Aplicaciones de Termodinamica.

Radiacion termica.

J. GuemezDepartamento de Fısica Aplicada,

Universidad de CantabriaE-39005 Santander.

Diciembre 12, 2003

1 Introduccion

Aunque la superficie de un material puede ser estimulada para emitirradiacion electromagnetica de varios modos, desde el punto de vistatermodinamico la mas interesante es la radiacion termica, es decir, laradiacion emitida por un superficie en virtud de su temperatura 1.

La perdida de energıa debida a la emision de radiacion termicapuede deberse a que el sistema es en sı mismo un manantial de en-ergıa, como el Sol, o debido a un suministro de energıa desde elexterior, como en el caso de un filamento. En ausencia de esta clasede emisiones, un cuerpo puede emitir radiacion en funcion de su tem-peratura y superficie.

A su vez, la unica forma en que un cuerpo puede recibir energıaen el vacıo es por absorcion de la radiacion emitida por otros cuerposde su entorno. En el caso de un cuerpo rodeado de otros, su energıainterna y su temperatura permaneceran constantes si su velocidad deemision de energıa radiante es igual a su velocidad de absorcion.

Una de las maneras mas sencillas de demostrar experimental-mente que la radiacion transporta energıa y que esta puede absorberseen forma de calor es utilizando un termometro diferencial de aire. Ver

1Durante el siglo XX la Termodinamica entro en conflicto con la Teorıa dela Radiacion y con la Teorıa de Agujeros Negros. La resolucion del primer con-flicto dio lugar al nacimiento de la hipotesis cuantica, y la del segundo a la Ter-modinamica de Agujeros Negros.

1

Figura 1: Espectro electromagnetico. Las longitudes de onda de la radiacionvisible se encuentran entre los 0,4 y los 0,7 µm (0, 4− 0, 7× 10−6 m. (C. J.Adkins, An Introduction to Thermal Physics, Cambridge University Press,Cambridge (1987))

Fig. 2(a). Esta clase de termometros constan de dos bulbos de vidriounidos por un tubo en U con algo de mercurio. Si uno de los bulbosesta plateado y el otro esta ennegrecido, cuando ambos bulbos soniluminados, el aire que esta en contacto con la superficie ennegre-cida se calienta mas que el aire en el bulbo plateado, por lo que lasdos columnas de mercurio, de igual altura en ausencia de radiacion,se descompensan. La diferencia de alturas entre ambas columnas serelaciona con la intensidad de la radiacion incidente. La radiaciontermica es simplemente radiacion electromagnetica producida por uncuerpo debido a que este esta a mayor temperatura que su entorno 2.

Ademas de la radiacion emitida por una superficie, otra forma in-teresante de radiacion termica es la contenida dentro de una cavidaden la que las paredes estan a la temperatura T . Esta radiacion de lacavidad es absorbida y reemitida por las paredes de la cavidad hastaque se alcanza el equilibrio termodinamico. Aunque a primera vistapuede parecer que ese sistema, la radiacion contenida en la cavidad,

2Hay radiacion termica de un cuerpo en equilibrio termico con su entorno, perono hay un flujo neto de energıa. Ver la Ley de Kirchhoff.

2

Figura 2: (a) Termometro diferencial de Leslie. (M. Rico, M. Santisteban,Manual de Fısica y Quımica, Madrid, 1865). (b) Funcionamiento de untermometro diferencial (C. J. Adkins, An Introduction to Thermal Physics,Cambridge University Press, Cambridge, 1987)

no es un buen candidato a la aplicacion de los metodos de la Ter-modinamica, se comprobara que la radiacion termica de la cavidadse puede tratar como un sistema PV T . Se puede considerar la ra-diacion como teniendo la temperatura T de las paredes y el volumenV de la cavidad. A su vez, la teorıa electromagnetica proporcionarauna expresion para la presion P ejercida por la radiacion.

2 Emitividad y absorcion. Densidad de ra-diacion

2.1 Superficies: emitividad y absorcion

La experiencia demuestra que la velocidad a la que una superficieemite energıa en forma de radiacion electromagnetica depende dela temperatura y de la naturaleza de dicha superficie. La potenciaradiante total emitida por unidad de superficie se denomina poderemisivo del cuerpo. Cuando la radiacion termica incide sobre uncuerpo puede ser en parte absorbida, en parte reflejada. En general,la fraccion radiante incidente que es absorbida tambien depende dela temperatura y de la naturaleza de la superficie.

3

Para cada longitud de onda, λ, y temperatura T , la fraccion deenergıa incidente que es absorbida, por unidad de superficie y tiempo,por la superficie, α(λ, T ), se denomina coeficiente de absorcion espec-tral. Cuando una superficie absorbe toda la energıa radiante que lellega, a cualquier temperatura, es decir, α = 1 para todo λ y T , sedice que se trata de un cuerpo negro. Una cavidad con un pequenoorificio dentro de la cual hay negro de humo es una buena aproxi-macion a un cuerpo negro, pues practicamente toda la radiacion queincide sobre el orificio es absorbida.

2.2 Volumen:densidad de radiacion

Dentro de una cavidad formada por paredes que se comportan comocuerpos negros, que se encuentran a temperatura T , y en cuyo interiorse alcanza el equilibrio termodinamico a esa temperatura, se tieneuna distribucion espectral de energıas uCN(λ, T ), donde uCN(λ, T ) esla densidad de energıa entre λ y λ + dλ a esa temperatura T . Si sepractica un pequeno orificio en una de las paredes de esta cavidad, laenergıa emitida por unidad de tiempo y de superficie en el intervalode longitudes de onda entre λ y λ + dλ, o potencia espectral emisivae(λ, T ), sera proporcional a uCN(λ, T ), con e(λ, T ) = CuCN(λ, T ),donde C es una constante universal con unidades de velocidad.

Una forma sencilla de ver esta relacion es la siguiente. Si cadaelemento de superficie Σ emite e(λ, T )Σ joules por segundo en esalongitud de onda, esta energıa se radia en todas direcciones, perose puede suponer por simplicidad que se emite en la direccion per-pendicular a la superficie. Despues de 1 segundo, la energıa emitidaviajando a la velocidad de la luz c habra recorrido c metros. La en-ergıa emitida por segundo se ha expandido sobre un volumen de c×Σm2. Por tanto, la densidad de energıa es uCN(λ, T ) = e(λ, T )/c. Uncalculo mas exacto indica que C = c/4 (ver Sec. 3).

A una temperatura T distinta del cero absoluto, cualquier cuerporadia energıa en forma de ondas electromagneticas. Con objeto de es-tablecer comparaciones entre la capacidad de radiar de las diferentessuperficies, se toma como referencia la energıa emitida por un cuerponegro a una temperatura T .

La fraccion de energıa emitida a dicha temperatura T , por unidadde superficie y tiempo, y longitud de onda, respecto de la misma en-ergıa emitida por un cuerpo negro a la misma longitud de onda,

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se denomina coeficiente de emitividad espectral, ε(λ, T ), y tambiendepende de la temperatura absoluta y de las caracterısticas de la su-perficie.

Por tanto, la energıa emitida por unidad de superficie y tiempopor una cierta superficie en el intervalo de longitudes de onda λ y λ+ dλ se denomina potencia espectral emisiva, e(λ, T ) y viene dadapor e(λ, T ) = Cε(λ, T )uCN(λ, T ).

Figura 3: Coeficiente de emision espectral del tungsteno en funcion de lalongitud de onda a las temperaturas de 2600 (trazos) y 2800 K (lınea).

2.3 Leyes de Kirchhoff

Pero por consideraciones puramente termodinamicas, se obtiene ladenominada Ley de Kirchhoff que establece que:

1. La razon entre el coeficiente espectral emisivo, ε(λ, T ) y el coe-ficiente de absorcion espectral, α(λ, T ), es siempre 1.Es decir, la relacion ε(λ, T )/α(λ) = 1, para todas las superficies.

Ejemplo RA.1 Ley de Kirchhoff

Si se dispone de un cuerpo negro a temperatura T y cuando la ra-diacion en su interior alcanza el equilibrio termodinamico a esa tem-peratura, dentro de la cavidad se tiene una distribucion de energıasuCN(λ, T ). Si ahora esta radiacion en equilibrio se pone en contacto

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con una cavidad construida con un material con α(λ, T ) ≤ 1, puestoque la radiacion incidente es CuCN(λ, T ), se tiene que la radiacionabsorbida en el intervalo entre λ y λ + dλ sera

eab = Cα(λ, T )uCN(λ, T ) .

A su vez, esa superficie emite una energıa (por definicion)n

eem = Cε(λ, T )uCN(λ, T ) .

Puesto que en el equilibrio ambos flujos de energıa deben ser iguales 3,es necesario que eab = eem, de donde se deduce tambien que α(λ, T ) =ε(λ, T ). De no ser ası, partiendo de dos superficies a la misma tem-peratura T una de ellas absorbe netamente energıa, varıa su tempe-ratura y, como consecuencia, la otra superficie disminuye su tempera-tura. Se establece ası espontaneamente una diferencia de temperatu-ras entre las superficies que puede ser utilizada para obtener trabajoen procesos cıclicos. Esta posibilidad esta explıcitamente prohibidapor la Formulacion de Kelvin-Planck del Segundo Principio.

Figura 4: Espectro de emision del mercurio en la region visible. (C. J.Adkins, An Introduction to Thermal Physics, Cambridge University Press,Cambridge (1987)). Este es tambien el espectro (inverso) de absorcion.

Por esta razon, los cuerpos que absorben bien la energıa radiante auna determinada longitud de onda y temperatura tambien emitenbien dicha energıa. Ası, ε(λ1, T )/α(λ1, T ) = 1 para cada superficie.Pero notese que puede suceder que ε(λ2, T ) = α(λ2, T ) �= ε(λ1, T ) =α(λ1, T ) y que ε(λ, T ) = α(λ, T ) �= 1. Solo para un cuerpo negro essiempre ε(λ, T ) = α(λ, T ) = 1.

2. La razon entre la potencia espectral emisiva, e(λ, T ) y el coe-ficiente de absorcion espectral, α(λ, T ), es una funcion univer-sal que depende de la temperatura absoluta y de la longitud de

3Notese quel flujo que atraviesa la superficie es cero no solo globalmente sinotambien a cada longitud de onda.

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onda, pero no de las caracterısticas de la superficie radiante oabsorbente.

Es decir, la relacion e(λ, T )/α(λ, T ), es la misma para todas las su-perficies, a temperatura y longitud de onda dadas. Con independen-cia del material, la densidad de energıa dentro de la cavidad u = U/Vsolo depende de la temperatura absoluta.

Ejemplo RA.2 Cuerpo negro

Sean dos superficies diferentes, A y B, la primera con coeficiente deabsorcion espectral αA(λ, T ) ≤ 1 y la segunda con αB(λ, T ) ≤ 1. Seconstruyen dos cavidades con estas superficies y se ponen a tempera-tura T hasta que la radiacion de cada una de ellas alcanza el equilibriocon su respectiva superficie. La primera cavidad tiene una densidadde energıa espectral uA(λ, T ) y la cavidad B una densidad de energıaespectral uB(λ, T ) �= uA(λ, T ).

En el equilibrio de cada cavidad se debe cumplir que

CαA(λ, T )uA(λ, T ) = eA(λ, T ) = CεA(λ, T )uCN(λ, T ) ; (1)CαB(λ, T )uB(λ, T ) = eB(λ, T ) = CεB(λ, T )uCN(λ, T ) .

Debe notarse que aunque αA(λ, T ) = εA(λ, T ), eso no garantiza quesiempre uA(λ, T ) = uCN(λ, T ), pues puede suceder que αA(λ, T ) =εA(λ, T ) = 0 para algunas longitudes de onda. En general uA(λ, T ) �=uCN(λ, T ).

Si ahora se conectan ambas cavidades, en el equilibrio se tendra unadensidad de radiacion dentro de la cavidad uAB(λ, T ), pero se seguiracumpliendo que

αA(λ, T )uAB(λ, T ) = eA(λ, T ) = εA(λ, T )uCN(λ, T ) ; (2)αB(λ, T )uAB(λ, T ) = eB(λ, T ) = εB(λ, T )uCN(λ, T ) .

En el equilibrio, cada pared es transparente a las radiaciones de lon-gitud de onda para las cuales su α(λ, T ) vale cero, por lo que el equi-librio termodinamico se sigue manteniendo. En general uAB(λ, T ) �=uCN(λ, T ).

Si se construye una cavidad con paredes muy diferentes, se cumplepara cada pared I que

αI(λ, T )uAB...Z(λ, T ) = eI(λ, T ) = εI(λ, T )uCN(λ, T ) , (3)

donde uAB...Z(λ, T ) es la densidad de radicion dentro de la cavidad.

7

Por tanto, se tiene que para cada superficie I,

αA(λ, T )εA(λ, T )

=αB(λ, T )εB(λ, T )

= ... =αI(λ, T )εI(λ, T )

=uCN(λ, T )uAB...Z

,

yαA(λ, T )eA(λ, T )

=αB(λ, T )eB(λ, T )

= ... =αI(λ, T )eI(λ, T )

=1

uAB...Z.

Pero si una se esas superficies (por pequena que sea) es un cuerponegro, entonces

αI(λ, T )eI(λ, T )

=1

uCN(λ, T ),

de donde uAB...Z = uCN(λ, T ). Esta relacion es una funcion universal,independiente de la superficie I.

Figura 5: Intensidad espectral de la radiacion solar. El espectro es similar alde un cuerpo negro a 5800 K.(H. U. Fuchs, The Dynamics of Heat, Springer,1996)

La M. Planck demostro utilizando la Mecanica Estadıstica e intro-duciendo la hipotesis cuantica que esta funcion universal es

uCNλ, Tdλ = 8πhcλ−5

ehc/λkT − 1λ ,

o densidad de energıa dentro de la cavidad entre las longitudes de ondaλ y λ + dλ, donde h = 6, 626 × 10−34 J·s es la constante de Planck,c = 2, 998 × 108 m·s−1 es la velocidad de la luz y k = 1, 381 × 10−23

J·K−1 es la constante de Planck. Ver Fig. 5.

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Ası, la radiacion emitida por una superficie cuerpo negro, perfec-tamente absorbente, es igual en su distribucion de intensidades a laradiacion de equilibrio contenida en una cavidad de cualquier mate-rial para el cual α(λ, T ) �= 1 a cualquier longitud de onda. La cavidadpuede incluso tener paredes perfectamente reflectoras (α(λ, T ) = 0)con tal de que en algun lugar haya una pequena superficie (una motade negro de humo) tal que por absorcion y reemision permita queuna distribucion inicialmente arbitraria tienda hacia el equilibrio (ladistribucion de Planck).

Esta es una aportacion de la Termodinamica al estudio de laradiacion. Esta funcion universal, el hecho de que la distribucionde energıa radiante dentro de una cavidad en equilibrio no dependede la naturaleza de las paredes, puede utilizarse para construir untermometro de temperaturas absolutas.

Material Interv. Temp., ◦C ε

Metales pulidos

Aluminio 250-600 0,039-0,057Cobre 100 0,018Hierro 150-1000 0,05-0,37

Filamentos

Molibdeno 750-2600 0,096-0,29Platino 30-1200 0,036-0,19

Wolframio 30-3300 0,032-0,35

Otros

Hielo 0 0,97Negro de humo 20-350 0,95

Tabla 1: Coeficientes de absorcion/emision de algunas superficies.

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Ejemplo RA.3 Experiencias de Leslie

En experiencias realizadas por Leslie durante los anos 1800 a 1810sobre el denominado calorico radiante se midieron las denominadasfacultades reflectantes, Tabla 2 y facultades radiantes de algunas su-perficies, Tabla 3.

Superficie Fac. Reflectante Superficie Fac. Reflectante

Laton 100 Negro humo 0Plata 90 Tinta de China 15Plomo 60 Vidrio 10Acero 83 Albayalde 10

Tabla 2: Facultad reflectante de algunas superficies obtenidas por Leslie.Se toma 100 para el laton. (M. Rico, M. Santisteban, Manual de Fısica yQuımica, Madrid, 1865)

Superficie Fac. Radiante Superficie Fac. Radiante

Laton pulido 7 Negro humo 100Plata pulida 5 Tinta de China 88

Plomo 45 Vidrio 90Acero 17 Albayalde 100

Tabla 3: Facultad radiante (poder emisivo) de algunas superficies obtenidaspor Leslie. Se toma 100 para el negro de humo. (M. Rico, M. Santisteban,Manual de Fısica y Quımica, Madrid, 1865)

Para medir estas magnitudes se utilizaba el denominado cubo deLeslie, formado por paredes de distintos materiales y conteniendoagua a 100 ◦C.

(i) A la vista de los conocimientos actuales, relacionar medianteconsideraciones termodinamicas los datos proporcionados porestas dos tablas.

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Figura 6: Dispositivo experimental de Leslie, mostrando el cubo metalicodotado de un termometro, los colimadores, el focalizador y el termometro di-ferencial. , (M. Rico, M. Santisteban, Manual de Fısica y Quımica, Madrid,1865)

(ii) Presumiblemente, ¿de que color sera el albayalde?(iii) Si se averigua que el albayalde es blanco, ¿como se pueden ex-

plicar los valores de sus facultades reflectora y radiante tan cer-canos al negro de humo?

Puesto que los datos han sido obtenidos en una epoca en que losdispositivos utilizados eran poco precisos, hay que admitir ciertastolerancias en los valores experimentales. Los resultados deben in-terpretarse desde nuestro punto de vista utilizando la actual teorıatermodinamica de la radiacion, particularmente en este caso, la Leyde Kirchhoff.

(i) Aunque la Ley de Kirchhoff indica que para un mismo material yuna temperatura deben ser iguales los coeficientes de absorciony de emision para cada longitud de onda, para interpretar losresultados anteriores basta enunciar la Ley de Kirchhoff comoque las superficies que emiten bien la radiacion tambien ab-sorben bien la radiacion, pues la temperatura a la que se real-izan es constante y las experiencias miden la energıa promedioreflejada o emitida en un intervalo pequeno de longitudes deonda.Puesto que la Tabla 2 proporciona la facultad reflectora, sinmas que restar de 100 esas magnitudes, se puede obtener su ca-

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pacidad de absorber la radiacion. Esta capacidad de absorberradiacion debe compararse con la facultad radiante para com-probar si, aproximadamente, se cumple la Ley de Kirchhoff. Ası,en la Tabla 4 se dan las facultades de absorcion de las distintassuperficies

Superficie Fac. Absorbente Superficie Fac. Absorbente

Laton 0 Negro humo 100Plata 10 Tinta de China 85Plomo 40 Vidrio 90Acero 17 Albayalde 90

Tabla 4: Facultad de absorcion del calorico radiante de algunas superficies.Se toma 0 para el laton y 100 para el negro de humo.

Si ahora se comparan las Tablas 3 y 4, se observa que se ajustanbastante bien a la Ley de Kirchhoff. Algunas discrepancias sepueden atribuir a errores experimentales y a que algunos ma-teriales pulidos pueden ser difıciles de obtener con el suficientegrado de pulimiento.

(ii) En vista de los resultados, da la impresion de que el albayaldedebe tener un color oscuro cercano al negro.

(iii) Una vez que se sabe que el albayalde 4 es blanco, los resultadosanteriores se pueden explicar teniendo en cuenta que a la tem-peratura de 373 K una superficie emite preferentemente en lazona de los infrarrojos (calor radiante). De acuerdo con la Leyde Wien, Tλm = 2, 98 × 103 m K, esas superficies emiten en lazona de las longitudes de onda de los ≈ 10−5 m.Aunque los materiales blancos absorben poca radiacion en lazona del visible (6000 K, ≈ 10−6 m), en la zona de infrarrojosabsorben y emiten como un cuerpo negro. Debe recordarse quela Ley de Kirchhoff se refiere a intervalos de longitud de onda, detal forma que si una superficie absorbe bien a una determinadalongitud de onda, tambien debe emitir bien a esa longitud deonda, y si a otra longitud de onda absorbe mal, tambien emitiramal. Solo los cuerpos negros emiten bien y absorben bien entodo el intervalo de longitudes de onda.

4Albayalde (del ar. al-bayad, la blancura). Carbonato basico de plomo, decolor blanco, empleado en la pintura.

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(Por tanto, pintar de blanco los edificios en zonas muy soleadases buena solucion para aliviar el calor: Durante el dıa las paredesabsorben radiacion visible al mınimo y durante la noche emitencalor (infrarrojos) igual que una superficie negra).

3 Analisis termodinamico

Como sucede con todos los sistemas termodinamicos, para desarrollarel formalismo se necesitan una serie de aportaciones externas a laTermodinamica. En este caso los conceptos externos que se van aconsiderar son, (i) la densidad de radiacion, que corresponderıa ala ecuacion energetica de estado y, (ii) la presion de radiacion, quecorresponderıa a una ecuacion termica de estado.

Para llevar a cabo un analisis termodinamico de la radiacion elec-tromagnetica en equilibrio dentro de una cavidad, se considera un re-cipiente, un cilindro por ejemplo, donde se ha hecho el vacıo, cerradopor un embolo. Este sistema se puede considerar como un cuerponegro a temperatura T . Esta superficie radia en la cavidad y porlo tanto, la cavidad tiene una cierta cantidad de energıa. Se puedesuponer que tanto las paredes interiores del cilindro como el pistontienen paredes perfectamente reflectoras 5. La radiacion de un cuerponegro perfecto debe considerarse como una radiacion en equilibrio porlo que si la radiacion esta en equilibrio con un cuerpo a temperaturaT se puede considerar que la radiacion que llena la cavidad esta ellamisma a temperatura T . No se hace ninguna hipotesis sobre su con-stitucion.

Esta idea de que la radiacion puede tener asociada una tempera-tura fue introducida por B. B. Golitsyn (1893) y permite aplicar losmetodos de la termodinamica a la radiacion. Por supuesto, esta ideade temperatura de radiacion solo se aplica a la radiacion en equilibrioo proveniente de un cuerpo negro perfecto 6.

5Aunque esta es una suposicion simplificadora no es esencial y de esta formase evita considerar intercambios de calor con la paredes

6Ya se ha demostrado que no es difıcil obtener una cavidad que radie como uncuerpo negro.

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3.1 Potencia emisiva. Densidad de radiacion.

Se consideran ahora dos caracterısticas muy importantes de la ra-diacion, la denominada potencia emisiva (tambien denominado poderemisor), e, o energıa 7 radiada por unidad de tiempo y area por unasuperficie a temperatura T , y la densidad de radiacion, u, o energıapor unidad de volumen en una cavidad de paredes a temperatura T .

3.1.1 Potencia emisiva

Para cada longitud de onda la energıa emitida, a cada temperatura,cambia por lo que la energıa total emitida o potencia emisiva, e(T )vendra dada por

e(T ) =∫ ∞

0e(λ, T )dλ

Por consideraciones de caracter experimental, se tiene que la po-tencia radiante emitida por una superficie A a temperatura absolutaT viene dada por

dQdt

= σAT 4; e = σT 4 (4)

siendo e(T ) es la potencia emisiva y donde σ = 5, 670 511 9×10−8

W·m−2·K−4 es una constante universal conocida como constante deStefan-Boltzmann. Esta expresion Ec.(4) se conoce como Ley de Ste-fan o Ley de Stefan-Boltzmann. Esta ley puede verificarse en el lab-oratorio con relativa facilidad 8.

Cuando la superficie no sea la de un cuerpo negro, es todavıaposible, con un ajuste razonable, admitir que la potencia emisiva sepuede poner como

e = εσT 4 (5)

donde ε(λ, T ) ≤ 1 da cuenta de las propiedades reflectoras o emisivasde la superficie (ver Tabla 1).

7Esta energıa es la energıa total, o energıa radiada por la superficie a todas laslongitudes de onda.

8Para el Sol se tiene una temperatura de TS = 5800 K, un radio de RS =6, 96 × 108 m y se puede admitir que emite radiacion como un cuerpo negro,ε ≈ 1. A su vez, 1000 kg de antracita, de densidad ρA = 1, 35 g·cm−3, producenuna energıa de 3× 1012 J al quemarse. Al estimar la duracion del Sol suponiendoque la radiacion se produce al quemar antracita se obtienen unos 4, 63×104 anos.Este dato puede compararse con los 4, 5× 109 anos admitidos como edad del Sol.

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3.1.2 Densidad de Radiacion

Desde el punto de vista termodinamico del equilibrio, las superficiestienen un interes menor, y el verdadero sistema termodinamico es lapropia radiacion que llena la cavidad y no las paredes 9. Puesto quela radiacion no consiste en general en una sola longitud de onda si noen el espectro total de longitudes de onda, se define la densidad deenergıa espectral u(λ, T ) de tal manera que u(λ, T )dλ es la energıacontenida por unidad de volumen entre las longitudes de onda λ yλ+dλ. Por tanto, la densidad de energıa total de la radiacion, u(T ),vendra dada por

u(T ) =∫ ∞

0u(λ, T )dλ

Una forma sencilla de obtener una expresion para la densidadenergıa de radiacion, u, es la siguiente. Ver Fig. 7. La energıaradiante transporta energıa y lo hace a velocidad finita, la velocidadde la luz 10 c = 299 792 458 m·s−1, por lo que siempre es energıa entransito. Por esta razon, la presencia de energıa radiante implica unacierta densidad de energıa, en el SI en J/m3.

Figura 7: Calculo aproximado de la densidad de energıa en radiacion enequilibrio. (C. J. Adkins, An Introduction to Thermal Physics, CambridgeUniversity Press, Cambridge (1987))

Se puede utilizar la ley de Stefan-Boltzmann Ec.(4) para esti-mar valores tıpicos de la densidad de energıa en forma de radiacion

9Aunque estas paredes no intervienen en el analisis termodinamico, son nece-sarias para alcanzar el equilibrio.

10Ver E. R. Cohen, B. N. Taylor, The Fundamental Physical Constants. PhysicsToday, August 1995, BG9 (1995) para este valor de la velocidad de la luz.

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termica. Para ello considerese una superficie negra a temperaturaT . Cada metro cuadrado de superficie emite σT 4 joules por segundo.Esta energıa se radia en todas direcciones, pero se puede suponer porsimplicidad que se emite en la direccion perpendicular a la superficie.Despues de 1 segundo, la energıa emitida habra recorrido c metros.La energıa emitida por segundo se ha expandido sobre un volumende c × 1m2. Por tanto, la energıa por metro cubico is σT 4/c. Porejemplo, a 290 K se obtendrıa una densidad de 1, 3× 10−6 J/m3. Uncalculo mas exacto (debido a que la energıa emitida no es perpendic-ular a la superficie) da una densidad de energıa cuatro veces mayor.Es decir, en realidad, ver Ec.(10),

u =U

V= 4

σT 4

c(6)

Notese que esta es una ecuacion dimensionalmente correcta y queu = u(T ), es funcion exclusivamente de la temperatura absoluta.

3.2 Presion de radiacion

Desde un punto de vista puramente termodinamico, una de las car-acterısticas mas importantes de la radicion de un cuerpo negro es eldenominado teorema de Larmor, que relaciona la densidad de energıau = U/V dentro de la cavidad de un cuerpo negro radiante de volu-men V y en equilibrio a temperatura T , con la presion P de dicharadiacion en equilibrio.

Utilizando la electrodinamica se puede mostrar 11, que la ra-diacion electromagnetica ejerce presion sobre una superficie que re-fleja o absorbe dicha radiacion. La radiacion ejerce una presion sobrelas paredes de la cavidad en la cual se encuentra encerrada y se oponea una disminucion del volumen de la misma por lo que la radiacionpuede realizar trabajo moviendo el piston contra una presion externa12.

Por tratarse de fotones, estas partıculas ejercen una cierta presion,11Y fue demostrado experimentalmente por P. N. Lebedev en 1901.12Una documentada relacion historica sobre la teorıa del cuerpo negro, su

relacion con la Termodinamica y el origen de la discontinuidad cuantica sepuede encontrar en T. S. Kuhn, La Teorıa del Cuerpo Negro y la DiscontinuidadCuantica, 1894-1912. Alianza Universidad AU262, Alianza Ed. Madrid (1980).

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P , que puede relacionarse con la densidad de energıa u = U/V , como

PV =U

3; P =

u

3(7)

A partir de esta Ec.(7), y por aplicacion del formalismo ter-modinamico, ver Sec.4, se obtendra que (Ley de Planck),

u = AT 4 (8)

donde A es una constante que debe ser calculada por procedimientosexternos a la Termodinamica.

Ejemplo RA.4 Fotones

Cuando se razona con sistemas de fotones, estos pueden ser toma-dos (virtualmente) como partıculas con momento p = mc = hν/c,siendo h = 6, 626 075 5 × 10−34 J·s la constante de Planck, en susinteracciones con la materia 13. Si se supone que el espacio estauniformemente lleno de fotones, con 1/6 de los mismos moviendoseen cada direccion, el numero de fotones que inciden contra la paredunidad por unidad de tiempo es de

In =16n 〈v〉 =

16nc ,

donde n es la densidad de fotones. Como cada uno de ellos rebota(hay tanta emision como absorcion), cada uno de ellos contribuyecon una variacion de momento de ∆p = −2mc, por lo que la presionejercida sera de

P = −∆p

∆t=

16nc(2mc) =

13n(mc2) .

Pero si cada foton se supone (virtualmente) que tiene una energıaE = mc2, se tiene que nmc2 es igual a la densidad de energıa, u, porlo que se obtendrıa que

P =u

3.

Para una radiacion a 5000 K, se tiene que

P =43

(5, 67 × 10−8

)(5000)4

(2, 99 × 108)

[(Js−1m−2K−4

)K4

(ms−1)

]= 1, 58×10−1

[N

m2

]

13De acuerdo con la teorıa de de Broglie, a una partıcula material de masa my velocidad v se le puede asociar una longitud de onda de λ = h/mv, siendop hla constante de Planck.

17

Por tanto, la presion es del orden de 1, 6×10−1 Pa, o 1, 6×10−6 atm(lo que explica que uno no salga despedido cuando sube las persianasen pleno verano, pero posibilita pensar en naves espaciales dotadasde velas amplias que navegan utilizando la presion de la radiacionsolar). En ausencia de rozamiento, la fuerza ejercida sobre una su-perficie amplia permite importantes desplazamientos. Igualmente, unanalisis de un radiometro indica que la presion de radiacion harıa quelas superficies negras (que absorben la radiacion) modificaran menossu momento que las superficies blancas(en las que la radiacion visblerebota), por lo que el radiometro deberıa moverse con las zonas negrasacercandose a la luz. Puesto que las aspas giran al reves, con la partenegra alejandose de la luz, se concluye que la presion de radiacion nopuede explicar el mecanismo de movimiento de un radiometro. A suvez, si en el bulbo del radiometro se hace un gran vacıo, el aspa nose mueve al ser iluminada.

4 Termodinamica de la radiacion

Una forma de demostrar termodinamicamente el resultado dado porla Ec.(8) a partir de la Ec.(7), es la siguiente. De acuerdo con el for-malismo termodinamico, y teniendo en cuenta que para este sistemasu relacion fundamental es dU = TdS − PdV , se tiene que, a partirde la Ec.(7),

(∂U

∂V

)T

= u = T

(∂P

∂T

)V− P =

T

3dudT

− u

3; 4u = T

dudT

, (9)

de donde integrando se obtiene para la densidad de radiacion que

u =U

V= AT 4 . (10)

Esta constante A debe calcularse por procedimientos externos a laTermodinamica, y viene dada por A = 4σ/c, donde σ es la constantede Stefan-Boltzmann y c la velocidad de la luz. .

La energıa interna de este sistema se anula en el cero absoluto 14.14Aunque no la energıa del vacıo. Incluso en el cero absoluto la energıa de una

cavidad es distinta de cero, pero debido a mecanismos no termicos.

18

A su vez, partiendo de esta ecuacion Ec.(10) se puede reobtenerpor consideraciones termodinamicas que

P = 4σ

3cT 4 . (11)

Con las expresiones anteriores, tambien la entropıa del sistemase puede obtener sin dificultad. Aplicando de nuevo el formalismotermodinamico, se tiene que

(∂S

∂V

)T

=(∂P

∂T

)V

= 4

(4σT 3

3c

), (12)

(∂S

∂T

)V

=1T

(∂U

∂T

)V

= 4(

4σc

)T 2V , (13)

de donde integrando se obtiene que

S = S0 +43

(4σc

)V T 3 = S0 +

(16σ3c

)V T 3 (14)

Pero como S = 0 para T = 0 de acuerdo con el Tercer Principio dela Termodinamica, se tiene finalmente que

S = S(T, V ) =(

16σ3c

)V T 3 . (15)

Ejemplo RA.5. Formalismo termodinamico para la radiacion

El volumen de un recinto se aumenta desde 10× 10−6 hasta 1, 010×10−3 m3, mientras las paredes se mantienen a 2000 K. Calcular: (i) Lapresion de radiacion dentro del sistema. (ii) El trabajo de expansion.(iii) La variacion de entropıa durante la expansion.

(i) La presion de radiacion es igual a P = u/3, por lo que

P =AT 4

3=

4σT 4

3c= 7, 58 × 10−16 (2000)4

3= 4, 04 × 10−3 Pa .

(ii) El trabajo de expansion viene dado por

W =∫ Vf

Vi

AT 4

3dV =

4σT 4

3c∆V = 4, 04×10−3×10−3 = 4, 04×10−6 J .

19

(iii) La variacion de entropıa para estos sistemas viene dada por

∆S =∫ Vf

Vi

4AT 3

3dV =

(43

)4σT 3

3c∆V (16)

=(

43

)7, 58 × 10−16(2000)3 × 10−3 = 8, 09 × 10−9 J/K .

5 Potencial de Gibbs

Una de las caracterısticas mas interesantes de la termodinamica de laradiacion es el hecho de que su potencial de Gibbs es identicamentecero, lo que se sigue inmediatamente de las expresiones anteriores,Ec.(10), Ec.(11) y Ec.(15),

G =(

4σc

)T 4V + V

(4σc )3

T 4 − T

[43

(4σc

)T 3V

]= 0 . (17)

Por tanto, el potencial quımico de un gas de fotones es cero. Puestoque esta funcion esta relacionada con el trabajo necesario para quitaro anadir una partıcula del sistema, se concluye que las propiedadestermodinamicas de este sistema no dependen del numero de fotonesen el mismo. En definitiva, y tratandose de partıculas de masa cero,el numero de fotones en un sistema aislado no es constante. Tambienpuede interpretarse que el potencial quımico no esta definido para unsistema de este tipo.

Ejemplo RA.6. Procesos adiabaticos con radiacion

El volumen de un recinto es de 10 × 10−6 m3, y las paredes semantienen a 2000 K. Calcular: (i) El factor en el que aumentarıala presion si el volumen se redujese reversible y adiabaticamente a lacentesima parte del volumen inicial. (ii) La temperatura final en eseproceso.

(i) Para este sistema en un proceso adiabatico reversible se cumpleque PV 4/3 =Cte, por lo que se cumple que

PiV4/3i = PfV

4/3f

20

y la presion final es un factor de

Pf

Pi=

(Vi

Vf

)4/3

= 464

respecto de la inicial.

(ii) Tambien en un proceso adiabatico,

Tf

Ti=

(Vi

Vf

)1/3

= 4, 64 ,

por lo que Tf = 4, 64 × 2000 = 9284 K.

6 Capacidades calorıficas.

Para un gas de fotones, la capacidad calorıfica a volumen constanteviene dada por

cV =CV

V=

(∂u

∂T

)V

= T

(∂s

∂T

)V

= 4(

4σc

)T 3 . (18)

Notese que para CV se cumple la ecuacion general

(∂CV

∂V

)T

= T

(∂2P

∂T 2

)V

=16σc

T 3 ,

lo que indica que CV es una funcion lineal de V . Esta dependenciade cV con T es la misma que presenta un solido no metalico 15.

La capacidad calorıfica de un gas de fotones es muy pequena. Porejemplo, a 3000 K, se tiene que cV = 8, 19 × 10−5 J/m3K donde seha tenido en cuenta que se debe poner u = 4σT 4/c. La capacidadcalorıfica de la radiacion se hace comparable a la de un gas ideal soloa temperaturas del orden de millones de grados.

En cuanto a cP , puesto que por Ec.(11) se tiene que una isobaracoincide con una isoterma y la capacidad calorıfica de una isotermaes infinito, se tiene que cP = ∞. Si se proporciona calor a presion

15Esta similitud no es una coincidencia, y un analisis microscopico demostrarala similitud entre un sistema de fotones y un sistema de fonones.

21

constante al sistema su temperatura no aumenta, aunque sı el volu-men.

Tanto la capacidad calorıfica a presion constante como el coefi-ciente piezotermico y el coeficiente de compresibilidad isoterma noestan definidos para este sistema, pues P y T no son variables inde-pendientes.

A partir de las expresiones de la energıa interna, y la presion dela radiacion, es inmediato obtener que

H = U + PV =43

(4σc

)T 4V

se tiene que (∂H

∂T

)V

=163

(4σc

)T 3V

y1CV

(∂H

∂T

)V

=43

Algunos autores identifican esta relacion con CP /CV = γ paraun gas de fotones, como sucede con un gas real. Llevando esto maslejos, por la relacion de Reech se tendrıa que γ = κT /κS . Pero loscoeficientes κT y κS no pueden ser definidos para un gas de fotones,pues P es solo funcion de T .Estas cuestiones ya indican las peculiaridades de este sistema. Escomo si se tratara de un sistema abierto (en el que varıa el numerode partıculas) pero con el mismo formalismo de los sistemas cerrados.

22

Ejemplo RA.7 Un modelo sencillo de cuerpo negro

Para una cavidad que se encuentra a una temperatura T , la dis-tribucion de energıa de la radiacion emitida por una pequena super-ficie viene dada por la Ley de Radiacion de Planck:

E(ν, T )dν =uCN(ν, T )c

4= 2πhν3c−2 (exp (hν/kT ) − 1)−1 dν ,

o potencia emitida por unidad de superficie en el intervalo de frecuen-cias ν y ν + dν, donde

uCN(ν, T )dν = 8πhν3c−3 (exp (hν/kT ) − 1)−1 dν ,

o densidad de energıa en el intervalo de frecuencias entre ν y ν + dν,es la distribucion de Planck. Esto significa que en en intervalo detiempo ∆t, un area A radia una energıa E(ν) = u(ν, T )A∆t∆ν, en elintervalo de frecuencias entre ν y ν + dν. La maxima frecuencia a laque se radia viene dada por la Ley de desplazamiento de Wien:

νm = 2, 82144(k

h

)T ,

por lo que la frecuencia es mayor (menor longitud de onda) a medidaque aumenta la temperatura. Tengase en cuenta que λ = c/ν, por loque hay que utilizar que dλ = −(c/ν2)dν al pasar de la distribucionde longitudes de onda a la distribucion de frecuencias al poner uCN.

A su vez, la tasa de energıa total emitida por unidad de superficie ytiempo viene dada por

E =∫ ∞

0

E(ν, T )dν =2π5

15k4

c2h3T 4 = σT 4 ,

que es la denominada Ley de Stefan-Boltzmann, obtenida antes deconocerse la Ley de Radiacion de Planck. La distribucion de Planckpermite obtener teoricamente el valor de la constante de Stefan-Boltzmann en funcion de otras constantes fundamentales.

Un modelo sencillo de cavidad radiante que permite explicar tantola ley del desplazamiento (ley de Wien) como la ley de la cuartapotencia de la temperatura (ley de Stefan-Boltzmann) puede basarseen los siguientes axiomas:

I. El gas de fotones se comporta como un gas ideal, con PV =NkT , siendo N el numero de fotones y k la constante de Boltz-mann.

23

II. La radiacion dentro de la cavidad consiste en N fotones cadauno de ellos con energıa hν (aproximacion monocromatica).

III. El numero N de fotones aumenta o disminuye hasta que en elequilibrio el volumen medio por foton, v, es proporcional al cubode su longitud de onda λ. Aquı λ = c/ν, donde c es la velocidadde la luz. Especıficamente se tiene que

v =V

N=

43π

(λ

2

)3

=πλ3

6,

de tal manera que, estadısticamente hablando, un foton ocupaun volumen igual al de una esfera de diametro λ.

A partir de la Teorıa electromagnetica se tiene que la presion deradiacion de una radiacion en equilibrio se relaciona con la densidadde radiacion en la cavidad mediante la expresion (Teorema de Larmor)

P =u

3,

con u = U/V . A su vez, la Teorıa Cinetica permite obtener que laenergıa que atraviesa un area unidad en la unidad de tiempo vienedada por

E =uc

4,

(el modelo 1/6 utilizado con anterioridad darıa que E = uc/6).

Puesto que se ha considerado que el gas de fotones se comporta comoun gas ideal, PV = NkT , se tiene que la energıa total dentro de lacavidad viene dada por

Nhν = uV = 3PV = 3NkT .

Este resultado indica que la frecuencia de la radiacion (monocromatica)contenida en la cavidad varıa con la temperatura segun la ley

ν =3khT ,

que serıa el equivalente en este modelo a la Ley de desplazamiento deWien. A su vez, la densidad de energıa dentro de la cavidad vienedada por

u =Nhν

V=

hν

v=

6π

hν

λ3.

Por tanto, la potencia emitida por una superficie unidad viene dadapor

E =32π

hcνλ3 ,

24

de donde, con 1/λ = 3kT/hc, se tiene que

E =35

2πk4

c2h3T 4 = 38, 6747

k4

c2h3T 4 ,

que es el equivalente en este modelo a la Ley de Stefan-Boltzmann.

La cuarta potencia de la temperatura en esta ley de Stefan-Boltzmannpuede obtenerse tambien de la siguiente manera. Teniendo en cuentaque el periodo de una oscilacion de la radiacion electromagnetica, τ ,viene dado por τ = 1/ν, se tiene que

E =32π

hc

λ3τ.

El denominador de esta expresion implica la extension de una os-cilacion en las tres dimensiones del espacio y en una dimension deltiempo. Tanto 1/λ como 1/τ son proporcionales a T , por lo que elexponente 4 esta relacionado con la dimension 4 del espacio en el quetienen lugar los fenomenos.

Si se aplica el modelo anterior al calculo del numero de fotones quehay en la cavidad, se encuentra que

N =3PV λ

hc=

4σV3k

T 3 ,

por lo que el numero de partıculas dentro de la cavidad no es cons-tante sino que varıa con la temperatura. Este resultado es coherentecon el hecho de que el potencial quımico del gas de fotones es cero.

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Ejemplo RA.8 La expansion del Universo

La expansion y el enfriamiento del Universo se puede analizar comoun problema de termodinamica. Aunque se puede considerar comoun gas de partıculas, de acuerdo con las observaciones mas recientes,parece mas adecuado considerarlo como una cavidad llena de ra-diacion, es decir, como un gas de fotones.

Se pueden adoptar dos puntos de vista. (Ver J. R. Christman, Coolingand expansion of the universe. Am. J. Phys. 63, 13 (1995); L. M.Burko, Am. J. Phys. 63, 1065 (1995); S. Blau, Am. J. Phys. 63, 1066(1995).)

Figura 8: Intensidad espectral de la radiacion cosmica de fondo. El espectroes similar al de un cuerpo negro a 2,9 K.(C. Kittel, H. Kroemer, ThermalPhysics, Freeman, 1980)

1. Conservacion de la entropıa. Puesto que el Universo como untodo no absorbe calor ni lo pierde (obviando el efecto de las es-trellas), esta expansion es adiabatica. Admitiendo ademas que laexpansion es reversible (lo que puede idealizarse suponiendo queel proceso es extraordinariamente lento), se tiene que tambien

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es isoentropica, ∆S = 0. Puesto que la entropıa es proporcionala T 3 para un gas de fotones, S = 16σ/3cV T 3, y la energıa esproporcional a T 4, U = 4σ/cV T 4, es inmediato comprobar quela energıa del universo fotonico disminuye,

∆U = −4σcViT

3i (Ti − T )

donde Vi y Ti son los volumenes y temperaturas iniciales (BigBang). Teniendo en cuenta que el numero N de fotones de unacavidad se puede estimar como

N ≈(kT

hc

)3

V

se tiene que en estas circunstancias tambien se conserva el numerode fotones del Universo.El radio actual del Universo se toma como R = 13, 2×109 anos-luz. Tomando una temperatura actual del fondo de radiacionde T = 2, 7 K, se puede estimar una temperatura inicial en elmomento en que el volumen fuera de 1 cm3, de Ti ≈ 5, 4× 1028

K.

2. Conservacion de la energıa. Otro punto de vista es considerarque la expansion del Universo no solo es adiabatica, Q = 0, si notambien contra vacıo, W = 0, por lo que ∆U = 0. En este caso,es inmediato comprobar que la entropıa del Universo aumenta,

∆S =16σ3c

ViT4i

[Ti − T

TiT

]≈ 16σ

3cViT 4

i

T

En este caso, tambien el numero de fotones aumenta con laexpansion. Se puede estimar ahora una temperatura inicial enel momento en que el volumen fuera de 1 cm3, de Ti ≈ 4, 5×1021

K.

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