INGENIERA

INGENIERA INDUSTRIAL

Lic. Mat. Jorge Guillermo Daz Albjar ANLISIS MATEMTICO I

LABORATORIO: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

1.- Halla el dominio y los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:

) 4

)

1)

2

)

a y x

b y x

c yx

d y x

2

2)

) 4

)

1) cos

e yx

f y x

g y xsenx

h yx

2

2

2

) 2

1)

1

1)

4

) 4

i y x

j yx

k yx

l y x

2

) 1

) 4

) 1

) 9

m y x

n y x

o y x

p y x

2.- Estudiar la simetra y periodicidad de las siguientes funciones: 3

3

3

2

) 5

5)

2

)

a y x x

x xb y

x x

c y x x

3

2

) 2 3

) 2

)4

d y sen x

e y sen x

xf y

x

3.- Estudia la derivabilidad y la continuidad de las siguientes funciones:

2

2

1)

2

1)

2

)1

1)

4 3

a yx

b yx

xc y

x

xd y

x x

2

2

3

) 1

3)

3 10

1)

3

cos)

e y x

xf y

x x

xg y

x

xh y

x

2

2

1)

1

)

1 0

) 1 0 1

1 1

i yx

xj y

x

si x

k y x si x

x si x

2 1 1 0

2 0 1

) 1 1

2 4 1 2

0 2 3

x si x

x si x

l y si x

x si x

si x

4.- Estudia las asntotas y ramas infinitas, as como la simetra de las siguientes funciones:

2

1)

2 3

4) 2

4

1)

a yx

b yx

c y xx

2

2

2

)1

)1

1)

1

xd y

x

xe y

x

xf y

x

2

2

2

2

4)

1

1)

2 4

1)

4 3

xg y

x

xh y

x

xi y

x x

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5.- En las funciones siguientes determina los intervalos de monotona, hallando la posicin

de los puntos crticos y slo con dicha informacin intenta razonar la existencia en los

mismos de mnimos, mximos o puntos de inflexin:

2

3 2

3

) 1

1) 2

3 2 3

) 27 36

a y x x

x xb y x

c y x x

2 3

4

) 3 2

) 2 11 13

)

d y x x

e y x x x

f y x

3

2

3

1)

1)

1

2)

1

g yx

h yx

i yx

6.- En las funciones del ejercicio anterior determina los intervalos de concavidad y

convexidad e intenta volver a razonar la existencia en los mismos de mnimos, mximos o

puntos de inflexin slo con esos datos.

7.- Aplica ahora el criterio de la segunda derivada para determinar los mximos, mnimos y

puntos de inflexin de las funciones del ejercicio 5. Determina el valor de los mximos, los

mnimos y los puntos de inflexin. Distingue, con toda la informacin recogida en estos

tres ejercicios, entre mximos y mnimos absolutos y relativos.

8.- Representa grficamente:

a) 2 2y x x x b) 4 22y x x c) 3 22 5 4y x x x

d) 2 4 3y x x e) 3

6

xy x f) 4 22 8y x x

9.- Representa grficamente:

a) 2

4

4y

x

b)

2

2

2

xy

x

c)

2

8

4y

x

d)

2

2

xy

x

e) 3 2

2

2

3 4

x xy

x x

f)

2

2

3 2

3 2

x xy

x x

g)

1

2 3 4

xy

x x x

h) 1

xy

x

i)

1 2

1 3

x x xy

x x

CURVA

DE

AGNESI

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10.- Representa grficamente:

a) 2 1y x b) 2

y x

c) 2

2

xy

x

d)

1

4 1

xy

x

e) 2

2 4

xy

x

f)

2

3

xy

x

11.- Sea 3 22 2 5f x x x . Hallar 0 0,P x f x de modo tal que la recta 2 7y x sea tangente al grfico de f en el punto P.

12.- Sea 3 25 2 3f x x x . Hallar 0 0,P x f x de modo tal que la recta 3 7y x sea tangente al grfico de f en el punto P.

13.- Sea 2ln 8 5f x x . Hallar la ecuacin de la recta tangente al grfico de f en el punto de abscisas 3x .

14.- Hallar la ecuacin de la recta tangente al grfico de 2ln 8 3f x x x en el punto de

abscisa 0 3x .

15.- Si 3 2 4f x x x escribir la ecuacin de la recta tangente al grfico de f en el punto de abscisa x = 3.

16.- Sea 23 ln

2 1

x xf x

x

. Hallar la pendiente de la recta tangente al grafico de f en el punto

de abscisa 0 1x .

17.- Sea 21 1f x k x e x , hallar el valor de k real para que la recta tangente al grfico

de f en el punto de abscisa 0 1x tenga pendiente 9.

18.- Sea 2ln 7 6f x ax x . Hallar a para que la recta tangente al grafico de f en 0 1x tenga pendiente 11m .

19.- Dada 1 2 cosf x x , calcular perteneciente a los reales, en 0x . Dicha recta

debe ser paralela a 3 2y x .

20.- 23 1xf x ax e b . Hallar ,a b de modo tal que la recta de ecuacin 15 10y x sea

tangente al grfico de f en el punto 1;5 .

21.- La puntuacin obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya

dedicado a su preparacin ( x ,expresado en horas ) en los siguientes trminos:

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si 0 15

3

2 si 15

0.2 3

xx

G xx

xx

a) Estudiar el crecimiento de esta funcin. Si un estudiante ha dedicado menos de 15 horas a preparar el examen, justificar que no aprobar, esto es, que obtendr menos de 5 puntos.

b) Justificar que la puntuacin nunca puede ser superior a 10 puntos.

22.- La produccin de cierta hortaliza en un invernadero, Q x en kg; depende dela temperatura,

x en C , segn la expresin:

2

1 32Q x x x

a) Calcular razonadamente cul es la temperatura ptima a mantener en el invernadero. b) Qu produccin de hortaliza se obtendra?

23.- El precio alcanzado por cierto tipo de obras de arte en una subasta, P x en miles de soles; est relacionado con el nmero de asistentes que estn interesados en su adquisicin,

a travs de la siguiente expresin:

5 50 si 0 10

38 700 si 10

9

x x

P x xx

a) Estudiar la continuidad de P x en el punto 10x . Qu ocurre con el precio si el nmero de interesados es ligeramente superior a 10?

b) Estudiar el crecimiento del precio. Calcular el precio de salida, 0x , y justificar que se trata del precio ms bajo que puede alcanzar una obra en la subasta.

24.-

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30.-