Apuntes Curso Propedeutico - tese.edu.mx · PDF fileApuntes para Curso propedéutico2 Ciencias Básicas 2 CONTENIDO Pág. Introducción 3 I.- Teoría de conjuntos 1.1.- Simbología

Apuntes para Curso propedéutico2

Ciencias Básicas 1

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC

INGENIERIA EN INFORMÁTICA

APUNTES PARA CURSO

PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS

PARA LA CARRERA DE INGENIERIA EN

INFORMÁTICA.

ELABORADO POR:

Academia de Ciencias Básicas

JULIO DE 2013


Ciencias Básicas 2

CONTENIDO

Pág.

Introducción 3

I.- Teoría de conjuntos

1.1.- Simbología de conjuntos 4 1.2.- Diagrama de Ven Euler 5 1.3.- Unión de conjuntos 7 1.4.- Intersección de conjuntos 10 1.5.- Complemento absoluto 12 1.6.- Complemento relativo 13

II.- Números Reales 2.1.- Propiedades de los números reales 20 2.2.- Propiedades de los signos 20 2.3.- Propiedades de los cocientes 21 2.4.- Leyes de los exponentes 23

III.- Algebra básica 3.1.- Términos algebraicos 23 3.2.- Reducción de términos algebraicos en ecuaciones 25 3.3.- Propiedades de las igualdades 26 3.4.- Operaciones con polinomios 26 3.5.- Suma de polinomios 27 3.6.- Multiplicación de polinomios 28 3.7.- División de polinomios 29 3.8.- Factorización de polinomios 31 3.9.- Funciones y sus graficas 33

IV.- Introducción Al Cálculo Diferencial 4.1.- Interpretación de la Derivada 40 4.2.- Método de los 4 pasos 40

V.- Ejercicios 44

VI.- Bibliografía 53


Ciencias Básicas 3

INTRODUCCIÓN Este compendio introductorio a las matemáticas para nivel superior tiene la finalidad de auxiliar a los alumnos de nuevo ingreso de la Licenciatura en Informática, a mejorar su comprensión de las bases matemáticas que posteriormente se verán aplicadas a través de los cursos semestrales que imparten los profesores de Ciencias Básicas, otro de los factores de interés es nivelar los conocimientos previos en materia de matemáticas, principalmente las habilidades para desarrollar operaciones algebraicas, operaciones lógicas de conjuntos y esencialmente el razonamiento de los esquemas operacionales de la matemática con el enfoque hacia la carrera profesional que han decidido tomar. En un principio se habla del ordenamiento lógico entre conjuntos, básicamente las operaciones de Unión e Intersección y los complementos Absoluto y Relativo, una vez definidos estos temas se aborda una pequeña pero significativa introducción a los números Reales, en donde se desarrollan operaciones básicas aritméticas empleando las leyes de los signos, seguido de lo anterior se desarrolla la teoría del Algebra tocando temas como operaciones algebraicas entre polinomios y la factorización de polinomios, y en la parte final se toca el tema Introductorio al Calculo Diferencial, en donde se explica el principio esencial que conduce a este tipo de operación matemática precisa. Como un nota final se propuso una sección de ejercicios resueltos de las etapas más importantes de este trabajo con el objetivo de brindar un panorama mas amplio de la aplicación de los conocimientos básicos para que al finalizar el curso propedéutico los alumnos se encuentren completamente preparados para adquirir nuevos conocimientos en el área de las ciencias exactas.


Ciencias Básicas 4

SIMBOLOGÍA DE CONJUNTOS

Є = Pertenece a

∉ = No Pertenece

υ= Unión de Conjuntos

Ո = Intersección de conjuntos

A C = Complemento de conjunto A (Absoluto) A –B o A/B = Complemento de 2 conjuntos (Relativo) : I = Tal que N = Números Naturales (Son todos los + enteros) Z = Números enteros (todos +, -) Q = Números Racionales (números fraccionarios positivos) ¾, 5/8, 2/2 R = Números Reales (Excepto números imaginarios √-1= > = Mayor que < = Menor que

= Mayor o Igual que

= Menor o Igual que

x = Intervalo abierto

x = Intervalo cerrado

x = Intervalo combinado (……) = Intervalo abierto

= Intervalo cerrado

(… ó…) = Intervalo combinado U Conjunto Universal

= Conjunto Vacío

Números Reales

Números Irracionales o

enteros Z Números Racionales Q

Enteros

Negativos

Enteros

Positivos

Naturales N


Ciencias Básicas 5

DIAGRAMA DE VENN EULER U- Conjunto Universal A – Conjunto de elementos X * Conjunto Universal: Un conjunto que contiene todos los elementos de los conjuntos que intervienen en un análisis, se llama Conjunto Universal

= Conjunto vacío sin elementos

A = * Conjunto Vacío: Es el conjunto que no contiene elementos en su conjunto y que generalmente siempre es parte del Conjunto Universal

FORMAS DE EXPRESAR UN CONJUNTO * Por Comprensión: Forma más compacta de expresar un conjunto, generalmente esta

asociada a una relación de pertenencia y una segunda parte indicando las características de los elementos de un conjunto

A = xN:x2 – 5x +6 = 0 A = Denominación o nombre del conjunto

U

A

U

A


Ciencias Básicas 6

= Contenido del conjunto

xN = Relación de pertenencia

(xN) = El valor de x pertenece a los números naturales x2 -5x+6= 0 Características de los elementos de A * Por extensión: A través de esta un conjunto se puede expresar elemento por elemento, algunos de los inconvenientes es que a veces un gran número de elementos requieren demasiado espacio para ser escritos.

A = 3,6,9,12,15,17 Todos los elementos del Conjunto A

A = x : x es divisor par de 5

A =

B = xR:x>3

B = 4,5,6,7,8,9,10….

C = x Є Z:2x – 3 =0

C =

D = x Є N: X – 3 < 0

D = 0,1,2 X - 3 < 0 0 - 3 < 0 1 – 3 < 0 2 – 3 < 0

E = x ER:x2 + 2 = 0

E = * Por Intervalos: Los intervalos están asociados a los signos de desigualdad, estos signos indican intervalos abiertos mediante los paréntesis () e intervalos cerrados

mediante corchetes . Dependiendo del signo de desigualdad el intervalo puede expresar un número exacto (cerrado) o una aproximación al número en cuestión (abierto) ejemplo:

X > 3 I I I I I 1 2 3 4 5 A = 3.0000001, 30000002,

A =( 3, ) Intervalo abierto cuando


Ciencias Básicas 7

se pone () es casi ejemplo casi 3 ( 3, )

X 3

A = 3, ) ) = exactamente de 3 3, ) Intervalo combinado

-3 < x < 3 B I I I I I I I -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 < -2 < 3 ( A )

A = ( - 3, 3 )

3 x -3

3 -3 -3 ó 3 3 -3

B = 3, -3 ó -3, 3

-3 < x 3

C = (-3, 3 ó 3, -3)

A x EN: -3 < x < 3 I I I I I I I -3 -2 -1 0 1 2 3

)

A = 0, 3) A = 0, -3)

-A = x EN: -1 x 6 A I I I I I I I I I I I I I -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

A = 0, 6 ( B )

B = X ER: -6 x 6

B = (0, 6

UNIÓN DE CONJUNTOS La Unión de conjuntos A y B es un conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B. Simbólicamente la unión se expresa como:

A υ B = X : X Є A ó X Є B


Ciencias Básicas 8

U

AUB Los conjuntos son independientes o mutuamente excluyentes AUB ////// AUB ///// B es un subconjunto de A

A = a, e , i *AUB = a,e,i,o,u No se puede repetir elementos en una unión (repetido se le resta)

υ

υ

A

A B

B

A B

A B U

e

i a

o

u


Ciencias Básicas 9

A = 0,1,2

B = 3,4,5 AUB = 0,1,2,3,4,5

A = X Є R: X <2 (2, -)

B = X Є R: X 3 (3, )

AUB = (2, -), 3,

A = X Є R: -1 x 2 A = -1,2 AUB =-1,5

B = X Є R: 0 x 5 B = 0,5

A l l l l l l l l l l -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

B

A B U

0

1 2

3

4 5

A B U

(2,- )

3,

A B U

-1,

5


Ciencias Básicas 10

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

La intersección de los conjuntos A y B es un conjunto formado por los elementos que

pertenecen tanto a A como a B. La intersección simbólicamente se expresa como A ՈB

= X : X Є A y X Є B

A = 2,3,5

B = 1,3,5 AՈB = 3,5

AՈB

A = 2,5) ( A ) I I I I I I I I

B = (-1,3 -1 0 1 2 3 4 5 6

( B A ՈB = 2,3

A ՈB ////

U U U

A B A

B A B

U

A

2 3

5

B

1

A B U

2,3



A = -,2 ( A

B = (3,5) I I I I I I I I -1 0 1 2 3 4 5 6 ( B )

AՈB= AՈB=

A = X Є N:X<4 A )

B = X ЄN:1<X <6 I I I I I I I I I I -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 ( B )

AՈB= (1,4=2,3

A B U

U = N

A B

(1,4)



Ac U

Ac U

1 3

5 7

9 11

13 15

PROPIEDADES UNIÓN INTERSECCIÓN

Idempotencia AUA = A A Ո A = A

Conmutativa AUB = BUA A Ո B = B Ո A

Asociativa AU (BUC) =

(AUB) UC

A Ո (B ՈC) =

(A ՈB) ՈC

Distributiva AU (B ՈC) =

(AUB) Ո (AUC)

A Ո (BUC)

(A ՈB) U (A ՈC)

Complementaria AUAC = U A ՈAC =

COMPLEMENTO ABSOLUTO

El Complemento Absoluto o simplemente de A es el conjunto de elementos del conjunto universal que no pertenece a A. Complemento de A se denota como:

AC = A Є U: x Є A AC ////// BC////////

A = X Є N:X es par Encontrar Ac

A 2,4,6,7,10…

Ac1,3,5,7,9…

U

A A B

A

2,4,6,8,10,

12,14,16,18



Si A = X Є R: -1 x < 1

Calcular Ac Ac= ( -, -1) 1, )

DIFERENCIA O COMPLEMENTO RELATIVO

La diferencia de dos conjuntos A y B denota como A –B y llamada también como el complemento relativo de B con respecto de A, es el conjunto de elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Simbólicamente la diferencia de conjuntos se expresa de la siguiente manera.

A – B = X Є A: X ∉ B

B – A A – B = ///// B – A = /////

Ac

( - , -1)

1, )

A

U

A B

A B U



A – B

A = 1,2,3 A – B = ////

B = 2,3,5 B – A = /////

A = 0,3 A – B = /////// = 0,1

B = (1,4 A – B = /////// = (3,4

AAB = /// (1,3

A I I I I I I I I I -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

( B

U

A B

U

A

2

1 3

B

5

U

A

0,1 (1,3

B

(3,4



A = ( -,0 A – B = ( -,-1 ////

B = -1, ) B – A = 0, )

( A I I I I I I I I -2 -1 0 1 2 3

B )

A = ( -, ½ ) B = (-3,2) C = 2,3

( A )

I I I I I I I A-B = (-, -3 -3 -2 -1 0 ½ 1 2 ( B )

A ՈC

- ( A ) I I I I I I I I -3 -2 -1 0 1 2 3 4

C

A-C A-C = (-, ½) /// ( A ) I I I I I I I I

- -3 -2 -1 0 1 2 3 4

C

U

A

(- ,-1)

B

0, )

U

A (-, -3

B



B-A B-A = 1/2, 2) //// ( B ) I I I I I I I -3 -2 -1 0 1 2 3 ( A )

C Ո B

- C I I I I I I I I -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ( B )

AUC AUC = (- , ½), 2,3

- ( A ) I I I I I I I I -3 -2 -1 0 1 2 3 4

C

A = X Є N: -3 X 100

B = X Є N: -100 < X 3

C = X Є N: X >5 Encontrar:

1) AUB

2) A ՈB

U

A B

1/2, 2)

U

C B

U

A C



3) A-B 4) A-C 5) AUBUC

6) A Ո C

7) Ac

8) Ac ՈCc

9) (AUB) ՈC

10) Cc -B

A = X Є N: -3 X 100 A = 0,100 I I I I I I I I I I I -3 -2 -1 0 1 2 3 4 100

A

B = X Є N: -100 < X 3 B = -100,3 I I I I I I I I I I -100 0 1 2 3 4 5

( B

C = X Є N: X >5 B = 5,

I I I I I I I I -2 -1 0 1 2 3 4 5 ( C ) 1) AUB ///

A = (0,100

B = (-100, 3

( B I I I I I I I -100 -2 -1 0 1 2 3 4 100

A

2) A Ո B //// A Ո B = 0,3

U

A

(0,100

B (0,3) (-100, 3



A = (0,100

B = (-100, 3

A I I I I I I I -100 -2 -1 0 1 2 3 4 100

( B

3) A-B //// A-B = (3,100

A = 0,100

B = (-100, 3

A I I I I I I I -100 -2 -1 0 1 2 3 4 100

( B

4) A-C ///// A-C = (0,5)

A = 0,100

C = (5, )

A I I I I I I I I I I -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 100 ( C )

5) AUBUC //// AUBUC = (-100, )

A = 0,100

B = (-100, 3

C = (5, )

A I I I I I I I I I I I -100 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 100

( B ( C )

U A B

0,3

U

A (3,100

B

U

A (0,5)

C



6) A Ո C //// A Ո C= (5, 100

A = 0,100

C = (5, )

7) Ac Ac= (100, )

A = 0,100

8) Ac ՈCc /// Ac ՈCc= ()

A = 0,100

C = (5, )

9) (AUB) ՈC ///// (AUB) ՈC = (5,100

A = 0,100

U

A B C

U

A

(5, 100

B

U

Ac= (100,

)

A

U

Ac

Cc



B = (-100, 3

C = (5, )

10) Cc –B ///// Cc –B (3,5

C = (5, )

B = (-100, 3

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

PROPIEDAD ADICIÓN MULTIPLICACIÓN

Conmutativa a + b = b + c a * b = ba

Asociativa (a+b) + c = a + (b+c) (ab)c = a(bc)

Elemento Neutro 0 + a = a + 0 = a (a) 1 = 1 (a) = a

Distributiva a( b + c ) = ab + ac

PROPIEDADES DE LOS SIGNOS

Adición Multiplicación

(+a) + (+b) = a+b (+a) + (-b) = a-b (-a) + (-b) = -a-b (-a) + (+b) = -a+b ó b-a

(+a) (+b) = ab (+a) (-b) = -ab (-a) (-b) = ab (-a) (+b) = -ab

Ejemplos: 1) 12 + (-2) = 12 -2 = 10 2) 2-3 – (-2) = 2-3+2=1

U

B

A

C

Cc

B C



3) (4-3+(-2) (6+8-10) (4-3-2) (4) (-1) (4) = 4

4) (-7) (-3) + (3-3) (-2) 21 + (-6) (-2) = 21 + 12 = 33 5) -3 (-9 -4) -2 (10+20) -3 (13) -2 (30) = +39 -60 ) -21 ó multiplicación directa 27 +12-20-40 = 39 – 60 = 21

PROPIEDADES DE LOS COCIENTES 1) a/b= c/d ó ad = cd (3) (12) = (9) (4) 2) ca / cb = c/c a/b = ab reducir términos semejantes 3) (a/b) (c/d) = ac/bd multiplicativo

4) a/b c/d = a/b / c/d = ad/bc = (a/b) (a/c)= ad/bc 5) a/b + c/b = ac/b 6) a/b + c/d = ad + bc/ bd 7) a/b – c/d = ad – bc / bd 8) +a/+b = +a/b 9) –a/-b = a/-b = -a/b 10) –a/-b = a/b



2(-3/5) (2/1) (-3/5) = -6/5 (3/-5) + 2 (3/-5) + 2/1 = (3) (1) + (-5) (2) / (-5) (1) 3-10 / -5 = -7/-5 ó (3/-5) (10/5) = -7/5 -2/4 (-1/4) + 3/8 (-4+6) = -2/1 (-1/4) + 3/8 ( -2/1) 2/4 + 6/8 -= (2) (8) (2) (6) / (4) (8) = 16 + 24 / 32 = 40/ 32 5/4 ó 2/4 + 6/2 / 8/2= 2/4 + ¾ = 5/4 2/4 + ¾ = 5/4

( 5/6 -3) 2+5 (4/5 3)

(5/6 -3/1) 2/1 + 5/1 ( 4/5 3/1)

(105/126 – 6/2) + (20/25 15/5)

(5/6 – 18/6) + ( 4/5 15/5) (-13/6) (20/5) = (-13) (5) (6) (2) / (6) (5) = -65 +12 / 30 = -53 / 30 (5/6 – 18/6) = -13/6

(4/5 3/1)= 4/5 / 3/1 = 4/15 (-13/6) 2 = -26/6 (4/15) 3 = 12/15 26/6 + 12/15 = (26) (15) + (12)(6) / (6) (15) = -39 + 72/ 90 = 3/83 / 90 -10629 / 3029 = -53 /15



LEYES DE LOS EXPONENTES

-an = (a) (a) (a)… n = veces -(a/b)n= (a/b) (a/b)…. an/bn

-an = 1 si a 0 - (an) (am) = a n+m (si es suma antes era multiplicación)

-(a2) (-a)2 -a2 +a2 42 = (4) (4) = 16 53 = (5) (5) (5) = -125 Cualquier número (-) par siempre da (+) Cualquier número (+) non siempre da (-) (-2) 5 = 32 x2 calcular para X = 3 X = -3 -(3)2= -9 -(-3)2 = -9

TÉRMINOS ALGEBRAICOS

Cuando tenemos valores desconocidos (incógnitas) de por medio en expresiones matemáticas, se denomina entonces como expresión algebraica, estas expresiones constan de términos, los términos se consideran como las partes que se suman o se restan en una expresión algebraica: Expresión:----- 4x-3x-7 Término 4x, -3x, -7 4(x+3) +2x +5 (x-2) +1 x+3 / 2 + 4x3y3 + x -6 x+3/2, 4x3y3, x -6



El grado de una ecuación algebraica esta en función de la suma de los exponentes de cada uno de los términos, por ejemplo: 3x2 Término de 2º grado -4x Término de 1º grado 6x2y3 Término (2+3 = 5) 5º grado 3x0 Término de grado cero 3x-1 Los términos semejantes son aquellos que contienen las mimas incógnitas con el mismo grado, lo cual nos ayuda, a la reducción de términos, ejemplo: 3xy 5x son términos semejantes 1º grado 3x2y y -2x2y son términos semejantes 3º grado 3x2 y 2y2 no son términos semejantes Un ecuación algebraica es una proporción matemática de igualad, es decir que contienen una expresión matemática en ambos lados de la igualdad, ejemplo: 1 0 0 x+ 4 = -7 x = -7-4 X = -11 Términos algebraicos 2x2 - = -3x +5 Ecuación algebraica 2x + 3y + 27 = 28 Operación algebraica con 3 incógnitas de 1º grado Para la solución de ecuaciones algebraicas se expresan a continuación las siguientes características para el despeje de incógnitas x + a = b x = b-a ax = b x –a = b x = b+a x = b/a = -b/a ax = b x= b/a -x/a = x/a = x = abx a+b



REDUCCIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS EN ECUACIONES

Si son términos iguales se pueden desarrollar entonces las operaciones algebraicas para reducir, por ejemplo: 1) 7 – (2x -5) -3 (2x + 4) 7 -2x + 5 – 6x -12 -2x -6x +7+5-12 -8x 2) 6(x+5) +2 (x+5) 6x+30 + 2x +10 6x +2x +30 +10 8x +40 3) 4 (x -2y) + 3 ( x – 2y ) -6x 4x – 8y + 3x – 6y – 6x 4x + 3x – 6x – 8y -6y x – 14 y

4) 2x – 3(6y - 5 ) + 6y – 3x 2x -18y + 15 + 6y – 3x 2x – 3x -18y +6y +15 -x -12y + 15

ECUACIONES DE 1º GRADO

1) 2x + 4 = 9 Comprobación 2x = 9 – 4 x ( 5/x) + 4 = 9 2x= 5 5+4= 9 X = 5/2 9 = 9 2) -4 = 3 (x – 5 ) + 2x -6 Comprobación -4 = 3x – 15 + 2x -6 -4 = 3 (17/5 – 5) + 2 (17/5) - 6 -4 = 5x – 21 -4 = 3 (17/5 – 25/5) + (34/5) -6 -4 + 21 = 5x -4 = 3 (-8/5) + 34/5 -6 17 = 5x -4 -24/5 + 34/5 - 6 x = 17/5 -4 = 2-6 -4 = -4



PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES

a = a propiedad reflexiva a = b b = a propiedad simétrica a = b y b = c y a = c propiedad transitiva a = b y b = c entonces a = c 3) 2x -8-3x = -2 (3x -5) -12 2x -8 -3x = -6x +10 -12 2x -3x +6x = +8 +10 -12 5x= 6 x= 6/5 4) 2/5 (x+3) +4 = 1/3 (x-4) -2/5x – 6/5 + 4 = 1/3x – 4/3 -2/5x – 1/3x = 6/5 – 4/3 – 4 -1/3 – 2/5 = -5-6/15 = 11/15x = -2/15 – 60/15 = -11/15 = 62/15 -11x = (-62/15) 15 x = 62 / 15 5) 2x +1 = 5x + 1 – 3x 2x-2x = -1+1 2x + 1 = 2x + 1 0 = 0

OPERACIONES CON POLINOMIOS POLINOMIO:

Suma finita de términos donde cada uno de los términos representará el grado máximo del polinomio, para que sea un polinomio no debe existir exponentes radicales o exponentes negativos, por ejemplo: Monomio Binomio Polinomio 6x 1º grado x+4 1º grado x2-2x+1 2º grado y5xyz2 4º grado x2+6x 2º grado 6x2 + 3xy + 2y2 2º grado x2y – x2z 3º grado ½ x + 3y – 6x2y2 4º grado No son polinomios X1/2 = √ 2 x 2x-1 = 2/x ama n = am+n a-m = 1/am (am)n = am-n



am/an = am-n

a0= 1 (ab)m = ambm (a/b)m = am/bm 1) –(x2y)4 = (-x24 y 24 ) = -x8y4 monomio de 12º grado 2) /4x3y-2)3 = (43 x33 y23)= 64x9y-6 ó 64x9/y6 3) (3/x2)-2 = 3-2 / x-2-2 = 32/x-4 = x4/9 monomio de 4º grado

SUMA DE POLINOMIOS (4x2 – 6x + 3) + (2x2 + 5x -1) 4x2 – 6x + 3 + 2x2 + 5x -1 4x2 + 6x + 3 4x2 + 2x2 + 6x + 5x + 3-1 ó + 2x2 -5x -1 6x2 – x +2 6x2 – x +2

2) (-x2-2x+3) – (x2 -3x+4) -x2 -2x + 3 + -x2 +3x -4 -2x2 +x -1 (3x2y)2 = 32 x2.2 y 1.2 = 9x4y2 (3x2) (4xy) = (3-4) (x2x) (y) = 12 x3y 3) (3x2 y-4xy +y) + (x2 y + 2xy + 3y -2) 3x2y-4xy + y + x2y +2xy + 3y -2 4x2y – 2xy + 4y -2



4) (-x2 – 2x + 3) – ( x2 – 3x + 4) -x2 – 2x+3 + -x2 + 3x -4 -2x2 + x -1 5) (x2y – 4xy2 + 5) – (2x2y -3y2-4) x2y-4xy2+5-2x2y-3y2-4 x2y -4xy2 + 3y2 +1

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

a ( b + c + d ) = ab+ac+ad monomio trinomio ( a + b ) ( c + d ) = ac+ ad +bc + bd 2 binomios (a + b + c ) ( d + e ) = a+d ae + ab + be + cd + ce trinomio por binomio (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 cuadrado de polinomios (a-b)2 = (a-b) = a2 –b2 (a+b) (a-b) = a2-b2 Producto de la suma y diferencia de dos términos semejantes. 1) 3x (4x2 + 5x + 2) 12x3 + 15x2 + 6x 2) (3x + 2) (x-5)= 3x2 – 15 +2x -10 = 3x2 – 13x -10 3) (2x2 – 3y)2 = (2x2)2 – 2(2x2) (3y) + 3y2



4x4 – 12x2y + 9y2 (a-b)2 = a2 – 2ab + b2 ó (a-b) (a-b) = (a.a) + (a) (b) + (-b) (a) + (-b) (-b) a2 – ab –ab –b = a2 -2ab + b2

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

4x2 -8x / 2x = (4x2 -8x) 2x = 4x2/ 2x – 8x/2x = (2x2 x-1) -4x+1 x+1 Comprobación (2x – 4 ) 2x = 4x2 -8x

ó 2x -4 2x I 4x2 – 8x -4x2 0 -8x + 8x 0 4x3 – 6x2 + 8x -3 = 4x3/2x – 6x2/2x -3/2x = 2x2 – 3x+4 – 2/3x 2x Comprobación 2x2 – 3x +4 = 2x (2x2 – 3x + 4 -3/2x) 2x 4x3 – 6x2 + 8x -3 = 4x3 -6x2 + 8x - 3 4x3 = (2x) ( -3 /2x) 0 -6x2 = -3 + 6x2 0+8x -8x 0 -3

x2 + 7x 10 / x+2 = x+5 x+5 x+2 x2 +7x+ 10 Comprobación -x2 - 2x (x+2) (x+5) 0 + 2x x2 + 5x +2x +10 5x +10 x2 + 7x +10 0 0 6x2 – 5x +5 = 3x – 7 + 26 / 2x +3 2x + 3 3x – 7



2x + 3 6x2 – 5x +5 Comprobación:(2x + 3) (3x . 7 + 26/2x+3) 6x2 – 9x = 6x2 – 14x + (2x) (26 / 2x+3) + 9x -21 + 0 - 14x + 5 (3) (26/2x+3) + 14x +21 = 6x2 – 5x -21 + 52x / 2x +3 + 78 / 2x +3 0 + 26 = 6x2 – 5x – 21 + 52x + 78/ 2x+3 = 6x2 – 5x – 21 + 26 = 6x2 – 5x + 5 Ejercicios:

1) 6x2 – y - 12 x3 y2 + 9y3 / 2xy2 3xy 2xy2 6x2y – 12x3y2 + 9y3 -6x2y 0 -12x3y2 +12x3y2 0 + 9y3 3) 4x3 + 12x2 + 7x -3 2x + 3 2x2 + 3x -1 2x +3 4x3 + 12 x2 + 7x -3 Comprobación -4x3 – 6 x2 (2x+3) (2x2 + 3x- 1) 0 + 6x2 + 7x 4x3 + 6x – 2x + 6x – 9x -3 6x2 – 9x 4x3 + 12x + 7 x-3 0 -2x - 3 2x +3 0 0 4) 2x4 – 8x3 + 19x2 – 33x + 15 x2 – x + 15 2x2 – 6x + 3 x2 – x + 5 2x4 – 8x3 + 19 x2 – 33x + 15 2x4 + 2x3 - 10x2 -6x3 + 9x2 – 33x + 6x3 – 6x2 + 30x 0 +3x2 – 3x + 15 -3x2 + 3x -15 0 0 0



FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

La factorización se puede considerar como lo contrario a la multiplicación de polinomios, el objetivo de la factorización es reducir los términos de una expresión algebraica , evitando al máximo tener un gran grado de la expresión. La factorización se desarrolla a partir de la propiedad distributiva .Ejemplo:

1.-2x + 16----2 (x +3)

2.-15x4 -5x3 +20x2-------5x2 (3x2 –x+4 )

FORMULARIOS PARA LA FACTORIZACIÓN

a2-b2 =(a + b ) (a-b)------diferencia de cuadrados

a2+2ab+b2=(a+b)2

}trinomio al cuadrado

a2-2ab+b2=(a-b)2 perfecto

a3+b3=(a+b) (a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

ax+ay+bx+by= a(x+y) + b(x+y)=a+b(x+y)

3.-X2-36= (x+6) (x-6)

4.-x2+8x+16=(x) +2 (4)(x) +(4)2



5.-3x(5x-29 ) +4(5-2)= 15x2-14x-8

(5x-2) (3x+4)

15x2+20x-6x-8

15x-14x-8

6.-6x2+9x+8x+12=

(6x2-9x) (8x+12)

3x(2x+3) +4(2x+3)

(2x+3)(3x+4)=6x2+8x+9x+12

7.-ax-x+a-1=

(ax-x) + (a-1)

x(a-1) +(1(a-1)

(a-1) (a+1)

8.-3x2+4x-4 =

(3x-2) (x+2)

3x2+6x-2x-4

3x+4x-4

9.-4x6-4x2=

(2x3-2x) (2x3-2x)



10.-18x4-3x3-6x2=

3x2(3x-2)(2x+1)

11.-a2+7ª+12 =(a+4) (A+3) = A+3

a2+8ª+16 (A+4)(A+4) A+4

FUNCIONES Y SUS GRAFICAS

-Coordenadas del plano cartesiano:

eje y

(ordenadas)

2o 1er

cuadrante cuadrante

(- , +) (+ , +)

eje x

(abscisas)

3er 4º

cuadrante cuadrante

(- , -) (+ , -)

origen



x < 0 x > 0

y > 0 y > 0

x < 0 x > 0

y < 0 y < 0

Y y1 línea

Incremento recta

y y2

X Incremento x



Y2 Decremento Y Y2 X Incremento x M= M= m= 2 m=2 m=-1 m=1 m=0 m=-1/2 m=1/2 m=0



m1=(x1 ,y1) (-2,5) m2=(x2 ,y2) ( 1,1) m1= (x2 ,y2) m2=(x1 ,y1) m1= 1-5 = -4 = -4 m2= 5-1 = 4 = 4 1-(-2) 3 3 -2-1 -3 -3 º (2 , 10) 0 (5 ,6) m= 10 -5 = 5/0 º º (10 ,6 ) 2 -2 º (2,5) 0 m= 6-6 =0/5 10-5 m1 m2



Encontrar la recta que pasa por el punto (1 , 3 ) si m=2 m = (y2-y1) y2-y1= m(x2-x1) (x2 –x1) y2-3 =2 (x2-1) y-302x-2 y02x-2+3 =2x+1 se sustituye: y = (mx –b) x =1 y =2 (-1) + 1 y =-2+1 y = -1 (-1,-1) (1 ,3) -2x+y -1=0 (-1 -1)



Graficar y encontrar: 4y=8-3x 1.- x = 0 y = 3/4(0)-2) y = (0 ,2) y=8-3x 2.- x= 2 y=3/4 (2)-2) y= (2 ,-1/2) -4 y=3/4 x-2 3.- x=4 y=3/4 (4)-2) y= (4,1) m=3/4 º 3x-4=8



INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL

Para entender fácilmente el cálculo diferencial se tiene que tener conocimiento de algunos conceptos como:

Incrementos o decrementos El incremento de una variable se da a través de una diferencia y el cambio de valor de ella misma. Ejemplo: X - incremento de x x=x2 -x1 (delta x) y=y2-y1 En algunos casos el valor del incremento puede ser negativo, entonces se conoce como decremento x X=12 incremento de x Y =-3 decremento de y Variable independiente y variable dependiente Una variable independiente es aquella que obtiene valores dentro de los límites establecidos. La variable dependiente obtiene los valores en función de la variable independiente .Ejemplo: Variable dependiente--- y=x2 ----variable independiente X=10 y=12 y=(10) (10) =100



DERIVADA

La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la variable independiente cuando tiende a ser cero. La derivada existe a partir de la interpretación geométrica siguiente: Línea secante Y1 Q º y P Y2 X1 x2 Línea tangente Por lo tanto por definición el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en aquel punto.

MÉTODO DE LOS 4 PASOS La derivada se obtiene mediante la aplicación del método de los cuatro pasos: 1.-se sustituye el valor de la variable dependiente por: x1 - x y - y 2.- se resta ahora el valor inicial de la función de x y se obtiene:



f(x) ---------- y 3.- ahora se divide todo entre x y x 4.-se calcula el limite cuando x----0 lim x 0 Derivar y=x2 1.- y + y = (x+ )2 2.- -y =-x2 y=x2+2x x + ( x)2 3.- y = 2x + ( x)2 x x x y =2x + x x



0 4.- y = lim ---- 0 (2x + x) x y = 2x x Existen diferentes formas de expresar una derivada dependiendo del autor se puede encontrar que: Y =y׳ = dy = d y= d f(x) =Dx fw = f׳ (x) X dx dx dx Formulas para derivar las constantes: 1.-dc =0 dx 2.- dx = 1 dx 3.- d (u +v +w) = d u +dv -dw dx d x dx dx 4.- d (cv ) = c dv dx dx 5.-d (u v) = u dv + v du dx dx dx n-1 6.-d (vn) =n v dv dx dx n-1 7.- d (xn) = nx



dx du dv 8.- d ( u )= v dx - v dx dx (v) v2 du 9.- d (u) dx dx (c ) c



EJERCICIOS



UNIÓN

A = { X R: -3 X < 6}

B = { XN : X > -5}

C = { X R : 2 < X < 12}

)

A = [ -3, 6] B = [ 0, ) A B = [ -3, )

A = [ 0, 6) B = [ -3, 12) A C = [ -3, 12)

INTERVALO

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



A = { X R: 4> X > -6}

B = { XN : 7 X 3}

C = { X R : -15 < X < -12}

A = ( -6, 4) B = [ 7, ) A B = { }

A = ( -6, 4) C= (-15 , -2) A C = (-6, -2 )

Complemento absoluto

-15 -14 –13 –12 –11-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7



A={x € N :x es vocal} encontrar Aс A={a ,e ,i ,o ,u } Ac = {b , c ,d ,f …} b f U c d

Ac

A= {x € N : es par} U 7 A={2 , 4 ,6 ,8 ….} 5 1 Ac={1 ,3 ,5 ,7 …}

3 Ac

A={x € N:x > 5} 5 4 U A={6 ,7 ,8 ,9 …} 3 Ac ={5 ,4 ,3 ,2 ,1 } 1

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

Conmutativa de adición: 4 + 2 = 2 + 4



Conmutativa de multiplicación: 4 . 2 = 2 . 4

Asociativa de adición: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)

Asociativa de multiplicación: 4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9

Distributiva de multiplicación sobre adición:

4 . (2 + 9) = 4 . 2 + 4 . 9

PROPIEDADES DE LOS SIGNOS

Multiplicación:

(-8)(-2)(-5) = -80 (-3)(+2)(-5)(1) =+30 (-3)(-25)(-54)(-84) = + 340,200



(-3)(16)(3)(35)(-3) = +15,520 (-24)(-12)(-84) = - 24,192 Adición: (+5)+(2) = +17 (-6)+(-3) = -9 (+7 )+ (-4) = +3 (-5 )+ (+2 ) = -3

TÉRMINOS ALGEBRAICOS

18x2 termino de segundo grado -6x termino de primer grado 10x y4 termino (1+4=5) quinto grado 3x0 termino de o grado propiedades de conscientes

1) 5 - 2 (5) (-2) = -10 = 5 2 4 (2) (4) 8 4

2) (3 ) + 2 = (3) (1) + (-5) (2) = 3 -10 = -7 = 7 5 1 (-5) (1) -5 -5 5 3)-2 (-1) + 3 (-4+6) = 2 + 3 (2) = 2 + 6 1 4 8 4 8 4 8 2(2) +2(10) = 16+24 = 46 = 5 1(8) 32 32 4



SUMA DE POLINOMIOS

EJEMPLO 1 = 1/2x4 + 5x3 -3x2 + x – 6 y 1/2x4 – 3x3 +4/3x2 -3x + 2 = 2x3 – 5/3x2 -2x - 4 EJEMPLO 2 (3x4 –5x2 + 7x ) (x3 + 2x2 – 11x + 3) = 3x4 + x3 -3x2 – 4x +3 EJEMPLO 3 (2x3 -4x2 +7x – 8) (-4x3 -3x2 -5x +9) (-3x3 + 8x2 + 3x -2) = -5x3 + x2 +5x -1

OPERACIONES CON POLINOMIOS EJEMPLO 1

( x2 + x + 5 ) - ( 3x2 - x - 7 )=

(x2 + x + 5) + ( - 3x2 + x + 7 )= 2x2 + 2x + 12

( x2 - 3x2 ) + ( x + x ) + ( 5 + 7)=

EJEMPLO2

(11 - 2y + 5y2) - (- y - 6 + 4y2)=

(11 - 2 y + 5y2) + ( y + 6 - 4y2 )= 17 - y + y2

( 11 + 6 ) + ( - 2y + y ) + ( 5y2 - 4y2 )

DE MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

1.-5x(6x-8)=30x-40x 2.-6ab(3ab+4a+5b)=18a2b2+24ab2+30ab2



3.- 4(a+1/2)=2.8 COMPROBACION 4a+4/2=2.8 4(1.2+1/2)=2.8 4a+2=2.8 -4.8+4/2=2.8 4a=2.8+2=4.8 -4.8+2=2.8 a=4.8/4 2.8=2.8 a=1.2

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

1.- 9x2-12x=

3x RESPUESTA

3x -4 3x 9x2-12x -9x2

0 -12x +12x

0

2.- 2X4-3X3+5X2-6X+10=

X-2

RESPUESTA

2X3 +X2+7X+8 X-2 2X4-3X3+5X2-6X+10

-2X4+4X4 X3+5X2

-X3 +2X 2

7X2-6X -7X2+14X



8X+10 -8X+16

26



BIBLIOGRAFÍA

MATEMÁTICAS PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA

INTERNACIONAL THOMSON

S.T. TAN

ALGEBRA LINEAL CON APLICACIONES

MC. GRAW HILL 4ª EDICIÓN

W. KEITH NICHOLSON

CALCULO DIFERENCIAL INTEGRAL

LIMUSA

WILLIAM ANTHONY GRANVILLE

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Apuntes Curso Propedeutico - tese.edu.mx · PDF fileApuntes para Curso propedéutico2 Ciencias Básicas 2 CONTENIDO Pág. Introducción 3 I.- Teoría de conjuntos 1.1.- Simbología