APUNTES DE ALGEBRA final (1).pdf

FACULTAD DE INGENIERA Y TECNOLOGA PLAN COMN

1

APUNTES DE LGEBRA

XIMENA CANOVAS

2015


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La asignatura de lgebra es uno de los cursos de inicio del plan comn

de ingeniera debido a que constituye una de las bases primordiales de la

formacin de un ingeniero, se ha realizado el esfuerzo de tener una

recopilacin de informacin

Estos apuntes les permiten a los estudiantes del primer semestre de ingeniera, contar con una herramienta pedaggica que les sirva como apoyo para profundizar y consolidar los conocimientos adquiridos en la ctedra. Consiste en un resumen de lo ms bsico y elemental del lgebra el que ser complementado a lo largo del semestre con las ctedras y ayudantas.

Este material ha sido elaborado seleccionando informacin de

diferentes textos y pginas de internet, que el alumno fcilmente puede encontrar en la web. Al final de estos apuntes se sealan los sitios que se usaron como gua.


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NDICE

UNIDAD 1 LGICA

1.1 Proposiciones simples y compuestas 6

1.2 Tablas de verdad. Operaciones lgicas 8

1.3 Leyes principales de la lgica de proposiciones 14

1.4 Funciones proposicionales. Cuantificadores 15

UNIDAD 2 - CONJUNTOS

2.1 Definicin de conjunto. Tipos de conjuntos, notacin. 20

2.2 Operatoria con conjuntos 24

2.3 Aplicaciones 30

UNIDAD 3 - LGEBRA BSICA

3.1 Operatoria en los diferentes conjuntos numricos: , , , , I, . 38

3.2 Razones y proporciones y sus aplicaciones: porcentajes e intereses. 48

Proporcionalidad entre variables: directa e inversa.

3.3 Potencias y races 60

3.4 Expresiones algebraicas y Operatoria. Productos notables y factorizacin. 68

3.5 Logaritmos. 76

3.6 Ecuaciones de primer y segundo grado; racionales e irracionales; 83 exponenciales y logartmicas. Resolucin y problemas de planteo.

Sistemas de ecuaciones. .


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UNIDAD 4 - INDUCCIN Y SUCESIONES

4.1 Sumatorias simples. Sumatorias dobles. Productorias. 103

4.2 Introduccin al concepto de sucesin. Las progresiones 108

aritmtica, geomtrica y armnica. Series aritmtica y geomtrica. Aplicaciones.

4.3 Conjuntos Inductivos y Principio de Induccin Matemtica. 116

Sumatorias importantes asociadas a los nmeros naturales.

UNIDAD 5 - TEOREMA DEL BINOMIO Y COMBINATORIA

5.1 El teorema del binomio. Coeficientes binomiales y sus propiedades. 119

Aplicaciones

5.2 Tcnicas de conteo. Permutaciones, variaciones y combinaciones. 125

Aplicaciones

REFERENCIAS 131


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UNIDAD 1 - LGICA

Introduccin

La LGICA como todas las reas del conocimiento presenta ms de una definicin;

lo cual ms que llevarnos a confusin nos permite una comprensin ms amplia y una mayor visualizacin de las diversas reas de aplicacin. En este curso nos interesa la lgica usada en Matemtica; ms conocida como Lgica Simblica Lgica Proposicional.

Podemos definirla como la rama del conocimiento que trata los mtodos de razonamiento mediante reglas y tcnicas con el fin de determinar si un argumento dado es vlido o no.

Tambin se define como la ciencia que estudia y establece respectivamente los principios y patrones del razonamiento correcto.

El razonamiento es un tipo especial de pensamiento en el cual se realizan

inferencias, es decir, en el que se derivan conclusiones a partir de premisas.

Otro aspecto importante de la Lgica es que nos proporciona herramientas para

modelizar el mundo real; esto bsicamente a travs de la proposicin condicional si p entonces q; es decir, en este caso estamos ante el razonamiento deductivo, que se revisar con detalle ms adelante.

Es importante destacar que la Lgica Proposicional es la base de la demostracin

de Teoremas; sin lo cual no podramos utilizar importantes resultados de la Matemtica; como es en el mbito de la Geometra, por ejemplo, el Teorema de Pitgoras.

Ejemplos de razonamiento inferencial

1. Todos los hombres son mortales. Scrates es un hombre. Por lo tanto Scrates es mortal

2. Todos los nmeros primos son enteros. X = 101 es un nmero primo. Por lo tanto X =101 es un entero

Ejemplo de modelizacin

Modelar una mquina de productos:

i) Poner importe ii) Seleccionar el producto iii) Si est seleccionado el artculo y el importe es correcto, entonces entregar el

producto


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1.1 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

Proposin: Una proposicin es cualquier enunciado lgico al que se le pueda asignar un valor de verdad (V) o falsedad (F), pero no ambos a la vez.

Observacin: La veracidad o falsedad de una proposicin corresponde a su valor de verdad.

Las proposiciones pueden combinarse para expresar conceptos ms complejos. Si una proposicin da slo una informacin se denomina simple; en cambio s proporciona ms de una informacin se denomina compleja.

Ejemplos

1. No s si estas vacaciones de invierno voy a trabajar no es proposicin; pues no es falsa ni verdadera; es decir, no posee valor de verdad.

2. Los ngulos internos de un tringulo suman 180 es una proposicin y su valor de verdad es verdadero; pues este resultado est demostrado y no hay

dudas al respecto.

3. La multiplicacin de dos nmeros enteros negativos distintos, da como resultado otro nmero entero negativo es proposicin, pues nos proporciona claramente una informacin, a pesar que sea falsa; es decir, su valor de verdad

es falso.


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Conectivos lgicos: Los conectivos lgicos u operadores lgicos son smbolos que permiten combinar proposiciones simples produciendo proposiciones compuestas

Los conectivos bsicos de la lgica proposicional, se muestran en la tabla siguiente:

NOMBRE CONECTOR SMBOLO

Conjuncin

Disyuncin

Negacin

Implicacin (condicional)

Equivalencia (bicondicional)

y

o

no

si entonces

si y slo si

v

~

Negacin: Dada una proposicin p, se define la negacin de p como la proposicin p que

es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p" (Tambin se escribe p' o p).

Ejemplos

1. p: x + y = z ; x, y, z IR ~ p: x + y z; x, y, z IR

2. p: x < 10 ; x IR ~ p: x 10; x IR


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1.2 TABLAS DE VERDAD. OPERACIONES LGICAS

A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas

operaciones lgicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en funcin de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza travs de las tablas de verdad de dichas operaciones. Por ejemplo, la tabla de verdad de la negacin es la siguiente:

p p

V F

F V

A continuacin se describen las principales operaciones lgicas entre dos

proposiciones p, q y sus tablas de verdad: Conjuncin: Es aquella proposicin que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p q, y se lee "p y q".

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Disyuncin: Es aquella proposicin que es verdadera cuando al menos una de las dos p q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p v q, y se lee "p q".

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F


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Disyuncin exclusiva: Es aquella proposicin que es verdadera cuando una y slo una de las dos p q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p v q, y se lee "p q pero no ambas".

p q p v q

V V F

V F V

F V V

F F F

Condicional ( implicacin lgica): Es aquella proposicin que es falsa nicamente cuando la condicin suficiente p es verdadera y la condicin necesaria q es falsa. Se escribe p q, y se lee si p entonces q p implica q

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Bicondicional ( doble implicacin lgica): Es aquella proposicin que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee " p si y slo si q".

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V


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Las tablas de verdad para las operaciones bsicas, se han resumido en la tabla siguiente.

p

q

Conjuncin

p q

Disyuncin

p v q

Negacin

~p

Implicacin

p q

Equivalencia

p q

V V V V F V V

V F F V F F F

F V F V V V F

F F F F V V V

Ejemplos de proposiciones compuestas

1. p: Todos los nmeros naturales son nmeros enteros q: Todos los nmeros naturales son positivos

p q : Todos los nmeros naturales son nmeros enteros y positivos

2. p: Ana sigue el plan de estudios que le indic su tutor para aprobar Fsica. q: Ana aprueba Fsica

p q: Si Ana sigue el plan de estudios que le indic su tutor para aprobar Fsica, entonces Ana aprueba Fsica

3. p: Antonio pulsa el botn de arranque de su auto

q: El motor del auto est parado

r : El motor se pone en marcha

(p q) r : Si Antonio pulsa el botn de arranque de su auto y el motor est parado, entonces el motor se pone en marcha.

4. p: Este fin de semana voy a estudiar lgebra q: Este fin de semana voy a estudiar Fsica

p v q: Este fin de semana voy a estudiar lgebra o Fsica


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Tautologa, Contradiccin y Contingencia

Una proposicin se dice que es una tautologa si su valor de verdad es siempre V independientemente de los valores de las proposiciones que la componen, por ejemplo:

p v ~p

p ~p p v ~p

V F V

F V V

Una proposicin se dice que es una contradiccin si su valor de verdad es siempre

F independientemente de los valores de las proposiciones que la componen, por ejemplo:

p ~p

p ~p p ~p

V F F

F V F

Una contingencia es una proposicin a que toma valores V en algunos casos y F en

otros.


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Proposiciones equivalentes

Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en funcin de las proposiciones elementales que lo componen; esta definicin equivale a decir que la proposicin p q es una tautologa.

Por ejemplo, las proposiciones: ( p q ) y ( ~ q ~ p ) son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecproco", y se usa en los razonamientos por reduccin al absurdo. Se pueden obtener fcilmente ms "resultados lgicos" a travs de su relacin con la teora de conjuntos.

Proposiciones Compuestas y Tablas de Verdad

Las proposiciones son expresadas a travs de variables (p, q, r, s, ). Los conectivos lgicos u operadores establecen relaciones entre dos o ms proposiciones. La funcin principal de los operadores es la de formar una nueva proposicin de una o ms proposiciones. As las declaraciones compuestas se conforman a partir de proposiciones simples.

Las tablas de verdad muestran los principales valores de verdad de diferentes grupos de proposiciones conectados por operadores. Los valores de verdad de una proposicin compuesta dependen en los valores de verdad de estos componentes (p, q, r, s...) y del conectivo lgico utilizado.

Ejemplos de proposicin equivalente

1. p: el tringulo ABC es rectngulo q: la suma de los cuadrados de los catetos del tringulo ABC es igual al

cuadrado de su hipotenusa.

Si p y q se cumplen, entonces se cumple que p q es una tautologa y efectivamente esto es as; pues corresponde al Teorema de Pitgoras.

2. p: Hoy estudiar lgebra desde las 14:00 horas hasta las 20 horas. q: Hoy estudiare lgebra 6 horas a partir de las dos de la tarde

En este caso las dos proposiciones dan la misma informacin, pero la forma de

expresarla es distinta; luego p q.


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Construccin de Tablas de verdad para proposiciones compuestas

Supngase que se tienen tres proposiciones simples p, q, r que conforman una proposicin compuesta.

1. Para conocer el nmero de filas ( posibilidades) se aplica la frmula 2n, siendo "n" el nmero de proposiciones (variables). En este caso 2n = 23, o sea. 2 x 2 x 2 = 8.

2. Debajo de cada una de las variables de la izquierda (p, q, r) se escribe una columna de valores. Empezando por la derecha anotando una V y una F, una V y una F, etc., hasta completar el nmero de renglones (en este caso ocho). La siguiente columna a la izquierda se forma escribiendo 2 veces V y 2 veces F, etc., hasta llenar los renglones. La siguiente columna se forma escribiendo 4 veces V y 4 veces F.

3. Para calcular los valores de los conectivos se aplica la regla respectiva y se empieza por los ms interiores. El ltimo conectivo en ser calculado es el que est fuera de todo parntesis.

Ejemplo:

(p q) v (r q)

La tabla de verdad para el ejemplo dado es la siguiente:

p q r (p q) v (r q)

V V V V V V

V V F V V V

V F V F F F

V F F F V V

F V V F V V

F V F F V V

F F V F F F

F F F F V V


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1.3 LEYES PRINCIPALES DE LA LGICA DE PROPOSICIONES

DENOMINACIN REPRESENTACIN LGICA

Leyes equipotenciales P v P P P P P

Leyes asociativas (P v Q) v R P v (Q v R) (P Q) R P (Q R)

Leyes conmutativas P v Q Q v P P Q Q P

Leyes distributivas P v (Q R) (P v Q) (P v R) P (Q v R) (P Q) v (P R)

Leyes de absorcin P (P v Q) P P v (P Q) P

Leyes de identidad (P v F) P (P v V) V

(P F) F (P V) P

Leyes complementarias

(P v ~ P) V ~~ P P

(P ~ P) F

~ V F, ~ F V

Leyes de Morgan ~ (P v Q) ~ P ~Q ~ (P Q) ~ P v ~ Q

Leyes condicionales (P Q) (~ P v Q) (P Q) ~ (P ~ Q)

Leyes bicondicionales (P Q) ((P Q) (Q P)) (P Q) ((~P ~Q) v (P Q))

Aplicacin leyes distributivas y asociativas

Una de las aplicaciones posibles de las leyes distributivas y asociativas es la descripcin de circuitos elctricos en paralelo. Por ejemplo, dado el siguiente circuito, usando estas leyes podemos describirlo de al menos dos maneras distintas. Circuito (I ; F) = (A B) v (C (D v E v F)) = (A B) v ((C D) v (C E) v (C F)

A I F F

C

F

A

C

B

C

D

C

E

C


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1.4 FUNCIONES PROPOSICIONALES. CUANTIFICADORES

Cuantificadores

Los cuantificadores son smbolos matemticos; que permiten construir proposiciones a partir de funciones proposicionales ya sea particularizando o generalizando.

Sea la funcin proposicional:

P(x): x en IR es mayor que 0

Se puede particularizar esto diciendo: Existe un nmero real que es mayor que 0,

generalizarlo diciendo Todos los nmeros reales son mayores que 0.

Ntese que tanto en la particularizacin como en la generalizacin se especifica un conjunto en donde toma valores la variable, en este ejemplo el conjunto son los nmeros reales.

Existe una notacin especfica para la particularizacin y la generalizacin:

x IR / x > 0, que se lee existe un x IR tal que x es mayor que 0

x IR, x > 0 se lee para todo x IR se cumple que x es mayor que 0

El smbolo se llama cuantificador universal y el smbolo es el cuantificador existencial

Como ya lo hemos afirmado, un cuantificador transforma una funcin proposicional en una proposicin, a la cual se le asigna un valor de verdad.

Cuantificador Universal ( )

Si p(x) es una funcin proposicional con x A, entonces se tiene que: para todo x

A se cumple la condicin p(x). Este hecho lo simbolizaremos por:

( x A) p(x) x A : p(x) x A; p(x) x A / p(x)

Se observa que los smbolos: :, ; y / son equivalentes y se leen tal que.


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Cuantificador Existencial ( )

Si p(x) es una funcin proposicional con extensin A , entonces se tiene que

existe por lo menos un x A para el cual se cumple la condicin p(x). Este hecho lo simbolizamos por:

( x A) p(x) x A: p(x) ) x A ; p(x) x A/ p(x)

Negacin de proposiciones con cuantificadores

Sea p(x) una funcin proposicional con extensin A, entonces:

~ (x A)/p(x) ( x A)/ ~ p(x)

~ (x A)/p(x) ( x A)/ ~ p(x)

Ejemplos

1. Sea A = 1, 2, 3, 4, 5. Determine el valor de verdad de cada uno de los enunciados siguientes

a) (x A) | (x+3 =10)

Sol: Es falso porque ningn nmero de A es una solucin de x + 3 = 10; que sera

x =7.

b) (x A) | (x+3 10)

Sol: Es Verdadero, pues cualquier nmero de A cumple que x + 3 10

2. Negar las siguientes proposiciones:

a) p: x IN; x > 0

~ p: x IN; x 0

b) q: Todos los domingos subo el San Cristbal en bicicleta

~ q: Algn domingo no subo el San Cristbal en bicicleta

En este caso, como las proposiciones estn en lenguaje natural; es ms adecuado

desde el punto de vista del lenguaje; decir algn. en vez de existe un.


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En este caso se ha ido paso a paso en la negacin de r; la funcin proposicional

p(x): (x > 0 x IR) es compuesta y para su negacin hay que aplicar una de las leyes de Morgan, indicadas en el cuadro anterior.

Se observa que una parte de p(x) es falsa, la correspondiente a x > 0; pues el conjunto de los nmeros racionales est compuesto por nmeros positivos y negativos; lo cual no cambia para nada los modelos de negacin dados. Aplicacin

Ha habido un asesinato y hay 3 personajes claves que tienen relacin con ste: un presunto polica, un sospechoso por el asesinato y un posible testigo.

En base a las investigaciones han surgido las siguientes proposiciones por parte de los detectives:

a) B no es polica o El Chascn es el asesino. b) Si B no es polica, entonces A llam por telfono. c) Si El Chascn es el asesino, entonces A no llam por telfono. d) Si B no es polica, entonces A no llam por telfono.

Suponiendo que las proposiciones anteriores son ciertas, se pide: I) Se puede saber si B es o no polica? II) Llam A por telfono? III) Es El Chascn el asesino?

Aqu presentamos una aplicacin en el rea de la investigacin policial, para lo cual

se definen las proposiciones bsicas a partir de las cuales se construyen las proposiciones compuestas, que describen el enunciado y luego se llevan a una tabla de verdad.

3. Negar la siguiente proposicin:

r: x Q ; x > 0 x IR

~ r: x Q ; ~ ( x > 0 x IR) x Q ; ~ ( x > 0) v ~ ( x IR)

x Q ; x 0 v x IR


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Desarrollo:

Primero se definen las proposiciones simples que componen las proposiciones I), II) y III).

I) p q

p : B no es polica II) p r

q : El Chascn es el asesino III) q r

r : A llam por telfono IV) p r

Ahora que hemos escrito las proposiciones en lenguaje simblico como proposiciones compuestas de las proposiciones simples p, q, r; pasamos a hacer la tabla de verdad que relaciona a las 3 proposiciones.

p q r r p q p r q r p r

V V V F

V V F V

V F V F

V F F V

F V V F

F V F V V V V V

F F V F

F F F V

La idea no es llenar toda la tabla; sino ir acortando camino en base a los valores de verdad de las proposiciones: I), II), III) y IV). Haciendo lo anterior se llega a la siguiente conclusin:

p F

q V

r F r V Respuesta:

B no es polica El Chascn es el asesino A no llam por telfono

Se observa que para poder llegar a una respuesta, hay que darse escenarios concretos, en este caso se asume que todas las afirmaciones son correctas. No siempre se logra obtener una respuesta concreta, a veces exige un nuevo anlisis y nuevos supuestos.

De lo anterior se desprende, que el trabajo en equipo es fundamental para poder darle el punto de partida al problema y para la interpretacin de los resultados.

Tambin es importante destacar que para construir la Tabla de verdad ya no interesa el contexto en el cual se est trabajando, este se retoma al final, para interpretar la respuesta desde el mbito de la Lgica al contexto especfico.


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UNIDAD 2 - CONJUNTOS

INTRODUCCIN

La primera formulacin de la teora de conjuntos corresponde a George

Cantor(1845-1918); quien desarrolla una teora que permite entender las propiedades de

conjuntos; las cuales no dependen del tipo de elemento que conforman los conjuntos

especficos con los que se est trabajando.

La teora de conjuntos tiene muchas aplicaciones en diversas reas de la

matemtica y la sociologa; pero en el contexto de este curso vamos a destacar la teora

de probabilidades y ms especficamente en el rea de las encuestas; cada vez ms

utilizadas por las empresas, tanto pblicas como privadas; para la toma de decisiones y

definicin de polticas pblicas o estrategias de desarrollo en cualquier mbito

empresarial o industrial de inters.

Tambin es importante destacar; que la Teora de Conjuntos, al igual que la lgica,

nos permiten representar entidades del mundo real; lo cual podra ser, en el contexto de

la Ingeniera, una empresa y describirla o modelizarla bajo distintos enfoques; como

podra ser, por ejemplo por Departamentos de Especialidad, donde se definen sus

funciones y las interrelaciones que se producen entre ellos.


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2.1 DEFINICIN DE CONJUNTO. TIPOS DE CONJUNTOS. NOTACIN.

En este caso, al igual que en el concepto de Lgica hay ms de una definicin, aqu

presentamos un par de ellas; consideradas ms adecuadas a los objetivos de este curso.

Definicin 1.

Conjunto es una lista, clase o coleccin de objetos bien definidos: nmeros,

personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.

Definicin 2.

Un conjunto es la reunin en un todo de objetos bien definidos y diferenciables

entre s; que se llaman elementos del mismo.

Los conjuntos se suelen identificar con letras maysculas A, B, C.., etc. y sus

elementos con letras minsculas.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relacin de pertenencia a

A y se lee: a pertenece a A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota

a A.

Se puede definir un conjunto:

Por extensin, enumerando todos y cada uno de sus elementos.

Por comprensin, diciendo cul es la propiedad que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define

por extensin, o su propiedad caracterstica, si se define por comprensin.

Ejemplos

1. A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}, est escrito por extensin.

A = {n / 1 n 25} est escrito por comprensin.

Tambin podemos afirmar, por ejemplo que: 1 A y 26 A

2. B = {z Z | z es par} est escrito por comprensin


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CONJUNTOS NUMRICOS

Como ejemplos de conjuntos numricos, que son los conjuntos con los que se trabaja

fundamentalmente en matemticas, destacamos los siguientes:

: el conjunto de los nmeros naturales. : el conjunto de los nmeros enteros. el conjunto de los nmeros racionales. I: el conjunto de los nmeros irracionales.

: el conjunto de los nmeros reales. : el conjunto de los nmeros complejos. Estos conjuntos numricos se analizarn y estudiarn en detalle en la siguiente

unidad.

CONJUNTO UNIVERSAL (Universo o Referencial)

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes

de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

CONJUNTO VACO

Se llama conjunto vaco, al conjunto que no posee elementos y se denota por

= { }.

SUBCONJUNTO

Se dice que A es un subconjunto de B (o que A est incluido en B) y se denota

, si todo elemento de A lo es tambin de B.

Simblicamente, la definicin de subconjunto corresponde a:

A B ( x A xB).

Ejemplo (Conjunto Universal)

B = {z | z es par}; en este caso el conjunto universal sera U =

Ejemplo (Conjunto Vaco)

A = { x / x = 1

2 } = ; pues no hay ningn nmero natural igual a

1

2


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Observamos que la simbologa vista en Lgica la estamos utilizando para definir

subconjunto; que es la que nos permite trabajar y hacer inferencias en matemticas.

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Dos conjuntos A y B son iguales, lo cual se denota A = B, si A est contenido en B y

B est contenido en A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o tambin

la misma propiedad caracterstica).

Simblicamente sera: A = B ( A B y B A).

Ejemplos

1. El conjunto C = {1 ,3 ,5} es un subconjunto del D = {5, 4, 3, 2, 1} ya que todo elemento de C pertenece al conjunto D.

2. A ={el conjunto formado por todos los cuadrilteros }

B = {el conjunto formado por todos los cuadrados}

C = {el conjunto formado por todos los rombos}

En este caso se cumple que B C, B A y C A; lo cual se puede

resumir en al siguiente secuencia B C A.

Nota: Al considerar como conjunto total el de los cuadrilteros, dentro de este estaran

los paralelgramos y dentro de este los paralelogramos equilteros. As hemos llegado a la

definicin de rombo, y hay un rombo en particular que es el cuadrado por tener los cuatro

ngulos de 90 grados.

Ejemplo

A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, . ., 99, 101}

B = {x IN / x = 2n - 1, 1 n 51}

Observamos que A = B, ya que los dos representan a los nmeros impares

entre 1 y 101; ambos incluidos.


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CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos, en relacin al nmero de elementos

que poseen. Si son finitos, el nmero de elementos se denomina cardinalidad del

conjunto y se denota por card(A) n(A); donde A representa un conjunto finito

cualquiera.

CONJUNTO POTENCIA (o partes de un conjunto)

Se denomina conjunto potencia de A o conjunto de las partes de A y se denota

P(A), a la familia de todos los subconjuntos del conjunto A. S el conjunto A tiene n

elementos, el conjunto potencia de A tendr 2n elementos.

Ejemplo

1. Si A = {a, b}, entonces P(A) = { ,{a},{b},{a, b}} y n (P(A)) = 22

2. Si A = {3, 4, 5}, entonces P(A) = {, {3}, {4},{5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {3,4,5}} y n (P(A)) = 2

3

Observamos que el conjunto vaco y el propio conjunto A pertenecen a P(A).


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REPRESENTACIN DE CONJUNTOS. DIAGRAMAS DE VENN - EULER.

Los diagramas de Venn- Euler, o de Venn permiten visualizar grficamente las relaciones entre conjuntos y se representan mediante crculos inscritos en un rectngulo. Los crculos corresponden a los conjuntos dados y el rectngulo al conjunto universal.

Ejemplos

1. (Representar la inclusin de conjuntos)

A B.

2. Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes; por ejemplo: A = {1,3,8}, B = {2,4,9}; A y B son conjuntos disjuntos y su representacin grfica corresponde a:

2.2 OPERATORIA CON CONJUNTOS

1. Unin de conjuntos: La unin de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos

pertenecen a A o a B o a ambos y se denota por AB.

Notacin: AB= {x/xA xB}, smbolo =

Grficamente:

U U U

A B A B B

A

U B

A

U A B


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2. Interseccin de conjuntos: La interseccin de dos conjuntos A y B, es un conjunto

cuyos elementos son comunes a A y B y se denota por A B.

Notacin: A B= {x / x A x B} smbolo = y

Grficamente:

3. Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no

pertenecen a A, es decir, la diferencia del conjunto universal U y del A. Se denota por AC.

Notacin: Ac = { x U / x A}

Grficamente:

A

U U U

B A B A

A B

Ejemplo

Si A = {3,4,5,8,9} y B = {5,7,8,9,10}, entonces:

AB = {3,4,5,7,8,9,10}

Ac U

A

Ejemplo:

Si A={7,8,9,10,11,12} y B={5,6,9,11,13,14}, entonces A B={9, 11}


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4. Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos

elementos son aquellos que estn en el conjunto A, pero no en el conjunto B.

Notacin: A - B = {xU / x A x B}

Grficamente:

U U U

A B A B A

B

Ejemplo:

Si U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7}, entonces Ac= {1,2,5,8,9,10}

Ejemplo:

Si C = {u, v, x, y, z} y D = {s, t, z, v, p, q}, entonces: C - D = {x, y, u}


27

5. Diferencia Simtrica: La diferencia simtrica de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos son aquellos que estn en A, pero no en B, unidos con aquellos que

estn en B, pero no en A y se denota por A B.

Notacin: A B= {x / x A x } {x / x x }

A B= (A - B) (B -A) Grficamente:

Teorema 1

Dados los conjuntos finitos A y B, se cumple que

n(A = n(A) + n(B) n (A Teorema 2

Dados los conjuntos finitos A, B y C, se cumple que:

n(AC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A - n(C) n(BC) + n(AC)

U U

A B ) B

)

A

Ejemplo:

A= {1,3,4,5,6,7,20,30} B={2,6,20,40,50}

AB= {1,3,4,5,7,30} {2,40,50}

A= {1,2,3,4,5,7,30,40,50}


28

LEYES DEL LGEBRA DE CONJUNTOS

Adems de stas, se verifican tambin las siguientes propiedades:

A = A , A = ( elemento nulo ).

A U = U , A U = A ( elemento universal ).

( A B )' = A' B' ; ( A B )' = A' B' ( leyes de Morgan ).

Relacin entre la Teora de Conjuntos y la Lgica Proposicional

Existe una relacin muy estrecha entre la Teora de Conjuntos y la Lgica

Proposicional. Para mostrar dicha relacin, denotemos por letras maysculas A,B ... los

conjuntos y por las correspondientes minsculas a, b ... sus propiedades caractersticas

(es decir, la proposicin lgica que caracteriza a los elementos de cada conjunto);

entonces se tiene la siguiente correspondencia.

CONJUNTOS A B A = B A B A B A' A B A B

PROPOSICIONES a b a b a b a b a a b a b

PROPIEDADES UNION INTERSECCION

Idempotencia A A = A A A = A

Conmutativa A B = B A A B = B A

Asociativa A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C

Absorcin A ( A B ) = A A ( A B ) = A

Distributiva A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

Complementariedad A A' = U A A' =


29

Adems, el conjunto vaco se corresponde con una contradiccin y el conjunto

universal con una tautologa.

Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden

reescribir en trminos de lgica proposicional y viceversa; a modo de ejemplo:

A ( A B ) = A a ( b c ) a

A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) a ( b c ) ( a b ) ( a c )

( A B )' = A' B' ( a b ) a b


30

2.3 APLICACIONES

1. Encuesta

En una encuesta aplicada a un grupo de estudiantes de Ingeniera Civil, acerca de sus preferencias en el uso de las redes sociales se obtuvieron los siguientes resultados:

55 prefieren Facebook 60 prefieren Twitter 20 usan ambos 10 no prefieren ninguno de los dos, se pide:

a) Cuntos estudiantes prefieren slo Facebook? b) Cuntos prefieren slo Twitter? c) Cuntos estudiantes usan al menos uno de los dos? d) Cuntos estudiantes fueron encuestados?

Desarrollo En este caso es definimos los siguientes conjuntos:

F = estudiantes que prefieren Facebook T = estudiantes que prefieren Twitter. N = estudiantes que no prefieren ni Facebook ni Twitter

Datos:

Cardinalidad de los conjuntos n(F) = 55 , n(T) = 60, n(N) = 10 y n( FT) = 20 Se sugiere hacer el respectivo diagrama de Venn, que facilita y permite visualizar mucho mejor el desarrollo y solucin de las preguntas. Respuestas

a) n(FTc) = 55 20 = 35 estudiantes

b) n(T Fc) = 60 20 = 40 estudiantes

c) n(F T) = n(F) + n( T) n( FT) Teorema 1

n(F T) = 55 + 60 - 20 = 95 estudiantes

d) n(U) = n(F T) + n(N) = 95 + 10 = 105 estudiantes


31

2. En una cierta empresa hay trabajadores pertenecientes a tres Instituciones financieras:

Banco de Chile, Santander y Estado. Sabiendo que 70 son del Banco de Chile, 350 del

Santander y el otro 50% de trabajadores al Banco Estado, adems de que 30 trabajadores

tienen cuenta en los tres Bancos 50 trabajadores tienen cuenta en el Banco de Chile y

Estado 160 trabajadores tienen cuenta en el Banco Santander y Estado 40 trabajadores

tienen cuenta en el Banco de Chile y Santander. Se pide:

a) Nmero de clientes con cuenta solo en el Banco Estado b) Nmero de clientes con cuenta solo en el Banco de Chile c) Nmero de clientes con cuenta solo en el Banco Santander d) Nmero de clientes con cuenta en el Banco de Chile y Santander e) Nmero de clientes con cuenta en el Banco de Chile o Estado y no en el Santander

Respuestas

a) 240 b) 10 c) 180 d) 40 e) 270

El desarrollo y anlisis de este ejercicio se discutir en clase.


32

UNIDAD 3 - LGEBRA BSICA

Introduccin

Uno de los conjuntos ms utilizados y de mayor inters en el mbito de la

Ingeniera, es el conjunto de los nmeros reales; cuyos elementos representan cualquier

magnitud del mundo real. Antes de definir los nmeros reales; nos referiremos

brevemente a las sucesivas ampliaciones del concepto de nmero, empezando con los

nmeros naturales.

Esta unidad tiene como objetivo principal que el alumno(a) adquiera destreza y

dominio en la operatoria bsica de los distintos conjuntos que se van a definir y su

aplicacin a la resolucin de problemas asociados.


33

SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE NMERO

Los nmeros naturales surgen ante la necesidad bsica de contar y tambin permiten establecer

la posicin u orden dentro de un conjunto.; se designa por la letra y viene definido por:

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Si agregamos el cero obtenemos el conjunto de los nmeros cardinales, el cual se

denota por 0, viene definido por 0 = {0. 1, 2, 3, 4, 5, 6} y grficamente est representados en la siguiente recta.

Observamos que entre dos nmeros naturales consecutivos no existe otro nmero natural, por ejemplo: entre el 8 y el 9 no hay ningn nmero natural.

Es importante destacar, que al trabajar con los elementos de un conjunto; las operaciones entre los elementos de un conjunto deben estar bien definidas y debe ocurrir que los resultados que se obtienen estn contenidos en el conjunto; que corresponde a la propiedad de ser cerrado respecto de una operacin matemtica.

Vemos que el conjunto de los nmeros naturales es cerrado respecto de las operaciones suma y

multiplicacin; pero presenta problemas, en algunos casos de resta; por ejemplo 4 5 =?

Para enfrentar esta situacin el conjunto de los nmeros naturales se extiende al conjunto de los

nmeros enteros; el cual se denota por y viene dado por:

= {... , -6 , -5 , -4, -3, -2, - 1,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

En este caso s podemos realizar la resta anterior: 4 - 5 = -1 y -1 .

Representamos grficamente al conjunto de los nmeros enteros, en la siguiente

recta.


34

Este conjunto nos ampla la gama de aplicaciones; permite expresar el dinero

adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar; las

direcciones derecha e izquierda; los conceptos arriba/ abajo; los puntos cardinales, etc.

Observamos que los nmeros naturales estn incluidos en los nmeros enteros, es

decir, .

Tanto en el conjunto de los nmeros naturales como el conjunto de los nmeros

enteros se presenta problemas con la divisin; cuando la divisin no es exacta; por

ejemplo:

3: 4 =

=?

Esta expresin matemtica, representa una parte de un entero; en este caso; si el

entero se divide en cuatro, representara, 3 partes del total o tres cuartos del total, tal

como se muestra en la siguiente figura:

Nuevamente, se extiende el concepto de nmero, de manera de poder tener

nmeros que nos permitan representar partes enteras de un total, este conjunto se

denomina conjunto de los nmeros racionales; se denota por y se define como:

= {

, ; } ; por ejemplo:

; 2 =

y 0.23 =

Entre dos nmeros racionales hay infinitos nmeros racionales. Esta afirmacin

podra justificarse sencillamente si tenemos en cuenta que la suma de racionales es

siempre otro racional, el promedio ser otro racional y estar comprendido entre ellos.

Podramos continuar indefinidamente el procedimiento de promediar dos nmeros

racionales encontrando siempre que hay otro racional entre dos racionales por ms

prximos que estn. Por ello decimos que es un conjunto denso.


35

A continuacin presentamos una representacin geomtrica de algunos nmeros

racionales:

Una representacin de otros nmeros racionales queda reflejada en la siguiente

recta:

Con los conjuntos , y definidos, se cumple que: .

Divisin y multiplicacin en

Sean a, b, c y d en ; b, d 0, definimos la divisin y multiplicacin en de la

siguiente manera:

Multiplicacin Divisin

=

=

,

:

=

=

Los nmeros decimales (decimal exacto, peridico puro y peridico mixto) son nmeros racionales; pues siempre pueden expresarse como la divisin de dos enteros.

Todos los nmeros racionales estn representados por puntos sobre la recta numrica, pero no todos los puntos de la recta son representaciones de nmeros racionales; existen otros nmeros que junto a los racionales completan a la recta numrica; estos son los nmeros irracionales y corresponden a nmeros decimales ilimitados no peridicos.

Una vez ms, ampliamos el concepto de nmero al conjunto de los nmeros irracionales; el cual se denota por I y se define como:

I = { x

/, , }


36

En palabras, los nmeros irracionales, son todos los nmeros que no se pueden

expresar como una divisin de dos enteros.

Otra forma de expresar el conjunto de los nmeros irracionales es a travs de la

siguiente resta de conjuntos: I =

Lo ms interesante de este conjunto; es que sus elementos representan medidas

del mundo real, lo cual queda de manifiesto en los siguientes ejemplos.

Ejemplos

1. Uno de los nmeros racionales ms conocidos es el nmero , que se define como la relacin entre la longitud de la circunferencia y su dimetro y

corresponde a = .

2. Otro nmero importante es el nmero e = 2. 718281828459, que corresponde a un lmite (se ver ms adelante, en los cursos de clculo) y

aparece en procesos de crecimiento, en la desintegracin radioactiva, en la

frmula de la catenaria; que es la curva que podemos apreciar en los tendidos

elctricos, en el rea de finanzas, etc.

3. El nmero racional = 1.414213562 , es una consecuencia del teorema de Pitgoras aplicado a un tringulo rectngulo issceles cuyos catetos son de

longitud 1, es decir c = b = 1 en el tringulo que se muestra ms

abajo(unidad de longitud) y se cumple que:

b2 + c2 = 12 + 12 = a2 2 = a2 a = 2 ; como se puede visualizar en

la siguiente figura:


37

Nmeros Reales

El conjunto de los nmeros reales es el conjunto que incluye a todos los racionales

e irracionales a la vez; es decir, representa cualquier magnitud del mundo real y se denota

por IR; luego tal como se estableci anteriormente:

= I

Muchas veces, nos interesa distinguir entre los reales positivos y negativos, para lo

cual se definen los siguientes conjuntos:

+ = {x en / x > 0} y - = {x en / x < 0}

Con lo cual tambin se puede expresar como = + { 0 } -

La recta real

Los nmeros reales nos permiten establecer una relacin uno a uno con los puntos de una recta; es decir, a todo nmero real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta le corresponde un nmero real, de ah que se hable de recta real.

La siguiente grfica representara la recta real; donde se han destacado algunos

nmeros reales.

A travs de lo expuesto, observamos que los nmeros se agrupan en conjuntos o

estructuras diversas; en general cada una contiene a la anterior (el caso de IN, IZ, Q y IR) y es ms completa y con mayores posibilidades en sus operaciones; lo cual queda reflejado en las siguientes relaciones de subconjuntos y en el siguiente esquema conceptual:

, I , + y -


38

Esquema Conceptual

3.1 OPERATORIA EN LOS DIFERENTES CONJUNTOS NUMRICOS

( , , ,, , )

NMEROS NATURALES

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Operaciones (suma y multiplicacin)

La suma y el producto son operaciones cerradas. Esto es, la suma y el producto de

nmeros naturales arrojan como resultado nmeros naturales. Simblicamente:

Si y , entonces + ( y se llaman trminos o sumandos)

Si y , entonces ( y se llaman factores)


39

Propiedades

Adicin Multiplicacin Propiedad , + = + =

, , ( + ) + = + ( + ) ( ) = ( )

Distributividad de la multiplicacin respecto de la suma:

, , ( + ) = +

CONCEPTOS BSICOS

Nmero Primo: Un nmero natural se denomina nmero primo si es divisible por 1 y

por s mismo; es decir:

Nmeros Primos = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . . }

Factores: Los factores son elementos de la multiplicacin; por lo tanto, llamaremos factores de un nmero, a los nmeros que contienen a ese nmero; es decir, tienen como producto a ese nmero.

Nmeros Compuestos: Un nmero natural se llama nmero compuesto si se puede

expresar como la multiplicacin de dos o ms factores, es decir:

Nmeros compuestos = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,... }

Luego, = {} {} {}


40

Mnimo Comn Mltiplo: El mnimo comn mltiplo (m. c. m.) de dos o ms nmeros es

el menor mltiplo comn distinto de cero.

Ejemplo1: m.c.m. (4,6) = ?

Mltiplos de 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 36, 40, 44, 48,

Mltiplos de 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...

Mltiplos comunes de 4 y 6 = 12, 24, 36, 48,

El mnimo de todos ellos es el 12

m.c.m. (4,6) = 12

Existe otra forma de calcular el mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros con los

siguientes pasos:

Se descompone cada nmero en producto de factores primos.

El producto entre los factores comunes (elevados al mayor exponente) y los no comunes es el m. c. m .

Ejemplo 2: Hallar m. c. m. (30,45) = ?

30 2 45 3

15 3 15 3

5 5 5 5

1 1

30 = 2 x 3 x 5 45 = 32 x 5

m.c.m. (30,45) = 2x x 5 = 90

Ejemplo (nmeros compuestos)

6 = 3 2 = 6 1

24 = 12 2 = 3 4 2 = 3 2 2 2 = 24 1

a = a 1 ; a el nmero 1 es factor de todos los nmeros.

Observamos que algunos nmeros naturales; se pueden descomponer de ms de una manera y que el nmero 1 es factor de todos los nmeros.


41

Mximo Comn Divisor: El mximo comn divisor (m. c. d) de dos o ms nmeros es el

mayor de los divisores comunes.

Una manera de calcular el m. c. m. es:

Se descomponen los nmeros en factores pr imos.

Se toman los factores comunes con menor exponente .

Se mult ip l ican d ichos factores y e l resultado obtenido es e l mcd.

Ejemplo de clculo de mximo comn divisor

Hal lar e l m. c . d . de: 72, 108 y 60:

7 2 2 1 0 8 2 6 0 2

3 6 2 5 4 2 3 0 2

1 8 2 2 7 3 1 5 3

9 3 9 3 5 5

3 3 3 3 1

1 1

72 = 23 32 108 = 22 33 60 = 22 3 5 m. c. d. (72, 108, 60) = 22 3 = 12 12 es el mayor nmero que divide a 72, 108 y 60.

Mltiplos de un nmero natural: los mltiplos de un nmero natural k se definen como:

M(k) = { k, 2k, 3k, 4k, 5k, 6k, 7k, . . . }

Divisores de un nmero natural: Los divisores de un nmero natural corresponde a todos

los factores de un nmero:

Ejemplo: Los mltiplos de 3 son: M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, . . . }

Ejemplo: Los divisores de 60 son: D(60) = {1,2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}


42

NMEROS ENTEROS

= {.. , -6 , -5 , -4, -3, -2, - 1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6}

En este conjunto se cumplen las mismas propiedades que para los nmeros

naturales; pero en este caso cada vez que se resten dos nmeros enteros, su resultado

ser otro nmero entero.

Resta En este conjunto podemos definir la resta de la siguiente manera:

= + (b); a, b

Por lo tanto, restar un nmero a otro; no es otra cosa que sumar el inverso aditivo en este caso de b; donde a se llama minuendo y b sustraendo y en este conjunto la operacin resta es cerrada.

NMEROS REALES

Como ya se estableci = I , es decir, el conjunto de los nmeros reales es el conjunto formado por todos los nmeros racionales e irracionales; por lo tanto vamos a dar directamente los axiomas que cumple este conjunto respecto de las operaciones suma y multiplicacin, pues de esta manera incluimos tanto a los racionales como irracionales. Axiomas de Cuerpo (suma y multiplicacin) Asumimos la existencia de dos operaciones internas denominadas suma (+) y producto (). Sean x, y, z en .

Conmutatividad: x + y = y + x; x y = y x.

Asociatividad: (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z).

Distributividad del producto respecto de la suma: x (y + z) = x y + x z.

Elemento neutro (existencia y unicidad).

Suma: Existe un valor nico perteneciente en , denotado por 0 y se lee cero;

: + 0 = 0 + =

Multiplicacin: Existe un valor nico perteneciente en , denotado por 1 y se lee uno;

: 1 = 1 =


43

Elemento inverso (existencia y unicidad)

Suma

, , " "

+ () = () + = 0

Multiplicacin

, 0; , "1 =1

" ;

1 = 1 = 1

El conjunto de nmeros reales respecto de las operaciones + y cumple con la

definicin de estructura de cuerpo; por lo tanto posee estructura de cuerpo.

1 =1

23

=

.

1 = 1

4

3

=

.

1 = 1

23

3=

.

Ejemplo:

1. = = . 1 =

.

2. =

=

.

3. =

= (

) = +

4

3=

.

4. =

=

.


44

Axiomas de orden

Admitimos la existencia de una relacin > entre los nmeros reales, que establece un ordenamiento de los mismos. Se verifica:

Dados dos nmeros reales x e y se cumple una y slo una de las siguientes relaciones: x > y, y > x x = y.

Sean x, y, z nmeros reales; x > y, entonces x + z > y + z.

Sean x, y nmeros reales; x > 0 e y > 0, entonces x y > 0.

Sean x, y, z nmeros reales; x > y e y > z, entonces x > z. Propiedad transitiva de los nmeros reales.

Luego, provisto de las operaciones +, y de la relacin de orden > posee

estructura de cuerpo ordenado.

Relacin <

La relacin x < y, se define en trminos de la relacin > de la siguiente manera:

x < y si y slo si x > - y.

Adems, si x < 0, entonces x > 0; con lo cual se pueden deducir los axiomas de orden para la relacin >.

Recta real (relacin >)

Los nmeros reales son a menudo representados geomtricamente como puntos

de una recta denominada recta real. A cada punto de la recta real le corresponde un nico

nmero real y viceversa, por lo que es habitual referirse al punto x como el nmero real

x. La relacin > admite una interpretacin geomtrica simple, si x > y, entonces x

estar a la derecha de y.


45

Observamos que los axiomas slo estn referidos a las operaciones suma y

multiplicacin, pues la resta y la divisin son caso especiales de suma y multiplicacin

respectivamente, en ambos casos se opera con el respectivo inverso; como queda

establecido en las siguientes definiciones:

Resta Divisin

a b = a + (-b) ; a, b

=

; , ,

Ejemplos:

1. Si = 3 = 5, entonces < > , es decir < >

2. Si = 7 = 4, entonces < > , es decir < >

3. Sean =2

7 =

3

8 , en este caso como los nmeros tienen distinto

denominador, debemos transformarlos en nmeros comparables, es decir que tengan

un comn denominador y buscamos el mcm{7, 8}= 56

= 2

7=

28

78=

=

3

8=

37

87=

, entonces < > .

4. Sean = 3 7

2 =

3

8 4 =

1

2 =

29

8 , en este caso como

los nmeros tienen distinto denominador, debemos transformarlos en nmeros

comparables, es decir que tengan un comn denominador y buscamos el mcm{2, 8}= 8

= 14

2 4=

=

, entonces > < .


46

Aplicaciones

1. Una reparticin justa?

En un pueblo muy lejano y en otra poca, se suscit una gran discusin entre 3 hermanos, que deseaban repartir en forma equitativa la herencia dejada por su padre. Esta consista en 35 camellos que deban repartirse de acuerdo a la voluntad paterna del siguiente modo: del total para el hermano mayor, 1/3 para el del medio y 1/9 para el menor. La discusin surgi cuando al querer repartirse los camellos se encontraron con: (35) = 17.5 , 1/3(35) = 11.6 , 1/9(35) = 3.7 en ningn caso da un nmero entero.

Un forastero que lleg al pueblo en ese perodo, se ofreci a solucionar el

problema. Obsequi el camello que tena y procedi a la reparticin:

(36) = 18 camellos para el hermano mayor.

1/3(36) = 12 camellos para el hermano del medio.

1/9(36) = 4 camellos para el hermano menor.

Como el total de camellos repartidos sumaban 34, el forastero procedi a retirar el

camello que haba donado y tom el restante como pago por haber solucionado el

problema.

Esta es una clsica aplicacin de divisibilidad, en el cual 34 no es divisible por 2, 3 y

9 a la vez, por lo cual el forastero hbilmente encuentra un nmero muy cercano a 34;

pero superior divisible por 2, 3 y 9 a la vez; como el mcm{2, 3, 9} = 18 < 34, entonces se

prueba con el siguiente mltiplo de 18, es decir 18 2 = 36 que si es divisible por 2, 3 y 9 a

la vez y cercano a 36. De esta forma el forastero resuelve el problema y se adjudica un

camello, bien muy preciado en este contexto.


47

2. Una cita en Valdivia

Un viajante va a Valdivia cada 18 das, otro va a Valdivia cada 15 das y un tercero

va a Valdivia cada 8 das. En el da de hoy, da 10 de enero han coincidido en Valdivia los

tres viajantes. Dentro de cuntos das como mnimo volvern a coincidir en Valdivia?

Resolucin

El nmero de das que han de transcurrir como mnimo para que los tres viajantes

vuelvan a coincidir en Valdivia tiene que ser un mltiplo de 18, de 15 y de 8, y adems

tiene que ser el menor mltiplo comn; luego hay que calcular el m.c.m.{18,15, 8}.

18 = 2 x 32

15 = 3 x 5 mcm {18, 15, 8} = 23325 = 360

8 = 23

Los tres viajantes volvern a coincidir en Valdivia dentro de 360 das.

3. Todos por igual

Para ayudar a los damnificados del terremoto, en una poblacin se requiere

entregar 90 cajas con alimentos, 120 frazadas y 180 prendas de vestir. Cul es la mayor

cantidad de pobladores que pueden recibir las ayudas? Qu ayuda recibe cada poblador?

Resolucin

En este caso hay que determinar el mximo comn divisor entre 90, 120 y 180

90 =2325 120 = 2335 180 = 22325

mcd {90, 120, 180} = 235 = 30 pobladores , luego: 90

30 = cajas de alimentos

120

30 = Frazadas y

180

30 = prendas de vestir.

La mayor cantidad de pobladores que puede recibir ayudas es 30 y cada uno recibe

3 cajas de alimentos, 4 frazadas y 6 prendas de vestir.


48

3.2 RAZONES Y PROPORCIONES

Induccin

En la mayora de las acciones que realizamos diariamente, nos encontramos con

situaciones en la cual se comparan cantidades de ciertas magnitudes, por ejemplo, decir el

ingreso per cpita de un pas A es el doble que el ingreso per cpita de un pas B el

valor de un televisor en una casa comercial A es la mitad de lo que vale en una casa

comercial B, son ejemplos de este tipo de comparacin y como veremos a continuacin

corresponden al concepto de razn.

Razn

Una razn es una forma de comparar dos cantidades expresadas en la misma unidad de medida y se expresa as:

a : b

y se lee: a es a b ; a, b , 0

De la definicin deducimos que : =

= k; donde k es el valor asociado a la

razn. Adems, como las razones son nmeros racionales, podemos amplificarlas y

simplificarlas todo lo que se quiera; mientras se mantenga la razn.

Si consideramos el ejemplo de la introduccin, la razn del ingreso per cpita entre

los pases A y B sera:

= 2 , donde IA representa el ingreso per cpita del pas A e

IB representa el ingreso per cpita del pas B.


49

Proporciones

Se denomina proporcin a la igualdad entre dos razones, es decir:

=

:

; a, b, c, d , 0, 0; la cual se lee: a es a b como c es a d

Una deduccin inmediata de la definicin de proporcin y propiedades del lgebra en ,

se tiene que:

=

= ; ,

4

5=

8

10=

12

15=

16

20=

4

5 ,

Ejemplos:

1. Supongamos que se realiz una encuesta entre los jvenes entre 18 y 21 aos, cuya

conclusin es: "1 de cada 5 jvenes est inscrito en el Registro Electoral". Luego, la

razn entre los que votan y el total de jvenes es 1 : 5. Tambin podemos decir que la

razn entre los que votan y los que no, es 1 : 4 .

2. Supongamos que queremos expresar los no votantes del ejemplo anterior con

respecto al total. Esto se puede hacer de las siguientes formas:

3. Las edades de 2 personas estn en la razn 4 : 7. Qu edad tiene cada una si la diferencia de sus edades es de 15 aos?

Digamos que la primera persona tiene 4k aos, para algn k, IN. Entonces, la segunda persona tendr 7k aos. Luego, como la diferencia de sus edades es 15 aos,

entonces 15= 7k 4k =3k k =5, entonces las edades sern 20 y 35 respectivamente.

Ejemplo: Durante 25 minutos de ver televisin, hay 7 minutos de anuncios

comerciales. Si ves 70 minutos de televisin, cuntos minutos de anuncios vers?

25

7=

70

=

770

25 = 19.6

Por lo tanto, en 70 minutos de ver televisin, hay alrededor de 20 minutos de anuncios comerciales.


50

Proporcionalidad directa

Dos variables x e y estn en proporcionalidad directa si su cociente permanece

constante, es decir: x e y estn en proporcionalidad directa

= , donde k

representa la constante de proporcionalidad.

De esta definicin, despejando x se tiene: = , por lo tanta ambas variables varan en el mismo sentido, es decir, si aumenta (disminuye), entonces tambin aumenta (disminuye) en la misma proporcin.

El grfico de dos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que estn sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplos:

1. Un grifo tiene un caudal de 5 dm3 por minuto. La siguiente tabla muestra la relacin entre caudal (dm3) y tiempo (min) de algunas mediciones registradas.

Tiempo (min) 0 1 2 3 4 5 6

Capacidad (dm3) 0 5 10 15 20 25 30

Representacin grfica

Observando el grfico se visualiza en este caso, que si una magnitud aumenta, la otra

tambin y de la tabla de valores obtenemos que la razn entre las magnitudes se

mantiene constante:

=

=

=

=

=

= =


51

=

=

=

=

=

= =

OA

OA =

AB

AB =

BC

BC

Observando el grfico se visualiza en este caso, que si una magnitud aumenta, la

otra tambin y de la tabla de valores obtenemos que la razn entre las magnitudes se

mantiene constante:

2. Supongamos que vamos por la carretera camino a Via del Mar a una velocidad de 120 km/hora y que hemos logrado registrar los siguientes datos:

Distancia(km) Tiempo(hora) Razn (d/t)

0 0

30 0,25 120

60 0.5 120

120 1 120

Podemos reconocer dos variables asociadas a este contexto; la distancia y el tiempo. En este caso la razn d/t representa la magnitud fsica de la velocidad, es

decir, =

= y claramente representa una relacin directa, pues a mayor

tiempo transcurrido mayor distancia recorrida.

3. Considere dos rectas d y d' secantes en O y tres puntos cualesquiera A, B y C sobre

d y trazamos por ellos rectas paralelas que corten a d' en A', B' y C', como se indica en

el siguiente grfico.

El teorema de Thales afirma que los siguientes segmentos estn en proporcionalidad

directa, es decir:


52

4. Ejemplo de reas y volmenes de figuras proporcionales.

Cubo 1 Cubo 2 Razn de

proporcionalidad

Arista a ka

rea

lateral

Volumen


53

Proporcionalidad inversa

Dos variables x e y estn en proporcionalidad inversa si el producto entre ellas es constante, es decir: x e y estn en proporcionalidad inversa = , donde k representa la constante de proporcionalidad.

De esta definicin, despejando x se tiene: =

, por lo tanto ambas variables

varan en sentido contrario, es decir, si aumenta (disminuye), entonces disminuye (aumenta) y la variacin entre ambas se produce en la misma proporcin.

El grfico que corresponde a una proporcionalidad inversa es una hiprbola.


54

Ejemplo:

1. En una camioneta se pueden transportar 280 litros de agua. La siguiente tabla muestra algunas posibilidades de transportar el agua, segn el nmero de garrafas y la capacidad de cada una.

N DE GARRAFAS CAPACIDAD POR GARRAFA PRODUCTO

10 28 280

20 14 280

40 7 280

70 4 280

140 2 280

Como el producto de ellas es constante (280), entonces las magnitudes nmero de garrafas y su capacidad en litros son inversamente proporcionales y de la tabla se observa claramente que mientras el nmero de garrafas aumenta la capacidad de ellas disminuye.

De la tabla se observa que por ejemplo si el nmero de garrafas aumenta al doble, la capacidad se reduce a la mitad.


55

Proporcionalidad compuesta

Cuando intervienen dos o ms variables relacionadas entre si proporcionalmente, estamos ante un problema de proporcionalidad compuesta. Para resolver ejercicios de este tipo, primero se debe dilucidar qu proporcionalidad existe entre la incgnita y el resto de las variables que intervienen.

Ejemplo:

Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 das. Cuntos

obreros pavimentarn 5 km en 10 das?

En este caso se observa que intervienen 3 variables proporcionales:

n de obreros, n de Km y n de das

La relacin de proporcionalidad de n de obreros con las dems variables se presenta en el siguiente esquema:

Planteamiento:

=

x =

= 25

Por lo tanto, se necesitan 25 obreros para pavimentar 5 km en 10 das.


56

APLICACIONES: (Porcentaje, Inters y Repartos Proporcionales)

PORCENTAJE

El porcentaje es una proporcionalidad directa en que se considera la totalidad como un 100%. Por ejemplo, decir que el precio de un artculo ha subido 5% significa que se ha incrementado 5 partes de un total de 100. En trminos fraccionarios, se dice que ha subido la 5/100 parte. Cuando calculamos el porcentaje de un nmero, podemos hacerlo directamente ocupando el concepto de fraccin. Por ejemplo, el 12% de 600 es:

El clculo de porcentaje tambin se puede realizar a travs de una proporcionalidad

directa:

Es bastante til utilizar este mtodo para resolver problemas de porcentaje relacionados

con ganancia y prdida.

Ejemplos:

1. El precio de un chaleco durante una oferta ha bajado de $15.000 a $13.500. Qu % de descuento se le aplic? En este caso, se considera el precio inicial ($15.000) como el 100%. De lo que disminuy: $15.000 $ 13.500 = $ 1.500, se requiere saber qu porcentaje es del precio original, por lo tanto:

2. Qu % es 0,2 de 4?

En este caso, la totalidad es 4 (el 100%), de modo que planteamos la proporcin:


57

INTERS

Si una persona invierte en el banco $100.000 en enero de este ao y acuerda con

el banco que a fin de ao, el banco le devolver $130.000; entonces los $30.000

representan el llamado inters del capital. Se distingue entre inters simple e inters

compuesto; el inters compuesto se ver ms adelante.

Inters simple: Cuando los beneficios obtenidos se retiran al final de un perodo sin volver a invertirlos.

Inters compuesto: Cuando el beneficio obtenido en un perodo se acumula al dinero prestado y se vuelve a ingresar con el mismo inters y mismo perodo.

Inters Simple

El inters i es directamente proporcional al capital C y al tiempo t transcurrido: suponemos que un mismo capital producir doble o triple inters en el doble o el triple de tiempo y que en un mismo tiempo doble o triple capital producir doble o triple inters, es decir estamos ante una proporcionalidad compuesta, donde ambas relaciones son directas.

Ejemplo 1:

Determinar el inters i que produce un capital C = U$ 7.600 durante t = 40 das al 6 %

anual (llamado crdito, tasa o tanto por ciento).

Un capital de U$ 100 genera un inters de U$ 6 en un ao comercial de 360 das. Aplicando proporcionalidad compuesta:

Luego i = U$ 50.67 en 40 das genera un inters de U$50.67; es decir su capital al

cabo de ese periodo asciende a 7600 + 50.67 = U$7650.67

2. Si en lugar de U$7.600 utilizamos un capital C cualquiera; en lugar del 6 % utilizamos

un rdito r y en lugar de 40 das utilizamos un tiempo t cualquiera obtenemos las

frmulas del inters:

(t en das). (t en meses). (t en aos).


58

REPARTOS PROPORCIONALES 1. Que los capitales aportados sean diferentes y estn el mismo tiempo.

Para crear un negocio tres socios aportan 70.000, 40.000 y 50.000 U$ respectivamente. Si al final obtienen una ganancia de U$ 24.000. Cul es la parte que corresponde a cada uno?

Aporta 70.000 40.000 50.000 160.000

Gana x y z 24.000

Esta tabla es de proporcionalidad directa, con lo cual:

70.000=

40.000=

50.000=

24.000

160.000= 0.15

Por lo tanto, x = 10.500; y = 6.000; z = 7.500.

= %

100

()

365

= %

100

()

12

= %

100 ()

Ejemplo 2:

Si en lugar de U$7.600 utilizamos un capital C cualquiera; en lugar del 6 % utilizamos un

crdito r y en lugar de 40 das utilizamos un tiempo t cualquiera obtenemos las frmulas del

inters:

De estas frmulas pueden deducirse otras que den el capital en funcin del inters, crdito y

tiempo; el tiempo en funcin del capital, inters y crdito; y el crdito en funcin del tiempo,

capital e inters.


59

2. Que los capitales sean iguales y los tiempos diferentes.

Tres socios ponen capitales iguales, el primero por 11 meses, el segundo por 10 y

el tercero por 9, sufriendo una prdida de U$15.000 . Cunto pierde cada uno?

La siguiente tabla es de proporcionalidad directa:

Tiempo 11 10 9

Prdidas x y z

Con lo cual:

11=

10=

9=

15.000

30= 500

Despejando, x = U$ 5.500; y = U$ 5.000; z = U$ 4.500.


60

3.3 POTENCIAS Y RACES Potencias reales

Se llama potencia de base y exponente n al resultado de multiplicar n veces el nmero y se representa por = ; n , ; 0 .

Propiedades

Nombre En smbolos Ejemplos

Base no nula y exponente 0 = =

() =

Producto de potencias de la misma base

= + =

() () = ()+

Cociente de potencias de la misma base

= () () = ()

=

Potencia de un producto ( ) =

( ) = = 8000

() = [() ] = ()

=

Potencia de un cociente ( ) = ( ) =

= ( ) = =

Potencia de potencia () = () =

() = (()) = =

Para transformar potencias de exponente negativo a exponente positivo, basta con

calcular la potencia de exponente positivo del inverso del cociente:

= (1

)

= 1

1

= (

1

)

= () =


61

Ejemplos: (exponentes negativos y bases negativas)

1. 53 =1

53=

13

53= (

1

5)

3

2. (2

5)

2=

22

52=

1

5222=

52

22= (

5

2)

2

3. 1

34= (

1

3)

4= (3)4 = 34

4. (2

3)

2= (

3

2)

2= (1)2

32

22= (

3

2)

2

5. (2

3)

3= (

3

2)

3= (1)3

33

23= (

3

2)

3

6. [(22)]3 = [(1) (2)2]3 = (1)3 (2)6 = (1

1)

3 (

1

2)

6=

13

(1)3

16

26=

1

1

1

26= 1

1

26=

1

26

7. [(23)]2 = [(1) (2)3]2 = (1)2 (2)6 = (1

1)

2 (

1

2)

6=

12

(1)2

16

26=

1

1

1

26= 1

1

26=

1

26


62

Radicales (races)

La raz es una cantidad que se multiplica por s misma una o ms veces hasta adquirir un nmero determinado. Para encontrar esa cantidad que se multiplica se recurre a la operacin de extraer la raz a partir del nmero determinado y se ejecuta utilizando el

smbolo , que se llama radical. Por ello es que se habla de operaciones con radicales al referirse a operaciones para trabajar con races.

Para encontrar o extraer la raz se realiza la operacin contraria o inversa de la

potenciacin. Sean , , siendo el radicando y el ndice de la raz, se define la raz

ensima

como el nmero que elevado a la potencia n da como resultado:

Raz Potencia

= =

Ejemplos:

1. 83

= 2 8 = 23

2. 325

= 2 32 = 25

3. 2435

= 3 243 = (3)5


63

Propiedades de las races

Sean x, y nmeros reales y m, n enteros positivos mayores que 1. Suponemos que todas las races son nmeros reales y todos los denominadores son distinto de cero, entonces se cumple que:

Nombre En smbolos Ejemplos

Potencia ensima de

raz ensima

(

) =

(7 3

)3 = 7

Multiplicacin de

races de igual ndice

=

83

27 3

= 8 273

= 2163

=

633

= 6

Divisin de races de igual ndice

=

162

42 =

16

4

2

= 42

= 222

= 2

Raz de raz de distintos

ndices

=

6423

= 6432

= 26 6

= 2

Amplificacin de races

=

432

= 433 23

432

= 496

642

= 262144 6

822

= 86 6

8 = 8

Ingreso de un factor dentro de una raz

=

con > 0 si n es par

243

= 2343

= 323

Observacin: las propiedades anteriores son vlidas solamente en el caso de que las races estn definidas en los nmeros reales.


64

Operaciones con radicales

Racionalizacin

Para facilitar el clculo de operaciones como la suma de fracciones, conviene evitar

denominadores con radicales. El proceso de quitar los radicales del denominador se

denomina racionalizacin. Mediante este proceso se obtiene como denominador un

nmero racional.

Para eliminar los radicales del denominador, podemos distinguir tres casos:

a)

se multiplica numerador y denominador por

a

bc=

a c

bc c=

a c

b (c2

)=

a c

b c

b) Cuando el denominador tiene la forma

, se multiplica el numerador y el

denominador por

a

b cmn =

a cnmn

b cmn

cnmn =

a cnmn

b cm cnmn =

a cnmn

b cnn =

a cnmn

b c

c) Cuando el denominador tiene la forma

+ y en general cuando el denominador

sea un binomio con al menos un radical, se multiplican el numerador y denominador por

el conjugado del denominador. El conjugado es la misma expresin pero con signo

contrario.

a

b + c=

a ( )

(b + c) ( )=

ab ac

b2 c2=

ab ac

b c


65

Adicin y Sustraccin de radicales

Para sumar o restar radicales se necesita que tengan el mismo ndice y el mismo

radicando, cuando esto ocurre se suman o restan los coeficientes de fuera y se conserva el

radical.

Ejemplo1:

52 8 + 2 = 52 23 + 2 = 52 2 22 + 2 = 52 22 + 2 = 42

Ejemplo2:

311 + 52 7 =

En este caso hay una operacin combinada de suma y resta con el mismo ndice,

pero con distinta base (radicando), se observa adems que los radicandos son nmeros

primos, es decir, no se pueden factorizar. Por estos motivos no se puede realizar el

clculo.

Ejemplo3:

23 + 108 75 = 23 + 62 3 52 3 = 23 + 63 53 = 33

Ejemplos: (racionalizacin)

1. 2

3=

23

33=

23

32=

23

3

2. 5

323 =

5 3(32)3

323 3(32)

3 =5 31

3

323

313 =

5 33

333 =

5 33

3


66

Potenciacin con radicales

La raz n-sima de un nmero se puede poner en forma de potencia:

=

Por lo tanto:

=

, .

Es ms fcil operar con potencias que con races, por lo que transformamos las races en potencias. Las propiedades vistas para exponentes enteros tambin son vlidas para exponentes racionales.

Ejemplos:

1. 256 = 28 = 2(

8

2) = 24 = 16

2. 163

2=

243

2=

2(

43)

2(

12)

= 2(4

3

1

2) = 2

5

6 = 256

= 326

3.

= (

) (

) = (

+

) =


67

Simplificacin de radicales

Es un mtodo que utiliza las propiedades de los radicales para cumplir con las

condiciones que se les imponen cuando participan en alguna operacin.

Ejemplos: (simplificacin de radicales)

1. (510 215): 5 = 510215

5

= 525235

5

= 52 523 5

5

= 5(52 23)

5

= 52 23

2. 86210 = 2 22(3)22(5)2 = 2 3 52

3.

3 =

336

226 =

33

22

6=

6


68

3.4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIN

Expresiones Algebraicas

En lgebra se trabajan relaciones numricas en las que una o ms cantidades son desconocidas. Estas cantidades llamadas variables o incgnitas se representan por letras.

Una expresin algebraica es una combinacin de letras, nmeros y signos de operaciones, como la adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin.

Las expresiones algebraicas aparecen en diversos campos: geometra, fsica,

economa, etc.

) Suma de cuadrados: 2 + 2

) : 2 3

Ejemplos:

1. Permetro de una circunferencia en trminos de su radio r: P = 2r 2. rea del cuadrado: rea = a2, donde a es el lado del cuadrado.

3. Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo. 4. La frmula de inters simple en trminos de la cantidad inicial C, la tasa de

inters i y del tiempo t: =

Otros ejemplos de expresiones algebraicas son:

) 2 4 ++1

) 3 + 2,

) 2+3

1

) =24

2 . 2


69

Conceptos bsicos

Trmino: Es cada sumando, o cada parte, en una expresin algebraica, separada por un

signo + o .

Coeficiente: Cada trmino consta de un factor numrico y un factor literal. El factor

numrico de un trmino se denomina coeficiente numrico o simplemente coeficiente.

Por ejemplo, en la expresin 8234

El coeficiente es el nmero 8 y la parte literal que est constituida por las letras y sus exponentes ser 234

Trminos semejantes: Son los trminos que tienen el mismo factor literal, solamente se

diferencian en su coeficiente numrico.

Por ejemplo, en la expresin

73 4 + 33 5

El coeficiente numrico del trmino 73 es 7

Los trminos 73 33 son trminos semejantes

Tipos de expresiones algebraicas

Si una expresin algebraica est formada por un solo trmino se llama monomio.

Ejemplo:

32

Si una expresin algebraica est formada por dos trminos se llama binomio.

Ejemplo:

52 + 2

Si una expresin algebraica est formada por tres trminos se llama trinomio. Ejemplo:

34 + 45 723

Si la expresin algebraica tiene varios trminos se llama polinomio y se define de la

siguiente manera:


70

Operaciones con monomios

Suma de Monomios

Slo podemos sumar monomios semejantes, es decir, cuando tienen la misma parte literal.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

Producto de un nmero por un Monomio

El producto de un nmero por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el nmero.

Definicin de polinomio: Un polinomio en x es una suma de la forma:

an xn + an-1 x

n-1 + + a2 x2 + a1 x + a0

Donde n es un entero no negativo y cada coeficiente de x es un nmero real.

Si an es un nmero diferente de cero, se dice que el polinomio es de grado n.

Ejemplos: (polinomios)

i) 3 2 + 6 (grado 3) ii) 35 1

5 (grado 5)

iii) 510 +

4 (grado 10) iv) 97 35 + 2 (grado 7)

Ejemplos:

) + = ( + ) ii) 3234 + 4234 = 7234

Ejemplo:

3 7352 = 21352


71

Cociente de monomios

El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo entre s las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias.

Divisin de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio por un monomio basta con dividir cada uno de los trminos del

dividendo entre el trmino del divisor.

Ejemplo:

84 + 123 484

4=

84

4+

123

4+

482

4= 23 + 32 12

Productos Notables

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicacin. Tambin

sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Se llaman productos notables a ciertas expresiones algebraicas que corresponden a

multiplicaciones y que una vez que se han desarrollado, operado y logrado su expresin

ms simple; se llega a un resultado que conviene tener en mente, ya que aparecen

frecuentemente en lgebra.

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

(a + b) (a b) = a2 b2

454

232=

4

2

54

33= 22

Ejemplo:


72

Cubo de una suma

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Cubo de una diferencia

a3 3a2b + 3ab2 b3 = (a b)3

Tabla resumen (productos notables)

Producto notable Expresin algebraica Nombre

(a b)2 = a2 2ab + b2 Cuadrado de un Binomio

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Cubo de un Binomio

a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados

a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos

a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos

a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2) Diferencia cuarta

Ejemplos:

Desarrollar los siguientes productos notables:

1. (x + 2)2 = x

2 + 4x + 2

2 = x

2 + 4x + 4

2. (y 5x)2 = y2 10xy + (5x)2 = y2 10xy + 25x2

3. (2a 3b)(2a + 3b) = (2a)2 (3b)2 = 4a2 9b2

4. 8 y3 = 23 y3 = (2 - y)(22 + 2y + y2 )


73

Factorizacin

Factorizar una expresin algebraica es expresarla como producto de dos ms factores.

De los ejemplos dados, se observa que los productos notables son ejemplos de

factorizacin de expresiones algebraicas. Adems, no hay que olvidarse que la divisin en IR, no es otra cosa que multiplicar

por el inverso (ver ejemplo 5), es decir si finalmente se obtiene una divisin siempre se podr expresar como una multiplicacin; como lo recordamos a continuacin:

=

=

; , , 0, por lo tanto a y

son factores de

El concepto de factorizacin viene unido con el concepto de factor comn, para

poder factorizar una expresin algebraica, es necesario encontrar un factor comn a los sumandos que la componen. El factor comn puede estar compuesto por ms de un factor. A continuacin damos algunos ejemplos, destacando los factores comunes.

Ejemplos:

1. x2y + x

2z = x

2(y + z)

En este caso un factor es x2 y el otro es (x + y)

2. x2 + 10x + 25 = (x + 5)

2 = (x+5)( x + 5)

Los dos factores son iguales y corresponden a (x + 5)

3. 27 + x3 = 3

3 + x

3 = (3 + x) (3

2 - 3x + x

2) = (3 + x) (9 3x + x2)

Los factores son (3 + x) y (9 3x + x2)

4. 42323

2=

2(222)

2= (2 2)

Los factores son z y (2xy z2)

5. 226

4 =

2(3)

4=

3

2=

1

2 ( 3)

Los factores son 1

2 y (x 3y)


74

Poniendo atencin en el desarrollo de los ejemplos, el factor comn, en el caso de las potencias siempre ser el de menor exponente y en el caso de los nmeros corresponde al divisor comn ms grande (MCD), visto al principio de esta unidad.

Tambin es importante recordar cuando se saca factor comn que x = x , , donde el 1 corresponde al elemento neutro respecto de la multiplicacin en IR, es decir si el nmero y/ potencia forma parte del factor comn siempre quedar un 1.

Ejemplos:

1. 2x3 - 4x

2y = 2x

2x 22x2y = 2x2(x + 2y), el factor comn es 2x2

2. 6x4yz

2 + 2x

2zy

4 - 4x

3y

2 = 32x2xyz4 + 2x2y y3z - 22x2x y

= 2x2y( 3x

2z

4 + y

3z - 2xy), el factor comn es 2x

2y

Ejemplos:

1. 3b4c2 b2c2 = 3b2b2c2 b2c21 = b2c2(3b2 - 1)

2. 2x2 - y2x2 = 2x21 y2x21 = x2(21- y21) = x2(2 y2)


75

Simplificacin de expresiones algebraicas racionales

Para simplificar una expresin algebraica racional, en primer trmino hay que sumar y restar los trminos semejantes, luego hay que factorizar al mximo tanto el numerador como el de

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