Aproximación del Modelo de Heligman & Pollard a través de una propuesta no paramétrica.

José Adrián Ovin ÁvilaDr. José Eliud Silva Urrutia

Abstracto

El propósito del presente trabajo es medir la suavidad inducida por el ajuste de la curva de mortalidad del modelo de Heligman y Pollard

Con esto realizamos una aproximación a este modelo usando una perspectiva no paramétrica.

En lugar de estimar ocho parámetros mediante optimización no lineal, una curva similar es estimada con mediante un parámetro (suavidad) controlado por el usuario.

Introducción:

El modelo de Heligman & Pollard (1980)

Estimar tablas mortalidad (qx);

Pronosticar el comportamiento de la mortalidad, Felipe et al. (2002), medir el impacto de las enfermedad en África, Sharrow (2013), expandir tablas de mortalidad a partir de datos agregados Kostaki(1991), Irnawaty(2008) .

El modelo tiene diferentes formas de estimarse por optimización no lineal o con técnicas bayesianas.

Introducción:

Proponemos utilizar una técnica no paramétrica para medir la suavidad de una manera controlada, Este método fue propuesto por Guerrero(2008) en donde se escoge la suavidad deseada y se estima un sólo parámetro.

La presentación organizada de la siguiente manera.

Introducción al modelo (HP)

Como estimar la tendencia con la suavidad controlada y como medir dicha suavidad.

La aplicación se ilustra con algunos ejemplos numéricos.

Por ultimo, se mencionarán algunas conclusiones.

El Modelo de Heligman & Pollard para estimar la mortalidad.

The Age Pattern of Mortality (1980)

El Modelo de Heligman & Pollard para estimar la mortalidad.

Estas ecuaciones presentan una diferencia en el tercer parámetro la cual aparece al eliminar el cociente del lado izquierdo de la función original. la desventaja de estas es que pueden resultar en valores mayores a uno, debido a la interpretación de qx esto sería teóricamente incorrecto.

España Mujeres (1982)

Estimación de la tendencia a través de una propuesta no paramétrica

• Series de tiempo

En donde yt son los valores observados, τt es la tendencia y ηt es el componente aleatorio, estas dos últimas no son observadas.

La necesidad de estimar la tendencia para fines informativos de una serie es de suma importancia para cualquier tipo de análisis Existen muchas técnicas:

• Promedios móviles• Suavizamiento exponencial• Filtros

Estimación de la tendencia a través de una propuesta no paramétrica

• Todas los métodos anteriores funcionan aplicando filtros a las series {yt} dando como resultado otra serie {τ} la tendencia estimada

• Los filtros utilizan operaciones que involucran retrasos de la forma ∇ =1 - B en donde Bes el operador retraso y se da de la siguiente forma BXt=Xt-1

• Filtro Hodrick & Prescott(1997)

Estimación de la tendencia a través de una propuesta no paramétrica

•

•

La solución al problema anterior se realiza derivando M(λ) con respecto a τ, igualando a cero, esto da el siguiente resultado

Estimación de la tendencia a través de una propuesta no paramétrica

La suavidad se mide por la siguiente expresión propuesta por Guerrero (2008)

Estimación de la tendencia a través de una propuesta no paramétrica

Una desventaja de este modelo es que no existe una metodología, ni forma de obtener un valor de λ óptimo para encontrar la tendencia, sino que el valor de λ se ajusta dependiendo de la necesidad del análisis que se requiera y en general en la naturaleza de los datos.

(a) λ=1, S=60.32%. (b) λ=10, S=78.41%(c) λ=100, S=87.68%. (d) λ=1000, S=92.68%.

Aproximación del modelo de Heligman & Pollard a través de suavizar la serie de datos.

Como se mencionó el propósito del trabajo es estimar la suavidad necesaria para aproximar lo mejor posible el modelo de Heligman & Pollard. Esto se realizará midiendo la diferencia punto a punto que hay entre la tendencia estimada y los valores de la mortalidad estimados por el modelo HP, sumando los resultados para cada edad x mediante dos funciones de perdida propuestas en el trabajo de Carriere (1992).

Estas dos funciones fueron elegidas debido a que están especializadas en medir la diferencia en la mortalidad y dependen exclusivamente del valor de λ.

Con esto continuaremos a realizar tres tareas.

1.- La primera será encontrar el valor de λ que minimiza las expresiones anteriores

2.- Encontrar el porcentaje de suavidad logrado para cada uno de los dos valores de λ obtenidos

3.- Se analizará el valor mínimo obtenido por las funciones de pérdida para poder comparar las distintos ajustes.

Aproximación del modelo de Heligman & Pollard a través de suavizar la serie de datos.

Aplicación de la metodología para algunos ejemplos propuestos.

Heligman & Pollard(1980) 2 series

Kostaki(1991) 2 series

Felipe et al.(2002) 37 series

Isagani (2012). 2 series

Aplicación de la metodología para algunos ejemplos propuestos.

Aplicación de la metodología para algunos ejemplos propuestos.

España Hombres (1990) 𝝀𝝀 = 𝟓𝟓 y 𝑺𝑺 = 𝟕𝟕𝟒𝟒. 𝟐𝟐𝟏𝟏, (b) 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 y 𝑺𝑺 = 𝟖𝟖𝟏𝟏. 𝟖𝟖𝟔𝟔%

Aplicación de la metodología para algunos ejemplos propuestos.

• En la tabla 1 se muestran la evolución de la función de perdida separada en dos componentes

Aplicación de la metodología para algunos ejemplos propuestos.

• Esta pérdida de precisión mediante la suavización en los primeros datos incrementa de manera muy rápida el valor de P1 y P2, esto hace que el valor de λ que minimiza las funciones de pérdida sea pequeño.

• Se escogió esta edad debido a que las aseguradoras por ley no emiten pólizas a menores de 12 años.

Aplicación de la metodología para algunos ejemplos propuestos.

Aplicación de la metodología para algunos ejemplos propuestos.

Aplicación de la metodología para algunos ejemplos propuestos.

Aplicación de la metodología para algunos ejemplos propuestos.

Aplicación de la metodología para algunos ejemplos propuestos.

Conclusiones

Los resultados son mejores si se realiza la estimación con series truncadas, en general los valores de la función de pérdida disminuyeron considerablemente al quitar los primeros 12 datos. Además los valores de λ tienen una mejor interpretación, ya que proporcionan valores de índice de suavidad de entre un 70 y un 90%, resultado que permite que se aproximen a los resultados obtenidos por el modelo HP.

Muchos de los resultados son homogéneos el valor de λ que minimiza la serie, es digno de mencionar que para las series de mortalidad de las mujeres en algunos casos parece ser mucho mayor. Con estos resultados concluimos que el ajuste se puede mejorar en las colas si se divide la serie por segmentos y se suavizan los datos realizando el mismo análisis. Esto es debido a la falta de heterocedasticidad que presentan los datos sobretodo en la primera parte.

Referencias

Carriere J.F. (1992). Parametric Models for Life Tables. Transactions of Society of Actuaries. 44, 77-99.

Felipe, A. Guillen M. Perez-Marin A.M. (2002). Recent Mortality Trends In The Spanish Population. B.A.J. 8, 757-786.

Guerrero, V.M.(2008). Estimating Trends of Economic Time Series. International Statistical Review, 76, 187-202

Hartmann M. (1987). Past and Recent Attemps to Model Mortality at All Ages. Journal of Official Statistics. Vol 3. 19-36.

Heligman, L. & Pollard, J.H. (1980). The Age Pattern of Mortality. J.I.A. 107, 49-80.

Hodrick, R.J. & Precott, E.C. (1997). Postwar U.S. business cycles: An empirical investigation. J. Money Credit Bank, 29, 1-16.

Isagani, B. J. (2014). Estimating the Mortality of The Philippines and some Southaest Asian Countries Using the Heligman-Pollard Model. DSLU ResearchCongress 2014.

Kaiser, R. & Maravall, A. (2001). Measuring Business cycles in Economic Time Series. Lecture Notes in Statistics, 154, New York: Springer – Verlag.

Kostaki A. (1991). The Heligman-Pollard Formula as a Tool for Expanding an Abridged Life Table. Journal of Oficial Statistics. 7. 311-323.

Sharrow D.J. te al. (2013). The Age of Increases in Mortality Affected by HIV. Demographic Research, Vol 29. 1039-1096.

Yuen, K. C. (1997). Comments on Some Parametric Models for Mortality Tables. Journal of Actuarial Practice. 5. 253-265.