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calculo integral
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MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
79
3
3.1. ÁREAS DE REGIONES PLANAS 3.2. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN 3.3. LONGITUD DE UNA CURVA PLANA 3.4. VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN
3.5. INTEGRALES IMPROPIAS.
Objetivo:
Calcular áreas de regiones planas generales,
volúmenes de sólidos de revolución, longitud de una
curva plana.
Evaluar integrales de funciones no acotadas
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
80
3.1 AREAS DE REGIONES PLANAS
3.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA
Ya se mencionó que para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región y luego se hace una suma infinita de las áreas de las
particiones, lo cual equivale a una integral definida.
Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando sólo una partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana
El área del elemento diferencial será: dxxfhdxdA )(
Por tanto, el área de la región plana está dada por: b
a
dxxfA )(
Ejemplo 1
Hallar el área bajo la curva 2xy en 3,1
SOLUCIÓN: Primero, hacemos un dibujo de la región:
El área bajo la curva estará dada por:
33
3 3 32
11
3 1 27 1 26
3 3 3 3 3 3
xA x dx
1 3
2y x
x
y
Fig. 3.1
Fig. 3.2
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
81
Ejemplo 2
Calcular el área de la región limitada por
0
6
y
xy
xy
SOLUCIÓN:
Primero se dibuja en el mismo plano xy y 6 xy
Luego, identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas. El área está dado por:
3
22
24836183
16
462
466
2
604
62
6
22
23
32
6
4
24
0
23
32
6
4
4
0
A
xx
x
dxxdxxA
Para regiones generales, la metodología sería debe ser algo análoga a la anterior.
49
049
03613
3612
6
6
2
2
22
xx
xx
xx
xxx
xx
xx
Fig. 3.3
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
82
3.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS
Si la región plana tuviera la siguiente forma:
La idea sería básicamente la misma, hacer particiones de la región (se obtienen también rectángulos) y sumar las áreas de las particiones.
Siendo breve, el área del elemento diferencial será:
( ) ( )dA hdx f x g x dx
Entonces el área de la región plana está dada por: ( ) ( )
b
a
A f x g x dx
CONCLUSIÓN: Para hallar el área de una región
plana, siga los siguientes pasos:
1. Dibuje las curvas dadas.
2. Identifique la región plana. Aquí se definen los
límites de integración.
3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento
representativo.
4. Defina la integral o las integrales para él área.
5. Evalúe la integral definida.
Fig. 3.4
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
83
Ejemplo 1
Calcular el valor del área de la región limitada por
2
4
2xy
xy
SOLUCIÓN:
PASO 1: Graficamos en un mismo plano 4 xy y 22 xy
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas. PASO 3: Definimos el elemento diferencial. PASO 4: La integral definida para el área sería:
3
2
2 24 dxxxA
PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:
6
5
1223
818
2
99
262
2
3
2)3(6
2
3
3
3
623
624
2323
3
2
23
3
2
2
3
2
2
A
xxx
dxxxdxxxA
23
0)2(3
06
24
2
2
xx
xx
xx
xx
Fig. 3.5
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
84
Ejemplo 2
Calcular el valor del área de la región limitada por
0
623
y
xxxy
SOLUCIÓN:
PASO 1: Dibujamos xxxy 623
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x . PASO 3: Definimos el elemento diferencial. PASO 4: La integral definida para el área sería:
dxxxxdxxxxA
3
0
23
0
2
23 6()0()0(6
PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:
12
253
2794
8112
3
84
)0(2
36
3
3
4
3
2
26
3
2
4
20
26
3426
34
66
6()0()0(6
234234
3
0
2340
2
234
3
0
23
0
2
23
3
0
23
0
2
23
A
xxxxxx
dxxxxdxxxx
dxxxxdxxxxA
230
0)2(3
06
06
2
23
xxx
xxx
xxx
xxx
Fig. 3.6
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
85
Ejemplo 3
Calcular el valor del área de la región limitada por 2 2y x
y x
SOLUCIÓN: PASO 1: Dibujamos las curvas dadas PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones PASO 3: Definimos el elemento diferencial. PASO 4: La integral definida para el área sería:
Como la región es simétrica al eje y , calculamos el área de 0 a 2 y la multiplicamos por 2.
2
2
0
2 2A x x dx
PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:
2
22 3
2
0
0
2 2 2 22 3
8 202 2 4
3 3
x xA x x dx x
y xy x
2 2y x
Fig. 3.7
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
86
3.1.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y
Si la región plana tuviese la forma:
Aquí es conveniente hacer particiones en sentido horizontal, también se obtienen rectángulos cuya altura en este caso está dada por la distancia
horizontal x , definida por la función. Para este tipo de región hay que tener la
ecuación de la curva en la forma x f y .
El área del elemento diferencial será: dyyfxdyhdydA )(
El área de la región plana se la obtiene sumando una cantidad infinita de
particiones que se forman ahora entre c y d ; Es decir: d
c
dyyfA )(
Y para el caso de regiones simple- y más generales, tenemos:
El área del elemento diferencial será: dyygyfhdydA )()(
Fig. 3.8
Fig. 3.9
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
87
Entonces el área de la región plana está dada por:
d
c
dyygyfA )()(
Ejemplo 1
Calcular el área de la región limitada por
0
6
y
xy
xy
SOLUCIÓN:
PASO 1: Se dibuja en un mismo plano xy y 6 xy
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas. PASO 3, 4 y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas. Anteriormente este problema fue resuelto con el elemento diferencial vertical. Ahora lo resolveremos de la otra forma. SEGUNDO MÉTODO. Escogiendo el elemento diferencial horizontal: El área está dada por:
3
22
3
8212
03
2
2
226
326
6
32
2
0
32
2
0
2
A
yyy
dyyyA
Fig. 3.10
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
88
Ejemplo 2
Calcular el área de la región limitada por
23
1
yx
xy
SOLUCIÓN: PASO 1, PASO 2 y PASO 3: El elemento diferencial sería mejor horizontal en este caso Paso 4 y 5: El área de la región sería:
2
9
423
82
2
1
3
1
222
2
3
212
2
1
3
1
223
2
13
2323
1
2
23
1
2
2
1
2
2
A
yyy
dyyy
dyyyA
Ejercicios propuestos 3.1
Hallar el área de la región limitada por las curvas:
1. ,,2 2 xyxy
2. ,0,4 2 yxxy entre 1x y 3x .
3. 8,0,4 xyxy .
4. 01,342 yxxxy .
5. 0,42,2 xxyxy .
6. 0124,02 22 xyxy .
7. 422 xy,xy
12
012
02
31
2
2
yy
yy
yy
yy
Fig. 3.11
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
89
8. xxyxy 4, 22
9. ,,6 3xyxy 4
2xy .
10. 3,1 2 xyxy
11. xyxxy 4,3 23
12. xxyxxxy 4,86 223
3.1.4 AREAS EN COORDENADAS POLARES.
Ahora trataremos regiones simple- , regiones que están limitadas por curvas
cuyas ecuaciones están dadas en forma polar.
En este caso, el elemento diferencial tiene la forma de un sector circular,
entonces su área está dada por:
drdA 2
2
1
Por tanto el área de la región está dada por:
2
1
2)(
2
1dfA
Ejemplo 1
Hallar el área de la región encerrada por ar SOLUCIÓN:
Graficando la circunferencia ar e identificando la región, tenemos:
Fig. 3.12
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
90
El área estar ía dada por:
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
2
1
2
1
2
1
)(2
1
2
1
aA
a
da
da
dfA
Ejemplo 2
Hallar el área de la región encerrada por cos1r SOLUCIÓN:
Graficando la cardioide cos1r e identificando la región, tenemos:
Fig. 3.13
Fig. 3.14
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
91
El área estar ía dada por:
A
A
ddd
ddd
d
d
dfA
021
000
0
2
00
0
2
0
2
2
4
2sensen2
2
2cos
2
1cos2
coscos2
coscos21
cos12
12
)(2
1
2
1
Ejemplo 3
Hallar el área de la región encerrada por 3sen4r SOLUCIÓN:
Graficando la rosa 3sen4r e identificando la región, tenemos:
El área estar ía dada por:
Fig. 3.15
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
92
4
624
6
00
6
6
624
6
624
2
6cos148
3163
342
16
)(2
1
6
6
0
6
0
6
0
2
6
0
2
2
2
1
A
A
sensenA
sen
d
dsen
dsen
dfA
Ejemplo 4
Hallar el área de la región encerrada por el rizo de cos42r SOLUCIÓN:
Graficando el caracol cos42r e identificando la región, tenemos:
El área estar ía dada por:
Fig. 3.16
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
93
374
2
32
2
3164
0sen20sen16)0(123
2sen23
sen163
12
2
2sen48sen164
2
2cos116cos164
cos16cos164
cos16cos164
cos422
12
)(2
1
3
0
3
0
3
0
3
0
3
0
2
3
0
3
0
3
0
2
3
0
2
2
2
1
A
A
A
A
ddd
ddd
d
d
dfA
Ejemplo 5
Hallar el área de la región interior a ambas curvas
cos1
sen3
r
r
SOLUCIÓN: Graficando las figuras e identificando la región, tenemos:
El ángulo de intersección se la obtiene igualando las ecuaciones de las curvas y luego resolviendo la ecuación tr igonométrica que se forma, es decir:
Fig. 3.17
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
94
3
21cos1cos
01cos21cos
01coscos2
02cos2cos4
coscos21cos13
coscos21sen3
cos1sen3
cos1sen3
2
2
22
22
22
El área estar ía dada por:
34
3
43
316
9
4433
16
3
4
8
33
22
3
2
1
8
3
62
3
4
2sen
2
1sen2
2
1
4
2sen
2
1
2
3
cos12
1sen3
2
1
3
3
0
3
2
3
0
2
A
A
A
A
ddA
Ejercicios propuestos 3.2
1. Hallar el área limitada por la curva 3cosar .
2. Determinar el área de la región ex terior a sen2r , e interior a sen5r
3. Determine el área de la región interior de la cardioide cos33r y ex terior a la cardioide
senr 33 en el primer cuadrante
4. Determine el área de la región dentro de la circunferencia senr 3 y fuera de senr 2 .
5. Determinar el área interior a 2cos82 r y ex terior a 2r .
6. Calcular el área de la región que es ex terna a la cardioide senr 22 e interna a la cardioide
cos22r
7. Determine el área interior al limaron senr 63 pero ex terior al rizo.
8. Hallar el área de la región interna común entre 2cosr y 2senr
9. Determine el área de la región 2cos633/, rrR
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
95
3.2 VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Suponga que se tiene una región plana y que se la hace girar 0360 con
respecto a un determinado eje, esta situación provoca que se genere lo que se llama SÖLIDO DE REVOLUCIÓN.
En primera instancia generalicemos 3 situaciones que se presentan.
CASO I. Suponga que se tiene una región plana simple-x, como la que se
muestra en la figura. Al girar la región con respecto al eje "x" se formará un
sólido de revolución:
El volumen de este sólido de revolución se lo puede calcular de la siguiente manera:
Primero: se determina el volumen del sólido diferencial que se forma al girar
el elemento diferencial representativo en torno al eje indicado.
Observe que lo anterior también se lo puede ver como que se rebana el sólido
y se determina el volumen de una partición. En este caso el sólido diferencial tiene la forma un DISCO, por tanto su volumen está dado por:
dxxfdxrdV22 )(
Fig. 3.18
Fig. 3.19
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
96
Segundo: El volumen de todo el sólido es una suma infinita de los volúmenes
de las particiones, es decir:
dxxfV
b
a
2)(
CASO II. Suponga ahora que la región plana fuese como la que se sombrea
en la figura. Al girar la región alrededor del eje "x" se genera un sólido de revolución de la siguiente forma:
Primero: El sólido diferencial que se genera al rotar el elemento diferencial
alrededor del eje "x", para cada partición tiene la forma de un ANILLO
El volumen del sólido diferencial estaría dado por:
dxrrdV2
1
2
2
Observe que: )(2 xfr y )(1 xgr entonces:
dxxgxfdV22
)()( .
Fig. 3.20
Fig. 3.21
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
97
Segundo: EL volumen total del sólido que se genera al girar la región plana
alrededor del eje "x", estaría dado por:
b
a
dxxgxfV22
)()(
CASO III. Ahora en cambio suponga que si tuviésemos que girar la región
anterior en torno al eje "y":
El sólido diferencial tendría la forma de una CORTEZA:
Para determinar el volumen de este elemento diferencial, lo cortamos y lo abrimos, se obtiene un prisma rectangular:
r2 h
dx
Fig. 3.22
Fig. 3.23
Fig. 3.24
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
98
Su volumen sería:
rhdxdV 2
Observe que:)()( xgxfh
xr
Por tanto el volumen total del sólido sería:
dxxgxfxV
b
a
)()(2 .
Para regiones simples-y, los procedimientos son análogos.
Ejemplo 1
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana
xy
xyR
8:
2
alrededor
del eje x. SOLUCIÓN: PASO 1: trazamos las gráficas de las curvas dadas. PASO 2: Identificamos la región. PASO 3: El elemento diferencial, lo escogemos vertical Al hacer girar el elemento diferencial en torno al eje indicado se forma un anillo, cuyo volumen está dado por:
dxrrdV2
12
2 y en este caso xr 82 y 2
1 xr
PASO 4: Por tanto:
20
08
8
8
3
4
2
xx
xx
xx
xx
Fig. 3.22
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
99
3
2
0
52
2
0
4
2
0
222
5
48
5
3216
528
8
8
uV
xx
dxxx
dxxxV
NOTA: resuelva el ejemplo tomando el elemento diferencial horizontal.
Ejemplo 2
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana
xy
xyR
8:
2
alrededor
del eje y. SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la del ejerc icio anterior PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje "y" da lugar a una Corteza
Cuyo volumen es tá dado por rhdxdV 2 y en este caso xr y 28 xxh
PASO 4: Por tanto:
Fig. 3.25
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
100
3
42
5
2
0
42
5
2
0
323
2
0
2
5
24
45
322
)0(4
22
5
822
45
822
82
82
uV
xx
dxxx
dxxxxV
Ejemplo 3
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana
xy
xyR
8:
2
alrededor
del eje 4y
SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " 4y " da lugar a una Anil lo
El volumen de este diferencial está dado por dxrrdV2
12
2 y en este caso 22 4 xr y
xr 841
PASO 4: Por tanto, calculando el volumen tenemos:
Fig. 3.26
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
101
3
23235
2
0
23235
2
0
21
24
2
0
42
2
0
222
15
206
3
12816
3
64
5
32
)0(23
232
2
28
3
28
5
2
3
232
28
38
5
8888
88816816
844
uV
xxxx
dxxxxx
dxxxxx
dxxxV
Ejemplo 4
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana
xy
xyR
8:
2
alrededor
del eje 1y
SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " 1y " da lugar a una Anil lo
El volumen de este diferencial está dado por dxrrdV2
12
2 y en este caso 2
1 1 xr y
xr 812
PASO 4: Por tanto:
Fig. 3.27
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
102
3
5322
3
2
0
53223
2
0
422
1
2
0
42
2
0
222
15
174
5
32
3
1616
3
32
)0(5
2
3
22242
3
28
532
28
23
82
2882
218821
181
uV
xxxx
dxxxxx
dxxxxx
dxxxV
Ejemplo 5
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana
xy
xyR
8:
2
alrededor
del eje 2x SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " 2x " da lugar a una corteza
El volumen de este diferencial está dado por rhdxdV 2 y en este caso xr 2 y 28 xxh
PASO 4: Por tanto:
Fig. 3.28
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
103
3
42
53
23
2
0
425
323
2
0
32
322
1
2
0
32
2
0
2
15
88
4
16
5
32
3
16
3
322
)0(4
22
5
24
3
222
3
282
42
522
32
23
242
222242
82822
822
uV
xxxx
dxxxxx
dxxxxxx
dxxxxV
Ejemplo 6
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana
xy
xyR
8:
2
alrededor
del eje 1x SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores
PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " 1x " da lugar a una corteza
El volumen de este diferencial está dado por rhdxdV 2 y en este caso xr 1 y 28 xxh
PASO 4: Por tanto:
Fig. 3.29
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
104
3
42
53
23
2
0
425
323
2
0
32
322
1
2
0
32
2
0
2
15
152
4
16
5
32
3
8
3
162
)0(4
22
5
24
3
22
3
242
42
522
32
3222
22222
882
812
uV
xxxx
dxxxxx
dxxxxxx
dxxxxV
Ejercicios Propuestos 3.3
1. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R alrededor del eje indicado; siendo R la
región limitada por las curvas, cuyas ecuaciones se dan a continuación:
a. 1,0,0,2 2 xxyxxy ; eje y
b. 4,tg,2
,1
xxarcyyx ; eje y .
c. 1;1
1,3,1,3,0
xeje
xyxxyy .
2. Sea R la región limitada por las curvas: x
yxy1
,2 y las rectas 2,0 xy ..
a) Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje 2x .
b) Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje 1y .
3. Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar en torno al eje 9x la región limitada por
las curvas: xyxy 3,92.
4. Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor de la recta 4x , la región acotada por
las curvas: 3, 22 yxyyx .
5. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación en torno a la recta 2y de la región del primer
cuadrante limitada por las parábolas 048163 2 yx , 080162 yx y el eje de las y .
6. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje y, donde R es:
0
05
4
0
2
03422
x
yx
y
y
x
yyx
7. Sea la región 2241/, xyxyxR . Calcule el volumen del sólido generado al girar R alrededor
del eje: a) 1x , b) 1y
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
105
3.3 LONGITUD DE ARCO
Siguiendo el esquema de procedimientos para determinar áreas de regiones planas y volúmenes de sólidos de revolución, se hacen infinitas particiones de la
curva y se establece una suma infinita.
Una partición diferencial tendrá la forma:
Y su longitud está dada por: 22 dydxds
1. Si )(xfy entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma:
dxdx
dydx
dx
dydxds
222
1
Es decir:
b
a
dxdx
dys
2
1
2. Si )(yfx entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma:
dydy
dxdy
dy
dydxds
222
1
Es decir:
d
c
dydy
dxs
2
1
ids
dx
dy
Fig. 3.30
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
106
3. Finalmente si
)(
)(:
tyy
txxC entonces se utiliza el diferencial de arco de la
forma: dtdt
dy
dt
dxdt
dt
dydxds
2222
Es decir:
2
1
22t
t
dtdt
dy
dt
dxs
Ejemplo 1
Encuentre la longitud de arco de la curva 23
xy desde el punto )1,1( al punto )8,4(
SOLUCIÓN:
En este caso usamos el diferencial de arco de la forma
b
a
dxdx
dys
2
1 ¿por qué?
Ahora 21
2
3x
dx
dy
Por tanto:
23
4132
3
4
1
23
4
1
4
1
2
21
4
1
2
1027
8
49
4
91
3
2
4
91
2
31
1
s
x
dxx
dxx
dxdx
dys
Fig. 3.31
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
107
Ejemplo 2
Encuentre la longitud de la curva 21;1
1
3 xduuy
x
SOLUCIÓN:
La longitud de arco esta dada por:
2
1
2
1 dxdx
dys
Para lo cual la derivada sería: 11 3
1
3 xduuDdx
dy
x
x
Reemplazando resulta:
1245
2
125
2
25
11
11
1
25
25
2
1
25
2
1
3
2
1
3
2
1
23
2
1
2
s
x
dxx
dxx
dxx
dxdx
dys
Ejemplo 3
Calcular la longitud de la circunferencia 222 ayx
SOLUCIÓN:
Fig. 3.32
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
108
Para este caso es mejor calcular la longitud de arco con la forma paramétrica
2
1
22t
t
dtdt
dy
dt
dxs
La ecuación de la circunferencia en forma paramétrica es:
20;
sen
cos: t
tay
taxC
Por tanto tadt
dxsen y ta
dt
dycos . Reemplazando resulta:
as
at
dta
dta
dttta
dttata
dttata
dtdt
dy
dt
dxs
2
cossen
cossen
cossen
2
0
2
0
2
0
2
0
222
2
0
2222
2
0
22
2
0
22
Ejercicios Propuestos 3.4
1. Determine la longitud de arco de la curv a 4
;cosln1 xxy
2. Determine la longitud de arco de la curv a:
ty
ttx
cos1
sen en el intervalo 40 t
3. Determine la longitud de arco de la curv a:
tatasenty
atsenttax
cos
cos en el interv alo 11 t
4. Encuentre la longitud de la curva 36
,1cos64
6
42
xduuuseny
x
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
109
3.3.1 LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES.
La longitud de arco esta dada por:
dd
dy
d
dxs
2
1
22
Reemplazando, tenemos:
dsenfsenfs
dfsenffsenf
senfsenfffs
dfsenfsenffs
2
1
2
1
2
1
222222
2222
2222
22
cos)(cos)´(
cos)(cos)()´(2)´(
)(cos)()´(2cos)´(
cos)(´)(cos´
Resultando finamente:
dffs
2
1
22)´()(
Ejemplo 1
Hallar la longitud de la circunferencia ar
SOLUCIÓN: Aplicando la formula y resolviendo, resulta:
as
as
das
doas
dffs
2
)´()(
2
0
2
0
2
0
22
22
2
1
Ejemplo 2
Hallar la longitud de la cardioide cos1r
SOLUCIÓN: Aplicando la formula y resolviendo, resulta:
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
110
8sen4
cos222
cos222
cos122
cos222
sencoscos212
sencos12
)´()(
02
0
2
0
2
2
0
0
0
1
22
0
22
22
2
1
s
ds
ds
ds
ds
ds
ds
dffs
Ejemplo 3
Hallar perímetro de región interior a las curvas
cos1
sen3
r
r
SOLUCIÓN:
En este caso el per ímetro estar ía dado por
Fig. 3.33
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
111
23
3
443
3
sen43
cos2cos3sen3
sencos1cos3sen3
21
32
3
0
3
2
3
0
22
3
22
3
0
22
Per
Per
Per
ddPer
dPer
Ejercicios propuestos 3.5
1. Determine el área y el perímetro de la región interior a las curv as cos3r y cos1r .
2. Determinar:
a) El v alor de a para el cual el área de la región limitada por la cardioide cos1 ar sea igual a
9 unidades cuadradas.
b) La longitud de la cardioide definida en el literal a).
3.4 VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE
Sea f una función continua en el intervalo ba, . El
VALOR MEDIO O VALOR PROMEDIO de f ,
denotado como f , está dado por:
b
a
dxxfab
f )(1
Ejemplo
Las estadísticas indican que " t " meses después del principio de año, el precio de la carne de res era
6.12.009.0)( 2 tttp dólares por libra. ¿Cuál fue el precio medio de la carne durante los 3
primeros meses?. SOLUCIÓN: El promedio del precio durante los 3 primeros meses es:
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
112
57.1$
8.49.081.03
1
6.12
2.0
3
09.0
3
1
6.12.009.003
1
)(1
3
0
23
3
0
2
p
ttt
dttt
dttpab
p
b
a
3.5 INTEGRALES IMPROPIAS
Se trata ahora de trabajar con regiones que estén limitadas por curvas no acotadas, que tengan asíntotas horizontales y verticales.
3.5.1 LÍMITES INFINITOS.
Se presentan cuando se plantean integrales de la forma
a
dxxf )( , o de la
forma
a
dxxf )( , o de la forma
dxxf )( .
En este caso, es una integral impropia porque uno de los límites de integración o ambos, no es una cantidad finita. En tal caso, deberá tratárselas con propiedad. Es decir:
N
a
N
a
dxxfdxxf )(lím)(
a
N
N
a
dxxfdxxf )(lím)(
Y finalmente la última integral por la propiedad de aditividad se la trataría así:
a
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
113
Ejemplo 1
Hallar el área de la región
0
0:
x
y
ey
R
x
, en el primer cuadrante.
SOLUCIÓN: Dibujando las curvas dadas e identificando la región tenemos:
El área de la región estaría dada por
0
dxeA x, la cual es una integral impropia, que escribiéndola con
propiedad tenemos:
N
x
N
x dxedxeA
00
lím
Al calcular la integral definida y luego tomando límite resulta:
111límlímlím 0
0
eeedxe N
N
Nx
N
N
x
N
En este caso se dice que el área converge a 1 (21uA )
Ejemplo 2
Hallar el área de la región
0
1
1
:
y
x
xy
R
SOLUCIÓN:
Fig. 3.34
Fig. 3.35
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
114
El área de la región estaría dada por
1
1dx
xA , la cual es una integral impropia, que escribiéndola con
propiedad tenemos:
N
Ndx
xdx
xA
11
1lím
1
Al calcular la integral definida y luego tomando límite resulta:
1lnln1lnlnlímlnlím1
lím 1
1
Nxdxx N
N
N
N
N
En este caso se dice que la integral DIVERGE ( A ) es decir que haciendo la integral entre 1 y un número muy grande, el resultado es una cantidad muy grande.
Ejemplo 3
Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar la región
0
1
1
:
y
x
xy
R , alrededor del eje x.
SOLUCIÓN:
El volumen del sólido estaría dado por
1
21
dxx
V , esto es una integral impropia, que escribiéndola
con propiedad tenemos:
N
Ndx
xdx
xV
1
2
1
21
lím1
Al calcular la integral definida y luego tomar límite resulta:
Nx
dxx N
N
N
N
N
11lím
1lím
1lím
11
2
Note que mientras el área era divergente el volumen es CONVERGETE. La convergencia o divergencia de la integral depende de su forma algebraica.
Ejemplo 3
Determina el valor de "k" para que el área bajo la curva de 21 x
ky
sea iguala a 1.
SOLUCIÓN:
Dibujando la curva para un k positivo sería:
Fig. 3.36
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
115
El área estaría dado por
dx
x
kA
21.
Como es una función par, aplicando simetría, tendremos
0
212 dx
x
kA .
Escribiéndola con propiedad y resolv iendo:
kA
k
k
xk
dxx
k
dxx
kA
N
N
N
N
N
N
2
0
0
2
0
2
2
0arctgarctg2
arctglím2
1
1lím2
1lím2
Si la condic ión es que 21uA entonces 1k por tanto
1k
Ejemplo 4
Determine para qué valores de "p" la integral impropia
1
1dx
x p converge y para que
valores diverge. SOLUCIÓN:
Escribiendo con propiedad la integral impropia tenemos:
N
pNdx
x1
1lím
Se observa que hay que considerar 2 casos: si 1p y si 1p
Primero si 1p tenemos:
1lnlímlnlím
1lím 1
1
LnNxdxx N
N
N
N
N (Diverge)
Segundo si 1p tenemos:
pp
N
p
xdxx
pp
N
Np
N
N
p
N 1
1
1lím
1límlím
11
1
1
1
de lo último hay que considerar dos casos:
Si 1p entonces
ppp
N pp
N 1
1
1
1
1lím
11
(diverge)
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
116
Si 1p entonces pppp
N pp
N
1
10
1
11
1
1
1lím
11
(converge)
Por lo tanto:
1;1
1
1;1
1
pp
p
dxx p
3.5.2 INTEGRANDOS INFINITOS Ahora trataremos regiones que están limitadas por curvas no acotadas, las
graficas de las curvas tienen asíntotas verticales
Ejemplo 1
Hallar el área de la región
0
0
1
:
y
x
xy
R .
SOLUCIÓN: La región referida sería:
La integral para el área es: 1
0
1dx
xA note que la función
xxf
1)( no está definida en 0x por
tanto es una integral impropia, que escribiéndola con propiedad y resolv iendo resulta:
0ln0ln1lnlímlnlím1
lím1
0
1
0
1
0
1
0
txdxx
dxx
At
tt
t
t (diverge)
Fig. 3.37
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
117
Ejemplo 2
Calcular
2
1
2
1dx
x
SOLUCIÓN:
La función no está definida 0x , por tanto es una integral impropia que debemos tratarla de la siguiente manera:
)(1
2
11lím
11lím
1lím
1lím
1lím
1lím
1
2
1
2
00
2
010
2
20
1
20
2
1
2
divergedxx
tt
xx
dxx
dxx
dxx
tt
tt
t
t
t
t
t
t
Ejercicios propuestos 3.6
1. Ev alúe la integral impropia dada o demuestre que es divergente.
a.
1
dxex
b.
522 xx
dx
c.
0
sen dxxe x
d.
dx
x
x
22 4
e.
3
29 x
xdx
f.
3
0
2 2xx
dx
Fig. 3.38
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
118
2. Dada la curva xey , determine el área bajo la curva para 2lnx .
3. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje y .
1030/, xyxyxR
4. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por 0,1
, yx
yxy ;
alrededor del eje x (en el primer cuadrante).
5. Sea R la región del primer cuadrante bajo la curva 32
xy y a la izquierda de 1x .
a) Determine el área de la región R.
b) Encuentre el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje 1y .
6. Encuentre los valores de "p" para los cuales la integral 1
0
1dx
x p converge y los v alores para los cuales
div erge.
Misceláneos
1. Sea R la región definida por : 2, / ln 1 1R x y x y x e . Calcule:
a) El área de la región R. b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje "y"
2. Sea la región
2 2, / 2 4 0 2 4 0R x y x y x x x y x x
Calcule:
a) El área de la región R.
b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 4y
c) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 1x
3. Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región
2 2, / 14R x y x y x
Alrededor de la recta 4x .
4. Calcular el área de la región interior a la rosa 2cos2r y ex terior a la circunferencia 1r .
5. Sea la región R limitada por la recta 0x y la curva xy 42. Determine el valor de " a " de tal modo
que la recta ax div ida a la región R en dos regiones de igual área.
6. Sea la región 240/, xyyxR . Determine el v alor de " a " de tal modo que la recta ay
div ida a la región R en dos regiones de igual área.
7. Calcule el área de la región xyxxyxyyxR 21222/, 2
8. Calcular el área de la región interior al rizo grande y ex terior al rizo pequeño de cos2r .
9. Sea 1012/, 2 xxyxyxR . Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar la
región R alrededor de la recta 1x
10. Calcular el área de la región interior al rizo grande y ex terior al rizo pequeño de cos42r .
11. Determine la longitud de la curva definida por las ecuaciones paramétricas 2,0,22
2coscos2
t
tsensenty
ttx
12. Sea R la región limitada por
xxy
xy
y
4
0
2
2
Calcule: a) El área de la región R.
b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 1x
13. Calcular el área de la región interior a cos21r y ex terior a la 1r .
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
119
14. Sea 22 230/, yxyxyyxR . Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar la
región R alrededor del eje 1y .
15. Calcule el perímetro de la región ubicada en el primer cuadrante y limitada por 13
2 3 xy ,
313
2 xy ,
3
8 xy , 0x , 0y .
16. Determinar el v olumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por 4
2xy , 21 yx ,
yx 3 , 0x alrededor de 2y .
17. Sea 22 42/, xyxIRyxR . Determine:
a) El área de dicha región R
b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje "y"
c) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 2y .
18. Determine el área de la región dentro de 222 senr y fuera de senr 2
19. Encuentre el área de la región limitada por las curvas 3x
xey , 0y , 9x .
20. Determinar el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por 13 xy , 0y , , 1x
alrededor de 1x .
21. Calcule el área de la región que es ex terna a la cardioide senr 22 e interna a la cardioide
cos22r .
22. Sea R la región limitada por 3xy , 121 xy , 10 xy . Calcule el v olumen del sólido que se
genera cuando la región R rota alrededor de la recta 8x .
23. Calcular el v olumen del sólido generado por la rotación de la región R limitada por xy , 2y , 0x
alrededor de la recta 2y .
24. Hallar el área de la región limitada por 022 xy , 01242 xy
25. Hallar el área de la región limitada por 3cos4r que está fuera del circulo 2r
26. Calcular el área de la región interior a la circunferencia ar y exterior a la rosa 3asenr , 0a .
27. Determine el v olumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por las curvas 3xy ,
xxy 22 alrededor de la recta 2x
28. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por las curvas 0;4 2 xxy ,
0y , 0x alrededor de la recta 2x
29. Hallar el área interior a cos6r y exterior a cos22r .
30. Determine el v olumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por xy 2ln , 0y , ex
alrededor del eje: a) ex
b) ey 2ln
31. Determine la longitud de la curva definida por las ecuaciones paramétricas
t
tey
sentex
t
t
0,cos
32. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región xyxyxR 14/, 2 alrededor
de la recta 4x
33. Calcule el área de la región comprendida entre 23 xy y la recta 12 xy
34. Calcular el v olumen del sólido que se genera al rotar la región comprendida entre 2xxy , 0y
alrededor de la recta 1y
35. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región 20/, xxyyxR alrededor de
la recta 2x .
36. Sea la región R definida por 2, / 0 11
xR x y x y
x
. Calcule si es posible:
a) El área de la región R.
b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 1y
37. Calcular si es posible la longitud de la espiral 0;2 er .
38. Encuentre el volumen del sólido generado mediante la rotación de la región limitada por xey , 0y ,
3lnx ; alrededor del eje x .
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral
120
39. Hallar el v olumen del sólido de rev olución que se genera al girar la región limitada por 0;1
xx
y y
los ejes coodenados; alrededor del eje y .
40. Si 2
2
1, / 0 0
1R x y y x
x
. Determine si es posible el área de la región R.
41. Si 2
3
1, / 0 1R x y y x y
x
. Si es posible calcule el v olumen del sólido que se
genera al rotar la región R alrededor del eje 1x .
42. Determine el valor del área de la región, en el primer cuadrante, limitada por
0
1
1
2
y
xy .
43. Encuentre el área de la región limitada por las
x
y
2
1, y los ejes coordenados en el primer cuadrante.
44. Calcular si es posible el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje x , donde
2, / 0 1 xR x y y y x y e .
45. Determine el v olumen del sólido no acotado que se obtiene al girar en torno del eje "y " la región bajo la curva
0;2
xey x.
46. Determine los valores de c, 0c , tal que el v olumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje
x, de la región limitada por el eje x, 1x y la función Cx
xf1
)( ex ista.
47. Sea R la región definida por 2, / ln 1 0R x y x y x e . Calcule si es posible:
a) El área de la región R. b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje y .
48. Determine el perímetro de la región ubicada en el plano polar, que está limitada por:
a) Una parte de la recta 2ln
b) El tramo de la cardioide cos1r para 2 , y
c) La espiral 2ln0,2 er