GUA DE ACTIVIDADESEl trabajo consiste de dos actividades (una terica y una prctica), con una solaEntrega.Actividad Terica: La primera actividad est compuesta de una serie de ejercicios que debern ser desarrollados de forma analtica por cada uno de los estudiantes del grupo colaborativo.Ejercicio 1: (a) Encuentre los valores de y(KT) para k = 0,1,2,3,4, cuando:

(b) Obtenga una solucin en forma de expresin cerrada para y (KT) como una funcinDe k.

Ejercicio 2: Un sistema tiene una respuesta y (KT) = KT, para k 0. Encuentre y(z)Para esta respuesta.

Ejercicio 3: Encuentre Y(z) cuando T = 0.1 segundos, para la funcin:

Ejercicio 4: Considere el sistema de datos muestreados en lazo abierto mostrado aContinuacin

Determine la funcin de transferencia G(z) cuando el periodo de muestreo es t = 1Segundo.

2. Actividad Prctica: La segunda actividad est compuesta de una serie de Ejercicios que debern ser desarrollados utilizando una herramienta de softwareComo SCILAB o MATLAB.Ejercicio 1: Desarrolle un script que convierta las siguientes funciones de Transferencia en tiempo contino a sistemas de datos muestreados. Suponga un Periodo de muestreo de 1 segundo y un retenedor de orden cero G0(s).

Ejercicio 2: La funcin de transferencia en lazo cerrado de un sistema de datosmuestreados est dada por

(a) Calcule la respuesta escaln unitario del sistema. (b) Suponga un periodo de muestreo T = 1 segundo y determine la funcin de transferencia en tiempo continuo equivalente de T(z). (c) Calcule la respuesta escaln unitario del sistema continuo (no muestreado), y compare la grfica con el inciso (a).

DESARROLLO DE ACTIVIDAD

Solucin:

Sabiendo que:

Es posible hallar los valores de X[k], Esta se conoce como la transformada Z bilateral. La ecuacin (1.1) podemos resolverla dividiendo el numerador con el denominador, de ser as, se podra llegar a una expresin como la ecuacin (1.2).Multiplicando la ecuacin (1.1) por se tiene:

Lo cual:

Comparando con la ecuacin (1.2) obtenemos los valores de K cuando K=0,1,2,3,4,

Estos valores dependen del periodo de muestreo T.

Desarrollando por fracciones parciales, la ecuacin:

Tenemos:

Teniendo la ecuacin:

Es posible aplicar la transformada inversa Z obtenemos y hallar la respuesta y(kT), multiplicando por la ecuacin anterior:

Aplicando la transformada inversa Z:

Solucin:

Aplicando la transformada Z a la ecuacin anterior, se tiene que:

Solucin:Se tiene la funcin en trminos del dominio de Laplace:

Aplicando fracciones parciales tenemos que:

Cuyas soluciones para las constantes son:

Luego, reemplazamos el valor de las constantes:

Cuya solucin en el tiempo, gracias a la transformada inversa de Laplace, es:

Pasando del dominio continuo al dominio discreto, para aplicar la transformada Z, tenemos:

La ecuacin anterior est en el dominio discreto, aplicacin la transformada Z a esta ecuacin tenemos:

Para T=0.1, la transformada Z da como resultado:

Solucin:La expresin total de la funcin de transferencia seria:

El retenedor de orden cero ZOH (zero orderhold), genera una seal continua h(t) manteniendo oreteniendo cada valor de la muestra cada periodo de muestreo. Este a su vez genera una respuesta en el dominio de la frecuencia de la forma:

Cuya funcin de transferencia total viene dada por:

Resolviendo esta expresin se llega a una solucin nica de la forma:

Si llamamos al segundo trmino de esta forma:

La solucin se reduce a:

Aplicando la transformada Z:

Entonces, la transformada Z estara dada por la solucin (1.3), solo es necesario encontrar la transformada Z de la expresin y reemplazarla en la ecuacin (1.3), como sigue:

Cuyas soluciones son:

Luego:

Cuya solucin en el tiempo, gracias a la transformada inversa de Laplace, es:

Pasando del dominio continuo al dominio discreto, para aplicar la transformada Z, tenemos:

La ecuacin anterior est en el dominio discreto, aplicacin la transformada Z a esta ecuacin tenemos:

Para T=1, la transformada Z da como resultado:

Luego, la funcin de transferencia total G(z) estar dada por:

FASE 2

Ejercicio 1: Desarrolle un script que convierta las siguientes funciones de Transferencia en tiempo contino a sistemas de datos muestreados. Suponga un Periodo de muestreo de 1 segundo y un retenedor de orden cero G0(s).

SOLUCION

SCRIPT 1

%Conversion de funcion de transferencia en tiempo discreto a sistemas de%datos muestreados.%introducimos el valor del numerador de la funcion de transferencianum=[1]%introducimos el valor del denominador de la funcion de transferenciaden=[1]%porcedemos a la discretizacion del sistema de acuerdo con la siguiente%sintaxis%[Nz,Dz] = c2dm (N,D,Ts,'metodo'), donde numd y dend correponde a los%plinomios en tiempo discreto, c2dm transforma un sistema continuo a un%discreto, Ts es el tiempo de muestreo y 'metodo'Donde mtodo es el%procedimiento de discretizacin y puede ser zoh retenedor de orden cero,%foh retenedor de primer orden,imp Discretizacin de impulso invariante%tustin Aproximacin Bilinear Tustin matched Mapeo de Polos y Ceros%Por defecto cuando el mtodo es omitido se usa el zoh%entonces procedemos[numd,dend]= c2dm(num,den,1,'zoh')

SCRIPT 2

%Conversion de funcion de transferencia en tiempo discreto a sistemas de%datos muestreados.%introducimos el valor del numerador de la funcion de transferencianum=[1]%introducimos el valor del denominador de la funcion de transferenciaden=[1 0 2]%porcedemos a la discretizacion del sistema de acuerdo con la siguiente%sintaxis%[Nz,Dz] = c2dm (N,D,Ts,'metodo'), donde numd y dend correponde a los%plinomios en tiempo discreto, c2dm transforma un sistema continuo a un%discreto, Ts es el tiempo de muestreo y 'metodo'Donde mtodo es el%procedimiento de discretizacin y puede ser zoh retenedor de orden cero,%foh retenedor de primer orden,imp Discretizacin de impulso invariante%tustin Aproximacin Bilinear Tustin matched Mapeo de Polos y Ceros%Por defecto cuando el mtodo es omitido se usa el zoh%entonces procedemos[numd,dend]= c2dm(num,den,1,'zoh')

SRIPT 3

%Conversion de funcion de transferencia en tiempo discreto a sistemas de%datos muestreados.%introducimos el valor del numerador de la funcion de transferencianum=[1 4]%introducimos el valor del denominador de la funcion de transferenciaden=[1 3]%porcedemos a la discretizacion del sistema de acuerdo con la siguiente%sintaxis%[Nz,Dz] = c2dm (N,D,Ts,'metodo'), donde numd y dend correponde a los%plinomios en tiempo discreto, c2dm transforma un sistema continuo a un%discreto, Ts es el tiempo de muestreo y 'metodo'Donde mtodo es el%procedimiento de discretizacin y puede ser zoh retenedor de orden cero,%foh retenedor de primer orden,imp Discretizacin de impulso invariante%tustin Aproximacin Bilinear Tustin matched Mapeo de Polos y Ceros%Por defecto cuando el mtodo es omitido se usa el zoh%entonces procedemos[numd,dend]= c2dm(num,den,1,'zoh')

SCRIPT 4

%Conversion de funcion de transferencia en tiempo discreto a sistemas de%datos muestreados.%introducimos el valor del numerador de la funcion de transferencianum=[1]%introducimos el valor del denominador de la funcion de transferencia y%realizamos la convolucion del denominadorden=conv([1],[1 8])%porcedemos a la discretizacion del sistema de acuerdo con la siguiente%sintaxis%[Nz,Dz] = c2dm (N,D,Ts,'metodo'), donde numd y dend correponde a los%plinomios en tiempo discreto, c2dm transforma un sistema continuo a un%discreto, Ts es el tiempo de muestreo y 'metodo'Donde mtodo es el%procedimiento de discretizacin y puede ser zoh retenedor de orden cero,%foh retenedor de primer orden,imp Discretizacin de impulso invariante%tustin Aproximacin Bilinear Tustin matched Mapeo de Polos y Ceros%Por defecto cuando el mtodo es omitido se usa el zoh%entonces procedemos[numd,dend]= c2dm(num,den,1,'zoh')

Ejercicio 2: La funcin de transferencia en lazo cerrado de un sistema de datos muestreados est dada por

(a) Calcule la respuesta escaln unitario del sistema. (b) Suponga un periodo T = 1 segundo y determine la funcin de transferencia en tiempo continuo equivalente de T(z). (c) Calcule la respuesta escaln unitario del sistema continuo (no muestreado), y compare la grfica con el inciso (a).

SOLUCION

Para hallar la respuesta del escaln unitario del sistema, tomamos el siguiente procedimiento:Ingresamos el numerador de nuestra funcin de transferencia, teniendo en cuenta de realizar la convolucon de este para que nos quede expresado en un solo polinomio, continuamos con nuestro procedimiento. numd=conv([1.7],[1 .046]) ingresamos el denominador dend=[1 1 .5] generamos la funcion de transferencia sys=tf(numd,dend,1) Generamos un escaln unitario y observamos la respuesta del sistema ante la entrada escaln y graficamos y=step(numd,dend) plot(y,'.') grid title ('Respuesta escalon de un sistema discreto') xlabel ('Periodo de muestreo') ylabel ('Salida')

Ahora utilizamos el comando stairs(y): Para obtener una respuesta con la forma escalonada tpica de sistemas digitales, simulando que la salida se mantiene constante entre dos periodos de muestreo, bastara con reemplazar la instuccion plot(y,'.') del ejercico anterior por stairs(y)

numd=conv([1.7],[1 .046]) dend=[1 1 .5] sys=tf(numd,dend,1) y=step(numd,dend) stairs(y) grid title ('Respuesta escalon de un sistema discreto') xlabel ('Periodo de muestreo') ylabel ('Salida')