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7/25/2019 Aproximacion polinomial por minimos cuadrados
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Nombres:
Esteban Ortega
Oscar Mayorga
Hugo Teneda
Alex Aguirre
Curso:
Electronica IV
Asignatura:
Metodos Numericos
Tema:
Aproximacion polinomial con minimos
cuadrados.
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Tema:
Aproximacin polinomial con minimos cuadrados.
Objetivos:-Bsqueda de un modelo matemtico que represente lo
mejor posible a unos datos experimentales.
-Comprender el mtodo de solucin mediante aproximacin polinomial
con mnimos cuadrados.
Marco Teorico.
En la practica habitualmente se usan funciones polinmicas
degrado bajo o bien de
tipo exponencial, potencial. En cuanto alcriterio a considerar
para obtener el modelo
concreto consisteen pedir que la suma de las distancias
calculadas entre el valorde lafuncin que aproxima
p(xi)
y el valor de la
funcin f(xi)
dada, sea mnima; es decir, que
Para evitar problemas de derivabilidad ms adelante, se
acostumbra utilizar las
distancias d elevadas al cuadrado:
En la figura 5.8 se observan los puntos tabulados, laaproximacin
polinomial
p(x)
y las distancias d entre los puntos correspondientes, cuya suma
hay que minimizar.
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Si se utiliza
para aproximar la funcin dada por la tabla, el problema
quedacomo el de minimizar
Hay que observar que del nmero infinito de polinomios quepasan
entre los puntos,
se selecciona aqul cuyos coeficientes ao y a1 minimicen la
ecuacin (5.60).
El sistema se resuelve por la regla de Cramer y se tiene
que sustituidos en la ecuacin 5.59 dan la aproximacinpolinomial
de primer grado
que mejor ajusta la informacin tabulada. Este polinomio puede
usarse a fin de
aproximarvalores de la funcin para argumentos no conocidos.
Ejercicio 5.32 En el estudio de la constante de velocidad k de
una reaccinqumica a
diferentes temperaturas, se obtuvieron los datos
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Solucin
Este problema puede resolverse mediante el mtodo demnimos
cuadrados de la
siguiente manera. Se aplicanlogaritmos a la ecuacin 1 y se
tiene
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El grado del polinomio no tiene relacin con elnmero de puntos
usados y debeseleccionarse deantemano con base en consideraciones
tericas queapoyan el
fenmeno estudiado, el diagrama dedispersin (puntos graficados en
el plano
x-y)o ambos.
El hecho de tener la mejor recta que aproxima lainformacin, no
significa que la
informacin est bienaproximada; quiz convenga aproximarla con
unaparbola o
una cbica.
Para encontrar el polinomio de segundo grado
P2(X)=a0+a1x+a2x2 que mejor aproxime latabla, se minimiza:
donde los parmetros a0,a1 y a2 se obtienen alresolver el sistema
de ecuaciones
lineales que resultade derivar parcialmente e igualar a cero la
funcin porminimizar
con respecto a cada uno.
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Concluciones:
-El metodo de aproximacion polinomial es un metodo presiso para
encontrar una
funcion que mejor se aproxime a los datos.
-El uso del paquete MATLAB mejora a los software utilizados
anteriormente, porque
adems de que ahorra tiempo y esfuerzo en la resolucin de una
gran variedad de
problemas, que las soluciones obtenidas resultan ms fiables que
las obtenidas
manualmente, que es una herramienta para la enseanza de la
matemtica, facilita
el proceso de enseanza - aprendizaje aportando una interfaz
grfica visual ms
didctica y comprensible.
-Se debe usar la aproximacion polinomial de segundo o tercer
grado dependiendo de
los datos y despeus de haber hecho un analisis de los
mismos.
