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INGENIERÍA INGENIERÍA INDUSTRIAL Lic. Mat. Jorge Guillermo Díaz Albújar ANÁLISIS MATEMÁTICO I LABORATORIO: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1.- Halla el dominio y los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones: ) 4 ) 1 ) 2 ) ay x by x cy x dy x 2 2 ) ) 4 ) 1 ) cos ey x f y x gy xsenx hy x 2 2 2 ) 2 1 ) 1 1 ) 4 ) 4 iy x jy x ky x ly x 2 ) 1 ) 4 ) 1 ) 9 my x ny x oy x py x 2.- Estudiar la simetría y periodicidad de las siguientes funciones: 3 3 3 2 ) 5 5 ) 2 ) ay x x x x by x x cy x x 3 2 ) 2 3 ) 2 ) 4 dy sen x ey sen x x f y x 3.- Estudia la derivabilidad y la continuidad de las siguientes funciones: 2 2 1 ) 2 1 ) 2 ) 1 1 ) 4 3 ay x by x x cy x x dy x x 2 2 3 ) 1 3 ) 3 10 1 ) 3 cos ) ey x x f y x x x gy x x hy x 2 2 1 ) 1 ) 1 0 ) 1 0 1 1 1 iy x x jy x si x ky x si x x si x 2 1 1 0 2 0 1 ) 1 1 2 4 1 2 0 2 3 x si x x si x ly si x x si x si x 4.- Estudia las asíntotas y ramas infinitas, así como la simetría de las siguientes funciones: 2 1 ) 2 3 4 ) 2 4 1 ) ay x by x cy x x 2 2 2 ) 1 ) 1 1 ) 1 x dy x x ey x x f y x 2 2 2 2 4 ) 1 1 ) 2 4 1 ) 4 3 x gy x x hy x x iy x x

Aplicaciones de Derivadas

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    INGENIERA INDUSTRIAL

    Lic. Mat. Jorge Guillermo Daz Albjar ANLISIS MATEMTICO I

    LABORATORIO: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

    1.- Halla el dominio y los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:

    ) 4

    )

    1)

    2

    )

    a y x

    b y x

    c yx

    d y x

    2

    2)

    ) 4

    )

    1) cos

    e yx

    f y x

    g y xsenx

    h yx

    2

    2

    2

    ) 2

    1)

    1

    1)

    4

    ) 4

    i y x

    j yx

    k yx

    l y x

    2

    ) 1

    ) 4

    ) 1

    ) 9

    m y x

    n y x

    o y x

    p y x

    2.- Estudiar la simetra y periodicidad de las siguientes funciones: 3

    3

    3

    2

    ) 5

    5)

    2

    )

    a y x x

    x xb y

    x x

    c y x x

    3

    2

    ) 2 3

    ) 2

    )4

    d y sen x

    e y sen x

    xf y

    x

    3.- Estudia la derivabilidad y la continuidad de las siguientes funciones:

    2

    2

    1)

    2

    1)

    2

    )1

    1)

    4 3

    a yx

    b yx

    xc y

    x

    xd y

    x x

    2

    2

    3

    ) 1

    3)

    3 10

    1)

    3

    cos)

    e y x

    xf y

    x x

    xg y

    x

    xh y

    x

    2

    2

    1)

    1

    )

    1 0

    ) 1 0 1

    1 1

    i yx

    xj y

    x

    si x

    k y x si x

    x si x

    2 1 1 0

    2 0 1

    ) 1 1

    2 4 1 2

    0 2 3

    x si x

    x si x

    l y si x

    x si x

    si x

    4.- Estudia las asntotas y ramas infinitas, as como la simetra de las siguientes funciones:

    2

    1)

    2 3

    4) 2

    4

    1)

    a yx

    b yx

    c y xx

    2

    2

    2

    )1

    )1

    1)

    1

    xd y

    x

    xe y

    x

    xf y

    x

    2

    2

    2

    2

    4)

    1

    1)

    2 4

    1)

    4 3

    xg y

    x

    xh y

    x

    xi y

    x x

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    5.- En las funciones siguientes determina los intervalos de monotona, hallando la posicin

    de los puntos crticos y slo con dicha informacin intenta razonar la existencia en los

    mismos de mnimos, mximos o puntos de inflexin:

    2

    3 2

    3

    ) 1

    1) 2

    3 2 3

    ) 27 36

    a y x x

    x xb y x

    c y x x

    2 3

    4

    ) 3 2

    ) 2 11 13

    )

    d y x x

    e y x x x

    f y x

    3

    2

    3

    1)

    1)

    1

    2)

    1

    g yx

    h yx

    i yx

    6.- En las funciones del ejercicio anterior determina los intervalos de concavidad y

    convexidad e intenta volver a razonar la existencia en los mismos de mnimos, mximos o

    puntos de inflexin slo con esos datos.

    7.- Aplica ahora el criterio de la segunda derivada para determinar los mximos, mnimos y

    puntos de inflexin de las funciones del ejercicio 5. Determina el valor de los mximos, los

    mnimos y los puntos de inflexin. Distingue, con toda la informacin recogida en estos

    tres ejercicios, entre mximos y mnimos absolutos y relativos.

    8.- Representa grficamente:

    a) 2 2y x x x b) 4 22y x x c) 3 22 5 4y x x x

    d) 2 4 3y x x e) 3

    6

    xy x f) 4 22 8y x x

    9.- Representa grficamente:

    a) 2

    4

    4y

    x

    b)

    2

    2

    2

    xy

    x

    c)

    2

    8

    4y

    x

    d)

    2

    2

    xy

    x

    e) 3 2

    2

    2

    3 4

    x xy

    x x

    f)

    2

    2

    3 2

    3 2

    x xy

    x x

    g)

    1

    2 3 4

    xy

    x x x

    h) 1

    xy

    x

    i)

    1 2

    1 3

    x x xy

    x x

    CURVA

    DE

    AGNESI

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    10.- Representa grficamente:

    a) 2 1y x b) 2

    y x

    c) 2

    2

    xy

    x

    d)

    1

    4 1

    xy

    x

    e) 2

    2 4

    xy

    x

    f)

    2

    3

    xy

    x

    11.- Sea 3 22 2 5f x x x . Hallar 0 0,P x f x de modo tal que la recta 2 7y x sea tangente al grfico de f en el punto P.

    12.- Sea 3 25 2 3f x x x . Hallar 0 0,P x f x de modo tal que la recta 3 7y x sea tangente al grfico de f en el punto P.

    13.- Sea 2ln 8 5f x x . Hallar la ecuacin de la recta tangente al grfico de f en el punto de abscisas 3x .

    14.- Hallar la ecuacin de la recta tangente al grfico de 2ln 8 3f x x x en el punto de

    abscisa 0 3x .

    15.- Si 3 2 4f x x x escribir la ecuacin de la recta tangente al grfico de f en el punto de abscisa x = 3.

    16.- Sea 23 ln

    2 1

    x xf x

    x

    . Hallar la pendiente de la recta tangente al grafico de f en el punto

    de abscisa 0 1x .

    17.- Sea 21 1f x k x e x , hallar el valor de k real para que la recta tangente al grfico

    de f en el punto de abscisa 0 1x tenga pendiente 9.

    18.- Sea 2ln 7 6f x ax x . Hallar a para que la recta tangente al grafico de f en 0 1x tenga pendiente 11m .

    19.- Dada 1 2 cosf x x , calcular perteneciente a los reales, en 0x . Dicha recta

    debe ser paralela a 3 2y x .

    20.- 23 1xf x ax e b . Hallar ,a b de modo tal que la recta de ecuacin 15 10y x sea

    tangente al grfico de f en el punto 1;5 .

    21.- La puntuacin obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya

    dedicado a su preparacin ( x ,expresado en horas ) en los siguientes trminos:

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    si 0 15

    3

    2 si 15

    0.2 3

    xx

    G xx

    xx

    a) Estudiar el crecimiento de esta funcin. Si un estudiante ha dedicado menos de 15 horas a preparar el examen, justificar que no aprobar, esto es, que obtendr menos de 5 puntos.

    b) Justificar que la puntuacin nunca puede ser superior a 10 puntos.

    22.- La produccin de cierta hortaliza en un invernadero, Q x en kg; depende dela temperatura,

    x en C , segn la expresin:

    2

    1 32Q x x x

    a) Calcular razonadamente cul es la temperatura ptima a mantener en el invernadero. b) Qu produccin de hortaliza se obtendra?

    23.- El precio alcanzado por cierto tipo de obras de arte en una subasta, P x en miles de soles; est relacionado con el nmero de asistentes que estn interesados en su adquisicin,

    a travs de la siguiente expresin:

    5 50 si 0 10

    38 700 si 10

    9

    x x

    P x xx

    a) Estudiar la continuidad de P x en el punto 10x . Qu ocurre con el precio si el nmero de interesados es ligeramente superior a 10?

    b) Estudiar el crecimiento del precio. Calcular el precio de salida, 0x , y justificar que se trata del precio ms bajo que puede alcanzar una obra en la subasta.

    24.-

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    25.-

    26.-

    27.-

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    28.-

    29.-

    30.-