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Metodos Electricos CICESE
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1
I. INTRODUCCIÓN
Los métodos (geo)eléctricos consisten en la medición de efectos superficiales (voltaje) producidos por el flujo de corriente directa (DC) en el subsuelo con el fin de estimar la distribución de la resistividad eléctrica (conductividad). Hay varias clasificaciones de los métodos. Las más básica está basada en el origen, natural o artificial, del flujo de corriente. Fuente natural: Potencial Espontáneo (SP = Self-Potential) Fuente artificial o controlada: Resistividad, Polarización Inducida (PI), magnético-resistivo (MMR), etc.
Aplicaciones diversas • Geohidrología. Búsqueda, mapeo y cuantificación de mantos acuíferos, intrusión salina, contaminación. • Geotermia. Yacimientos, fallas, zonas de alteración. • Geotecnia. Cavernas, firmes, canteras, zonas afalladas o débiles. • Arqueología. Estructuras, objetos. • Cartografía Geológica bajo la cubierta de aluvión. • Cuencas carboníferas. • Minería, especialmente menas metálicas. • Hidrocarburos, particularmente para estructura. • Zonas profundas de la corteza (Geofísica pura). Propiedades Eléctricas de las Rocas La aplicación de los métodos eléctricos exige un conocimiento de las propiedades físicas de las rocas. Hay tres propiedades físicas de tipo eléctrico: resistividad (ρ), constante dieléctrica (ε) y permeabilidad magnética (μ). La ρ es la más importante en métodos eléctricos. El comportamiento resistivo de las rocas depende de: Forma, volumen y relleno de los poros; propiedades y modo de agregación de los minerales; presión y temperatura.
SlR , unidades de la resistividad: m
sl
2
La resistividad es una medida de la dificultad que la corriente eléctrica encuentra a su paso en un material determinado.
• Conductividad
1 ; unidades
msiemensS . Unidades antiguas:
mmho
m1
En los materiales, la resistividad tiene un amplísimo rango de variación: poliestireno > 1023 Cu Clases de Conductividad
líquidososelectrolitosdieléctricsólidososelectrolit
iones
toressemiconducmetales
electrones
eléctricacargadeportadores
La más importante es la conducción iónica en el agua que existe en los poros de las rocas. • Los portadores de la corriente eléctrica son aniones y cationes. • La velocidad de los iones depende de: la intensidad del campo eléctrico aplicado, la concentración y tamaño del ion y de latemperatura.
La resistividad disminuye al aumentar la concentración de sales y al aumentar la temperatura.
3
• La resistividad depende del tipo de soluto. • Los iones más abundantes en las aguas naturales son el Cl- y el Na+. El agua pura es muy poco conductora por su reducida disociación (ρ tridestilada ~ 105 m ) Las aguas en la naturaleza presentan una considerable conductividad. La cantidad y clase de sales depende de la naturaleza de las rocas con las que las aguas hayan estado en contacto. Cantidad típica de sales: de 0.1 g/lt a 35 g/lt (agua marina). Mar Muerto 250 g/lt Lagos y arroyos de alta montaña 103 a 3x103 ohm m Dulces superficiales 10 a 103 Salobres superficiales 2 a 10 Subterráneas 1 a 20 Lagos salados 0.1 a 1 Marinas ~0.2 De impregnación de rocas 0.03 a 10
Resistividad de las Rocas Si la resistividad de las rocas dependiese únicamente de los minerales constituyentes, serían aislantes en la mayoría de los casos, pero todas las rocas tienen poros en mayor o menor grado, los que suelen estar ocupados total o parcialmente por electrolitos, por lo tanto, las rocas se comportan como conductores iónicos de ρ muy variable.
Si tomamos una muestra cilíndrica de roca rr slR , resistividad global de la roca, pero como la conducción es por medio de
los poros llenos con agua de resistividad w
www s
lR , , igualando ls
sl
sl
sl
w
wwr
w
wwr , multiplicando y
dividiendo por :lylw
4
T
ll
lsls
ll w
ww
wwr ,
2
tortuosidad, Plsls ww porosidad, entonces, la relación entre la resistividad global de la
roca y la del agua que rellena los poros es wwr FP
T
2
F se le conoce como factor de formación
Tipos de porosidad: intergranular (la más importante), fisuras y diaclasa y vugular
Porosidad intergranular de algunas rocas arcillas 20-50 % cienos 80-85 % arenas gruesas 25-60 % gravas 20-40 % arenas finas 30-60 % lavas 20-80 % arenisca 20-25 % margas 4-60 % caliza 1.5-20 % intrusivas 0.3-5 % volcaniclásticas 5-60 % La porosidad de una misma clase de roca disminuye con la edad y el grado de metamorfismo. Ley de Archie. Es una relación empírica entre la resistividad global de la roca r , la resistividad del agua w y la porosidad P
wwm
r FPa :m parámetro de cementación El factor a parece depender de la textura de la roca, suele variar de 0.5 a 1.5; ~ 0.6 rocas sedimentarias bien cementadas; ~0.9 rocas sedimentarias no cementadas, ~ 1 a 2 calizas y dolomitas, ~ 1.4 rocas igneas compactas. Parámetro de cementación: 1.3 rocas detríticas débilmente cementadas 1.4 areniscas poco cementadas, lavas muy porosas 1.6 ígneas y sedimentarias poco porosas (< 5 %) 1.7 sedimentarias relativamente bien cementadas
5
2.0 calizas y dolomitas, areniscas cementadas y poco porosas 2.3 calizas y dolomitas de grano muy fino Los parámetros a y m solo pueden determinarse con muchas mediciones de laboratorio de la roca en cuestión. Como primera aproximación puede usarse a=1, m=2
La ley de Archie se puede modificar a m
r
wmaP1
1
, tomando el logaritmo de ambos lados,
r
w
ma
mP
log1log1log . Esta expresión tiene la forma de la ecuación de una recta. La siguiente figura (de Keller y
Frischknecht, 1966) muestra la ley de Archie con diferentes valores de los parámetros a y m.
6
Interacción entre el agua y la roca • Hasta aquí se ha supuesto que no hay interacción entre la matriz aislante y el agua de los poros. • Hay dos tipos de interacción: conducción superficial e ionización de los minerales de la arcilla • Conducción superficial. Absorción de los cationes (+) del electrolito por la pared interior de los poros, que en muchos casos están cargados eléctricamente (iones del mismo signo, generalmente aniones (-)). Cuando el contenido de agua es bajo se forma película conductora, la que hace disminuir la ρ. Cuando el contenido de agua es alto, hay pérdida de movilidad de los iones, lo que hace aumentar la ρ. • Ionización de la arcilla. Los minerales de la arcilla (montmorilonita, vermiculita, halloysita, etc) adsorben cationes, formando una capa fija y una difusa cuya densidad iónica decrece exponencialmente con la distancia originando una baja resistividad, entonces, por lo general la ρ de la arcilla no es mayor a 10 ohm m. La presencia de arcilla en sedimentos arenosos en cuencas hidrológicas puede ser un problema serio para aplicar la ley de Archie. Resistividad de las rocas Como hemos visto, hay muchos factores que influyen en la resistividad de las rocas: porosidad, permeabilidad, tortuosidad, salinidad, tipo de sal, grado de saturación, grado de cementación, resistividad de la matriz, contenido de arcillas, etc., lo que conduce a que la resistividad en cada tipo de roca tenga un amplio rango de variación.
7
En general, en las metamórficas la ρ aumenta con el grado de metamorfismo. En sedimentarias, en orden decreciente de ρ : anhidritas, calizas, areniscas, lutitas. En detríticas la ρ crece con el tamaño del grano (con agua dulce). La capa de intemperismo con menor ρ que la roca sana. En mismo tipo de suelo: menor ρ en clima desértico debido a ascensión capilar que sube iones (evaporación); mayor ρ en clima lluvioso debido a una mayor circulación de agua que arrastra iones.
8
II. EL MÉTODO DE RESISTIVIDAD. SUBSUELO HOMOGÉNEO
1. Relaciones Básicas rJ I 1 Ecuación de continuidad para DC La interpretación física de (1) es que en ningún punto del espacio puede haber aparición o desaparición de cargas excepto en la fuente. Esto se puede ver mejor con el Teorema de la Divergencia: Sddv
v S nAA ˆ
Si dentro del volumen no hay ninguna fuente 0ˆ Sddv
v S
nJJ , toda la corriente que entra al volumen
sale.
En cambio, si dentro del volumen hay una fuente de corriente,
v
IdvJ
Ley de Ohm para medios continuos: EEJ
1 2 La densidad de corriente en un punto tiene la
misma dirección que el campo eléctrico, siendo directamente proporcional a él, la constante de proporcionalidad es la conductividad eléctrica σ. El campo eléctrico se puede expresar como el gradiente negativo de un potencial escalar, es decir: VE 3 y de (2),
V1J 4
vS
vSI
9
En un medio isótropo, de (1) y (4) 01
V
, pero usando la identidad vectorial BBB aaa queda:
0111
VVV
5 Ecuación fundamental de la exploración geofísica con corriente
directa
Ahora, en un espacio homogéneo no hay variación de 01
. Entonces, de (7), 001
VV
zzyyxx bababazV
yV
xVk
zVj
yVi
xVV
ba;,,;ˆˆˆ
022
2
2
2
2
2
VzV
yV
xVV 6
La distribución del potencial eléctrico de un flujo de corriente directa en un medio homogéneo e isótropo satisface la Ecuación de Laplace. Laplace no se cumple ni en las interfases de resistividad ni en la fuente. • Supongamos una fuente puntual de corriente I en un espacio homogéneo infinito (no acotado).
Laplace en coordenadas esféricas 01112
2
2222
2
V
senrVsen
senrrVr
rr
Por intuición, el potencial solo depende de
0
r , 0221
2
2
2
22
2
rV
rrV
rVr
rVr
r
La solución de esta ecuación diferencial es: r
CCV 21
Condición de frontera: r
CVCrV 21 0cuando0
10
De ésta se ve que las superficies equipotenciales son esféricas.
Puesto que rrVV ˆ
E , el campo eléctrico es radial, y puesto que EJ , las líneas de corriente también son radiales.
Para determinar 2C : 222 111
rC
rC
rrVJ
. Aplicamos ahora el teorema de la divergencia a una esfera alrededor de la
fuente
4
411ˆˆ 22
22
22 ICIr
rCSd
rCSdSddv
SSr
v S
rJnJJ
r
IrV 14
Potencial en un medio infinito e isótropo debido a una fuente puntual de corriente
Para el caso de una fuente de corriente en la superficie de un subsuelo homogéneo, en vez de 4 es 2 porque rJ en la superficie es horizontal
00
zzJ r
IrV 12
2. Arreglos Electródicos
Si la corriente I se inyecta con una fuente en A y un sumidero en B,
21
112 rrIrV
rBrrAr
2
1
Hay linealidad respecto a la fuente Si ahora se trata de un arreglo tetraelectródico
I
vS
I
I-IA B
IA
B
M
NV
11
NBNAINV
MBMAIMV 11
211
2
NBNAMBMAINVMVV 11112
Entonces, la ρ de un subsuelo homogéneo se puede obtener directamente de medir: IV , y las distancias electródicas
IVK
IV
NBNAMBMA
1111
12
donde el coeficiente del dispositivo electródico
NBNAMBMA
K1111
12
Hay una gran variedad de arreglos electródicos. Los más usados son: Schlumberger, dipolo-dipolo y Wenner. Schlumberger
22
1
22
1
22
1
22
12
11112 lLlLlLlL
INBNAMBMA
IV
lLlLI
lLlLI 112442
2222
42lL
lIlL
lLlLI
IV
llL
22
4
con
llLK
22
4
A B
Ll
M
O
N
12
Si 22,5 lLlL se puede aproximar como 2L , con un error 4 %, entonces
IEL
IV
lL
44
22
donde E
lV
es una aproximación del campo eléctrico en el punto central O.
Wenner
En Wenner se toma allL ,3
IV
aaa
2294
IVa
2 aK 2
Dipolo-dipolo Generalmente n es un múltiplo entero de a, es decir, n=1,2,3,…
annnK 12
OTROS ARREGLOS
A BM N
l=aL=3a
a a a
A B M N
A M A BM A NM
A B
N
M
A B
NM
A B
NM
A M
A M A M
A MM
M
A M
13
3. Resistividad Aparente Para una Tierra homogénea
IVK
Si tenemos un subsuelo heterogéneo y se aplica esta misma expresión resultará una resistividad 4321 ,,, , que tampoco es un promedio aritmético ni media ponderada. La resistividad aparente a resultado de hacer una medición usando un arreglo dado sobre un subsuelo heterogéneo es igual a la resistividad verdadera de un medio homogéneo e isótropo ficticio en el cual, para el mismo arreglo electródico y misma intensidad de corriente inyectada, la V que se mediría es igual a la V real sobre el subsuelo heterogéneo.
Principio de Reciprocidad. Si se intercambian entre sí los electrodos de corriente con los de potencial, se obtiene la misma a (válido también en medios heterogéneos) 4. Profundidad de Penetración y Punto de Asignación ¿Cuál es la profundidad de penetración de los diferentes arreglos y a qué punto del subsuelo le atribuimos la a ?
Distribución de la corriente (en rojo) y de las superficies equipotenciales (en azul) en un subsuelo homogéneo por un par de electrodos de corriente (de Van Nostrand y Cook, 1966). Las líneas de corriente representan tubos, cada uno con un 10 % de la corriente total. Las direcciones de la corriente, la densidad de corriente y del campo eléctrico siempre son perpendiculares a las superficies
A BM N A BM N
14
equipotenciales. Cerca de los electrodos no se han dibujado las superficies equipotenciales pues ellas están muy pegadas. La densidad de corriente es máxima en 0z y va disminuyendo con la profundidad. Desde la superficie hasta una profundidad de 2AB circula el 50 % de la corriente total. Desde la superficie hasta una profundidad de AB circula un 70.5 % de la corriente total. Las zonas más profundas cada vez influyen menos en la diferencia de potencial y por lo tanto en la resistividad aparente porque por ellas circula cada vez menos corriente, pero no es posible fijar una profundidad límite debajo de la cual el subsuelo ya no influye en la a . En la práctica de los Sondeos Eléctricos Verticales siempre es útil tener una idea de qué aperturas electródicas debo de usar para obtener información de un supuesto blanco a una profundidad D (digamos, 100 m). En el arreglo Schlumberger, que es el más usado en México, diferentes geofísicos usan diferentes estimadores de la profundidad de investigación, como
241,
221,
2,
22 ABABABAB , etc.
15
Roy y Apparao (1971) propusieron el concepto de la ¨profundidad de investigación característica¨ (PIC), que es la profundidad en la que una capa delgada contribuye más a la a medida con un arreglo tetraelectródico dado sobre un semiespacio homogéneo
Estas PIC están formuladas en términos de L, que es la separación entre los dos electrodos más separados, con excepción del dipolo-dipolo, donde L es la distancia entre los centros de los dipolos de corriente y potencial. Se indican los máximos correspondientes de sus PIC. Si L fuera 100 m, con el arreglo Wenner una capa a la profundidad de 11 m es la que más contribuye al valor de la a . Con el arreglo polo-polo la profundidad es mucho mayor, en 35 m. Las PIC para Schlumberger y dipolo-dipolotienen máximos entre estos dos valores. Entonces, en principio uno pensaría que el arreglo polo-polo es muy superior a los otros pues su máximo está en 35 % de L. Sin embargo, nótese que la curva de este último
arreglo es mucho más ancha que la curva del arreglo Wenner, es decir, la resolución en 0.35L es menor en el polo-polo que la resolución en 0.11L del Wenner. Un punto adicional del polo-polo es, ¿qué tan lejos colocamos los electrodos al infinito? Edwards (1977) hizo notar que las PIC no son funciones simétricas, sino que están sesgadas hacia las profundidades bajas. Él consideróque un estimador más efectivo de la profundidad de investigación es la profundidad efectiva (PE), definidas al integrar las PIC de z igual a cero hasta infinito e igualando la integral a 0.5 . De esta forma el área bajo la curva arriba de la PE es 0.5 y debajo de la PE también es 0.5
+I
+I
+I
+I
M
M
M
M
N
N
N
-I
-I
-I
16
Procedimiento usado por Edwards para definir la profundidad efectiva del arreglo Schlumberger
Si expresamos el máximo de las PIC y la PE no en función de L sino de a para el Wenner, en función de AB/2 para el Schlumberger y en función de an y para el dipolo-dipolo, tenemos PIC PE Wenner a33.0 a52.0
Schlumberger
225.0 AB 0si
2384.0
MNAB
22.0si
238.0 ABMNAB
Dipolo-dipolo an 1195.0 1si2139.0 nan 5si2211.0 nan 20si220.0 nan Resumiendo, en un semiespacio homogéneo, un estimador de la profundidad de investigación del arreglo Schlumberger varía de
17
25 % a 40% de AB/2. Punto de asignación. La resistividad aparente obtenida con una apertura electródica dada no solo está influenciada por la resistividad de las rocas que están directamente debajo de la línea que une los cuatro electrodos, sino también por las rocas que están fuera de este plano. El volumen de roca se puede visualizar como un “hemisferio” en el subsuelo.
Efecto lateral. Si tuviéramos un contacto vertical entre dos medios de diferente resistividad, las líneas de corriente y las superficies equipotenciales cambian su geometría respecto a la que tendrán en un medio homogéneo. El efecto es más intenso al disminuir la relación ABd y al aumentar el contraste de resistividades.
En la práctica se define un punto de asignación solamente para fines de graficado, recordando que esto es solamente simbólico.
A BM N A B M N
18
III. SUBSUELO ESTRATIFICADO Notación
Para definir el modelo: n resistividades, n-1 espesores • Dos capas: 1212 , • Tres capas: 321 H 321 K 321 A 321 Q •Cuatro capas: 4321 KQ
1. Solución Analítica La ecuación de Laplace (o Poisson) para una fuente puntual de corriente en la superficie de un subsuelo de dos capas se resuelve en coordenadas cilíndricas.
Laplace en cilíndricas zr ,,
fuentelaensoloI-fuentelaenexcepto01
2
2
2
22
zV
rV
rrVV
No depende de puesto que V es independiente de . Se usa el método de separación de variables, zZrRzrV , , Cuyas soluciones tienen la forma:
zzZ exp rJrR 0 0J es la función Bessel de orden 0 del primer tipo
A
19
Comportamiento de las funciones Bessel del primer tipo xJxJ 10 y donde es una variable continua, la solución más general se obtiene integrando de 0 a :
drJeBeAV zz0
0
, tal que
drJeBeAeIV zzz
00
11 2
válida en 10 Ez , o sea, en la primera capa.
drJeDeCIV zz
00
12 2
válida en 1Ez
Aún cuando solo nos interesa 1V (el electrodo de potencial está en la superficie), para determinarlo es necesario encontrar las cuatro constantes CBA ,, y D aplicando las siguientes cuatro condiciones de frontera: el potencial tiende a cero en profundidades muy grandes, la componente vertical de la densidad de corriente en la superficie es cero, el potencial y la componente vertical de la densidad de corriente son continuas en la interface entre las capas. Entonces, el potencial en un punto de la superficie 0z de un medio de 2 capas está dado por:
20
drJKe
KeIrV
Stefanescudeticacaracterísfunción
E
E
00
2
21
1 121
2
Integral de Stefanescu
12
12
K coeficiente de reflexión
Otra forma:
drJKeKeIrV E
E
00
2
21
1 11
2
Función característica 2N o kernel de la Transformada de Hankel Para más de dos capas se sigue un procedimiento similar. Por ejemplo, para 4 capas:
drJeBeAeIV zzz
00
11 2
drJeDeCIV zz
00
12 2
drJeFeEIV zz
00
13 2
drJeGIV z
00
14 2
Hay 6 constantes por determinar con 6 condiciones de frontera (2 por cada interfase), por lo que tendremos 6 ecuaciones con 6 incógnitas. • Técnica recursiva para determinar nN .
21
1con1,,1
11:pasosegundo
:pasoprimer
2
211
11
n
Ei
Ei
i
iii
iiii
Mni
eLeLM
MML
i
i
, 1MN n
Si aplicamos este procedimiento recursivo para 3 capas 3n llegamos a:
drJeKeKeKKeKeKeKKIV EEEE
EEEE
00
223
212
22312
223
212
223121
1 2112
2112
11
2capas3
• Algunos autores expresan nN en términos de tanh porque uu
uu
eeeeu
tanh . Por ejemplo, para dos capas,
E
EN
tanhtanh
21
122
Aquí no aparece el coeficiente de reflexión K, sino directamente 21 y .
2. Resistividad Aparente Conociendo el potencial se puede calcular la expresión para la a . Wenner
Teníamos MBNANBMAWa VVVVVIVa
donde2
daJNIVVV nNBMA
0
01
2:y ;
daJNIVVV nMBNA
0
01 2
2:y
daJNIdaJNIV nn
0
01
00
1 22
22
2
A BM N
22
daJNdaJNa nnWa0
00
01 22 a Wenner para un medio de n capas
Schlumberger Para este arreglo teníamos dos expresiones:
la general: IV
llL
Sa
22
4
y la basada en Ll : 24
22 Lr
IEr
IEL
Sa
Si usamos la general:
dlLJNIdlLJNIV nn
00
1
00
1
2222
dlLJNdlLJNl
lLnnSa
00
001
22
222241
a Schlumberger sin considerar Ll
Ahora, si usamos la de Ll :
drJNIdrJN
rI
rVE nn
0
11
00
1
22 campo eléctrico para el electrodo A en el origen
puesto que rJr
rJ
1
0
Para los dos electrodos:
drJNr nSa
0
12
1 a considerando Ll
Esta expresión es más sencilla que la del caso general. Es la que se usa para calcular las curvas patrón.
A BM
O
Nl
L
23
3. Cálculo numérico de la resistividad aparente No existe solución analítica de la integral de Stefanescu en términos de una expresión cerrada y no es trivial resolverla con algún método numérico de integración debido al carácter oscilatorio de la función Bessel. El método más usado es el filtraje digital. • Vamos a ilustrar el método con la Lla del arreglo Schlumberger. Arriba se obtuvo:
nna NTdrJTrdrJNrr 10
12
01
21 definimossi
El punto crucial radica en el siguiente cambio de variables: rx ln lny obteniéndose la siguiente expresión,
ydeJeeTe
yx
yxyx
yf
yxa
defunción
12
deunción
. ¡Tiene la forma de una integral de convolución!
PARÉNTESIS: Revisión breve de la convolución
dthets Integral de convolución
notación: thtets
Propiedad conmutativa: dtehtstethts
Convolución en forma gráfica
24
Con datos discretos, jiji hes . Se sigue el mismo procedimiento que para funciones continuas, pero en vez del área bajo la curva es la suma de productos. Obviamente, los datos deben de estar muestreados en las mismas abscisas.
dyyxhyTxa
xhxTxa filtro,entrada,salida hTa
En esta convolución yx , son “distancias” porque ,1lnlnln,ln 1 yrx tiene unidades del inverso de una distancia. En la literatura se pueden encontrar los coeficientes del filtro para realizar la convolución. 4. El problema de equivalencia En medios estratificados los conceptos de conductancia longitudinal y resistencia transversal son comunes (más detalles de este tema en el Orellana). Consideremos un corte geoeléctrico compuesto de n capas. La resistencia transversal y conductancia longitudinal de la iésima capa están definidas por: iii RE Resistencia transversal 2m
iiii
i SEE
Conductancia longitudinal, en S (siemens)
y las acumuladas aciSyac
iR son la suma de todas las resistencias y conductancias de todas las capas hasta la base de la capa i. Principio de Equivalencia en la resistencia Consideremos la iesima capa de un corte arbitrario. La T y S en la base de esta capa son
iiaci
aci ERR 1 ,
i
iaci
aci
ESS
1
Analicemos ahora qué pasa si modificamos el espesor y resistividad de la capa por 1,, aaaEE iiii
acii
iaci
aci Ra
aERR 1 la ac
iR no cambia respecto a aciR
25
211 aSS
aa
ESS iac
ii
iaci
aci
, aciS sí cambia, pero si ac
ii SS 1 el cambio será pequeño
Por ejemplo,
20,05.0,1,1 2211 RSRS 212212 ERR acac
05.12212 ESS acac Si modificamos la segunda capa con 100205,2.051,5 22 Ea
211002.012 acac RR 002.11002.012 acac SS
Se puede demostrar que si realizamos un sondeo sobre este modelo las curvas de a de los dos modelos serán muy similares. Entonces, la equivalencia en T ocurre cuando la S de una capa es mucho menor que la S total de las capas suprayacentes, es decir, ocurre con capas delgadas y resistivas. Una consecuencia práctica es que para una capa delgada y resistiva no se pueden resolver independientemente su espesor y resistividad, sino únicamente su producto (su resistencia transversal). Analicemos ahora lo que sucede si manejamos exactamente la misma segunda capa, pero cambiamos la capa suprayacente
05.0201,05.0,5 211 SSR
Este corte ya no sufrirá del problema de equivalencia en R porque 2S ya no es menor que acS1 .
Principio de Equivalencia en la conductancia Ocurre con capas delgadas y conductoras, cuando ac
ii RR 1 . Podemos pasar a un corte equivalente con 1,, bbbEE iiii , tal que su curva de resistividad aparente va ser casi igual a la original,
211 bRR
bbERR iac
iiiac
iac
i ac
iR varía poco respecto a aciR 1 si ac
ii RR 1
26
aci
i
iaci
aci S
bbESS 1 la ac
iS no varía
Ejemplo.
acRRSRSR 122211 10,1.0,1,1
Cambiando la segunda capa con 025.041.0,25.041,4 22 Eb 11025.025.0100625.1025.025.01 22 acac SR Consecuencia práctica: en una capa delgada y conductora, su espesor y resistividad no se pueden resolver independientemente, sino solo su conductancia iiE . Esto ocurre siempre que su R sea mucho menor que la suma de Rs de las capas suprayacentes. 5. Interpretación El proceso de interpretación de datos de resistividad aparente ra se puede dividir en dos grandes pasos: • Estimación de la distribución espacial x : zyxzxz ,,,,, , es decir, en una distribución 1-D, 2-D o 3-D. • Significado geológico de x La estimación de x tiene sus dificultades por la complejidad de las relaciones matemáticas implícitas en la física del método y la no-unicidad práctica. En teoría sí hay unicidad en el método de resistividad, es decir, para una x dada, hay una, y solo una, respuesta de ra . Sin embargo, en la práctica hay no-unicidad debido a la limitada exactitud y precisión de los datos, es decir, para una ra dada existe toda una variedad de modelos cuyas respuestas ajustan los datos. Fuentes de error: modelo no adecuado, heterogeneidades laterales, problemas electrónicos, distancias no exactas, problemas de equivalencia y supresión, etc. 5.1 Métodos gráficos de superposición
27
Antiguamente las curvas de resistividad aparente observadas en el campo se comparaban con una serie de curvas patrón. Actualmente este método ya no se usa. Sin embargo, lo veremos brevemente pues hay varios aspectos útiles. Hay varios catálogos de curvas patrón (Orellana y Mooney, 1966; Rijwaterstaat; CGG). Por ejemplo, el catálogo de Orellana y Mooney tiene 24 curvas de 2 capas, 900 de 3 capas y 470 de 4 capas. • DOS CAPAS
Siempre se presentan en escalas log-log En aperturas electródicas pequeñas las curvas son asintóticas a 1 En aperturas electródicas grandes las curvas son asintóticas a 2 Las curvas de cortes recíprocos no son simétricas respecto al eje 1 a . Por ejemplo, la curva de 52 no es una versión simétrica de la curva de 2.02
Curvas patrón de 2 capas de Orellana y Mooney para el arreglo Schlumberger Ll
28
29
• TRES CAPAS. Hay cuatro tipos de cortes. 321321321321 ,,, AQKH Tipo H. 321 La curva no siempre muestra un mínimo Ejemplo. Todos los modelos con 1,1 11 E . Las curvas a y b no desarrollan un mínimo
Tipo K. 321 No siempre desarrollan un máximo Ejemplo. Todos con 1,1 11 E
0,5.1,2.0 322 Ea 5.2,5,1 322 Eb
0,10,3.0 322 Ec 0,10,25 322 Ed
En a y b no se observa el máximo
30
Tipo Q 321 y tipo A 321 . Carecen de máximos y mínimos. En ocasiones pueden parecer de dos capas. Con o sin inflexión visible. Metodología para 2 capas La multiplicación de todos los espesores y/o resistividades por una constante produce en las curvas solo un desplazamiento en los ejes sin cambio en la forma de la curva. 1 Curva de campo en papel transparente (de mismo módulo que 2) 2 Curva patrón de 2 capas 1 sobre 2, ajuste con mejor curva manteniendo el paralelismo entre ejes. Sobre 1 se marca la cruz, que corresponde al origen (1,1) de
2. Se anota la 2
1
2
de la curva de mejor ajuste, o alternativamente, se traza en 1 la “marca de resistividad” (MR).
11 y E se leen directamente de la cruz en 1.
1
2
1
22
, o alternativamente, 2 se obtiene directamente de la MR en 1
31
m250,m40,m5.2 211 E
La metodología para la interpretación a modelos de tres capas es conceptualmente similar, pero no la veremos. 5.2 Inversión linealizada por mínimos cuadrados El fenómeno del flujo de corriente DC es no lineal respecto a la resistividad del subsuelo, es decir, la respuesta de a en la superficie es no lineal respecto a los parámetros del modelo, ya sea éste 1-D, 2-D o 3-D. Por ejemplo, para el caso 1-D, si aumentamos la resistividad de una capa al doble o el espesor al doble, la a no aumenta al doble. Supongamos que tenemos N datos TNddd ,,, 21 d , id es la a en la iésima apertura electródica 2AB .
32
Hacemos la suposición que estos datos están producidos por una idealización de la variación espacial de la resistividad en el subsuelo o modelo (en nuestro caso, una Tierra 1-D). La respuesta calculada en la superficie la podemos expresar como 1,,1,,,, 21 NispppFc iMi donde Mjp j ,,1 son los parámetros (incógnitas) del modelo (en nuestro caso, las resistividades y espesores de las capas),
is es un parámetro del sistema de medición (la apertura electródica, que conocemos) y F es un funcional, es la solución del problema directo (por ejemplo, el programa en 1-D del cálculo de la ρa de una Tierra estratificada). El proceso de inversión consiste en encontrar el vector de parámetros TMppp ,,, 21 p que minimice la diferencia entre los datos observados di y los datos predichos del modelo ci, de acuerdo con un criterio. Un criterio muy usado es el de mínimos cuadrados
Minimizar
N
iii cdE
1
2
Puesto que ic es no-lineal respecto a los parámetros del modelo, no podemos usar la técnica estándar de mínimos cuadrados, por loque se linealiza el funcional usando la expansión en Serie de Taylor.
00
2
22
00 !2xxxx x
xfdxxxfdxxfxxfxf
Consideremos por el momento que el vector p tiene un solo parámetro. Hagamos una expansión en serie de Taylor de pci
respecto a un valor 0p , donde este op es un valor del parámetro que nosotros proponemos como bueno, conocido como modelo inicial,
Mi
ppcp
ppcppcppc
opp
i
pp
iioi ,,2,1
!2 2
22
0
0
Suponiendo que oppp 1 es pequeño, podemos despreciar los términos de segundo grado y mayores, resultando:
0
001pp
iiii p
pcppcppcpc
Generalizando esta expresión para nuestro caso de M parámetros:
33
001
00
1
00
101
NpN
iN
p
iii p
cpp
cpcc
pp
pppp
y en general, para la iteración k+1:
Mip
cpcckj
ki
N
j
kj
ki
ki ,,2,1
1
1
pp
ppp
donde kkk ppp 1 Nótese que 1k
ic p depende en forma lineal de kjp , es decir, se ha linealizado el problema.
Las derivadas kjk
i pcpp
p
se pueden calcular ya sea analíticamente (obteniendo expresiones analíticas de la derivada de la
resistividad aparente con respecto a cada uno de los parámetros) o aproximando la derivada con diferencias finitas:
x
xfxxfxxf
x
11
1
.
Estas derivadas forman los elementos de la matriz de derivadas J , conocida también como matriz de Jacobianos o de sensibilidad, debido a que si un elemento jiJ de la matriz tiene un valor grande quiere decir que un pequeño cambio en el parámetro
jp produce un cambio fuerte en el valor de ic , es decir, que ic es sensible a jp . Lo contrario ocurre si jiJ es pequeño. Sustituyendo en el error cuadrático medio:
2
1 1
N
i j
ki
M
j
kj
kii
kpc
pcdEpp
pp
Para minimizar E se deriva con respecto a cada parámetro, igualándose a cero cada ecuación, resultando, en notación matricial:
2pJJcdJ
TT
cuya solución es: 31
TT JJJp
34
Entonces, el proceso iterativo de inversión linealizada es el siguiente: 1) Se define el modelo inicial, 0p . Hay la opción de dejar uno o más parámetros fijos. 2) Se define el vector c calculando la anomalía en todos los puntos de observación i=1,2,…,N. Usando d, se construye el vector de residuales ε=d-c . 3) Se construye la matriz de sensibilidad J, de dimensiones NxM 4) Usando (3), se resuelve para Δp 5) Puesto que Δp=pnuevo-pviejo , se actualiza el vector p con pnuevo= pviejo+ Δp
6) Se calcula c con el pnuevo y se compara con d. Si el error medio cuadrático NcdN
iii
1
2 es menor que un valor
predeterminado, se termina el proceso y el modelo final es pnuevo. Si no, se vuelven a hacer los pasos 2) a 6). La solución dada por (3) está basada en que el inverso de JJT existe. Para que esto se cumpla la matriz debe ser no-singular, es decir, su determinante debe ser 0 . La matriz J es:
M
N
M
M
NN
pc
pcpc
pc
pcpc
pc
pcpc
2
1
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
J
La matriz puede ser casi singular (estar mal condicionada) cuando: Al menos dos columnas de J tienen casi el mismo valor. Por ejemplo, si tenemos 3 datos y 2 parámetros:
98.203.201.1
321
J , el determinante de JJT es 0.0195, cercano a cero.
Esto ocurre cuando las AB/2 de los tres datos están muy pegadas, es decir, se trata de información redundante. Una o varias columnas de J son casi cero, lo cual ocurre cuando hay parámetros no importantes o irrelevantes, como puede ser una capa muy profunda.
35
Un renglón de J es múltiple de otro renglón, lo que ocurre en caso de equivalencia de capas delgadas conductoras, tal que los parámetros de esta capa no se pueden resolver individualmente. Para reducir estos problemas se usan métodos de regularización para mejorar la convergencia y estabilizar el problema. Uno de ellos es el conocido Descomposición en Valores Singulares (SVD). Consiste en descomponer J como:
MM
TMM
MNMN
VSUJ donde S es una matriz diagonal cuyos elementos sj son las raíces cuadradas de los eigenvalores de JJT , y las
matrices U y V son ortonormales: MMT
MMT
IVVIUU , A los valores pequeños de S, asociados con los parámetros no-importantes, se les da poca ponderación en la inversión. La solución está dada por TUSVp con jj ss 1 El uso de SVD no solo es útil como regularización de la inversión, sino también como una herramienta para evaluar la resolución de los parámetros invertidos, pues en general, va a existir correlación entre parámetros. No solo es importante encontrar un modelo que ajuste los datos, es igualmente importante evaluar la resolución de los parámetros del modelo. En la inversión es práctica común reescalar los elementos de J al dividirlos entre la desviación estándar del dato (σi) y multiplicarlos
por el parámetro pj, tal que j
i
ij
i
i
jji p
cpcp
Jln
1
. Esto tiene varios propósitos: a) el elemento de J ya es adimensional, tal
que se pueden comparar sensibilidades de resistividades con sensibilidades de espesores, b) si un dato tiene una incertidumbre grande, el correspondiente elemento del Jacobiano no tendrá mucho peso en la inversión, c) al tener los logaritmos de los parámetros en vez de los parámetros, se evita que en la inversión se obtengan valores negativos de la resistividad o espesor de una capa, lo cual no tendría sentido, d) permite identificar la presencia de equivalencia, como se verá en el siguiente ejemplo. Ejemplos de evaluación de la resolución de modelos (Flores y Velasco, 1998). Se consideran 7 valores de a de un modelo de 3 capas con la segunda capa delgada y conductora. A estos datos sintéticos se les asignó un error de 10 %
36
La línea continua es la respuesta del modelo. Modelo Se indican las incertidumbres estimadas de los 5 parámetros
Representación gráfica de la correlación entre parámetros El tamaño de los círculos es proporcional a la magnitud de los coeficientes de la matriz transpuesta de eigenparámetros (matriz de 5x5 porque el modelo tiene 5 parámetros. Los valores negativos con línea interrumpida. La última columna es el inverso del eigenvalor, que se considera como el error o incertidumbre de cada combinación de parámetros. Por ejemplo, el segundo renglón es 32211 ln37.0ln54.0ln49.0ln45.0ln35.0 ddtddtd Esta combinación de los logaritmos de los parámetros tiene a 22 lnyln t como los que más contribuyen. Estos coeficientes (-0.49 y 0.54) tienen aproximadamente la misma magnitud pero son de signos opuestos. Si despreciamos los otros coeficientes, esta combinación la podemos aproximar como 2222 ln52.0ln54.0ln49.0 tddtd , que
37
físicamente significa que el producto del espesor por la conductividad (conductancia S) de la segunda capa está razonablemente bien resuelta porque el error de esta combinación es relativamente bajo (8.2 %). En contraste, el quinto renglón es 32211 ln02.0ln67.0ln74.0ln0004.0ln04.0 ddtddtd , que es aproximadamente 2222 ln7.0ln67.0ln74.0 tddtd , lo que significa que el producto de espesor por resistividad (resistencia T) de la segunda capa está muy mal resuelto por que su error asociado es de 680 %. Usando la información contenida en la matriz de eigenparámetros es posible estimar el error en cada parámetro.
Para el caso de tres capas, estos son los errores estimados. Como era de esperarse, los parámetros de la segunda capa son los de mayor error por el problema de equivalencia.
38
A continuación se muestra un análisis similar, pero ahora con datos reales de un SEV en la zona geotérmica de Tres Vírgenes, Baja California Sur (de Flores y Velasco, 1998).
SEV Schlumberger levantado por CFE. 17 a con AB/2 desde 20m hasta 3 km. De los 62 SEVs levantados éste es uno de los de mejor calidad. Por claridad, los datos originales se muestran desplazados una década hacia arriba. Modelo invertido de 4 capas, con un buen ajuste de 4.5 %. Enfocándonos a la tercera capa, la matriz de eigenparámetros indica que su conductancia (2do renglón) está bien resuelta pero que su resistencia (7mo renglón) es la combinación de parámetros peor resuelta, por lo que no es posible separar la resistividad del espesor de la tercera capa. Esto se ve reflejado en la estimación de los errores de los parámetros.
39
5.3 Método de inversión Occam o inversión suave • Occam es un término genérico aplicado a los métodos de inversión que incorporan suavidad en la variación espacial de . • William de Occam, monje del siglo XIV escribió: “Es inútil hacer con más de lo que se puede hacer con menos”. En la ciencia moderna el término navaja de Occam es sinónimo de simplicidad, es decir, que las hipótesis no deben de ser innecesariamente complicadas. • El modelado o inversión con capas horizontales es muy popular. En estos modelos se está suponiendo que la no varía con la profundidad excepto en las interfases entre capas donde tiene una discontinuidad. Esta idealización de la variación de z en muchos casos puede no ser cierta. Además, en ocasiones el modelo final refleja más las ideas preconcebidas del intérprete que la información que contienen los datos del sondeo, especialmente cuando el número de capas es grande. • A través de una variación suave de z los modelos Occam reflejan solo la información que traen los datos pues no dependen de que el intérprete defina el número de capas ni el modelo inicial. Suprimen la complejidad no necesaria en los modelos de capas incorporando el concepto de suavidad. El objetivo de la inversión es encontrar un modelo que tenga el mejor ajuste posible con los datos pero que a su vez sea lo más suave posible (que tenga una mínima rugosidad). La función U, definida simbólicamente por
rugosidadajuste1
U
es la que se trata de minimizar; representa un compromiso entre el ajuste a los datos y la rugosidad del modelo. Si μ es un valor grande se le da poca importancia al ajuste y mayor importancia a minimizar la rugosidad, es decir, el modelo será muy suave pero el ajuste no será bueno. Al contrario, si μ es un valor muy pequeño, el ajuste será muy bueno pero a costa de un modelo rugoso.
40
Ejemplo de Constable et al (1987)
Datos de un SEV Schlumberger en la localidad de Wauchope (Australia). AB/2 desde 40m hasta casi 100 km! Respuestas calculadas de tres modelos Occam con tres diferentes errores de ajuste. Los ajustes son muy parecidos.
Los tres modelos suaves que corresponden a las respuestas de la figura anterior. Nótese que una mejora marginal en el ajuste requiere un aumento sustancial en la rugosidad del modelo.
41
También se muestra el modelo “bilayer” , que es todo lo opuesto a un modelo suave. Las resistividades de este modelo exceden el rango usado en la gráfica. Este modelo ajusta los datos con un rms de 0.75. Toda la estructura está contenida en los 10 primeros metros!
Dos modelos que ajustan los datos con la misma calidad (rms de 1.0). El modelo tipo Marquardt no tiene la condición de suavidad incorporada. El modelo suave es de segunda derivada. El mismo semiespacio homogéneo se usó como modelo inicial en las dos inversiones. El conductor de aproximadamente 1 ohmm en la profundidad de 10 km realmente existe o solamente hay una disminución gradual de la resistividad en esa profundidad ?
42
SEV Schlumberger en el Valle de Guadalupe, Baja California (de López Moya, 1994). AB/2 desde 3 m hasta 250 m. Símbolos: resistividad aparente con barra de error Línea continua: respuesta de a del modelo respectivo. Nótese que en una misma gráfica se presentan a vs. AB/2 y el modelo invertido de vs. z Este ejemplo ilustra una práctica comúnmente adoptada en modelos Occam, que es la búsqueda de un equilibrio entre calidad del ajuste (error rms) y la rugosidad del modelo. Evolución del ajuste y la rugosidad desde una hasta nueve iteraciones del programa de inversión Occam. En muchas ocasiones se forma una curva en forma de L. Para que haya un compromiso entre estas dos variables, la solución aconsejada se busca que esté cerca del vértice de la L. El modelo Occam preferido podría haber sido el modelo final de este sondeo. Sin embargo, en esta zona se necesitaba saber la profundidad al basamento granítico. El modelo Occam es ambiguo pues la presencia del sustrato resistivo muestra un cambio gradual. Para resolver este problema, el modelo Occam se usó para definir un modelo inicial de 4 capas, definiendo las interfases donde se presentan los brincos más fuertes en la resistividad.
43
Se muestra el mejor modelo de 4 capas. Las barras de error indican las incertidumbres en las resistividades y profundidades del modelo. Barras de error con una flecha en uno de sus extremos indican que su límite cae fuera del área graficada. El error de ajuste es parecido al obtenido con Occam. En esta inversión los 7 parámetros del modelo se incluyeron en la optimización. Nótese que existe un intenso problema de equivalencia en la conductancia de la tercera capa. Es claro que el sustrato
es resistivo, pero el valor de su resistividad es incierto. Esto se debe a que en las AB/2 grandes todavía está ascendiendo la curva. Aproximadamente a 70m de este SEV hay un pozo que encontró el basamento granítico en 53m y el nivel freático en 16m de profundidad. Suponiendo que bajo el SEV el sustrato resistivo se encuentra a la misma profundidad, se volvieron a invertir los datos a un modelo de 4 capas pero ahora manteniendo fija la profundidad a la base de la tercera capa. En este modelo constreñido las incertidumbres de los parámetros disminuyen notablemente. Nótese que la concordancia entre la profundidad al nivel freático y la profundidad a la segunda capa no es buena. Esta concordancia puede mejorarse pero el ajuste se deteriora.
44
IV. ASPECTOS PRÁCTICOS DEL LEVANTAMIENTO DE DATOS
Resistencia de contacto. Consideremos un electrodo puntual en la superficie de un semiespacio homogéneo. Los potenciales en las distancias 21 y rr son
2
21
11
2,1
2 rIV
rIV
La resistencia del cascarón semiesférico con radio interno 1r y radio externo 2r es
21221
12
21
21
2,si
211
2 rrdRrdrr
rrrr
rrIVVR
La corriente va atravesando cascarones semiesféricos cuyas resistencias disminuyen con el cuadrado de sus radios. Entonces, la mayor parte de la resistencia está concentrada cerca de los electrodos. Para evitar la singularidad que ocurre en r=0 de un electrodo puntual, consideremos un electrodo esférico de acero m10 8 de 3 cm de radio. La resistencia de este electrodo es 8
1 103.52 rR , el cual es un valor despreciable. Si el electrodo está en un semiespacio de m100 , la resistencia total que presenta el semiespacio es
53103.026.6
1002
122 0
200
rrrrd
rr
La resistencia de 3 a 10 cm es 371 Ω y de 10 a 20 cm es 80 Ω. Entonces, el cascarón semiesférico que comprende los primeros 10 cm contribuye ~ 70 % de la resistencia total. De este análisis se deduce que las resistencias de contacto son las que más influyen en la magnitud de la corriente inyectada. Remedios para reducir las resistencias de contacto: clavar más profundo los electrodos; regarlos con agua salada; usar varioselectrodos.
45
Fuente. Baterías o generador. Con baterías, voltajes de salida de 200 a 500 V. Con generador, potencias de hasta 10 kW. Usados para aperturas AB/2 grandes. La caja debe de estar aislada del terreno. Electrodos. Barrenas de acero. En roca dura se pueden usar hojas de aluminio o estaño. Hay que tener cuidado con las fugas (peladuras del aislante del cable) pues pueden producir errores significativos. Seguridad. Comunicación entre operador y varilleros. Forma de la corriente. La mayoría de los equipos no usan una corriente dc, sino una bipolar para reducir la polarización de electrodos.
Se trata de medir el potencial en la parte final de cada ciclo para evitar el fenómeno de polarización inducida (PI). Generalmente se hace apilamiento. La frecuencia de repetición debe ser baja para evitar la aparición de inducción electromagnética.
Polarización de electrodos Puede ser una fuente de error significativa en V . Si los electrodos M y N son metálicos, se comportan como los elementos de una pila al estar en contacto con los electrolitos del subsuelo. Si la concentración y naturaleza de los electrolitos alrededor de los electrodos fuera igual, las fem serían iguales y se anularían, lo cual pocas veces ocurre. Los electrodos impolarizables reducen este efecto. Tazas porosas en su base con una solución sobresaturada de sulfato de cobre (CuSO4), con varillas de cobre. Las soluciones en las dos tazas deben de tener la misma concentración. Hay otras fuentes de ruido en el potencial. Diferencias de potencial debidas a corrientes telúricas que son producidas por inducción electromagnética de ondas electromagnéticas originadas en la ionósfera. Las usa el método magnetotelúrico. Varían con el tiempo y contienen muchas frecuencias. Pueden ser notables cuando la distancia MN es grande. Hay otros potenciales (de filtración, de difusión, asociados a cuerpos de sulfuros, etc) a los que colectivamente se les conoce como potencial espontáneo o autopotencial,
I
t
46
además de los de origen antropogénico. Casi todos los equipos tienen un circuito de compensación que cancela el potencial espontáneo que casi no varía en el tiempo. Especificaciones del Bison 2390. Potencia hasta de 50 W. Voltaje de salida: de 0 a 500 V. Corriente en 4 intervalos: 10 mA, 20 mA, 50 mA y 100 mA. De baterías. Voltajes en 4 rangos: 0-2 mV, 0-20 mV, 0-200 mV y 0-2000 mV.
Corriente conmutada. Frecuencias: 0.1, 0.2, 0.33, 0.5, 1, 2, 3.3 y 5 Hz Períodos: 10, 5, 3, 2, 1, 0.5, 0.3 y 0.2 segundos Tx y Rx se sincronizan antes de empezar el levantamiento. Con circuito de compensación. Lecturas promediadas cada 10 ciclos completos. Con apilamiento.
Especificaciones del Topo I. Potencia hasta 200 W. Voltaje máximo de salida 200 V, corriente máxima de 1 A. Impedancia de entrada del voltímetro 4 MΩ.
Corriente dc. Con apilamiento Se mide durante 3 s, 64 mediciones apiladas
I
t
I
t
47
Aperturas electródicas Las aperturas AB/2 de Schlumberger deben de estar aproximadamente equiespaciadas en escala logarítmica. La secuencia de aperturas puede ser geométrica, ,5.1,2,25.11constanteunaes22 1 ffABfAB ii etc.
Por ejemplo, si ,3.11,8,66.5,4,83.2,2,41.1,12,2 ABf o logarítmica, ,3.0,2.0,1.0102log2log 1 gggABAB ii
o alternativamente, gABi
iAB 12log102 Por ejemplo, si ,9.15,3.11,.10,94.7,31.6,01.5,98.3,16.3,51.2,2,59.1,26.1,12,1.0 ABg , es decir, 10 puntos por década. Empalme Con el arreglo Schlumberger consideremos que para la primera separación MN se hacen mediciones con 6 aperturas crecientes de AB/2. La V medida decrece gradualmente. Supongamos que en la sexta apertura de AB/2 la V ya es demasiado pequeña. Es
necesario regresar a la apertura anterior y realizar una medición adicional con una MN mayor. De esta forma se tienen dos a con la misma AB/2. A esto se le conoce como empalme. A aperturas mayores habrá necesidad de hacer otro empalme y así sucesivamente, tal que la curva final de campo estará formada por varios segmentos. Con el fin de tener mayor control sobre la calidad de los datos es recomendable tener dos o más puntos en cada empalme.
48
Corrección por empalme En un subsuelo perfectamente estratificado las a en cada uno de los empalmes deben de ser iguales. Esto raramente sucede en la práctica. Las discrepancias se deben a heterogeneidades conductoras o resistivas cerca de uno o ambos electrodos de potencial. Para visualizar este efecto consideremos un campo eléctrico uniforme en la vecindad de una pequeña heterogeneidad conductora, la que aproximamos como un dipolo de corriente. El potencial medido en el electrodo es diferente al normal y va a depender de la posición del electrodo respecto a la heterogeneidad. Para una heterogeneidad resistiva se observa lo contrario. Estas heterogeneidades también afectan a los electrodos de corriente. El objetivo de la corrección es, a partir de varios segmentos, obtener una curva continua. El procedimiento está basado en el desplazamiento vertical de los segmentos en la gráfica log-log de a contra AB/2. Algunos geofísicos prefieren fijar el segmento de la MN más corta y mover todos los demás segmentos, mientras que otros prefieren fijar el último segmento. Yo considero que noexiste un argumento físico convincente que favorezca a alguna de estas dos estrategias de corrección.
49
Supongamos que se tiene un sondeo compuesto de 5 segmentos. Yo prefiero construir 5 curvas continuas fijando en cada una de ellas uno de los 5 segmentos, tal que en cada AB/2 tengo 5 estimaciones de la a , las promedio en escala logarítmica y obtengo su desviación standard. De esta forma no se está prefiriendo ningún segmento libre de perturbación, además que obtengo una estimación del error en cada a , lo cual me sirve en la inversión. Schlumberger vs. Wenner Desde el punto de vista logístico, Schlumberger es mejor pues se tienen que mover menos electrodos en un sondeo dado. Pero la ventaja más notable radica en que con Wenner no se puede hacer la corrección por empalme pues en cada medición se mueven los cuatro electrodos.
50
V. SUBSUELO 2-D Y 3-D
1. Contacto vertical. Es el modelo más sencillo de una distribución bi-dimensional de resistividades.
Método de imágenes Consideremos un arreglo polo-polo con el electrodo de corriente A fijo. Si no hubiera medio 2:
xe
xI
VM 1
21
emisividad
2
1 Ie
Si el electrodo M está en el medio 1 el efecto del medio 2 se puede sustituir introduciendo una imagen A´ simétrica a A respecto al contacto, con emisividad e´:
00
1 2xx
xxe
xeV
Si M está en el medio 2, el electrodo A tendrá una emisividad e´´: 02 xxxeV
Las emisividades se determinan aplicando las condiciones de frontera del potencial y de la componente normal de la densidad de corriente:
eeexe
xe
xeVV
xxxx
,;
00021
00
eeexe
xe
xe
xV
xVJJ
xxxxxxxxxx
12202
20
201
2
2
1
121
1111;00
00
Resolviendo estas dos ecuaciones para e y e :
eKeeeKee1
2
12
2
12
12 12;
Sustituyendo éstas dos en los potenciales,
00
11 2
12
xxxx
Kx
IV
0
22
12
xxxKIV
51
• Veamos ahora la a de un arreglo sencillo: A fijo, MN pequeño y móvil (arreglo de gradiente con semi-Schlumberger). Si MN pequeño, IExEMNV ax
22,
Por intuición pensaríamos que la curva de resistividad aparente tendría una forma como ésta.
Usando
2
222
02
111
12
,2
12
,,x
KIExx
Kx
Ix
VExVEVE x
02
0
2
11 21 xx
xxxK
a
0
12
2122
21 xxKa
El comportamiento de la a es diferente al intuitivo Cuando 1,0 ax , pero cuando 0xx por la izquierda, la a disminuye. En el medio 2 la a es una constante 2 .
52
Si ahora, con el mismo arreglo semi-Schlumberger, mantenemos fija la distancia entre A y el centro MN (x=L) y movemos 0x(calicata semi-Schlumberger), la curva de resistividad aparente es aún más complicada, con dos discontinuidades.
Solución analítica Se usa un procedimiento similar al empleado para encontrar el potencial de una fuente puntual de corriente en una tierra estratificada.
Sistema de coordenadas cilíndricas con origen en A
2122,0 zyr
Laplace: 012
2
2
2
xV
rV
rrV ;, Separación de variables:
xXrRxrV , ,
Ecuaciones diferenciales: XxdXdR
rdRd
rrdRd 2
2
22
2
12
, con
soluciones xXRJR exp,0
La combinación lineal también es solución:
0 00 0 expexp drJxBdrJxAV
53
Solución particular:
2exp 1
21220 0
Iq
xr
qdrJxq
0 0111 expexpexp drJxBxAxqV
0 0222 expexp drJxBxAV
Los coeficientes A y B se obtienen aplicando las condiciones de frontera: Si 0,;0, 21 VxVx , continuidad de V en x=d y continuidad de la componente normal de J en x=d , obteniéndose,
0 01 2expexp drJxdKxqV
0 02 exp1 drJxKqV
Aplicando la integral de Weber-Lipschitz y haciendo r=0 (punto sobre la superficie),
21
222122
12
1
rxd
K
rxqV
xdK
xI
21
21
2122
21
rx
KqV xKI 1
21
Nótese que 12
12
12
121211
21
K es igual a
12
12
12
121222
21
K
Entonces, estos potenciales son iguales a los obtenidos por imágenes. 2. Dique vertical
Las soluciones para el potencial están dadas como sumas infinitas de imágenes:
electrodo M en el medio 1:
1
1221
1 221
21
2 n
n
xEndKK
xdK
xI
V
54
M en medio 2:
0 1
1221
2 2221
2 n n
nn
xEndK
xEnKK
IV
M en medio 3:
0
221
3 21
2 n
n
xEnKKIV
Aunque en principio estas expresiones se pueden construir con el manejo “manual” de imágenes, para este modelo este camino es difícil, pues la fuente puntual A se refleja en dos contactos, y a su vez cada imagen se vuelve a reflejar en los mismos contactos. Es más fácil obtenerlas con la solución analítica; hay 6 constantes por determinar, evaluadas con 6 condiciones a la frontera. 3. Efecto topográfico Consideremos un semiespacio homogéneo con relieve topográfico y un campo eléctrico uniforme, que podría estar producido por un arreglo de gradiente
El campo eléctrico cerca de la superficie con relieve es paralelo a la topografía, así como las líneas de corriente. Las líneas de corriente se separan en el cerro y se juntan en el valle. Las líneas equipotenciales son normales a las líneas de corriente y son normales a la superficie del terreno. Entonces, las superficies equipotenciales están más separadas en el cerro y más juntas en el valle.
Punto 1. Punto alejado de los rasgos topográficos. V es ¨normal¨ y, por lo tanto, la a es normal. Punto 2. En el cerro. La V medida es menor que la normal, normalaa
55
Punto 3. En el valle. La V medida es mayor que la normal, normalaa Estas características no son universales, sino que dependen del arreglo. Por ejemplo, en el arreglo dipolo-dipolo se obtienen relaciones opuestas: bajo topo-baja a , alto topo-alta a . Hay dos estrategias de modelado para considerar el efecto del relieve: incluir el relieve en el modelado y/o inversión 2-D o 3-D, o calcular las a de un semiespacio homogéneo pero con relieve y “corregir” las obs
a con topoconcalcatopocorr obs
aobsa . Este último
método es una aproximación al problema pues el relieve puede estar acoplado con la heterogeneidades en el subsuelo. 4. Soluciones numéricas Estas soluciones se pueden dividir en dos. En los métodos de diferencias finitas y elemento finito todo el subsuelo se discretiza en una malla irregular donde cada celda puede tener una resistividad diferente; aún cuando nada más se requiere conocer el voltaje en los puntos donde están los electrodos de potencial, se necesitan calcular todos los voltajes en los nodos de la malla. Estos métodos son usados en la interpretación de datos reales. En el método de ecuación integral solo se discretizan el o los cuerpos anómalos, el medio huésped puede ser homogéneo o estratificado. 3-D con diferencias finitas Descrito en Dey y Morrison, (1979). Basado en la ecuación de Poisson:
zyxtq
J q es densidad volumétrica de carga, x es la función delta de Dirac,
0001
xx
x
Para una fuente puntual de corriente en sss zyx ,, y un medio 3-D:
sss
vI
zzyyxxtqzyxVzyx
,,,, v es un elemento de volumen, I es la corriente en Amp.
Esta ecuación es la que se resuelve para el potencial zyxV ,, discretizando todo el semiespacio y aplicando condiciones de frontera a las 6 fronteras del dominio
56
nodos en Lix ,,2,1: nodos en Mjy ,,2,1: nodos en Nkz ,,2,1: La separación entre nodos no tiene que ser uniforme. Para simular las fronteras zyx ,, , conforme uno se acerca a las fronteras, los tamaños de las celdas se van aumentando gradualmente. La σ puede tener un valor diferente en cada celda.
Una celda de kji ,, Si la celda tiene una fuente de corriente, integrando la ecuación de arriba,
ssskjisksjsiv kji
kjiv
zyxIdzdydxzzyyxxvIdzdydxzyxVzyx
kjikji
,,,,,,,,,, ,,
Aplicando el teorema de la divergencia:
dSnVdvV
kjikji sv
,,,,
S es la superficie que encierra al volumen, n es la normal hacia afuera de cada una de las caras
del volumen
i,j,k
i,j,k
i+1,j,k i+1,j+1,k
i+1,j+1,k+1
i,j+1,k+1i,j,k+1
57
sssijkS
zyxIdSn
zyxVzyxkji
,,,,,,,,
La superficie del “ cubo” que encierra al nodo i,j,k está compuesta por 6 caras, por lo que la integral de superficie se divide en 6. La derivada nV se aproxima con diferencias centrales y se integra la expresión, resultando:
4444 ,1,1
,1,11
1,1,11
1,1,11
,,,1,,,,,
,,
ikkji
ikkji
ikkji
ikkji
j
kjikjiijk
kji
Skji
xzxzxzxzy
VVdS
nV
kji
5 términos
similares En esta expresión el potencial en el nodo i,j,k está relacionado con el potencial en los 6 nodos vecinos. Hay una expresión similar para cada nodo. Esta expresión se puede poner en notación matricial como: SVC a resolverse para V en cada uno de los nodos. C es una matriz de dimensiones LMN x LMN (gigantesca!). En el caso supersencillo de L=M=N=10, es una matriz de 1000x1000! Esta matriz depende solo de la geometría de la rejilla y de las conductividades. Es una matriz simétrica pero esparsa (con muchos ceros), diagonalmente dominante y bandeada (solo con 6 codiagonales ≠0) V es el vector incógnita de dimensiones LMNx1, con los potenciales de cada nodo. S es el vector de fuentes, de LMNx1. Es cero en todos los nodos excepto en donde están colocados los electrodos de corriente. Métodos para resolver la ecuación matricial: relajación, Choleski incompleto, etc. No hay problema en construir la matriz C , el chiste está en resolver el sistema.
Conociendo el potencial en los nodos donde están los electrodos de potencial:
NM
BMANBNAM
a VVVIV
rrrr
1111
12
A
B
M
N
rr
rr
AM
BM
ANBN
Vista en planta
58
VI. POLARIZACIÓN INDUCIDA (PI)
Fenómeno típico de PI. Arreglo tetraelectródico. Cuando existe polarización inducida (PI) en el subsuelo, la diferencia de potencial medida entre los electrodos de potencial no aumenta o se apaga instantáneamente cuando la corriente se enciende o apaga, sino que varía con el tiempo asintóticamente a V o a cero, respectivamente. Este fenómeno transitorio puede durar de varios segundos a varios minutos y es diferente al fenómeno de inducción electromagnética, que generalmente tiene constantes de tiempo más pequeñas. ¿Qué es constante de tiempo?. Parámetro que describe un decaimiento exponencial ,exp t constante de tiempo
I
59
en 37.01exp, 1
eett
Se puede decir que PI es un fenómeno que se opone al crecimiento o colapso de V • En principio, PI se podría estudiar indiferentemente en el lapso de encendido T o en el lapso de apagado θ. Por razones instrumentales, es preferible hacerlo cuando no se está inyectando corriente. En 0PI,0 Vt es difícil de medir debido al fuerte gradiente de la curva y a la superposición del voltaje asociado a inducción electromagnética, por lo que generalmente se mide algún aspecto de la curva de descarga un tiempo t después de 0t .
1. El origen de PI La magnitud de tVPI depende de la capacidad de polarización del subsuelo. El fenómeno es análogo a la existencia de una masa rocosa con muchos capacitores pequeños que se cargan gradualmente cuando hay inyección de corriente y se descargan cuando se interrumpe la corriente (esta es solo una analogía, PI no se debe a un fenómeno de capacitancia). El origen son fenómenos electroquímicos complejos. Éstos se deben a la interacción entre las partículas sólidas y las soluciones electrolíticas. Las cargas superficiales de las partículas sólidas inducen en la solución acuosa una concentración de iones de signo opuesto cercana a la superficie. Se forma una doble capa eléctrica en donde los iones prácticamente están inmóviles, creando una barrera más o menos impermeable a los iones que llevan la corriente. Cuando la corriente se apaga se reestablece el equilibrio inicial. Hay dos tipos de PI: Metálica, electrónica o de electrodos Se presenta en la presencia de minerales muy conductores. No es necesario que estos minerales tengan continuidad eléctrica. De hecho, generalmente los minerales diseminados presentan un fuerte efecto de PI. En el caso de partículas de conducción electrónica
60
(sulfuros) se forma una doble capa eléctrica en la interfase partícula-electrolito, en la partícula formada por electrones o protones y en el electrolito formada por iones (aniones o cationes). Durante el flujo de corriente los iones se acumulan cerca de la interfase e impiden el flujo de iones en el electrolito. Al cortar la corriente, los iones regresan lentamente a sus posiciones de equilibrio. No-metálica, electrolítica o de membrana Se presenta cuando no hay partículas conductoras. Generalmente el efecto es de menor intensidad que en el otro tipo de PI. La principal fuente son las partículas de arcilla, aunque no es indispensable que éstas existan para que haya PI. Sus superficies se cargan de aniones, induciendo una capa de cationes en el electrolito. La doble capa forma una membrana que impide el flujo de iones en el electrolito. Es importante notar que PI es un fenómeno de superficie, no de volumen. Únicamente el contacto entre las partículas sólidas y el electrolito es importante. Por otra parte, no existen criterios para identificar, usando solo las mediciones en superficie, el tipo de PI. Solo la magnitud del efecto puede servir para diferenciarlos. Hay dos formas de tomar mediciones de PI: • En el dominio del tiempo, corriente directa (dc) o transitorio • En el dominio de las frecuencias o de corriente alterna (ac) En ambos se inyecta corriente con un par de electrodos de corriente y se mide la diferencia de potencial entre dos electrodos de potencial.
roca
poro
sulfuro
E
PIE
61
2. PI en el dominio del Tiempo La forma de la diferencia de potencial medida es la descrita en la Figura 1. Hay varias formas de medir el efecto de PI:
• Polarizabilidad aparente
VV
P PI 00 de utilidad solo teórica, pues como ya se mencionó, es difícil medir PIV en 0t
• Polarizabilidad aparente V
mVV
VP tPIT
t o%en
. La curva de descarga se mide en un tiempo Vt . se mide al final del lapso
de encendido T. Si T es muy largo, VV
• Cargabilidad aparente o integral normalizada mssV
mVtdVV
Mt
t PIT
tt oen1 2
121 ,
. Se mide el área bajo la curva de descarga
de 21 a tt . • Algunos sistemas miden casi todo el transitorio, es decir, varios puntos de la curva de descarga ,,,
321
Tt
Tt
Tt PPP
Los valores medidos de Ttt
Tt MP
21 ,y van a depender de los lapsos T y θ . Si estos lapsos son muy cortos los valores asintóticos
PIVyV no se habrán alcanzado cuando se apague o encienda la corriente, respectivamente.
3. PI en el dominio de la Frecuencia Para entender cómo es que el efecto de PI depende de la frecuencia, consideremos el Caso 1 donde los lapsos de carga (T) y descarga (θ) son muy grandes, tal que al final de éstos la diferencia de potencial ya alcanzó los niveles V y cero, respectivamente. Caso 1
62
Ahora consideremos el Caso 2, donde los lapsos de carga T’ son pequeños, eliminamos los lapsos de reposo (θ) y cambiamos la polaridad de la corriente inyectada en cada lapso.
Caso 2 Estas modificaciones tienen dos efectos notorios en la diferencia de potencial medida: • El nivel V es menor a V porque no estamos permitiendo que el subsuelo polarizable alcance sus niveles asintóticos. • Hay un defasamiento φ en el voltaje medido debido a los voltajes residuales de lapsos anteriores. Si ahora la corriente inyectada ya no es una onda cuadrada sino una función senoidal de frecuencia F, la diferencia de potencial medida también será un seno de amplitud V , con la misma frecuencia F, pero defasada una fase φ respecto a la fase de la corriente inyectada. Entonces, para un subsuelo polarizable dado, si aumentamos la frecuencia V va a disminuir y a aumentar la fase.
Se puede demostrar que la razón 0
0
VVV f
es comparable a la polarizabilidad
VV
P PI 00
Entonces, la técnica en el dominio de las frecuencias consiste en medir la amplitud V y la fase (respecto a la fase de la corriente) en
dos o más frecuencias. Si la máxima amplitud de la corriente y la geometría del arreglo electródico se mantienen fijos, de IVKa
,
variando la frecuencia de la corriente podemos obtener una resistividad aparente compleja, iaa exp ,
I
I
63
descrita por su amplitud y fase, o alternativamente por sus partes real e imaginaria. A esta forma de medición también se le conoce como el método de Resistividad Compleja o PI Espectral. Hay varias formas de presentar la respuesta de PI en el dominio de las frecuencias: • Efecto de Frecuencia Aparente
Fafa
FafaFfFE
, ó
fa
Fafa
ó Fa
Fafa
en ocasiones se presenta como porcentaje
• Factor Metálico Aparente
faFaFafa
FafaFf AAMF
, el factor A generalmente tiene un valor de 510
• PI espectral Se obtiene ya para varias frecuencias
Mediciones en laboratorio de PI en el dominio de las frecuencias. Las muestras son una mezcla de 7.5% de mineral (magnetita, especularita, galena o pirita) en arena saturada de una solución milinormal de KCl. Las curvas de la mitad inferior son de la amplitud, las de la mitad superior son de la tangente de la fase
64
Cuatro ejemplos de mediciones de campo de PI en el dominio de las frecuencias
4. Influencia de parámetros instrumentales a) Intensidad de la corriente. En levantamientos de campo la diferencia de potencial medida es lineal respecto a la corriente I . Si medimos V al inyectar I , mediremos Va al inyectar Ia . Puesto que las respuestas de PI están divididas, de una u otra forma, entre V , estas respuestas son independientes de la corriente inyectada.
65
b) Tiempo de carga T (dominio del tiempo). MP y dependen de T . Por ejemplo, la polarizabilidad aparente aumenta asintóticamente a
tP conforme T aumenta. Entonces, una forma de aumentar la relación señal/ruido es aumentando T. Lo ideal es usar una T muy grande, pero en un levantamiento de campo esto puede no ser práctico pues lo hace muy lento. c) Tiempo de reposo θ (dominio del tiempo). Es conveniente que θ sea del orden de T. d) Tiempo de muestreo t (dominio del tiempo). Mientras menor sea t la relación señal/ruido será mayor, pero para evitar efectos inductivos t no debe ser muy pequeño. Algunos sistemas usan un solo tiempo para definir la polarizabilidad o un solo intervalo para la cargabilidad. Obviamente, es mejor usar varios tiempos. Frecuencias (dominio de las frecuencias). Una frecuencia F alta aumenta la relación señal/ruido porque en el Efecto de Frecuencia
Fafa generalmente aumenta con F (ver figuras), pero es conveniente no usar una frecuencia F muy alta para evitar efectos de
inducción electromagnética. F generalmente está entre 2 y 10 Hz. Lo óptimo es usar muchas frecuencias para tener ya . Fuentes de Ruido Corrientes espúreas asociadas con zonas industriales o con la mina en operación, etc. Potencial espontáneo. Producido por fenómenos electroquímicos o de electrofiltración. Generalmente son casi DC. La mayoría de los equipos cancelan este potencial natural. Ruido electródico. Conveniente usar electrodos no-polarizables en los electrodos de potencial. Corrientes telúricas. Producen potenciales variables en tiempo. Pueden ser un problema serio. Movimiento de cables por viento. Inducción de voltajes espúreos en los alambres al moverse en el campo geomagnético. Una fuente de “ruido” que bajo ciertas condiciones puede ser importante es el de acoplamiento electromagnético, también conocido como efecto inductivo. Para tener idea de este efecto consideremos un arreglo tetraelectródico sobre un semiespacio homogéneo de conductividad σ.
66
La componente x del campo eléctrico en P producido por la inyección de una corriente alterna en los electrodos A y B y por el alambre que los une se puede calcular partiendo del campo eléctrico producido por un dipolo eléctrico de longitud dx aterrizado en sus extremos,
1exp1132 35
22
RRRR
RxdxIEd x
donde 2122 yxR , y
22
i es la constante de propagación
Si la frecuencia es cero, 1,0 Re , no hay efecto inductivo y nos quedamos solo con el campo eléctrico de un dipolo eléctrico en corriente directa (DC)
5
2232 R
RxdxIdEx
Para obtener el campo de todo el cable de longitud 2L, se integra en x,
L
Lx dxRRRR
RxIE 1exp1132 35
22
67
Si MN es corto, xEMNV . Si MN es largo, hay que hacer otra integración a lo largo de la longitud del dipolo de potencial. Al integrar resulta que el campo eléctrico aumenta con el producto 2L , es decir, el efecto inductivo aumenta con la frecuencia, con la conductividad del subsuelo y con el cuadrado de la separación entre electrodos de corriente (longitud del cable). Para el caso transitorio, el efecto inductivo aumenta con tL2 . En general, para reducir el acoplo EM es conveniente tener tendida la menor longitud de cable posible. Entonces, el arreglo dipolo-dipolo presenta menos acoplo que los arreglos Schlumberger y Wenner.
Efecto de frecuencia (en %) debido a inducción EM en función de 0
2 Fa . Arreglo dipolo-dipolo sobre un semiespacio homogéneo. Ocho valores de n
000 100 FFPFE
Consideremos los siguientes parámetros ,m20am500,Hz10 0 F y veamos de qué orden es
el PFE al variar alguno de los tres parámetros 810
2 nPFEnPFEFa 008
%4.0%007.0200100 a %2%03.08001000 F %15%3.0400010
68
5. Interpretación Aunque el fenómeno de PI es de tipo electroquímico, su comportamiento es complejo y depende de muchos factores, tal que todavía no se comprenden totalmente como para ser descritos por un conjunto sencillo de relaciones petrofísicas. La gran mayoría de los datos de PI se interpretan con la aproximación de bajas frecuencias, que propone que el fenómeno es tan lento que se puede aproximar como de corriente directa. Por ejemplo, consideremos que hay n cuerpos en el subsuelo, cada uno con una resistividad y una cargabilidad. La cargabilidad aparente obtenida con un arreglo tetraelectródico se calcula con
n
i i
aia mm
1 loglog
En esta expresión primero se calculan las a del modelo (ya sea de capas, con imágenes, diferencias finitas, elemento finito, ecuación integral, etc) suponiendo que no hay PI
Enseguida, para cada apertura electródica se calcula i
a
loglog
para cada i y se hace la sumatoria. Estas derivadas son
aproximadas con
1
12loga
aa
a
aa
y
1
12logi
ii
i
ii
69
Perfiles de resistividad aparente y cargabilidad (Dieter et al, 1969) calculados con el método de ecuación integral y el de Seigel. Esfera conductora y polarizable en un semiespacio homogéneo. Perfiles con el arreglo polo-dipolo 6. El modelo Cole-Cole En la literatura se han propuesto varios modelos de relajación, es decir, relaciones matemáticas que describen cómo varía la resistividad intrínseca de la roca en función de la frecuencia. El más usado es el modelo Cole.Cole, el cual está definido por cuatro parámetros
cDC i
m
1
111 Modelo Cole-Cole
• DC resistividad de corriente directa o de frecuencia cero m • m cargabilidad (adimensional), 10 m . • constante de tiempo (segundos). Su rango de variación es muy amplio. • c dependencia de la frecuencia (adimensional), 10 c
70
Comportamiento general de la amplitud y fase de En frecuencias muy bajas, DC . En frecuencias muy altas, mDC 1 . En ambos extremos de frecuencia es puramente real, por lo que la fase tiende a cero. En la región entre estos dos extremos la amplitud disminuye lentamente y la fase presenta un máximo. Si la fase se grafica en log-log, en frecuencias bajas tiende a una recta de pendiente +c y en frecuencias altas de pendiente –c
La respuesta transitoria del voltaje del modelo Cole-Cole es
!1
11
0
xxcntImtV
n
cnn
DC
es la función gama
El decaimiento de tV es más lento que una exponencial. Solo para el caso c=1, el decaimiento es puramente exponencial tImtV DC exp Efecto en los espectros de amplitud y fase al variar uno de los cuatro parámetros de un modelo de referencia arbitrario.
A continuación se presenta un ejemplo del uso de PI Espectral y del modelo Cole-Cole .
71
Pelton, Ward, Hallof, Sill and Nelson, 1978, Mineral discrimination and removal of inductive coupling with multifrequency IP,Geophysics, 43, 588-609. Se entiende por discriminación mineral a la diferenciación, a partir de mediciones espectrales o transitorias de PI y de la inversión de estos datos, del tamaño de grano de los sulfuros (textura) y de la concentración de ellos en una zona. Estos autores realizaron más de 90 mediciones espectrales sobre 26 diferentes afloramientos frescos de roca mineralizada en yacimientos conocidos de Estados Unidos y Canadá. Las mediciones espectrales las hicieron cubriendo 7 décadas de frecuencia, de 10-2 a 105 Hz. Para evitar el efecto de inducción electromagnética, todas las mediciones las hicieron con el arreglo dipolo-dipolo con separaciones electródicas del orden de 1 metro (a=1 m, n=1). En cada afloramiento tomaron muestras de mano y en el laboratorio les determinaron su textura y concentración. Nos enfocaremos a los resultados de los pórfidos de cobre.
El espectro (datos de amplitud y fase) en cada afloramiento lo invirtieron a un semiespacio homogéneo polarizado con un modelo Cole-Cole. Los círculos son los datos observados de fase y la línea continua la respuesta de fase del modelo invertido. La cruz también es un dato, pero no lo consideraron en la inversión por estar fuera de la tendencia. No presentaron los ajustes del espectro de amplitud (¿porqué?) “dry”= diseminado y de baja concentración “wet”= en vetillas y mayor concentración
72
Encontraron que la relación de parámetros Cole-Cole más útil es m vs log τ. La línea discontinua es arbitraria
Pinto Valley, ArizonaCopper Cities, ArizonaTyrone, New Mexico
Yerington, New Mexico
Afton, British Columbia
Lornex, British Columbia
Brenda, British Columbia
Gibraltar, British ColumbiaEndako, British Columbia
73
Puntos grandes indican concentraciones altas de sulfuros Es claro el agrupamiento de texturas de vetilla (símbolos abiertos) La flecha indica la tendencia de aumento en la concentra- y de textura diseminada (símbolos cerrados), sin embargo, no hay ción de rocas artificiales agrupamiento de mineralización de pirita (triángulos) ni de mine- ralización de cobre (círculos). La flecha indica la tendencia de aumento del tamaño de grano de rocas artificiales.
VOLUMEN DE SULFUROS (%)
VETILLA
DISEMINADO
74
VII. POTENCIAL ESPONTÁNEO
El método de Potencial Espontáneo (Self-Potential o SP) es una de las técnicas geofísicas más antiguas, pues se empezó a usar desde 1815. El método es de campo natural pues no se necesita ninguna fuente artificial de corriente. En sus orígenes se aplicó a la exploración minera, pero ha encontrado otros usos en áreas como la geotermia, ingeniería civil y problemas ambientales. Es de rápida operación y de relativamente bajo costo. Sin embargo, en la gran mayoría de los casos, solo es posible realizar una interpretación cualitativa. El potencial natural en el subsuelo es producido por actividad electroquímica o mecánica. En todos los casos el agente controlador es el agua subterránea. Los potenciales están asociados con el intemperismo de cuerpos de sulfuros, actividad bioeléctrica, corrosióny gradientes térmicos y de presión en el flujo de agua subterránea. Hay cuatro mecanismos principales, el primero es mecánico, los otros tres químicos. Potencial electrocinético (tambien conocido como de electrofiltración o “streaming potential”). Se presenta cuando un electrolito pasa a través de una membrana porosa. Las rocas pueden considerarse como una de tales membranas cuando, debido a su porosidad, tienen una red de capilares por donde fluye el agua subterránea. Las paredes de los capilares pueden absorber los aniones, los cuales atraen cationes, formándose una capa eléctrica doble. Los aniones permanecen fijos pero los cationes son arrastrados por el fluido, por lo que aparece una diferencia de potencial en los extremos del conducto. La diferencia de potencial resultante entre los extremos del conducto es
4PVk
donde es el potencial de absorción en la capa doble (potencial zeta), P es la diferencia de presión, , y son la constante dieléctrica, la resistividad del líquido y su viscosidad, respectivamente. El potencial electrocinético generalmente es de poca importancia, pero en ocasiones puede producir anomalías grandes especialmente en áreas de abundante precipitación, topografía y rocas de porosidad significativa.. Este potencial también se observa en registros de pozos, donde el fluido de perforación penetra la formación porosa.
75
Potencial de difusión. Producido por la diferencia en movilidad de los iones en soluciones de diferente concentración. El valor está
dado por
2
1logCC
IInFIIR
Vca
cad
donde R es la constante de los gases (8.31 joules/oC), F es la constante de Faraday mol1065.9 4 C , es la temperatura absoluta, n es la valencia, ca II e son las movilidades de los aniones y cationes, 21 y CC son las concentraciones de las dos soluciones. En soluciones de cloruro de sodio, 49.1ca II , tal que a una temperatura de 25 oC, el voltaje en milivolts es
2110log6.11 CCVd Generalmente las diferencias de potencial producidas por este mecanismo son pequeñas. Sin embargo, en registros eléctricos de pozo puede ser útil para estimar porosidades por el contacto entre los electrolitos de la roca y el lodo de perforación. Potencial de Nernst (conocido también como “potencial de arcilla”). Cuando dos electrodos metálicos idénticos se meten en una solución homogénea no existe diferencia de potencial entre ellos. Sin embargo, si las concentraciones son diferentes se genera una diferencia de potencial dada por
2
1logCC
nFRVs
Si n=1 y Co25 , el potencial en milivolts es 2110log1.59 CCVs A la combinación de los potenciales de difusión y de Nernst se les conoce como potenciales electroquímicos Potencial de mineralización Los yacimientos minerales, en particular los cuerpos de sulfuros, son los que producen las anomalías más intensas, llegando hasta 2000 mV. Este potencial aparentemente proviene de reacciones químicas de oxido-reducción donde elnivel freático juega un papel importante, generando algo parecido a una gran pila.
76
La parte superior del yacimiento funciona como el ánodo y la inferior como cátodo
En algunas áreas geotérmicas y volcánicas se han observado anomalías importantes interpretadas como el efecto conjunto de gradientes intensos de temperatura que forzan un flujo ascendente de agua de mayor salinidad, con amplitudes de decenas o centenas de mV. . Trabajo de campo. El equipo requerido es bastante simple: un voltímetro de alta impedancia y suficientemente sensible, un carrete de cable y electrodos impolarizables.
77
El levantamiento de los datos se realiza en dos modalidades: método de base común (conocido también como de potenciales) o el método de gradientes (conocido también como de salto de rana).
Todas las diferencias de voltaje se hacen respecto a un punto común Requiere longitudes grandes de cable. La distancia entre puntos es corta. Es recomendable cerrar los circuitos en la estación base. La suma total de voltajes en un circuito debe ser cero. Si no es cero se puede compensar la diferencia usando las técnicas de compensación empleadas en nivelación topográfica.
