UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO ANZOÁTEGUI 

UNIDAD DE ESTUDIOS BÁSICOS MATEMATICA II (0081824) 

  

 

Aplicación de las integrales indefinidas e impropias.

   

Bachiller: Rebeca García 25.262.008

Integrales impropias

El concepto de integral definida se refiere a funciones acotadas en intervalos Cerrados [a,

b], con a, b ∈ R. Este concepto se puede extender eliminando Estas restricciones. Ello da

lugar a las integrales impropias. Llamaremos integral impropia de primera especie aquella

cuyo intervalo de

Integración es infinito, ya sea de la forma (a,∞), (−∞, b) o bien (−∞,∞), pero la función esta

acotada. Para cada uno de los casos indicados se define:

  f (x) dx =  f (x) dx

f (x) dx =  f (x) dx

f (x) dx =  f (x) dx +  f (x) dx

y se dice que la integral impropia correspondiente es convergente si el limite existe y es

finito y divergente en caso contrario. Las siguientes propiedades son análogas a las

correspondientes en las integrales propias (sólo consideraremos el caso del intervalo (a,∞)

pues el segundo caso se puede reducir al primero con el cambio de variable t = −x y el

tercer caso es combinación de los dos anteriores al descomponer la integral en dos

sumandos).

Ejemplo:

Solución:

El límite no existe como numero finito; en consecuencia, la integral impropia es divergente.

PROPIEDADES.

La convergencia de la integral no depende del límite de integración real.

     f (x) dx = f (x) dx

Homogénea. Si      f  es convergente, entonces λ f es convergente,

para todo λ ∈ R y se cumple: λ f  = λ f .

Aditiva. Si f , g convergen, entonces (f+g) converge y

además (f+g) f + g.

Integración por partes. Si f y g tienen derivadas de primer orden continuas en

[a,∞) y dos de los tres límites

  f(x) g’(x) dx   f’(x)g(x) dx   [f(b)g(b) − f(a)g(a)]

Existen, entonces el tercero también existe y se tiene que

  f(x)g ‘(x) dx [f(b)g(b) − f(a)g(a)] − f ‘(x)g(x) dx.

(5) Si |f| converge, entonces f converge

Esta ultima propiedad permite definir el concepto de convergencia absoluta para el

caso en que la función integrando no tenga signo constante en [a,∞).

Dada una función f integrable en [a, x], para todo x > a, se dice que converge

absolutamente si la integral |f| converge, y que f converge

Condicionalmente si f converge pero |f| diverge.

En los casos en que no sea posible (o no sea necesario) calcular explícitamente

la integral, su convergencia se puede deducir por alguno de los siguientes

criterios (observar el paralelismo que mantienen algunos de estos criterios

con sus correspondientes para la convergencia de series).

CRITERIOS DE CONVERGENCIA.

(1) Criterio de comparación. Si f y g son funciones continuas en [a,∞) y 0 ≤ f(x) ≤

g(x), ∀x > a, entonces 0 ≤ f(x) dx ≤ g(x) dx.

Por tanto, si g(x) dx converge, entonces f(x) dx converge.

(2) Comparación por paso al límite. Sean f y g continuas y no negativas en [a,∞).

a) Si lımx→∞ f(x) /g(x) = λ 6= 0, λ finito, entonces f(x) dx converge

g(x) dx converge

b) Si lımx→∞ f(x) g(x) = 0, entonces g(x) dx converge =⇒ f(x) dx

converge.

(3) Sea f una función continua y no negativa en [a,∞).

a) Si lım x→∞ x α f(x) = λ 6= 0, λ infinito.

b) Si lım x→∞ x α f(x) = 0 y α > 1

c) Si lım x→∞ x α f(x) = ∞ y α ≤ 1

Segunda especie

Son del tipo:  y que   no esta definida en el intervalo de integración o en

cualquier punto del dominio o los extremos de integración.

Presentan una asíntota vertical.

Ejemplo:

Solución: Primero que nada observemos que la integral dada es impropia ya

que  tiene la asíntota vertical.   Como la discontinuidad infinita se

presenta en el extremo izquierdo de  .

Por consiguiente, la integral impropia del problema es convergente.

Tercera especie

Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de

integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.

Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera

especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para

determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de

primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro

caso, diverge.

Aplicación de la integral definida

1. La función es positiva

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está

por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la

ecuación.

2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración

los puntos de corte.

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para

representar la curva y conocer los límites de integración.

En segundo lugar se calcula la integral:

2. La función es negativa

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está

por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.

3. La función toma valores positivos y negativos

En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas.

Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la

ecuación.

2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.

3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada

intervalo.

Ejemplos

1. Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva

f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.

El área, por razones de simetría, se puede escribir:

Área comprendida entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está

situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Volumen de una función

El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del

eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:

Área de una región plana

En Geometría Elemental se conocen las formulas para hallar el área de cualquier

región limitada por una poligonal cerrada. Ahora bien, si una región esta limitada por

alguna línea curva, como es el círculo, el ´área se expresa como un limite de las áreas de

poligonales “próximas”. El procedimiento para definir el concepto de integral de una

función consiste precisamente en aproximar la función por funciones escalonadas; si

consideramos una función y = f(x) no negativa en un intervalo [a, b], la integral inferior es

el limite de la suma de las ´áreas de los rectángulos inscritos en la región limitada por la

curva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a y x = b, y la integral superior es el limite de las

áreas de los rectángulos circunscritos a dicha región. De este modo podemos definir el área

de dicha región como la integral de la función f en el intervalo [a, b].

En general, Dada una función y = f(x) integrable en un intervalo [a, b], el área de la región

limitada por la función, el eje OX y las rectas x = a y x = b se define como:

Método de discos

Para calcular el volumen de un solido de revolución por el método de discos, debemos

utilizar las siguientes formulas:

(1) Si el eje de revolución es horizontal:

En este caso estamos suponiendo que la región plana que gira es la

región limitada por la grafica de R(x), el eje x, y las líneas rectas x = a y x =

b. Como eje de revolución se considera el eje x.

(2) Si el eje de revolución es vertical:

En este caso estamos suponiendo que la región plana que gira es la región limitada

por la grafica de R (y), el eje y, y las líneas rectas y = c y y = d. Como eje de revolución se

considera el eje y.

Método de arandelas

Se utiliza este método cuando se trata de calcular el volumen de un solido de

revolución con un agujero. Este tipo de solidos aparecen cuando la región plana que gira y

el eje de revolución no están juntos. Supongamos que la región plana es la región

determinada por las graficas de las funciones ´ R(x) y r(x) (con R(x) > r(x)), y las líneas

rectas x = a y x = b. Si se gira esta región alrededor del eje ´ x entonces el volumen del

solido resultante es

Si la región plana es la región determinada por las graficas de las funciones R(y) y

r(y) (con R(y) > r(y)), y las líneas rectas y = c y y = d. y se gira esta región alrededor del eje

y entonces el volumen del solido resultante es: