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TEMA 4
PSICOLOGÍA DE LA ENSEÑANZA
APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
Dr. José María Roa Venegas
Dpto. Psicología Evolutiva y de la EducaciónDr.José Mª Roa Venegas. UGR.
SUMARIO
INTRODUCCIÓN
MODELOS DE CONOCIMIENTO MATEMÁTICO
ADQUISICIÓN Y DESARROLLO DEL CÁLCULO
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ARITMÉTICCOS
DIFICULTADES EN EL PARENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 2
El cerebro viene preparado para la cuantificación tener el concepto de
número, discriminación para mucha cantidad o poca, etc.
El lóbulo parietal está especialmente implicado en el funcionamiento
cuantitativo. También está involucrado en la representación del espacio.
La resta se circunscribe al lóbulo parietal. La suma y la multiplicación en
zonas subcorticales que engloban ganglios basales del hemisferio izquierdo.
Cálculos superiores el córtex prefrontal.
Habilidades matemáticas, están distribuidas en diferentes partes del cerebro.
Distintos tipos de enseñanza pueden activar patrones neuronales bien distintos
aunque traten los mismos contenidos
Esta unión hace que las enseñanzas de las matemáticas serán más efectivas si
ligan número y espacio.
INTRODUCCIÓN
Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 3
También el tratamiento lingüístico de los números supone implicación de
áreas cerebrales relacionadas con la actividad lingüística.
Mathematika Platónica.
Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 4
ENSEÑANZA DE LAS
MATEMÁTICAS
Tradicionalmente
Enseñar conjunto de habilidades
aisladas y que hay que aprender
por la práctica repetitiva
• Los alumnos no comprenden lo que hacen
• Poseen un escaso conocimiento de los principios que subyacen
• Incapaces de hacer transferencias
• Creencias sobre la improductividad y negatividad
• Enfoque cognitivo y socioconstructivista
• El alumno debe adquirir un cuerpo de conocimientosconceptuales y procedimentales en los que basar unconjunto de estrategias de solución de problemas
• Debe saber cómo comprender y representar problemas entérminos matemáticos
• Creencias y actitudes positivas sobre sí mismo y elconocimiento.
• Hacer transferencia del conocimiento
ENSEÑANZA DE LAS
MATEMÁTICAS
Actualmente
CRÍTICA
Reconocer si la información conceptual o
procedimental se adecua al problema
concreto
Consiste en estrategias generales de solución de problemas que el aprendiz utiliza para
ajustar el conocimiento conceptual y
procedimental a la solución de un
problema específico
Las heurísticas de solución de problemas matemáticos generan estrategias útiles sólo
después de que se haya adquirido un
importante conocimiento
matemático conceptual y procedimental
EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO
MODELO DE CONOCIMIENTO HEURÍSTICO POLYA
MÉTODO HEURÍSTICO
PROBLEMA
Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 5
PROCEDER - algorítmico - heurístico
El modelo incluye un diccionario de heurística que agrupa: las estrategias, las partes,
los procesos generales, los métodos de demostración y las emociones que intervienen
en la resolución de problemas.
Considera que el razonamiento heurístico, aunque poco riguroso, resulta un método
muy plausible para resolver un problema. Compara la intuición y la demostración
formal con la percepción de un objeto por dos sentidos diferentes
Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 6
1) Comprender el Problema. Resume la información dada y que se deseadeterminar.
2) Concebir un Plan. Expresa la relación entre los datos y la incógnita a través deuna ecuación o fórmula. Busca patrones. Para Pólya en esta etapa del plan elproblema debe relacionarse con problemas semejantes.
3) Ejecución del Plan. Resuelve la ecuación, evalúa la fórmula, identifica eltérmino constante del patrón, según sea el caso.
4) Examinar la Solución. Se examina la solución que se obtuvo analizando si larespuesta tiene sentido, en esta fase del proceso es muy importantedetenerse a observar qué fue lo que se hizo; se necesita verificar el resultadoy el razonamiento seguido.
Método de los Cuatro Pasos
Método de los Cuatro Pasos
1) Comprender el Problema. Resume la información dada y que se deseadeterminar.
2) Concebir un Plan. Expresa la relación entre los datos y la incógnita a través deuna ecuación o fórmula. Busca patrones. Para Pólya en esta etapa del plan elproblema debe relacionarse con problemas semejantes.
3) Ejecución del Plan. Resuelve la ecuación, evalúa la fórmula, identifica eltérmino constante del patrón, según sea el caso.
4) Examinar la Solución. Se examina la solución que se obtuvo analizando si larespuesta tiene sentido, en esta fase del proceso es muy importantedetenerse a observar qué fue lo que se hizo; se necesita verificar el resultadoy el razonamiento seguido.
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1- El texto proporciona la base para
la comprensión de la tarea
(el lenguaje usado es un factor a
tener en cuenta)
2- Esto lleva a la representación del
problema que se extrae de una red
de esquemas de problemas
almacenada en la MLP
3- Al activarse determinados
esquemas se representa en la MCP
un esquema de acción
RESUMEN
Todo problema aritmético tiene tres clases
de conocimiento
A- Esquema de problemas
B- Esquemas de acciones
C- Conocimiento estratégico
MODELO DE RILEY
MODELO DEL CONOCIMIENTO ESTRATÉGICO RILEY
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MODELO DE PIAGET
Cuando un individuo se enfrenta a una situación problemática
intenta asimilar dicha situación a esquemas cognitivos existentes;
intenta resolver el problema mediante los conocimientos que ya
posee, situados en esos esquemas cognitivos existentes.
De esta forma, por procesos de asimilación el esquema cognitivo
existente se reconstruye o expande para acomodar la situación
problemática.
El conocimiento lógico-matemático es el que construye el niño al
relacionar las experiencias obtenidas en la manipulación de los
objetos.
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EL PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO COMPRENDE
1. Clasificación: La constituye una serie de relaciones mentales en función de
las cuales los objetos se reúnen por semejanzas, se separan por diferencias, se
define la pertenencia del objeto a una clase y se incluyen en ella subclases.
2. Seriación: Es una operación lógica que a partir de un sistema de referencias,
permite establecer relaciones comparativas entre los elementos de un
conjunto, y ordenarlos según sus diferencias, ya sea en forma creciente o
decreciente, (transitividad, reversibilidad).
3. Número: Es un concepto lógico de naturaleza distinta al conocimiento físico
o social, ya que no se extrae directamente de las propiedades física de los
objetos ni de las convenciones, sino que se construye a través de un proceso
de abstracción reflexiva. Según Piaget, la formación del concepto de número
es el resultado de las operaciones lógicas como la clasificación y la seriación;
por ejemplo, cuando agrupamos determinado número de objetos o lo
ordenamos en serie. Las operaciones mentales sólo pueden tener lugar cuando
se logra la noción de la conservación, de la cantidad y la equivalencia,
término a término.Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 10
TEORÍA DEL CONOCIMIENTO PARCIAL DE WILKINSON
Se centra en la observación de dos hechos:
1. Se refiere a la edad en que los niños manifiestan el conocimiento de un
concepto o exhiben una habilidad; esta edad puede variar
sustancialmente según el tipo de tarea solicitada para evaluar tales
conceptos o habilidades.
2. Durante el período de adquisición de un concepto o habilidad los niños
suelen dudar y vacilar entre el éxito y fracaso en la realización de las
tareas propuestas, de modo que puedan resolver correctamente algunas
pruebas, mientras fracasan en otras que son completamente similares.
El conocimiento parcial puede ser restrictivo o variable. El primero se da
cuando el niño responde bien o mal de manera consistente, como cuando
cuenta correctamente hasta cinco, pero falla siempre que tiene que contar
conjuntos más numerosos; demuestra tener un conocimiento del conteo
incompleto pero estable. En cambio, el conocimiento variable se manifiesta
cuando éxito y error se suceden frecuentemente; se observa una inestabilidad
conductual.Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 11
ADQUISICIÓN Y DESARROLLO DEL CÁLCULO
EL CONCEPTO DE NÚMERO Y OPERACIONES
La noción de “conservación” como la certeza de que todo está compuesto por
un conjunto de partes que pueden distribuirse como se desee; y la noción de
“seriación” que se refiere a la capacidad para ordenar elementos de una serie
en función de algún criterio; son requisitos para una elaboración adecuada del
número.
Desarrollo del principio de cardinalidad, (Bermejo, 1993).• En principio el niño no comprende qué es el cardinal del conjunto y responde al
azar.
• Más tarde ante la pregunta ¿Cuánto hay? Sabe que tiene que repetir la secuencia
numérica.
• En el tercer momento repite el conteo ante la misma pregunta, asignando con el
dedo un numeral a cada objeto.
• Posteriormente sabe que no es necesario indicar. Sabe que basta con decir el
último numeral, pero a veces comete errores, respondiendo con el último
numeral, o con el mayor.
• Llega la comprensión perfecta.Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 12
La noción de “conservación” como la certeza de que todo está compuesto por
un conjunto de partes que pueden distribuirse como se desee; y la noción de
“seriación” que se refiere a la capacidad para ordenar elementos de una serie
en función de algún criterio; son requisitos para una elaboración adecuada del
número.
Desarrollo del principio de cardinalidad, (Bermejo, 1993).
• En principio el niño no comprende qué es el cardinal del conjunto y responde al
azar.
• Más tarde ante la pregunta ¿Cuánto hay? Sabe que tiene que repetir la secuencia
numérica.
• En el tercer momento repite el conteo ante la misma pregunta, asignando con el
dedo un numeral a cada objeto.
• Posteriormente sabe que no es necesario indicar. Sabe que basta con decir el
último numeral, pero a veces comete errores, respondiendo con el último
numeral, o con el mayor.
• Llega la comprensión perfecta.
El niño debe elaborar de forma adecuada las operaciones de seriación y de
conservación; también considerar de forma simultánea los ordinales y los
cardinales. Cuando es capaz de utilizar estos dos sistemas, el niño entiende el
número y se abre el camino hacia las operaciones matemáticas.Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 13
Gelman y Gallistel hablan de habilidades numéricas de abstracción y de
razonamiento. Las primeras permiten al niño determinar la cantidad numérica
específica o relativa, y las segundas consisten en juicios acerca de las
transformaciones, las relaciones entre conjuntos y los efectos de la aplicación
sucesiva de varias operaciones.
Las habilidades de razonamiento sólo pueden ser aplicadas, si previamente el
niño ha logrado una representación numérica del conjunto; para lo cual
dispone de dos medios: el conteo y la percepción inmediata de la cantidad• El éxito en la primera tarea supone el dominio de cinco principios fundamentales:
a) el principio de correspondencia uno a uno
• b) el de orden estable
• c) el principio de cardinalidad
• d) el de abstracción
• e) el principio de irrelevancia del orden
Gelman y Gallistel defiende que los niños pequeños no son capaces de razonar
aritméticamente sobre cantidades que no pueden representarse de modo
preciso: pero sí podrían contar sin dificultad cantidades pequeñas.
Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 14
HECHOS NUMÉRICOS
Los hechos numéricos son intervenciones basadas en procesos de
memorización y reglas.
Se han propuesto modelos explicativos del almacenamiento y recuperación
de hechos numéricos a partir de errores observados en la recuperación de
hechos multiplicativos básicos.
Modelos de interferencia en red. Este modelo hace hincapié en que los
nodos-problemas y los nodos-respuesta confirman una red de
relaciones muy extensas; a un problema de corresponden varias
respuestas y a una respuesta varios problemas, justificando así una
variedad mayor de tipos de errores.
Modelos de distribución de asociaciones. Postulan que la información
sobre los hechos aritméticos básicos están almacenados en la memoria
en forma de nodos que representan tanto los problemas como las
soluciones.Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 15
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ARITMÉTICOS
“La superficie necesaria para sembrar un árbol es un cuadrado de 200 centímetros de
lado. Cuánto costará llenar de árboles una superficie triangular de 150 metros de base
y 200 de altura, si cada árbol cuesta 4,80 euros”.
Traducción del problema.- Supone convertir cada enunciado en una
representación interna, como al hacer un diagrama.
Integración del Problema.- Supone disponer las piezas de información del
problema en una representación coherente.
Planificación y Supervisión de la Solución.- Implica diseñar y evaluar una
estrategia para resolver el problema.
Ejecución de la solución.- Los alumnos aprenden a llevar a cabo
procedimientos; aunque algunos procedimientos se hacen automáticos, hay
pruebas de que los aprendices disponen de una de una variedad de
procedimientos de solución.Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 16
DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
FACTORES DE RIESGO
Los constitucionales, como la influencia hereditaria, la complicaciones prenatales
y durante el nacimiento, alimentación, etc.
Los familiares, como la educación permisiva o demasiado exigente, conflictos y
desorganizaciones familiares, etc.
Los emocionales e interpersonales, como la baja autoestima, inmadurez
emocional, temperamento, rechazo social, etc.
Los intelectuales y académicos, como fracaso escolar, trastornos del aprendizaje,
etc.
El entorno social, como nivel sociocultural, ambientes de desarrollo, etc.
Los aspectos personales, en cuanto a las creencias y aptitudes sobre las
matemáticas, al igual que lo relacionado con los procesos del desarrollo
cognitivo.
La complejidad de los conceptos que dificulta el aprendizaje por su naturaleza
precisa, exacta y sin ambigüedades, y esto junto a un nivel de abstracción y
generalización altos e impersonales.
La estructura jerárquica de los conocimientos matemáticos que constituyen una
cadena en la que cada conocimiento va enlazado con los anteriores de acuerdo
con un proceso lógico.Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 17
LA DISCALCULIA
TRATORNO estructural de las habilidades matemáticas originado por un trastornogenético o congénito de partes del cerebro que son el substrato anatomo-fisiológicodirecto de la maduración de las habilidades matemáticas adecuadas a cada edad, sin untrastorno simultáneo de las funciones mentales generales.
Según la American Psychiatric Association, los criterios diagnósticos son
los siguientes:
• La capacidad para el cálculo, evaluada mediante pruebas normalizadas
administradas individualmente, se sitúa sustancialmente por debajo de
la esperada dada la edad cronológica del sujeto, su cociente de
inteligencia y al escolaridad propia de su edad.
• El trastorno interfiere significativamente el rendimiento académico y
las actividades de la vida cotidiana que requieren capacidad para el
cálculo.
• Si hay un déficit sensorial las dificultades para el rendimiento en
cálculo exceden de las habitualmente asociadas a él.
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TIPOS DE DISCALCULIA
Discalculia primaria: Trastorno específico y exclusivo del cálculo, unido a
una lesión cerebral.
Discalculia secundaria: Se diagnostica al producirse una mala utilización de
símbolos numéricos y mala realización de operaciones asociadas a dichos
símbolos, especialmente las inversas. También asociada a otros trastornos
como dificultades del lenguaje, baja capacidad de razonamiento y
desorientación espacio-temporal.
Disaritmética: Se caracteriza por presentar dificultades para comprender el
mecanismo de la numeración, retener el vocabulario asociado a ésta o
concebir los mecanismos de resolución de sumas, restas, multiplicaciones o
divisiones (cuatro operaciones básicas), también contar mentalmente y
utilizar sus adquisiciones para la resolución de problemas.
Discalculia espacial: Dificultad para ordenar los números según una
estructura espacial.
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LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
Enseñar todas las matemáticas desde una perspectiva de solución de
problemas basada en la comprensión
Centrar la instrucción en los procesos, estructuras y las decisiones
Basarse en el conocimiento informal de los alumnos
Dedicar tiempo a modelar verbalmente la conducta de solución de
problemas
Ayudar al alumno a verbalizar, y a ser posible, visualizar los procesos
utilizados en los intentos de solución
Utilizar los errores de los alumnos como fuente de información de su
grado de comprensión
Ofrecer una mezcla de tipos de problema
El profesor necesita poseer un nivel adecuado de habilidad matemática
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ALGUNAS
CONSIDERACIONES
Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 21
ADQUISICIÓN DEL CONOCIMIENTO
•Adquisición de una
base conceptual y
procedimental amplia
•Vinculación entre
elementos
conceptuales y
procedimentales
RESOLUCIÓN
MÁS EFICAZ
•Utilizan aspectos
semánticos del
problema
•No expertos utilizan
aspectos sintácticos
(palabra clave)
EXPERTOS•Juan tiene seis canicas
y da dos a Luis.
¿Cuántas le quedan?
•Juan dio dos canicas a
Luis. Le quedan
cuatro. ¿Cuántas
canicas tenía al
principio?
EJEMPLO
Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 22
LO QUE NOS
ENSEÑAN LOS
ERRORES
8
3
------
5
52
17
-----
45
47
35
------
12
23
16
------
13
Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 23
EXPLICAR ERRORES DE ÁLGEBRA
UTILIZAR ESQUEMAS INADECUADOS
La velocidad de un avión que vuela hacia
el este entre dos ciudades que distan 300
kilómetros es de 150 Km/h. En el viaje de
vuelta vuela a 300 km/h.. Hallar la
velocidad media del viaje completo
REALIZAR ESTIMACIONES INCORRECTAS
Juan tarda 12 horas en cortar el césped de unapradera grande. Luis corta el césped de la mismapradera en ocho horas. ¿Cuánto tardan en cortarlocuando trabajan juntos?
EMPLEO INEFICAZ DE LAS ANALOGÍAS
Dr.José Mª Roa Venegas. UGR. 24
