Aplicaciones de Las Funciones de Green en Problemas de FM

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Fundada en 1551

FACULTAD DE CIENCIAS FSICAS

E.A.P. DE FSICA

APLICACIN DE LAS FUNCIONES DE GREEN EN PROBLEMAS DE LA FSICA - MATEMTICA

MONOGRAFA

Para optar el Ttulo Profesional de:

LICENCIADO EN FSICA

AUTOR

ABEL ROLANDO JULCA QUISPE

LIMA PER 2005

AGRADECIMIENTOS

Esta monografa tcnica elemento para optar el titulo

profesional de Fsica de la Universidad Nacional

Mayor de San Marcos (Facultad de Ciencias Fsicas)

ha sido posible gracias a la asesora del Profesor

MsC. Rgulo ngel Sabrera Alvarado.

Agradecimiento especial debo expresar a mi familia

en especial a mi seora madre y a mis hermanos

Vilma y Ruben por su apoyo y comprensin para

hacer posible la culminacin de mi carrera.

Tambin, debo expresar mi agradecimiento a los

profesores, compaeros y amigos de la Facultad por

su apoyo solidario y franca amistad.

DEDICATORIA

A mi familia, madre y hermanos por el ejemplo de vida

INDICE

RESUMEN

I. INTRODUCCIN

II. FUNDAMENTO TERICO

2.1 Introduccin

2.2 Nociones bsicas

2.3 Ecuaciones mediante operadores

2.4 Definicin

2.5 Propiedades

2.6 Significado Fsico

III. APLICACIONES EN FSICA-MATEMATICA

3.1 Electrosttica

3.1.1 Ecuacin de Poisson

3.1.2 Problema de Laplace

3.2 Mecnica

Ejemplo N 01

Ejemplo N 02

Ejemplo N 03

CONCLUSIONES

BIBLIOGRAFA

Aplicacin de las Funciones de Green en Problemas de la Fsica Matemtica. Julca Quispe, Abel Rolando.

Derechos reservados conforme a Ley

Elaboracin y diseo en formato PDF por la Oficina General del Sistema de Bibliotecas y Biblioteca Central de la UNMSM

RESUMEN

En la presente monografa se exponen sucintamente la teora de las Funciones de

Green y algunas aplicaciones en la fsica - matemtica, especficamente en problemas

de Mecnica y Electromagnetismo; Por ejemplo en electromagnetismo se le ha aplicado

para hallar potenciales asociados a situaciones gobernadas por la ecuacin de Laplace

bajo condiciones de contorno, en Mecnica para hallar el movimiento del oscilador

armnico forzado, entre otros.

Desde su aparicin en 1825, la funcin de Green se ha convertido en una herramienta

alternativa para abordar problemas con ecuaciones diferenciales no homogneas bajo

ciertas condiciones de contorno; esta tcnica ha demostrado ser til en diversas reas de

la fsica clsica. Asimismo, gracias a los trabajos de George Green su creador - , es

que fue posible transformar los problemas con valores en la frontera en forma de

ecuaciones diferenciales a ecuaciones integrales utilizando funciones kernels de

integracin conocidas ahora como funciones de Green.

La importancia del mtodo de las funciones de Green radica en su simplicidad para

aplicarse en sistemas fsicos gobernados por ecuaciones diferenciales pero esto requiere

a la par una fuerte dosis de habilidad matemtica.

La utilidad de este mtodo ya hemos dicho se concentra en el campo de las ciencias

como fsica, matemtica, etc., pero tambin en ingeniera, rea en donde las funciones

de Green se conocen mas bien con el nombre de funcin Respuesta impulso

correspondiente a una entrada del tipo delta; Una vez hallada la respuesta impulso de un

sistema, la respuesta del sistema a cualquier entrada puede obtenerse a travs de la

convolucin de la respuesta impulso del sistema con la funcin entrada en el dominio

del tiempo [1].




El tema de las funciones de Green y sus aplicaciones en el campo de la ciencia y

tecnologa es un tema permanente de investigacin, pero esto requiere gran capacidad

matemtica y slidos conocimientos de los fundamentos fsicos del problema que se

desee abordar.




I. INTRODUCCIN

Las funciones de Green, se han constituido desde su aparicin en 1825 en una

poderosa herramienta de la fsica matemtica para resolver los problemas de la

electrosttica en principio, hasta abordar complejos temas de la materia condensada en

la actualidad.

Estas funciones deben su nombre a los trabajos del matemtico ingles George Green a

inicios del siglo XIX, fue el quien transformo los problemas con valores en la frontera

en forma de ecuaciones diferenciales a ecuaciones integrales ut ilizando funciones

kernels de integracin conocidas ahora como funciones de Green [2]. Posteriormente y

gracias a los trabajos del fsico britnico Paul Dirac por medio de su conocida funcin

delta, los adelantos en esta tcnica han beneficiado no solo a la fsica y matemtica sino

a la ciencia e ingeniera en general.

El concepto de funcin de Green es importante para resolver sistemas fsicos de la

naturaleza que pueden ser expresados mediante ecuaciones matemticas de tipo lineal.

As por ejemplo, en electromagnetismo, una funcin Green representa la respuesta de

campo debida a una fuente de carga puntual ubicada a distancia; en elastodinmica

viene a representar el campo desplazamiento debida a una fuerza impulsiva puntual y en

teora de seales en ingeniera elctrica representa la respuesta de un sistema lineal ante

una entrada impulsiva tipo delta, conocindose mas bien como la respuesta impulso del

sistema.

En la actualidad, las funciones de Green se han convertido elemento de investigacin

para descifrar nuevas propiedades de los materiales estudindolos a nivel cuntico.

Por su versatilidad, sencillez y gran rango de aplicaciones desde sistemas tan grandes

como la Tierra hasta las molculas el tema de las funciones de Green ser motivo de

permanente aplicacin en la fsica y ciencia en general.




II. FUNDAMENTO TEORICO 2.1. Introduccin

Las funciones de Green, deben su nombre gracias a los trabajos en Electrosttica

del matemtico ingles George Green a inicios del siglo XIX. Green transform las

ecuaciones diferenciales del electromagnetismo en ecuaciones integrales a travs de

funciones kernels de integracin denominadas funciones Green. As la funcin potencial

de Coulomb, es la funcin Green de la ecuacin de Poisson.

Histricamente el mtodo de las funciones de Green se deriva de una

generalizacin del teorema de la divergencia.

=V S

adxAVdxA )()(

siendo S superficie externa del volumen V.

Haciendo )()()( xxxA yf = en la expresin anterior, se llega a la expresin original

derivada por Green:

[ ] adnn

VdSV

-

=- fyyffyyf 22

siendo, n la normal exterior a la superficie S

A primera impresin esta expresin no parece ser de mucha utilidad, pero si se elige y

tal que )( 02 xx-= dy x0: punto al interior de V y considerando a la funcin f

tal que satisface la ecuacin de Poisson,

(0

2 )()(e

rf xx

-= )

Tenemos que:

adn

xn

xVdxxxS x

xx

x

Vx

-

+-=

fy

yfry

ef )()()()(

1)(

0

0

00

0




Esta ecuacin permite calcular el potencial en x0, conociendo en V y /n en la

frontera; esto ultimo no siempre es posible presentndose los siguientes casos:

o Si se conoce pero no /n en la frontera (Condiciones de contorno de

Dirichlet), entonces se elige de modo que = 0 sobre la frontera

+-=S x

x

Vx adn

xVdxxx 00

)()()(1

)(0

0

yfry

ef

o Si se conoce /n pero no sobre la frontera (condiciones de conto rno de

Neumann) se elige de modo que /n = 0 sobre la frontera

--=

S xx

Vx adn

xVdxxxf

yrye

f )()()(1

)(00

00

2.2. Nociones bsicas

Desde su introduccin en 1828, las funciones de Green se han constituido en una

importante herramienta matemtica para la solucin de problemas con valores en la

frontera, representando ser adems un elemento clave en el desarrollo de mtodos de

ecuaciones integrales con condiciones de contorno.

Una funcin Green es un kernel de integracin que puede emplearse para resolver una

ecuacin diferencial in homognea lineal ordinaria o parcial sujeto a ciertas

condiciones de contorno.

Primeramente se hace una breve descripcin de trminos elementales con que se

trabajar.

Ecuacin diferencial: Las ecuaciones diferenciales son modelos matemticos que

representan sistemas fsicos de la naturaleza.

Ecuacin diferencial lineal: En especial las ecuaciones diferenciales lineales (ordinarias

o parciales) representan sistemas reales asociados a problemas prcticos no solo de la

fsica sino de la ciencia e ingeniera en general.

Una ecuacin diferencial de segundo orden (en general de orden n) se dice que es

lineal si en la ecuacin: u +p(x)u+q(x)u = f(x)




es lineal la funcin desconocida u as como sus derivadas u, u

las funciones p, q , f son conocidas funciones de variable x

Si f(x) = 0 para todo x del intervalo dominio, la ecuacin se llama homognea

Si f(x) 0 la ecuacin se llama no homognea

f(x) se denomina tambin entrada

u(x) se denomina respuesta a la entrada incluida las condiciones iniciales o salida

Entrada Salida

Figura 1. Diagrama de entrada y salida sobre un sistema

Por ejemplo, si f(x) representa una fuerza mecnica o elctrica, entonces y(x) viene a

resultar un desplazamiento o una corriente respectivamente.

La solucin general viene dada por: u = uh + up

Donde:

uh : es la solucin de la correspondiente ecuacin homognea llamada tambin

solucin transitoria

up : es una solucin particular de la ecuacin no homognea llamada tambin

solucin permanente

Ecuacin diferencial lineal ordinaria: Ecuacin que contiene una o mas derivadas de una

funcin desconocida supongamos u(x), x: variable independiente

Ecuacin diferencial lineal parcial:

Ecuacin que involucra a una funcin desconocida de dos o mas variables u(x,y), as

como de sus derivadas parciales

Sistema

f(x) u(x)




(x) =

2.3. Ecuaciones mediante operadores.

Considrese una ecuacin diferencial lineal expresada en la forma general

L(x)u(x) = f(x)

donde L(x) es un operador diferencial auto-adjunto, u(x) es una funcin desconocida,

f(x) es una funcin conocida llamado tambin el termino no-homogneo.

Operacionalmente, la solucin a la ecuacin (1) es:

u(x)=L(x)-1 f(x) (2)

donde L-1 representa el inverso del operador diferencial L. Puesto que L es un operador

diferencial, es razonable esperar que su inversa tenga la forma de un operador integral,

as como las propiedades usuales,

LL-1 = L-1L = I (3)

donde I es el operador identidad. Mas especficamente, definiremos el operador inverso

como:

xdxfxxGfL = - )();(1

donde el kernel G(x;x') es la Funcin Green asociada al operador diferencial L[3].

Ntese que G(x;x') es una funcin bidimensional que depende tanto de x como x'. Para

completar la idea del operador inverso L-1, se introduce la funcin delta de Dirac como

el operador identidad I. Recordar las propiedades de la funcin impulso unitario o delta

de Dirac (x) a continuacin:

0, x 0

, x = 0

(5)

(1)

(4)




)0()()(

1)(

fdxxxf

dxx

=

=

-

-

d

d

Figura 2. Funcin impulso unitario o funcin delta

La funcin de Green G(x;x') luego entonces satisface

L(x)G(x;x) = (x-x) (6)

La solucin a la ecuacin (1) puede despus expresarse en trminos de la funcin de

Green como a continuacin

-

= xdxfxxGxu )();()( (7)

2.4 Definicin Una funcin de Green viene a ser el kernel de integracin asociado al operador

diferencial L en ecuaciones no homogneas con determinadas condiciones de contorno.

Dado L(x)u(x) = f(x), L: operador diferencial auto-adjunto y lineal, entonces

-

= xdxfxxGxu )();()(

en donde G satisface: L(x)G(x;x) = (x-x)




(8)

La ventaja de esta formulacin del problema, radica en que la funcin Green es

independiente de f(x), esto es, solo depende de la forma de la ecuacin diferencial y de

sus condiciones iniciales o de frontera[4].

Fcilmente se prueba que la ecuacin (7) representa la solucin a la ecuacin (1),

realizando la siguiente sustitucin como sigue:

-

= xdxfxxGLxLu )();()(

)(

)()(

)();(

xf

xdxfxx

xdxfxxLG

=

-=

=

-

-

d

Ntese que se han empleado las propiedades de linealidad en operadores diferenciales y

sus inversos correspondientes en adicin a las ecuaciones (4), (5), y (6) para obtener

esta simple demostracin.

2.5 Propiedades

1. Las funciones de Green satisfacen la ecuacin diferencial homognea -

asociada

al problema inhomogeneo inicial en todo el dominio excepto en x = x

L(x)G(x;x)=0

2. La funcin de Green es continua en x = x

Lim G(x;x)= Lim G(x;x) xxxx+

3. La derivada de la funcin de Green es discontinua en x = x

G(x;x+) G(x;x-) = - 1

4. La funcin de Green satisface las condiciones de contorno del problema

5. La funcin de Green es simtrica en los dos argumentos G(x;x)= G(x;x)




2.6 Significado fsico

Las funciones Green pueden admitir interpretaciones fsicas para una variedad

de operadores diferenciales que se encuentra en la fsica matemtica.

De la fsica bsica, se sabe que la funcin de Green expresa el potencial en un

punto x debida a una carga puntual ubicada en x' la fuente puntual [5] . As la

funcin Green depende exclusivamente de la distancia entre la fuente origen y

punto de calculo. Otras interpretaciones fsicas de la funcin de Green pueden

tambin admitirse. En elastoestatica, la funcin Green viene a representar el

desplazamiento en el slido debida a la aplicacin de una fuerza unitaria en otro

punto origen [6]. En termodinmica, la funcin Green representa la temperatura

en un punto de observacin debida a una fuente unitaria de calor aplicada en el

punto de ubicacin de la fuente. En general, viene a representar la respuesta de

un sistema lineal ante una entrada impulsiva tipo delta, conocida tambin en

Ingeniera como la respuesta impulso del sistema.

Entrada Salida

Figura 3. Representacin general de una

Funcin de Green G(x;x) de

un sistema

Sistema

(x) G(x;x)




(r1)

(r1,r2)

X

Y

Z

III. APLICACIONES EN FSICA-MATEMTICA 3.1 Electrosttica

Una manera de resolver los problemas de contorno en electrosttica es a travs de las

funciones de Green, denominndosele funcin de la fuente.

3.1.1 Ecuacin de Poisson

En presencia de las cargas del potencial electroesttico satisface la ecuacin no

homognea de Poisson

mientras que la funcin , que puede designarse como la funcin de Green, debe

satisfacer la ecuacin de Poisson con una fuente de punto en el punto definido por r2:

Siendo as, fsicamente es el potencial en r1 correspondiente a la fuente unitaria(0) en r2.

Figura 4. Funcin de Green como fuente de punto unitario

r2

r1

r12 = r1-r2

0

2

ery -=

)( 212 rr --= dj




Mediante el teorema de Green

-=- oyjjytyjjy dd )()( 222 Suponiendo que el integrando disminuye con mayor rapidez que r-2, se puede simplificar el problema al considerar un volumen tan grande que la integral de superficie desaparece, dejando as

22

22 tyjtjy dd =

-=-- 20

2212212

)(),()()( t

erj

tdy drrr

drrr

= 22210

1 )(),(1

)( trje

y drrrr

De otro lado:

)()41

(2 rr

dp

-=

En consecuencia, la funcin (funcin de Green) esta definida por

2121 4

1),(

rrrr

-=

pj

Luego, la solucin de nuestra ecuacin diferencial (Ecuacin de Poisson) es

-= 2212

01

)(4

1)( t

rpe

y drr

rr

En resumen, la funcin de Green, proporciona el efecto de una fuente de punto unitario

en r2 que produce el potencial en r1.

3.1.2 El problema de Laplace

Para toda funcin u, continua conjuntamente con sus derivadas primeras en un volumen

T, delimitada por una superficie S suficientemente suave y que tenga derivadas

segundas dentro de T, se halla que[7]:

-

-

=

T

GdudnG

unu

GMu ts 20 )(




Con: vR

MMGMM

+=0

41

),( 0 p

representa el potencial en el punto M debida a una carga puntual ubicada en M0 dentro

de una superficie conductora , conectada a tierra. 1/4R es el potencial de la carga

puntual en el espacio libre, en tanto v indica el potencial del campo de las cargas

inducidas en la superficie conductora [7].

As, la solucin para el problema contorno del tipo Dirichlet con 2 u = 0, es:

-=

-= ss dnG

fdnG

uMu )( 0 )(

= uf

Como aplicacin se trata el problema de Laplace para una regin de semiespacio no

acotado, es decir, hallar la funcin de la fuente para el semiespacio z > 0.

Ubiquemos en M0(x0,y0,z0) una carga unitaria, que crea en el espacio no acotado un

campo, cuyo potencial se determina por la funcin MMR 0

141p

Donde: 202

02

0 )()()(0 zzyyxxR MM -+-+-=

Se desprende fcilmente que el campo inducido v es el campo de una carga unitaria

negativa, ubicada en el punto M1(x0,y0,-z0), que es la imagen especular del punto M0 en

el plano z = 0 (Figura 5)

La funcin G, igual a 10

0 41

41

),(RR

MMGpp

-=

donde:

20

20

2000 )()()( zzyyxxMMR -+-+-==

20

20

2011 )()()( zzyyxxMMR ++-+-==




Se anula para z = 0 y tiene la singularidad en el punto M0

Calculemos 00 ==

-=

zz zG

nG

. Es evidente que

++

--=

31

030

0

41

Rzz

Rzz

zG

p

Haciendo z = 0, se halla que:

30

000 2 R

zzG

nG

zz p-=

-=

==

Luego, la solucin al problema de Laplace con condicin de Dirichlet se da por la

formula:

PPM

dPfR

zMu s

p =

0 0

)(21

)( 30

0

donde 0 es el plano z = 0, 0)( == zuPf , o bien

-

- +-+-= dxdyyxf

zyyxx

zzyxu ),(

)()(21

),,(2

320

20

20

0000 p

Donde:

23

20

20

20

00

)()(21

);(zyyxx

zMMG

+-+-=

p




3.2 Mecnica

Si abordamos el problema de las vibraciones forzadas en una cuerda con extremos fijos.

)(22

2

xfkdxd -=+ yy 0 x a

(0)= (a)=0

Aplicando separacin de variables, osea, asumiendo una solucin de la forma

= A(x)senkx + B(x)coskx

Se halla que:

=a

dyyxGyfx0

);()()(y

donde:

ksenkaxasenkysenk

yxG)(

);(-= 0 y x

ksenkayasenkxsenk

yxG)(

);(-= x y a

De otro lado, una solucin segn las propiedades de las funciones de Green, ser una

funcin tal que,

Por la propiedad 1, G(x;y) = Asenky + Bcosky 0 y x

Figura 5. Potencial en semiespacio (z>0) va funcin fuente




G(x;y) = Csenky + Dcosky x y a

Por la propiedad 4, G(x;0) = B = 0

G(x;a) = Csenka + Dcoska = 0

Por propiedad 2, Asenkx = Csenkx + Dcoskx

Por propiedad 3, kCcoskx kDsenkx kAcoskx = 1

Resolviendo este conjunto de ecuaciones, se tiene que

ksenkaxasenk

A)( -=

B = 0

senkakasenkx

kC

cos1-=

senkasenkxsenka

kD

1=

Luego entonces, ksenka

xasenkysenkyxG

)();(

-= 0 y x

ksenkayasenkxsenk

yxG)(

);(-= x y a

encontrndose resultados idnticos, que era lo que se deseaba demostrar.

Ejemplo N 01. Supongamos que deseamos resolver la ecuacin diferencial ordinaria,

mdv

dtR v f= - + (t)

que podra representar el movimiento de una partcula de masa " "m en un medio que

presenta resistencia (coeficiente R) bajo la influencia de una fuerza externa f(t), siendo

v(t) la velocidad de la partcula.

Figura 6. Movimiento de masa bajo resistencia




Primero consideremos el caso particular, que ocurre cuando la partcula est en

reposo en el tiempo t = t y entonces se pone en movimiento bajo la accin de una fuerza

sbita. Esto implica que la fuerza externa f(t) existe solamente durante un pequeo

intervalo de tiempo, digamos de t a t + Dt . Despus del tiempo t + Dt el movimiento

de la partcula es gobernada por la ecuacin homognea.

mdv

dtR v= - (t > t + Dt),

la cual, evidentemente, tiene la solucin

v A e R m t(t) ( / )= - (t > t + Dt).

No estamos muy interesados que sucede entre t y t + Dt, pero estamos

ciertamente interesados en el valor de A. En otras palabras, deseamos conocer el efecto

de la fuerza sbita sobre la partcula. Esto puede ser obtenida multiplicando la ecuacin

diferencial por dt e in-tegrando entre t y t + Dt :

m v v R v dt f dt[ ( ) ( )] (t) (t)t tt

t

t

t+ - = - +

++ Dt DtDt .

Si la fuerza sbita tiene un impulso I, entonces

f dt I(t)t

t + =Dt Asumiendo Dt ser muy pequeo, se podra esperar que la velocidad v(t) presente un

compor-tamiento esencialmente como el mostrado en la Fig.7 as que v(t) durante la

aplicacin de la fuerza sbita podra no haber sido excesivamente grande. Si esto es as

podramos obviar el trmino R v dt(t)t

t + Dt . Ahora usemos

v v A e A eR m R m( ) , ( ) ( / )( ) ( / )t t t t= + = @- + -0 Dt Dt




Fig.7 Fig.8 Entonces m A e IR m- =( / )t , la que proporcionara la solucin idealizada

vm e R m t

(t)(t )

(I / ) (t )( / )( )=

- -0 t

tt

Ilustrada en la Fig.8. El significado fsico de nuestra aproximacin es que hemos

asumido que el impulso I de la fuerza sbita ha impartido a la partcula un momento

lineal p = mv = I tal que la velocidad inmediatamente despus de la aplicacin de la

fuerza sbita fue I/m, y en-tonces la partcula fue detenindose bajo la accin de la

resistencia del medio. Hemos obviado la prdida de momento durante la aplicacin de

la fuerza sbita, contenida en la integral R v dt(t)t

t + Dt , lo cual es muy razonable si Dt es pequea.

Ahora supongamos que la partcula experimenta la aplicacin de dos fuerza

sbitas, de impulsos I1 y I2 en los tiempos t1 y t2 respectivamente. Evidentemente,

superponiendo las so-luciones correspondientes a cada una de las fuerzas, obtenemos el

resultado

vI

me t

I

me

I

me

R m t

R m t R m t

(t)

(t )

( )

(t )

( / )( )

( / )( ) ( / )( )

=

- - t t tt

t 00

asumiendo v(t) = 0 y f(t) = 0 despus de t0.

El razonamiento anterior, por supuesto, no prueba que est frmula sea vlida. Sin

embargo podramos tomarlo como un punto de partida, y una vez que ella ha sido

escrita podemos veri-ficar que es realmente una solucin de la ecuacin diferencial.

mdv

dtR v f

(t)(t) (t )= - + > t0

sujeto a la condicin v(t) = 0 para t = t0

dv

dt

R

m

f d

me

f

mR m t

t(t) ( ) (t),( / )( )= - +- - t t t

t0

o

dv

dt

R

mv

f

m

(t)(t)

(t)= - +




lo cual significa que v(t) satisface la ecuacin diferencial. La condicin v(t0) = 0 es

asimismo evidente.

Nota. La forma apropiada de escribir la solucin obtenida es :

v

me f d

o

tR m t

oo

(t)

(t ),

( ) (t ),( / )( )=

- -

0

1

t

t t tt

t

o alternativamente,

v G f d todo t),t

(t) (t , ) ( ) (para=- t t t

donde

G

me R m t

(t , )

(t ),

(t ).( / )( )t

t

tt=

- -

0

1

La funcin G(t; ) representa f sicamente la respuesta (en este caso la velocidad) al

tiempo t a un impulso unitario aplicado en el tiempo y se le denomina comnmente

funcin influencia o funcin Green.

Ejemplo N 02. Ahora consideremos la ecuacin diferencial de segundo orden

d x

dt

dx

dtx

f

mo

2

222+ + =l w

(t),

que representara el movimiento de una oscilador armnico amortiguado bajo la accin

de una fuerza externa f(t). Nuevamente asumamos que f(t) = 0, excepto para un impulso

I aplicado instantneamente al oscilador en el tiempo t mientras estaba en reposo.

El movimiento para t > t es dada por la solucin de la ecuacin homognea

x C e t C e sen tt t(t) c os= +- -1 2

l lw w




donde w w l= -o2 2 (asumiendo un amortiguamiento pequeo). Como resultado de la

apli-cacin de la fuerza sbita en t = t, esperamos que x(t) es an cero inmediatamente

despus del tiempo t = t, pero la velocidad v(t) = dx/dt es dada por v(t + 0) = I/m. Estas

condiciones de-terminan las constantes C1 y C2 que nos conducen a

xI

me sent(t)

.(t ) (t ).( )= - >- -

ww t tl t

Evidentemente, hemos evaluado la funcin de Green. Para hallar la solucin en el caso

general, reemplazamos I por f(t)dt e integrando sobre t :

-= --t t

o

dftsenem

txt

tl tttww

)()(1

)( ,

y podemos ahora comprobar que esta expresin en realidad es la solucin del problema.

Nota : La funcin de Green

G e sent(t , ) (t )( )tw

w tl t= -- -1

representa la solucin (para t > t) para el caso de un impulso aplicado dentro de un

intervalo de tiempo infinitamente corto cercano a t. Evidentemente, la fuerza en

realidad para esto debe ser infinita.

m

Figura 9. Oscilador armnico amortiguado forzado




Por lo mismo puede ser representada por una funcin convencional f(t), tal como

f(t) = d(t - t)

y tratar el problema desde el punto de vista de la teora de distribuciones. En ste

sentido, la funcin de Green G(t, t) deber satisfacer la ecuacin diferencial

d G

dt

dG

dtG

mo

2

222

1(t , ) (t , )(t , ) (t )

tl

tw t d t+ + = - ,

donde G(t, t) es tambin considerada como una distribucin.

Ejemplo N 03 Consideremos una cuerda tensa sometida a una carga distribuida

externa dada por F(x) (fuerza por unidad de longitud). El desplazamiento " "u de la

cuerda es una funcin solamente de " "x y satisface la ecuacin diferencial

Td u

dxF

2

2

(x )(x )= o

d u

dx

F

Tf

2

2= =

(x )(x )

Las condiciones de contorno son, las usuales, u(0) = u(L) = 0.

Solucionemos el problema para una fuerza concentrada F0 en el punto x = x.

Evidente-mente, esto implica

)()( xd -= xTF

xf

y busquemos la solucin de la ecuacin en la forma

)();( xdx -= x

dxxGd

,

que llamaremos la funcin de Green para nuestro problema. .Por supuesto, requerimos que

0);();0( == xx LGG , Note que G(x;x) satisface la ecuacin diferencial homognea para todo x excepto x = x.

Por lo tanto ella deber tener la forma




)0();( xx += xparaBAxxG , y la condicin de contorno en x = 0 implica B = 0, mientras A queda indeterminado.

Similarmente,

)('');( += xparaBxAxG xx , Ahora notemos que dG/dx no requiere ser continua en x = x. Como en realidad

esperbamos la cuerda tiene el comportamiento de la cuerda mostrada en la Fig.10; ella

presenta un salto de discontinuidad en la pendiente. Para hallar la magnitud de este

salto, integremos la ecuacin diferencial (la ecuacin diferencial para G)

y la condicin de contorno en x = L implica que

B A L' '= -

mientras que A queda indeterminado. Dado que G(x;x) fsicamente representa una

posible, aunque algunas veces idealizada, forma de la cuerda, por ello debe ser continua

en x = x, lo cual implica

A A Lx x= -' ( ) ,

determinar A en trminos de A.

d G

dx

2

2= -d x(x )

entre x - e y x + e y entonces tomar e 0.

Esto nos conduce a

1);0();0( =--+ xxxxdxdG

dxdG

Fig.10 Ahora obtenemos xG xx /);0( + de

)()()(

);( xx

xx >--

= xLxL

AxG

lo cual nos conduce a

F0

L

xx




LA

dxdG

-=+

xxxx );0(

Similarmente, de G(x ; x) = Ax (x < x), obtenemos

AdxdG =- );0( xx

Entonces, de Ax/(x - L) - A = 1, obtenemos A = (x - L) / L. Nuestro resultado es entonces

--

-

-=

)()(

)0()(

);(Lx

LxL

xL

Lx

xGxx

xx

x

Ntese que la funcin de Green es simtrica en la variable x y x :

En concordancia con el principio general, ahora esperamos que la solucin de una

ecuacin diferencial no homognea d2u/dx2 = F(x) / T, ms las condiciones de contorno,

seran dadas por:

=L

dT

FxGxu

)();()( xxx




CONCLUSIONES

o Las funciones de Green representan un mtodo alternativo para la solucin

de problemas con condiciones de contorno y ecuaciones diferenciales no

homogneas.

o La utilidad de una solucin en una funcin de Green se debe a que esta

funcin es independiente del termino no homogneo en la ecuacin

diferencial.

o Las soluciones para diferentes trminos no homogneos f(x) se obtiene por

medio de una sola integracin.

o Este mtodo conduce a soluciones expresadas como integrales definidas, no

requirindose por tanto, la determinacin de constantes arbitrarias.

o Una funcin de Green es simtrica, es decir G(x;x) = G(x;x) Fsicamente

representa la respuesta en el punto x a un impulso unitario en el punto x o

bien la respuesta en el punto x a un impulso unitario en el punto x.

o Una solucin en trminos de una integral de una funcin de Green puede

interpretarse como el resultado de sobreponer las respuestas al conjunto de

impulsos con f(x) dando la magnitud del impulso en el punto x.

o Este mtodo aunque elegante es complejo en su realizacin, no siendo

siempre posible hallar explicitas expresiones para las funciones Green debidas

a su definicin misma en trminos del delta de Dirac y las condiciones de

contorno que debe satisfacer.




BIBLIOGRAFIA

[1] Arfken, G. Mtodos matemticos para fsicos, 3 Ed. Ed. Diana, 1981.

[2] Roach, G. F., Funciones de Green, 2 Ed., Cambridge University Press,

Cambridge, Great Britain, 1982.

[3] Morse, P. M.; Feshbach, H., Mtodos de la Fsica terica, Ed. Mc Graw-Hill,

1953.

[4] D. G. Duffy,Green's Functions with Applications, Ed. Chapman & Hall/CRC

Press, Boca Raton, Florida, 2001.

[5] Jackson, J.D. Electrodinmica Clsica, Ed. Limusa, Mxico 1982.

[6] Aki, K., Richards, P., Quantitative Seismology, Ed. W.M. Freeman, San Francisco,

1980.

[7] Tijonov, A.N., Samarsky, A.A., Problemas de la Fsica Matemtica, Ed. Mir,

Mosc 1984.

Documents

Aplicaciones de Las Funciones de Green en Problemas de FM