Aplicaciones de la Ecuación de Planck

La fórmula de Planck es una de las más frecuentemente usadas debido a su simplicidad. Se obtiene mediante solución de una ecuación de balance de calor, bajo las siguientes asunciones:

1) El alimento está inicialmente en su punto de congelación pero no congelado.2) Las propiedades termo físicas como conductividad térmica, calor específico son constantes

en estado no congelado y cambian a otro valor constante, la densidad no cambia.3) Hay constante remoción de calor latente a temperatura constante y única.4) La transferencia de calor por conducción ocurre lentamente y ocurre en condiciones

pseudo-estables.5) Temperatura de congelación constante.6) El frente de congelación mantiene forma similar a la del alimento.

Examínese el siguiente esquema y balance de calor para una placa infinita:

La ecuación (1) representa la velocidad de transferencia de calor por convección, la ecuación (2) la velocidad de transferencia de calor por conducción, la (3) representa el calor latente de cristalización que es el que se transfiere por los mecanismos representados por (1) y (2); la ecuación (4) combina los

mecanismos de transferencia por convección y por conducción:

q h A (Ts – T1) (1) q T f T 1 ) (4) q K A (Tf - Ts) (2) x + 1 x K h

q A dx (3) dt

donde : q es la velocidad de transferencia de calor, h es el coeficiente de transferencia de calor por convección, A el área de la superficie de transferencia de calor, Ts la temperatura de la superficie, T1 la temperatura del medio envolvente, K el coeficiente de conductividad térmica, T f la temperatura de congelación, x el espesor de la capa congelada, la densidad del producto, el calor latente de cristalización, a el espesor de la placa y t el tiempo.

(4) (3)

t a/2

(Tf T1) dt x + 1) dx o o K h

tF (Tf T1) a 2 + a h

tF a 2 + a (5) donde tF es el tiempo de congelación (Tf T1) h

En el caso de un cilindro:

tF b 2 + b (6)(Tf T1) h

pero: b a/2

tF a 2 + a (Tf T1) h

La ecuación generalizada es :

tF Ra 2 + Pa (8) (Tf T1) h

donde:a diámetro de esfera o cilindro o espesor de placa

Placa infinita Cilindro infinito EsferaAmbas superficies expuestas Una superficie aislada

P 1/2 1 1/4 1/6R 1/8 1/2 1/16 1/24

Ejercicio: Calcular el tiempo de congelación de una placa de manzanas congeladas entre placas refrigeradas. Las placas están a – 30 oC y la placa es de 15 cm de espesor. El coeficiente de transferencia de calor superficial del cambiador de calor es 500 J/s.m2.C; la conductividad térmica de las manzanas congeladas puede estimarse de: 2,4p/100 + 0,26(100-p)/100 J/s.m.C donde p es el contenido de agua de manzana en porcentaje y es igual a 84%. El calor latente para la misma 280 KJ/kg y la densidad de 1040 kg/m3. Las manzanas se congelan a –2 oC.

Solución: usando la ecuación para placa infinita con ambas superficies expuestas

tF a 2 + a (Tf T1) h

2,4p/100 + 0,26(100-p)/100 100-84)/100

tF x280 x10 3 horas (-2+30) 8x2,06 2x500

Problema. resolver el problema 2 pero ahora con el producto empacado en cartón de 1mm de espesor. La conductividad térmica del cartón es 0,06 J/s.m.C

Solución: el espesor del cartón es, e = 0,001 m

La resistencia del cartón, e = 0,001 m = 0,0167 m 2 .s.C K 0,06 J/s.m.C J

y la resistencia total incorporando el coeficiente superficial:

1 = 1 + e = 1 + 0,0167 = 0,0187 m 2 .s.C U h K 500 J

de donde: U = 53,48 J/m2.s.C; y el tiempo de congelación:

tF x280 x10 3 horas (-2+30) 8x2,06 2x53,48

Cuando la ecuación de Plank se aplica a una geometría tipo ladrillo o de bloque deben hallarse los valores de P y R a partir de la carta siguiente:

Problema. Una pieza de carne en forma de placa se congela en un congelador de placas a –34 oC. Cuánto tardará congelar esta carne si la placa tiene 10 cm de espesor?. Algunos datos importantes son: h = 0,125 KW/m2.K; K = 1,6 W/mK (carne congelada); J/kg; kg/m3; punto de congelación de la carne = -1,7 oC.Solución:tF Ra 2 + Pa donde P = ½ y R = 1/8 = 0,125 (Tf T1) h

tF = 256x1090 (0,1) 2 + 0,5x 0,1 x (0,78 + 0,4) = 10 194 s = 2,83 hrs -1,7+34 x10-3 0,125

Las limitaciones de la ecuación de Plank son obvias: asume algún valor de calor latente y no considera la remoción gradual del mismo en un rango de temperaturas durante el proceso de congelación. Usa sólo el punto inicial de congelación y no el tiempo requerido para retirar calor sensible sobre el punto inicial de congelación. Asume conductividad térmica constante para la región congelada. Asume que el producto es fase líquida total

bibliografia

http://www.slideshare.net/edwargonzalesguzman/savedfiles?s_title=apuntesdecongelaciondealimentos&user_login=alanrobless

http://mazinger.sisib.uchile.cl/repositorio/lb/ciencias_quimicas_y_farmaceuticas/castroe02/parte5a.html