Aplicaciones de La Derivada a Las Ciencias Empresariales

Pequeños modelos matemáticos Consumo Nacional, Ingreso Nacional y Ahorro Elasticidad de la Demanda

ANÁLISIS MATEMÁTICO IAplicación de las Derivadas a las Ciencias

Empresariales

Carlos Felipe Piedra Cáceda.Licenciado en Matemática.

Con estudios de Maestría en Ingeniería Matemática.

17 de enero de 2014


Modelo de Costo Marginal

Función de Costo MarginalSi C(x) es la función de costo, entonces el costo marginal(razón decambio del costo) está dado por: C ′(x).

Costo Marginal =dCdx

C ′(x) ≈ costo de hacer un artículo más después de que x artículos sehicieron.

Función de Costo Promedio Marginal

Si el costo promedio está dado por: C̄(x) = C(x)x .

Entonces el costo promedio marginal es la derivada del costo promedio:

Costo Promedio Marginal =dC̄(x)

dx


Función de Ingreso MarginalSi I(x) es la función de ingreso, entonces el ingresomarginal(razón de cambio del ingreso) está dado por: I ′(x).

Ingreso Marginal =dIdx

I ′(x) ≈ ingreso de vender un artículo más después de que xartículos se vendieron.

Función de Ganancia MarginalSi G(x) es la función de ganancia, entonces la gananciamarginal(razón de cambio de la ganancia) está dado por: G ′(x).

Ganancia Marginal =dGdx

G ′(x) ≈ ganancia o pérdida de vender un artículo más después deque x artículos se vendieron.


Ejemplo 1Suponga que el costo total en cientos de dólares de producir x miles debarriles de una bebida está dado por:

C(x) = 4x2 + 100x + 500 , 0 ≤ x ≤ 50

Encuentre el costo marginal para los siguientes valores de x .

a) x = 5.

b) x = 30.

Ejemplo 2El costo total en miles de dólares de fabricar x generadores eléctricos estádado por:

C(x) = −x3 + 15x2 + 1000

a) Encuentre el costo promedio por generador.

b) Encuentre el costo promedio marginal.


Ejemplo 3Suponga que el costo en dólares de fabricar x cientos de artículosestá dado por:

C(x) = 3x2 + 7x + 12

a) Encuentre el costo promedio.b) Encuentre el costo promedio marginal.c) Encuentre el costo marginal.d) Encuentre el nivel de producción para el cual el costo

promedio marginal es cero.


Ejemplo 4La función de demanda para un cierto producto está dada por:

p =50,000− x25,000

Encuentre el ingreso marginal cuando x = 10,000 unidades y p está dadoen dólares.

Ejemplo 5Suponga que la función de costo para el producto en el ejemplo 4 estádada por:

C(x) = 2100 + 0,25x , 0 ≤ x ≤ 30,000

Encuentre la ganancia marginal de la producción del siguiente número deunidades:

a) x = 15,000.

b) x = 21,875.

c) x = 25,000.


Función de Consumo

Función de ConsumoLa función de consumo C = f (I) expresa una relación entre elingreso nacional total I y el consumo nacional total C . La funciónde consumo se caracteriza porque a medida que aumenta(odisminuye) el ingreso, el consumo aumenta(o disminuye) lo cual seda en menor intensidad y es llamada Propensión Marginal alConsumo que significa que es mayor que cero y menor que uno,donde la Propensión Marginal es la tasa de cambio del consumocon respecto al cambio en el ingreso disponible.Luego como la diferencia entre el ingreso I y el consumo C es elahorro S, entonces: S = I − C . Ahora al derivar a ambos lados conrespecto a I se obtiene la Propensión Marginal al Ahorro.


Propensión Marginal al ConsumoLa propensión marginal al consumo es la razón de cambio delconsumo con respecto al ingreso.

Propensión Marginal al Consumo =dCdI

donde: ”C” es el consumo nacional total.”I” es el ingreso nacional total.

Propensión Marginal al AhorroLa propensión marginal al ahorro indica que tan rápido cambiael ahorro con respecto al ingreso.

Propensión Marginal al Ahorro = 1− dCdI

donde: ”C” es el consumo nacional total.”I” es el ingreso nacional total.


Ejemplo 6Si la función de consumo está dada por:

C =5(2√

I3 + 3)

I + 10

a) Determine la propensión marginal al consumo cuando I = 100.b) Encuentre la propensión marginal al ahorro cuando I = 100.


Ejemplo 7Suponga que la función de consumo de un país está dada por:

C =10√

I + 0,7√

I3 − 0,2I√I

donde: C e I están en miles de millones de dólares.a) Encuentre la propensión marginal al ahorro cuando el ingreso

es de 25000 millones de dólares.b) Determine la razón de cambio relativa de C con respecto a I,

cuando el ingreso es de 25000 millones de dólares.


Elasticidad de la Demanda

La elasticidad de la demanda permite medir cómo un cambio en elprecio de un producto afecta la cantidad demandada; es decir, larespuesta del consumidor frente al cambio del precio. En términosinformales, la elasticidad de la demanda es la razón del cambioporcentual en la cantidad demandada que resulta en un cambioporcentual dado en el precio:

cambio porcentual en la cantidadcambio porcentual en el precio

La elasticidad es realmente una aproximación de la razón:

cambio relativo en la cantidadcambio relativo en el precio


Definición:Si: p=f(q) es una función de demanda diferenciable, la elasticidadpuntual de la demanda, es:

η =pq .

dqdp

Hay tres categorías de elasticidad:a) Cuando | η |> 1, la demanda es elástica.b) Cuando | η |= 1, la demanda tiene elasticidad unitaria.c) Cuando | η |< 1, la demanda es inelástica.


Ejemplo 8Determine la elasticidad puntual de la ecuación de demanda:

q = p2 − 40p + 400 , q > 0

cuando p = 15. ¿Qué clase de elasticidad es?

Ejemplo 9Si la demanda es: q

1000 +p8 = 1

Calcule la elasticidad de la demanda cuando:a) p = 2.b) p = 4.c) p = 6.

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