8/17/2019 Apunte MEA (6)

1/286

     

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

2/286

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

3/286

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 σ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

  R̃2  

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

4/286

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

5/286

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

6/286

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

7/286

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

8/286

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

9/286

   

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

10/286

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

11/286

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

12/286

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

13/286

 

 

 

 

 

 

 t

 

 

 

 

 

 Di   = {0, 1}  

 

Y i    Y i        

 

Resultado P otencial =

 Y 1i,    Di = 1Y 0i,    Di = 0

 Y 0i    i  

 Y 1i  

 Y 1i     Y 0i  

 i

 Y i  

Y i   =

 Y 1i,    Di = 1Y 0i,    Di = 0

=   Y 0i + (Y 1i − Y 0i)Di    

(Y 1i − Y 0i)    

 Y 1i     Y 0i  

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

14/286

 

 

 

 

 

 

 

E [Y i|Di = 1] − E [Y i|Di = 0]

   Diferencia observada

=   E [Y 1i|Di = 1] − E [Y 0i|Di = 1]

   Efecto tratamiento sobre tratados

+   E [Y 0i

|Di = 1]

−E [Y 0i

|Di = 0]   Sesg o de seleccin

 

 

 

 

 

 Di  

 Di

E [Y i|Di = 1] − E [Y i|Di = 0] =   E [Y 1i|Di = 1] − E [Y 0i|Di  = 0]=   E [Y 1i|Di = 1] − E [Y 0i|Di  = 1]

 Y 0i     Di

 

 

 

 ρ =  Y 1i − Y 0i  

Y i =   α

  E [Y 0i]

+   ρ

  (Y 1i−Y 0i)

Di +   ηi

  Y 0i−E [Y 0i]

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

15/286

 

 

 

 

E [Y i|Di = 1] =   α + ρ + E [ηi|Di = 1]E [Y i|Di = 0] =   α + E [ηi|Di = 0]

E [Y i|Di = 1] − E [Y i|Di = 0] =   ρ  efecto tratamiento

+ E [ηi|Di = 1] − E [ηi|Di = 0]

   Sesg o de seleccin

 

ηi  

  Di

E [ηi|Di = 1] − E [ηi|Di = 0] = E [Y 0i|Di = 1] − E [Y 0i|Di = 0]

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

16/286

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

17/286

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

18/286

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

19/286

   

 

     

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

20/286

 

 

 

 

 

β  =  ∆Simce

∆  

β   

 

∆Simce   =   β · ∆  

=   −5,7 · 1

 β 

 

Simce =  β 0 + β 1 ·  

 β 0    β 1

 

       

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

21/286

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

22/286

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

 

 

 

 

 

m1m2

r2

  m1     m2  

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

23/286

 

 

 

     

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 x

   y

 

ρyx  = E {[x − E (x)] [y − E (y)]}

√ var(x)var(y)=

  σxy

√ σ2xσ

2y

ρ̂yx  =

∑ni=1

xi − X 

yi − Y 

 ∑ni=1

xi − X 

2 ∑ni=1

yi − Y 

2  

X  =   1n

∑ni=1 xi     Y   =

  1n

∑ni=1 yi

 ˆ

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

24/286

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

25/286

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

26/286

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

27/286

 

 

   

 

     

 

       

 

 

 

   

 

 

       0

       1       0

       0       0       0       0       0

       2       0       0       0       0       0       0

       3       0       0       0       0       0       0

       4

       0       0       0       0       0       0

      s      a        l      a      r        i      o

8   10   12   14 16   18

xx

x xx x x

x xx

Figura 2: Distribución de los salarios para distintos niveles de educación.

Recta de regesiónpoblacional (RRP)

Escolaridad

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

28/286

 

 

 

 

Figura 3: Ingreso semanal y Gasto semanal. Distribución simétrica

 

 

 

  i    i  

  i

E (Y |X i) = f (X i)  

 ·

   

 ·

 

 

 

  i    i

E (Y |X i) = β 0 + β 1X i  

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

29/286

 

 

 

β 0     β 1      β 0     β 1

 

 

 

 

 

 

 

  i  

ui  =  Y i − E (Y |X i)

 

Y i = E (Y |X i) + ui  

 ui  

 

Y i    X i

 

 X i    Y i  

 ui  

   

 

 Y i

  i  

 →

 

ui →  

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

30/286

 

 

 

 

  i    i  

Y i   =   E (Y |X i) + ui=   β 0 + β 1X i + ui  

  i

E (Y i|X i) =   E [E (Y |X i)|X i] + E (ui|X i)=   E (Y |X i) + E (ui|X i)  

 E (Y i|X i) = E (Y |X i)

E (ui|X i) = 0  

 

 ui

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

31/286

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

32/286

 

 

 

   

    1    2  

 

 

 

     

Ŷ i  =  β̂ 0 +  β̂ 1X i  

 Ŷ i    i    β̂ 1    β 1     β̂ 2  

 β 2

 

 

primera muestra (tabla 3)

segunda muestra (tabla 4)

FRM2FRM1

Regresión basadaen la primera

muestra

ingreso semanal

   G  a  s   t  o   d  e  c  o  n  s  u  m  o  s  e  m  a  n  a   l

Figura 4: Rectas de Regresión basadas en dos muestras distintas

       

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

33/286

 

 

 

Y i = β̂ 0 +  β̂ 1X i + ûi  

 

Y i = β 0 + β 1X i + ui  

Y i = β̂ 0 +  β̂ 1X i + ûi  

 

 

Figura 5: Rectas de Regresión muestral y poblacional

 Y i  

Y i  =  Ŷ i + ûi  

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

34/286

 

 

Y i = E (Y |X i) + ui  

  i  

Ŷ i    E (Y |X i)    

Ŷ i    E (Y |X i)  

 β̂ 0

 β̂ 1  

β 0 

  β 1 

 

 

     

E (β̂ ) − β 

 

  β̂   

   E (β̂ ) = β 

         

 β̂ 

 

 

     

 β̂ 

 

EC M (β̂ ) = E [(β̂ − β )2]

EC M (β̂ ) = V ar(β̂ ) + [Sesgo(β̂ )]2

     β̂ 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

35/286

 

 

 

X 1     X 2    X n    

∀ε > 0,   ĺımn→∞

P r[|X n − X | < ε] = 1

  plim X n =  X 

 plim(

X Y 

) 

  plimX  plimY 

 plim  (X  · Y )   plimX  · plimY 

 

 

    yi    

c  

  ui

yi =   c  componente fijo

+   ui  componente aleatorio

 ui ∼ N (0, σ2u)

µ =  E (yi) =   c

V (yi) =   E [(yi − E (yi))2] = E [u2i ] = σ2u

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

36/286

 

 

 

yi  

µ̂ =  Y   =  1

n(y1 + y2 + ... + yn) =

  1

n

ni=1

yi

 E (µ̂) = µ

E (µ̂) =   E (Y )=   E 

1n

(y1 + y2 + ... + yn)

=  1

n(E (y1) + E (y2) + ... + E (yn))

 E (yi) = E (c) + E (ui)   

0

= c 

E (µ̂) = c  =  µ

 

V ar(µ̂) 

  V ar(µ̂1)  

 yi

µ̂ =  Y E (Y ) = c V ar(Y ) 

  σ2un

µ̂1 = yi   E (yi) = c V ar(yi) = σ2u

 µ̂

 

 µ̂1

   µ̂

   µ

 

 µ̂1  

 µ̂

 

 µ̂1

  µ̂

 plim(µ̂) = plim(Y ) = c

 

ĺımn→∞ V ar(Y ) = 0 ⇒  plim(Y ) = c

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

37/286

 

 

   

 

ûi   =   Y i −  Ŷ i=   Y i −  β̂ 1 −  β̂ 2X i  

 

 

 β 

 

 

 

∑ûi  =

 ∑(Y i −  Ŷ i)  

 

 

 

 

 

û2i   =

(Y i −  Ŷ i)2

=

(Y i −  β̂ 0 −  β̂ 1X i)2  

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

38/286

 

 

 

 

Figura 6: Mínimos Cuadrados Ordinarios

     β̂ 0     β̂ 1  

 

∑û2i

ḿınβ̂0,β̂1

(Y i −  β̂ 0 −  β̂ 1X i)2  

∂ ∑ û2i∂ β̂ 0

=   −2(Y i −  β̂ 0 −  β̂ 1X i) = −2 ûi  = 0  ∂ ∑

û2i

∂ β̂ 1=   −2

(Y i −  β̂ 0 −  β̂ 1X i)X i  = −2

ûiX i = 0  

   Y i   =   nβ̂ 0 +  β̂ 1

X i  

Y iX i   =   β̂ 0

X i +  β̂ 1

X 2i  

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

39/286

 

 

 

 β̂ 0

β̂ 0 =

∑Y i −  β̂ 1

∑X i

n  

Y iX i =

∑Y i −  β̂ 1

∑X i

n

·

X i +  β̂ 1

X 2i  

 β 1

β̂ 1  = n ·∑ Y iX i −∑X i∑Y i

n ·∑X 2i − (∑X i)2  

β̂ 1 =

∑xiyi∑x2i

 

 xi = X i − X      yi =  Y i − Y     X  =   1n

∑ni=1 X i     Y   =

  1n

∑ni=1 Y i

β̂ 0   =

∑X 2i∑

Y i −∑

X i∑

X iY in ·∑X 2i − (∑X i)2  

=   Y  −  β̂ 1X     

Y i = β̂ 0 +  β̂ 1X i + ûi

Y   =  β̂ 0 +  β̂ 1X  + ûi  

 

(Y i − Y ) =  β̂ 1(X i − X ) + ûiyi =  β̂ 1xi + ûi

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

40/286

 

 

ḿınβ̂1

(yi −  β̂ 1xi)2

∂ ∑

û2i

∂ β̂ 1=   −2

(yi −  β̂ 1xi)xi = 0

 β 1    β 0  

β̂ 0  =  Y  −  β̂ 1X 

 

 Ŷ i  =  β̂ 0 +  β̂ 1X i  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

41/286

 

 

 

   2   0

   4   0

   6   0

   8   0

   P  u  n   t  a   j  e

   T  e  p  s   i

0 20 40 60 80Peso al nacer en 100 grs

Fuente: Elaboración propia en base a ELPI

Puntaje Tepsi y Peso al nacer

 

 

 

 β̂ 1  

β̂ 2    β 1     β 2  

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

42/286

 

 

 

β̂ 1     β̂ 2    Ŷ i   i   Y i = β 1+β 2X i +ui    

Y i    X i     ui    

 

X i     ui    Y i    β 1     β 2

   

Y i =  β 1 + β 2X i + ui

   

    

 ui    

 ui

E (ui|X i) = 0  

  ui    

ui    

ui    

ui

 

Figura 7: Distribución condicional del término de error ui

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

43/286

 

 

 

ui    

ui

var(ui|X i) =   E [ui − E (ui)|X i]2=   E (u2i |X i)   por supuesto   3=   σ2

 

 

 

 ui

 

Figura 8: Homocedasticidad

 

 X i  

 X i

 

Figura 9: Heterocedasticidad

     

var(ui|X i) = σ2i  

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

44/286

 

 

   

 X i     X  j    ̸=      ui     u j

cov(ui, u j |X i, X  j) =   E {[ui − E (ui)]|X i}{[u j − E (u j)]|X  j}=   E (ui|X i)(u j|X  j)= 0

 Y i   =   β 1  +  β 2X i  + ui     ui  

 u j    Y i    X i  

 u j  

 X i    Y i  

 u

 ui     X i    E (uiX i) = 0

cov(ui, X i) =   E [ui − E (ui)][X i − E (X i)]=   E [ui(X i − E (X i)]   por supuesto E (ui) = 0=   E (uiX i) − E (ui)E (X i)   por supuesto E (X i)   no estocastica=   E (uiX i)   por supuesto E (ui) = 0

= 0

 u

 

 

 u

 

 

 

   

 

 

 

 

Y 1 

  X 1

Y 1  =  β 1 + β 2X 1 + u1

 β 2

β 2 =

∑xiyi∑x2i

 xi = X i −X      yi = Y i −Y     X 1 = X 

 Y 1  =  Y     β 2  

β 1

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

45/286

 

 

   

 ⇒  X i  =  X     β 2    β 1  

 

 

 

 

 

 

 

 β 1     β 2  

 

 

 

   

   

 

 β 2

β̂ 2 =

∑xiyi∑x2i

 yi = β 2xi+ui

  yi    β 2

β̂ 2   =

∑xi(β 2xi + ui)∑

x2i

=   β 2

∑x2i∑x2i

+

∑uixi∑x2i

=   β 2 +

∑uixi∑x2i

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

46/286

 

 

E (β̂ 2) =   β 2 + E 

∑uixi∑x2i

=   β 2 +

∑E (ui)xi∑

x2i

  por supuesto   2

=   β 2   por supuesto   3  

 β̂ 2  

 

 

 β 2

var(β̂ 2) =   E [β̂ 2 − E (β̂ 2)]2=   E (β̂ 2 − β 2)2

=   E 

[∑

xiui]2

[∑

x2i ]2

 

E (u2i ) = σ2

 E (uiu j) = 0

var(β̂ 2) =   σ2∑x2i

 

  σ2

 σ2

 

 u2i     ûi    ui

σ̂2 = ∑ni=1 û

2i

n  

 

 β 1     β 2

 

yi = β 2xi + (ui − u)  

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

47/286

 

 

ûi  =  yi −  β̂ 2xi  

ûi = β 2xi + (ui − u) −  β̂ 2xi  

E 

û2i

  =   E (β̂ 2 − β 2)2

x2i  + E 

(ui − u)2

   (i)−2 E 

(β̂ 2 − β 2)

xi(ui − u)

   (ii)=   var(β̂ 2)

x2i  + (n − 1)var(ui) − 2E 

∑xiui∑x2i

xi(ui − u)

=   σ2 + (n − 1)σ2 − 2σ2= (n − 2)σ2

(i)   E 

(ui − u)2

  =   E 

(u2i − 2uiu + u2)

=   E 

u2i − 2u

ui + nu

2

=   E  u2i − 2u nn ui + nu2=   E 

u2i − 2nu2 + nu2

=   E 

u2i − nu2

=   E 

u2i − n

∑ui

n

2=   nσ2 −  n

nσ2

= (n−

1)σ2

(ii)   E 

(β̂ 2 − β 2)

xi(ui − u)

  =   E 

(β̂ 2 − β 2)

xi(ui − u)

=   E 

∑xiui∑x2i

xi(ui − u)

=   E 

(∑

xiui)2∑

x2i− u

∑xiui

∑xi∑

x2i

=   σ2

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

48/286

 

 

  σ2 σ2 = ∑ û2in − 2  

 σ2

 σ2

σ2 =   1n − 2E 

û2i

 =  σ2

   

 

 

 

 yi  

 

X 1    x1i  

yi = β 1 + β 2x2i + β 3x3i + ... + β kxki + ui   i = 1,...,n

 

 

 x j  

 

y1y2

yn

 =

11

1

β 1 +

x21x22

x2n

β 2 +

x31x32

x3n

β 3 + ... +

xk1xk2

xkn

β k +

u1u2

un

 

 ×

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

49/286

 

 

y1y2

yn

 =

1   x21   x31   · · ·   xk11   x22   x32   · · ·   xk2

1   x2n   x3n   · · ·   xkn

·

β 1β 2

β k

+

u1u2

un

⇒ Y   = X β  + u    

Y   

  ×  

  X   

 ×

   u

 

 ×

 

E (u) =

E (u1)E (u2)

E (un)

 =  n×1

E (uu′) =

E (u21)   E (u1u2)   · · ·   E (u1un)

E (u2u1)   E (u22)   · · ·   E (u2un)

E (unu1)   E (unu2)   · · ·   E (u2n)

 =

σ2 0   · · ·   0

0   σ2 · · ·   0

0 0   · · ·   σ2

 =  σ2 I 

n×n

 

u ∼

 

n×1, σ2 I 

n×n

 

 

 

 S E    β̂   

S E (β̂ ) =n

i=1

û2i   = û′û

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

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û =  Y  −

X β̂   

ḿınβ̂

S E (β̂ ) = mı́nβ̂

(Y  − X β̂ )′(Y  − X β̂ )

= mı́n

β̂

Y ′Y  − 2β̂ ′X ′Y   + β̂ ′X ′X β̂ 

∂S E (β̂ )

∂ β̂ ′= −2X ′Y   + 2X ′X β̂  = 0

⇒ β̂  = (X ′X )−1X ′Y 

 

X ′(Y  − X β̂ ) = 0 ⇒ X ′û = 0  

 β̂ 

 

X ′X β̂  = X ′Y  ⇔

1 1 1   · · ·   1x2,1   x2,2   x2,3   · · ·   x2,n

x3,1   x3,2   x3,3   · · ·   x3,n

xk,1   xk,2   xk,3   · · ·   xk,n

1   x2,1   x3,1   · · ·   xk,11   x2,2   x3,2   · · ·   xk,21   x2,3   x3,3   · · ·   xk,3

1   x2,n   x3,n   · · ·   xk,n

ˆβ 1β̂ 2β̂ 3

β̂ k

=

1 1 1   · · ·   1x2,1   x2,2   x2,3   · · ·   x2,nx3,1   x3,2   x3,3   · · ·   x3,n

xk,1   xk,2   xk,3   · · ·   xk,n

y1y2y3

yn

⇔

n

∑ni=1 x2,i

∑ni=1 x3,i   · · ·

  ∑ni=1 xk,i∑n

i=1 x2,i∑n

i=1 x22,i

∑ni=1 x2,ix3,i   · · ·

 ∑ni=1 x2,ixk,i∑n

i=1 x3,i∑n

i=1 x3,ix2,i∑n

i=1 x23,i   · · ·

 ∑ni=1 x3,ixk,i

∑ni=1 xk,i

∑ni=1 xk,ix2,i

∑ni=1 xk,ix3,i   · · ·

  ∑ni=1 x

2k,i

β̂ 1β̂ 2β̂ 3

β̂ k

=

∑ni=1 yi∑n

i=1 yix2,i∑ni=1 yix3,i

∑ni=1 yixk,i

 

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

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 ≥ k

 

 

 ×

 

 (X ′X )−1 = X −1(X ′)−1

β̂  = (X ′X )−1X ′Y   = X −1(X ′)−1X ′Y   = X −1Y   

 

û =  Y  − X ˆ

β  = Y  − X (X −1

Y ) = Y  − Y   = 0n  

 

 

 

 

 β̂ 

 

 

 

   

       

 β̂ 

 

β̂  = (X ′

X )−1

X ′

Y   = (X ′

X )−1

X ′

(Xβ  + u) = β  + (X ′

X )−1

X ′

u  

E (β̂ ) =   E (β ) + E [(X ′X )−1X ′u]

=   β  + (X ′X )−1X ′E (u)

 β 

 

 

 

⇒ E (β̂ ) = β   

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

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β̂ − β  = (X ′X )−1X ′u  

β̂ 

var(β̂ ) =   E [(β̂ − E (β̂ )) · (β̂ − E (β̂ ))′]=   E [(β̂ − β ) · (β̂ − β )′]=   E [(X ′X )−1X ′uu′X (X ′X )−1]

= (X ′

X )−1

X ′

E (uu′

)X (X ′

X )−1

= (X ′X )−1X ′(σ2I n)X (X ′X )−1

=   σ2(X ′X )−1  

 β̂ 

   σ2

 

σ2 =   u′un − k

 

 β̂ 

   β 

 

     

 y

     E (β̂ )

 

 β 

 

 

   

 

   

 

   

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

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β   = Ay  

  β   

  A  

 ×

   A = A − (X ′X )−1X ′

β    = [A + (X ′X )−1X ′]Y = [A + (X ′X )−1X ′](Xβ  + u)

=   AXβ  + β  + [A + (X ′X )−1X ′]u

E (β ) =   AXβ  + β  + [A + (X ′X )−1X ′]E (u)

=   AXβ  + β 

 

β   

  0k×k  

β    =   β  + [A + (X ′X )−1X ′]u

cov(

β ) =   E [(

β − β )(

β − β )′]

=   E {

([A + (X ′X )−1X ′]u)([A + (X ′X )−1X ′]u)′

}=   σ2AA′ + σ2(X ′X )−1   cov(β̂)

 AA′

 

 

β  

  β̂   

 

β   

  β̂ 

 

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yi =  β 1 + β 2x2i + β 3x3i + · · · + β kxki + ui    

i = 1 . . . n

yi =  β̂ 1 +  β̂ 2x2i +  β̂ 3x3i + · · · + β̂ kxki + ûi    

Ȳ   =  β̂ 1 +  β̂ 2x̄2 +  β̂ 3x̄3 + · · · + β̂ kx̄k  

β̂ 1 =  Ȳ  −  β̂ 2x̄2 +  β̂ 3x̄3 + · · · + β̂ kx̄k    

 

yi −

 Ȳ   =  β̂ 2(x

2i −x̄2) +  β̂ 

3(x

3i −x̄3) +

· · ·+ β̂ 

k(x

ki −x̄

k) + û

i  

 

 

 

 

 

     

 

 M 0

 n × n

M 0 =   I n×n

−ii′

n  =

1 0   · · ·   00 1   · · ·   0

0 0   · · ·   1

− 1

n

1 1   · · ·   11 1   · · ·   1

1 1   · · ·   1

 =

1 −   1n

  − 1n

  · · · − 1n− 1

n  1 −   1

n  · · · − 1

n

− 1n

  − 1n

  · · ·   1 −   1n

 

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×    

 M 0

 M 0

 M 0M 0

 M 0

 

 M 0

     

M 0Y   = Y  −  1n

ii′Y   =

y1y2

yn

−  1n∑n

i=1 yi∑ni=1 yi

∑ni=1 yi

 =

y1 −  Ȳ y2 −  Ȳ 

yn −  Ȳ 

 

M 0Y   = M 0Xβ  + M 0u  

 

Y   = X β  + u

 n × 1

 

 

n × k    

n × 1

 

 

 

T SS  =n

i=1

(Y i −  Ȳ )2  

 

M 0Y   = M 0X β̂  + M 0û

 X   = [i X 2]  

 β ′ = [β 1   β 2]    M 

0i   = 0  

  M 0û   = û 

M 0Y    =   M 0iβ̂ 1 + M 0X 2β̂ 2 + M 

0û

=   M 0X 2β̂ 2 + û  

 

 

 

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Y ′M 0Y    =   Y ′(M 0X 2β̂ 2 + û)

= (X β̂  + û)′(M 0X 2β̂ 2 + û)

=   β̂ ′X ′M 0X 2β̂ 2 +  β̂ ′X ′û + û′M 0X 2β̂ 2 + û

′û

Y ′M 0Y    =   β̂ 2X ′2M 

0X 2β̂ 2 + û′û

 

T SS    =   ES S  + RSS   

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 R2

 

  R̃2

 

R2 = ES S 

T SS   

 

R2 = 1 −  RSS T SS 

 

 

 RSS  ≤

T SS   

  RSS T SS 

 ≤ 1

 

 

X ′û =  X ′(Y  − X β̂ ) = X ′Y  − X ′Y   = 0

 

8/17/2019 Apunte MEA (6)

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 M 0

 

 R2 ≥ 0

 

 R2

 

 

 

Y   = β 1 + β 2X  +  u

 n × 1

 

Y  − X  = β 1 + γX  + u

 β 2 ≈  1    R2  

 

 

 

R2

 

 

 

 

 R2

 R2

 

  R̃2

R̃2 = 1 −   û′û/(n − k)

Y ′MY /(n − 1)  

R̃2 = 1 − (1 − R2) (n − 1)(n − k)  

 

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