APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.docx

7/26/2019 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.docx

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DOR TAPIA, FERNANDO. CUBAS BENAVIDES, KEVIN . LORRN MUSAYN, LEONARDO. SAAVEDRA SALAZA

APLICACIONES DE LASECUACIONES

DIFERENCIALES


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DEDICATORIA

El presente trabajo de investigacin

lo dedicamos: A nuestros padres; a quienesles debemos todo lo que tenemos en estavida y nos brindan su amor y dedicacin .ADios, ya que gracias a l tenemos esospadres maravillosos, los cuales nos apoyanen nuestras derrotas y celebran nuestrostriunfos. A nuestro docente quien esnuestra gua en el aprendi!aje, d"ndonoslos #ltimos conocimientos para nuestrobuen desenvolvimiento en la sociedad, comoprofesiones a la vanguardia. $ a todo aquelque est dispuesto a seguir en la luc%aconstante de e&pandir sus conocimientos.

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AGRADECIMIENTO

A todas las personas que de una u otraforma nos proporcionaron losconocimientos necesarios para plasmarlos

en este trabajo, ya sea de manera fsica ovirtual, sin ellos nada de esto %ubiera sidoposible.

!E"#$%&%$ '()'*+ P-%/ 1


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OBJETIVO

'lantear ejercicios de aplicacin referentes al tema de lasEcuaciones Diferenciales aplicadas a nuestra carreraprofesional de (ngeniera )ivil.

Anali!ar y dar solucin a los problemas planteados conreferencia a las Ecuaciones Diferenciales, pertenecientes aeste tema de e&posicin.

U "2(3* * "( #*4%($'( ( $(/5%6/6 / '$/47" 6( 5/ 8/-%/, "%* / '$/47"6(5 "26*$, 6('($8%/#%9 : '$/&/;* 62$* P-%/


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PREFACIO

El presente trabajo de investigacin esta dirigido a los alumnosque estudian su primer curso de ecuaciones diferenciales.

Debido a que el trabajo aqu presentado se ajusta totalmente al

contenido del curso de *atem"tica ((( de la Escuela 'rofesionalde (ngeniera )ivil, esperamos que tenga un gran alcance, dada laalta poblacin estudiantil con que cuenta nuestra Escuela'rofesional.

+os ejercicios resueltos cuentan con un te&to f"cil decomprender que le permitir"n obtener y desarrollar sus

%abilidades para plantear y resolver ecuaciones diferencialesaplicadas al campo que abarca nuestra carrera profesional de(ngeniera )ivil.

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NDICE

DED()A-(A................................................................................................0

A/ADE)(*(E0-.........................................................................................1

OBJETIVOS......................................................................................................@

CAPTULO I.....................................................................................................

CONCEPTOS BSICOS....................................................................................

Y DEMOSTRACIONES......................................................................................

1. )-0)E'-2 342()-2 $ DE*-2A)(-0E2..............................................

1.1. 'resin en los lquidos 5'6......................................................................

Demostracin.............................................................................................

1.7. Empuje 5E6..........................................................................................

1.8. 'eso Aparente 59a6.............................................................................

Demostracin...........................................................................................

1.. )entro de /ravedad...........................................................................

1..


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7..7 E2A3(+(DAD -A)(-0A+.....................................................01

7..7.1.? Estable.?..................................................................................01

7..7.7.? (nestable.?..............................................................................01

7..7.8.? (ndiferente.?...........................................................................0@7.= Estabilidad de un 3arco......................................................................0?

7.=.1. Demostracin................................................................................... 0?

'-3+E*A2 E2@E+-2..............................................................................1

'roblema 0 1.............................................................................................1

'roblema 0 7.............................................................................................10

'roblema 0 8.............................................................................................10

'roblema 0 .............................................................................................10

'roblema 0 .............................................................................................10

)-0)+@2(-0E2........................................................................................... 11

ANEOS........................................................................................................1@

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CAPTULO

I

EJERCICIOS SOBRE

ECUACIONESDIFERENCIALESAPLICADAS A LAINGENIERA CIVIL

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1. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

DE PRIMER ORDEN

1.1. Tanques agitados

)uando se agrega agua a un tanque agitado, tal como se muestra en lafigura inferior, se puede obetner una ecuacin diferencial de primer orden,tal ecuacin se puede obtener al momento de %acer un balance de masa,energa o momentum.

!E"#$%&%$ '()'*+ P-%/


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Bamos a comen!ar con un ejemplo sencillo de llenado y vaciado de untanque cilindrico, agitado, como en que se muestra en la figura anterior,donde el vplumen del tanque vara seg#n los flujos de entrada y de salida altanque.

@n balance de masa en el tanque se obtiene al %acer un an"lisis de loque entra y sale del tanque, generando as el planteamiento de la siguienteecuacin:

Acumulacin de

masa enel tanque

Periodode tiempo

=Flujo msico que

entraal tanque

Periodode tiempo

Flujo msicoque

sale del tanque

Periododetiempo

!

Cantidad demasaque

se generaen eltanquePeriodode tiempo

Cantidad demasa que

se consume enel tanquePeriodo de tiempo

C5Ec. 16

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El an"lisis anterior se puede %acer sobre alg#n componente enparticular o sobre la masa total en cuestin, el mismo tipo de ecuacin aplicaen el caso de tratarse de un an"lisis de energa o de momentum.

'or ejempli, si utili!amos la ecuacin 516 de la figura anterior, y%acemos un balance total de masa tendremos:

d (V)dt

=FiFs+Fg+Fc

Donde :

Fi = )antidad de masa que entra al tanque.

Fs = )antidad de masa que sale del tanque.

Fg = )antidad de masa que se genera en el tanque.

Fc = )antidad de masa que se consume en el tanque.

t = iempo.

= Densidad de la me!cla del tanque.

V = Bolumen de la me!cla del tanque.

E"e#$%o 1&

2upongamos que se tiene un tanque agitado, al cual entra agua con unavelocidad de .7 m8s, y sale con una velocidad de .1 m8s. Determinae sila altura del tanque despus de que %an transcurrido 8 segundos, si laaltura inicial del tanque era de 1.F m, y el tanque tiene forma de un cilindrorecto, con un "rea de seccin transversal de 1. m7.

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So%u'i(n&

Al %acer un balance de masa, llegamos a la ecuacin 576, sin los trminos degeneracin ni consumo, pues no %ay reaccin qumica en el tanque, aspi quetenemos:

d (V)dt

=FiFs

+uego, sustituimos cantidades en esta ecuacin y obtenemos:

d (V)dt

=[0.2(m3

s)x1000(Kgm3 )][0.15( m3

s)x 1000(Kgm3 )]

d (V)

dt =0.05(1000)(Kgs)

d (V)

dt =50(Kgs)

As se tiene que:

d (V)dt

= 50

1000

d (V)dt =0.05

'or lo que esta #ltima ecuacin se resuelve f"cilmente por separacin devariables, dando como resultado:

V = 0.05t + C

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$ con la condicin inicial %56 G 1.F, se tiene entonces:

V = Ah = 0.05t + C

% G 1.F G0.05t+C

A 0.05(0)+C

1.5

As que:

) G 7.H y por lo tanto B G .;t I 7.H

Entonces el valor de % despus de que %an transcurrido 8 segundos es:

% G0.05(30 )+2.7

1.5

RPTA& +a altura del tanque despus de 8 segundos es ) = *.+ #

Ejemplo 2:

)onsidere los dos tanques de la figura. (nicialmente el tanque 1, contiene7 litros de solucin salina en la que se %an disuelto Jilos de sal. Eltanque 7, que tiene litros de capacidad, contiene 1 litros de solucin

salina con concentracin de sal de1

25 Jilos por litro. En el instante tG

se abren simult"neamente las llaves A, 3, ) y D. 'or Aentra solucin con

concentracin de

1

10 Jilos por litro a 1 litros por minuto. 'or 3pasa lasolucin del tanque 1 al tanque 7 a 1 litros por minuto. 'or ) entra aguapura a 7 litros por minuto y por D sale solucin a = litros por minuto.

Determinar la cantidad de sal en el tanque 1 en un tiempo t.

!E"#$%&%$ '()'*+ P-%/ 1


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Soluci!:

2ea x (t) la cantidad de sal en el tanque 1 en el instante t El ritmo de

entrada al tanque 1 es de K1

1010 Jilos de sal por minuto K y el ritmo de

salida es de K 1 litros por minuto porx (t)200 "

Entonces:d (x )

d (t)+

x

20

=1 Ecuaci n dierencial lineal!

2olucin de la Ecuacin Diferencial:

1 P (t)= 1

20"# ( t)=1

7 Lallamos el


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F ! $ !=et

20

8d

dt[e

t

20 ! x ]=1 ! et

20

ddt

[ et

20 ! x ] dt= et

20 dt

et

20 ! x=20et

20+C

x ( t)=20+C !et20

Como x (0 )=40

40=20+C !e0

De donde: C=20

RESPUESTA x (t)=20+20.et20

1.*. Le, de Ne-ton de en/ia#iento

+o ley de 0eMton de enfriamiento menciona que la velocidad con quese enfria un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura yla temperatura del medio donde se encuentra. 2upongamos que

representa la tempratura de un objeto en cual instante N ' O, entoncesd%

dt

es la velocidad con que se enfria el objeto, y est" dado por:

!E"#$%&%$ '()'*+ P-%/ ?


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d%

dt=&(%%m)

Donde J es una constante de proporcionalidad y %m es la temperatura delambiente.

Ejemplo "

@na varilla de acero corrugado a una temperatura de 1< se pone en uncuarto a una temperatura constante


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5t6 G c e&t

5t6 G 1 e&t

576 G ana6:

)2= C G 10

6(361117) G 106

. 244 de donde :

) - 103

. 15,6

Res$uesta& El campamento de base se encontraba

apro&imadamente a15.600

pies de altura.

Ejemplo &

2e est" celebrando una fiesta en una %abitacin que contiene 1800 pies

c#bicos de aire libre de mon&ido de carbono. En el instante t=0

variaspersonas empie!an a fumar. El %umo, que contiene un seis por ciento de

mon&ido de carbono, se introduce en la %abitacin a ra!n de 0,15 pies

c#bicos por minuto, y la me!cla, removida por ventilacin, sale a ese mismoritmo por una ventana entreabierta. P)u"ndo deber" abandonar una personaprudente esa fiesta, si el nivel de mon&ido de carbono comien!a a serpeligroso a partir de una concentracin de 0,00018 Q(ln0,99-0,003)

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Soluci!

2ea C( t) la cantidad de mon&ido de carbono presente en la %abitacin

en un instante t

El ritmo de entrada es 0.15 . 0,06 G 9 . 103

.

El ritmo de salida es0,15.C(t)

1800 G5C(t)

6.104 .

Entonces, C +( t) G 9 . 103

5C(t)

6.104

)omo esta es una ecuacin lineal, la solucin es:

C( t) G e 5dt

6.104

5 9 . 103

e 5dt

6.104

dt+C

G e 5dt

6.104

5 9

.10

3

e 5dt

6.104

dt+C

G54.10

5 I Ce5 t6.10

4

)omoC(0) G 0, C( t) G 1F 51 e

5t6.10

4

6


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+uego, 18 . 105

G

1

108

1800 e

5t6.10

4

, de donde

t G1

6.104 !5

ln 18

2!10

3

18.6

t G

16.10

4

5 ln 0,003

t =36

RESPUESTA& 'or lo tanto, una persona prudente debera

abandonar la fiesta a los 36 minutos

Ejemplo ':

2eg#n la +ey de orricelli, la rapide! con que baja el agua en un tanque enforma de cilindro vertical que se vaca es proporcional a la ra! cuadrada dela profundidad del agua en el tanque. (nicialmente, el agua tiene unaprofundidad de R pies y un tapn es retirado en el tiempo t=0 5%oras6.

Despus de una %ora la profundidad %a descendido a 4 pies. P)u"ntotiempo tardar" el agua en salir del tanqueQ

Soluci!:

Sea ) (t) la altura del agua en el tanque en el instante t !

Entonces, )+= &) , de donde 2)= &t+C !

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Como ) (0 )=9, tenemos que C=6

y como ) (1 )=4, &=2.

As, ) (t)=

62t1

2

t

32

Finalmente, ) ( t)=0 3t=0 t=3.

o! lo tanto, el tanque demo!a!" # $o!as en %acia!se&

Eejmplo (

2e sabe que un cierto material radioactivo se desintegra proporcionalmente

a la cantidad presente. 2i inicialmente %ay miligramos de materialpresente y despus de dos %oras se observa que el material %a perdido el1T de su masa original, %allar:

a6 @na e&presin para la masa de material presente en un momento t

b6 +a masa despus de cuatro %oras

c6 El tiempo para el cual el material se %a desintegrado en la mitad de sumasa inicial.

Soluci!:

a) '(t) = mili!amos de mate!ial en el instante t

dx

dt=&x ( t)

U "2(3* * "( #*4%($'( ( $(/5%6/6 / '$/47" 6( 5/ 8/-%/, "%* / '$/47"6(5 "26*$, 6('($8%/#%9 : '$/&/;* 62$* P-%/


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dx

x (t)=&dt

ln

(x ( t)

)=&t+C

C e&t

x (0 )=50

x (0 )=50.50=C 45=50e2&

2&=ln|4550|&=0.0526803

x (2 )=4545=c e2&

x ( t)=50e0.0526803 t

*x (4 )=50e0.0526803x4=40.5miligramos

c) x ( t)=25

25=50e0.0526803 t

e0.0526803t=0.5

espuesta: 13.1576)oras!

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*. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

DE ORDEN SUPERIOR

Ejemplo )

Determinar la carga critica para una barra delgada articulada en lose&tremos, cargada con una fuer!a de compresin a&ial en cada e&tremo. +alnea de accin de las fuer!a pasa por el centro de gravedad de la seccinde la barra.

Soluci!:

+a carga critica se define como la fuer!a a&ial suficiente para mantener a labarra en una forma ligeramente deformada. 3ajo la accin de la carga ', labarra tiene la forma fle&ada representada en la figura.

'ara que se produ!ca la fle&in lateral es necesario, individualmente, que une&tremo de la pueda moverse a&ialmente respecto al otro. +a ecuacindiferencial de la curva deformada es:

U "2(3* * "( #*4%($'( ( $(/5%6/6 / '$/47" 6( 5/ 8/-%/, "%* / '$/47"6(5 "26*$, 6('($8%/#%9 : '$/&/;* 62$* P-%/


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1

(=E$d

2/

dx2 6

Aqu, el momento flector en el punto A de coordenadas 5&,y6 no es m"s quele momento de la fuer!a ' aplicada en el e&tremo i!quierdo de la barra,respecto a un eje por el punto A perpendicular al plano.

El momento flector es:

(=P/

eempla!amos en 516:

2

P/=E$d

2/

d2x

6

2i %acemos que:

3

PE$

=K2 6

Esta ecuacin se transforma en:

d2/

dx2+&2 /=0 (4)

esolviendo la ecuacin:

/00+&2/=0Ecuacion1omog2nea deCoeicientesConstantes!

Ecuacin Au&iliar: m2+&2=0

m2=&2

m1=+&i"m2=&i

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)aso (((:

3 ! F ! 3 != {e0x

cos (&x )" e0x

sen(&x )}

/=C1cos (&x )+C2 sen ( &x) 6

Determinamos C1/C2 .

En el e&tremo i!quierdo de la barra, /=0 cuando x=0 , sustituyendolos valores en 56 se tiene:

0=C1 cos (&.0 )+C2 sen(&.0)

C1=0

En el e&tremo derec%o de la barra, /=0 cuando x=4 , sustituyendo lo

valores en 56 se tiene:

0=C1 cos (& ! 4 )+C2 sen(&4)

0=C2 sen(&4)

Evidentemente, C2=0 sen (&4 )=0 y es nulo en todos los puntos y tenemos

solamente el caso trivial de una barra recta, que es la configuracinanterior a producirse el pandeo. )omo esta solucin no es de nuestrointers, tomaremos:

sen (&4)=0(6)

'ara que sea cierto debemos tener:

&4=n5 radianes (n=1,2,3,4, )(7)

U "2(3* * "( #*4%($'( ( $(/5%6/6 / '$/47" 6( 5/ 8/-%/, "%* / '$/47"6(5 "26*$, 6('($8%/#%9 : '$/&/;* 62$* P-%/


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2ustituyendo 586 en 5H6 obtenemos:

P

E$4=n5

P=n25

2E$

42

(8)

(ndudablemente, el menor valor de esta carga P corresponde a n=1 .

Entonces tenemos el primer modo de pandeo, en que la carga critica esta

dado por:Pcr=

52E$

42

(9)

Es la llamada carga de pandeo de Euler para una columna con e&tremosarticulados. +a forma fle&ada correspondiente a esta carga es:

/=C2! sen P

E$ x (10)

2ustituyendo en esta ecuacin el valor de 5R6, obtenemos:

/=C ! sen(5x4)(11)

'or tanto, la deformacin es un sinusoide. A causa de la apro&imacinadoptada en deduccin de la ecuacin 516, no es posible obtener la amplitud

del pandeo, representada por ) en la ecuacin 5116.

)omo se puede ver en la ecuacin R, el pandeo de la barra se producerespecto al eje de la seccin para el cual + adopta un valor mnimo.

!E"#$%&%$ '()'*+ P-%/ 0


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Ejemplo *+

@n cilindro circular recto de 7 metros de radio esta verticalmentesumergido en agua cuya densidad es 1 Jgm8. 2i se empuja %acia abajo yse suelta tiene un periodo de vibracin de 1 segundo. Lallar el peso delcilindro.

Soluci!:

2ea positiva la direccin %acia abajo. $ sea , metros el movimiento del

cilindro en el tiempo t. 2eg#n el principio de Arqumedes: odo cuerposumergido, total o parcialmente en un fluido e&perimente un empuje %aciaarriba igual al peso del fluido desalojado.

Entonces la variacin que corresponda a la fuer!a de flotacin es:

E==(5 r2/ )

E=

(1000

&g

m3

)(22m2) 5/

U "2(3* * "( #*4%($'( ( $(/5%6/6 / '$/47" 6( 5/ 8/-%/, "%* / '$/47"6(5 "26*$, 6('($8%/#%9 : '$/&/;* 62$* P-%/


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E=40005/ &g

'or lo tanto por la ley del movimiento vibratorio:

6g

! d

2

/d

2x=E

6

9.8!d

2/

dx2=40005/

d2/

dx2+

39200

6 5/=0 Ec !di !lineal )omogenea de coeicientes constantes !

esolviendo:

Ecuacin )aracterstica:

m2+

39200

6 5=0

m2

=39200

6 5

m1=+39200 5

6 i" m2=

39200 5

6 i

)aso (((:

3 ! F ! 3 != {e0xcos (39200 5/6 t)"e0xsen(392005/6 t) }

/=C1cos (39200 5/6 t)+C2 sen (392005/6 t)

!E"#$%&%$ '()'*+ P-%/ 1


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+uego por ser Bibracin libre sin amortiguamiento se tiene que el periodo:

%= 2 5

39200 5/6

%=256

39200

1=256

39200

6=

39200

4 5

Res$uesta 6=3119.43&g !

Ejemplo **:

@na masa de 7lb que est" sujeta a un resorte elonga a un resorte =

pulgadas, luego se coloca la masa %acia un punto que est" ubicado a F

pulgadas por debajo de la posicin de equilibrio con una velocidad %acia

U "2(3* * "( #*4%($'( ( $(/5%6/6 / '$/47" 6( 5/ 8/-%/, "%* / '$/47"6(5 "26*$, 6('($8%/#%9 : '$/&/;* 62$* P-%/


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arriba de4

3 t

s . Determinar la posicin de la masa despus de 7

segundos de soltar la masa.

Soluci!:

)onsideremos el siguiente esquema del problema:

!E"#$%&%$ '()'*+ P-%/ 11


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)omo se trata de un movimiento libre amortiguado, obedece a la siguiente ecuacion

diferencial:

d2x

d t2+

&

mx=0

A%ora para simplificar el ejercicio convertimos a las unidades deOt

N las

elongaciones

12=1

2t

66!1 t

12=2

3t

88!1 t

ambin tenemos otros datos del problema:

x+(0)=43t

x (0)=2

3t

A%ora, debemos determinar las magnitudes de N & y m N

U "2(3* * "( #*4%($'( ( $(/5%6/6 / '$/47" 6( 5/ 8/-%/, "%* / '$/47"6(5 "26*$, 6('($8%/#%9 : '$/&/;* 62$* P-%/


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'ara determinar la magnitud de & , consideraremos el siguiente diagrama

de cuerpo libre en la


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d2x

d t2+

4

1

16

x=0

d2x

d t2+64x=0

'rocedemos a solucionar la ecuacion diferencial:

2i decimos que P=dx

dt , tenemos:

P2+64=0

P2=64

64+

P=

8 i+

P=

E+ 2(2E*A


37/38

x +( t)=8C1 sen 8t+8C2cos8 t

'ero por datos iniciales del problema tenemos que:

x ( t)=C1cos8t+C2 sen8 t , pero x (0)=2

3t

2

3=C1 cos (0)+C2 sen(0)

23=C1

Adem"s:

x +( t)=8C1 sen 8t+8C2cos8 t , pero x+(0)=4

3t x+(0)=4

3t x+(0)=4

3t

43=8C1 sen(0)+8C2 cos (0)

43=8C2

16=C2

$ la ecuacion diferencial queda de la siguiente manera:

x ( t)=2

3 cos8t1

6sen8 t

!E"#$%&%$ '()'*+ P-%/ 1


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