UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION

FACULTAD DE INGENIERA DE MINASESCUELA DE FORMACIN PROFESIONAL MINAS

CAPTULO IIING: MONTALVO CARHUARICRA, Nelson

Aplicaciones del Modelo de

Variograma

Aplicaciones

Definir la variabilidad de un yacimiento.

a) Concepto de soporte

b) Varianza de dispersin (c/distintos soportes)

c) Varianza de estimacin

Estimacin de leyes por Kriging.

1. Soporte: es el trmino que se usa en la geoestadstica para describir el volumen en

funcin del cual se define una ley.

2. A medida que aumenta el tamao de la muestra (o del soporte de la muestra), la

varianza de las leyes resultantes disminuye.

3. El cambio en la varianza debido al cambio en el volumen se denomina la relacin

volumen-varianza.

4. Existe un tamao mnimo de bloque que se puede seleccionar ya sea como mineral o

estril. El tamao del bloque se denomina la unidad minera selectiva o UMS.

5. A medida que aumenta la UMS la varianza aumenta.

Ejemplo: un rea con sondajes en una cuadrcula regular de

aproximadamente 8 metros. En esta rea, se definen las leyes de bloque

en soportes diferentes calculando el promedio de las leyes de los

sondajes dentro de cada bloque. Los tamaos de soporte seleccionados

son bloques de 30 x 30 y 50 x 50 en el plano. En todos los casos se usa

una dimensin vertical de 12 m, correspondiente a la altura del banco.

Conclusin

NO SE PUEDE ASEVERAR LAS RESERVAS EXPLOTABLES DE UN PROYECTO SIN FIJAR UN

TAMAO DE SOPORTE!

Varianza de Dispersin

Expresa la variabilidad de las Leyes

D 2 (0 / A ) = D 2 (v / A ) + D 2(0 / v )

D 2 : Varianza

0 : Muestras puntuales

V: Bloques

A : rea

Varianza de las muestras

puntuales en un rea=

Varianza de los Bloques del rea

Varianza de las muestras puntuales

en los bloques

+

Se demostr que la Varianza disminuye al aumentar el tamao

del soporte

El modelo de variograma se puede usar para predecir la varianza de leyes en un soporte de

cualquier tamao dentro de cualquier volumen.

VI es reemplazado por las leyes de los datos individuales y el trmino m es reemplazado por la ley

media del bloque y la varianza de dispersin se interpreta como la varianza de las leyes de

muestra dentro del bloque.

.1. En la primera expresin, la diferencia al cuadrado media se computa en

todos los pares de puntos que definen el volumen v.

D v v v z x z xi j2 20( / )

_( , ) ) ( ))

1

2 n ( (

2j=1

n

i=1

n

Basado en esta relacin se puede expresar cualquier varianza de dispersin entrminos de la funcin de variograma

Se puede ver de la similitud de ambas expresiones que la varianza de dispersin de las

leyes de muestra dentro de un volumen es igual al medio de la funcin de variograma en

funcin del volumen. Se puede escribir matemticamente:

1. Mientras que la varianza de dispersin expresa la variabilidad de las leyes, la varianza de estimacin

expresa la variabilidad asociada con una

2. Estimacin o, en otras palabras, expresa la varianza de los errores de estimacin.

3. La varianza de estimacin es una medida de la dispersin de los errores aleatorios, ya que se requiere

que el estimador no tenga ningn sesgo y, por lo tanto, el error sistemtico ser cero.

4. Se puede definir la varianza de estimacin para cualquier tipo lineal de estimador, no solamente para

el estimador de kriging.

5. La caracterstica relevante del estimador de kriging es que el kriging proporciona el estimador

(ponderador) que minimiza la varianza de estimacin. As que, la varianza de estimacin ser ms

pequea cuando se aplica el kriging.

Varianza de Estimacin

La precisin describe el error

aleatorio o las fluctuaciones

en torno al valor verdadero

mientras que la exactitud

describe el error sistemtico o

el sesgo.

Tipos de erroresSistemticos y Aleatorios

El error de estimacin para un punto (E), ser la diferencia entre Z*, (la

verdadera ley del punto), y la Ley (Zx) que es resultado de su clculo a

travs de leyes xi afectados por un coeficiente Ki .

= Z* - Zx = Z* - (xi . Ki )

Si el estimador no tiene sesgo (error sistemtico nulo), la distribucin de

los errores debera seguir una distribucin normal.

El estimador usado tiene la forma :

donde los representan las ponderaciones asignadas a cada dato. La

nica restriccin para las ponderaciones es que sumen uno,

v i

i

n

iz x z x*

( ) ( }

1

La varianza de estimacin va a depender de las distancias estadsticas (Y),

promedio entre los datos y el bloque. Puesto que el modelo de variograma

es una funcin creciente, el error de estimacin aumenta o diminuye con las

distancias desde las muestras al centro del bloque.(es lo que expresa el 1er

trmino de la frmula) .

El segundo trmino de la expresin involucra el promedio de la funcin del

variograma entre las ubicaciones de las muestras. Este trmino es negativo,

as que la varianza de estimacin disminuye a medida que este trmino

aumenta (datos distanciados). Si los datos se encuentran agrupados, las

muestras bsicamente investigarn el mismo punto en el espacio y, como

consecuencia, mucha de la informacin se har redundante (aumenta la

varianza de estimacin).

El tercer trmino examina el promedio de la funcin del variograma dentro del

bloque mismo. A medida que aumenta el tamao del bloque, tambin

aumenta ese trmino, reduce la varianza de estimacin.

KRIGEADOMTODO GEOESTADSTICO

La geoestadstica ofrece un mtodo de estimacin de reservas, usando

el variograma, llamado krigeado.

Se utiliza en la evaluacin de yacimientos para estimar el valor de una

variable regionalizada, en un punto o en un bloque, a partir del uso de

factores de ponderacin.

El mtodo se caracteriza por ser el mejor estimador lineal, insesgado de la

variable.

Mejor: por que los actores de ponderacin se determinan de tal forma, que la varianza

de estimacin es mnima .

Lineal: por que es una combinacin lineal de la

informacin.

Insesgado: por que en promedio el error es nulo.

Mtodo de Clculo: primero hay que determinar los factores de

ponderacin, para obtener el valor de la variable.

Krigeado Puntual

Variable buscadaZ *= W x Z variables dadas

Ponderador a determinar

[ C ] . [ W ] = [ D ]

Estos factores se calculan a partir de un sistema de ecuaciones, en que lasincgnitas para resolver se obtienen a partir del variograma.

C: varianza de los puntos conocidos (en funcin de la distancia).

D: varianza de los puntos conocidos y el punto a estimar.

1. Los factores de ponderacin (W).

2. Los factores que multiplican a W ; Yh de variables conocidas.

3. Los valores de Y0 del punto cuestin y los conocidos.

Resumiendo las ecuaciones estn formadas por tres tipos de

componentes:

La diferencia con inverso a la distancia es que en el Krig. Se utilizan las

distancias estadsticas, no la geomtricas.

Con efecto pepita puro No se puede usar Krig.

Con efecto pepita aumenta aumenta la varianza del Krig.

Con alcance aumenta disminuye la varianza del Krig.

Ejemplo de un krigeado (puntual)

Un conjunto de 4 muestras de un yacimiento de cinc, cuyas leyes son: X1 8,2% - X2

,9,6%- X3 ,13,15%- X4 ,6,3%. El variograma a considerar se ajusta a un modelo esfrico

con alcance 250 m; C0 17 y C 66. Calcular utlizando el krigeado el valor de X0.

El primer paso es calcular las distancias geomtricas existentes entre los

puntos conocidos y entre estos y el punto a estimar ?

Luego con el modelo de

Varianza o Covariaza (-C) y la

tabla de distancias, se calculan

las matrices [ C] y [ D].Se

transforman las distancias

geomtricas en estadsticas.

Calculados los valores de las matrices [ C] y [ D], el objetivo es obtener los

valores de los ponderadores W, que es la incgnita, para eso debe calcularse

la matriz inversa de C C -1

El siguiente paso para obtener los ponderadores W, es multiplicar cada

lado de la ecuacin por C -1 .

W = C -1 x D

El valor obtenido se le asigna a un

bloque y no a un punto.

Para determinar el valor de un bloque

se lleva a cabo una discretizacin del

rea en un conjunto de puntos ( x ej:

2x2;3x3 ; 4x4)

Krigeado de Bloques

Varianza Categora

0-0,0075 Reservas probables

0,0075-0,0135 Reservas posibles

>0,0135 Reservas inferidas

Los valores que se obtienen con el Krigeado, llevan los correspondientes valores de

la varianza de estimacin, lo que permite hacer un estudio de la bondad de

estimacin.

Estos valores pueden ser interpolados y confeccionar un mapa de isovarianzas.

1. El resultado se puede proporcionar por bloques o bien por isolneas a partir

de los bloques.

2. Para el clculo de reserva de cada bloque, se deber multiplicar su

superficie x potencia x densidad.

3. Las reservas totales se pueden determinar.

4. Estimando el tonelaje y el error de estimacin.

5. Estimando la ley media y el error de estimacin.

Bustillo Revuelta, M. y Lpez Jimeno, C., 1997: Manual de evaluacin y diseo de explotaciones

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Bibliografa