Apunte 2 - Derivación de Funciones

Apuntes de Cálculo Derivación

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2222 DERIVACIÓN DE FUNCIONES

El cálculo nació a partir de 4 problemas sobre los cuales trabajaron los matemáticos

europeos durante el siglo XVII.

1. El problema de la recta tangente 2. El problema de la velocidad y la aceleración 3. El problema de los máximos y mínimos 4. El problema del área

El Problema De La Tangente Nuestro problema es encontrar un método que permita determinar de manera fácil la ecuación de la recta tangente al gráfico de una función en un punto dado.

¿Qué queremos decir cuando hablamos de que una recta es tangente a una curva en un punto?

Una recta tangente es una línea que corta en un solo punto el gráfico de una función en un intervalo dado.

El problema fue resuelto geométricamente para el caso de una circunferencia, ya podemos caracterizar el lugar geométrico de la recta tangente en punto P como la recta perpendicular a la recta radial que pasa por P; sin embargo, para una curva arbitraria el problema es más difícil e involucra el cálculo de derivadas.

Las gráficas siguientes muestran, rectas tangentes a una curva en el punto P.

En la figura 1, se aprecia que la recta tangente a la función en el punto P, es horizontal,

entonces su pendiente es cero; en la figura 2, la recta tangente a la función en el punto P, tiene pendiente positiva; en la figura 3, la recta tangente a la función en el punto P, tiene pendiente negativa

Esencialmente, el problema de hallar la recta tangente a una función f en un punto P, se

reduce a hallar su pendiente y ésta puede aproximarse mediante rectas que pasen por P y por

P

y

x

Figura 1

P

y

x

Figura 2 1

x

y

P

Figura 3


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otro punto de la curva, a este tipo de rectas la llamaremos rectas secantes. En la siguiente figura

La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P(c, f(c)) y

Q(c + h, f(c + h)) es: sec

( ) ( ) ( ) ( )f c h f c f c h f cm

c h c h

+ − + −= =+ −

El denominador h = ∆x se llama incremento de x, y el numerador ∆y =f(c + h) - f(c) se llama incremento de y.

La pendiente de la secante es solo una aproximación a la pendiente de la recta tangente, supongamos que se quiere calcular la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto P, para obtener una mejor aproximación basta con hacer tender el punto Q al punto P; esto es h → 0 ... esto es un limite... DEFINICIÓN de la recta tangente con pendiente m si f está definida en un intervalo conteniendo A C y existe el límite.

'

0

( ) ( )( ) lim

h

f c h f cf c

h→

+ −= =m

Llamaremos a la recta que pasa por (c, f(c)) con pendiente m la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c, f(c)). Ejemplo1 :hallar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x2 + 1 en los puntos (0,1) y (-1,2).

y

x

Recta secante

Recta tangente

c c + h

R f(c)

f(c +h)

P

Q


27

SOLUCION: Vamos a encontrar una fórmula general para la pendiente de la Tangente en cualquier punto de la gráfica de ( )xf

=m lim

0h→

( ) ( )f x h f x

h

+ −=lim

0h→ 2 2 22 1 1x xh h x

h

+ + + − −

=lim

0h→

22xh h

h

+ = lim

0h→ ( )2 2x h x+ = Luego f ’(x) = 2x

Por lo tanto en cualquier punto ( )( )xfx, de la gráfica de ( )xf la pendiente viene dada por:

xm 2= Luego la pendiente de la Tangente en el punto ( )1,0 es 002 =⋅=m y en el punto ( )1,2−

es ( )2 1 2m = − = −

NOTA: La definición de Recta Tangente no cubre el caso de una Recta Tangente vertical usaremos la siguiente definición: Si f es continua en c, y

lim

0h→

( ) ( )f c h f c

h

+ −= ∞

Entonces la recta vertical que pasa por ( )( )cfc, se llama Recta Vertical Tangente a la gráfica de f. La Derivada De Una Función La derivada de f en x viene dada por la función:

( ) =xf,

lim

0h→

( ) ( )f x h f x

h

+ −

siempre que tal límite exista.

NOTACIÓN: Es común usar la siguiente simbología para denotar la primera derivada:

( )dx

dfxf =

,

Llamaremos segunda derivada a la derivada de la primera derivada, y anotaremos:

( )2

2,,

dx

fdxf =


28

Para la derivada de la segunda derivada, es decir la tercera derivada, anotaremos:

( )3

3,,,

dx

fdxf =

EJEMPLO: Hallar la derivada de ( ) 3 xxf = determinar los puntos donde ( )xf,

no está definida. SOLUCION:

( ) 3f x h x h+ = +

( ) ( ) 3 3f x h f x x h x

h h

+ − + −=

( ) =xf, lim

0h→ 3 3x h x

h

+ − Para racionalizar se amplifica por:

( ) ( )2

13 23 3x h x x h x+ + + +

( ) =xf,

lim

0h→

( ) ( )

( ) ( )

122333

12 233 3

3 3 x h x x h xx h x

hx h x x h x

+ + + + + − + + + +

( ) =xf, ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 22 2 1 11 23 33 3 3 33 3

12 233 3

x h x x h x x h x x h x x h x

h x h x x h x

+ + + + + − + − + − + + + +

( ) =xf, lim

0h→ ( ) ( )12 233 3

x h x

h x h x x h x

+ − + + + +

Reducción de términos semejantes

( ) =xf,

lim

0h→

( ) ( )2 1 1 23 3 3 3

1

x h x x h x+ + + Simplificando

( ) =xf,

3 2

32

32

31

31

32

3

1

3

11

xxxxxx

==++

-Evaluando

- Σ Términos semejantes


29

∴ La derivada de ( ) 3 xxf = es ( )3 23

1,

xxf =

OBSERVACIÓN:

1. La derivada de ( ) 3 xxf = , ( )3 23

1,

xxf = no está definida en x = 0.

Por esta razón se dice que f no es derivable en x = 0. 2. Resulta muy difícil emplear la definición de derivada, para calcular la derivada de funciones más complejas, por esta razón se utilizan las reglas de derivación que se enuncian a continuación. Reglas De Derivación 1. REGLA DE LA FUNCION CONSTANTE:

La derivada de la Función Constante es cero.

Si ( ) , ; IRccxf ∈= entonces ( ) 0, =xf

2. REGLA DEL MÚLTIPLO CONSTANTE

Si f es una Función Derivable y c un número real, entonces ( )[ ] ( )xcfxcfdx

d ,=

DEMOSTRACIÓN:

( )[ ] =xcfdx

d lim

0h→

( ) ( )cf x h cf x

h

+ −

= lim

0h→

( ) ( )f x h f xc

h

+ −

= lim

0

c

h→

( ) ( ) ( ),f x h f xcf x

h

+ −=

�

( )xf,

3. DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIA

Si ( ) ∈= nnxxf ; , entonces ( ) 1, −= nnxxf DEMOSTRACIÓN (Para n entero positivo)


30

Usaremos la definición de derivada y además llamaremos ( ) ( )f f x h f x∆ = + − así

( )n nf x h x∆ = + −

Usando el Teorema del Binomio de Newton:

( ) ( )11

2

n nn n nx h x nx h−−+ = + +!

( )( ) 31 22 2 3 ...3

nn n x xnx h h

−− −− + +!

nh+

Luego:

( ) 211 2

2

nn n xnf nx h h

−−−∆ = + +!

( )( ) 31 2 3 . . .3

nn n n x nh h

−− −+ +

!

Factorizando por h y dividiendo f∆ por x∆ =h

( ) ( )( )21 1 21 3 2 1...2 3

nn n x n n nf n n nnx h x h hx

−− − −∆ − − −= + + + +∆ ! !

( ) =xf, lim

0h→=

∆∆x

f lim

0h→( ) ( )( )1 1 21 2 3 2 1...2 3

n n n n nn n n nnx x h x h h

− − − − − − −+ + + + ! !

( ) =xf, lim

0h→=

∆∆x

f 1−nnx Como quería demostrar dqc ⋅⋅

EJEMPLO: La derivada de ( ) 9xxf = es ( ) 89,

xxf = OBSERVACIÓN: La regla de las potencias es válida para todo exponente racional.

regla de las potencias: Si n es racional 1−=

nnxnx

dx

d

EJEMPLO: Si ( ) 31

3xxf = , entonces ( )3 2

11

3

13,

32

32

13

1

xx

xxxf ===⋅= −−

.


31

4. REGLAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA

La derivada de una suma (o diferencia) de dos Funciones Derivables es la suma (o diferencia) de sus derivadas.

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ...)(,,,

...)( +±±=+±± xhxgxfxhxgxfdx

d

EJEMPLO: Hallar la derivada de ( ) 53xxf = 1323

+++− − xxx

132

3415 421

+−−= −xxxdx

df

5. REGLA DEL PRODUCTO

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfxgxfdx

d ,,+⋅=⋅

6. REGLA DEL CUOCIENTE

( ) ( )( )[ ]

( ) 0 ;

,)(

,)(

)(

)(

2≠−=

xg

xg

xgxfxfxg

xg

xf

dx

d

7. POTENCIA DE UNA FUNCION

Si ( ) ( )[ ] ,nxuxf = donde ( )xu es una función diferenciable, entonces:

[ ] ( )[ ]dx

dunxunxudx

d n ⋅−= 1)(

8. REGLA DE LA CADENA (DERIVADA DE UNA FUNCION COMPUESTA)

Si ( )ufy = es una Función derivable de u y ( )xgu = es Función de x, con:

dx

du

du

dy

dx

dy ⋅=

O equivalente,

( )( )[ ] ( )( ) ( )xgxgfxgfdx

d ,,=


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DEMOSTRACIÓN: De la Regla de la Cadena. Sea ( ) ( )( )xgfxf = ¡ Recordar que ( )( ) ( )( )xfogxgf = !. Usaremos una definición alternativa de la derivada, esta es:

( ) =cf , cx →

lim

( ) ( )cx

cfxf

−−

Debemos demostrar que:

( ) ( )( ) ( )00

,,, xgxgfcf =

Por definición:

( ) =cf ,cx →

lim

( )( ) ( )( )cx

cgfxgf

−−

( ) ( )cgxg ≠

( ) =cf,

cx →lim

( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

−−⋅

−−

cx

cgxg

cgxg

cgfxgf

¡Notar que se multiplica y se divide por la misma cantidad!

= cx →

lim

( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

−−⋅

−−

→ cx

cgxg

cgxg

cgfxgf

cxlim

( )( ) ( )cgcgf,,

⋅= dqc ⋅⋅ Al aplicar la regla de la cadena resulta útil pensar en f o g como constituida por dos partes, una interior y otra exterior, como sigue:

( )( ) ( )�ufxgfy ==

( )��xgu = Exterior

Interior


33

Por ejemplo si 1523 +−= xxy

uy = , donde ( ) ( ) 56,, 1523 −===→+−== xdx

duxguxxxgu

( ) ( )udu

dyufuufy

2

1, ==→==

∴ ( )15232

5656

15232

1,

2

1,

+−

−=−+−

==⋅==xx

xx

xx

uudx

du

du

dy

dx

dyy

Derivadas De Orden Superior

La derivada ,f de la Función f recibe el nombre de Primera Derivada o Derivada de Primer

orden.

La segunda derivada ,,f de una Función es la Derivada de la primera.

NOTACIÓN:

1ª DERIVADA ( )dx

df

dx

dyxf ==,

2ª DERIVADA ( )2

2

2

2,,

dx

fd

dx

ydxf ==

3ª DERIVADA ( )3

3

3

3,,,

dx

fd

dx

ydxf ==

⋮

ENÉSIMA DERIVADA ( )ndx

fnd

ndx

yndx

nf ==


34

EJEMPLOS:

( )xf ( )xf, ( )xf

,,

5x

23

1253

4223

x

xxx

bmx

xx

++−

++−

21

2

3

11023

26

45

x

xx

m

x

x

+−

−

21

4

3

106

0

6

320

−

−

x

x

x

NOTA: En física la primera derivada de la distancia con respecto al tiempo representa la velocidad

y el cambio de la velocidad respecto al tiempo es la segunda derivada o aceleración.

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