UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTN

FACULTAD DE INGENIERA DE PRODUCCIN Y SERVICIOS

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA INDUSTRIAL

APLICACIN DE CADENAS DE MARKOV

CURSO: INVESTIGACIN DE OPERACIONES II

DOCENTE: ING. EFRAN MURILLO Q.

ALUMNOS:VALVERDE BEGAZO ALDO R.SUNI PALACO LEONEL CHAMBI ROSELLO BETZABE ESCALANTE GIANCARLO

Arequipa Per2010

APLICACIONES PROPUESTASCADENAS DE MARKOVAPLICACIN 1 Una mquina puede estar en dos estados: F funciona o Q averiada, con tFF = 0.8, tQQ = 0.4, tQF = 0.6, tFQ = 0.2. Cuando funciona da una utilidad de 480 por periodo y, cuando est averiada, los gastos son de 160 por periodo, considerando la situacin de rgimen estable: a) Calcule la ganancia media por periodo. b) Verifique si un plan de mantenimiento preventivo que cuesta $50 por periodo, alterando: tFF a 0.9 y tQQ a 0.3 vale la pena?.

FQ

T =F0.80.2

Q0.60.4

F =$480Xn = Xn1*T

Q =$-160 = *T

X1X2=X1X20.80.2

0.40.6

X1=0.8X1 + 0.6X2

X2=0.2X1 + 0.4X2

X1 +X2 = 1

RESOLVIENDO LA ECUACION

X1 = 0.75

X2 = 0.25

= [0.75 0.25]

a) Ganancia promedio: 480*0.75 +0.25*- 160 = $ 320.

b). evaluamos el plan de mantenimiento.

X1X2 =X1X20.90.1

0.70.3

X1 =0.9X1 + 0.7X2

X2 =0.1X1 + 0.3X2

X1 +X2 = 1

RESOLVIENDO LA ECUACION

X1 = 0.875

X2 = 0.125

= [0.875 0.125]

Ganancia esperada es: 480*0.875 +0.125*- 160 = $ 400.400 50 (plan de mantenimiento) = $350.Conviene el plan de mantenimiento, si vale la pena.

APLICACIN 2.- Calcule la situacin de rgimen para el modelo cuyas probabilidades de transicin son las siguientes:

t11= 0.4t22=0.3t31=0.5 t12= 0.3t23=0.7t33=0.5 t13= 0.3

Repita en el caso de t23=0,4 en vez de 0,7.

t1t2t3

t10,40,30,3

T=t200,30,7

t30,500,5

: Vector de distribucin de estado estable). Por lo tanto: = .TCalculamos los elementos de = [A B C], tenemos:

[A B C] = [A B C]

Adems de: 1 + 2 + 3 =1El sistema de ecuaciones sera:1 + 2 + 3 =10,41 + 0,53 = 10,31 + 0,32 = 20,31 + 0,72 + 0,53 = 3

Solucin es: = [ 0,38 0,16 0,46]

Con t23=0,4 en vez de 0,7.t1t2t3

t10,40,30,3

T=t200,60,4

t30,500,5

[A B C] = [A B C] Adems de:1 + 2 + 3 =1El sistema de ecuaciones sera:1 + 2 + 3 =10,41 + 0,53 = 10,31 + 0,62 = 20,31 + 0,42 + 0,53 = 3Solucin: = [0,34 0,26 0,41]APLICACIN 3.- Un asaltante notorio puede estar en uno de tres estados:i) Suelto, practicando asaltos.ii) Preso en la delegacin de polica, esperando su transferencia.iii) Preso en la crcel.Considerando las siguientes probabilidades de transicin:taa = 0.6; Permanecer suelto.tab = 0.4; Ser preso y llevado para la delegacin.tba = 0.2; Fugar de la delegacin.tbb = 0.2; Continuar en la delegacin.tbc = 0.6; Ser llevado a prisin.tcc = 0.8; Continuar en la prisin.tca = 0.2; Fugar de la prisin.a) Haga un diagrama de la situacin.

b) Calcule la probabilidad de que un asaltante, inicialmente suelto, siga suelto (practicando asaltos) despus de dos periodos.

La probabilidad de que el asaltante siga suelto luego de dos periodos es de 37.6%.

APLICACIN 4

Se usa una mquina para producir herramientas de precisin. Si la mquina est hoy en buenas condiciones, entonces estar bien maana con 90% de probabilidad. Si la mquina est en mal estado hoy, entonces estar en mal estado maana con 80% de probabilidad. SI la mquina est en buen estado, produce 100 herramientas por da, y si est en mal estado, 60 herramientas por da. En promedio, cuntas herramientas por da se producen?.

BC=Buenas condicionesMC=Malas condiciones

HERRAMIENTAS POR DA= 100 (0.6667) + (60) (0.333) = 86.6667 = 87 Htas. / da

APLICACIN 5La Zephyr Electronics Co. Fabrica tocacintas porttiles. Antes de mandar a ventas un casete o porta cintas, se analiza el lote. Las categoras de inspeccin son: no funciona (NF), regular, bueno y excelente. Los porta cintas NF se desechan, mientras que los lotes excelentes se envan inmediatamente a ventas. Los lotes regulares y buenos se regresan para ajustes y se vuelven a probar. Las proporciones de lotes regulares y buenos que cambian de categora se dan en la tabla siguiente:

a) Descrbase este proceso de prueba como una cadena de Markov absorbente y calclese la matriz de transicin. b) Cuntas veces, en promedio, se volver a inspeccionar un lote que ya se haba probado y haba resultado regular en la prueba anterior? c) Cuntas veces, en promedio, se inspeccionar de nuevo un lote que ya se haba probado y dio por resultado ser bueno? d) Cul es la probabilidad de que se deseche un lote regular? e) Cul es la probabilidad de que un lote regular llegue a ventas? f) De 30 000 lotes probados como buenos originalmente. Cuntos llegarn a ventas?

a)RBNFE

R0.250.350.050.35

B0.150.200.65

T =NF0010

E0001

RB

Q = R0.250.35I =10I-Q = 0.75-0.35

B0.150.201-0.150.8

NFERB

R =R0.050.35(I-Q)-1 = R1.4610.639

B00.65B0.2740.369

NFE

((I-Q)-1)*R = R0.0730.927

B0.0140.986

b) Nmero de veces a inspeccin 1.461 + 0.639 = 2.1 veces.c) Nmero de veces a inspeccin 0.274 + 0.369 = 0.64 veces.d) La probabilidad que se deseche un lote regular es de 7.31 %.e) La probabilidad que un lote regular se lleve a ventas es 92.69 %.f) De 30000 lotes probados cuantas llegaran a ventas: 30000(0.9863) = 29589 lotes.

APLICACIN 6Freezco, Inc., vende refrigeradores. La fabrica otorga una garanta en todos los refrigeradores que especifica cambio gratis de cualquier unidad que se descomponga antes de tres aos. Se nos da la siguiente informacin: (1) el 3% de todos los refrigeradores nuevos falla durante su primer ao de funcionamiento; (2) el 5% de todos los refrigeradores con 1 ao de funcionamiento falla durante el segundo ao de trabajo, y (3) el 7% de todos los refrigeradores con dos aos de funcionamiento falla durante su tercer ao. La garanta no vale para el refrigerador de repuesto.a) Use la teora de cadenas de Markov para predecir la fraccin de todos los refrigeradores que deber cambiar Freezco. FNF

N0.030.97

20.050.95

30.070.93

Deber cambiar el 0.03+0.05+0.07 = 0.15 , es decir el 15% de refrigeradores vendidos.b) Suponga que a Freezco le cuesta 500 dlares cambiar un refrigerador y que vende 10000 refrigeradores al ao. Si la fabrica redujera el plazo de garanta a dos aos, cunto dinero se ahorrara en costos de reemplazo?.

FNF

N0.030.97

20.050.95

0.15 * 10000 * $500=$7500000.08 * 10000 * $500=$400000

El ahorro es de $350000 en costos de remplazo

APLICACIN 7

El Programa Profesional de Ingeniera Industrial, despus de haber recogido datos durante varios aos, puede predecir las proporciones de los estudiantes que pasarn de una categora a otra en un ao dado. Estos datos se dan en la tabla siguiente.

12345RT

1ER AO0.20.60000.20

2DO AO00.150.7000.150

3ER AO 000.150.6500.20

4TO AO0000.10.80.10

5TO AO00000.050.050.9

RETIRADO0000010

TERMINA0000001

Se observa el estado de cada estudiante al principio de cada ao. Por ejemplo, si un estudiante es del 3er ao al principio de este ao, habr 65% de probabilidades de que al principio del ao siguiente sea del 4to ao, 15% de probabilidad de que an sea del tercer ao y 20% de que se retire. Suponemos que una vez de que se retire un estudiante ya nunca vuelve a inscribirse.12345RT

10.20.60000.20

200.150.7000.150

3000.150.6500.20

40000.10.80.10

500000.050.050.9

R0000010

T0000001

a) Si un estudiante entra al Programa a primer ao, Cuntos aos se espera que pasen siendo estudiante?

(1-Q)^1=12345

11.250.880.730.520.44

20.001.180.970.700.59

30.000.001.180.850.72

40.000.000.001.110.94

50.000.000.000.001.05

RESPUESTA: 1.25 + 0.88 + 0.73 + 0.52 + 0.44 = 3.83 aos

b) Cul es la probabilidad de que egrese un estudiante de nuevo ingreso?((1-Q)^-1)R=RT

10.600.40

20.470.53

30.360.64

40.160.84

50.050.95

RESPUESTA: La probabilidada es de 40 % para egresarc) Si hay 250 estudiantes de primer ao, 150 estudiantes de segundo ao, 120 de tercer ao, 80 de cuarto ao y 50 de quinto ao. Cuntos de stos estudiantes culminarn la carrera?.

N %

1250x0.4=100

2150x0.53=79.5

3120x0.64=76.8

480x0.84=67.2

550x0.95=47.5

TOTAL371

RESPUESTA: 371 estudiantes culminaran la carrera.

APLICACIN 8

APLICACIN 9En un proceso productivo las piezas una vez procesadas son inspeccionadas para determinar si son rechazadas, reprocesadas o aceptadas para su posterior venta. Estadsticamente el 80% de las piezas son aceptadas y el 5% son rechazadas.a) Si el costo de proceso es de $15 por pieza y el de reproceso $5. Cul sera el costo de un tem que termine en ventas?.b) En un lote de 10000 piezas cuntas sern rechazadas?

inicioinspcc.acept.rech.

inicio0100

inspcc.00.150.80.05

T = acept.0010

rech.0001

inicioinspcc.acept.Rech.

Q = inicio01R = acept.00

inspcc.00.15rech.0.80.05

inicioinspcc.

I =10(I-Q)-1 = inicio11.1765

01inspcc.01.1765

acept.rech.

((I-Q)^-1)*R = inicio0.9410.0588

inspcc.0.9410.0588

a) Costo promedio = (15*1*1 + 5*0.15*1.17)/0.94 Costo Promedio = $ 16.89

b) En un lote de 10000 cuantas sern rechazadas?10000(0.0588) = 588 pz. serian rechazadas.

APLICACIN 10Una fbrica de jabn se especializa en jabn de tocador de lujo. Las ventas de este jabn fluctan entre dos niveles bajo y alto- y dependen de dos factores: 1) si hacen o no publicidad y 2) si los competidores anuncian y comercializan nuevos productos. El segundo factor est fuera de control de la compaa, pero quieren determinar cul debe ser su propia poltica publicitaria. Por ejemplo, el gerente de comercializacin propone hacer publicidad cuando las ventas estn bajas y no hacerla cuando estn altas. La publicidad que se hace en un trimestre dado del ao tiene su impacto el siguiente trimestre. De cualquier manera, al principio de cada trimestre se dispone de la informacin necesaria para pronosticar con exactitud si las ventas sern altas o bajas ese trimestre y decidir si hacer publicidad o no.El costo de publicidad es de $1 milln de dlares cada trimestre del ao que se haga. Cuando se hace publicidad en un trimestre, la probabilidad de tener ventas altas el siguiente trimestre es o segn si en el trimestre actual se tiene ventas bajas o altas. Estas probabilidades bajan a y cuando no se hace publicidad en el trimestre actual. Las ganancias trimestrales de la compaa (sin incluir los costos de publicidad) son de $4 millones cuando las ventas son altas pero slo $2 millones cuando son bajas. (De aqu en adelante utilice cifras en millones de dlares).1. Construya la matriz de transicin (de un paso) para cada una de las siguientes estrategias de publicidad: i) nunca hacer publicidad, ii) siempre hacer publicidad, iii) seguir la propuesta del gerente de comercializacin.

I. Nunca hacer publicidadVentaAltaBaja

Alta

Baja

T= II. Siempre hacer publicidadVentaAltaBaja

Alta

Baja

T=

III. Seguir la propuesta del gerente

VentaAltaBaja

Alta

Baja

T=

1. Determine las probabilidades de estado estable para los tres casos del inciso a).I) Nunca hacer publicidad

= .TA + B = 1

[A B ] = [A B ]*

= (0.33 0.67)Si no se hace publicidad, existe un 33% de probabilidad que haya una venta alta y un 67% que haya una venta baja.

II) Siempre hacer publicidad = .TA + B = 1

[A B ] = [A B ]* T= = (0.67 0.33)Haciendo publicidad, existe un 67% de probabilidad que haya una venta alta y un 33% que haya una venta baja.

III) Seguir la propuesta del gerente = .TA + B = 1

[A B ] = [A B ]* T= = (0.5 0.5)Si se sigue la propuesta del gerente de hacer publicidad en ventas bajas y no hacer en ventas altas, al siguiente semestre se vera un 50% de ventas altas y bajas.

C) Encuentre la ganancia promedio a la larga (incluyendo una deduccin por los costos de publicidad) por trimestre para cada una de las estrategias del inciso a). Cul de estas estrategias es la mejor segn esta medida de desempeo?.

I. Nunca hacer publicidad = (0.33 0.67)Como existe mayor probabilidad de tener un venta baja, entonces :ganancia2 000 000

costo publicidad0 000 000

Ganancia Promedio2 000 000

II. Siempre hacer publicidad = (0.67 0.33)ganancia4 000 000

costo publicidad1 000 000

Ganancia Promedio3 000 000

Como existe mayor probabilidad de tener una venta alta

III. Seguir la propuesta del gerente = .TA + B = 1

[A B ] = [A B ]* T= = (0.5 0.5)

La ganancia varia entre 2 y 3 millones y depende de las ventas, es asi que tendramos un promedio de 2.5 millones de dlares.

APLICACIN 11.- El estado de las cuentas por cobrar en una empresa se modela con frecuencia como una cadena absorbente de Markov. Suponga que una empresa supone que una cuenta es incobrable si han pasado ms de tres meses de su fecha de vencimiento. Entonces, al principio de cada mes, se puede clasificar cada cuenta en uno de los siguientes estados especficos:Estado 1 Cuenta nueva.Estado 2 Los pagos de la cuenta estn retrasados un mes.Estado 3 Los pagos de la cuenta estn retrasados dos meses.Estado 4 Los pagos de la cuenta estn retrasados tres meses.Estado 5 Se ha saldado una cuenta.Estado 6 Se ha cancelado la cuenta por ser mal pagador.Supongamos que los ltimos datos indican que la siguiente cadena de Markov describe cmo cambia el estado de una cuenta de un mes al siguiente:

Por ejemplo si al principio de un mes una cuenta lleva dos meses de vencida, hay 40% de probabilidades de que no se pague al principio del mes siguiente y, por lo tanto, que tenga tres meses de retraso y una probabilidad de 60% de que se pague.Suponga ademn que despus de tres meses, la cuenta o se cobra o se considera incobrable.Una vez que una deuda se paga o se considera incobrable, se cierra y no se tiene ms transiciones.

a) Cul es la probabilidad que una cuenta nueva sea cobrada alguna vez?.

nueva1 mes2 meses3 mesespagadaincobrable

nueva00,6000,40

1 mes000,500,50

2 meses0000,40,60

3 meses00000,70,3

pagada000010

incobrable000001

1000

I=0100

0010

0001

1-0,600

(I-Q)=01-0,50

001-0,4

0001

10,60,30,12

(1-Q)-1=010,50,2

0010,4

0001

a1a2

t10,9640,036

((1-Q)-1)R=t20,940,06

t30,880,12

t40,70,3

Existe una probabilidad del 96.4% de que una cuenta nueva algn da sea cobrada.

b) Cul es la probabilidad que una cuenta atrasada un mes se vuelva finalmente incobrable?

c) a1a2

t10,9640,036

((1-Q)-1)R=t20,940,06

t30,880,12

t40,70,3

Existe una probabilidad del 6% de que una cuenta atrasada un mes se vuelva incobrable.

d) Si las ventas de la empresa son 100 000 dlares en promedio mensual, cunto dinero ser incobrable cada ao?

Resumen de probabilidades durante todo un ao (12 meses)Periodo Probabilidad (incobrable)

10,216667

20,236667

30,246667

40,252667

50,252667

60,252667

70,252667

80,252667

90,252667

100,252667

110,252667

120,252667

1- 100 000 x 0.216667 = 21666.72- 100 000 x 0.236667 = 23666.73- 100 000 x 0.246667 = 24666.74- 100 000 x 0.252667 = 25266.75- 100 000 x 0. 252667 = 25266.76- 100 000 x 0. 252667 = 25266.77- 100 000 x 0. 252667 = 25266.78- 100 000 x 0. 252667 = 25266.79- 100 000 x 0. 252667 = 25266.710- 100 000 x 0. 252667 = 25266.711- 100 000 x 0. 252667 = 25266.712- 100 000 x 0. 252667 = 25266.7

TOTAL= 297400,4 dlares sin cobrar durante todo un ao.APLICACIN 12En la siguiente matriz de probabilidad de transicin se resume la informacin del progreso de los estudiantes universitarios en una universidad en particular.

Donde los estados son:Estado 1: Graduado, Estado 2: Abandona, Estado 3: De primer ao, Estado 4: De segundo ao, Estado 5: De tercer ao y Estado 6: De cuarto aoT=1234GA

10.150.650000.2

200.10.75000.15

3000.050.8500.1

40000.050.90.05

G000010

A000001

1234

10.180.850.670.6

(I-Q)-1201.110.880.78

3001.050.94

40001.05

12

10.540.46

(I-Q)-1 R20.710.29

30.850.15

40.950.05

a) Qu estados son absorbentes?.LOS ESTADOS ABSORVENTES SON G y A

b) Cul es la probabilidad de que un estudiante de segundo ao se grade, cul la probabilidad de que abandone?.12

10.540.46

(I-Q)-1 R20.710.29

30.850.15

40.950.05

LA PROBABILIDAD PARA QUE UN ESTUDIANTE DE SEGUNDO AO SE GRADE ES 71%.

c) En un discurso de bienvenida a 600 alumnos de nuevo ingreso, el rector les pide que se den cuenta de que aproximadamente 50% de los presentes no llegar al da de graduacin. Un anlisis de los procesos de Markov apoya la declaracin del rector?. Explique.12

10.540.46

(I-Q)-1 R20.710.29

30.850.15

40.950.05

EL 46% DE LOS ESTUDIANTES DEL NUEVO INGRESO NO LLEGARA AL DIA DE LA GRADUACIN, DE ESTA MANERA REALIZANDO UN ANALISIS DE LOS PROCESO DE MARKOV SE APOYARIA LA DECLARACIN DEL RECTOR

d) Cuntos aos se espera que pase en la universidad un estudiante de nuevo ingreso antes de que se grade? 1234

10.180.850.670.6

(I-Q)-1201.110.880.78

3001.050.94

40001.05

0.18 + 0.85 + 0.67 + 0.6 = 3.3DEBE ESPERAR 3.3 AOS PARA GRADUARSE.

e) Hoy, la universidad tiene 600 estudiantes nuevos; 520 de segundo ao; 460 de tercero y 420 de cuarto. Qu porcentaje se graduar de los 2000 estudiantes de la universidad?.

1600 x 0.54 = 3242520 x 0.71 = 3693460 x 0.85 = 3914420 x 0.95 = 399 2000 1483 = 74.15%

SE GRADUARAN EL 74.15 % DE LOS ESTUDIANTESf) Dentro de 5 aos, cul ser la distribucin de los 2000 estudiantes?

ESTARAN EN 3 AO EL 1%, es decir, 20SE GRADUARAN EL 73%, es decir, 1460ABANDONARA EL 26%, es decir, 520

APLICACIN 13El 1 de enero (de este ao), las panaderas Klosman controlaban el 40% de su mercado local, mientras que las otras dos panaderas, A y B, tenan 40 y 20 por ciento, respectivamente, del mercado. Basndose en un estudio de una empresa de investigacin de mercado, se compilaron los siguientes datos: la panadera Klosman retiene el 90% de sus clientes, y gana el 5% de los clientes de A y el 10% de los de B. La panadera A retiene el 85% de sus clientes y gana 5% de los clientes de Klosman y 7% de los de B. La panadera B retiene 83% de sus clientes y gana 5% de los clientes de Klosman y 10% de los de A.a) Cul ser la participacin de cada empresa en 1 de enero del ao siguiente.

Klosman decide hacer una campaa publicitaria a efectos de ganar clientes, dicha campaa altera las probabilidades de transicin de estados de la siguiente manera: la panadera Klosman retiene el 90% de sus clientes, y gana el 15% de los clientes de A y el 20% de los de B. La panadera A retiene el 75% de sus clientes y gana 5% de los clientes de Klosman y 7% de los de B. La panadera B retiene 73% de sus clientes y gana 5% de los clientes de Klosman y 10% de los de A. Si a Klosman le cuesta 350 dlares por mes una campaa publicitaria y por cada cliente ganado obtiene un ingreso igual a 10 dlares mensuales, por cuntos periodos debe mantener su campaa publicitaria, sabiendo que se compite en un mercado de 1000 clientes?.

Suponiendo que las participaciones se recalculan mensualmente con esta nueva matriz de transicin, el beneficio neto de la iniciativa publicitaria para KLOSMAN vendra dada por:

BN = (X0*Tn - X0)*1000I*(10, 0, 0) T - 350*n

Para que la iniciativa sea beneficiosa para Klosman, este beneficio neto debe ser mayor a 0.Los resultados obtenidos con ayuda de Excel se muestran a continuacin:

NBN

1250

2353

3343.14

4247.3582

586.612816

6-122.9694589

7-369.0889409

8-642.4322455

La cantidad de clientes que migren hacia Klosman sera cada vez menor y el beneficio neto de la publicidad ser menor. De esta manera se recomienda que Klosman mantenga publicidad por 5 meses.

CADENAS DE MARKOV1

SUELTO

PRESO EN LA DELEGACION DE POLICIA

PRESO EN CARCEL

0.6

0.2

0.4

0.2

0.8

0.6

0.2