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MB00004_M3AA1L1_Máximos Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez

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Aplicaciones de máximos y mínimos

Por: Sandra Elvia Pérez

Calculando números mediante el uso de máximos y mínimos En la sección anterior se proporcionó la función que determinaba la posición de la partícula y a partir de ella se realizó el análisis y cálculo de la velocidad y aceleración instantáneas. En los siguientes problemas, primero será necesario plantear la función. En esta clase de problemas, los números convenientemente se representan mediante x y y . La frase dos números cuya suma sea 180 en lenguaje matemático se representa de la siguiente forma:

180=+ yx La segunda restricción el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro número puede escribirse:

máximoproductoxy =2

Por facilidad en el manejo de las ecuaciones producto máximo, lo representas con la letra P . Así queda:

Pxy =2 Una pista que te puede funcionar de guía es que si se te pide que el producto (o sea P) sea máximo, esa es la función que debes derivar.

Ejemplo Calcula dos números cuya suma sea 180 y el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro número sea máximo.


2


Antes de derivar P, observa que P depende de x pero también de y, así que antes debes escribir sólo en función de una de las dos variables. Despeja x de la ecuación 180=+ yx , y queda:

yx −= 180 Ahora al sustituir x en P, obtienes:

( )32

2

180180

yyPyyP

−=

−=

Como quieres encontrar los valores de x y y para los cuales P se hace máximo, deriva P:

( )2

32

3360

180

yyP

yydydP

−=′

−=′

Al igualar P′ con cero y al resolver la ecuación para hallar el valor de y , tienes:

( ) 0336003360 2

=−

=−

yyyy

De donde,

0=y y 120

3360360303360

=−

−=

−=−

=−

y

yy

Tienes dos valores para la variable y , sin embargo, es evidente que si 0=y , P también tomaría el valor de cero, por lo que esta solución no tiene sentido. Entonces la solución buscada es 120=y . Para verificar que efectivamente tienes un máximo en 120=y , elige dos números arbitrarios, uno menor que 120 y otro mayor, de preferencia muy cercanos a 120, por ejemplo, 119 y 121. Estos

números se sustituyen en P′ y si ( )119P′ es positiva y ( )121P′ es negativa, entonces efectivamente tienes un máximo en 120=y (criterio de la primera derivada).


3


( ) ( ) ( )( )( ) 357119

42483428401191193119360119

33602

2

=′

−=′

−=′

−=′

PPP

yyP

( ) ( ) ( )( )( ) 363121

43923435601211213121360121

33602

2

−=′

−=′

−=′

−=′

PPP

yyP

Como acabas de comprobar, tienes un máximo en 120=y , sólo falta hallar el valor de x . En la expresión yx −= 180 , que obtuviste al inicio del desarrollo del problema, sustituyes 120=y , y queda:

60120180

180

=

−=

−=

xx

yx

Por lo que concluyes que los números buscados son:

60=x y 120=y El valor de P es:

( )( )864000

12060 2

2

=

=

=

PP

xyP

La frase dos números cuyo producto sea 338 en lenguaje matemático se representa de la siguiente forma:

338=xy La segunda restricción la suma del doble del primero más el segundo sea mínima puede escribirse:

mínimasumayx =+2

Ejemplo Encuentra dos números cuyo producto sea 338 y la suma del doble del primero más el segundo sea mínima.


4


Por facilidad en el manejo de las ecuaciones suma mínima la representas con la letra s . Así queda:

yxs += 2 Como la variable que se derivará es s , debes escribirla en función de una sola variable (puede ser x o y )

Despeja y de la ecuación 338=xy , y queda:

xy 338=

Ahora al sustituir y en s, obtienes:

xxs

yxs3382

2

+=

+=

Como quieres encontrar los valores de x y y para los cuales s se hace mínima, deriva s:

( )

22

1

33823382

3382

3382

xxs

xxdxds

xx

dxds

−=−=′

+=′

+=′

−

−

Igualando s′ con cero y resolviendo la ecuación para hallar el valor de x , tienes:

03382

03382

2

2

2

=−

=−

xxx

La última expresión se obtiene al realizar la resta de fracciones. Ahora puedes pasar el denominador

2x multiplicando al cero (pero obviamente el resultado de esta multiplicación es cero), por lo que obtienes:


5


169

1692338

03382

2

2

±=

==

=−

x

x

x

13−=x y 13=x

En este caso no puedes descartar a alguno de los dos valores hallados para x , por lo que aplicas el criterio de la primera derivada para los dos valores. Como ahora lo que buscas es que s sea mínima, necesitas un cambio en s′ de negativo a positivo.

Para 13−=x , elegimos -14 y -12 Para 13=x elegimos 12 y 14

( )( )

( ) 2755.01414338214 2

=−′

−−=−′

s

s

( )( )

( ) 3472.01212338212 2

−=−′

−−=−′

s

s

( )( )

( ) 3472.01212338212 2

−=′

−=′

s

s

( )( )

( ) 2755.01414338214 2

=′

−=′

s

s

Al analizar el comportamiento de s′ debes darte cuenta de que en 13−=x obtienes un máximo, por lo que ésta no es la solución que buscas.

Al analizar el comportamiento de s′ debes darte cuenta de que en 13=x obtienes un mínimo, por lo que ésta sí es la solución que buscas.

Ahora que ya determinaste que 13=x , sustituye este valor en xy 338=

para encontrar y , entonces tienes:

2613338338

===x

y

Por lo que concluyes que los números buscados son:

13=x y 26=y


6


El valor de s es:

( )

52262626132

2

=

+=

+=

+=

sss

yxs

Áreas y volúmenes Los siguientes problemas tienen mucha similitud con los que acabas de estudiar en la sección anterior, excepto que ahora se trabajará con áreas y volúmenes. Para entender mejor lo que se te pide en este problema, haz una gráfica.

Figura 1. Rectángulo, base x, altura y.

Debes nombrar y a la altura base del rectángulo y x a su base. Recuerda que el perímetro de cualquier polígono es la suma de sus lados, por lo que el perímetro del rectángulo es:

32022320

=+

=+++

yxxyxy

x

x

y y

Ejemplo Se requiere determinar las dimensiones de un rectángulo con un perímetro de 320 metros de manera que el área del rectángulo sea máxima.


7


La fórmula para calcular el área del rectángulo es alturabaseA ×= , en este caso es xyA = . La cual pretendes que sea máxima. Como debes derivar A , es necesario escribirla en función de una sola de las variables. Despeja y de la ecuación del perímetro:

xy

xy

xyyx

−=

−=

−=

=+

160223202320232022

Enseguida, sustituye y en la expresión del área:

( )2160

160xxAxxA

xyA

−=

−=

=

Al derivar A obtienes:

( )xA

xxdxdA

2160

160 2

−=′

−=′

Al igualar con cero para encontrar el valor crítico y resolviendo para x , queda:

802160160202160

=−

−=

−=−

=−

x

xx


8


Verifica que 80=x representa un máximo. Usa 79=x y 81=x para verificar que A′ cambia de positivo a negativo (criterio de la primera derivada).

Para 79=x Para 81=x

( )2

7921602160

=′

−=′

−=′

AA

xA

( )

28121602160

−=′

−=′

−=′

AA

xA

Por lo anterior, concluyes que 80=x representa un máximo para el área. Sólo falta encontrar y ,

8080160160

=−=

−=

yxy

Los valores buscados son: 80=x y 80=y

El proceso para hallar las dimensiones del rectángulo, es el mismo que el usado en la determinación de números de la sección anterior, excepto por la figura.

Ejemplo Raymundo es un joven empresario que cría chivos en el municipio de Abasolo, Guanajuato. En un costado de su terreno se encuentra un muro de piedra que Raymundo quiere usar como parte de un corral que está construyendo para sus animales. Él tiene 900 metros de malla ciclónica para formar el corral, pero desea que la superficie del corral sea la mayor posible. ¿Puedes ayudar a Raymundo a calcular las dimensiones de su corral?


9


Figura 2. Corral formado por un muro de piedra y malla ciclónica.

El perímetro del corral que usará malla es:

9002900

=+

=++

xyxyy

La expresión para el área es:

xyA = Al despejar x de la expresión del perímetro y sustituyéndola en A , queda:

( )22900

2900

29009002

yyAyyA

xyA

yxxy

−=

−=

=

⇓

−=

=+

Al derivar A obtienes:

( )

yA

yydydA

4900

2900 2

−=′

−=′

Muro de piedra

Corral formado con malla ciclónica (900 metros de largo)

x

y y


10


Al igualar con cero y resolviendo para y tienes:

2254900900404900

=−

−=

−=−

=−

y

yy

Verifica que tienes un máximo en 225=y .

Para 224=y Para 226=x

( )4

22449004900

=′

−=′

−=′

AA

yA

( )

42264900

4900

−=′

−=′

−=′

AA

yA

De lo anterior se comprueba que efectivamente 225=y representa un máximo. Encuentra x.

( )

4504509002252900

2900

=

−=

−=

−=

xxx

yx

Los valores buscados son: 450=x y 225=y

Ejemplo Rogelio es un microempresario dueño de una imprenta. Una empresa importante le pide que imprima 15,000 volantes con las siguientes características:

• Debe incluir 36 centímetros cuadrados de texto. • Los márgenes superior e inferior deben tener 1.5 centímetros de ancho. • Los márgenes laterales deben ser de 1 centímetro.

Rogelio desea calcular las dimensiones mínimas de la hoja de cada volante impresos, de esta manera, al usar el mínimo de material, su utilidad será mayor. Ayuda a Rogelio.


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La gráfica del volante se muestra a continuación:

Figura 3. Hoja con área de impresión de 24 cm2.

Las dimensiones del área impresa, las has representado por las variables x y y . Observa que las dimensiones totales de la hoja de papel son 2+x (el valor de x más 2 cm de los márgenes laterales) y en el caso de 3+y (el valor de y más 3 cm de los márgenes superior e inferior).

El área impresa es: 24=xy

Área total del volante: ( )( )32 ++= yxA De la expresión del área impresa, despeja y

xy

xy3636

=

=

1.5cm

1.5cm

1 cm

24 cm2 de texto

x

y

x+2

y+3


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Sustituye y en A .

( )

xxA

xxA

xx

xxA

xxA

72342

672336

672336

3362

++=

+++=

+++=

++=

Al derivar A y aplicar el criterio de la primera derivada, queda:

( )

8989.4372372

0723

0723

0723

723

723

7234272342

2

2

2

2

2

2

2

1

±=±=

=

=−

=−

=−

⇓

−=′

−=′

++=

++=′

−

−

x

x

xxxx

xA

xA

xxdxd

xx

dxdA

Aunque encuentres dos valores, sólo tiene sentido el positivo porque estás hablando de dimensiones. Verifica que tienes un mínimo en 8989.4=x .


13


Para 4=x Para 5=x

( )5.14723

723

2

2

−=′

−=′

−=′

A

A

xA

( )12.05723

723

2

2

=′

−=′

−=′

A

A

xA

De lo anterior se comprueba que efectivamente 8989.4=x representa un mínimo. Encuentra y:

3485.78989.436

36

=

=

=

y

y

xy

Los valores buscados son: 8989.4=x y 3485.7=y Las dimensiones del volante son:

8989.628989.42 =+=+x 3485.1033485.73 =+=+y

Ejemplo Karla es una estudiante de Ingeniería del ITC y vive en Irapuato. Tiene una empresa que fabrica cajas de cartón a partir de material reciclado. Desea construir una caja de base cuadrada sin tapa, pero que pueda contener un volumen máximo. Ella cuenta con hojas de papel reciclado de 42 centímetros de lado y quiere cortar cuadrados en las esquinas y luego doblar para formar la caja. ¿Cuánto debe medir el cuadrado que se recorta para obtener el volumen máximo?


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La figura 4 te servirá de mucha ayuda.

Figura 4. Esquema de caja con paredes de profundidad x.

La altura o profundidad de la caja es x . La longitud del lado del cuadrado que formará la base de la caja es x242− .

El área del cuadrado que sirve como base a la caja de Karla es ( )2242 xA −= . El volumen de la caja es el área de la base multiplicado por la altura, es decir:

( )( )

32

2

2

4168176441681764

242

xxxVxxxV

xxV

AxV

+−=

+−=

−=

=

42cm

x

x

x

x

42 – 2x x


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Al derivar V y aplicar el criterio de la primera derivada, tienes:

( )

0123361764123361764

41681764

2

2

32

=+−

+−=′

+−=′

xxxxV

xxxdxdV

Al dividir la ecuación entre 12 para simplificarla y facilitar los cálculos, queda:

028147 2 =+− xx Ordenándola:

0147282 =+− xx Esta ecuación la puedes resolver al usar la fórmula general:

aacbbx

242 −±−

=

1=a 28−=b 147=c

Al sustituir estos valores en la fórmula:

( ) ( ) ( )( )( )

21428

219628

219628

258878428

12147142828 2

±=

±=

±=

−±=

−−±−−=

x

x

x

Los valores de x que has encontrado son:

21242

21428

==+

=x y

7214

21428

==−

=x


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Es evidente que 21=x no es una solución factible porque la hoja de cartón reciclado mide 42 cm de lado. Si le cortas 21 en cada esquina, no quedaría cartón para fabricar la caja. Todo indica que 7=x es la solución que buscas. Verifica que tienes un máximo en 7=x

Para 6=x Para 8=x ( ) ( )

18043220161764

61263361764 2

=′

+−=′

+−=′

VVV

( ) ( )

15676826881764

81283361764 2

−=′

+−=′

+−=′

VVV

De lo anterior se comprueba que efectivamente 7=x representa un máximo. El volumen de la caja es:

( ) ( ) ( )

3

32

32

54881372823212348

74716871764

41681764

cmVVV

xxxV

=

+−=

+−=

+−=

Bibilografía

Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.). México: Harla.

Purcell, E. J. & Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral (6ª. ed.; J. A. Gómez, Trad.). México: Prentice Hall.

Smith, R. T., & Minton, R. B. (2000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Trads.). México: McGraw-Hill.

Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S, (2001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. (3ª. ed.; V. González y G. Sánchez, Trads.). México: Internacional Thomson Editores.

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