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Profesor: Javier Trigoso T.
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APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
1. CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO
Las curvas de crecimiento vegetativo de una
población, establecido como la diferencia entre
nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo
dado, siguen una ley exponencial. Siendo P0 la
población inicial e i el índice de crecimiento anual en
tanto por uno, y se considera una tasa de
crecimiento continuo, la población seguirá la ley
exponencial:
P = P0.ekt
Donde:
P: Número de individuos en el momento t.
P0: número de individuos en el momento inicial.
k: constante de crecimiento.
t: Tiempo
Ejemplo 1
En el año 2 000 la población del pueblo de San Juan de Chota era de 7 000 habitantes. Si la tasa relativa de crecimiento es de 5% al año, ¿cuál fue la población aproximada en el 2 006?
Solución:
Datos: P 0 = 7 000; k = 5%; t = 2 006 - 2 000 t = 6 años
P(6) = 7 000e 0,05(6) P(6) = 9 449,012 Luego, en el 2 006 la población de San Juan de Chota será de 9 449 habitantes aproximadamente. Ejemplo 2
Kenia tiene en la actualidad, aproximadamente 30 millones de habitantes y el
tiempo de duplicación es de 19 años, ¿qué población habrá dentro de 10 años
si la tasa de crecimiento no cambia?
Solución:
Si P se mide en millones y t en años, la función adecuada es: t/19P(t) 30.2 ,
para t = 10 será: 10/19 0,526P(10) 30.2 P(10) 30.2 30.1,4402 43,2
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Dentro de 10 años, Kenia tendrá 43.2 millones de habitantes.
Ejemplo 3
La población de la tierra crece aproximadamente al 2%
anual (crecimiento continuo). ¿Cuánto tiempo tardará en
duplicarse la población?
Solución:
Como la población crece exponencialmente, entonces rt0P(t) P .e
Donde t representa el tiempo en años y P(t) es la población en el tiempo t.
Como r = 2% = 0,02 y P(t) = 2.P0, entonces:
rt rt0 0
ln22P P .e e 2 ln2 rt t
r0,693
t 34,650,02
Entonces, tardará aproximadamente 35 años.
Ejemplo 4
La población de Chulucanas era de 3 000 habitantes en el año 1 998 y en el 2 004 fue de 4 200. Si el crecimiento se dio con una tasa relativa constante, determina dicha tasa.
Solución:
Datos: t = 2004 – 1998 Þ t = 6 años ; P 0 = 3000; P(6) = 4200 k(6) 6k 6kP(6) 3000.e 4200 3000.e 7 5.e
Tomando logaritmos a ambos miembros en la última igualdad, y aplicando
propiedades de los logaritmos, tenemos:
6kln7 ln 5.e ln7 ln5 6k
1,94591 1,60943k 0,05608
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Luego, la tasa relativa de crecimiento fue de 5,6% aproximadamente.
Ejercicios
01. Una población de conejos aumenta
anualmente en un 50 %. Si en el
momento inicial hay 100 conejos:
a. ¿Cuántos habrá dentro de 8 años?
b. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir
para que su número sea de 30 000?
02. En una colonia de insectos, cuya
población es controlada cada año, se
observa que en diez años no ocurrió
ningún suceso que alterase su ley de
crecimiento. La población existente
cada año fue los 4/3 del año anterior.
Si el año que empezó el estudio había
7 290 ejemplares, ¿cuántos había al
cabo de 6 años?
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03. Un piscicultor introduce en un
estanque mil truchas jóvenes. El dueño
estima que tres meses después sólo
quedan alrededor de 600. Encuentra
una fórmula exponencial kt0N(t) N .e
que esté de acuerdo con esta
información y úsala para estimar el
número de truchas después de un año.
04. En un estanque se introducen mil
truchas de un año de edad. Se espera
que el número N(t) de las vivas luego
de t años sea tN(t) 1000.0,9 .
Estima cuándo habrá 500 truchas
vivas.
05. En un estudio sobre la reproduc-
ción de la trucha de río, se estima que
en un determinado criadero hay 200
truchas. Transcurrido un año, se
contabilizan 360 truchas en dicho
criadero. Si suponemos que el
crecimiento es exponencial, calcula
¿cuántas truchas habrá cuando
transcurran tres años?
06. A comienzos de la década de los
90 la población de un país fue de 324
000 000 habitantes. Si su población
creciera anualmente en forma
exponencial, siguiendo la fórmula
a6P(a) 324.10 . 1,01
a ¿Cuál sería la tasa anual de
crecimiento?
b. ¿Cuál sería la población de dicho
país a mediados de la década de los
90?
c. ¿Cuál sería la población a fines de
1 992?
07. En el 2 002, la población de cierta
ciudad era de 25 000 habitantes. Si la
tasa de crecimiento anual era de 2%
a. Detremina una fórmula para estimar
la población después de t años.
b. Usa la fórmula para estimar la
población de la ciudad en el 2 030.
08. Si el crecimiento de una colonia de
abejas está determinado por la
ecuación 0,37t
230P(t)
1 56,5e
con t en
meses.
a. ¿Cuántas abejas había inicialmente?
b. ¿En cuánto tiempo las abejas
llegarán a ser una población de 150?
09. La poblacion de cierta ciudad crece
según el modelo kt0P(t) P .e , t en años.
Si en 1 990 (t = 0) su población era de
25 000 y en 1 999, era de 52 000
habitantes.
a. ¿Cuántos habitantes habrá en el año
2 010?.
b. ¿En que instante la poblacion será
el triple de la poblacion inicial?
10. Según un modelo logístico basado
en el supuesto de que la tierra no
puede soportar más de 40 000
millones de personas, la población
mundial (en miles de millones) t años
después de 1 960 está dada por una
función de la forma kt
40P(t)
1 Ce
,
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donde C y k son constantes positivas.
Halla la función de esta forma que
concuerde con el hecho de que la
población mundial era aproximada-
mente de 3 000 millones en 1 960 y de
4 000 millones en 1 975. ¿Qué predice
su modelo con respecto a cuál será la
población en el año 2 010?
11. Hace cuatro años que se repobló
una zona con 100 ejemplares de una
nueva especie de pinos. Actualmente
hay 25 000 ejemplares. Se estima que
el número N de pinos viene dado en
función del tiempo, t, por la función BtN(t) A.e , donde A y B son dos
constantes. El tiempo t se considera
expresado en años desde el momento
de la repoblación. ¿Cuánto tiempo se
ha de esperar para que haya 200 000
ejemplares?
12. Una epidemia se propaga en una
comunidad de manera que t semanas
después de su brote el número de
personas infectadas está dado por una
función de la forma kt
Bf(t)
1 Ce
,
donde B es el número de residentes en
la comunidad que son propensos a
contraer la enfermedad. Si 1/5 de los
residentes propensos estaba
infectado al principio y 1/2 de ellos
había sido infectado al final de la
cuarta semana, ¿qué fracción de
residentes propensos a la enfermedad
habrá sido infectada al final de la
octava semana?
2. CRECIMIENTO NO INHIBIDO
La mitosis, o división celular, es un proceso
universal indispensable en el crecimiento de los
organismos vivos como las amibas, plantas,
células humanas y muchas otras. Con base en una
situación ideal donde no mueren células ni hay
efectos colaterales, el número de células
presentes en un instante dado obedece a la ley
del crecimiento no inhibido. Sin embargo, en la
realidad, después de cierto tiempo el
crecimiento en forma exponencial cesa debido a
la influencia de factores como la carencia de espacio, la disminución de la fuente
alimenticia, etc. La ley del crecimiento no inhibido solo refleja de manera exacta
las primeras etapas del proceso de la mitosis.
El proceso de mitosis comienza con un cultivo de N0 células donde cada célula crece
durante cierto periodo y después se divide en dos células idénticas. Suponemos que
el tiempo necesario para que cada célula se divida en dos es constante y que no
cambia al aumentar el número de células. Después, éstas células crecen y se dividen
en dos, y así sucesivamente.
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Una fórmula que proporciona el número N de células en el cultivo después de
transcurrir un tiempo t (en las primeras etapas del crecimiento) es: kt0N(t) N .e ,
en donde N0 y K son constantes positivas, denominadas cantidad inicial y constante
de crecimiento.
Ejemplo 5
Un estudiante universitario que analiza el crecimiento de bacterias en cierto
cultivo ha reunido los siguientes datos:
Tiempo (min) Cantidad de bacterias
0 6 000
20 9 000
Emplea estos datos para hallar una función exponencial de la forma kt0Q(t) Q .e
que exprese el número de bacterias Q del cultivo como una función del tiempo en
minutos. ¿Cuál será el número de bacterias después de una hora?
Solución:
Según los datos de la tabla k(0)
0 0Q(0) 6000 Q .e 6000 Q 6000
y k(20) 20kQ(20) 9000 6000.e 9000 2 3.e
Tomando logaritmos a ambos miembros en la última igualdad, y aplicando
propiedades de los logaritmos, tenemos:
20k
3ln
2 0,4054651ln3 lne ln3 20k k k k 0,020273
20 20
Por lo tanto: 0,020273.tQ(t) 6000.e
Además, el número de bacterias después de una hora, resulta 0,020273.60Q(60) 6000.e 20 250
Después de una hora, habrá 20 250 bacterias.
Ejemplo 6
La Escherichia coli es una bacteria común que se encuentra en el intestino
humano. La tasa de crecimiento de una población de esta bacteria es
proporcional a su tamaño. En condiciones ideales de laboratorio, la cantidad de
especímenes en un cultivo se duplica aproximadamente cada 20 minutos.
a. Si la población inicial es de 80, determina una fórmula P(t) que exprese el
crecimiento exponencial de la cantidad de bacterias como función del tiempo t
(en minutos).
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b. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que una colonia de 80 especímenes
llegue a un millón?
Solución:
a. Como la tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población, el
crecimiento es exponencial, luego, P(t) es de la forma: kt0P(t) P .e …………(1)
Como la población se duplica cada 20 minutos, utilizando (1), con
P0 = 80, obtenemos: 20k 20kP(20) 160 160 80.e 2 e
Tomando logaritmos a ambos miembros en la última igualdad, y aplicando
propiedades de los logaritmos, tenemos:
20k ln2ln2 lne ln2 20k k k 0,034657
20
Por lo tanto, la fórmula es: 0,034567tP(t) 80.e
b. Debemos determinar t, de tal manera que P(t) =1 000 000.
Utilizamos el modelo exponencial hallado en (a) y tenemos: 0,034567t 0,034567t80.e 1000000 e 12500
Tomando logaritmos:
ln125000,034567t ln12500 t t 272,1928
0,034567
Por lo tanto, para que la población llegue a cien millones deben transcurrir
272,1928 minutos.
Ejemplo 7
El número de bacterias en cierto cultivo crece de 5 000 a 15 000 en 10
horas. Suponiendo que la tasa o rapidez de crecimiento es
proporcional al número de bacterias,
I. Calcula el número de bacterias al cabo de 20 horas.
II. ¿Cuánto llegará a 50 000 el número de bacterias?
Solución:
Como la rapidez de crecimiento es proporcional al número de
bacterias, entonces kt0eN)t(N
Donde t representa el tiempo en horas y N(t) es la población de las bacterias en el
tiempo t.
Como N(0) = 5 000 es la población inicial, entonces: ktN(t) 5000.e
y como N(10) = 15 000, entonces: t
kt 10ln315000 5000.e k N(t) 5000.(3)
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I. Al cabo de 20 horas habrá bacterias00045)3(0005)20(N 2
II. Resolvemos la ecuación: 96,203ln
10ln10t)3(000500050 10
t
Así la población llegará a 50 000 bacterias en 20,96 horas.
Ejercicios
13. Una colonia de bacterias crece de
acuerdo a la ley del crecimiento no
inhibido. Si la cantidad de bacterias se
duplica en tres horas, ¿cuánto tiempo
tardará la colonia en triplicar su
número?
14. El número de bacterias que hay en
cierto cultivo en un tiempo t está dado
por tQ(t) 2.3 , en donde t se mide
en horas y Q(t) en miles de unidades.
¿En qué tiempo habrán 3,46 mil
bacterias?
15. En un cultivo de bacterias la tasa
de crecimiento es proporcional al
número de bacterias. Si la población
inicial es de 80 bacterias y luego de
10 horas hay 1 000 bacterias,
determina el número de bacterias
luego de 15 horas.
16. El crecimiento de la población de
un cultivo de protozoarios está dado
por el modelo 0,04t0P(t) P .e , donde
P0 es la población inicial. Si en el
instante t = 2 horas y t = 8 horas hay
una población de 100 y 350
protozoarios respectivamente,
determinar P0.
17. Si el tiempo que demora en
duplicarse una población de bacterias,
con una tasa de crecimiento anual r,
compuesto de manera continua, se
expresa como:
r
2lnt
¿Cuánto tardará en duplicarse una
población cuya tendencia de
crecimiento se da con una tasa de
crecimiento anual del 3,5%?
18. El número de bacterias de cierto
cultivo crece de 2 000 a 32 000 en 12
horas. Suponiendo que la tasa de
rapidez de crecimiento es proporcional
al número de bacterias.
a. Calcula el número de bacterias
luego de 15 horas.
b. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir
para que la población se quintuplique?
19. El número de bacterias de cierto
cultivo se incrementó de 600 a 1 800
en 2 horas. Suponiendo que el
crecimiento es exponencial, t horas
después de las 7:00 a.m., el número
f(t) de bacterias está dada por:
t/2
f(t) 600. 3 . Calcula el número de
bacterias en el cultivo a las 8:00 a.m.,
a las 10:00 a. m. y a las 11:00 a.m.
20. Los biólogos han observado que la
mayoría de las bacterias, en
condiciones ideales, se reproducen
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mediante modelos de crecimiento
exponencial. Si la población inicial de
bacterias en cierto cultivo era de 800.
Si la tasa relativa de crecimiento es
de 30% por hora:
a. ¿Cuál será la población estimada de
bacterias después de un día?
b. ¿Cuál será la población estimada de
bacterias después de dos días?
3. DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA
Por su naturaleza los elementos radioactivos tienden
a disminuir hasta agotarse completamente conforme
transcurre el tiempo. Si t representa al tiempo
(medido en años, meses, días) y N(t) la cantidad
medida en gramos, miligramos, etc.) del elemento
radioactivo, entonces kt0N(t) N .e representa la
ley de decrecimiento exponencial del elemento
radioactivo según transcurre el tiempo, donde N0 es la cantidad inicial, K es la
constante de decrecimiento.
Ejemplo 8
Una sustancia radioactiva se desintegra siguiendo una función exponencial. La
cantidad inicial es de 10 gramos, pero después de 200 años es de 2 gramos.
Calcula la cantidad que hubo después de 100 años.
Solución:
Como la sustancia se desintegra exponencialmente y desde los 10 gramos,
entonces: kte.10)t(C
Además 200k 200k 200k1C(200) 2 10.e e 5 e ln5 200k
5
ln5 1,609437
k k k 0,00804200 200
Luego, reemplazando k obtenemos la fórmula de desintegración radioactiva: 0,00804.tC(t) 10.e
Nos piden C(100) 0,00804.100 0,804C(100) 10.e C(100) 10.e
C(100) 10.0,4475 4,475
Luego, la cantidad que hubo después de 100 años fue de 4,48 gramos
aproximadamente.
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Ejemplo 9
Supongamos que hay 20 g de radio disponibles inicialmente, ¿Qué porcentaje
de los 20 g se habrá desintegrado después de 100 años.
Solución:
Como la sustancia se desintegra exponencialmente y desde los 20 gramos,
entonces: ktC(t) 20.e , siendo k = 0,000418
Nos piden C(100)
1812,19)100(Ce.20)100(Ce.20)100(C 0418,0)100.(000418,0
El resto es: 20 – 19,1812 = 0,8188
El porcentaje es: 0,8188 100
4,09420
Se ha desintegrado aproximadamente el 4,1%
Ejercicios
21. Una sustancia radiactiva se
desintegra siguiendo una función
exponencial. La cantidad inicial de
masa es de 10 gramos pero después de
200 años la masa se reduce a 2
gramos. Calcula la cantidad de masa
después de 100 años.
22. Se tiene dos muestras de
sustancias radioactivas A y B; luego de
t años las masas en mg, de estas
muestras son:
mA(t) = 120.e-0,0004t,
mB(t) = 160.e-0,0006t
a. Determina la vida media de cada
sustancia.
b. ¿Cuánto tiempo pasará para que
ambas masas sean iguales?
(Sug. Resolver: mA(t) = mB(t)).
23. El poder radioactivo de una
sustancia se va perdiendo a medida
que transcurre el tiempo, según la
fórmula 0,05tP(t) 1,5.e , siendo t el
tiempo en años. ¿Despúes de cuánto
tiempo su poder radiactivo se reducirá
a la mitad?
24. Una sustancia radiactiva se
desintegra de forma que la cantidad
de masa que queda después de t días
está dada por la función 0,015.tm(t) 13.e , donde m(t) se mide
en kilogramos.
a. Determina la masa en el tiempo t = 0
b. ¿Cuánta masa queda después de 45
días?
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25. Los médicos utilizan yodo
radiactivo como trazador en el
diagnóstico de ciertos desordenes
de la glándula tiroides. Este tipo de
yodo se desintegra de forma que la
masa que queda después de t dias está
dada por la función 0,087.tm(t) 6.e ,
donde m(t) se mide en kilogramos.
a. Determina la masa en el tiempo t = 0
b. ¿Cuánta masa queda después de 20
días?
26. La vida media de un elemento
radioactivo se define por el tiempo
que tarda en desintegrarse la mitad
de ese elemento para transformarse
en un nuevo elemento. La vida media es
la medida de la estabilidad del
elemento, es decir, cuanto más corta
sea la vida media, más inestable es el
elemento. El modelo matemático para
hallar la vida media de un elemento
radioactivo está dado por 0,000418.t
0C(t) C .e
Halla la vida media del radio.
27. La semivida del radio es de 1 600
años. si la cantidad inicial es qo
miligramos, y la cantidad q(t) restante
después de t años está dada por kt
0q(t) q .2 , halla k.
28. El trazador (o marcador)
radiactivo 51Cr puede usarse para
localizar la posición de la placenta de
una mujer embarazada. A menudo se
debe pedir esta sustancia a un
laboratorio médico. Si se envían A0
unidades (en microcuries), entonces,
debido al decrecimiento radiactivo, el
número de unidades A(t) que quedan
después de t días está dado por 0,0249.t
0A(t) A .e
a) Si se envian 35 unidades del
trazador y este tarda 2 días en llegar,
¿de cuántas unidades se dispone para
el análisis?
b) Si se necesitan 49 unidades para la
prueba, ¿cuántas unidades se deben
enviar?
4. DATACIÓN DE VESTIGIOS ARQUEOLÓGICOS
En los materiales radiactivos, la masa disminuye
exponencialmente con el tiempo con una tasa que
depende de la mayor o menor estabilidad del
material radiactivo. Para medirla se emplea el
concepto de “vida media”, que es el tiempo que se
requiere para que la masa del material disminuya a
la mitad del valor original.
El dióxido de carbono (CO2) del aire contiene el
isótopo radioactivo 14C, así como el isótopo estable
de carbono 12 (12C).
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Las plantas vivas absorben dióxido de carbono del aire, lo que implica que la razón
de 14C a 12C en una planta viva (o en un animal que se alimenta de plantas) es la
misma que en el aire.
Cuando un animal o una planta mueren, la absorción de dióxido de carbono cesa.
El 12C que está es la planta o en el animal permanece igual que en el momento de la
muerte (permanece constante), mientras que el 14C decrece y la razón de 14C a 12C,
que representaremos por R(t), decrece exponencialmente, esto es: kt0R(t) R .e
Donde R0 es la razón de 14C a 12C encontrada en la atmósfera (constante), y k es
una constante positiva. Al comparar R(t) con R0 se puede estimar la edad de la
muestra.
Ejemplo 10
Todos los seres vivos, al morir tienen la misma proporción de Carbono 14 en su
cuerpo (debido a que lo absorben del medio mientras están vivos). Si el fósil
corresponde a un animal que murió hace 10 000 años, ¿Qué proporción
conserva de la cantidad inicial de Carbono 14?
Solución:
Como h = 5 600 años, se tiene que: t/5600
10 2
M(t) M .
Así que: 10000/5600 1,7857
1 10 0 02 2
M(10000) M . M M .0,2900
Luego, después de 10 000 años aun queda el 29% del Carbono 14 original.
De este modo se determina la edad de muchos fósiles.
Ejemplo 11
Un arqueólogo ha encontrado un fósil en el que la razón de 14C a 12C es 1/3 de
la razón encontrada en la atmósfera. ¿Qué edad tiene aproximadamente el
fósil?
Solución:
Por dato 0R3
1)t(R , entonces kt kt kt0
0
R 1R .e e 3 e
3 3
Como la vida media del 14C es de 5 600 años,
5600k 400
N ln2 0,69314N .e k k k 1,23776 10
2 5600 5600
Reemplazando, resulta 41,23776 10 .t 4 43 e ln3 1,23776 10 .t 1,09861 10 1,23776.t
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12
= 8 875,791
Por lo tanto la edad aproximada del fósil es 8 875,791 años.
Ejercicios
29. ¿Cuál es la antigüedad de un hueso
de un animal que ha perdido el 35% de
su C-14?
30. En una momia
descubierta en una
pirámide en el Valle
de los Reyes había
el 46% de su
carbono – 14. ¿Cuál
es su edad?
31. Una momia se encontró con
1/1000 de la cantidad de C-14 que su
organismo contenía mientras vivió.
Halla la edad aproximada de la momia.
32. Un fechado realizado en el año
2 000, reveló una antigüedad de 540
años para la momia Juanita,
encontrada en el nevado de Ampato.
¿Qué cantidad de C-14 tenían sus
restos cuando la encontraron?
33. La edad de un objeto antiguo se
puede determinar por la cantidad de
carbono 14 radiactivo que permanece
en él. Si D0 es la cantidad inicial de
carbono 14 y D es la cantidad
restante, entonces la edad A del
objeto (en años) se determina por
0
DA 8267.ln
D
Encuentra la edad de un objeto si la
cantidad D de carbono 14 que
permanece en él es 73% de la
cantidad original D0.
34. En 1 947, un ganadero árabe entró
a una gruta cerca de Qumram a las
orillas del Mar Muerto en busca de
una cabra perdida. Encontró algunas
vasijas de barro que contenían lo que
conocemos como los rollos del Mar
Muerto. Se analizaron los escritos y
se determinó que contenían 76% de
su carbono – 14 original. Estima la
edad de los rollos del Mar Muerto.
35. Si se estima que un fósil tiene
1 millón de años, ¿qué porcentaje
contiene de su carbono – 14 original?
