Apuntesde Mecanicac _RicardoMu nozM.1ApuntesparacursoFI2001-2010/11Aliaci on: Departamento de Geofsica, Facultad de Ciencias Fsicas y Matematicas, Universi-dad de Chile. Avda. Blanco Encalada 2002, Piso 4. Email: rmunoz@dgf.uchile.cl2IndicegeneralPrefacio I1. Introduccion 12. SistemasdeCoordenadasyCinematica 32.1. Vector posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.1. Sistema de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.1. Coordenadas cartesianas en 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.3. Coordenadas cartesianas en 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.4. Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.5. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.6. Advertencia sobre notaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.7. Cambios de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.8. Seleccion del sistema de coordenadas a usar . . . . . . . . . . . . . . 102.2.9. Coordenadas intrnsecas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Cinematica de la partcula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1. Velocidad y Aceleraci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.2. v y a en coordenadas intrnsecas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.3. v y a en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.4. v y a en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.5. v y a en coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.6. v y a en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.7. Un ultimo comentario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183. Dinamica:LeyesdeNewtonyFuerzas 213.1. Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.1. Primera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2. Segunda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.3. Tercera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.1. Formas de representar las fuerzas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.2. Atraccion gravitacional y peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.3. Resortes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.4. Fuerzas en uidos: Roce viscoso y F. de presion. . . . . . . . . . . . 263.2.5. Fuerzas de Contacto: Normal y Roce. . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.6. Cuerdas y barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.7. Otras fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324INDICEGENERAL3.3. Dos partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.1. Sistema de dos partculas aisladas y masa reducida. . . . . . . . . . 323.4. Metodologa usual y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.1. Pasos tpicos de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.2. Problema de roce estatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354. MomentoAngularyTorque 394.1. Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2. Ecuacion del Momento Angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3. Torques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.1. Torques nulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4. Momento angular constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4.1. Momento angular parcialmente constante . . . . . . . . . . . . . . . 434.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.5.1. Ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.5.2. Ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5.3. Ejemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5.4. Ejemplo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.5.5. Ejemplo 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475. EnergayTrabajo 515.1. Energa cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2.1. Trabajo de fuerza constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2.2. Trabajo de roce viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.3. Trabajo de fuerza de resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3. Fuerzas Conservativas y Energa Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4. Ecuacion de la EMT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.5. 3 Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.5.1. Dado

Fc(r), como calculoV

Fc(r) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.5.2. DadoV

Fc(r), como calculo

Fc(r) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.5.3. Dado

F(r), como puedo vericar si es conservativa ? . . . . . . . . . 586. EquilibriosyOscilaciones 616.1. Equilibrios y peque nas oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.1.1. Puntos de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.1.2. Peque nas oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.1.3. Generalizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2. Oscilaciones amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2.1. Sobre-amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2.2. Sub-amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2.3. Amortiguamiento crtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.3. Oscilaciones forzadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.4. Oscilaciones con forzamiento y atenuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.4.1. Transiente y regimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.4.2. Soluci on de regimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.5. Modos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.6. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81INDICEGENERAL 57. FuerzasCentrales 837.1. Constantes del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2. Ecuacion de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.3. Orbitas gravitacionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.3.1. Ecuacion fsica de la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.3.2. Ecuacion geometrica de la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.3.3. Relacion entre f ormulas fsicas y geometricas . . . . . . . . . . . . . 877.4. Tipos de orbitas gravitacionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.4.1. Orbita circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.4.2. Orbita elptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.4.3. Orbita parab olica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.4.4. Orbita hiperb olica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.5. Diagramas parametricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.5.1. Orbitas seg un excentricidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.5.2. Orbitas seg un energa y momento angular . . . . . . . . . . . . . . . 927.5.3. Orbitas seg un rapidez y direcci on en un punto . . . . . . . . . . . . 927.5.4. Orbitas seg un potencial efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.6. Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.6.1. Primera ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.6.2. Segunda ley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.6.3. Tercera ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.7. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978. MovimientoRelativo 998.1. Sistema no inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.2. Ecuacion de Movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.3. Ecuacion de movimiento en SRNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.4. Fuerzas inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.4.1. Fuerza inercial por aceleraci on de O:

Fo = m

Ao. . . . . . . . . . . 1058.4.2. Fuerza Centrfuga:

Fcf= m

e(

er) . . . . . . . . . . . . . . 1078.4.3. Fuerza de Coriolis:

Fco = 2m

ev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.4.4. Fuerza Transversal:

FT = m er . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.5. Efectos de la rotaci on terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.5.1. Pendulo en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.5.2. Pendulo cortado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.5.3. Pendulo de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139. SistemasdePartculas 1159.1. Denici on del Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.2. Movimiento del Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.2.1. Centro de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.2.2. Movimiento del Centro de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.2.3. Movimiento Relativo al Centro de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . 1189.3. Energa Mec anica del Sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.3.1. Energa Cinetica del Sistema de Partculas . . . . . . . . . . . . . . 1199.3.2. Conservacion de Energa para Sistemas de Partculas . . . . . . . . . 1209.4. Momento Angular del Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.4.1. Momento Angular respecto del Origen. . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.4.2. Momento Angular respecto a otros puntos. . . . . . . . . . . . . . . 1236INDICEGENERAL9.4.3. Momento Angular relativo al Centro de Masa. . . . . . . . . . . . . 12410.Impulsosychoques 12510.1. Impulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12610.1.1.Impulso lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12610.1.2.Mecanica Instant anea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12810.1.3.Otras consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12910.2. Choques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13010.2.1.Choque de partcula con pared . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13010.2.2.Choque de 2 partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13110.2.3.Energa en choques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13210.2.4.Choques el asticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13311.SistemasRgidosySolidos 13511.1. Resumen de Sistemas de Partculas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13611.2. Denicion de sistema rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13611.3. Momento angular de una estructura rgida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13711.3.1.Momento angular respecto al Centro de Masa. . . . . . . . . . . . . 13711.3.2.Momento angular en movimiento con punto jo . . . . . . . . . . . . 13911.4. Energa cinetica de una estructura rgida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13911.4.1.Energa cinetica relativa al Centro de Masa . . . . . . . . . . . . . . 13911.4.2.Energa cinetica en movimiento con punto jo . . . . . . . . . . . . . 14011.5. Matriz de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14011.5.1.Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14211.5.2.Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14311.5.3.Cambio deIpor traslaci on del origen: Teorema de Steiner . . . . . . 14311.5.4.Cambio deIpor rotaci on de ejes: Direcciones Principales de Inercia 14511.6. S olidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14611.6.1.Distribuci on continua de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14611.6.2.Propiedades extendidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14711.6.3.Condici on de no-resbalamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14712.Eplogo 149A. VectoresyMatrices 151A.1. Vectores: aspectos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151A.1.1. Producto punto y producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151A.1.2. Formulas miscelaneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152A.2. Matrices: valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152B. Ecuacionesdiferencialesordinarias 157C. IntegralesdeLnea 159C.1. Representacion de la curva ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159C.2. El vector desplazamientodr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160C.3. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161C.3.1. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161C.4. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163C.4.1. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164C.5. Colof on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165INDICEGENERAL 7D. CamposEscalares 167D.1. Representacion Gr aca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167D.2. Derivadas Parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169D.3. El Operador Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170D.3.1. El Operador Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708INDICEGENERALPrefacioEstos apuntes se basan en el programa del curso de Mecanica y tambien parcialmenteenlos apuntesdel Profesor PatricioAceituno. Siendoapuntesrelativamentej ovenesagradecere al lector hacerme saber errores o problemas que ellos de seguro contienen.ii PREFACIOCaptulo1Introducci onEn este curso estudiaremos la ecuacion

F= ma. (1.1)Con toda seguridad la frase anterior causar a a algunos gran enfado, pues quien ya havistolaecuacion1.1desdeseptimobasico(seg unmissobrinas)tienetodoel derechoaesperar algo mas en segundo a no de Injeniera. A otros, en cambio, la misma frase puedebrindarles la complacenciade una (falsa) sensaci onde seguridad. Para que preocuparmedelcurso sieltemacentrallohevistotantasveces, y,dado queestoyaqu,obviamentelo domino? Para unos y otros, por tanto, explicitaremos aqu tres diferencias que hacen aeste curso necesario, importante, y, en muchas formas, novedoso.Generalidad. Haremos el esfuerzo de aplicar 1.1 en la forma mas general que podamos.Por ejemplo, no nos limitaremos a estudiar movimiento rectilneo, ni plano, ni circu-lar, sino que tales ser an solo casos muy particulares del movimiento completamentetridimensional queseremoscapaces deabordar. Veremos tambienqueenel casogeneral el momentodeinerciadeuncuerpos olidoess olounelementodeunaes-tructura m as compleja denominada tensor de inercia, o bien que trabajo=fuerza pordistanciaessolounaformamuyparticularparacalcularel trabajodeunafuerzayquemuchasvecesnosirve. Dadaestab usquedadegeneralidad, tendremosqueestarmuyalertasanoocuparindiscriminadamenterecetasof ormulasaprendidasantes que, en su letra muy chica, llevaban consigo alguna restricci on importante ensu validez. Ella explicar a tambien que ocupemos buena parte del tiempo en derivarpaso a paso nuestras ecuaciones. Tal es la unica forma de saber el rango de validez delas conclusiones obtenidas, y, por lo tanto, de saber bien cu ando podemos y cu andono podemos utilizar alg un resultado previo.Matematicas. Esperamoshastaahoraparaeste ultimocursosobrelaecuacion1.1porque yacontamosconalgunasdelasherramientasmatematicasrequeridasparaabordarlo conla generalidadque buscamos. Usaremos ampliamentela geometra ytrigonometra, el algebradevectoresymatrices, elcalculodiferencialeintegral, yresolveremos varias ecuaciones diferenciales ordinarias rozando incluso el analisis decampos escalares y vectoriales. Algunas de estas matematicas han sido vistas en cur-sos previos y otras se ven en cursos paralelos, por lo que sera muy conveniente estarrepasando y praticando el uso de estos artilugios. Sin embargo, siendo este un cursode fsica y no de matematicas,el repaso y ejercitacionde estas seran tareasprinci-palmentedel estudiante, quedandoenlasclasesexpositivasrelegadasamencionesbreves y en estos apuntes a la categora de apendices.2 CAPITULO1. INTRODUCCIONEnfoquedelosproblemas. Por ultimo, el estilodelos problemasqueplantearemospodr a ser tambiennovedosopara algunos.Rarasvecesindicaremosla metodologaespecca a utilizar para resolver los problemas, sino que preguntaremos por efectosfsicos: cuando se separa una partcula de una supercie?, cu al es la altura m aximaque alcanza?, c omo crece la tension de la cuerda con su largo?, etc. Ser a trabajo delestudiantetraduciresaspreguntas encondicionesfsicasy ecuacionesmatematicasque permitan responder a la pregunta. Por un lado, la misma generalidad que men-cionamosantesharaqueal nal del cursoseanvariaslasformasdistintasenquecadaproblemapuedeserenfrentado, debiendocadaalumnoentoncesencontrarelcamino de solucion que m as le acomode. Por otra parte, plantear los problemas delmodo dicho los hace parecerse mas a aquellos que realmente enfrenta el ingeniero oel cientco en su trabajo: manejar tecnicas y conceptos basicos, aplicarlos en formacorrecta y paso a paso en pos de un objetivo, encontrar el resultado buscado o prede-cir el comportamiento del sistema en estudio, y reexionar acerca de sus resultados,la validez que ellos tienen y las consecuencias que de ellos se derivan.Terminemos esta introduccion defendiendo de alguna forma a la mec anica clasica o lafsica newtoniana, en las que este curso se enmarca, respecto de quien las pudiese mirar condesden pensando que s olo la mecanica cuantica o la fsica relativista estan realmente vivas.Aunque nos esforcemos en presentar las materias del curso como problemas ha mucho yadenidos yresueltos,serecomienda alestudiantevivazmantenersealertayconesprituinquisitivo ante las dudas que lo asalten o las preguntas en las que el profesor carraspeeantesdecontestar. Mal quemal alolargodeloscontenidosdeestecursonoesdifcilimaginar a Newton reexionando acerca del concepto de velocidad e inventando el c alculodiferencial, o a Einstein reexionando acerca de sistemas de referencia moviles y llegandoalconceptoderelatividad,o biena Gibbsyotrospadresdela termodin amicamodernapasando desde los conceptos de sistemas en equilibrio al estudio de los sistemas fuera delequilibrio. M asa un, inclusoqued andonosenel terrenodelamec anicaclasica, todavaplantea esta problemas en la frontera de la ciencia como la turbulencia en uidos o el caosy la predictabilidad de sistemas complejos no lineales.Tal como lo demuestran da a dalospron osticosdeltiempo y eltransantiago, estosproblemas sonde granimportancia yestan muy lejos de estar resueltos.Captulo2SistemasdeCoordenadasyCinematicaSiendounobjetivoprincipal deestecursoel poderdescribirel movimientodeunapartculaenel espacio, partiremosestecaptulomostrandodistintasformas(metodososistemas) que se usan para describir cuantitativamente una posici on cualquiera en el espa-cio. Una vez estudiados varios sistemas para describir posiciones espaciales nos ocuparemosde seguir la posicion de una partcula individual mientras ella se mueve en el tiempo. Surgenentonces los conceptos de velocidad y aceleracionde la partcula cuyo estudio es materiade la cinematica.2.1. Vectorposici onLadescripci onprecisadeunaposicionenel espaciosehacegeneralmenteenformarelativaaalgunareferencia. As porejemplo, decimosPedritoestasentado2lasmasadelante y tres bancos a la derecha de Oscarito. Suponiendo que sabemos d onde esta Os-caritoladescripci onanteriormeindicalaposici ondePedrito. Oscaritoenestecasoesnuestro punto de referencia para describir la posici on de Pedrito.En el caso general describiremos la posici on de cualquier punto Pdel espacio respectode un punto O del espacio que consideraremos nuestra referencia. La posici on de PreferidaalpuntoOconstituyeloquematem aticamenteseconocecomoun vector: elvector

OP(ver gura 2.1). Enfaticemos que el vector

OPno es una abstracci on matematica sino quees un objeto muy fsico que describe la geometra de la posicion espacial de P respecto deO. Como todo vector,

OPtiene tres propiedades geometricas que le son propias: magnitud(la distancia entre O y P), direcci on (la direcci on de la recta que pasa por O y P) y sentido(va de O a P). Conocer el vector

OPes conocer estas tres propiedades, y viceversa.3DOPOPFigura 2.1: Vector

OPen espacio 3D.4 CAPITULO2. SISTEMASDECOORDENADASYCINEMATICA2.1.1. SistemadeReferenciaEl vector

OPsolo depende de la posici on de P y de O. Dados ambos puntos, el vector

OPes uno solo y esta completamente denido (es decir, su magnitud, direccion y sentidoestan completamente denidos).Unbuenmanejodel algebradevectores es requisitofundamental paraestecurso,por cuantoascomolaposicionespacial delapartculaesunvector, tambienlosonsuvelocidad, aceleraci on y las fuerzas que la afectan. Por lo tanto, manejaremos vectores paraarriba y para abajo, les haremos productos puntos, productos cruces y los someteremos atodo laartilleradeherramientasmatematicasqueadquirimosenotroscursos.Lareglade la mano derecha debemos saber aplicarla correctamente aunque seamos zurdos!2.2. SistemasdeCoordenadasDadounvector

OPyunsistemadedireccionesoejesdereferenciadenidosenelespacio, el siguiente paso es denir un sistema de coordenadas para describir el vector. Paraesto existen diversos metodos o sistemas alternativos. A veces resulta conveniente describirmatematicamente el vector

OPcon distancias a los ejes o planos de referencia. Otras veceslo describiremos mediante algunos angulos, o con una combinaci on de distancias y angulos.En n, lo importante es reconocer aqu que para describir un mismo vectortendremos anuestra disposici on una variedad de sistemas o metodos alternativos, algunos de los cualespresentaremos a continuaci on. El objeto de aprender a utilizar estos varios sistemas es quecuando nos enfrentemos a un problema particular seamos capaces de reconocer y aplicarel sistema que simplique su soluci on.Los metodos para describir matem aticamente un vector reciben el nombre generico desistemas de coordenadas. Ellos asocian unvocamente a cada vector del espacio un conjun-to de n umeros denominados coordenadas. En el caso de un vector posici on existente enun espacio tridimensional (3D) el sistema de coordenadas que utilicemos asociar a un tro(a1, a2, a3) a cada punto P del espacio. La forma especca como se denen y determinanlascoordenadasa1, a2ya3dependendelsistemadecoordenadaselegido, perounavezdenido este, cadapuntodel espaciotieneasociadoun unicotro(a1, a2, a3)ydadountro(a1, a2, a3)debo sercapazdeidenticarexactamenteelpunto delespacioPal cualesas coordendas se reeren. Cuando restrinjo el espacio considerado a 2 dimensiones (porejemplo s olo me interesa describir todos los puntos sobre la cubierta de una mesa) las co-ordenadas ser an 2, mientras que si me interesa describir puntos s olo a lo largo de una rectalos vectores estaran en general restringidos a 1 dimensi on y bastar a una sola coordenadapara describirlos matematicamente.2.2.1. Coordenadascartesianasen2DPartamos considerando el sistema de coordenadas m as simple de explicar para describirla posicion de puntos ubicados en una supercie plana (espacio 2D). El sistema cartesianorectangular utiliza el siguiente metodo para asociar coordenadas a un punto P:1. Dena pasando por el punto O dos ejes auxiliares, X e Y, perpendiculares entre s.2. Las coordenadasx ey del punto P son las distancias del punto P a los ejes Y y X,respectivamente.3. Las coordenadas recibensignosque indicanelsentido a lo largode losejes enquese deben medir las distancias para llegar al punto P.2.2. SISTEMASDECOORDENADAS 52DOPOPXYxyOPXYija) b)Figura 2.2: a) Sistema cartesiano rectangular en 2D. b) Elementos del sistema cartesianorectangular.La gura 2.2ailustra ladenici ondelascordenadascartesianasrectangularesenunplano. Conviene explicitar los elementos que se asocian a cada sistema de coordenadas, asaber:Ejes dereferencia: unoom asejesauxiliaresquepasanporel puntoOyquesirvenpara denir las coordendas. En el caso de un espacio 3D se trata a veces de planosde referencia.Coordenadas: distanciasoangulosquedenenlosvaloresnumericos(a1, a2, a3)paracada punto del espacio. Cuando las coordenadas son distancias se habla de un sistemacartesiano.Grillacoordenada: familias de lneas imaginarias creadas manteniendo una coordenadaja y haciendo variar las restantes coordenadas en todo su rango de variaci on. En elcaso de un espacio 3D se generan de este modo supercies en el espacio. Cuando lasfamilias de curvas son perpendiculares entre s se habla de un sistema de coordenadasrectangular.Vectoresunitarios: en cada punto del espacio se dene un conjunto de vectores unitariosque tienen la direcci on y sentido en que una de las coordenadas aumenta manteniendotodas las demas jas. Cuando los vectores unitarios para todos los puntos del espacioson iguales se habla de un sistema de coordenadas homogeneo.Lagura2.2bmuestraestoselementos parael sistemacartesianodenidomasarriba.Los vectores unitarios de este sistema se denominan usualmente y j. Podemos ver que elsistema descrito es homogeneo por cuanto los vectores resultan identicos para todos lospuntos del espacio (tiene igual magnitud, direccion y sentido), y lo mismo ocurre para j.Los vectores unitarios son utiles para expresar el vector posici on de P en funci on de ellos.Para el sistema de coordenadas recien denido est a claro que se puede escribir:r = x +y j. (2.1)2.2.2. CoordenadaspolaresUn sistema alternativo para describir posiciones en un espacio plano (2D) es el llamadosistema de coordenadas polares. El metodo en este caso es1. La coordenadar del punto P ser a simplemente su distancia al punto O.6 CAPITULO2. SISTEMASDECOORDENADASYCINEMATICA2DOPOPEje PolarqrqrFigura 2.3: Coordenadas polares.2. Dena pasando por el punto O un eje llamado polar. La coordenada del punto Psera el angulo formado entre el eje polar y la recta OP.La gura 2.3ilustra elsistema polar y sus elementos.Puede verseque es un sistemano cartesiano (una de sus coordenadas es un angulo) pero rectangular. Los vectoresuni-tarios de este sistema se denotan tpicamentecomo ry. Este sistema es no homogeneopuesto que los vectores unitarios cambian de direcci on en distintos puntos del espacio. M asespeccamente, ellos dependen de la coordenada del punto considerado, es decir r = r(), (2.2) =(). (2.3)El vector posicion de un punto P se expresa en los terminos de este sistema polar enla simple formar = r r. (2.4)Una mirada r apida de 2.4 podra hacernos pensar que s olo la coordenadar es importantepara denir elvectorryquelacoordenadano loafecta. Esto pareceraro puesto quesabemos que necesitamos2 coordenadas para describir un punto arbitrario de unplano.El problema se resuelve mirando 2.2 y reconociendo que la inuencia de la coordenadaen 2.4 es a traves del vector unitario r.2.2.3. Coordenadascartesianasen3DPara describir puntos en un espacio 3D podemos agregar al sistema cartesiano de 2Dun tercer eje Z perpendicular a X e Y. Las coordenadas de P son este caso (x, y, z) denidascomo las distancias a los planos de referencia YZ, XZ y XY, respectivamente. Los vectoresunitarios son ahora (, j, k). Por convenci on el tercer eje se dene apuntando en el sentidotal que se cumplak = j, (2.5)de manera que (, j, k) conforme lo que se llama una trada de vectores unitarios derechoque cumple j =k, (2.6) j k = , (2.7)k = j, (2.8)y los productos cruces conmutados producen los resultados con el signo opuesto. La gura2.4 ilustra este sistema de coordenadas.2.2. SISTEMASDECOORDENADAS 7xzPYy XZijk3DOFigura 2.4: Coordenadas cartesianas en 3D.2.2.4. CoordenadascilndricasUn sistema de coordenadas alternativo para describir puntos en 3D es el de las coor-denadas cilndricas. En este se usa como referencia un plano que pasa por el punto O. Laproyecciondel punto P sobre este plano se describe con coordenadas polaresry. Latercera coordenada, usualmente llamadaz, es simplemente la distancia entre P y el planode referencia. Los vectores unitarios en este sistema son la trada derecha ( r, , k). La gu-ra 2.5a ilustra las deniciones asociadas a las coordenadas cilndricas. La descomposiciondel vectorr usando los vectores unitarios y las coordenadas de este sistema esr = r r +zk. (2.9)2.2.5. CoordenadasesfericasLa primera coordenada en este sistema es simplemente la distancia entre P y el origenO, la que llamaremosr. Las dos coordenadas adicionales son angulos. En forma parecidaal caso de las cilndricas se ocupa tambien aqu como referencia un plano que pasa por elpunto O y un eje (llamado azimutal) contenido en el. El angulo entre este eje y la proyeccionde P sobre el plano dene la coordenada llamada angulo azimutal, el cual denotaremos.Perpendicular al plano mencionado y pasando por O se dene un segundo eje de referencia(eje cenital). El angulo entre este eje y el vector posicion es la coordenada llamada angulocenital que denotaremos por. La trada derecha de vectores unitarios en este caso es ( r,,). La gura 2.5b ilustra este sistema. La descomposici on de r usando los elementos deq rEje polarZqzPkrfqrrqfEjeAzimutalEje CenitalPa) b)Figura 2.5: a) Coordenadas cilndricas. b) Coordenadas esfericas.8 CAPITULO2. SISTEMASDECOORDENADASYCINEMATICAeste sistema alcanza la maxima simplicidad formal:r = r r. (2.10)Sin embargo, es simple ver que este sistema de coordenadas es no homogeneo y los vectoresunitarios sonfunci ondey,por lo que2.10incluyeefectivamentela dependencia delvector posicion con las tres coordenadas de este sistema.2.2.6. Advertenciasobrenotaci onCorrespondeaqu unaadvertenciaatenercuidadoacercadelanotaci on, nombres,smbolos y convenciones cuando se usan los distintos sistemas de coordenadas descritos ylos muchos otros que se pueden denir. No existiendo una Real Academia de Sistemas deCoordenadas es un hecho de que distintos libros usan distintos smbolos para las mismascoordenadas o los mismos smbolos para distintas coordenadas. Es un hecho tambien quedistintos profesores de este mismo curso usar an distintos smbolos a los usados mas arriba.Por ultimo es tambienun hecho que un mismo profesor ha usado para las mismas coor-denadas distintos smbolos en distintos semestres. Todo lo cual apunta a que debeis estaralertaanomemorizarsmbolosyecuacionessinestarsegurosdequeconvencionestanusando.Paraenfatizar loanterior a unm as notemos explcitamentedos curiosidades delossmbolos conquesedenieronlos distintos sistemas decoordenadas presentados masarriba. En primer lugar notemos que tanto en los sistemas polares, cilndricos y esfericosle hemos llamador a una de las coordenadas. A pesar de haberles dado el mismo smboloellascorrespondenengeneral adistanciasdenidasenformadistinta. MientrasqueenpolaresyesfericaslacoordenadaresladistanciadirectaentreOyP, encilndricaslacoordenadarfue denida como la distanciaentreO ylaproyecci ondePsobreel planodereferencia. Podramos haberledadoalas coordenadas distintosmbolo, peronolohicimosprecisamenteparaenfatizarqueunodebeestarmuyatentoalasdenicionesyconvenciones del sistema que esta usando, sin dejarse llevar ciegamente por los smbolos.Una seguna curiosidad acerca de los smbolos usados son el angulo azimutal en esfericasyelangulopolardelascoordenadascilndricas. Enefecto, puedeversequeladenci onde ambos es extremadamente similar y con buena voluntad (haciendo coincidir los planosy ejes de referencia de los 2 sistemas) pueden ser completamenteidenticos.Sin embargo,recibieroncadaunodistintossmbolos(enel casocilndricoyenel casoesferico).Nuevamente este es un llamado de atencion a tener cuidado de no asumir que un smbolorepresenta algo que no es. En resumen, cada uno es libre de denir los smbolos que unodesee para lasdistintas coordenadas, pero luego se debe ser consistenteconesaspropiasdeniciones para llegar al resultado correcto que es uno solo.2.2.7. CambiosdecoordenadasSi los varios sistemas coordenados entregandistintas coordenadas paralos mismospuntos del espacio, entonces deben existir relaciones entre las coordenadas obtenidas conlosdistintossistemas. Ocurriraseguidoqueenunmismoproblemausaremosanuestraconvenienciavariossistemas y, porlotanto, manejarbienlas relaciones decambiodecoordenadas es fundamental.Previo a establecer las relaciones entre las coordenadas de dos sistemas se debe deniren forma precisa cada uno por separado. Se debe establecer claramente la posici on de ambosorgenes (podran ser distintos) y los ejes y planos de referencia de cada uno. Consideremos2.2. SISTEMASDECOORDENADAS 9OPXYxyEje PolarqrOPXYxyEje Polarqra) b)Figura 2.6:Punto descrito concartesianasy polares.a)Eje polar coincideconejeX.b)Eje polar coincide con eje Yel caso ilustrado en la gura 2.6a en que un plano 2D se describe con un sistema cartesianoy un sistema polar. Los puntos de origen de ambos sistemas coinciden y el eje polar se hacecoincidir con el eje X cartesiano. Para este caso particular la geometra permite establecerlas relaciones entre las coordenadas cartesianas y polares de cualquier punto del espacio:x = r cos , (2.11)y = r sin , (2.12)r = _x2+y2, (2.13) = arctan(y/x). (2.14)M asa un,podemos establecerlassiguientesrelacionesentrelosvectoresunitariosdelosdos sistemas: r = cos + sin j, (2.15) = sin + cos j, (2.16) = cos r sin , (2.17) j = sin r + cos . (2.18)Enfaticemos que la forma exacta de estas relaciones depende de la denici on precisa de losdossistemasinvolucrados.Porejemplo,sedejapropuesto establecerlasrelacionesentrelos 2 sistemasde la gura 2.6ben que ahora el eje polar se ha hecho coincidir conel ejecartesiano Y.Para su uso posterior agregaremos un ultimo ejemplo de relaci on entre sistemas coor-denados.Lagura2.7muestraunespacio3Ddescritoporunsistemacartesianoyunoesferico. Los ejes azimutal y cenital de este ultimo se han hecho coincidir con los ejes carte-siano X y Z, respectivamente. Se deja propuesto mostrar las siguientes relaciones entre lascoordenadas de ambos sistemas:x = r sin cos , (2.19)y = r sin sin, (2.20)z = r cos , (2.21)y mostrar tambien que se cumplen las siguientes relaciones entre sus vectores unitarios: r = cos k + sin cos + sin sin j, (2.22) = sin k + cos cos + cos sin j, (2.23) = sin + cos j. (2.24)10 CAPITULO2. SISTEMASDECOORDENADASYCINEMATICAfqrxyzrqfFigura 2.7: Punto descrito con coordenadas esfericas y cartesianas.2.2.8. Selecci ondelsistemadecoordenadasausarSi hubiese un sistema de coordenadas que siempre fuese el mas simple de usar en todoslos problemas, no cabe duda de que todos los dem as sistemas ya se habran olvidado. Elhecho de que presentemos varios sistemas reeja que dependiendo del problema abordadocadaunotendr aventajas ydesventajas quesedebeponderaral tratar deobtener lasoluci on buscada de la manera m as simple. La solucion no depende del sistema escogido,yenprincipiocualquier sistema(correctamenteaplicado) sirvepararesolver cualquierproblema. Pero, dependiendo del problema particular y del sistema utilizado, la solucionpuede obtenerseenpocos pasoso enmuchashojas(conlasconsiguientesoportunidadesde errar).Muchasveceslageometradelproblemaconsideradodaunaideadelsistemadeco-ordenadasm asecienteausar.Porejemplosiestamosconsiderandolaposici ondeunaargolla inserta en un aro circular de radio R es muy probable que las coordenadas polaressean las mas simples de usar. La razon de esto es que la restriccion fsica inserto en unaargolla circular de radio R se describe matematicamente en forma muy simple si uno usacoordenadas polares:r = R, (2.25)esdecir,establecemosinmediatamentequeuna delascoordenadaspolaresdelaargollaesunaconstanteconocida. Porel contrario, lamismarestricci onfsicaencoordenadascartesianas se expresara algo as comox2+y2= R2. (2.26)En este caso ambas coordenadas de la argolla pueden cambiar pero estan sujetas a cumplirsiemprelacondicioncuadr atica2.26. Vemosquelaexpresiondeunamismarestricci onfsica tiene complejidades matematicas muy distintas seg un el sistema coordenado con quese describa el espacio.Por ultimocabeagregar queenproblemas mas complejos sepuedeutilizar variossistemascoordenadosparaabordardistintosaspectosdeel, aplicandocadaunodondecada uno facilita las cosas y estableciendo las relaciones entre ellos de la manera descritaen la seccion anterior.2.2. SISTEMASDECOORDENADAS 11OsP3DO3Dr(s)r(s+s)DDsDra) b)CCFigura2.8:a)Coordenadasintrnsecas.b)stiendea [[r[[cuando s 0.Tambienr tiende a ser tangente a (en el mismo lmite.2.2.9. CoordenadasintrnsecasTerminamos esta seccion de sistemas coordenados presentando uno algo mas esotericoque los ya vistos, pero que ser a util al momento de explicar algunos conceptos m as adelante.A diferencia de los sistemas ya conocidos,el sistema de coordenadas intrnsecasno sirvepara describir la posici on de cualquier punto del espacio, sino que s olo es util para describirlaposiciondepuntos Pubicados sobreunacurva (. Estacurva (puedetener enelespacio una forma tan alambicada como uno quiera, pero la supondremos completamenteconocida.Si lospuntos Pa describirest ansobrela curva (,entoncespara identicarlaposicion de uno de ellos en particular s olo basta denir sobre la curva un origen O e indicarla distancia medida sobre la curva a la cual el punto P se encuentra. Es decir, nos basta s olouna coordenada que llamaremos s: distancia del punto P medida sobre la curva a partir deO. Se dar a as un signo que se nale en que direcci on debemos medir la distancia indicada(ver Figura 2.8a). Podemos ver que este sistema de coordenadas esta intrnsicamente ligadoa una curva (que debemos conocer,yde ahsunombre(tambiensonllamadasa vecescoordenadas naturales).Para los puntos P sobre (su vector posicion,r =

OPqueda completamentedenidosi se indica su coordenadas, por lo cual podemos decir que en este casor = r(s). (2.27)Encadapunto Pdelacurva podemos denir tambienuna tradadevectoresunitarios.El m as directo de denir es el vector unitario, t, tangente a la curva (en el punto P. Lagura 2.8b ilustra el hecho de que t se puede denir matem aticamente comot =drds= lms0rs(2.28)yaqueenel lmiteindicadoel vectorrtomaunadirecci ontangentealacurvaystiendeal valordelamagnitudder, porloqueefectivamenter/stiendeaserunvectorunitario y tangentea la curva (, es decir, tiende at. Como engeneralel vectortva cambiando su direcci on a lo largo de la curva consideramos tambien quet = t(s). (2.29)De hecho la integral de 2.28 nos entrega la relaci on entre el vector posicion de P y el vectorunitario t:r =_s0t(s

)ds

, (2.30)donde por un prurito matem atico hemos distinguido el lmite de la variable de integraci onponiendo una cremilla sobre esta ultima.12 CAPITULO2. SISTEMASDECOORDENADASYCINEMATICAUn segundo vector unitario en P surge de considerar el vectordt/ds. En efecto, dadoque r es un vector unitario, se cumple para todos quet(s) t(s) = 1, (2.31)lo cual se puede derivar respecto as para encontrar quet dtds= 0. (2.32)Por lo tanto, dt/ds es efectivamente un vector siempre perpendicular a t y nos servir a paradenir el segundo vector unitario asociado a este sistema de coordenadas. El unico proble-ma del vector dt/ds para ser un vector unitario es que nadie nos garantiza que su magnitudsea unitaria. Por lo tanto, el segundo vector unitario lo deniremos como n 1[[dtds[[dtds. (2.33)Deestaformael vector normal, n, resultaefectivamenteperpendicularat yefectiva-mente unitario. Por ultimo el tercer vector unitario de la trada lo podemos denir ahorasimplemente comob t n. (2.34)RadiodecurvaturaSi enlacurva (el vector unitariotangentenocambiaalolargodeella, setieneentonces que [[dt/ds[[ = 0. Fsicamente el hecho de que t no cambie cons nos indica quela curva (es una lnea recta. Por otra parte, si la curva (es muy curva es facil ver que[[dt/ds[[ crece en magnitud. Por lo tanto, el valor de [[dt/ds[[ esta muy relacionado con lacurvatura de (. De hecho se dene el radio de curvatura de (en la forma 1[[dtds[[. (2.35)Si (es una lnea recta su radio de curvatura es innito, mientras que si (es muy cerra-da, su radio de curvatura es peque no. En una curva cualquiera el radio de curvatura vacambiando a lo largo de ella, es decir, = (s). Con la ayuda de la denici on del vectorunitario n de 2.33 se puede escribir como n = dtds. (2.36)EjemploConsideremos lacurva ( de lagura2.9. Se tratade unacurvaplanade formasinusoidal, cuyaformaladescribiremos matem aticamente encoordenadas cartesianas.Pertenecen a (todos los puntos del plano de coordenadas (x, y) que cumplan la relaci ony = Asin_2xL_, (2.37)donde A y L son 2 par ametros de la curva que suponemos conocidos. Se pide determinar elradio de curvatura de ( en una de sus cumbres (por ejemplo en el punto x = L/4, y = A).2.2. SISTEMASDECOORDENADAS 13LAYXFigura 2.9: Curva plana sinusoidal.Para usar la denici on 2.35 del radio de curvatura necesitamos conocer la expresion det(s). Ya que esta relaci onno la conocemos directamente,veamos que sabemos del vectort. Dadoquetestangentealacurva, entonceslopodemosexpresarenterminosdelosvectores unitarios cartesianos en la format = cos + sin j, (2.38)donde es el angulo de la tangente a la curva. Hemos avanzado un paso pues ahora 2.38 nosindica la relaci on t(). Nos acordamos ahora de nuestros cursos de calculo que el angulo dela tangente de una curva tiene mucha relaci on con la derivada de ella. En efecto se cumplequetan =dydx(2.39)por lo que en este caso 2.37 nos dice quetan = A2Lcos_2xL_. (2.40)Hemos avanzado otro paso, puesto que ahora 2.40 nos ha dado la relaci on (x). Finalmente,nosfaltaestablecerla relacionx(s).Estasejustica enlaFigura2.10, quenospermitedecir que para una curva planadxds= cos . (2.41)Con 2.38, 2.40,y 2.41 podemos nalmente calcular la derivada que requiere la denici onde puesto que por la regla de la cadenadtds=dtdddxdxds(2.42)XYdsdxdyqC2DFigura 2.10: Relacion entreds,dx,dy y en curva plana.14 CAPITULO2. SISTEMASDECOORDENADASYCINEMATICAde tal modo que en este caso se obtienedtds= (sin + cos j)_A_2L_2sin_2xL__cos3. (2.43)En la cumbrex = L/4 y = 0, por lo que el radio de curvatura resultacumbre =L2A(2)2. (2.44)El resultado es dimensionalmentecorrecto pues el radio de curvatura resulta con dimen-siones de longitud. Tambies es fsicamente plausible pues si nos imaginamos, por ejemplo,que LaumentamanteniendoAconstanteveremos quelacurvaenlacumbresehacemenos curva (y mas recta)y por ende esperamos que elradio de curvatura crezca,queesloqueefectivamentelaexpresionobtenidacumple.Notemosqueenesteejemploalgunas relaciones usadas son validas s olo para curvas planas. La teora de las coordenadasnaturales para curvas generales en el espacio se describe con detalle en otros cursos.2.3. CinematicadelapartculaTodo lo anterior ha sido una discusi on enteramente espacial o geometrica. Deliberada-mentenousamoslapalabratiempopuesnosconcentramosenadquirirherramientaspara describir posicionesenelespacioy no haba necesidadde hablarde movimientonidepartcula. Aprendimos queuna posici oncualquieraenunespacio3Dsedescribeconunvector, yquehaymuchosmetodosalternativosparadescribirmatem aticamenteunvector posicion mediante sistemas de coordenadas. Ahora no hablaremos de un punto delespaciocualquierasinoqueconsideraremosel vectorposiciondeunobjetoparticularelcual podr a cambiar su posicion en el espacio a medida que pasa el tiempo. Si r es el vectorposicionquesigueal puntodeinteres, entonces r=r(t), o, loqueeslomismo, lascoordenadas de r son funciones del tiempo (a1(t),a2(t),a3(t)).2.3.1. VelocidadyAceleraci onAl estudiar un vector posici on r que es funci on del tiempo, es muy natural considerarel desplazamiento de r entre los tiempost1yt2denido comor = r(t2) r(t1) (2.45)y es muy natural asociar el concepto de velocidad (media entret1 yt2) al termino< v>=1t2t1r. (2.46)Un paso completamentegeniales darse cuenta de que cuandot2se acerca at1la expre-sion2.46seaproxima engenerala unvalorbiendenido que da lugara la variablequellamaremos velocidad (instant anea), denida porv = lmt2t1< v >=drdt. (2.47)Aprovechemos el vuelo y denamos inmediatamente la aceleraci on del punto que esta-mos siguiendo en la formaa dvdt=d2rdt2. (2.48)2.3. CINEMATICADELAPARTICULA 15Sudenici onsejusticaporlo util queresultar aenel estudiodeladin amicadeunapartcula que haremos en el captulo siguiente.Si conocemosr(t)denuestropuntom ovil, entonceslasdeniciones2.47y2.48nospermiten calcular su velocidad y su aceleracion. A la inversa, si conocemos la aceleraciona(t) de nuestro punto, entoncesv(t) = v(to) +_ttoa(t

)dt

, (2.49)donde la velocidaden alg uninstantetodebe ser conocida si queremos conocerv(t) paratodot. Y si conocemos v(t) entonces la posicion de nuestro punto la calculamos comor(t) = r(tq) +_ttqv(t

)dt

, (2.50)dondelaposici onenalg uninstantetqdebeserconocidasi queremosconocerr(t)paratodot.2.3.2. vyaencoordenadasintrnsecasLlamamostrayectoriaalacurvaenel espaciodescritaporel vectorposiciondelapartcula r(t). Si consideramos a la trayectoria de la partcula como la curva de referenciade un sistema de coordenadas intrnsecas, entonces la velocidad de la partcula la podemoscalcular usando la regla de la cadena en la formav =drdt=drdsdsdt, (2.51)dondeseslacoordenadadistanciamedidaalolargodelatrayectoria. Recordemosde2.28 quedrds= t, (2.52)porloqueencoordenadasintrnsecas(alatrayectoria) lavelocidaddelapartculasepuede escribir comov =dsdtt. (2.53)Estaexpresionnos informaquelavelocidaddelapartculaes siempretangenteasutrayectoria (pues tiene componente solo en t), y su magnitud es igual a la tasa de cambiode la distancia recorrida por la partcula medida sobre su trayectoria, es decirv [[v[[ =dsdt. (2.54)La magnitudv del vector velocidad la llamaremos rapidez de la partcula.La aceleraci on en intrnsecas la podemos obtener derivando 2.53 respecto al tiempoa =dvdt=d(vt)dt=dvdtt +vdtdt, (2.55)dondeenel ultimoterminohemosreconocidoqueal movernossobrelacurvael vectorunitario tangente puede ir cambiando de direcci on. De hecho la ultima derivada se puedecalcular con la ayuda de 2.36dtdt=dtdsdsdt=1 nv, (2.56)16 CAPITULO2. SISTEMASDECOORDENADASYCINEMATICAlo cualpodemos reemplazar en2.55para obtener la expresi onde la aceleraci onen coor-denadas intrnsecasa = vt +v2 n, (2.57)donde hemos usado un punto para denotar una derivada respecto al tiempo. Esta ultimaexpresionnosinformaquelaaceleraci on(loscambiosdel vectorvelocidad)tienenunaparteasociadaalcambiodelamagnituddelavelocidad(aceleraci ontangencial)yotraparte asociada al cambio de la direccion de la velocidad, la cual podemos llamar aceleraci oncentrpeta (apunta hacia el centro de curvatura de la trayectoria).Las expresiones 2.53 y 2.57 nos brindan una posibilidad de calcular el radio de curvaturade la trayectoria de la partcula si conocemos su velocidad y aceleracionen un punto. Enefecto, se deja propuesto usar 2.53 y 2.57 para calcular av y luego mostrar que se cumple =v3[[a v[[. (2.58)Recalquemos, sinembargo, queesunconceptoquefuedenidoenformapuramentegeometricaparaunacurvacualquiera, porloque2.58esunmetododecalculoynosudenici on.2.3.3. vy aencoordenadascartesianasEn el caso que hayamos privilegiado el uso de coordenadas cartesianas para describirla posicion de la partcula entoncesr = x +y j +zk, (2.59)v = x + y j + zk, (2.60)a = x + y j + zk. (2.61)Notar queal derivar el vector posicionconrespectoal tiempo, soloderivamos las co-ordenadasynolosvectores unitarios, porcuantoenel sistemacartesiano, siendoestehomogeneo, los vectores unitarios no cambian si la partcula se mueve en el espacio.2.3.4. vy aencoordenadaspolaresEn este caso el vector posicion se poda escribirr = r r, (2.62)por lo que la velocidad es entoncesv = r r +rd rdt. (2.63)En este caso tenemos que al ir siguiendo a la partcula en el tiempo, ella va cambiando suposicion espacial, y dado que en este sistema no homogeneo los vectores unitarios cambianen el espacio (ver 2.2 y 2.3) nos hemos visto obligados a incluir en 2.63 el terminod r/dt.Viendo 2.2 sabemos que r cambia s olo con la coordenada, por lo qued rdt=d rdddt=d rd. (2.64)2.3. CINEMATICADELAPARTICULA 17Con la ayuda de 2.15 y 2.16 es sencillo mostrar qued rd= (2.65)por lo que nalmente la velocidad en polares se puede expresar comov = r r +r. (2.66)Volviendo a derivar 2.66 respecto al tiempo y siguiendo un procedimiento an alogo a loanterior encontramos la aceleracion en polaresa = ( r r2) r + (r + 2 r ), (2.67)donde hemos usado tambien qued/d = r (obtenido con 2.15 y 2.16).2.3.5. vyaencoordenadascilndricasEn coordenadas cilndricas se tiener = r r +zk, (2.68)v = r r +r + zk, (2.69)a = ( r r2) r + (r + 2 r ) + zk. (2.70)2.3.6. vyaencoordenadasesfericasPara encontrarlas expresiones de la velocidady aceleracionencoordenadas esfericaspartimos de 2.22-2.24. Derivando estas expresiones con respecto al tiempo se verica qued rdt= +sin , (2.71)ddt= r +cos , (2.72)ddt= sin r cos . (2.73)Estamos ahora en condiciones de obtener las expresiones de la velocidad y aceleracion encoordenadas esfericas derivando el vector posicion respecto al tiempo:r = r r, (2.74)v = r r +r +r sin , (2.75)a = ( r r2r 2sin2) r + (2.76)(r + 2 r r 2sin cos ) +(rsin + 2 r sin + 2r cos ) .Notar que la aceleraci on azimutal,a, puede escribirse tambien comoa = rsin + 2 r sin + 2r cos =1r sin d( r2sin2)dt. (2.77)18 CAPITULO2. SISTEMASDECOORDENADASYCINEMATICAOEje PolarLvorqxPA AFigura 2.11: Ejemplo2.3.7. Un ultimocomentarioAs comolos distintos sistemas decoordenadas nos dabanvarias alternativas paradescribir un mismo vector posici on en el espacio, todos las expresiones de velocidad vistasreciennosdanalternativas dedescripci ondeunamismavelocidad: lavelocidaddelapartcula. Porlotanto, lamagnitud, direcci onysentidodelavelocidaddebenresultaridenticos independiente de si expresamos la velocidad en intrnsecas, cartesianas o cualquierotro sistema coordenado, es decir, se cumple por ejemplo que s =_ x2+ y2+ z2_1/2=_ r2+ (r)2+ (r sin )2_1/2, (2.78)en la medida que las coordenadass, (x, y, z) y (r, , ) describan la posici on de la mismapartcula. Lomismoocurreparalaaceleraci on: todaslasformasvistasaplicadasaunapartculaindividual debenentregarel mismovectoraceleraci on, esdecir, sumagnitud,direccion y sentido calculado con 2.61, 2.67, 2.70 o 2.76 deben ser los mismos.EjemploPara ilustrar lo anterior consideremos el caso de la gura 2.11 en que una partcula Pse mueve a lo largo de una recta AA con rapidez constante conocida vo. A pesar de que lomas simple sera describir su posicionconcoordenadas cartesianas1Da lo largo de AA,por alguna raz on hemos decidido describir la posici on de P usando un sistema polar conorigenubicadoaunadistanciaLdelarectaAAyconsuejepolarparaleloaella. Porlo tanto, las coordenadasryde la partcula son funci on del tiempo. Se pide encontrar r,, ryenfunci on der, L yvoy determinar la aceleraci ondela partcula usando laexpresion de coordenadas polares 2.67.Denimos la variable auxiliar x en la gura, de tal forma que las condiciones geometri-cas y cinematicas del problema las podemos expresar comor2= L2+x2, (2.79)tan =Lx, (2.80) x = vo. (2.81)Derivando 2.79 respecto al tiempo obtenemos2r r = 2x x = 2xvo(2.82)2.3. CINEMATICADELAPARTICULA 19de donde r =xvor. (2.83)Volviendo a derivar r =v2orxvor2 r,=v2orxvor2xvor,=v2or2x2v2or3,=L2v2or3. (2.84)Para calcular partimos derivando 2.80 respecto al tiempo1cos2 = Lvox2, (2.85)de donde = Lvox2cos2. (2.86)Pero de la geometra del problema tambien se tiene que cos = x/r, por lo que = Lvor2. (2.87)Notemosque si vo> 0 hemos obtenido que< 0,lo que esconsistenteconla fsica delproblema. Finalmente, con 2.84 y 2.87 armemos la aceleraci on radial en polaresar = r r 2=L2v2or3r_Lvor2_2= 0. (2.88)Podemosverqueapesardequeestemovimientosimpledescritoenpolarestiene r,bastante complejos, la aceleraci on de la partcula (que se mueve con velocidad constante)siguesiendocero. Sedejapropuestomostrarquetambienlaaceleraci onazimutal, a=r + 2 r se anula en este caso.20 CAPITULO2. SISTEMASDECOORDENADASYCINEMATICACaptulo3Dinamica:LeyesdeNewtonyFuerzasElcaptuloanteriornosentreg ovariasherramientaspara describirelmovimientodeuna partculaenelespacio, pero no paraexplicarloopredecirlo.Esdecir,siconocemosa(t) y las condiciones iniciales ya somos capaces de conocer r(t), pero quien me dice cuantovale a(t)?. En este captulo veremos que una buena explicaci on del movimiento se lograa traves del concepto de fuerzas.3.1. LeyesdeNewtonSi bienhemos aprendidoyutilizadolas Leyes deNewtondesdenuestros primeroscursos de fsica en el colegio, detras de ellas hay mas de lo que a primera vista se ve. Malque mal en ellas est an presentes conceptos como masa y fuerza que no son necesariamentef acilesde denir o explicarenforma precisa. Una discusi onprofunda de la losofa y dela l ogica de estas Leyes, sin embargo, queda fuera del alcance de este curso (dejandole esatareaaloscursosdefsicamasavanzados), ynoslimitamosaquapresentarlasdeunamanera masbienconvencional (aunque rimada),tratando deenfatizarlo queimporta asu aplicaci on m as que a su losofa.3.1.1. PrimeraEl movimiento que vemos de un cuerpo aisladoes, o bien uniforme, o bien reposado.Uncuerpoaisladosereereaunapartculaquenointeract uaconnada(tambienllamada partcula libre), y cuyo movimiento se apreciar a, de acuerdo a este principio, comoreposoocomomovimientouniforme(velocidadconstante). Subyacenteaesteprincipioesta el hecho de que debemos estar apreciando o midiendo el movimiento de la partcularespectodeunSistemadeReferenciaInercial (SRI), el cual consideraremos comounsistema de referencia cuyo origen y ejes estan en reposo absoluto, o, al menos, en reposorespectoalasestrellaslejanas. Podemosdecirentoncesque, respectodeunSRI,unapartcula libre se observar a en reposo o con velocidad uniforme. En un captulo posterior deeste curso veremos que cuando una partcula libre tiene un movimiento complicado o no-uniforme la conclusi on a sacar es que su movimiento lo estamos describiendo o midiendorespectodeunsistemadereferencianoinercial (SRNI). Hastaquenolleguemosaese22 CAPITULO3. DINAMICA:LEYESDENEWTONYFUERZAScaptulo, sinembargo, siempresupondremos queel sistemadereferenciaqueusamosesun SRI.3.1.2. SegundaLa interacci on de un cuerpo con su universoes a traves de fuerzasque modicansu movimiento.Si bienelconceptode fuerza es muyintuitivo,la relaci onentrefuerza y movimientono es trivial.Dehecho,queda propuesto preguntar alhermano(a)chico(a)si una fuerzaaplicada a una caja sobre elsuelo producir a una velocidado un cambiode velocidadenlacaja. ConaltaprobabilidadquiennohayasidointroducidoalasLeyesdeNewtonresponder a que al aplicar una cierta fuerza a la caja, esta adquiere una cierta velocidad.Esto es as porque en general los movimientos de la vidad diaria (sobre todo en los tiemposantiguos, pre-newtonianos) son relativamente lentos y dominados por fuerzas de roce.La Segunda Ley de Newton establece la relacion correcta entre fuerza y movimiento.M as a un, considera el hecho que una misma fuerza puede dar lugar a mayores o menorescambios en la velocidaddel objeto, dependiendo de su inercia. Se dene entonces la can-tidad de movimiento o momentum (lineal) de la partcula como el vector p mv, (3.1)donde m es la masa inercial de la partcula y v su velocidad. Con esta denici on la SegundaLey se expresad pdt=

F. (3.2)Para una partcula de masa constante obtenemos la ya conocida ecuacionma =

F. (3.3)En esta segunda ley encontramos lo que estabamos buscando: una explicaci on para elcambio (o no cambio) del movimiento de las partculas. Esta explicaci on resulta buenayaqueel conceptodefuerzaloes. Construiremosenlapr oximaseccionvariosmodelosde fuerza que nos representar an en forma muy exitosa una variada gama de interaccionesentrelaspartculasysuuniverso. Conociendoentonceslasinteraccionesdelapartculacon su universo, aplicando los modelos de fuerza respectivos, usando luego la Segunda Ley,podremos nalmente explicar y predecir el movimiento de la partcula (o cuerpo) que nosinteresa.Aparte de su utilidad y ecacia para representar interacciones, las fuerzas tienen unamuy benigna propiedad adicional. Las fuerzas resultan ser vectoresque cumplen el Prin-cipio de Superposici on, por el cual cuando una partcula tiene m ultiples interacciones consuuniverso, unopuededeterminarenformaindependientelasfuerzas,

Fi, asociadasacada interacci on, sumar los vectores resultantes obteniendo la llamada fuerza neta,

Fneta,y aplicar la segunda ley en la formama =

Fneta =

i

Fi. (3.4)3.2. FUERZAS 233.1.3. TerceraDos cuerpos que interact uanse ejercen fuerzasde igual magnitud, de igual direcci on,pero siempre, siempre, en oposici on.Estapodraconsiderarsecomolaversi onfsicadelaRegladeoromoral: loquehacemos a otros, otros nos lo hacen. Las fuerzas de interaccionentre distintas partculasvan de a pares. La fuerza que la partcula 1 ejerce sobre la partcula 2 (llamemosla

F21) esde igual magnitud y direcci on pero de opuesto sentido a la que la partcula 2 ejerce sobrela 1 (llamemosla

F12), es decir,

F21 =

F12. (3.5)Aplicaremos esteprincipiocongranventajayprofusioncuandoal nal del cursoes-tudiemos la din amica de un n umero grande de partculas que interact uan entre s.3.2. FuerzasLas leyes de Newton nos dicen que el momentum de la partcula cambia (o no cambia)seg unlasfuerzas que la afectan.Porlo tanto,elproblema de predecir elmovimientodeuna partcula pasa a ser ahora una cuesti on de identicar y cuanticar las fuerzas actuandosobre ella.Las fuerzas representanla interaccionfsica entre la partcula y el resto del universo.Esta interacci on puede tomar varias formas, y cada una de ellas se representa o modela conalg un tipo de fuerza. Dependiendo del nivel del an alisis estos modelos seran m as o menossimples y mas o menos ad-hoc. Nosotros, por ejemplo, utilizaremos modelos de fuerzas rela-tivamente simples, con la desventaja de que tendremos distintos modelos para una variedadde interacciones. Para un fsico teorico, en cambio, que usa modelos mas complejos y gen-erales, las fuerzas (interacciones) fundamentales son muy pocas, y esta permanentementetratando de generalizar el modelo a un m as para unicarlas.3.2.1. FormasderepresentarlasfuerzasLas distintas fuerzas que nosotros consideraremos tendran varias formas de denici on.Lomassimpleseradarladenici ondelafuerzaenfunci ondel tiempo, porejemplo,considerar que conocemos la funci on

F=

F(t). (3.6)De este modo podramos reemplazar en 3.4 y resolver la ecuaci on de movimiento para r(t).Esta alternativa, sin embargo, no es muy com un. La funci on

F(t) es conocida a priorisolopara algunos tipos de interacciones muy particulares. Un ejemplo podra ser un motor quepodemoscontrolarparaqueentreguealapartcula(porejemplo, unauto)unafuerzaprescrita en el tiempo.Otro tipo de interaccionesse modelanhaciendo que la fuerza dependa de la posici onespacial de la partcula, es decir, en este caso se dene la fuerza en la forma

F=

F(r), (3.7)dondereslaposiciondelapartcula. Estees el caso, porejemplo, delas fuerzasdeatraccion gravitacionaly de resortes, que presentaremos mas adelante, en que las fuerzas24 CAPITULO3. DINAMICA:LEYESDENEWTONYFUERZASm1m2r12F12F21Figura 3.1: Atraccion gravitacionaldependen dela posici onde la partcularelativaa otro cuerpo conmasa (fuerza gravita-cional) o relativa al otro extremo del resorte.Para otras interacciones el mejor modelo es una fuerza que depende de la velocidad dela partcula

F=

F(v), (3.8)como en el caso de los roces viscosos de partculas que se mueven en un uido.Por ultimo, hay otras interacciones cuyo modelo asociado no indica en forma explcitauna expresi on para

F, sino que se expresa en una restriccion al movimiento de la partcula(fuerzasderestriccion). Esteesel caso, porejemplo, deunapartculaencontactoconuna supercie. La fuerza normal que la supercie ejerce sobre la partcula no se conoce apriori, pero se sabe que en esa interaccion el movimiento de la partcula no puede penetrarhaciadentrodelasupercie.Estarestricci oncinematicaesuna condici onadicional quereemplaza en este caso a una denicion explcita de la fuerza en la forma 3.6, 3.7 o 3.8.En cualquiera de los casos considerados, sin embargo, la denici on (implcita o explci-ta) de las fuerzas actuando sobre la partcula entrega ecuaciones adicionales a la 2a Ley deNewton, que cierran el problema matematico y, de alguna forma, permiten resolverr(t).3.2.2. Atracci ongravitacional ypesoUna de las fuerzas fundamentales es la atracciongravitacionalentre masas. Para dospartculas, 1 y 2, esta interaccion se modela como

F12= F r12, (3.9)F = Gm1m2r212, (3.10)donde

F12esla fuerza percibida por la partcula 1 debido a suinteracci ongravitacionalcon 2, G es una constante universal, m1 y m2 son las respectivas masas y r12 es la distanciaentre las dos partculas. En 3.9 r12es elvectorunitario que va de 1 a 2,por lo que estafuerza es siempre de atraccion (ver Figura 3.1).Conel valorempricodeG =6, 6731011Nm2kg2seproponeestimarel tiempoque tardaran 2 partculas de masa 1 kg en juntarse debido a su atracci on gravitacional, siestuviesen separadas entre s inicialmente 1 m, y alejadas innitamente de cualquier otrocuerpo.PesoPara cuerpos que se mueven cerca de la supercie de la Tierra la atraccion gravitacionalmassignicativaquepercibeneslaasociadaalamasaterrestre, MT, debidoasugranmagnitud (MT 5, 9881024kg). M as a un, en este caso particular la distancia entre las3.2. FUERZAS 25Ok,lorrFigura 3.2: Fuerza de resorte.OOk,lok,loP PDXXa)Ok,loPloXb) c)Figura 3.3: 1 resorte y 3 sistemaspartculas es muy aproximadamente el radio terrestre, RT 6, 37106m, por lo que lafuerza percibida por un cuerpo de masa m ubicado en la cercana de la supercie terrestrees aproximadamente

F GMTmR2Tk = mgok, (3.11)donde k es el vector unitario que apunta en la direcci on de la vertical local. go = GMT/R2T 9, 8ms2es llamada aceleracion de gravedad a nivel de la supercie terrestre.3.2.3. ResortesEl movimientodeunapartculaligadaaunpuntojomedianteunresorteest are-stringido parcialmente.El resorte presenta una resistencia a ser extendido o comprimidorespecto de su longitud relajada que llamamos su largo natural, o. Para un resorte idealy lineal la magnitud de la fuerza que ejerce sobre la partcula se considera proporcional ala diferencia entre la longitud del resorte y su largo natural, siendo la constante de propor-cionalidad un segundo par ametro propio del resorte que llamaremos constante elastica,k.La fuerza del resorte sobre la partcula es paralela al resorte y su sentido es tal que siempretrata de que elresortevuelva a sulargo natural.En elcasode la gura 3.2describimosla posicion de la partcula con un sistema polar (o esferico) con origen en el extremos jodel resorte. En este caso expresamos la fuerza del resorte en la forma

F= k(r o) r, (3.12)donde r es el largo del resorte en el momento considerado y r es el vector unitario radial.La expresion matematica especca que usamos para describir la fuerza de un resortesobreunapartculadependemuchodelaconguraci ondel sistemapuntojo-resorte-partculaydel sistemadecoordenadasutilizado. Parailustrarestoconsideremoslos3casos de la gura 3.3. En los tres casos tenemos el mismo sistema punto jo (P)-resorte-partcula, perousamos distintos sistemas coordenados paradescribir laposici ondelapartcula. Se deja propuesto vericar que la fuerza del resorte sobre la partcula se expresa26 CAPITULO3. DINAMICA:LEYESDENEWTONYFUERZASen cada caso en la forma

F=k(x o) caso a),kx caso b),k(D +x o) caso c).(3.13)Paracadaconguraci ondelagura3.3laexpresi oncorrespondientedebecumplirlaspropiedades fsicas delafuerzadel resorte: magnitudproporcional al estiramientodelresorte respecto de su largo natural y tendencia a llevar al resorte a su largo natural.Las soluciones tpicas del movimiento de partcula con resorte son oscilaciones en tornoal largo natural. Por ejemplo, para el caso de la gura 3.3b) la ecuaci on de movimiento enel eje X de la partcula seram x = kx, (3.14)cuya soluci on general esx(t) = Asin(ot) +Bcos(ot), (3.15)donde2o=k/m es llamada la frecuencia natural del sistema resorte-partcula.Las con-stantes AyBsedeterminanapartirdecondiciones iniciales particulares. Unaformaequivalente de la soluci on 3.15 esx(t) = C sin(ot +), (3.16)donde ahora las constantes libres son C (amplitud de la oscilaci on) y (constante de fase).El resorte es el ejemplo mas simple de visualizar de una clase general de sistemas quetienenfuerzas de restitucionque tiendena llevar a la soluci ona un estado de equilibrio.Dehecho, comoveremosmasadelante, muchossistemasquesemuevenentornodeunequilibrio estable se comportan como un resorte.3.2.4. Fuerzasenuidos: RoceviscosoyF.depresi onUncuerpo que semueveinmerso enunuido percibe ensu interacci oncon estedostiposdefuerzas: unroceviscosoquetratadefrenarloyunafuerzadepresi on. Enlaapreciacion de cuerpos que vuelan, como aves y aviones, es donde el rol de estas dos fuerzasalcanza su maxima expresion. En efecto, son las diferencias de la fuerza de presi on actuandosobre elcontornodelalalasquedanla sustentaci onnecesariaalobjetoimpidiendo queestecaiga. Enmuchoscasosestasdiferenciasdepresionaumentanmientrasm asrapidose mueveelcuerpo alinteriordel uido. Sinembargo,a mayorvelocidadelroce viscosoaumentatambienconel consiguientecostoenergetico. El delicadobalanceentreestasdos fuerzaseselqueresuelveapropiadamentecadaobjetovoladoridenticado, desdeelpeque no chincol hasta el gigante Airbus 380.RoceviscosoLa fuerza de roce viscoso se modela en la forma

F = Ft, (3.17)F = kvn, (3.18)donde t es el vector unitario tangente a la trayectoria (y, por lo tanto, tiene la direcci on dela velocidad v de la partcula). 3.17 indica que esta fuerza se opone siempre al movimientorelativo entre la partcula y el uido, mientras que 3.18 indica que su magnitud dependede la rapidez con alg un exponenten y constantek. Estos ultimos par ametros son funci on3.2. FUERZAS 27del tipodeuidoconsiderado, depropiedadesdelapartcula(forma, tama no, tipodesupercie) y del car acter laminar o turbulento que el ujo del uido desarrolla en torno alcuerpo en movimiento. En general tales parametros se obtendran a partir de experimentos,aunque en casos muy simples se pueden derivar a partir de ecuaciones b asicas.Resolvamoslaecuaciondemovimientoparael casomassimpledeunapartculaenmovimiento rectilneo sometida s olo a una fuerza viscosa linealm x = k x. (3.19)La soluci on general de esta ecuaci on diferencial esx = A+Bet/, (3.20)donde = m/k es una constante de tiempo de este problema. Imponiendo las condicionesinicialesx(0) = 0 y x(0) = vola soluci on particular esx(t) = vo_1 et/_. (3.21)La rapidez de la partcula cambia por su parte en la forma x(t) = voet/. (3.22)Este decaimiento exponencial de la rapidez hasta el reposo (relativo al uido) es el efectotpico de un roce viscoso.Fuerzasdepresi onLa fuerza de presi on actuando sobre la supercie exterior de un cuerpo inmerso en unuido se modela en la forma

F = F n, (3.23)F = pA, (3.24)donde nesunvectorunitarionormal quesaledelasupercie, yAesel areadondelapresi onp act ua. Las fuerzas de presi on seran fundamentales en el an alisis del movimientode los uidos, fascinante tema que sera tratado en otros cursos.3.2.5. FuerzasdeContacto:NormalyRoceNormalUna partcula en contacto con una supercie percibe como restriccion a su movimientoel hecho de no poder penetrar al interior de la supercie. Esta interacci on con la superciese modela como una fuerza,

N, que la supercie ejerce sobre la partcula. Esta interaccionse expresa matematicamente en la forma

N = N n, (3.25)N 0, (3.26)dr n 0, (3.27)donde n es un vector unitario que sale perpendicularmente de la supercie (ver Figura 3.4)ydr es el desplazamiento de la partcula. En palabras, las condiciones 3.25 a 3.27 pueden28 CAPITULO3. DINAMICA:LEYESDENEWTONYFUERZASNFigura 3.4: Fuerza normal.describirse como:la normal actuando sobre la partcula es cero o sale perpendicular a lasupercie y la partcula puede desplazarse sobre la supercie o por encima de la supercie,pero no puede penetrarla. En 3.26 y 3.27 las igualdades y desigualdades ocurren de a pares:lanormalesmayorquecero(N> 0)cuando lapartculaefectivamentesemuevesobrelasupercie(dr n=0), mientrasquesi lapartculasemuevefueradelasupercie(dr n > 0) entoncesN= 0 (aunque se puede dar el casoN= 0 ydr n = 0).Como dijimos antes en este tipo de interacciones la magnitud de la fuerza es usualmenteuna inc ognita, y la condici on a imponer es la condicion cinematica 3.27. Muchas veces uncaso de interesparticular esaquelenque una partcula moviendosesobre una superciellega a una condici on tal en que se despega de ella. Este caso lo resolvemos calculando elvalor de la normal para su movimiento sobre la supercie y evaluando la condici on en queesta se anula. Despues del despegue la normal sigue siendo nula (perdemos una inc ognita)al mismotiempoquelapartculadejadesentirlarestriccion3.27asumovimiento(perdemos una ecuacion)y elmovimientode lapartcula debe seguir resolviendosebajoestas nuevas condiciones.Roceest aticoParaqueuncuerposobreunasuperciecomienceadeslizarsobreellaesnecesarioengeneral imponer una fuerza quesupere unciertoumbral. Estaresistenciaainiciareldesplazamiento de un cuerpo sobre una supercie la modelaremos asumiendo la existenciade una fuerza de roce est atico cuya magnitud es la necesaria para que el deslizamiento noocurra.Agregaremosademaslacondici ondequelamagnituddeestafuerzaderocenopuede superar un valor m aximo, de tal manera que si el reposo relativo entre el cuerpo ylasupercieexigequelafuerzaderoceest aticotengaunamagnitudmayorentonceselreposo relativo no es posible y el cuerpo desliza sobre ella.Matematicamente esta fuerza de roce estatico se dene por

F = Ft, (3.28)dr t = 0, (3.29)[F[ Fmax, (3.30)Fmax= eN, (3.31)donde t es un vector unitario tangente a la supercie. Al igual que en el caso de la normal,enestecasola magnituddela fuerza deroce est aticoesusualmenteuna inc ognita,y lacondici onadicionalesde tipo cinem atico: la partcula debe estarenreposo relativoa lasupercie. Bajo esta suposicion se resuelve para la magnitud de

Fy se compara luego conlarestriccion3.30. Sital desigualdadsecumpleentoncesel problemaestaresueltoyla3.2. FUERZAS 29partculaefectivamentenosemuevesobrelasupercie.Porelcontrario, silamagnitudrequeridade

Fresultamayor aFmax, entonces lasuposiciondenodeslizamientoeraincorrecta y debemos resolver el problema con deslizamiento (usando en este caso un rocecinetico).Notemosque en nuestro modelo el lmitemaximo de la fuerza de roce estaticose supone proporcional a la magnitud de la normal, lo cual es nuevamente una modelaci onde lo que se observa en la realidad.Unasituaci ontpicaaanalizarconestemodeloesevaluaralgunacondicioncrticapara que una partcula en reposo sobre una supercie comience a resbalar. Esta condicioncrtica es justamente aquella en que la magnitud de la fuerza de roce est atico requerida esigual aFmax, por lo que podemos usar la igualdad en 3.30.RocecineticoEl freno que siente una partcula cuando desliza sobre una supercie se modela conuna fuerza de roce cinetico que escribiremos en la forma

F = Ft, (3.32)F = cN, (3.33)donde t es un vector unitario tangente a la supercie y en la direcci on de la velocidad dela partcula. Notemos que en este caso la magnitud de la fuerza esta prescrita en funci onde la normal.Notasobresuperciesm ovilesLastresfuerzasdescritasantessondecontactoentrepartculaysupercie. Esim-portantereconocerqueensusdenicioneslorelevanteesel movimientodelapartcularespectode la supercie. Si la supercie est a en reposo no hay confusi on. Pero en ciertossistemaslassuperciessemuevenyestaacotacionespertinente. As porejemplo, unapartcula sobre una supercie m ovil sentira un roce estaticoen la medida que la partculay la supercie se muevanambasa la par, y, por tanto,no exista movimientorelativodeuna respecto de la otra.3.2.6. CuerdasybarrasLas fuerzas que modelan el efecto de cuerdas y barras en el movimiento de partculasson, al igual que las fuerzas normal y de roce est atico, de las que en general no se conocesu magnitud a priori sino que s olo se conoce la restriccion cinematica que ellas imponen.CuerdasLarestricci onasumovimientopercibidaporunapartculaligadaaunpuntojomediante una cuerda de largoL es que ella no puede alejarse a una distancia mayor queL del extremo jo. Esta restricci on al movimiento se modela con una fuerza

Texpresadacomo

T = T r, (3.34)T 0, (3.35)r L, (3.36)donde hemos usado un sistema de coordenadas esfericas (o polares si el problema es 2D)conorigenenel extremojodelacuerda(ver Figura3.5). Notemos queen3.35no30 CAPITULO3. DINAMICA:LEYESDENEWTONYFUERZASLOrFigura 3.5: Partcula atada a cuerda.permitimosquelatensionejercidaporunacuerdaseanegativa, debidoaque, porserexible, lacuerdanoimpidealapartculaacercarseal otroextremo. Nuevamentelasdesigualdades3.35y3.36vanusualmentedeapares: unacuerdatensa(T >0, agregaunainc ognitaal problema)mantienealapartculaaunadistanciaLdel extremojo(r = L, agrega una ecuaci on), mientras que si la partcula esta mas cerca (r< L, agregauna inc ognita) la cuerda est a destensada (T= 0, elimina una inc ognita).Unacuerdaideal (sinmasaymuylisa)transmiteunatensi ondeigual magnituden toda su extension aunque existan elementos fsicos que la hagan cambiar de direcci on.Por ejemplo en la gura 3.6 una cuerda cambia de direcci on al pasar por una polea. Con-siderando brevemente el pedazo de cuerda en torno a la polea, su ecuaci on de movimientodebesiempreanularlasumavectorial delasfuerzasqueact uansobre el, debidoestoaque su masa es muy peque na. M as a un, no existiendo roce con la polea la unica fuerza queesta le ejerce a la cuerda es de tipo normal. Con estas dos condiciones la unica posiblidadquecabeesquelas2tensionesactuandoenlosextremosdel pedazodecuerdatenganefectivamente la misma magnitud.BarrasUna partcula que esta ligada a un punto jo mediante una barra percibe una fuerza

Tque tambien esta denida de manera implcita mediante una restriccion cinematica. Esta ultima es, sin embargo, mas fuerte que en el caso de una cuerda, puesto que la barra impidetantoelacercamientocomoelalejamientodelapartcularespectodelotroextremo. Larestriccion cinematica es, por lo tanto,r = L, (3.37)dondeL es el largo de la barra y usamos nuevamente coordenadas polares con origen enel punto jo para describir la posici on de la partcula (ver Figura 3.7). La fuerza

Tque laFnT1T2Figura 3.6: Cuerda ideal y polea sin roce. La simetra exige queT1 = T2.3.2. FUERZAS 31LOrFigura 3.7: Partcula y barra.barra ejerce sobre la partcula puede, en general, tener todaslas componentes no nulas yde cualquier signo, es decir, en el caso plano

T= Tr r +T, (3.38)dondelatensi onradial delabarra, Tr,ylatensi ontransversal delabarra, T, puedenengeneral tener cualquier signo. El hechodequelabarrapuedaejercer unatensi ontransversal, T,sedebeasurigidez. Adiferenciadeunacuerdaideal, labarraideal seresiste a ser ectada, lo que indica su capacidad de producir este esfuerzo transversal. Sinembargo, si esta tension transversal existe o no en un caso particular depende mucho deltipo de conexi on(o apoyo enjerga injenieril)que existeentre elpunto jo y la barra.Enefecto, consideremoslosdoscasosilustradosenlagura3.8. Enel casoAlabarraestaempotrada(osoldada)al puntojoyenestecasolatensi ondelabarratieneengeneral unacomponentetransversal nonula. Enel casoB, encambio, el soportedelabarra al punto jo es rotulado, permitiendose libremente el giro en torno a el. En este casola barra ideal, a semejanza de la cuerda, tiene una tensi on solo longitudinal, es decir,

T= Tr r, (3.39)aunqueTrbien puede ser>,< o = a cero seg un el caso. La demostracion de que en estecasoT = 0 requiere el concepto de momento angular y torque que se ver a en un captuloposterior.Extremosm ovilesAunque hemos llamado jo al extremo de la cuerda o barra que no tiene a la partcu-la, estepuntopodraperfectamenteestarenmovimiento, encuyocasolasrestriccionescinematicas3.36y3.37sedebenentendersiemprereferidasalaposicionrelativadelapartcula respecto del otro extremo de la cuerda o barra.A BFigura 3.8: A: Barra con apoyo empotrado. B: Barra con apoyo rotulado.32 CAPITULO3. DINAMICA:LEYESDENEWTONYFUERZAS3.2.7. OtrasfuerzasLosmodelosdefuerzaspresentadosmasarribasonlosqueusaremosmasfrecuente-mente en este curso. Sin embargo, hay otros tipos de interacciones que no hemos descrito yque en ciertos casos dan lugar a fuerzas importantes para el movimiento de algunas partcu-las. Enparticular, nohemosmencionadolasinteraccionesdetipoelectromagneticoqueoriginan fuerzas importantes para el movimiento de partculas cargadas electricamente.3.3. DospartculasSeg un lo visto antes, la ecuacion de movimiento para una partcula esma =

Fneta, (3.40)queenel caso3Dcorrespondea3ecuacionesdiferencialesescalaresaresolver. Cuandoincorporamosal an alisis2partculasquepuedeninteractuarentres, lasecuacionesdemovimiento de cada una pueden escribirse comom1a1=

Fneta,1, (3.41)m2a2=

Fneta,2, (3.42)donde los subndices 1 y 2 denotancada partcula. Si las partculas interact uanentres,signicaquedentrodelafuerzanetapercibidaporcadapartculaestalafuerzaqueleejerce su compa nera, es decir, podemos escribir

Fneta,1=

Fneta,ext,1 +

F12, (3.43)

Fneta,2=

Fneta,ext,2 +

F21, (3.44)donde

Fnmrepresentalafuerzapercibidapor lapartcula nensuinteracci onconlapartculam. Por accion y reaccion se cumple que

F12 =

F21, (3.45)de tal manera que las ecuaciones de movimiento se escriben ahoram1a1=

Fneta,ext,1 +

F12, (3.46)m2a2=

Fneta,ext,2

F12. (3.47)Notemosqueahora3.46-3.47correspondeaunsistemade6ecuacionesdiferencialesescalares. Estas 6 ecuaciones estan acopladas entre s debido a que

F12 depende en generaldelaposici ontantodelapartcula1comodelapartcula2(por ejemplo, si ambasestuvieran unidas entre s por un resorte). Por lo tanto, para obtener la soluci on completadel problema (es decir, conocer r1(t) y r2(t)) las 6 ecuaciones deben ser resueltas en formasimultanea (analticamente si se puede, o bien numericamente).3.3.1. SistemadedospartculasaisladasymasareducidaConsideremos el caso de unsistemade dos partculas que s olo interact uanentres (

Fneta,ext,1 =

Fneta,ext,2 = 0). Sumando 3.46 y 3.47 con esta condici on obtenemosm1a1 +m2a2 =

0. (3.48)3.4. METODOLOGIAUSUALYEJEMPLOS 33Que equivale am1v1 +m2v2 = cte. (3.49)Es decir, el momentum lineal total de las 2 partculas se conserva constante.Podemos ir unpasom as ydescribir el movimientodelapartcula2relativoalapartcula 1 deniendo el vector

R2 = r2r1. Para encontrar la ecuaci on de evoluci on de

R2(t) partimos de las ecuaciones de movimiento de cada partcula en este casom1r1=

F12(3.50)m2r2=

F21(3.51)de donde la ecuaci on para

R2 es

R2 =1m2

F211m1

F12 =_1m2+1m1_

F21, (3.52)que podemos escribir como

R2 =

F21(3.53)donde hemos denido la masa reducida del sistemacomo = (m1m2)/(m1 + m2).Silafuerzadeinteracci onentrelaspartculasesfunci ondeladistanciaentreambas([

R2[),entonces3.53esunaecuaciondiferencial para

R2(t). Esdecir, paraunsistemadedospartculasques olointeract uanentres, el movimientorelativodeunadeellasrespectoa la otra se describe por una ecuaci on de movimiento de una partcula aislada, salvo quela masa de ella debe ser reemplazada por la masa reducida del sistema de dos partculas.Notemos que sim1 m2 entonces m13.4. MetodologausualyEjemplos3.4.1. Pasostpicosdesoluci onAl abordar un problema de din amica los pasos usuales son los siguientes.Comprensi ondelproblemaEsmuyimportantecomprendercorrectamenteel problemaaresolver, yaquesi nosequivocamos en esto, trataremos de resolver un problema distinto al que el profesor tena enmente, y quiz as el nuevo problema ni siquiera tenga solucion. Comprender el problema pasapor leer varias vecessu enunciado,mirar condetenci onla gura acompa nante,imaginarfsicamente el sistema descrito (a veces conviene imaginarse como podra uno construir enla realidad el sistema descrito) y estar seguro de entender los datos que se entregan y de losresultados pedidos. El an alisis debe ser con espritu crtico, pues a veces los problemas estanmal planteados o confusamente descritos, y en tal caso tenemos el derecho a solicitar unamejor explicaci on. Un buen an alisis inicial incluso debe sugerirnos cu al es la solucion o almenos que caractersticas cualitativas podra presentar de acuerdo a nuestra intuici on fsica(la cual se desarrolla comprendiendo bien los conceptos b asicos y aplicandolos resolviendomuchosproblemas). Enocasioneshayproblemasenqueconunbuenargumentofsicolasoluci onseobtieneinmediatamenteenesteanalisisinicial, mientrasqueechandolepadelante, sinpensar fsicamente, nos entregarala(consuerte) mismasolucionsolodespues de varias hojas de respuesta.34 CAPITULO3. DINAMICA:LEYESDENEWTONYFUERZASBuendibujoDespuesdecomprenderel problema, realizarunbuendibujodel sistemaenestudioes fundamental. Pondremos alllos datos conocidos,deniremos los angulos importantesdel problemaytambienunaom asvariablesauxiliaresquenosayudenaresolverlo. Sibien al corregir pruebas uno ve que el 99 % de los estudiantes hacen dibujos, una fracci onnodespreciablepodradenominarseconciertaraz onmamarracho, enel cual nosedistinguen las variables, o son muy chicos, o estan hechos con el pulso de una madrugadade sabado.Esetipo dedibujos engeneralno ayuda mucho a la soluci ondelproblema ymas bien lo diculta, por lo que si en alg un momento me doy cuenta de que est a quedandoas, mas me convendra borrarlo y partir de nuevo.DiagramadecuerpolibreEnel DiagramadeCuerpo Libre(DCL)ponemosnuestrapartculadeinteresjuntocon las fuerzas que la afectan, incluyendo su direcci on y sentido en que las consideraremospositivas.Debemostenerespecial cuidado denoomitirninguna fuerzaquepodra estaractuando de acuerdo a la situaci onfsica del problema, y tambiendebemos cuidarnos deno poner fuerzas que el enunciado nos dice explcitamente que son despreciables o que noexisten.Selecci ondesistemadereferenciaycoordenadasDenimosentoncesel sistemadereferencia(origenyejes)autilizaryel sistemadecoordenadas empleado, tratando de seleccionar el sistema que simplique la representaci ondel movimiento y/o de las fuerzas presentes en el problema.Ecuaci ondemovimientoEscribimos ahora la ecuaci on de Newton

F= ma, (3.54)desarrollando ambos lados de la ecuaci on.Usamos la expresi ongeneralde la aceleraci onque corresponde al sistema de coordenadas escogido (Captulo 1), y expresamos cada unadelasfuerzasdelDCLenesemismosistema. El resultadodeestepasoesengeneral 3ecuaciones escalares, correspondientes a las 3 componentes de la ecuacion de movimiento.Aplicacionderestriccionescinem aticasogeometricasTpicamenteel problemacontendr arestriccionescinematicasogeometricas, quenosindicanapriori quelapartculanosemueveenformalibreporel espacio, sino, porejemplo, lo hace sobre una supercie esferica de radioR. En este paso debemos imponertodaslasrestriccionescinematicas queel problematieneenlaexpresi ongeneral delaaceleraci on que escribimos en el paso anterior.IdenticaciondeincognitasycondicionesLa ecuaci on de movimiento m as las restricciones cinematicas nos debieran entregar unsistema cerrado de ecuacionese incoginitas.Por ejemplo, las fuerzas de restricci oncomouna Normal son usualmente una inc ognita del problema, pero por otra parte nos agreganunacondici oncinematicadequelapartculasedesplazasobrelasupercieconocida.3.4. METODOLOGIAUSUALYEJEMPLOS 35Es bueno, entonces, detenersebrevementeenestepasoparaapreciar las ecuaciones einc ognitasdel problema, recordarcu al esel resultadorequerido, ydenirlaestrategiapara obtenerlo(lamayorpartedelasvecesno necesitamosresolvertodas lasinc ognitasdel problema).SolucionmatematicaRecien aqu viene la soluci on matematica que puede pasar por una manipulaci on alge-braica y/o solucionesde ecuacionesdiferenciales,tendientes a obtener la respuesta solic-itada.Es bueno ir vericando encada paso matem aticoque se mantenga la consistenciadimensional (de unidades) en las ecuacionesque se obtienen, ya que apenas apareceunainconsistenciadeunidadesellaesunavisodequees100 %seguroquehemoscometidoun error.Tenemosentonces2 alternativas:o ignoramoseseavisoy seguimosechandolepadelante(conel riesgo de que elerror cometido era importantey nos descarrile com-pletamente nuestra solucion), o bien revisamos para atr as, detectamos el error, corregimoslo que haya que corregir y seguimos adelante con nuestra conanza reforzada. Es nuestraeleccion.VericacionyapreciaciondelasolucionFinalmente, al obtenerunresultadonal siempreesbuenochequearsuconsistenciadimensional y fsica y compararla con nuestra intuicion inicial del problema.3.4.2. ProblemaderoceestaticoConsideremos el problema de la gura 3.9 en que una partcula de masa m se encuentraapoyada sobre una barra que rota enun plano verticalconvelocidadangular constante,o. Entre la partcula y la barra hay un roce est atico caracterizadopor un coeciente.Sienlacondici oninicial = 0ylapartculaseencuentraauna distanciaRdelejedegiro de la barra, se pide determinar el anguloenque la partcula comienzaa deslizarsobre la barra (en cualquiera de las dos direcciones: centrpeta o centrfuga).La soluci on comienza por establecer el diagrama de cuerpo libre (DCL) de la partcu-laenquegracamostodaslasfuerzasquelaafectan. Adem aselegimosunsistemadecoordenadas para describir su movimiento. Estos elementos se ilustran en la gura 3.10.Acontinuacionescribimos la ecuacionde movimiento de lapartcula, expresandofuerzas yaceleraciones enel sistemacoordenadoelegido. Enestecasousaremos coor-mmgOQRwoFigura 3.9: Partcula sobre barra rotante.36 CAPITULO3. DINAMICA:LEYESDENEWTONYFUERZASmgOQRmgFNqrFigura 3.10: DCL y vectores unitarios.denadas polares, por lo que la ecuaci on de movimiento esm( r r2) = F mg sin , (3.55)m(r + 2 r) = N mg cos . (3.56)Nos falta imponer las restriccionescinematicasdel problema. En la medida que no hayaocurrido el deslizamiento de la partcula se tiene quer = R, (3.57) r = 0, (3.58) r = 0, (3.59)mientras que en la medida que la partcula se mantenga rotando con la barra se tiene que = o, (3.60) = 0. (3.61)Reemplazando estas condiciones en 3.55-3.56 obtenemos las ecuacionesmR2o= F mg sin , (3.62)0 = N mg cos . (3.63)Notemos que en este problema las fuerzas N y Fson las inc ognitas de 3.62-3.63, puesto quela cinem atica de la partcula esta completamente especicada (antes del eventual desliza-miento). Por lo tanto, podemos resolver el problema para nuestras incognitas, obteniendoF = mR2o +mg sin, (3.64)N = mg cos . (3.65)Para simplicar el an alisis trabajaremos con las fuerzas adimensionalizadas pormg:T Fmg= 1+ sin , (3.66)^ Nmg= cos , (3.67)donde 1 R2o/g es un par ametro adimensional que indica la importancia relativa de larotaci on versus la gravedad en este problema.3.4. METODOLOGIAUSUALYEJEMPLOS 37 0 30 60 902101N() 0 30 60 902101F()Figura 3.11: Variaci onde ^y Tconelangulo. Lastrescurvasdelpanelderechosonpara 1 = 0, 1 = 0,5, y 1 = 1,5.La gura 3.11 ilustra las dependencias de ^y Tcon el angulo . La fuerza de roce, enparticular, es funci on tambiendel valor del parametro 1. El panel izquierdo de la guramuestra que en este problema de rotacion uniforme la normal no depende de la velocidadangular y que se mantiene positiva en el rango de angulos entre 0 y 90o. Esto indica quela partcula no se despegara de la barra antes de que esta llegue a la posicion vertical.Porsuparte, el panel derechodelagura3.11nosmuestraquecuando 1>0losvalores de Tpara angulos peque nos resultannegativos.Esto indica que cuando la barrapasa cerca de la horizontal la partcula tiende a escaparse centrfugamente alej andose delejederotaci on, porlocual, si lapartculanodeslizasobrelabarra, entonceslafuerzaderoceestaticodebeserenladireccionopuestadelaquesupusimosennuestroDCL.Paramayoresinclinacionesdelabarra(ysiemprequelarotaci onnoseamuyfuerte,i.e. 1 < 1) el signo de Tpasa a ser positivo, indicando que el peso comienza a ganar lacompetencia y la partcula tiende a deslizar centrpetamente, para evitar lo cual se requiereun roce estatico que efectivamente tiene la direccion supuesta en nuestro DCL.La gura 3.11 indica los valores que ^y Ttoman en funci on del angulo de inclinaci onde la barra bajo el supuesto que la partcula no ha deslizado sobre ella. Sin embargo, paravericar que efectivamente no haya habido deslizamiento debemos estar seguros de que secumpla la condici on del roce estatico:[F[ eN, (3.68)que para nuestro caso podemos escribir como[T[ ^. (3.69)Notemos que ^se aproxima a cero cuando la barra se acerca a la verticalidad,mientrasque, en general, [T[ no lo hace. Concluimos entonces que para alg un angulo menor que 90ola desigualdad 3.69 deja de cumplirse. Ese angulo, es precisamente lo que nos preguntan.Resolveremosel problemadelasiguientemanera. Paracadaangulocalcularemoslafracci on [T[/^deacuerdoalasoluci on3.66-3.67. Aestafraccionlellamaremos elcoeciente de roce requerido,R, por cuanto si el coeciente de roce real () es mayor queestevalorrequerido(>R)entonceslacondici onestaticaesposible, mientras