UNIDAD II: LÍNEAS DE ESPERA.

OBJETIVO.

Identificar los conceptos y elementos clave de un sistema de colas o líneas de

espera, para poder resolver problemas prácticos productivos y administrativos, por los

diferentes modelos de líneas de espera, diseñando programas que ayuden a la solución

de los mismos.

INTRODUCCIÓN.

El fenómeno de la espera es el resultado directo de la aleatoriedad en la operación

de instalaciones de servicio. En general la llegada del cliente y su tiempo de servicio no se

conoce con anticipación, pero por otra parte la operación de la instalación se podría

programar en forma tal que eliminaría la espera por completo.

El objetivo de estudiar la operación de una instalación de servicio en condiciones

aleatorias es de asegurar algunas características que midan el desempeño del sistema

sometido a estudio. Por ejemplo, una medida lógica de desempeño es el tiempo que se

calcula espera un cliente antes de ser atendido. Otra medida es el porcentaje de tiempo

que no se utiliza la instalación de servicio. Estas medidas de desempeño pueden

utilizarse para seleccionar el nivel de servicio que producirá un equilibrio razonable entre

las dos situaciones en conflicto.

DEFINICIONES, CARACTERÍSTICAS Y SUPOSICIONES.

Los protagonistas principales en una situación de espera son el cliente y el

servidor. Desde el punto de vista de un modelo de espera, una situación de línea de

espera, se general cuando el cliente llega a la instalación y se forma en una fila. El

servidor elige a un cliente de la fila o línea de espera para comenzar a prestar sus

servicios. Al culminarse un servicio se repite el proceso de elegir un nuevo cliente en

espera.

TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN

En los modelos de espera las llegadas y los tiempos de servicio de clientes se

resumen en términos de distribución de probabilidad que normalmente se conoce como

distribución de llegadas y tiempo de servicio Estas distribuciones pueden representar

situaciones donde llegan clientes y son atendidos individualmente o en grupo, este ultimo

caso se le conoce como líneas de espera masivas. Aparte de los patrones de llegadas y

salidas, hay otros factores que también son importantes en la elaboración de los modelos.

El primer factor es la disciplina de servicios, que es la forma en que se eligen los

clientes para dar inicio al servicio. Las disciplinas son:

a) el primero en llegar es el primero en ser atendido.

b) el ultimo en llegar es primero en ser atendido.

c) servicio en orden aleatorio.

Aunque estas regulan la selección de clientes, pueden ser que estos sean

colocados en líneas de espera con prioridad, para ser atendidos en primer término.

El segundo factor tiene que ver con el diseño de la instalación y la ejecución de

servicio. La instalación puede incluir más de un servidor, donde todos los servidores

ofrecen el mismo servicio y se dice que la instalación tiene servidores paralelos. También

la instalación puede comprender un número de estaciones en serie por las que puede

pasar el cliente antes de que se complete el servicio. Las situaciones resultantes se

conocen como líneas de espera en serie o sucesivas. El diseño más general de una

instalación de servicio incluye estaciones de procesamiento en serie y en paralelo. A

estos se le conoce como líneas de espera en red.

El tercer factor es referente al tamaño de la línea de espera admisible; en

ocasiones sólo se puede admitir a un número limitado de clientes, cuando la línea de

espera se llena a toda su capacidad, los clientes que llegan no se pueden formar en la

línea de espera.

El cuarto factor se relaciona con la naturaleza de la fuente que genera llamadas

solicitando servir (llegadas de clientes). La fuente de llamadas puede ser capaz de

generar un número finito de clientes o infinitamente muchos clientes. Los modelos de

espera que representan situaciones en las que los seres humanos son clientes y/o

servidores, deben de estar diseñados para tomar en cuenta el efecto de la conducta del

ser humano.

En resumen, los elementos básicos de un modelo de espera dependen de los

siguientes factores:

1.- Distribución de llegadas (individuales o masivas).

2.- Distribución de tiempo de servicio (individual o masivo).

3.- Diseño de la instalación de servicio (estaciones de serie, paralelo o en red).

4.- Disciplina de servicio (3 consideradas, además de prioridad en servicio).

5.- Tamaño de la línea de espera (finito o infinito).

6.- Fuente de llamadas (finito o infinito).

7.- Conducta humana (cambios, elección y renuncia).

SISTEMA DE COLAS O SISTEMA DE LÍNEAS DE ESPERA DE POISSON DE UN

SOLO SERVIDOR.

CONCEPTOS.

Llegadas.

Los tiempos que transcurren entre dos llegadas consecutivas a un sistema de colas

se llaman tiempos entre llegadas. Este tiempo siempre tiene variabilidad, pero se puede

realizar lo siguiente:

1. Estimar el número esperado de llegadas por unidad de tiempo. Esta cantidad se

llama tasa media de llegadas ().

2. Estimar la forma de la distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas.

En donde la media de esta distribución proviene del punto 1. Si es la tasa media de

llegada para clientes que vienen al sistema de colas, su media es

1λ=

tiempo entre

llegadas esperado.

Por ejemplo, si se sabe que llegaron 200 clientes en un lapso de 50 horas, entonces

λ=20050

=4 clientes por hora en promedio.

La estimación correspondiente del tiempo entre llegadas es

1λ=14 horas entre clientes en

promedio. En otras palabras si llegan en promedio 4 clientes en una hora, entonces

estos llegan en promedio cada 15 minutos.

Servicio.

Cuando un cliente entra a servicio, el tiempo transcurrido de principio a fin del

servicio se llama tiempo de servicio, el cual varía de cliente a cliente. La expresión que

expresa la media de la distribución del tiempo de servicio es

1μ=

tiempo de servicio esperado.

Donde es el número esperado de terminaciones de servicio por unidad de

tiempo, la cual se llama tasa media de servicio.

Por ejemplo, si un servidor atiende en promedio a 5 clientes por hora (), entonces

el tiempo de servicio esperado es

1μ=15 horas por cliente.

En otras palabras, si un servidor atiende en promedio a 5 clientes en una hora,

quiere decir que en promedio con cada cliente se tarda 12 minutos.

MEDIDAS DE DESEMPEÑO DE LOS SISTEMAS DE COLAS.

Los administradores que revisan los sistemas de colas están interesados en dos

tipos de medidas de desempeño:

1. ¿Cuántos clientes suelen esperar en el sistema de colas?

2. ¿Cuánto suelen esperar estos clientes?

La consecuencia de tener clientes esperando o clientes esperando demasiado,

puede ser pérdida de ganancias.

Estas dos formas proporcionan en general 4 medidas de desempeño:

1. L = número esperado de clientes en el sistema.

2. Lq = número esperado de clientes en la cola.

3. W = tiempo de espera esperado en el sistema.

4. Wq = tiempo de espera en la cola.

Otro dato muy importante es el factor de utilización, el cual representa la fracción

de tiempo promedio que utiliza el servidor para atender a los clientes, el cual está dado

por

ρ= λμ

MODELO (M/M/1) : (DG//).

Este es un modelo de servidor único sin límite en la capacidad del sistema o de la

fuente de llamadas, entonces se basa en las siguientes suposiciones:

1. Los tiempos entre llegadas tienen una distribución exponencial con media

1λ .

2. Los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial con media

1μ .

3. El sistema de colas tiene 1 servidor.

Las fórmulas que determinan el desempeño del sistema son:

1.L= ρ1−ρ

= λμ− λ

2.W=1

λL= 1

μ− λ

3.W q=W−1

μ= λμ (μ−λ )

4.Lq=λW q=

λ2

μ (μ−λ )= ρ2

1−ρ

La probabilidad de tener exactamente n clientes en el sistema es Pn=(1−ρ) ρn , para n =

0, 1, 2, 3, …

EJEMPLOS.

1. Suponga que la tasa esperada de llegada es de 3 por minuto y que el servicio

puede realizarse a una tasa esperada de 4 por minuto. ¿Cuál es el tiempo esperado entre

llegada de los clientes individuales y cuál es el tiempo esperado para completar los

servicios sucesivos?

Solución:

Tasa esperada de llegada = 3 por minuto.

Tasa esperada de servicio = 4 por minuto.

Tiempo promedio esperado entre llegadas

1λ=13 = .333 = 20 segundos entre clientes.

Tiempo esperado entre dos servicios sucesivos

1μ=14=. 25

= 15 segundos.

2. Considere una tasa de llegada de 30 por hora y la tasa promedio de servicio de 40

por hora. Cual es la probabilidad de que un cliente que llegue no tendrá que esperar

servicio.

Solución.

ρ= λμ = 30/40 = .75 El servidor estará ocupado el 75% del tiempo.

Sea P0 la probabilidad de que el cliente que llegue no tenga que esperar servicio, es decir

que el sistema este vacío.

P0=(1−ρ)=1-.75 = .25, el 25% del tiempo el sistema estará vacío.

Sea P0 la probabilidad de que haya n clientes en el sistema (en cola y en servicio),

entonces puede probarse la probabilidad de que haya 0,1,2,3....n clientes en el sistema

bajo lo siguiente

Pn=(1−ρ) ρn

Con los mismos datos, ¿cuál seria la probabilidad de que haya 0,1,2,3 y 4 clientes en el

sistema para el ejemplo anterior.

P0. = (1-.75).75(0) =.25

P1 = (1-.75).75(1) = .1875

P2 = (1-.75).75(2) = .1406

P3 = (1-.75).75(3) =.1055

P4 =(1-.75).75(4) = .01791

3. Considerando = 30 y = 40 por hora, calcular las medidas de desempeño.

Solución:

L= ρ1−ρ

= λμ− λ =

3040−30

=3, es decir en promedio hay 3 clientes en el sistema.

W=1λL= 1

μ− λ =

140−30

= 110 = .1 horas, es decir en promedio un cliente espera 6

minutos en el sistema.

W q=W−1μ= λμ (μ−λ ) =

3040 (40−30)

=30400 = .075 hora, es decir en promedio el cliente

espera 4.5 minutos en la cola.

Lq=λW q=λ2

μ (μ−λ )= ρ2

1−ρ =

(30 )2

40 (40−30)=900400 = 2.25 clientes, es decir se puede

encontrar 2.25 clientes esperando servicio.

4. Un pequeño restaurante se enfrenta al problema de determinar el número de

meseros que debe utilizar en las horas pico. La gerencia ha observado que los clientes

llegan en promedio de 4 minutos y el tiempo promedio para recibir y procesar un pedido

es de 2 minutos. Determinar además lo siguiente:

1.- ¿Cuál es la utilización actual de la capacidad de servicios existentes?

2.- ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega al servicio sea servido

inmediatamente?

3.- ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llegue encuentre una línea de espera

de longitud n = 0, 1, …6?

4.- ¿Cuál es el número de clientes esperados en el sistema?

5.- ¿Cuál es la longitud esperada de la cola?

6.- ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente debe esperar en el sistema?

7.- ¿Cuál es el tiempo promedio de espera que un cliente gasta en la cola?

MODELO (M/M/1) : (DG/N/).

La única diferencia entre este modelo y el anterior es que el número máximo de

clientes permitido en el sistema es N (longitud máxima de la línea de espera = N – 1).

Esto significa que cuando haya N clientes en el sistema, se impiden todas las nuevas

llegadas o no se les permite unirse a la línea de espera.

Tomando ρ= λμ :

El valor de P0 se determina por:

Pn=¿ { 1− ρ1−ρN +1 ρ

n , ¿¿¿¿ ρ≠1ρ=1 n = 0, 1, 2,…, N

Las fórmulas que determinan el desempeño del sistema son:

L=¿ { ρ {1−(N+1 ) ρN+NρN+1 }(1−ρ )(1−ρN+1 )

, ¿¿¿¿ ρ≠1ρ=1

Las medidas de Lq, W y Wq se deducen de L, pero primero se determina la tasa

efectiva de llegada λef :

λef=λ(1−PN )

Entonces:

Lq=L−λefμ

W q=Lqλef

=Lqλ(1−PN )

W=W q+1μ

=Lλ(1−PN )

EJEMPLOS.

1. En una instalación de servicio de lavado de autos, la información que se tiene

indica que los autos llegan para ser atendidos, según una distribución de Poisson,

con media de 4 por hora. El tiempo para lavar y asear cada automóvil varía, pero

se advierte que sigue una distribución exponencial con media de 10 minutos por

automóvil. Si la instalación no puede atender a más de un auto a la vez y tiene un

espacio de estacionamiento para 4 autos, por lo que si está lleno el

estacionamiento los carros que lleguen buscarán servicio en otra parte. Determina

el comportamiento del sistema.

Solución.

= 4/hora.

µ = 6/hora.

N = 5

ρ= λμ=23

En promedio la instalación se ocupa en un 67%.

L={ ρ {1−(N+1) ρN+NρN+1 }(1−ρ )(1−ρN+1)

=(2/3) {1−(5+1)(2 /3 )5+(5)(2/3 )6 }

(1−2/3)(1−(2/3)6)=. 4326.3041

=1 .42

En promedio puede haber 1.42 autos en el auto-lavado.

PN={ 1−ρ1−ρN+1 ρ

n=(1−2/3)

(1−(2/3 )6 )(2/3 )5=. 0481

La probabilidad de que haya 5 autos en el auto-lavado es .0481

λef=λ(1−PN )=4 (1−. 0481 )=3 .8076

La tasa efectiva de llegada es de 3.8076 autos por hora.

Lq=L−λefμ

=1 .42−3 .80766

=.7854

El promedio de autos esperando ser lavados es de .7854.

W q=Lqλef

=Lq

λ (1−PN )=. 78543.8076

=. 2063

El promedio de tiempo que los autos esperan para ser lavados es de .2063 horas, es

decir, 12.4 minutos.

W=W q+1μ= Lλ (1−PN )

=. 2063+ 16=. 3729

El promedio de tiempo que pasa un auto en el auto-lavado es de .3729 horas, es

decir, 22.4 minutos.

Una información que puede interesar al propietario es saber cuántos clientes se pierden

debido al limitado espacio de estacionamiento, lo cual se determina por

λ−λef=4−3 .8076=. 1924 autos por hora. Si se basa en una jornada de 8 horas, entonces

serán 1.53 autos en un día.

MODELO DE K SERVIDORES SIN LÍMITE EN LA COLA.

Los problemas relacionados con líneas de espera de canales múltiples, se

componen de cierto número de estaciones paralelas (k), en las que el estado del sistema

(n, número de elementos en el sistema en determinado momento) puede asumir uno de

los valores: no hay línea de espera, porque se da servicio a todas las llegadas (n < k) o se

forma una línea de espera porque el servicio exigido por la(s) llegada(s) es mayor que la

capacidad de las estaciones de servicio en el problema (n > k). La derivación de las

fórmulas es más complicada que la de las fórmulas anteriores, las cuales son:

ρk=λμk

La probabilidad de que haya n elementos en el sistema, cuando n < k, se determina

por:

Pn=1n! ( λμ )

n

P0

La probabilidad cuando n ≥ k, la expresión cambia a:

Pn=1

k !kn−k ( λμ )n

P0

En donde la probabilidad de que no haya ningún elemento en el sistema se

determina por:

P0=1

[∑n=0k−1

1n ! ( λμ )

n

+[ 1k ! ( λμ )k μkμk−λ ]]

Las fórmulas anteriores sólo son aplicables si µk > ó pk < 1. Las medidas de desempeño

quedan como:

L=[ λμ( λ /μ )k

(k−1 )! (μk−λ )2P0]+ λμ

Lq=λμ( λ /μ )k

(k−1)!( μk−λ )2P0

W=[ μ( λ /μ )k

(k−1)!( μk− λ)2P0 ]+ 1μ W q=

μ ( λ/ μ )k

(k−1 )! ( μk−λ )2P0

EJEMPLO.

El Servicio de Rentas Internas tiene cuatro estaciones en una oficina para recibir a

los que tienen problemas, quejas, etc., con respecto a sus impuestos sobre la renta. El

promedio de llegadas es de 80 personas en un día de servicio de 8 horas. Cada consejero

de impuestos dedica una cantidad irregular de tiempo para dar servicio a las llegadas, que

se ha comprobado que tienen una distribución exponencial. El promedio del tiempo de

servicio es de 20 minutos. Determina el comportamiento del sistema.

Solución.

ciDatos:

λ=10/horaμ=3/horak=4

ρk=λμk

=10(3)( 4 )

=.833 L=[ λμ( λ /μ )k

(k−1 )! (μk−λ )2P0]+ λμ= (10)(3 )(10/3 )4

(4−1 )! [(3)( 4 )−10 ]2( . 0213)+10

3=6 .61

P0=1

[∑n=0k−1

1n ! ( λμ )

n

+[ 1k ! ( λμ )k μkμk−λ ]]

= 1

1+103

+10018

+1000162

+(100001944 )(6)= 146 .91

=. 0213

clientes.

Lq=λμ( λ /μ )k

(k−1)!( μk−λ )2P0=

(10 )(3 )(10/3 )4

( 4−1 )! [(3)( 4 )−10 ]2( . 0213 )=3 .28

clientes.

W=[ μ( λ /μ )k

(k−1)!( μk− λ)2P0 ]+ 1μ= 3 (10/3)4

(4−1)(3⋅4−10 )2(. 0213 )+1

3=. 661

horas = 40 minutos.

W q=μ ( λ/ μ )k

(k−1 )! ( μk−λ )2P0=

3(10/3 )4

(4−1)(3⋅4−10 )2(. 0213 )=. 328

horas = 20 minutos.

El servicio de biblioteca del instituto tecnológico superior de la sierra norte de puebla

cuenta con tres servidores que atienden a los alumnos , para brindar el servicio de

préstamo de libros y/o textos científicos e informativos. El promedio de llegadas es de

320i estudiantes en un día de servicio de 10 hrs. Cada servidor dedica un tiempo

promedio de atención a los estudiantes de 5 minutos.

DETERMINE EL COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA

.