Apuntes Control Lineal en El Espacio Estados

7/24/2019 Apuntes Control Lineal en El Espacio Estados

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TCNICAS DE CONTROL LINEAL EN VARIABLES DE ESTADO. 1

MTODOS AVANZADOS DE MODELADO Y CONTROL DE SISTEMAS

Tcnicas de Control Lineal en

variables de estado.

Departamento de Electrnica Universidad de Alcal


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NDICE.

1. Introduccin.

2. Modelado en VVEE a partir de modelos externos

3. Resolucin de la ecuacin de estado.

4. Linealizacin

5. Estabilidad, controlabilidad y observabilidad

6. Diseo de controladoresControl modal.

Control integral.

Control LQR.

7. Diseo de estimadores.Estimador completo.

Estimador parcial.

Estimacin con ruido: filtro de Kalman.8. Combinacin controlador-estimador.

9. Sistemas de control discreto en VVEE.


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BIBLIOGRAFA

Sistemas de Control Automtico.7 Edicin. Autor: B. Kuo. Editorial: Prentice Hall.

Ingeniera de Control Moderno.3 Edicin. Autor: K. Ogata. Editorial: Prentice Hall.

Sistemas de Control en Tiempo Discreto.2 Edicin. Autor: K. Ogata. Editorial: Prentice

Hall.

Feedback Control of Dynamic Systems.3rd Edition. Author: G.F. Franklin y otros.

Editorial: Addison-Wesley.

Adaptive control: stability, convergence and robustness. Author: S. Sastry y M. Bodson.

Editorial: Prentice Hall.

Optimal control.2nd Edition. Authors: F.L. Lewis and V.L. Syrmos. Edit. John Wiley &

Sons.

Identificacin y control adpatativo. Autores: A. Aguado, M. Martnez. Edit. Prentice Hall.

Control de sistemas no lineales. Autores: H. Sira-Ramirez, R. Mrquez, F. Rivas-Echeverra,

O Llanes-Santiago. Edit. Prentice Hall.

Robust control toolbox, for use with Matlab. Ver 2. The MathWorks, Inc.

An introduction to the Kalman Filter. G. Welch and G. Bishop. TR95-041 May 23, 2003

Hinf Optimal estimation: a tutorial. U. Shaked and Y. Theodor. TP7-16:20. IEEE.

Dec.1992

Anlisis, diseo y realizacin de sistemas electrnicos de control continuo. Autores: F.

Espinosa y otros. Servicio de publicaciones de la Universidad de Alcal.

Anlisis, diseo y realizacin de sistemas electrnicos de control discreto. Autores: F.J.Rodrguez y otros. Servicio de publicaciones de la Universidad de Alcal.


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1. INTRODUCCIN.

DISEO EN EL ESPACIO DE ESTADOS

Se trata de una representacin compacta de los sistemas, tantoSISO como MIMO, dando forma matricial a las ecuacionesdiferenciales que definen el comportamiento del sistema.

Se deben elegir las variables internas y externas mnimas que

permitan describir adecuadamente el sistema: vector estados.

El vector de estado no tiene porqu ser nico para un sistema, esdecir, con distintos vectores de estados puede representarseadecuadamente el sistema.Comparando con el control E/S:

( Se trabaja directamente sobre las ecuacionesdiferenciales que describen el sistema.

( Permiten un estudio del comportamiento de lasvariables internas de sistema, adems del estudioentrada/salida.

(Facilitan el estudio de sistemas de varias entradas yvarias salidas (MIMO)


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CONCEPTO DE ESTADO

O

Caracterizacin interna del sistema que en cadainstante (t) resume la historia del sistema.

O La salida depender del estado del sistema y de laentrada.

O El estado futuro del sistema (derivada) depender del

estado actual y de la entrada actual al sistema.

Variables de estado: Conjunto mnimo de valores queexpresan el estado dinmico de un sistema.

- Pueden ser o no magnitudes fsicas- Deben elegirse, si es posible, de modo quepuedan medirse (realimentacin)

Vector de estado : n variables que definen el estado.

Espacio de estados: espacio n dimensional cuyosejes lo forman las variables de estado. Todo vector deestado estar representado por un punto en el espaciode estados.


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ECUACIONES QUE RIGEN UN SISTEMA EN VV.EE.

- Para sistemas LTI: A,B,C y D Matrices de elementosconstantes.

A: Matriz de evolucin del sistema.Orden (n,n), donde n es n de variables de estado

B: Matriz de aplicacin del control.Orden (n,m). m=n de entradas.

C: Matriz de observacin:Orden (q,n). q=n de salidas.

D: Matriz de transicin directa de control :Orden (q,m).

x(t) : vector de estado. (n,1)

y(t) : vector de salida(q,1)u(t): vector de entrada(m,1)


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NEJEMPLOS:

Para un motor de continua:

En variables de estado:


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D

B 1/s C

A

uy

xx.+

+

++

Altavoz:

Siendo M la masa del cono, b el coeficiente de friccin

viscosa, L la inductancia del bobinado y l la longitud del mismo.

DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA ENVARIABLES DE ESTADO.

(Entradas y salidas como vectores )


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2. MODELADO EN VVEE A PARTIR DEMODELOS EXTERNOS.

Dado que los sistemas en forma de f. de t. no aportan informacinrespecto a variables internas, cualquier suposicin sobre cmoestn construidos internamente ser vlida, siempre que semantenga la funcin de transferencia E/S. Por eso se puedenelegir distintas formas para pasar a VVEE un modelo externo.

A) Realizacin directa.

1. Se factoriza el numerador y el denominador:

2. Se dispone segn:

3. Se traduce al dominio del tiempo.

4. Se determinan las matrices:


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B) Forma cannica controlable .

1. Se emplean como variables de estado lasalida y sus sucesivas derivadas.

2. En variables de estado:

3. Finalmente:


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En MATLAB: [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

4. Grficamente:

En general:

C) En paralelo cannica o de Jordan.

( Con este mtodo, la matriz A es resultante es diagonal.

Para polos simples:

1. Se descompone G(s) segn:


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En MATLAB: [Ac,Bc,Cc,Dc] = canon (A,B,C,D,modal)

2. Se toman como variables de estado:

3. Resultando las ecuaciones de estado:

Para polos mltiples: (n polos: 1 polo mltiple de ordenm y n-m polos simples)


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OBTENCIN DE LA FUNCIN DE TRANSFERENCIA APARTIR DE LA DESCRIPCIN EN VVEE.

Para condiciones iniciales nulas puede obtenerse lafuncin de transferencia del sistema:

sX(s)=AX(s)+BU(s)Y(s) = CX(s)+DU(s)

Despejando, X(s)= [sI-A]-1BU(s)

Resulta finalmente:

N Donde puede apreciarse que los polos de G(s) sonaquellos que hacen:

*sI-A

*=0


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En MATLAB: P=eig(A)

En MATLAB: [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)

Es decir, los autovalores de A son los polos de G(s).

NEJEMPLO:

Sea:

Aplicando la ecuacin anterior, resultar:

Con polos en -2 y -1, que son al mismo tiempo losautovalores de A.


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3. RESOLUCIN DE LA ECUACIN DE ESTADO.

A) SOLUCIN A LA ECUACIN DE ESTADOHOMOGNEA.

La solucin a la homognea ser, por similitud con elcaso escalar:

(t) es la matriz de transicin de estados.Propiedades: (0)=I; (-t)=-1(t)

B) MTODOS DE CLCULO DE (t).

1. Transformada de Laplace.

sX(s)-x(0)=AX(s)X(s)=(sI-A)-1x(0)

Resultando:x(t)=L-1{(sI-A)-1 } x(0)

Siendo, por comparacin:

M(t)=L-1{(sI-A)-1 }


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EJEMPLO:

Realizando la transformada inversa de Laplace resulta:

2. Mtodo de los autovalores y autovectores.

- Se definen los autovalores, 8i, de una matriz A, como

- La ecuacin anterior es tambin la ecuacincaracterstica de A.

- Se definen los autovectores, pi , segn:8ipi= A pi

Existen tantos autovectores como autovalores - Si A es una matriz diagonal se puede demostrar que:


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- En general A no ser una matriz diagonal, pero,mediante un cambio de variable adecuado:

Haciendo x=Pz

- Eligiendo P adecuadamente, P-1AP resulta serdiagonal: en el caso de autovalores distintos

-P est formada por los autovectores de A.

- la matriz D= P-1AP es diagonal:


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En MATLAB: [P,D]=eig(A)

-Realizando el cambio inverso de variables, seobtendr la solucin del sistema original:

3. Aplicacin del teorema de Cayley-Hamilton

-Toda matriz satisface su propia ecuacincaracterstica:

- Desarrollando en serie N(t) y aplicando la ecuacinanterior se llega a:

-Ecuacin que tambin deben satisfacer losautovalores de A, lo que permitir calcular loscoeficientes bi (t)


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NEJEMPLO.

Para el caso anterior, A tiene como autovalores (-1 y -2)

C) SOLUCIN DE LAS ECUACIONES DE ESTADONO HOMOGNEAS.

- La resolucin puede hacerse mediante latransformacin de Laplace o segn:

- Integrando la ecuacin anterior entre 0 y t:


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4. LINEALIZACIN DE SISTEMAS NO LINEALES.

La mayora de sistemas son no lineales, de modo que para poderaplicar el control lineal, es necesario linealizarlos.

En general las ecuaciones de estado y salida tendrn la forma:

En primer lugar debe buscarse un punto de equilibrio (puedehaber uno o varios):

Si las funciones f y g son continuas y derivables en torno al puntode equilibrio, (x0, u0), se puede obtener un modelo linealizado,truncando el desarrollo en serie de Taylor de las funciones nolineales.

Para pequeas variaciones de las variables en torno al punto deequilibrio, se pueden escribir las siguientes ecuaciones:

Donde


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y donde los elementos de las matrices A, B, C y D son loscomponentes Jacobianos de las funciones no lineales:

Ejercicio: linealizar las ecuaciones del pndulo invertido.


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Ecuaciones del pndulo invertido:

Centro de gravedad:

Movimiento de rotacin de la varilla:

Movimiento horizontal del centro de gravedad:

Movimiento vertical del centro de gravedad:

Movimiento horizontal del carro:

Nota elija como variables de estado, 2y su derivada y x y suderivada.


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5. ESTABILIDAD, CONTROLABILIDAD YOBSERVABILIDAD.

A) Estabilidad absoluta.

Un sistema en VVEE es estable si los autovalores deA tienen parte real negativa.

B) Concepto de controlabilidad.

Un sistema es controlable si se puede pasar, en untiempo t finito, de un estado inicial x(t0), a cualquierotro x(t), aplicando seales de control adecuadas, u(t)en un tiempo finito.

Criterio de controlabilidad de estados de kalman:

Debe poderse pasar de x(0) a x=0 en un tiempo finito:


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En MATLAB: CO=ctrb(A,B); rank(CO)

Segn el teorema de Cayley-Hamilton, cualquierfuncin de A puede expresarse como combinacinlineal de I, A, ....An-1

Agrupando trminos:

El sistema es controlable si es posible calcular b0..bn-1,

es decir,el rango de CO debe ser n.


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En MATLAB: OB=obsv(A,C); rank(OB)

C) Concepto de observabil idad.

Un sistema se dice observable si es posible conocerx(0) mediante la observacin de la salida, y(t), en untiempo finito.

Criterio de observabilidad de kalman:

y(t)=CeAtx(0). Aplicando el teorema de Cayley-

Hamilton:

Para que en la ecuacin anterior pueda calcularse x(0),

conocida y(t) y ai(t),el rango de OB debe ser n.


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6. DISEO DE CONTRALORES EN VARIABLESDE ESTADO.

CONTROL MODAL.

Se trata de conseguir la matriz de realimentacin K, que permitasituar los polos del sistema realimentado en la posicin deseada.

En el sistema realimentado:

u(t)=ur(t)-Kx(t)

- El sistema final, con entrada ur, vector de estado x ysalida y, responde a las ecuaciones:

- Los polos del sistema realimentado sern los


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En MATLAB: K=place(A,B,P) (MIMO)K=acker(A,B,P) (SIMO)

autovalores de (A-BK):

*sI-(A-BK)*=0;

de aqu se pueden calcular los elementos de K

-Las dimensiones de K debern ser: m (n de entradas)x n (n de estados)

- Para que sea posible el control modal el sistema debeser

1) Controlable

2) En el caso en el que los estados no estndisponibles para ser medidos, deben estimarse apartir de la salida, debiendo para ello tratarse deun sistema observable.


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Clculo de K.

a) Resolver la ecuacin ctca.

*sI-(A-BK)*=0.

b) Transformar el sistema en otro en formacannica controlable.

x=Tz;dz/dt=T-1ATz+T-1Bu

Donde Ac=T-1AT debe aparecer en formacannica controlable.

El polinomio ctco de Ac es: sn+an-1sn-1+...+a0=0

Para ello T debe ser:

Mediante esta transformacin, la ecuacin


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caracterstica (Ac-BcKc), ser:

Con lo que su polinomio caracterstico ser:

*sI-(Ac-BcKc)*=0.

sn+(an-1+kn-1) sn-1+...+(a0+k0)=0

Comparando esta ecuacin caraterstica con ladeseada se tendr Kc.

Finalmente se calcula K=Kc.T-1

c) Frmula de Ackermann.

Si el polinomio caracterstico deseado es:

P(s)=sn+"1sn-1+...+"n=0

K=[0 0 ... 1]CO-1P(A);


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Seleccin de la ubicacin de los polos.

A) Dos polos dominantes.

- Dos polos dominantes.- El resto de polos suficientemente lejos.- Si hay ceros, deben estar lejos para noafectar en exceso el valor de los residuos.

B) Minimizacin de ndices de comportamiento

Se elige el polinomio caracterstico para minimizarun ndice de comportamiento.

1. Ejemplo ITAE.Los coeficientes se encuentran entablas normalizadas.


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2. Uso de las funciones de Bessel.


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CONTROL INTEGRAL.

El control modal no permite aumentar el tipo de sistema y portanto, para sistemas que requieran el seguimiento de consignases necesario aadir integradores. En este caso, el nmero deentrada y salidas debe coincidir.

dxI/dt=e=r-y=r-Cx-Du

Aadiendo xIcomo nueva variable de estado:

El diseo de Kt se realizar de la misma manera que en el casodel control modal.


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CONTROL PTIMO.

Tipos de problemas en control ptimo:

1. Minimizacin de errores en rgimen permanente en torno aun punto de equilibrio.

2. Minimizacin del tiempo en alcanzar el rgimen permanente.3. Minimizar el consumo energtico en el proceso de control.4. Regulador: recuperacin del punto de equilibrio del sistema,

minimizando un ndice de comportamiento.5. Seguidor: Seguir una referencia, minimizando un ndice de

comportamiento.

Expresin general de un ndice de comportamiento:

Control LQR( Regulador cuadrtico linear)

Se plantea una funcin de coste que intenteconjugar el esfuerzo de control (magnitud de u)con el valor de los estados.

Donde Q y R son matrices definidas semipositivasy normalmente diagonales, que deben elegirse enla fase de diseo y que ponderan los estados y el


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esfuerzo de control.

1. El ndice se minimiza si:

u=-Kx ( Regulador:ur=0)

2. Valor ptimo de K .

P se obtiene resolviendo la ecuacin algebraica de Riccati.

Ejemplo:

Se define:

Determinar P y K.


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Control LQT (para el caso de seguimiento).

Formulacin del ndice:


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7.DISEO DE ESTIMADORES.

- Normalmente no se dispone de acceso a todos losestados, por lo que es necesario estimarlos a partir deciertas medidas.-La construccin del observador, en sistemasdeterminsticos podra ser tan simple como calcular C-1.Sin embargo esta inversin no suele ser posible.- La mayora de los sistemas no son determinsticos

por lo que la construccin del observador es mscompleja.- Cuando la seal de salida est acompaada por ruidogaussiano de media cero se emplea el estimador deKalman.

A) ESTIMADOR COMPLETO

- Se pretende construir un estimador para latotalidad de los estados del sistema.

La dinmica del error ser :

El error de la estimacin converger hacia cero si el


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ProcesoA,B

ModeloA,B

C

C

L

u(t) x(t)

xe(t) ye(t)

y(t)

-

+

sistema es estable. Adems lo har segn la dinmicanatural del sistema (A). Si esta convergencia essatisfactoria, no hay porqu realimentar, con lo quesobra el estimador.

- Para acelerar la convergencia del error, se deberrealimentar el proceso de estimacin (estimador deLuenberger):

De esta forma la dinmica del error ser:

Si (A-LC) es estable con autovaloressuficientemente rpidos, el estimador convergerrpidamente, independientemente del valor dexe(0).


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Clculo de L :

1) Se puede hacer siguiendo los criterios deeleccin de K, habiendo establecido de antemanoun conjunto de polos que satisfagan los criteriosde convergencia del error.

2) Forma cannica observable (Ao).

Si la matriz Ao, con polinomio ctco:sn+a1s

n-1+...+an=0fuese de la forma:

La matriz de la dinmica del error: (Ao-LCo) sera:

De donde se calculara inmediatamente su polinomiocaracterstico y de aqu, por comparacin con eldeseado, L.


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El proceso a seguir sera anlogo al empleado en ladeterminacin de la matriz de realimentacin deestados, K.

a) Cambio de variable.b) Frmula de Ackerman:

Dualidad de la estimacin y el control

Control: Elegir K (fila), para situar los polos de (A-BK)Estimacin: Elegir L (columna), para situar los polos de

(A-LC)

Como los autovalores de (A-CL) son los mismos quelos de A-LC:

Problema de estimacin= problema de control

reemplazando A por A, B por C y K por L.

En Matlab: L=(place(A,C,polos));


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Seleccin de los polos del estimador:

- Criterio: Polos ms rpidos que los del control en unorden de 2 a 6.

Polos rpidos:

+ Convergencia rpida del error- Ancho de bando mayor, ms ruido.

- Dinmica del error:

Se pueden elegir los polos por los criteriosestablecidos para elegir los del control.


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ESTIMADORES PARCIALES.

Normalmente no es necesario estimar todas las variables deestado, pues algunas se podrn medir.

Suponiendoycomo el vector de variables de estado medibles, elesquema de estimacin es:

Para el caso de una salida y(1x1):


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La ecuacin de salida, para la variable de estado medida es:

Para las variables de estado no medidas resulta:

Por tanto se puede establecer la siguiente equivalencia con lasecuaciones de un observador completo:

Luego, por analoga con el observador completo:

o bien:


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La dinmica del error de estimacin queda:

Definiendo:

Resulta:

Ejemplo:

Polos deseados para el estimador reducido:


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La ecuacin del estimador queda:


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ESTIMADOR DE KALMAN PARA SISTEMAS LTI CONCOVARIANZA DE RUIDO CONSTANTE.

Cuando la planta est afectada por un ruido w y las medidas desalida por otro ruido


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Donde

La ganancia L y el valor de P, se determinan (para el casohabitual de H=0):

1. Clculo de P: resolucin ec. algebraica de Ricatti:

AP+PA-(PC+GN)R-1(CP+NG)+GQG=0

2. L=-PCR-1

La funcin de MATLAB kalman, proporciona la solucin alestimador:

[kest,L,P] = kalman(sys,Q,R,N)

Donde kest contiene el modelo en el espacio de estados del

estimador, con entradas u e yvy con salidas las estimacionesde x y de y.


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PLANTAA,B

SENSORC

LEY DECONTROL

-K

ESTIMADORA,B,L,C

u(t) x(t)

xe(t)

y(t)

COMPENSADOR

w(t) v(t)

8. COMBINACIN DE CONTROL YESTIMACIN.

A) Para un regulador con estimador completo.

Las ecuaciones que rigen el sistema:


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La ecuacin caracterstica del conjunto control - estimacin:

det(sI-A+BK)Adet(sI-A+LC)=0=Pc(s).P

e(s)=0

Los polos del sistema completo son los del estimador

junto con los del controlSe puede disear

independientemente controlador y estimador.

NOTA: Analizar diferencias entre: sistema con controlador

y sistema con controlador-estimador.

B) Para un regulador con observador parcial.


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La ecuacin caracterstica resultante mantiene el principio deseparacin:


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9. SISTEMASDECONTROL DISCRETOSENVVEE.

Los sistemas discretos pueden analizarse tambin en eldominio de estados. En este captulo se estudiarn lasdiferencias de este anlisis con respecto al caso continuo.

A) Ecuacin de estadoLa ecuacin de estado toma la forma:

Donde x(k+1) reemplaza a dx/dt (caso continuo).El esquema equivalente, teniendo en cuenta que en dominio

discreto un retardo es equivalente a z-1

, ser:


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Solucin de la ecuacin de estado:

Matriz de transicin de estados:

Resolviendo con la transformada z:


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B) Discretizacin de las ecuaciones de estado continuas.

Suponen la inclusin de un muestreador y un retenedor ZOH,antes de la entrada u de la planta continua.

O, lo que es igual:


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siendo:

C) Relacin Funcin Trans. VVEE

Matriz de funciones de transferencia pulso.

Paso FT a VVEE:Igual que en el caso continuo, cambiando en la realizacinintegradores (1/s) por elementos de retardo (z-1).

D) Controlabilidad, observabilidad y estabilidad.

Los criterios son semejantes a los del caso continuo, con lassiguientes salvedades:

- Estabilidad: autovalores de la matriz G dentro del crculounitario.


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- Controlabilidad y observabilidad: el mismo criterio que en elcaso continuo, reemplazando A por G y B por H.

E) Diseo de controladores por ubicacin de polos.

Al igual que en el caso continuo la ecuacin de diseo ser:

Si se eligen todos los autovalores en 0, la respuesta ser conoscilaciones muertas (opcin de diseo slo para sistemas

discretos).

Control integral.


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Es semejante al caso continuo:

Se aade una variable de estado, quedando:

Suponiendo una entrada escaln, r(k)=r, se tiene:


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F) Diseo de observadores.

Observador de Luenberger:

Igual que en el caso continuo, reemplazando A por G y B porH.

Observador con prediccin y actualizacin.

Consiste en realizar una prediccin del valor del estado en k,segn los valores disponibles en k-1 y posteriormenteactualizar la prediccin con el valor del error entre la medida dela salida en k y su prediccin:

En este caso, la dinmica del error de estimacin vienedeterminado por la matriz: A-LCA, en lugar de A-LC.

Observador parcial.

Tiene una expresin semejante al caso continuo.

G) Control ptimo.

Semejante al caso continuo:

LQR

ndice para optimizar:


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La ley de control que minimiza el ndice en rgimen pte es:

donde:

El valor mnimo del ndice resulta ser:


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Estimacin en sistemas con ruido en la planta y en la

medida: filtro de Kalman.

En este caso debe disponerse del modelo del ruido que afectaa la planta y a las medidas.

Si la covarianza del ruido es constante y los parmetros de laplanta tambin, se trabajar con la versin del filtro de Kalmanen rgimen permanente.

Si la covarianza no es constante o no lo son los parmetros dela planta, se debe trabajar con la versin extendida del filtro deKalman.

- Caso general del filtro de Kalman.El diagrama de bloques de planta, medida y ruidos es:


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El estimador de Kalman es:

Desarrollo del estimador:

1. Prediccin del estado:

2. Estimacin del estado:

donde:


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3. La matriz de covarianza y la ganancia K se calculan con:

Donde:

Es necesario disponen de una estimacin para P(0).

NOTA: En las demos de MATLAB, toolbox de control, se puede

encontrar un ejemplo sobre el uso de este estimador.


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Control lineal cuadrtico con ruido gausiano.

Se trata de un controlador con LQR/LQ seguidor junto con unaestimacin por filtro de Kalman:

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