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8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
1/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 104
INTEGRALES INDEFINIDAS o ANTIDERIVADAS
FUNCIÓN PRIMITIVAUna función F(x) se dice que es primitiva de otra función f(x) cuando
F'(x) = f(x), por ejemplo F(x) = x 2 es primitiva de f(x) = 2xOtra primitiva de f(x) = 2x podría ser F(x) = x 2 + 5 , o en general , F(x) = x 2 +C , donde C es una constante .
Por lo tanto una función f(x) tiene infinitas primitivas . Al conjunto detodas las funciones primitivas se le llama integral indefinida y se representa
por f x dx( )∫
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
P1. ∫ dx x f )( = ∫ dx x f )( + ∫ dx x f )(
Ejemplo : ∫ + dx x g x f )()( = ∫ dx x2 + ∫ dx xcos = x2 + sen x + C
DEMOSTRACIÓN :
Por la definición ∫ dx x f )( = F(x) + C ⇒⇒⇒⇒ ( ) ( ) =+=∫ ')(')( C x F dx x f F'(x) = f(x)
Por otro lado , queremos demostrar que ∫ + dx x g x f )()( = ∫ dx x f )( +
∫ dx x g )( es decir , que si derivamos el segundo miembro nos tiene que salir
)()( x g x f + , por lo tanto:
(∫ dx x f )( + ∫ dx x g )( )' = ( ∫ dx x f )( )' + ( ∫ dx x g )( )' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)
c. q. d.
P2. =∫ dx x f k )(• ∫ dx x f k )(•
∫ dx ) x ( f = F(x) + C ⇒⇒⇒⇒ F '(x) = f(x)
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
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APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 105
Ejemplo : =∫ dx x
1•5 ∫ dx
x
1•5 = 5·ln x + C
Ejemplo : sen •sen • sen ( cos )4 4 44
14
4 414
4x dxx
dx x dx x= = = −∫∫∫ + C
DEMOSTRACIÓN :
Queremos demostrar que ( ∫ dx x f k )(• )' = )(• x f k
( ∫ dx x f k )(• )' = k · ( ∫ dx x f )( )' = k · F'(x) = k· f(x) c. q. d.
METODOS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
1. ( ) C uC uduuduudx x +=+⋅===+ ∫ ∫∫ 82418
81
317
31
37723
( ) ( ) C x x F dxdudxdu
xu
++==⇒=
+=
823241
33
23
Comprobar, derivando
2. ( ) ∫ ∫∫ =⋅=+ duuduu xdx x 2521
21252512
( ) ( ) c x x F
cu xdxdu
xdxdu
xu
++=
+⋅==⇒=
+=
27
1271
72
21
2
2
12
27
Comprobar, derivando.
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
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APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 106
3. ( )( ) ∫ ∫∫ =⋅=+++ duuduudx x x x 312
1
2
131312221
( )
( ) ( ) ( ) c x x x F dx xducu x x
dxdu
x xu
+++=+=
+⋅=+=+=
++=
34
34
22241
12
43
31
1222
222
4. cuduuduudx x x +⋅===+ ∫ ∫∫2321
32
41
41
41
122
( ) ( ) c x x F xdxdu
xdxdu
xu
++==
=
+=
23
12261 4
4
122
5.
∫ ∫ ∫∫ +−=−=−== cumudu
udu
dx x
senxdx x
cos tan
( ) ( )
( ) ( ) secln
cosln
cos
c x x F senxdxdu
c x x F senxdx
du
xu
+==−
+−=−=
=
6. ∫ ∫ ∫ ∫∫−
−=−
−===
2121coscos1
secuu
du
uu
dudx
xsenx senx
dx x
dx x
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
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APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 107
2 2 21
21cos
ududz
ududz u z
senxdxdu
senx dxdu
u senx xu
−=⇒−=⇒−=
=−⇒−=
−=⇒=
7.( )
( )∫ ∫ ∫ ∫−=−=+
duu
duuudu
uudx
x x
212222
1221
2
( ) Comprobar 1
21ln2
2ln2
1
12ln2
222 11
C x
x x F
C u
u
C u
udxdu
duuu
duu x xu
++
++=
++=
+−
−−==
−−=−=⇒+= ∫ ∫
8. ∫ ∫ ∫ +==⋅= cuduu xdx
xdx ln
1ln1
ln1
( )
Comprobarlnln 1
ln
xdx
du
c x x F xdx
du
xu
=
+==
=
9. C ueduueduuedx xedx x +==== ∫ ∫ ∫∫ 2ln1
2ln1
2ln2ln2
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
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APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 108
( )
( )
0 ln
1 ndoGeneraliza
22ln
1
2ln
2ln2ln
1 2ln
2ln 2ln2 Como
>+
=
+==
+==
==
∫ ac xaadx xa
C x x F dxdu
C xe x F dxdu
xu xe x
10. ∫ ∫ +−=−=−+−
cuudu
dx xe
xeln
1
( )
( ) ( ) c.q.d. 11
1ónComprobaci
1ln
1
xe
xe x-e xe x , F
c xe x F dx xedu
xeu
−+
−=−−+
−=
+−+−=−−=
+−=
11. ∫ ∫ ∫−
+−=−+
dx xe
xe xe
dxdx xe
xe2
2cos22
2cos1
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
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APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 109
( ) ( )( ) c xe sen xec xe sen xecu senue
duuduue
dx xe
dx xedudxdu
d
xeu
dx xe xedx
xu
xe
+−+−−
=+−−−−
=
+−−=
−+−=
−=
−−=+=−
−=
−−+
−=
−
∫∫
∫∫
22212
212
21
21
21
cos21
21
22du-
22 2
2
22cos
2
2
12. numerador elenrestandoySumando 1
1 xedx xe∫ +
∫ ∫ + −+=+=+=
dx xe xe xedx xe
xedxdu
eu
11
11
1
( ) ( ) Comprobar 1ln ln
11
1
c xe x x F
cu xu
dudx
dx xe
xedx xe
xedx xedu
++−=
+−=
−=
+−
+
+==
∫∫
∫ ∫
13. ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫−=−== dududuuudutg dx xtg 212sec
21
12sec212
21
22
( ) ( ) c x xtg x F
cutgudxdu
xu
+−=
+−==
=
221
21
21
2
2
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
7/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 110
CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DEFINIDAS
Si la función )( x g u = tiene derivada continua en el intervalo cerrado[ ]ba , y f tiene una primitiva en el recorrido de g , entonces:
∫∫ = ba duu f ba
dx x g x g f )()(,))((
EJEMPLOS:
1. ∫ +1032 )1( dx x x
dx xdu
xu
2
12
=+=
10
inferior Límite=→= u
2 1
Superior Límite=→= u x
( )∫ ∫ ==+102
1
4332
421
21
1 u
duudx x x1
2=
815
41
421 =
−
2. ∫ 405 cos sen
π dx x x
Obtención de los nuevos límites de integración.Si hacemos la sustitución xdxdu xu cos sen =⇒= Entonces los nuevos límites de integración serán:
00 sen0 Si ==⇒= u x , por otro lado si22
4sen4 ==⇒=
π π u x
∫ ∫ ∫=
=
=
= ===4
0
4
0
22
0 0
226
555
6 cos sen
π π x
x
u
u
uduuduudx x x 6
6
061
22
61 −
=
48
1
8
1
6
1
2
2
6
16
3=⋅=
=
Otra forma es calcular la integral, cambiando las variables, sin cambiar loslímites de integración y luego “DESHACER EL CAMBIO” y aplicar el T.F.C.:
∫ ∫ === xuduudx x x 66
55 sen61
6 cossen
∴ ∫ =4065 sen
61
cossenπ
xdx x x0
4
=
=
x
x π ( )481
22
61
0sen4sen61
666 =
⋅=−= π
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
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APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 111
PROCEDIMIENTOS PARA AJUSTAR INTEGRADOS A LAS FORMULASBASICAS.
TÉCNICA EJEMPLO1. Desarrollar ( )∫ ∫ ∫ ∫++=+ dx xedx xedx xe 22121 2. Separador el numerador
(nunca el
denominador)
∫ ∫ ∫+
++
=+
+
1212121
x
xdx
x
dxdx
x
x
3. Completar cuadrados
( )∫ ∫
−−=
−dx
xdx
x x 211
122
1
4. Dividir si la funciónRacional es impropia ∫ ∫
+−=
+dx
xdx
x
x
121
112
2
5. Sumar y restar términosen el numerador
∫ ∫++
−+=
++dx
x x
xdx
x x
x
122222
1222
∫ ∫++
−++
+= dx
x xdx
x x
x
1222
12222
6. Usar identidades
Trigonométricas ∫ ∫ −= dx xec xdx g 12cos2cot
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
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APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 112
7. Multiplicar y dividirpor el conjugado pitagórico
dx x
senxdx
x
dx x
senxdx
x sen
senx
dx
senx
senx
senx
dx
senx
∫ ∫
∫
∫ ∫
−=
−=
−
−=
−−
+
=+
2cos2cos
1
2cos
121
1
1
1
1
1
1
1
EJERCICIO: Calcular las Integrales, que aparecen en la tabla anterior.
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
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APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 113
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES (I. P. P.)
Se utiliza para integrados que contengan productos de FuncionesAlgebraicas o Trascendentes por ejemplo:
∫ ∫ ,ln ,ln x xdx x ∫ ∫ dx xen x senxdx xe ∫ xdx3sec
La integración por parte se basa en la fórmula de la derivada de unproducto.
( ) ,, vuuvdxduv
dxdvuuv
dxd +=+=
Donde u y v son Funciones Derivables de x si ,, vu + son Continuas podemosintegrar ambos lados de la igualdad.
( ) ,, vuuvuvdxd +=
( )
↓
−=
+=
+++=
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫
I.P.P.deFórmula
,,
vduuvudv
vduudvuv
dxvudxuvuvdx
d
u es una Función que debemos derivar para hallar du dv es una Función que debemos integrar para hallar v
Para aplicar la técnica se debe seleccionar u y dv de modo que lanueva integral:
∫vdu sea “más sencilla” que la inicial.
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
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APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 114
EJEMPLOS:
1. ∫ dx xe
Hacemos dxdu xu =⇒= xevdx xedv =→=
∫ ∫ +−=−= c xe xedxe x xedx x xe
2. Calcular ∫ dx xe x3 , usando el método tabular y generalizar para ∫ dx xen x
METODO TABULAR
Signosalternados.
u y sus derivadas dv y susintegrales
+ 3 x xe - 23 x
xe + 6x xe - 6 xe + 0 xe
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xe x x F
x x x xe x x xe x F
c x x x x
e x F
c xe x xe xe x xe xdxe x
3,
662336623,
oComproband 66
23
3
662333
=
−+−++−=
+−+−=
+−+−=∫
Comprobemos el resultado anterior integrando por partes
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
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APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 115
( ) c xe x xe xe x xe x x F xevdx xedv
dxdu xu
dx xe x xe xe x xe x
dx x xe xe x xe xdx xe x xevdx xedv
xdxdu xu
dx xe x xe xdx xe x xevdx xedu
dx xdu xu
+−+−===
==
−+−=
+−===
==
−===
==
∫
∫ ∫
∫∫
66233
66233
62333 2 2
2333 23 3
Generalización ) ! n ) 1( ...x ) 1n ( n nx x ( e dx x e n x 1n 2 n 1n n x ++++= ---∫ --
3. ∫∫ ∫ −== xdx xtg xtgx xdx x xdx 2secsecsec 2sec3sec
( )∫ ∫ −−==⇒==⇒=
dx x x xtgx xdxtgxv xdu
xtgxdxdu xu12secsecsec3sec 2sec
secsec
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫-
c tgx x sec ln 2 1
xtgx sec 2 1
xdx 3 sec
xdx sec xtgx sec xdx 3 sec 2
xdx sec xdx 3 sec xtgx sec xdx 3 sec
+++=
+=
+=
4. Comprobar que ∫∫ +−=−= c x x xdx x x xdx lnlnln
En efecto, integrando por partes
( )
xvdxdv
c x x x x F xdx
du xu
==
+−===
ln ln
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
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APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 116
5. Integra ∫ ∫∫ −= vduuvudv senxdx x 2
c x xsenx
senxdx xsenx xdx x senx xdxv xdxdv
dxdu xu P P I
xdx x x x senxdx x
x senxdxv senxdxdv
xdxdu xu
++=
−===→=
=→=
+−=
−==→=
=→=
∫ ∫∫
∫ ∫
∫
cos22
22cos2coscos
22...
cos2cos22
cos
22
∫∴ +++−= c x xsenx x x senxdx x cos22cos22
6. Usar el Método tabular para integrar ∫ senxdx x3
( ) ( ) senx x g x x f == 3
DERIVANDO INTEGRANDO3 x + senx
23 x - -cosx6x + - senx 6 - cosx0 senx
Se realizan los productos indicados por las flechas.
∫ ++++−= c senx x x senx x x x senxdx x 6cos623cos33
¡Comprobar integrando por partes (sin tabular)!
Fórmula de integraciónpor partes
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
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APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 117
7. ∫ dx x senarc
Integrando por partes:
∫ ∫
∫
−−=
==→=
−=→=
dx x
x x senarc xdx x senarc
xdxvdxdv
dx x
du x senarcu
nSustitució
21
21
1
c xc z
c z dz z z
dz dx
x
-x
xdxdz
xdxdz
x z
++=+=
+⋅=−==−
−=
−=−=
∫∫ ∫
2121
2122121
212
21
2
2
21
∫ c 2 x 1x sen arc x dx x sen arc +++=
8.( )
∫+
dx x
x xe212
2
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
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APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 118
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
121
12ln411
ln411ln
4121
41
21
41
124
1
22
1
12
212212
222
+++=
+=−+=−−−=
−=
−=
−=
=+=
+=→
+=
=→=
∫
∫ ∫ ∫∫
x x
z z z z dz z z
dz z
z dz
z
z
z
z dz z
dx z dz
x z
x
xdxvdx
x
xdv
dx xedu xeu
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
16/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 119
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Sustituciones (cambios de variable) trigonométricas.Ahora que sabemos cómo hallar integrales en las que aparecen
potencias de las funciones trigonométricas, podemos utilizar SustitucionesTrigonométricas para resolver integrales cuyos integrandos contengan losradicales.
22y22 ,22 auuaua −+−
El propósito de esas sustituciones (o cambios de variable) es eliminarlos radicales. Eso se consigue con las identidades de Pitágoras.
12sec2y212sec ,212cos −=+=−= θ θ θ θ θ θ tg tg sen
Por ejemplo, si 0>a , hacemos θ senau = , donde 22 π θ π ≤≤− .Entonces:
( )
θ
θ
θ
θ
cos
2cos2
212
222 22
a
a
sena
senaaua
=
=
−=
−=−
Nótese que 0cos ≥θ , ya que 22 π θ π ≤≤− .
SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA( )0>a
Caso 1. En integrales que contienen 22 ua − , hacer
θ senau =
Así θ cos22 aua =− , donde
22 π θ π ≤≤−
uθ
a
22 ua −
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
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APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 120
Caso 2. En integrales que contienen 22 ua + , hacer
θ tag au =
Así θ sec 22 aua =+ , donde
22 π θ π ≤≤−
Caso 3. En integrales que contienen 22 au − , hacer
θ sec au =
Así θ tg aau 22 ±=− , donde
π θ π π θ ≤
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
18/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 121
θ θ θ θ 292ycos329,cos3 sen x xd dx ==−=
Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al resultado siguiente:
( )( )
C x
x
ctg C x
x
C ctg
d ec
d
d
x x
dx
+−=
+
−=
+=
=
=
=−
∫
∫
∫ ∫
9
29
Sustituir29
91
cosecanteladereglalaAplicar91
tricatrigonoméIdentidad 2cos9
1
r Simplifica 2sen91
Sustituir cos329sen
cos3292
θ
θ
θ θ
θ
θ
θ θ
θ θ
El triángulo de la figura anterior permite volver de la variable θ a lavariable x .
x x
ctg 29
op.ady. −==θ
EJERCICIO: Intente hallar usando un software, con integración simbólica,las integrales:
∫∫∫∫−−−− 293
292
29
29 x x
dx
x x
dx
x x
dx
x
dx
y obtenga después los resultados usando una sustitución trigonométrica.
Calcular las integrales:
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
19/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 122
∫ ∫∫ ±−± 22y22 ,22 uaudu
ua
du
au
du
Estas integrales se pueden hallar asimismo por cambios de variabletrigonométricos, como ilustra el próximo ejemplo.
EJEMPLO 2Sustitución trigonométrica θ tg a u = , identidad sec 2 θ θθ θ = tg 2 θ θθ θ + 1
Hallar ∫+ 124 x
dx
SOLUCION: Tomemos θ tg xa xu === 2y1,2 , comoindica la figura . Entonces:
θ sec 12 x 4 y θ d θ 2 sec 2 1
dx =+=
La sustitución trigonométrica hace que:
cambioelDeshacer2124ln21
secanteladereglalaAplicarsecln21
rSimplifica sec21
Sustituir sec
2sec21
124
1
C x x
C tg
d
d dx
x
+++=
++=
=
=+
∫
∫ ∫
θ θ
θ θ
θ θ θ
Verifique el resultado mediante integración simbólica. El resultado¿viene dado en esa forma o en términos de una función hiperbólica inversa?
2xθ
1x 4 2 +
1
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
20/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 123
La utilidad de los cambios de variable trigonométricos alcanza a las
integrales donde aparecen expresiones ( )2 / n 2
u 2
a - , para lo cual bastaescribir :
( ) n ) ( 2 u 2 a 2 / n 2 u 2 a -- =
EJEMPLO 3
Sustitución trigonométrica: Potencias racionales.
Hallar( )
∫+
2312 x
dx
SOLUCION: Comenzamos escribiendo
( ) 2 / 3 12 x + como 3 12 x ) ( + . Ahora hacemosθ tg x u y 1a === , como muestra la figura.
Teniendo en cuenta que :
θ sec 12
x y θ d θ 2
sec dx =+= Al aplicar la sustitución trigonométrica se obtiene:
( )
cambio el Deshacer C12 x
x
Integrado C θ sen
rica trigonomét Identidad θ d θ cos
r Simplifica θ sec
θ d
Sustituir θ 3 sec
θ d θ 2 sec
r denominado el Reescribir 3 12 x
dx 2 3
12 x
dx
++
=
+=
=
=
=
+
=+
∫∫
∫
∫ ∫
xθ
1x 2 +
1
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
21/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 124
Para las integrales definidas suele ser preferible determinar los límitesde integración en θ , lo cual evita tener que regresar a la variable x. Esteprocedimiento se repasa en los ejemplos 4 y 5.
EJEMPLO 4 Transformación de los límites de integración.
Calcular ∫ −2
332
dx x
x
SOLUCION: Como 32 − x es de la
forma ,22 au − hacemos3 a ,x u == , y hacer θ sec 3 x = ,
como indica la figura, entonces
θ θ θ θ tg xd tg dx 332ysec3 =−=
Para averiguar los límites de integración, hacemos uso de θ sec3= x ,como sigue:
Cuando 1sec,3 == θ x Cuando3
2sec,2 == θ x
θ θ =y6
yπ
θ =
En consecuencia:
( )( )
6 π 0
θ d θ 2 tg 3
2 3
6 π 0 θ sec 3
θ d θ tg θ sec 3 θ tg 3 dx
x 3 2 x
θ para x para n integració de Límites n integració de Límites
∫
∫ ∫-↓↓
=
=
32 − x θ
x
3
Límite inferior Límite inferior
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
22/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 125
[ ]
0931,0
6 π 3
1
6 π
3 1
3
θ θ tg 3
6 π 0 θ d ) 1θ
2 (sec 3
) (
6 π
0
≈
-
-
-
∫ -
=
=
=
=
NOTA: En el ejemplo 4, intente volver a la variable x y evaluar la primitivaen los límites de integración originales. Debe llegar a este resultado:
2
3
23 3
sec3
323
32∫ −−
=− x
arc x
dx x
x
Cuando se calculan integrales definidas por un cambio de variabletrigonométrico, hay que tener la precaución de comprobar que los valores deθ están en los intervalos indicados al comienzo de esta sección. Así, si enel ejemplo 4 se hubiera pedido calcular la integral:
dx x
x∫−−
−32
32
Al hacer 3y == a xu en el intervalo 3,2 −− resultaría au −< . Portanto, al determinar los límites de integración tendríamos que haber elegidoθ tal que π θ π ≤
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
23/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 126
( )( )
( )
[ ]π π θ θ
π π θ θ
π π θ θ
π
π θ
θ θ θ θ
653
65 12sec3
65 2 3
65 sec3
sec333
2
32
−−=
−−=
−=
−=
−
−
−
∫
∫
∫∫
tg
d
d tg
d tg tg dx
x
x
( )
0931,0
63
1
65
3
103
−≈
+=
−−−−−=
π
π π
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
24/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 127
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALESEL METODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES
DEFINICIÓN: ( ) x f es una Función Racional si es el cuociente de dosFunciones Polinómicas es decir:
( ) ( )( ) xq x p
x f =
Si el grado de ( ) x p es menor que el de ( ) ( ) x f xq , recibe el nombre deFunción Racional Propia. En caso contrario ( ) x f se denomina FunciónRacional Impropia.
EJEMPLOS:
1. ( ) x f 12542
2233
−+
++=
x x
x x x Es una Función Racional Propia.
2. ( ) x f 1
2322−
+−= x x Es una Función Racional Impropia.
Toda Función Racional Impropia se puede transformar en un
Polinomio más una Función Racional Propia, aplicando el algoritmo deDivisión de Polinomios.
EJEMPLO:
( )1
32532−
−−=
x x x x
x f
( )
( )
6 /
66(-)
6 / 1
66322
132532
323(-)
3x-23/
2232 (-)
63221:32532
−
+−
−−
−−−=−
−−=+−
−
−
−−=−−−
∴
x
x x
x x x
x x x x f x x
x
x x
x x x x x x
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
25/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 128
POLINOMIOS (REPASO DE ÁLGEBRA)
Todo polinomio de grado n .
( ) na xnan xan xa x P +−++
−+=1
110 …
IN n IRaia ∈∈≠ ; ; 00
Tiene n raíces Reales o Complejas; si n∝∝∝ , ,2,1 … son las Raíces de( ) x P , entonces:
( ) ( ) 21 IRiin x x x x P ∈∝∨∈⊄∝∝−−∝∝−= …
Un polinomio de segundo grado cbxax ++2 , se dice Irreducible, si nose puede descomponer como producto de factores lineales de la forma:
2211 β β +∝+∝ x x con IR∈∝∝ 2,2,1,1 β β
Es decir cbxax ++2 se llama irreducible si la ecuación 02 =++ cbxax no tiene soluciones reales.
EJEMPLOS:1. ( )( )23652 −−=+− x x x x Es Reductible
2. ( )( )i xi x x 3392 −+=+ Es Irreducible las raíces son complejas.
EJERCICIO:Factorizar los siguientes polinomios y determinar si son Reductibles oIrreductibles.
1) 842
2 +−
x x
2) 222 +− x x
3) 12 ++ x x
TEOREMA:
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
26/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 129
Todo polinomio de grado n con coeficientes Reales, se puededescomponer como producto de factores lineales y/o cuadráticosirreductibles (algunos de los factores pueden estar repetidos).EJEMPLOS:
1. ( ) ( )( )( ) ( )( )2212214233 −+=−−+=+−= x x x x x x x x p
1+ x Es un Factor Lineal
2− x Es un Factor Lineal Repetido
2. ( ) ( ) 121123 +−=−+−= x x x x x x p
1− x Es un Factor Lineal y 12 + x es un Factor CuadráticoIrreducible.
EL METODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES
Sea ( ) ( )( ) xq x p
x f = una Función Racional Propia.
PRIMER PASO: Descomponer ( ) xq en Factores Lineales y/o CuadráticosIrreductibles.
SEGUNDO PASO: Método de las Fracciones Parciales consiste en expresar( ) x f como una suma de Fracciones Propias, cuyos denominadores solo sean
Factores Lineales o Factores Cuadráticos Irreductibles.
Existen 4 casos que se ejemplifican a continuación.
A. FACTORES LINEALES DISTINTOSA cada Factor Lineal bax + , del denominador de una Fracción
Racional Propia, le corresponde una Fracción de la forma:
bax A+
Donde A es una Constante a determinar.
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
27/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 130
EJEMPLO: Calcular ∫−+
+dx
x x x
x
623
1
SOLUCION:PRIMER PASO: Factorizar ( ) x x x xq 623 −+=
( )( )2362623 −+=−+=−+ x x x x x x x x x
Para hallar los Factores Lineales de ( ) xq a menudo es útil usardivisión sintética.
SEGUNDO PASO: Expresar x x x
x
6231
−+
+ como suma de Fracciones Propias.
( )( ) 23231
6231
−+
++=
−++
=−+
+
xC
x B
x A
x x x x
x x x
x
Multiplicando por ( )( )23 −+ x x x
Obtenemos:
( )( ) ( ) ( )32231 ++−+−+=+ xCx x Bx x x A x
Existen dos maneras para determinar las constantes A ,B y C ; esto semuestra a continuación:
( )( ) ( ) ( )32231 ++−+−+=+ xCx x Bx x x A x
Multiplicando y Factorizando:
( ) ( ) A xC B A xC B A x 63221 −+−+++=+
Por igualdad de polinomios, los coeficientes de las mismas potenciasson iguales.
1A 6 ) 3 1C 3 B 2 - A ) 2 0 C B A ) 1
- ==+
=++
De 3) obtenemos 6 1-
A =
En 1) obtenemos 2 /61
⋅=+ C B
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
28/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 131
En 2) obtenemos
6
732 =+− C B
152-B 103C 695C
67
32
31
22
===
=+−
=+
∴
C B
C B
Luego,
2103
315
261
6231
−+
+
−+
−=
−+
+
x x x x x x
x
Integrando con respecto a x, en ambos lados obtenemos:
∫ ∫ ∫ ∫ −++−−=
−++
2103
3152
61
6231
xdx
xdx
xdx
dx x x x
x
C x x
x
C x x xdx x x x
x
++
−=
+−++−−
=−+
+∫
1523
61
1032
ln
2ln103
3ln152
ln61
6231
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
29/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 132
B. FACTORES LINEALES REPETIDOS
A cada Factor lineal bax + , que figure n veces en el denominador, lecorresponde una suma de n Fracciones de la forma:
( ) ( ) ( ) IR Ainbax
n A
bax
A
bax
A
bax
A∈
+++
++
++
+ ; 3
32
21…
EJEMPLO: Calcular:
( )∫+−
+
42334
x x
dx x
SOLUCION:
( )( ) ( )2221
Repetido
Lineal Lineal
Factor Factor
221
4
42334
−+
−+
+=
⇓⇓
−+
+=
+−
+
x
C x
B x
A
x x
x
x x
x (1)
( ) ( )( ) ( )121224 ++−++−=+ xC x x B x A x (2)
Ahora usamos otro método para hallar las constantes A, B y C. Evaluando laidentidad (2), asignamos valores de x de manera que se anule algún factor, .
Si 2 63 2 =⇒=⇒= C C x
Si31
A 39 1 =⇒=⇒−= A x
Si31
424 0 −==+−⇒= ∴ BC B A x
Sustituyendo en (1) e integrando:
( )( )
C x
x x
x
dx x
dx x
dxdx
x x
x
+−
−−−+=
−+
−−
+=
+−
+∫ ∫ ∫ ∫
22
2ln31
1ln31
222
231
131
42334
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
30/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 133
EJEMPLO:
Calcular ( )∫ − dx x x
31
4
SOLUCION:
Debemos dividir porque( )31
4
x
x
− no es una Función Racional Propia.
( )
23334
3323314
: x x x x
x x x x x
−+−
−−=−+−
( ) ( ) 31
3826331
4 3826
392933
2333
x
x x x
x
x x x
x x x
x x x
−
+−+−−=
−+−
−+−
⊗
+−
∴
( ) ( ) ( )
( ) ( ) C x B x A x x
xC
x B
x A
x x x
+−+−=+−
−+
−+
−=
−+−
⊗⊗
1213826
31211313826
Si 1 1 =⇒= C x
4 6A 1624 24711 Si
21Como 3 0 Si
−===+⇒++=⇒−=
=+⇒=++=⇒=
B B AC B A x
B AC C B A x
( )( )
( )⊗⊗
−
+−+−−=
−∫ ∫ ∫ 31
3826331
4dx
x
x xdx xdx
x
x
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
31/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 134
( ) ( )
( )C
x x x x x
x
dx
x
dx x
dxdx xdx
+−
+−−
−+−−
=
−
+
−
−−
+−−= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
212
11
41ln632
21
31
21
41
63
( )
dxdu xu
xuuduu
u
du
x
dx
−=⇒−=
−==−=−−=−=
− ∫ ∫∫
1
11112
221
Ejercicio: Calcular( )
∫ =− 31 x
dx
C. FACTORES CUADRÁTICOS DISTINTOS
A cada Factor Cuadrático Irreductible cbxax ++2 , le corresponde unafracción de la forma:
Constantes y2 B Acbxax B Ax
+++
EJEMPLOS:
Calcular( )( )∫ +−
−+dx
x x
x x
121
223
SOLUCION:
Tenemos un Factor Lineal y un Factor Cuadrático irreductible.
( )( ) ( )( )121/
121121
223 +−⋅+
++
−=
+−
−+⊗ x x
x
C Bx x
A
x x
x x
( )( )
( ) ( ) C A x BC x B A x x
xC Bx x A x x
−+−++=−+
−+++=−+
2223
112223
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
32/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 135
2 1 2)
3
)1 −=− =−
=+
C A BC
B A
2
4
)2)1
−=−=+
↓+
C A
C A 2 3 1 === BC A
Sustituyendo A, B, y C en ⊗ e integrando, obtenemos:
( )( )
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫+
++
+−
=+
++
−=
+−
−+
123
122
11232
1121
223
x
bdx
x
a xdx
xdx
dx x
x x
dxdx
x x
x x
C x Arctg x x ++++−= 312ln1ln
∫ ∫ ++===+
C xuu
du
x
xdxa 12lnln
122
)
dxdu
xu
2
12
=+=
∫ +=+ C x Arctg xdxb 3
123 )
D. FACTORES CUADRÁTICOS REPETIDOS
A cada Factor Cuadrático irreductible cbxax ++2 , que se repita n veces en el denominador le corresponde una suma de n fracciones de laforma:
( ) ( )n
cbxax
Bn x An
cbxax
B x A
cbxax
B x A
++
+++
++
++
++
+
2
2
2
222
11…
EJEMPLO:
Calcular( )
∫+
212
32
x
dx x
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
33/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 136
SOLUCION:
( ) ( ) 2
12122
12
32
+
+++
+=+ x
DCx
x
B Ax
x
x ( )212x +⋅
( )( ) DCx B Bx Ax Ax x
DCx x B Ax x
+++++=
++++=
2322
1232
Por igualdad de polinomios
⇒=+ 0C A
( ) ( )
C x
x
x
xdx
x
xdx
x
dx x
++
++=
+−
+=
+∫ ∫ ∫
12
112ln
212
2
122
212
32
( )∫ ∫
+==
−−=−=
+
−
12111
2212
2
xuuu
du
x
xdx
INTEGRALES IMPROPIAS
Extenderemos el concepto de integral definida a integrales de laforma: ( )∫
∞
a dx x f .
En las que uno o ambos límites son infinitos, estas integrales seconocen como Integrales Impropias y aparecen en varias situacionesprácticas.DEFINICIÓN DE INTEGRAL IMPROPIA.
( )∫∞a dx x f = ∞→n
lim ( )∫na dx x f
0 2 == B A 2−=C
0= D
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
34/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 137
Si el límite es un número finito, se dice que la integral converge, enotro caso se dice que la integral diverge.
En general diremos que una Integral ( )∫ba dx x f es impropia:
1. Si f se hace infinita en uno o más puntos del intervalo de integración.
2. Si uno o ambos límites de integración son infinitos.
EJEMPLOS:
1. ∫10 x
dx ( ) x
x f 1= se hace infinita en 0= x
∫ =10dx
+→ 0
lim
b ∫ =1b x
dx+→ 0
lim
b =
==
b x
x x
1 ln +→ 0
lim
b ( )bln1ln −
= +→ 0
lim
b ∞+=
b1
ln
Cuando resulta ∞ diremos que la Integral
∫1
0 x
dx diverge.
2.( )
∫−
30 321 x
dx
( )( ) 321
1
−=
x x f Si ( ) x f x 1= se hace ∞
( )∫
−
30 32
1 x
dx = −→ 1
lim
b
( )∫ +
−
b
x
dx0 32
1 +
→ 1
lim
c
( )∫
−
332
1c
x
dx
⇒ −→ 1lim
b ( )∫ =−−b dx x0
321 −→ 1
lim
b ( ) ( ) 3311033113 =−−−b
⇒ +→ 1
lim
c ( ) =−−∫3 321c dx x +→ 1
lim
c ( ) ( ) 3 23311331133 =−−− c
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
35/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 138
Como los límites existen la integral converge.
3. ∫∞
11
dx xe
∞+→b
lim =−∫b dx xe1 ∞+→b
lim = −−
1
b xe∞+→b
lim 1−+−− ebe
∞+→b
lim
eebe
111 =
+
− ∴ ∫
∞1
1dx xe
Converge
4. ∫∞
=1 2
1dx
x ∞→nlim ∫ =n dx
x1 21
∞→nlim =
− n x 1
1∞→n
lim 111 =
+−n
∴ La Integral Converge
5. =∞ −∫0 dx xe ∞→n
lim ∫ =−n dx xe0' ∞→nlim e−−
0
n=
∞→nlim 116 =+−− e
6. =∞
+∫0 121
dx x ∞→n
lim
∫ =+
4
0 12
1dx
x ∞→n
lim [ ] xtg Arc0
n
=∞→n
lim [ ] 2n π =tg Arc
7. =∞
∫0 dx x senn
n 0lim
∞→ =dx x sen
∞→nlim [ ]
n x 0cos
−
=∞→n
lim ( )( )ncos1 −
Como ( )ncos no tiende a un límite cuando ∞→n , la integral
∫∞0 dx x sen Diverge.
8. ∫∞
=−0
2 dx x xe∞→n
lim ∫ −n dx x xe02
=∞→n
lim
−+−− ∫n dx xe
n x xe 02
21
02
21 (I. P. P)
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
36/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 139
= ∞→nlim
02
412
21 n x
e x
xe
−
−−−
=∞→n
lim
++−−−−
41
02412
21 nenne
=41 ( Ya que 0 n 2 e →- )
OTROS TIPOS DE INTEGRALES IMPROPIAS
( ) =∞∞−∫ dx x f ∞−→nlim ( ) ++∫0 n dx x f ∞→n
lim ( )∫n dx x f 0
Los Integrales de la forma ( )∫∞∞− dx x f se aplican en Estadística.
EJEMPLO:
∫ ∫ ∫∞∞− ∞−
∞
++
+=
+
00 212121
dx xe
xedx xe
xedx xe
xe
=−∞→n
lim ( )∫+ +0 n dx x f ∞→nlim ∫
+
ndx xe
xe0 21
=−∞→n
lim ( ) xe Arctg n
0 + ∞→n
lim ( ) xe Arctg 0
n
=−∞→n
lim +− ne Arctg 4π
∞→nlim −
4
π ne Arctg
= 24204 π π π π =−+− Converge
OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL
En una cierta comunidad, la demanda de gasolina está creciendoexponencialmente a un ritmo de 5% por año. Si la demanda actual es de 4millones de galones por año, ¿Cuánta gasolina se consumirá en lacomunidad en los próximos 3 años?
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
37/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 140
SOLUCION:
Sea ( )t Q el consumo total de gasolina de la comunidad en lospróximos t años. Entonces,
=dt dQ Ritmo de consumo t e 05,04= Millones de galones por año.
El consumo en los próximos 3 años ( ) ( )03 QQ −=
∫ =
−== 3
0 95,12115,08005,04 edt t e Millones de galones.
Se estima que dentro de t días la cosecha de un agricultor estaráaumentando a un ritmo de 16,02 3,0 ++ t t Bushels por día. ¿En cuántoaumentará el valor de la cosecha durante los próximos 5 días si el precio demercado permanece fijo en 3 dólares por Bushel?
SOLUCION: Sea ( )t Q el número total de Bushel cosechados dentro de t días.
=dt dQ Ritmo de aumento de la cosecha.
=dt dQ 16,02 3,0 ++ t t
Como el precio es fijo en US$ 3
Aumento ( ) ( )[ ] ( )∫ ++=−= 50 16,02 3,03053 dt t t QQ 5
02
2 6,0
3
3 3,03
==++⋅=
t
t t t t
( ) 7555,75,123 =++= Dólares
Un árbol ha sido trasplantado y después de x años está creciendo a un
ritmo de ( )( )21
15,0
++=
x x f metros por año ¿Cuánto crecerá el árbol durante
el segundo año?
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
38/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 141
SOLUCIÓN:
Deberemos calcular ( )( )
∫ ∫+
+=21
21 21
15,0 dx
xdx x f
( )∫ ∫ ∫ ++
−=+
−=+
−
−=−==
+c
xc
uc
uduu
u
du
x
dx1
111
12
221
( )∫ ∫ =+−−==
=+
−+=
==
++= 2
1
2
1 32
21
31
5,012
1112
15,0215,0 x
x x x
x x x
dxdx metros.
R: 0,6 metros
EL VALOR MEDIO DE UNA FUNCION
El valor medio de una Función Continua ( ) x f sobre el intervalob xa ≤≤ ; viene dado por la fórmula:
EJEMPLOS:
1. Los registros indican que t horas después de la medianoche, latemperatura en el aeropuerto local era de ( ) 10t42 3,0 ++−= t t f GradosCelsius ¿Cuál fue la temperatura media en el aeropuerto entre las 9:00 A. M.y mediodía?
SOLUCION
12 9 == ba
Valor Medio ( )∫ ++−−=129 104
2 3,0912
1dt t t
Valor medio ( )∫−= b
a dx x f
ab1
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
39/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 142
Valor Medio
++
−= t t
t 102 2
3
3 3,0
3
1
9
12
=
=
t
t
+⋅+
⋅−−+⋅+
⋅−= 90292
3
393,01202122
3
3123,031
( ) C o 7,181,5631 ==
2. T.V.M. Integrales.
Después de t minutos de un experimento el número de bacterias presentesen un cultivo era de ( ) t et Q 05,0 2000= ¿Cuál fue el número medio de bacteriasdurante los 5 primeros minutos del experimento?.
3. Los registros indican que t meses después del principio del año, elprecio de la carne tipo v en los supermercados era de ( ) 6,12,02 09,0 +−= t t t P dólares por libra ¿Cuál fue el precio medio de la carne tipo v , durante los 3primeros meses del año?
EJERCICIOS:
Integre y compruebe sus resultados derivando 9. ∫ xdx sen xe 2
10. ∫ − dxe x 12
11. ∫ − dx x x 1
12. ∫ dx x x cos 13. ∫ dx sen xe 2
14. ( )∫ dx x x 2ln
15. ( )∫ + dx x x 1ln
dx x sen
xdx x
xdx x
xdx
dx x
senxdx x
xdx x
∫∫∫∫
∫∫∫
2 .22
3tan9 .21
csc 20.
sec .19
)(ln .18
.17
ln .16
2212
3
2
2
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
40/41
APUNTE DE CÁLCULO
CALCULO INTEGRAL 143
∫∫∫∫∫∫∫
−
2/
04
2
1
3
3
cos .29
ln .28
24 .27
cos .26
3cos .25
2 .24
2 .232
π xdx
xdx x
xdx xsen sen
bxdxe
xdxe
xdx sene
dxe x
ax
x
x
x
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+−
+−
−+
−−+
−−+
+−
++
++
++−
−++
dx x x
x x
dx x x
x x x
dx x
x x
dx x x
x x
dx x x
x x x
dx x
x x
)4()1(
32 .35
)2()1(
32 .34
27
12 .33
23
32 .32
23
32 .31
243
.30
22
2
22
23
32
2
2
2
23
2
Calcule las siguientes integrales.
36) ∫ xdxtanx 4cos 40) ∫ dx x x
4
2
cossen 44) ∫ xdx xtan 2sec2 2
37) ∫ dx x
x3csc
cot 41) ∫ ) x( 2sen
5 45) ∫ dx x x
sencos 3
38) ∫ dx x x )(sen 23 42) ∫ xdx4cot 46) ∫ xdxtan 2
8/15/2019 Apunte 7 - Métodos de Integración
41/41
APUNTE DE CÁLCULO
39) ∫ xdx2sec 4 43) ∫ − dx xe x2
47) ∫− x
x
e
dxe
23
48. Utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo , para calcular lasintegrales definidas siguientes.
( )
( )
( )
( )
x x dx
x x x dx
x x dx
x x dx
2
1
2
4 2
1
0
32
12
1
3
3 2 30
2
5
3 2 5
2
2 4 1
+ −
+ −
+
− +
∫∫∫∫
−
x x
xdx
x x dx
x xdx
t dt x
x
2
1
9
0
2
2 2
1
1
1
1
1 2 6
6 29
1 0
+ +
+ +
+ −
>
∫
∫
∫
∫−
( )( )
( )
;
49. Haga alguna sustitución trigonométrica para calcular las siguientesintegrales definidas e indefinidas.
2
5
9
2 7
2
3
2
3
2
dx
x x x dx
x x dx
x
−
−
+
∫
∫
∫
dx
xdx
x x x dx
x
4
9
4
20
1
26
2 3
3
20
2 3
−
−
+
∫
∫
∫
−
−
50. En los problemas siguientes determinar si las siguientes integralesimpropias son convergentes, defina la integral impropia en cada caso.
a) ∫∞
12 x
dx b) ∫∞
+0 23
)1( x
dx c) ∫∞
1 xdx d) ∫ <
1
0
1 p p x
dx
e) ∫ −1
01 xdx f) ∫
−
−1
1
3dx x g) ∫−
−1
8
3/2 dx x h) ∫4
1
0
2
secπ
tanx
xdx
51. Comprobar que: ( )∫∞ −
=−−1
11
edx xe x