INTEGRACIÓN PARA DETERMINARLA CANTIDAD TOTAL DE CALOR(INGENIERÍA QUÍMICA/BIOINGENIERÍA)En ingeniería química y en bioingeniería se emplean cálculos de la cantidad de calor en forma rutinaria, así como en muchos otros campos de la ingeniería.Esta aplicación ofrece un ejemplo simple, pero útil, de tales cálculos.La determinación de la cantidad de calor requerido para elevar la temperatura de un material es un problema con el que a menudo nos enfrentamos. La característica necesaria para llevar a cabo este cálculo es la capacidad calorífica c. Este parámetro representa la cantidad de calor requerida para elevar una unidad de temperatura en una unidad de masa. Si c es constante en el intervalo de temperaturas que se examinan, el calor requerido ΔH (en calorías) se calcula mediante:

donde c está en cal/(g · °C), m = masa Δ (g) y ΔT = cambio de temperatura (°C). Por ejemplo, la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 20 gramos de agua desde 5 hasta 10°C es igual a:

donde la capacidad calorífica del agua es aproximadamente 1 cal/(g · °C). Este cálculo es adecuado cuando Δ T es pequeño. Sin embargo, para grandes cambios de temperatura, la capacidad calorífica no es constante y, de hecho, varía en función de la temperatura.Por ejemplo, la capacidad calorífica de un material podría aumentar con la temperatura de acuerdo con una relación tal como:

En este caso se pide por ejemplo calcular el calor necesario para elevar la temperatura de 1 000 gramos de este material desde –100 hasta 200°C.Solución. La ecuación (PT6.4) ofrece una manera para calcular el valor promedio c(T):

que se sustituye en la ecuación (24.1) para dar:

donde Δ T = T2 – T1. Ahora como, en el caso actual, c(T) es una función cuadrática, Δ Hpuede determinarse de manera analítica. La ecuación (24.2) se sustituye en la ecuación

(24.4) y después se integra para dar un valor exacto, Δ H = 42 732 cal. Es útil e instructivo comparar este resultado con los métodos numéricos desarrollados en el capítulo 21.Para esto, es necesario generar una tabla de valores de c para distintos valores de T:

Estos puntos se utilizan junto con una regla de Simpson 1/3 con seis segmentos calculándose una estimación de la integral de 42 732, este resultado se sustituye en la ecuación(24.4) para obtener un valor de Δ H = 42 732 cal, el cual concuerda exactamente con la solución analítica. Esta concordancia exacta ocurriría sin importar cuántos segmentos se utilicen. Se espera tal resultado debido a que c es una función cuadrática y la regla de Simpson es exacta para polinomios de tercer grado o menores (véase la sección21.2.1).Los resultados que se obtuvieron con la regla del trapecio se muestran en la tabla24.1. Parece que la regla del trapecio es también capaz de estimar el calor total de manera exacta. No obstante, se requiere un paso pequeño (< 10°C) para una exactitud de cinco cifras. Este ejemplo es una buena ilustración del porqué la regla de Simpson es muy popular. Es sencillo aplicarla con una calculadora o, mejor aún, con una computadora.Además, por lo común es lo suficientemente precisa para tamaños de paso relativamente grandes y es exacta para polinomios de tercer grado o menores.

SIMULACIÓN DE LA CORRIENTE TRANSITORIAEN UN CIRCUITO ELÉCTRICO (INGENIERÍA ELÉCTRICA)Son comunes los circuitos eléctricos en los que la corriente varía con el tiempo, en lugar de permanecer constante. Cuando se cierra súbitamente el interruptor, se establece una corriente transitoria en el lado derecho del circuito que se muestra en la figura 28.11.Las ecuaciones que describen el comportamiento transitorio del circuito de la figura28.11 se basan en las leyes de Kirchhoff, que establecen que la suma algebraica de las caídas de voltaje alrededor de un ciclo cerrado es cero (recuerde la sección 8.3). Así,

donde L(di/dt) = la caída de voltaje a través del inductor, L = inductancia (H), R = resistencia (Ω), q = carga en el capacitor (C), C = capacitancia (F), E(t) = fuente de voltaje variable en el tiempo (V), e

Las ecuaciones (28.9) y (28.10) son un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que se pueden resolver analíticamente. Por ejemplo, si E(t) = E0 sen ω t y R = 0,

donde p = 1 / √LC . Los valores de q y dq/dt son cero para t = 0. Utilice un procedimiento numérico para resolver las ecuaciones (28.9) y (28.10), y compare los resultados con la ecuación (28.11).

Solución. Este problema comprende un intervalo de integración bastante amplio y requiere de un esquema de gran exactitud para resolver la ecuación diferencial, si se esperan buenos resultados. Supongamos que L = 1 H, E0 = 1 V, C = 0.25 F, y ω 2 = 3.5s2. Esto da p = 2, y la ecuación (28.11) se convierte en

q(t) = –1.8708 sen (2t) + 2 sen (1.8708t)

para la solución analítica. La gráfica de esta función se muestra en la figura 28.12. La naturaleza cambiante de la función exige necesariamente de un procedimiento numérico para encontrar q(t). Además, como la función exhibe una naturaleza periódica que varía lentamente, así como una variación rápida, se necesitan intervalos de integración largos para encontrar la solución. Por estas razones se espera que un método de orden superior sea el adecuado para este problema.Sin embargo, podemos probar tanto el método de Euler como el RK de cuarto orden y comparar los resultados. Usando un tamaño de paso de 0.1 s, se obtiene un valor de q en t = 10 s de –6.638, con el método de Euler; y un valor de –1.9897, con el método RK de cuarto orden. Estos resultados se comparan con una solución exacta de –1.996 C.En la figura 28.13 se muestran los resultados de la integración de Euler cada 1.0 s comparada con la solución exacta. Observe que sólo se grafica cada décimo punto de salida. Note que el error global aumenta conforme t aumenta. Este comportamiento divergente se intensifica conforme t se aproxima al infinito.Además, para simular directamente una respuesta transitoria de una red, los métodos numéricos también se utilizan para determinar sus valores propios. Por ejemplo, en

la figura 28.14 se muestra un circuito LC para el cual puede emplearse la ley de voltaje de Kirchhoff para desarrollar el siguiente sistema de EDO:

Observe que hemos representado la caída de voltaje a través del capacitor como

Ésta es una expresión alternativa y equivalente a la relación usada en la ecuación (28.9), que se presentó en la sección 8.3.

El sistema de EDO se deriva con respecto a t y se reordena para llegar a

La comparación de este sistema con el de la ecuación (27.5) indica una analogía entre un sistema masa-resorte y un circuito LC. Como se hizo con la ecuación (27.5), la solución se considera de la forma

ij = Aj sen (ω t)Esta solución, junto con su segunda derivada, se sustituye en las EDO simultáneas.Después de simplificar, el resultado es

Así, hemos formulado un problema de valores propios. Al hacer una simplificación se tiene el caso especial donde las C y las L son constantes. En dicha situación, el sistema se expresa en forma matricial como

dondeλ = LCω 2Se pueden emplear métodos numéricos para determinar los valores y vectores propios.MATLAB resulta particularmente conveniente para este cálculo. Se desarrolló la siguiente sesión en MATLAB para realizar esto:

La matriz v contiene los tres vectores propios del sistema (ordenados en columnas), y d es una matriz con los correspondientes valores propios en la diagonal. Así, en MATLAB se calcula que los valores propios son: λ = 0.1981, 1.555 y 3.247. Estos valores, a su vez, pueden sustituirse en la ecuación (28.13) para encontrar las frecuencias naturales del sistema del sistema

Además de proporcionar las frecuencias naturales, los valores propios se sustituyen en la ecuación (28.12) para saber más acerca del comportamiento físico del circuito. Por ejemplo, sustituyendo λ = 0.1981 se obtiene

Como este sistema no tiene una solución única, las corrientes están relacionadas de la siguiente manera

0.8019i1 = i2 = 1.8019i3

Así, como se ilustra en la figura 28.15a, oscilan en la misma dirección con diferentes magnitudes. Observe que si suponemos que i1 = 0.737, entonces utilizamos la ecuación(28.14) para calcular el valor de las otras corrientes con el siguiente resultado:

que es la primera columna de la matriz v calculada con MATLAB.

De manera similar, al sustituir el segundo valor propio λ = 1.555, el resultado será–1.8018i1 = i2 = 2.247i3Como se ilustra en la figura 28.15b, el primer ciclo oscila en dirección opuesta respecto al segundo y al tercero. Por último, el tercer modo se determina como–0.445i1 = i2 = –0.8718i3En consecuencia, como se muestra en la figura 28.15c, el primero y el tercer ciclos oscilan en dirección opuesta al segundo.