Cálculo II - MAT 102 Aux.: Gunnady R. Caro C.

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1. Halla la ecuación del plano paralelo al vector (3,-1,2) y que además contiene a la recta de intersección

de los planos x+y=3 ; 2y+3z=4.

Solución:

Recta de intersección:

{𝑥 + 𝑦 = 32𝑦 + 3𝑧 = 4

de la 2da ecuación:

𝑦 = 2 −3

2𝑧

sea: 𝑧 = 𝑡

⇒ 𝑦 = 2 −3

2𝑡

reemplazando z e y en la 1ra ecuación:

𝑥 + (2 −3

2𝑡) = 3

𝑥 = 1 +3

2𝑡

la recta de intersección de los planos es la recta con ecuación:

{

𝑥 = 1 +

3

2𝑡

𝑦 = 2 −3

2𝑡

𝑧 = 𝑡

cuyo vector dirección es: ⟨3

2, −

3

2, 1⟩

el vector normal del plano será el producto vectorial entre el vector paralelo al plano y el

vector dirección de la recta contenida en el plano:

𝑛 = |

𝑖 𝑗 𝑘3 −1 23

2−3

21 | = 2𝑖 − 3𝑘

un punto por el que pasa el plano se presenta cuando t = 0, en la ecuación de la recta:

{

𝑥 = 1 +3

2𝑡

𝑦 = 2 −3

2𝑡

𝑧 = 𝑡

con 𝑡 = 0 → 𝑃(1, 2, 0)

finalmente la ecuación del plano es:

2(𝑥 − 1) + 0(𝑦 − 2) − 3(𝑧 − 0) = 0

𝟐𝒙 − 𝟑𝒛 = 𝟐

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2. Determinar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos x+y+z=6 ; y+3z=5

y es perpendicular al plano x-2y+3z=12.

Solución:

Recta de intersección:

{𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6𝑦 + 3𝑧 = 5

de la 2da ecuación:

𝑦 = 5 − 3𝑧

sea: 𝑧 = 𝑡

⇒ 𝑦 = 5 − 3𝑡

reemplazando z e y en la 1ra ecuación:

𝑥 + (5 − 3𝑡) + 𝑡 = 6

𝑥 = 1 + 2𝑡

la recta de intersección de los planos es la recta con ecuación:

{𝑥 = 1 + 2𝑡𝑦 = 5 − 3𝑡𝑧 = 𝑡

cuyo vector dirección es: ⟨2, −3,1⟩

el vector normal del plano será el producto vectorial entre el vector normal del plano

x-2y+3z=12 y el vector dirección de la recta contenida en el plano:

𝑛1 = ⟨1,−2, 3⟩

𝑛 = | 𝑖 𝑗 𝑘1 −2 32 −3 1

| = 7𝑖 + 5𝑗 + 𝑘

un punto por el que pasa el plano se presenta cuando t = 0, en la ecuación de la recta:

{𝑥 = 1 + 2𝑡𝑦 = 5 − 3𝑡𝑧 = 𝑡

con 𝑡 = 0 → 𝑃(1, 5, 0)

finalmente la ecuación del plano es:

7(𝑥 − 1) + 5(𝑦 − 5) + 1(𝑧 − 0) = 0

𝟕𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝒛 = 𝟑𝟐