SECCION 3

PROBLEMAS DE MXIMOS Y MNIMOS ABSOLUTOS PARA EL CURSO DE CLCULO APLICADO A LAS CEA.1) Suponga que x aos despus de su fundacin en 1978, cierta asociacin nacional de consumidores tena un total de f(x)=100(2x - 45x + 264x) miembros.a) En qu momento, entre 1978 y 1992, fue mayor el nmero de miembros de la asociacin? Cuntos eran los afiliados en ese momento?b) En qu momento, entre 1978 y 1992, fue menor el nmero de miembros de la asociacin? Cuntos eran los afiliados en ese momento?

SOLUCION. En ambos casos la respuesta es la solucin de la primera derivada cuando se le iguala a cero y se encuentran los valores crticos:

Para x=4 (que significa 4 aos despus de 1978, o sea en 1982), los afiliados fueron:

Para x=11 (que significa 11 aos despus de 1978, o sea en 1989), los afiliados fueron:

2) Un fabricante puede producir radios a un costo de de US$ 5.00 cada uno y estima que si se venden a x dlares cada uno, los consumidores comprarn radios por da. A qu precio debe el fabricante vender los radios para maximizar la utilidad?

SOLUCION: La utilidad es la resta entre ingresos y costos.

Utilidad = (ingresos) - (costos),Pero ingresos = (precio de venta unitario) (unidades vendidas) .

Adems, costos = (costo unitario) (unidades producidas).

Por lo que utilidad = ingresos - costos

La derivada de la utilidad es .Al despejar x, se tiene .Para determinar si tenemos una mximo o un mnimo en , calculamos la segunda derivada:

Como con cualquier valor de x la segunda derivada es negativa, entonces en tenemos un mximo.

3) GASTO DE CONSUMO.- La funcin de demanda de cierto artculo es , donde p es el precio a que se vende el artculo. A qu precio es mayor el gasto de consumo total del artculo?SOLUCION: Se debe maximizar el gasto de consumo.

Gasto de consumo = demanda por precio

Calculamos la primera derivada e igualamos a cero para encontrar el valor de p en donde se presentan los valores mximos y mnimos.

.

Para determinar si tenemos un mximo o un mnimo en , calculamos la segunda derivada:

Como con cualquier valor de p la segunda derivada es negativa, entonces en tenemos un mximo.

4) Una ley de economa establece que, en circunstancias normales, el costo medio es mnimo cuando es igual al costo marginal. Demuestre esta ley empleando el clculo.Aqu hay que trabajar slo con literales lo que simplifica el anlisis al generalizarse. Bsquese primero comprender el significado de los trminos.Costo = C (en funcin de q); produccin = q; Costo marginal es la derivada del costo C.Costo medio es la divisin del costo entre todo lo producido:

se har mnimo al derivarlo con respecto a q. Usaremos el mtodo del cociente:

Note que est igualado con el costo medio y con el costo marginal , por lo que concluimos que el costo marginal es mnimo cuando es igual al costo marginal, que era lo que se quera demostrar.5) Suponga que el costo total, en dlares, de fabricacin de q unidades est dado por la funcin

a) Exprese el costo medio de fabricacin por unidad como una funcin de q.Aqu se particularizar la generalidad analizada en el problema 4:Calculamos el valor medio dividiendo el costo total entre el total de artculos producidos (q):

b) Para qu valor de q es mnimo el costo medio?Derivemos la respuesta roja en el inciso anterior

Dado que el valor negativo no es aceptable, la solucin es

c) Para qu valor de q es igual el costo medio al costo marginal? Compare este valor con su respuesta del inciso b) y observe la ley de economa general enunciada en el problema 4.La pregunta la traducimos preguntndonos que pasa con q cuando :

Como antes, .d) En el mismo conjunto de ejes represente la funciones de costo total, marginal y medio.6) Un almacn vende monopatines al precio de US$40 por unidad. A este precio las personas han comprado 50 monopatines al mes. El propietario del almacn desea aumentar el precio y estima que por cada incremento de US$1 en el precio se vendern 3 monopatines menos cada mes. Si cada monopatn tiene un costo de US$25 para el almacn, a qu precio debera vender los monopatines para maximizar las utilidades?

SOLUCION.- Se pide maximizar las utilidades, por lo que disearemos la ecuacin que define las utilidades. Utilidad es igual a ingresos menos costos.

Cantidad de venta mensual

Ingresos

Costos

Utilidad =

Su derivada es: .Igualamos a cero para encontrar los valores crticos:

.

Si calculamos la segunda derivada de la funcin utilidad podremos probar si el valor crtico es un mximo o un mnimo:

Dado que la segunda derivada siempre ser negativa, no depende del valor de x, tenemos un mximo (utilidad mxima) cuando

7) VENTAS AL POR MENOR.- Una librera puede obtener del editor determinado libro a un costo de US$3 por unidad. La librera ofrece el libro a un precio de US$15 por ejemplar y, a este precio, ha vendido 200 ejemplares por mes. La librera planea bajar el precio para estimular las ventas y calcula que por cada reduccin de US$1 en el precio se vendern 20 libros ms cada mes. A qu precio debera la librera vender el libro para generar la mxima utilidad posible?

Se pide maximizar las utilidades. Cifras ofrecidas para cada libro: Costo = $3; Precio de Venta = $x; Utilidad = x ( 3Cantidad de venta mensual

Utilidad total = [Utilidad por libro] [cantidad de libros vendidos].Utilidad total

Su derivada es:

Igualamos a cero para encontrar los valores crticos:

.

Si calculamos la segunda derivada de la funcin utilidad podremos probar si el valor crtico es un mximo o un mnimo:

Dado que la segunda derivada siempre ser negativa, no depende del valor de x, tenemos un mximo (utilidad mxima) cuando

8) VENTAS AL POR MENOR.- Un almacn de estampas de bisbol puede obtener las del novato Mel Schlabotnik un costo de $5.00 cada una. El almacn ofrece las estampas a $10.00 cada una y, a este precio, ha vendido 50 por mes. El almacn planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada 50 centavos de reduccin en el precio se vendern 5 estampas ms cada mes. A qu precio debera vender el almacn para maximizar la utilidad total mensual?

Se pide maximizar las utilidades. Para el almacn se tiene:

Costo unitario = $5, Precio de Venta actual = $10Precio de venta desconocido = x. Cantidad total de ventas

Utilidad total = [Utilidad por estampa] [cantidad de estampas vendidas].Utilidad total

Al derivarla se obtiene .

Igualamos a cero para encontrar los valores crticos:

.

Si calculamos la segunda derivada de la funcin utilidad podremos probar si el valor crtico es un mximo o un mnimo:

Dado que la segunda derivada siempre ser negativa, no depende del valor de x, tenemos un mximo (utilidad mxima) cuando

9) Un cultivador de fritas ctricas de Florida estima que si plantan 60 naranjos la produccin media por rbol ser 400 naranjas, la cual disminuir en 4 naranjas por rbol si se planta un rbol adicional en la misma rea. Cuntos rboles debera plantar el cultivador para maximizar la produccin total?.

SOLUCION.- Lo que se pide es maximizar la Produccin, por lo que hallaremos la ecuacin que describe la produccin P.

Los rboles en total son 60 ms los que se aadan, es decir,

Cada rbol produce 400 menos 4 por rbol aadido, es decir,

La produccin total P = [Produccin por rbol][Total de rboles]

Al derivar para maximizar, da:

Igualamos a cero para encontrar los valores crticos:

.

Si calculamos la segunda derivada de la funcin utilidad podremos probar si el valor crtico es un mximo o un mnimo:

Dado que la segunda derivada siempre ser negativa, no depende del valor de x, tenemos un mximo (utilidad mxima) cuando .

De manera que el total es rboles que se deben plantar.

Cada rbol dar naranjas con lo que se tendrn un mximo de

naranjas como produccin mxima.

10) CERCADO.- El Departamento de recreacin de una ciudad planea construir un campo de juego rectangular que tenga un rea de 3600 m y rodearlo con una cerca. Cul sera la mnima cantidad de cerca requerida?

Se est pidiendo minimizar un permetro, sabiendo que el rea est fija en 3600 m2.

Funcin a minimizar

Restriccin a cumplir: .

Como el permetro est expresado con dos variables, empleamos la restriccin para reducir a una sola:

Con esta equivalencia minimizaremos el permetro derivndolo:

Igualamos a cero para encontrar los valores crticos:

.

Si calculamos la segunda derivada de la funcin utilidad podremos probar si el valor crtico es un mximo o un mnimo:

Dado que x slo puede tomar valores positivos, la segunda derivada siempre ser positiva; as que en tenemos un mnimo. Calculamos ahora el valor de y:

.

La mnima cantidad de metros es o sea metros.

11) Se ha solicitado a un carpintero que construya una caja abierta con base cuadrada. Los lados de la caja costarn $3.00 por metro cuadrado y la base costar $4.00 por metro cuadrado. Cules son las dimensiones de la caja de volumen mximo que puede construirse por $48.00?

Lo que se pide es maximizar el volumen, teniendo un costo fijo de $48.00, por lo que disearemos la ecuacin del volumen de la caja (que es un cubo). El volumen de un cubo es V = (largo) (ancho) (alto): Funcin a optimizar: .Dado que la funcin a optimizar tiene dos variables, se requiere una ecuacin auxiliar, en este caso es la restriccin del costo, el cual debe ser de $ 48.00.Un lado de la caja es xh; cuatro lados es 4xh que a $3 valen 12xh.- La base es x y a $4 cuesta 4x.-

Costo total = costo de los cuatro lados + costo de la base.

Ecuacin auxiliar (o restriccin):

De esta ecuacin despejamos x h, siendo ms fcil el despeje de h:

Sustituimos en la funcin a optimizar para dejarla expresada con una sola variable:

Con esta equivalencia maximizaremos el volumen derivndolo:

Igualamos a cero para encontrar los valores crticos:

.

Si calculamos la segunda derivada de la funcin utilidad podremos probar si el valor crtico es un mximo o un mnimo:

Dado que x slo puede tomar valores positivos, la segunda derivada siempre ser negativa; as que en tenemos un mximo. Calculamos ahora el valor de h:

.

El volumen mximo est dado por m312) Una caja cerrada con base cuadrada debe tener un volumen de 250 m. El material para las partes inferior y superior de la caja cuesta $2.00 por m y el material para los lados cuesta $1.00 por m. Puede construirse la caja por menos de $300.00?

SOLUCION.- Lo que se pide es minimizar el costo de la caja que al ser cerrada tiene 4 caras laterales y 2 tapas. Si un lado de la base es x, la superficie de la base es x, de manera que tapa y base suman 2x que a $2.00 cuestan 4x. Si la base es h, la superficie de una cara lateral es xh, mientras que 4 caras suman 4xh que a $1.00 hacen 4xh. De esta manera, el costo total de la caja es C = costos de tapa y fondo + costo de 4 lados:

Ecuacin auxiliar (o restriccin):

De esta ecuacin despejamos x h, siendo ms fcil el despeje de h:

Sustituimos en la funcin a optimizar para dejarla expresada con una sola variable:

Con esta equivalencia maximizaremos el volumen derivndolo:

Igualamos a cero para encontrar los valores crticos:

.

Si calculamos la segunda derivada de la funcin utilidad podremos probar si el valor crtico es un mximo o un mnimo:

Dado que x slo puede tomar valores positivos, la segunda derivada siempre ser positiva; as que en tenemos un mnimo. Calculamos ahora el valor de h:

.

El costo mnimo est dado por

Por esto concluimos que la caja no se puede construir por menos de $300.00

13) COSTO DE PRODUCCION. Una empresa de plsticos ha recibido un pedido del departamento de recreacin de la ciudad para fabricar 8,000 tablas de plstico para su programa veraniego de natacin. La empresa posee 10 mquinas, cada una de las cuales puede producir 30 tablas por hora. El costo de puesta en marcha de las mquinas para producir las tablas es US $20 por mquina. Una vez puestas en marcha las mquinas, la operacin es totalmente automatizada y puede ser vigilada por un solo supervisor de produccin que gana US $4.80 por hora.a) Cuntas mquinas deberan emplearse para minimizar el costo de produccin?

El costo de la puesta en marcha es . Tiempo de supervisin

Costo de supervisin

El costo de operacin es .El costo total est dado por:

Para encontrar los valores crticos calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: mquinas

b) Cunto ganar el supervisor durante la jornada de produccin si se utiliza el nmero ptimo de mquinas?

Si , Costo ptimo

c) Cunto costar poner en marcha el nmero ptimo de mquinas?

14) COSTO DE PRODUCCION.- Una empresa manufacturera recibe un pedido de q unidades de cierto artculo. Cada una de las mquinas de la empresa puede producir n unidades por hora. El costo de puesta en marcha es s dlares por mquina y el costo de operacin es p dlares por hora.a) Obtenga una frmula para hallar el nmero de mquinas que deben emplearse para mantener el costo total lo ms bajo posible.

SOLUCIN.

Costos total = C = Costo de puesta en marcha + Costo de operacin.Sea x = nmero de mquinas.Costo de puesta en marcha

Costo de operacin .Note que q artculos a n artculos por hora resulta y en p horas el costo de operacin por una mquina es , por lo que el costo de operacin para x mquinas es .b) Demuestre que el costo total es mnimo cuando el costo de puesta en marcha de las mquinas sea igual al costo de operacin de stas.

Costo total , donde la variable independiente es x.La primera derivada es .

Los valores crticos los encontramos igualando a cero y resolviendo:

Por lo anterior queda demostrado lo pedido.15) Una empresa de artculos electrnicos utiliza 600 cajas de transistores cada ao. El costo de almacenamiento de una caja durante un ao es 90 centavos, y los gastos de envo son $30.00 por pedido. Cuntas cajas debe solicitar la empresa en cada envo para mantener el costo total en un mnimo?

SOLUCIN.- En 600 cajas a x cajas por pedido el nmero de pedidos es = 600/x.

Costo de solicitud a $30 cada uno = (30)(600)/x = 18,000/x.

El costo de almacenamiento = (x/2)(.90)= .45x

El costo total es C = .45x + (1800/x).

Su derivada es C = .45 - (1800/x) = 0

.45x = 1800

x = sqr(18000/.45) = 200 cajas

Probaremos que este valor hace un mnimo en C:

La segunda derivada es C'' = 36,000/x y si hacemos x=200, resulta C'' >0 que es la condicin necesaria y suficiente para hacer un mnimo.

16) Por medio de sus estaciones autorizadas, una compaa petrolera distribuye 16,000 mapas de carreteras cada ao. El costo de poner en marcha una impresora para editar los mapas es $100.00 por cada jornada de produccin. Adems, los costos de produccin son 6 centavos por mapa y los costos de almacenamiento son 20 centavos por mapa al ao. Los mapas se distribuyen a un ritmo uniforme durante el ao y se imprimen en lotes iguales, espaciados, de manera que cada uno llega justo cuando el anterior se ha agotado. Cuntos mapas debe imprimir la compaa petrolera en cada lote para minimizar el costo?

SOLUCIN.- 16,000 mapas a x mapas por jornada, resulta un nmero de jornadas = 16,000/x

Costo de puesta en marcha = 100 (16,000/x) = 1'600,000/x

Costo de produccin = (.06) (16,000) = $ 960.00

Costo de almacenamiento = (x/2)(.20) = .1x

Costo total C = 960 + (1'600,000 /x) + .1x

La derivada es C' = 0 - (1'600,000/x) + .1 = 0

1'600,000 /x = .1

x = sqr (1'600,000 / .1)

x = 4,000 mapas

17) 3.5.5.- Suponga que el costo total, en dlares, de fabricar q unidades de cierto artculo es C(q)=3q+5q+75.

a) En qu nivel de produccin es mnimo el costo medio por unidad?

SOLUCIN.- La pregunta obliga a encontrar la ecuacin que define el costo medio que es

Cm = C(q)/q = 3q + 5 + 75/q

y su derivada C'm = 3 - 75/ q = 0

3q=75

q = 25

q = 5

b) En qu nivel de produccin el costo medio por unidad es igual al costo marginal?

El costo medio es Cm y el costo marginal es la derivada de C:

3q + 5 + 75/q = 6q + 5

-3q + 75/q = 0

-3q = -75

q = 25

q = 5, como antes.

c) En el mismo conjunto de ejes, trace la grfica de las funciones de costo medio y marginal para q>0.

18) Suponga que el costo total, en dlares, de fabricar q unidades de cierto artculo es C(q)=q+5q+162.-

a) En qu nivel de produccin es mnimo el costo medio por unidad?

Apyate en los procedimientos algebraicos del caso anterior:

Nos preguntan acerca del costo medio. Este es Cm = q + 5 + 162/q

y su derivada es C'm = 2q - 162/q

2q-162=0

q=81

q = rcub (81).

b) En qu nivel de produccin el costo medio por unidad es igual al costo marginal?

q+5+162/q = 3q+5

-2q + 162/q = 0

-2q = -162/q

q = 81

q = rcub (81), como antes.

c) En el mismo conjunto de ejes, trace la grfica de las funciones de costo medio y marginal para q>0.

IDEM.

3.5.7.- INGRESO MEDIO.- Suponga que el costo total, en dlares, de fabricar q unidades de cierto artculo es R(q) = -2q+68q-128

a) En qu nivel de ventas el ingreso medio por unidad es igual al ingreso marginal?

Rm = -2q +68 - (128/q) y adems R'= -4q+68

-2q +68 -128/q = -4q +68

2q - 128 /q = 0

2q = 128, q = 64

q = 8

b) Verifique que el ingreso medio sea creciente si el nivel de ventas es inferior al nivel del literal a) y decreciente si el nivel de ventas es superior al del literal a).

Revisaremos si el ingreso medio es creciente y decreciente en un intervalo donde q>8 y donde q