(tf .

Ejemplo: La funcin continua 2.0)94.853cos()32.120cos(3)( 00 +++= tttf esmuestreada sobre un ciclo completo. El nmero de muestras es N=8 y una ventanacon T=20 ms, esto es, una frecuencia fundamental de 50 Hz. La siguiente tablamuestra los puntos discretos as como su transformada discreta de Fourier.

n [ ]mst [ ]nf [ ]kF Magnitud y ngulo Coeficiente0 0 -1.2437 0.2 0.2 F01 2.5 -2.0468 -0.7572+j1.2948 1.5120.32 F-12 5.0 -3.3871 0.0 0.0 F-23 7.5 0.1951 0.0354-j0.4987 0.5-85.94 F-34 10.0 1.6437 0.0 0.05 12.5 2.4468 0.0354+j0.4987 0.585.94 F36 15.0 3.7871 0.0 0.0 F27 17.5 0.2049 -0.7572-j1.2948 1.5-120.32 F1

La comparacin entre los resultados obtenidos con la TDF y la funcin f(t), muestranque efectivamente solo existen el termino de cd, la primera y tercera armnica, cuyosvalores son de 0.2, 3120.32 y 1-85.94, respectivamente.

(10)

(11)


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44

Figura 3.9.- Grafica que muestra los valores discretos de la funcin muestreada.

El resultado del contenido armnico de dicha corriente se muestra en forma de barrasen la siguiente figura.

0 5 10 15 20 25 30 350

0.5

1

1.5

2

2.5

3Contenido Armnico de f(n)

orden de la Armnica

Magnitud

Figura 3.10.- Contenido armnico de la figura 3.9.

Ejemplo: Los siguientes puntos muestran los valores discretos de una seal decorriente proveniente de un equipo de cmputo.


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0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 3.11.-Valores discretos en un periodo de corriente de una PC.

La siguiente tabla muestra los valores discretos, as como el resultado de aplicar laTDF.

n t[ms] f[n] F[k] Magnitud y ngulo Coeficiente.0 0 0 -0.0197 0.0197 180.0000 F01 0.625 -0.227 -0.0868 + 0.5060i 1.0267 99.7334 F-12 1.25 -0.312 0.0091 + 0.0291i 0.0610 72.7415 F-2

3 1.875 -0.337 0.0653 - 0.3547i 0.7214 -79.5643 F-34 2.5 -0.374 -0.0034 + 0.0113i 0.0235 106.6654 F-45 3.125 -0.431 -0.0286 + 0.2982i 0.5991 95.4848 F-56 3.75 -0.5 -0.0006 - 0.0079i 0.0159 -94.4919 F-67 4.315 -2.417 0.0386 - 0.2037i 0.4147 -79.2614 F-78 5 -2.787 0.0085 + 0.0210i 0.0452 68.0075 F-89 5.625 -1.937 -0.0221 + 0.1075i 0.2195 101.6334 F-910 6.25 -0.037 0.0025 - 0.0110i 0.0226 -77.2677 F-1011 6.875 0.063 0.0234 - 0.0241i 0.0672 -45.9014 F-1112 7.5 0.063 0.0067 + 0.0101i 0.0243 56.1987 F-12

13 8.125 0.063 -0.0117 - 0.0373i 0.0782 -107.3612 F-1314 8.75 0.063 0.0012 - 0.0036i 0.0075 -71.3080 F-1415 9.375 0.063 0.0061 + 0.0719i 0.1443 85.1494 F-1516 10 0.063 0.0033 - 0.0000i .0033 0 F-1617 10.625 0.063 0.0061 - 0.0719i 0.1443 85.1494 F-1718 11.25 0.163 0.0012 + 0.0036i 0.0075 -71.3080 F-1819 11.815 0.243 -0.0117 + 0.0373i 0.0782 -107.3612 F-1920 12.5 0.243 0.0067 - 0.0101i 0.0243 56.1987 F-20


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21 13.125 0.243 0.0234 + 0.0241i 0.0672 -45.9014 F-2122 13.75 0.313 0.0025 + 0.0110i 0.0226 -77.2677 F-2223 14.375 2.49 -0.0221 - 0.1075i 0.2195 101.6334 F-2324 15 2.753 0.0085 - 0.0210i 0.0452 68.0075 F-2425 15.625 1.663 0.0386 + 0.2037i 0.4147 -79.2614 F-25

26 16.25 0.043 -0.0006 + 0.0079i 0.0159 -94.4919 F-2627 16.875 0.043 -0.0286 - 0.2982i 0.5991 95.4848 F-2728 17.5 0.043 -0.0034 - 0.0113i 0.0235 106.6654 F-2829 18.125 0.043 0.0653 + 0.3547i 0.7214 -79.5643 F-2930 18.75 0 0.0091 - 0.0291i 0.0610 72.7415 F-3031 19.375 0 -0.0868 - 0.5060i 1.0267 99.7334 F-31

El resultado del contenido armnico de dicha corriente se muestra en forma de barrasen la siguiente figura.

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Contenido Armnico de f(n)

orden de la Armnica

Magnitud

Figura 3.12.- Contenido armnico de la figura 3.11.


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47

Figura 3.13.- Contenido armnico de la seal de corriente utilizando la TDF.

Por tanto, la funcin que representa a esta corriente esta dada por:

( ) 0.0197 1.0267cos( 99.73 ) 0.7214cos cos(3 79.564 )

0.5991cos(5 95.484 ) 0.4147 cos(7 79.261 )

0.2195cos(9 101.6334 )

i t t t

t t

t

= + + + +

+ + + +

+ +

o o

o o

o

3.4.2 LA TRANSFORMADA RPIDA DE FOURIER [11]

La transformada rpida de Fourier resuelve el problema del anlisis de seales noestacionarias mediante la transformada de Fourier enventanada, bsicamente consisteen dividir la seal en diferentes partes donde se puede asumir que la seal esestacionaria. Para este propsito la seal es multiplicada por una funcin ventana,cuya anchura debe de ser igual a parte de la seal que se puede considerar comoestacionaria. Esta funcin ventana inicialmente esta localizada al inicio de la seal, esdecir t=0. Si se asume que la anchura de la ventana es T segundos, entonces esta

funcin se solapara con la seal para los primeros T/2 segundos la funcin ventanay la seal son entonces multiplicadas, de esta forma solamente los primeros T/2segundos de la seal estn siendo escogidos. Una vez hecho esto la nueva seal es elproducto de la funcin ventana y la seal original a la que se le aplica la TF.

El resultado obtenido de esta transformacin es la transformada de fourier para losprimeros T/2 segundos de la seal original, si esta parte de la seal es estacionariaquiere decir que los resultados obtenidos mostraran la representacin en frecuenciaexacta de los primeros T/2 segundos.


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48

El prximo paso ser desplazar esta ventana a una nueva localizacin hasta que todala seal sea recorrida.

Lo anterior se resume en la ecuacin (12):

donde:x(t): seal originalw* : funcin ventana conjugada

En cada instante t y frecuencia f se calcula un nuevo coeficiente de la transformada

de Fourier.

Otra forma de comprender como trabaja este anlisis de Fourier es a partir de unejemplo, para ello se muestra la figura 3.14

Figura 3.14.- Seal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz.

Esta seal no estacionaria se puede analizar mediante el la transformada rpida deFourier y ser representada en tres dimensiones (tiempo, frecuencia y amplitud)sabiendo que la grafica es simtrica con respecto al punto medio del eje de lafrecuencia.

Seal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 100 Hz.

Tiempo

(12)


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Lo importante es que existen cuatro picos que corresponden a las cuatro componentesde frecuencia de la seal original y adems estn localizados en diferentes intervalosde tiempo, por lo que se cuanta con una representacin tiempo-frecuencia de la seal,sino que tambin su localizacin en el tiempo, como se muestra en la figura 3.15.

Figura 3.15.- STFT de la seal de la figura 3.14.

Con lo anterior parecera que el problema de la representacin tiempo-frecuencia deuna seal esta resuelto, sin embargo, existe un problema que se remonta al principiode incertidumbre de Heisenberg, que en este caso se traduce que no es posibleconocer la representacin exacta tiempo-frecuencia de una seal, sino tan solo losintervalos de tiempo en los cuales existen determinadas bandas de frecuencia, por lotanto, aparece un problema de resolucin.

En la transformad de Fourier no existe ese problema de resolucin en el dominio de lafrecuencia, se sabe exactamente las frecuencias que existen, de manera similar noexiste problema de resolucin en el dominio del tiempo, ya que se conoce el valor dela seal para cada instante de tiempo. Lo que proporciona la perfecta resolucin en


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frecuencia en la TF es el hecho de que la ventana empleada es la funcin exponencial,la cual existe para todo instante de tiempo. En la transformada de Fourierenventanada (STFT), la ventana es de longitud finita, es decir, solo se aplica a unaparte de la seal, causando una disminucin de la resolucin en frecuencia, con locual solo es posible conocer una banda de frecuencias y no un valor exacto de

frecuencias.

En consecuencia, existe un compromiso entre buena resolucin en el tiempo o buenaresolucin en frecuencia.

Para obtener la estacionalidad se elije una ventana lo suficientemente estrecha en lacual la seal sea estacionaria. Cuanto mas estrecha sea la ventana se obtendr mejorresolucin en el tiempo y por lo tanto una mejor representacin de la estacionalidad ypeor resolucin en frecuencia. Por lo tanto el problema consiste en la seleccin de unaventana para el anlisis, dependiendo de la aplicacin. Si las componentes

frecuenciales estn bien separadas unas de otras en la seal original, se puedesacrificar resolucin en la frecuencia y tratar de mejorar la resolucin en el tiempo.

Por ejemplo en la siguiente figura se muestran dos posibilidades, dependiendo de laresolucin deseada en el tiempo y frecuencia.

Resumiendo:Ventana estrecha.- Buena resolucin en el tiempo y pobre resolucin el dominio de la

frecuencia.

Ventana ancha.- Buena resolucin en el dominio de la frecuencia y pobre resolucinel dominio del tiempo.


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Figura 3.16.- Enrejado resultante en el plano tiempo-frecuencia de la transformadaenventanada de fourier, en el primer caso se utiliza una mejor resolucin en el tiempoa costa de tener poca resolucin en la frecuencia. En el segundo caso, la resolucin en

la frecuencia se incrementa, a costa de perder resolucin en el tiempo.

A fin de comprender como trabaja la transformada enventanada de Fourier se

procesa la seal (13) considerando una ventana gaussiana de diferentes anchuras.

Donde a representa la anchura de la ventana.

En las figuras 3.17 se muestran 4 funciones ventana tipo gaussianas de diferentesanchuras.

(13)


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Figura 3.17.- Representacin de la funcin gaussianna para distintas anchuras.

Aplicando a la funcin de la figura 1 la funcin mas estrecha (a=1800) para el calculode la transformada rpida de Fourier, se observa en la siguiente figura una altaresolucin en el tiempo y una pobre resolucin en el dominio de la frecuencia.

En dicha figura se comprueba que los cuatro picos que existen estn bien separadoslos unos de los otros en el dominio del tiempo. Adems en el dominio de la

frecuencia, cada pico cubre un rango de frecuencias, en lugar de un nico valor defrecuencia.


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Figura 3.18.- STFTde la funcin dela figura 3.14 con funcin gaussiana de a=1800.

En el caso de hacerse mas ancha la ventana, por ejemplo para a=18, el resultado semuestra en la siguiente figura:


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Figura 3.19.- STFTde la funcin dela figura 3.14 con funcin gaussiana de a=18.

En la figura 3.19 se comprueba que los cuatro picos, correspondientes a cardafrecuencia presente en la seal, no estn tan bien separados en el dominio del tiempocomo suceda en el caso anterior, sin embargo, la resolucin en el dominio de lafrecuencia ha mejorado.

El caso correspondiente para la anchura de ventana gaussiana mayor se muestra enla siguiente figura, donde el resultado muestra una resolucin en el dominio

temporal muy mala, sin embargo, cada pico cubre un rango de frecuencias muyestrecho.


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Figura 3.20.- STFTde la funcin dela figura 3.14 con funcin gaussiana de a=1.8.

Estos ejemplos muestran el problema implcito de resolucin que existe en latransformada rpida de fourier.

Cuando se desea aplicar esta transformada se debe decidir la clase y caractersticasde la ventana a emplear. Ventanas estrechas proporcionan pobre resolucin en eldominio d

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