Apuntes de apoyo de “Estadística Descriptiva”

Apuntes de apoyo de“Estadística Descriptiva”

Martínez Stone Claudia Montserrat

Origen de la Estadística

En su origen, la estadística surge como una disciplina enfocada a conocer los

recursos del Estado mediante su cuantificación, de ahí su nombre.

Posteriormente con la diversificación de sus aplicaciones, se dio por llamar

estadísticas a las tablas en las que se codifica la información, extendiéndose

este nombre a la disciplina en general de recopilar, ordenar, analizar e interpretar

información cuantitativa.

Definiciones de Estadística

Noreau de Jonneis (1847).- "La Estadística es la ciencia de los hechos sociales, expresados en términos numéricos".

Romelín (1863).-"La Estadística describe las características de la sociedad humana a base de observaciones metodológicas y de enumeraciones de fenómenos similares".

Arthur Bowley (1901).- "La Estadística es la ciencia de los promedios, la ciencia de los grandes números".

Mason y Lind (1998).- “Ciencia que trata de la recopilación, organización, presentación, análisis e interpretación de datos numéricos (Estadísticas) con el fin de realizar una toma de decisiones más efectiva”

Definiciones de Estadística

Método Estadístico

• Identificación y definición del problema.

• Formulación de objetivos e hipótesis.

• Recopilación de la información.• Organización y aplicación de las

herramientas estadísticas.• Análisis e interpretación.• Conclusiones.• Toma de decisiones.

Descriptiva, estudia poblaciones totales que describe a través de medidas que la resumen llamadas parámetros:

• Medidas de tendencia central• Medidas de Posición• Medidas de dispersión• Asimetría• KurtosisInferencial, estudia una muestra de la

población que analiza exhaustivamente, y a partir de ella infiere lo que sucede en la población a través de los estimadores de los parámetros (estadísticos) que la describen:

• Probabilidad• Muestreo• Estimación• Pruebas de Hipótesis

Muestra, parte representativa de la población, o un subconjunto de ella

Población, se refiere a una totalidad, es decir, al conjunto de todos los elementos que la conforman, o, a todos los valores que puede tomar la variable en estudio

VARIABLEElemento de interés que puede

tomar valores diferentes.

Cuantitativa; es aquella cuyos valores se pueden expresar como cantidades numéricas

Cualitativa; solo puede clasificarse pero no medirse, no proporciona información cuantificable, se refiere solamente a las características de la variable

VARIABLESCUANTITATIVAS

Discretas, solo pueden asumir ciertos valores que se caracterizan por ser enteros, finitos y positivos

Continuas, pueden asumir cualquier valor dentro de un cierto intervalo, caracterizándose porque pueden ser decimales e infinitas

EJEMPLOS DE VARIABLES

DISCRETAS

Número de autos vendidos en un mes por una agencia.

Número de cuadernos utilizados al semestre por un estudiante.

Número de puntos anotados en un juego de baloncesto.

Número de personas que asisten cada semana a los servicios religiosos de cierto templo.

CONTINUAS

Precio de una acción en una muestra de varios días.

Peso de cajas de fruta empacadas para su exportación.

Velocidad de un automóvil en ciertos tramos de una carretera.

El tiempo de duración de 5,000 lámparas incandescentes.

SERIES DE TIEMPO:Aquellas cuya información muestra un orden cronológico o una evolución temporal de la variable.

SERIES DE CORTE TRANSVERSAL:Aquellas cuya información se toma en un mismo momento del tiempo entre diferentes miembros de una población o lugares.

VARIABLES CUANTITATIVAS

SERIE ESTADÍSTICA

Conjunto de datos ordenados que miden los cambios en una variable, ya sea de manera

cronológica o transversal

SERIE SIMPLE SERIE DE

FRECUENCIAS

SERIE DE CLASES Y FRECUENCIAS O DE DATOS AGRUPADOS

Serie Simple

Como su nombre lo indica, es la más sencilla, y se define como:

“Conjunto de datos ordenadosde manera ascendente o

descendente, que miden lasvariaciones de un fenómeno

o variable”

Serie o Distribución de Frecuencias

Frecuencia, es el número de veces que un término o valor que adopta una variable se repite o existe en una

serie estadística; se representa como y ó f.

“CONJUNTO DE DATOS ORDENADOS QUEMIDEN LOS CAMBIOS EN UN

FENÓMENO O VARIABLE,RELACIONÁNDOLOS O PONDERÁNDOLOS

CON SU FRECUENCIA”

Clase, es un subconjunto de algunas observaciones de la variable, cercanos unos a otros, de acuerdo con sus características.

Intervalo de clases, es el rango de valores encontrados dentro de una clase.

“CONJUNTO DE DATOS ORDENADOS,AGRUPADOS EN SUBCONJUNTOS QUEMIDEN LOS CAMBIOS DEL FENÓMENO

O VARIABLE Y RELACIONÁNDOLOS CONSU FRECUENCIA”

SERIE DE CLASES Y FRECUENCIAS

Intervalo de Clase1. Buscamos el valor más pequeño o el

primer valor en una serie ordenada previamente (frontera inferior) y el valor más grande (frontera superior).

2. Calculamos el rango o recorrido de la serie (Rango = F. Sup. – F. Inf.).

3. Dividimos el rango entre el número de clases que se desea tener.

Intervalo de clase = Rango

Número de clases que se desean

EJEMPLO:

Los siguientes datos se refieren a la duración en horas de 40 focos tomados por el departamento de control de calidad de su fábrica.

54 78 96 78 96 73 90 78 73 107 83 66 83 73 66 78 73 62 73 73 66 73 62 90 83 54 83 66 96 66 78 90 78 83 73 78 73 83 78 62

Serie Simple

n xi n xi n xi n xi1 54 11 73 21 78 31 832 54 12 73 22 78 32 833 62 13 73 23 78 33 834 62 14 73 24 78 34 905 62 15 73 25 78 35 906 66 16 73 26 78 36 907 66 17 73 27 78 37 968 66 18 73 28 83 38 969 66 19 73 29 83 39 96

10 66 20 78 30 83 40 107

xi y yac yrel. %54 2 2 2/40=0.050 5.062 3 5 3/40=0.075 7.566 5 10 5/40=0.125 12.573 9 19 9/40=0.225 22.578 8 27 8/40=0.200 20.083 6 33 6/40=0.150 15.090 3 36 3/40=0.075 7.596 3 39 3/40=0.075 7.5

107 1 40 1/40=0.025 2.5SUMA 40 40/40=1.00 100.0

SERIE O DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

clasessredondeamon 63246.640

83.8653

65354107....

deseansequeclasesdeNúmero

RangoclasedeIntervalo

clasesIFSFRango

Serie de clases y Frecuencias

xi y De 54 a 62.82 5

De 62.83 a 71.66 5 De 71.67 a 80.49 17 De 80.50 a 89.32 6 De 89.33 a 98.16 6 De 98.17 a107.00 1

40

Serie de Clases y Frecuencias

Ejercicios de Aplicación• 1.- Elaboración de ejercicios que impliquen la representación en Series de los datos:

– a.1. Los siguientes, son los números de videocámaras producidas durante 50 turnos de 8 horas seleccionadas al azar.

– a.2. Un Banco, esta estudiando el número de veces que es utilizado por día un cajero automático localizado en un supermercado. A continuación se indica los números de veces que el aparato se empleo en los últimos 30 días

348 371 360 369 376 397 368 361 374 410 374 377 335 356 322 344 399 362 384 368 380 349 358 343 432 376 347 385 399 400 359 329 370 398 358 396 366 392 375 379 389 390 386 341 351 354 395 338 390 333

83 64 84 76 84 54 75 59 70 61 63 80 84 73 68 52 65 90 52 77 95 36 78 61 59 84 95 47 87 60

Representación Gráfica

• Nos permite observar rápidamente el comportamiento de la serie estadística.

• Histograma• Polígono de frecuencias• Ojiva• Gráfica por sectores• Gráfica de Pareto

Histograma

DURACION DE FOCOS

0

50

100

150

1 4 7

10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

DATO

HORA

S

Histograma de Frecuencias

DURACION DE FOCOS

0

5

10

54 62 66 73 78 83 90 96 107

Xi HORAS

y FR

ECUE

NCIA

Histograma de Frecuencias

DURACION DE FOCOS

0

5

10

15

20

58.41 67.25 76.08 84.91 93.75 102.59PUNTO MEDIO Xi

FREC

UENC

IA

Polígono de Frecuencias

DURACION DE FOCOS

0

2

4

6

8

10

54 62 66 73 78 83 90 96 107

HORAS

FREC

UENC

IAS

Ojiva

DURACION DE FOCOS

01020304050

54 62 66 73 78 83 90 96 107

HORAS

FREC

UENC

IA

ACUM

ULAD

A

Gráfica de Sectores

DURACION DE FOCOS545% 62

8%

6613%

7322%

7819%

8314%

908%

968%

1073%

INFORMACIÓN CUALITATIVA

Se representa gráficamente por:• Histogramas• Gráficas de Pareto• Gráficas de Sectores

Histograma

ENCUESTA DE CALIDAD

0 5 10 15

EXCELENTE

BUENA

REGULAR

SUFICIENTE

MALA

Gráfica de pareto

ENCUESTA DE CALIDAD

02468

10121416

FREC

UEN

CIA

Gráfica de Sectores

ENCUESTA DE CALIDAD

BUENA34%

REGULAR20%

SUFICIENTE15%

MALA7% EXCELENTE

24%

DATOS BIVARIADOS

Se obtienen cuando se miden dos variables en una sola unidad experimental.

Cuando se miden más de dos variables se denominan multivariados.

Representación gráfica: Gráficas de barras Gráficas de línea Gráficas de área

Gráfica de Barras

0

200

400

600

800

1995 1996 1997 1998 1999 2000

COSTOS

INGRESOS

Gráfica de Líneas

0

200

400

600

800

1995 1996 1997 1998 1999 2000

AÑO

PESO

S

COSTOS INGRESOS

Gráfica de Barras

0

500

1000

1500

1995 1996 1997 1998 1999 2000

AÑO

PESO

S

COSTOS INGRESOS

0%20%40%60%80%

100%

1995 1996 1997 1998 1999 2000

AÑO

COSTOS INGRESOS

GRÁFICA DE BARRAS

Gráfica de Áreas

0

200

400

600

800

1995 1996 1997 1998 1999 2000

AÑO

INGRESOS COSTOS

Ejercicios de Aplicación• 1.- Leer en la Antología el Tema de Representación Gráfica para conocer los diferentes tipos de

gráficas que existen.

• 2.- Del siguiente ejercicios (Anexo en material) Graficar la información y presentarla, mediante:– Histograma

– Polígono– Gráfica de Sectores

Ejemplo 1: Precios de Automóviles

20,197 20,372 17,454 20,591 24,453 14,266 15,021 25,683 27,872

16,587 20,169 32,851 16,281 21,285 21,324 21,609 25,670 12,546

12,935 16,873 22,251 22,277 21,533 24,443 16,889 17,004 14,357

17,155 16,688 20,657 23,613 17,203 20,765 22,783 23,661 29,277

17,642 18,981 21,052 22,799 15,263 33,625 14,399 14,968 17,356

18,442 18,722 16,331 19,817 17,633 17,962 19,845 23,285 24,896

26,076 29,492 15,890 18,740 21,571 22,449 25,337 17,642 20,613

21,220 27,655 19,442 14,891 23,237 17,445 18,556 18,639 21,296

Medidas de Tendencia Central

Las medidas de tendencia central se usan para buscar el valor central de la serie o distribución estadística. Son:

la media, la mediana y la moda.

Media

• Es el valor central, teórico y exacto que representa el centro de una serie estadística.

Puede ser:

– Aritmética– Geométrica– Armónica

Propiedades de la Media

• Todo conjunto de datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tiene una media.

• Al evaluar la media se incluyen todos los valores.

• La media es única para un conjunto de valores dado.

• Es muy útil para comparar dos o más poblaciones.

• Es la única medida de tendencia central en donde la suma de las desviaciones de los valores individuales respecto de la media es igual a cero.

Propiedades de la Media

Media Aritmética

Es un número tal que si sumamos tantas veces como términos tenga la serie estadística, su suma no se altera.

• Es lo que se conoce como promedio simple, se calcula:

xxi

ni

n

1

Sea la sucesión cuyos términos son:x1, x2, x3 ...… xn.

Designando con a la media aritmética obtenemos:

x + x + x + x + x + x = x1+ x2 + x3 +...+ xn

Por lo tanto: para una serie simple: nx = x1+ x2 + x3 +...+ xn

Despejando la x queda la fórmula:

MEDIA ARITMÉTICA

xxi

ni

n

1

x

MEDIA ARITMÉTICAEJEMPLO SERIE SIMPLE

n xi n xi n xi n xi1 54 11 73 21 78 31 832 54 12 73 22 78 32 833 62 13 73 23 78 33 834 62 14 73 24 78 34 905 62 15 73 25 78 35 906 66 16 73 26 78 36 907 66 17 73 27 78 37 968 66 18 73 28 83 38 969 66 19 73 29 83 39 96

10 66 20 78 30 83 40 107

7.7640068,31

n

xix

n

i

n = 40xi = 3,068

Duración de 40 focos ...

MEDIA ARITMÉTICASERIE DE FRECUENCIAS

Las frecuencias nos indican cuántas veces se repiten los datos, por lo

que la suma de Y, nos indica el total

de datos.

y

yxix

n

i 1

MEDIA ARITMÉTICAEJEMPLO SERIE DE FRECUENCIAS

xi y xiy54 2 10862 3 18666 5 33073 9 65778 8 62483 6 49890 3 27096 3 288

107 1 107 40 3,068

y = 40xiy = 3,068

7.7640068,31

y

xiyx

n

i


MEDIA ARITMÉTICASERIE DE CLASES Y FRECUENCIAS

•Dado que ahora la variable agrupa a un subconjunto de

valores (datos), es necesario, representarla con

la marca de clase xim.• Marca de clase, valor

representativo de los datos que se agrupan en la clase,

se calcula con la media aritmética de los límites de

cada clase.

2.sup..inf. LLxim

y

myxix

n

i 1

FÓRMULAS

MEDIA ARITMÉTICAEJEMPLO SERIE DE

CLASES Y FRECUENCIAS

xi y xim ximyDe 54 a 62.82 5 58.41 292.05

De 62.83 a 71.66 5 67.25 336.23De 71.67 a 80.49 17 76.08 1,293.36De 80.50 a 89.32 6 84.91 509.46De 89.33 a 98.16 6 93.75 562.47De 98.17 a 107 1 102.59 102.59

40 3,096.16

y = 40ximy = 3,096.15 40.77

4016.096,31

y

ximyx

n

i


Ejercicios Media

• 1.- Evalúe la media de la siguiente población de valores: 6 3 5 7 6

• 2.-Determinar el salario medio por hora pagado a carpinteros que obtuvieron los siguientes pagos por hora: $15.40, $20.10, $18.75, $22.76, $20.67, $18.00

• 3.- La Compañía de Servicio eléctrico, seleccionó 20 clientes residenciales al azar. Los siguientes, son

los importes (en dlls) que se cargaron a los clientes por el servicio eléctrico en el último mes:54, 48, 58, 60, 25, 47, 75, 46, 60, 70, 67, 68, 39, 35, 56, 66, 33, 62, 33, 62, 65, 67

• 4.- Determinar la media de la siguiente distribución de frecuencias

Clase Frecuencia0.01 a 5 25.01 a 10 710.01 a 15 1215.01 a 20 620.01 a 25 3

MEDIANAValor central que divide una serie estadística en dos partes exactamente iguales.

Es un valor real central exacto.Es también una medida de posición.

Para calcular la mediana, necesitamos primero ubicar el lugar en dónde se encuentra, ya que esta demás es una medida de posición, lo cual se logra determinando su número de orden:

21#

nMdorden

21

#

yMdorden

Serie simpleSerie de frecuencias y de clasesy frecuencias

MEDIANA

215.202

1402

1#

nMdorden

xi y yac54 2 262 3 566 5 1073 9 1978 8 2783 6 3390 3 3696 3 39107 1 40

SUMA 40

Md = 78


MEDIANASERIE DE CLASES Y FRECUENCIAS

)(2 iFi

Yacy

LiMd

Donde: Md.=Mediana Li = Límite inferior de la clase que contiene a la mediana; y = Número de términos ó suma de las frecuencias yac = Frecuencia acumulada de la clase anterior a la que contiene la mediana. Fi = Frecuencia de la clase que tiene a la mediana.i = Amplitud del intervalo de la clase que contiene la Md.


MEDIANASERIE DE CLASES Y FRECUENCIAS

xi y yacDe 54 a 62.82 5 5

De 62.83 a 71.66 5 10

De 71.67 a 80.49 17 27De 80.50 a 89.32 6 33

De 89.33 a 98.16 6 39

De 98.17 a 107 1 40 40

215.202

1402

1#

y

Mdorden

86.7683.817

10240

67.71)(2

i

Fi

yacy

LiMd

Clasemediana

Ejercicios Mediana

• 1.- Una muestra de personas solteras, que recibe pagos por seguro social, revelo los siguientes ingresos mensuales: $426, $299, $290, $687, $480, $439, y $565

– ¿Cual es la mediana de los ingresos?– ¿Cuántas observaciones están por debajo de la mediana? ¿cuántas por arriba?

• 2.- El número de paros laborales en la industria automotriz para meses seleccionados son: 6, 0, 10, 14, 8 y 0

– ¿Cuál es la mediana del número de paros?– ¿Cuántas observaciones están por debajo de la mediana? ¿Cuántas por arriba?– ¿Cuál es el valor modal de los paros en el trabajo?

• 3- El contador en jefe de una empresa, quiere preparar un informe acerca de las cuentas pro cobrar de la compañía. A continuación, se presenta una distribución de frecuencias que muestra la cantidad sobresaliente Cantidad Frecuencia$ 0 a $2000 4$2000 a $4000 15$4000 a $6000 18$6000 a $8000 10$8000 a $10,000 4$10,000 a $12,000 3

MODA

• Es el valor de máxima frecuencia.

• Es el término que más aparece o se repite en una distribución.

• En la serie simple y la distribución de frecuencias, no existe fórmula para determinarla, sino que se obtiene mediante la observación de la frecuencia más alta o del término que más veces se repite.

MODAEn el caso de la serie de clases y frecuencias se utiliza una fórmula de interpolación:

Mo Lid

d di. ( )

1

1 2donde: Li = Límite inferior de la clase que contiene a Mo. d1= ym - y1

d2= ym - y2

ym= frecuencia de la clase que contiene a Mo. y1= frecuencia de la clase anterior que contiene a la Mo.

y2= frecuencia de la clase posterior que contiene a la Mo.

i= Amplitud del intervalo.

xi y yacde 54 a 62.82 5 5

de 62.83 a 71.66 5 10de 71.67 a 80.49 17 27de 80.50 a 89.32 6 33de 89.33 a 98.16 6 39de 98.17 a 107 1 40

SUMA 40

28.7683.81112

1267.71)(

21

1.

idd

dLiMo

MODADuración de 40 focos ...

Clasemodal

Ejercicio Moda

• Actualmente hay alrededor de 1.2 millones de hombres y mujeres en el activo del Ejército, la Marina, la Infantería de Marina y la Fuerza Aérea de Estados Unidos. A continuación se muestra una clasificación porcentual de las edades. ¿Cuál es la moda?

Edad (años) FrecuenciaDe 15 a menos de 20 años 15De 20 a menos de 25 años 33De 25 a menos de 30 años 19 De 30 a menos de 35 años 7De 35 a menos de 40 años 11De 40 a menos de 45 años 4De 45 a menos de 50 años 1

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

• Nos indican la variabilidad que tienen los datos de la serie estadística respecto de una medida de tendencia central, que generalmente es la media. Son:

Rango Desviación media Desviación estándar

RANGO O RECORRIDO

Es la medida de dispersión más sencilla, y nos indica el campo de variación del

Rango, definida como la diferencia entre el mayor y el menor de los valores

observados.

Esta medida, no refleja en modo alguno la forma de la distribución.

Rango= Valor Max. – Valor Min.

DESVIACIÓN MEDIASe define como la suma de las

desviaciones en términos absolutos de los datos que integran la serie, respecto a la media, entre el número de términos

de la serie.

nxxi

MD ..

y

yxxiMD ..

Serie simple Serie de frecuencias

Desviación MediaSerie de Frecuencias

815.840

6.352..

y

yXXiMD

Xi y (Xi-Xm) IXi-Xm I IXi-Xm Iy54 2 -22.7 22.7 45.462 3 -14.7 14.7 44.166 5 -10.7 10.7 53.573 9 -3.7 3.7 33.378 8 1.3 1.3 10.483 6 6.3 6.3 37.890 3 13.3 13.3 39.996 3 19.3 19.3 57.9107 1 30.3 30.3 30.3

SUMA 40 352.6

Desviación MediaSerie de clases y Frecuencias

414.840

56.336..

y

yXXimMD

Xi Xim y (Xim-Xm) IXim-Xm I IXim-Xm IyDe 54.00 a 62.82 58.41 5 -19.00 19.00 94.98De 62.83 a 71.66 67.25 5 -10.16 10.16 50.78De 71.67 a 80.49 76.08 17 -1.33 1.33 22.53De 80.50 a 89.32 84.91 6 7.50 7.50 45.03De 89.33 a 98.16 93.75 6 16.34 16.34 98.07De 98.17 a107.00 102.59 1 25.18 25.18 25.18

SUMA 40 336.56

DESVIACIÓN MEDIARELATIVA

• SERIE DE FRECUENCIAS

• SERIE DE CLASES Y FRECUENCIAS

100XDMDMR

%49.11

1007.76

815.8

DMR

DMR

100XDMDMR

%87.10

10041.77

414.8

DMR

DMR

DESVIACIÓN ESTÁNDAR ()

• La desviación estándar, es la raíz cuadrada positiva del promedio de las desviaciones al cuadrado de los valores observados, respecto a la media aritmética;

• Indica el grado de dispersión que tienen los términos de la serie con respecto a su media aritmética.


y

yXxim ))(( 2

nXXi 2)(

y

yXXi ))(( 2

Serie simple

Serie de frecuencias

Serie de clases y frecuencias

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

• Se define como la razón porcentual entre la desviación estándar y la media aritmética:

C VX

. . *

100


39.1140

4.192,5)( 2

yXXiy

SERIE DE FRECUENCIASXi y (Xi-Xm) (Xi-Xm)^2 (Xi-Xm)^2y54 2 -22.7 515.29 1030.5862 3 -14.7 216.09 648.2766 5 -10.7 114.49 572.4573 9 -3.7 13.69 123.2178 8 1.3 1.69 13.5283 6 6.3 39.69 238.1490 3 13.3 176.89 530.6796 3 19.3 372.49 1117.47107 1 30.3 918.09 918.09

SUMA 40 5,192.40


10.1140

7.924,4)( 2

yXximy

SERIE DE CLASES Y FRECUENCIASXi Xim y (Xim-Xm) (Xim-Xm)^2 (Xim-Xm)^2y

De 54.00 a 62.82 58.41 5 -19.00 360.82 1,804.10 De 62.83 a 71.66 67.25 5 -10.16 103.13 515.65 De 71.67 a 80.49 76.08 17 -1.33 1.76 29.86 De 80.50 a 89.32 84.91 6 7.50 56.32 337.93 De 89.33 a 98.16 93.75 6 16.34 267.15 1,602.91 De 98.17 a107.00 102.59 1 25.18 634.27 634.27

SUMA 40 4,924.70

Coeficiente de Variación

• SERIE DE FRECUENCIAS

• SERIE DE CLASES Y FRECUENCIAS

%85.14

1007.76

39.11

100

CV

CV

XCV

%33.14

10041.7710.11

100

CV

CV

XCV

REGLA EMPÍRICA:

• Para una distribución de frecuencias simétrica de campana, cerca de 68% de las observaciones estará dentro de ±1σ de la media (µ); cerca de 95% de las observaciones estará dentro de ±2σ de la media (µ); alrededor de 99.7% estará dentro de ±3σ de la media (µ).

X

3

Curva en forma de campana

que muestra la relación entre y

2 1 1 2 3

Teorema de Chebyshev

• Para cualquier conjunto de observaciones, la proporción mínima de valores que está dentro de k desviaciones estándar desde la media es al menos 1 - 1/k , donde k2 es una constante mayor que 1.

Ejercicios Dispersión

• 1. El reporte anual de la empresa “A”, dio los siguientes rendimientos de capital para los accionistas, en un periodo de 5 años pasados: 13.2, 5.0, 10.2, 17.5 y 12.9.a) Calcular la amplitud de variación, la media aritmética, la desviación media y la desviación estándar

• 2. La Empresa “B”, reportó los siguientes rendimientos del capital para los accionistas, para cinco años pasados: 4.3, 4.9, 7.2,

6.7 y 11.6.– a) Calcular la amplitud de variación, la media aritmética, la desviación media y la desviación estándar. – b) Comparar los rendimientos de la empresa “B” con los de la empresa “A” del ejercicio anterior

• 3. A cada persona que se presenta como aspirante a un trabajo de ensamble en una empresa mueblera, se le aplica un examen

de aptitudes mecánicas. Una parte de la prueba consiste en ensamblar un armario basándose en instrucciones numeradas. En la siguiente distribución de frecuencias se tiene una muestra de los tiempos que necesitaron 42 personas para ensamblar un armario.

Tiempo Número(En minutos) 2 a 4 4 4 a 6 8

6 a 8 14 8 a 10 9

10 a 12 9 12 a 14 2

ASIMETRÍA

• Nos indica la tendencia o sesgo de la serie estadística.

• Indica la desproporcionalidad entre los valores distribuidos alrededor de la media ya sea que tiendan a los valores más pequeños, a los más grandes, o si se distribuyen proporcionalmente.

• Se puede determinar comparando las medidas de tendencia central.

• Se puede medir mediante los “Coeficientes de Pearson” o el “Método de momentos”.

ASIMETRÍASESGO CERO

Moda = Mediana = Media

ASIMETRÍA POSITIVA

Sesgo a la derecha:

Mo<Md<Xm

ASIMETRÍA NEGATIVA

Sesgo a la izquierda:

Xm<Md<Mo

MoXA

MdXA

2

13

Criterios de clasificación

A = 0 SimetríaA > 0 Asimetría

positivaA < 0 Asimetría

negativa

ASIMETRIACOEFICIENTES DE PEARSON

•Nos dan una medida relativa del sesgo.


(Serie de frecuencias)

PositivaAsimetríaA

MoXA

NegativaAsimetríaA

MdXA

2

2

1

1

3248.039.11

737.76

3424.039.11

787.7633


(Serie de clases y frecuencias)

PositivaAsimetríaA

MoXA

PositivaAsimetríaA

MdXA

2

2

1

1

1072.010.11

28.7647.77

1649.010.11

86.7647.7733

ASIMETRIAMÉTODO DE MOMENTOS

Se mide en el tercer

momento.

Corresponde al promedio

de las desviaciones elevadas al

cubo.

n

xxM3

i3

Seriesimple


Serie de clases y frecuencias

y

yxxM3

i3

yyxxim

M3

3

ASIMETRIAMÉTODO DE MOMENTOS

Criterios de clasificación

A = 0 SimetríaA > 0 Asimetría

positivaA < 0 Asimetría

negativa33

MA

Coeficiente deAsimetría

Asimetría (Serie de Frecuencias)

Xi y (Xi-Xm) (Xi-Xm)^3 (Xi-Xm)^3y54 2 -22.7 -11,697.08 -23,394.1762 3 -14.7 -3,176.52 -9,529.5766 5 -10.7 -1,225.04 -6,125.2273 9 -3.7 -50.65 -455.8878 8 1.3 2.20 17.5883 6 6.3 250.05 1,500.2890 3 13.3 2,352.64 7,057.9196 3 19.3 7,189.06 21,567.17107 1 30.3 27,818.13 27,818.13

SUMA 40 18,456.24

3123.039.1141.461A;41.461

4024.456,18M 33

Asimetría Positiva

Xi Xim y (Xim-Xm) (Xim-Xm)^3 (Xim-Xm)^3yDe 54.00 a 62.82 58.41 5 -19.00 -6,853.86 -34,269.29De 62.83 a 71.66 67.25 5 -10.16 -1,047.30 -5,236.51De 71.67 a 80.49 76.08 17 -1.33 -2.33 -39.57De 80.50 a 89.32 84.91 6 7.50 422.68 2,536.06De 89.33 a 98.16 93.75 6 16.34 4,366.51 26,199.08De 98.17 a107.00 102.59 1 25.18 15,973.97 15,973.97

SUMA 40 5,163.76

0944.0

10.1109.129;09.129

4076.163,5

33 AM

Asimetría(Serie de Clases y Frecuencias)

Asimetría Positiva

KURTOSISIndica la desproporcionalidad horizontal entre los valores distribuidos alrededor de la media ya sea que tiendan a concentrarse alrededor de la media, a estar dispersos, o si se distribuyen equitativamente alrededor de la media.

Se clasifican en: Leptokúrticas, Mesokúrticas y Platikúrticas

LEPTOKURTICA

µ

Curvas apuntadas con alta concentración

MESOKURTICA

µ

Curvas de apuntamiento medio consideradas normales

PLATIKURTICA

µ

Curvas dispersas y aplanadas

KURTOSIS

µ

Leptokúrtica

Mesokúrtica

Platikúrtica

KURTOSIS

Se mide en el cuarto momento.

Corresponde al promedio de las

desviaciones elevadas a la

cuarta potencia.

4

4 nXXi

M

yyXXi

M4

4

Seriesimple


Serie de clases y

frecuencias

yyXXim

M4

4

Coeficiente de Kurtosis

344

MK

CRITERIOS DE CLASIFICACIÓN

• K=0 Mesokúrtica

• K>0 Leptokúrtica

• K<0 Platikúrtica

KURTOSIS(Serie de frecuencias)

Xi y (Xi-Xm) (Xi-Xm)^4 (Xi-Xm)^4y54 2 -22.7 265,523.78 531,047.5762 3 -14.7 46,694.89 140,084.6666 5 -10.7 13,107.96 65,539.8073 9 -3.7 187.42 1,686.7478 8 1.3 2.86 22.8583 6 6.3 1,575.30 9,451.7890 3 13.3 31,290.07 93,870.2296 3 19.3 138,748.80 416,246.40107 1 30.3 842,889.25 842,889.25

SUMA 40 2,100,839.27

98.520,5240

27.839,100,24 M

1206.0339.11

98.520,524 A

Curva Leptokurtica

KURTOSIS(Serie de clases y frecuencias)

Xi Xim y (Xim-Xm) (Xim-Xm)^4 (Xim-Xm)^4yDe 54.00 a 62.82 58.41 5 -19.00 130,190.73 650,953.64 De 62.83 a 71.66 67.25 5 -10.16 10,635.61 53,178.06 De 71.67 a 80.49 76.08 17 -1.33 3.08 52.44 De 80.50 a 89.32 84.91 6 7.50 3,172.09 19,032.51 De 89.33 a 98.16 93.75 6 16.34 71,369.58 428,217.47 De 98.17 a107.00 102.59 1 25.18 402,300.50 402,300.50

SUMA 40 1,553,734.62

37.843,3840

62.734,553,14 M

4413.03

10.1137.843,384 A

Curva Platikurtica

Ejercicios de aplicación• Caso 1

Una Compañía de plomería, que fue fundada hace 40 años ha crecido hasta más de 500 empleados actualmente. Se esta considerando el asunto de varios puestos dentro de la compañía donde tiene a hombres y mujeres desarrollando el mismo trabajo pero recibiendo una retribución diferente. Para investigar, recolecto la siguiente información. Suponga que usted tiene la tarea de escribir un informe resumiendo la situación.

Sueldo Anual(Miles de dólares) Mujeres Hombres 20 a 30 2 0 30 a 40 3 1 40 a 50 17 4 50 a 60 17 24 60 a 70 8 21 70 a 80 3 7 80 a 90 0 3

Se debe calcular varias medidas de ubicación, elaborar gráficas, determinar los cuartiles para hombres y mujeres. Realizar gráficas y escribir el informe resumiendo los sueldos anuales. ¿Existe diferencia en lo que respecta al género?

• Caso 2En una reunión de ventas de una compañía, se le preguntó al ejecutivo en jefe cuál era la política de la compañía acerca de las comisiones pagadas a sus representantes de ventas. La empresa vende artículos deportivos a dos mercados importantes. Hay 40 representantes de ventas que tratan directamente con clientes grandes y 30 personas de ventas que se dedican al menudeo.

Se solicito la elaboración de un informe, comparando las comisiones ganadas el año pasado por las dos partes del equipo de ventas. La información se presenta a continuación. ¿Existe diferencia? Asegúrese de incluir información en el informe respecto a la dispersión y tendencia central en los dos grupos.

Comisiones ganadas por los representantes de ventas con clientes grandes

354 87 1676 1187 63 3202 680 39 16871106 883 3140 299 2197 175 159 1105 434615 149 1168 278 579 7 357 252 16022321 4 392 416 427 1738 526 13 1604249 557 635 527

Comisiones ganadas por los representantes de ventas al menudeo 1116 681 1294 12 754 1206 1448 870 944

1255 1213 1219 719 934 1313 1083 899 850886 1556 886 1315 1858 1262 1338 1066 8071244 758 918

Probabilidad• Mide la posibilidad de ocurrencia de algún

fenómeno o variable, basándose en la observación de sus eventos anteriores.

• La teoría de probabilidades tiene su origen en los juegos de azar, al tomar su mecánica.

• Se refiere a los posibles resultados de un experimento o evento que forman el conjunto universo, pero no conocemos lo que sucederá con certeza hasta que ocurre.

Experimento; forma de observación directa en la que se conocen los factores que influyen en su resultado, se basa en la experiencia.

Aleatorio; quetiene que ver con el azar.

Experimento Aleatorio; Es el que tiene resultadosinciertos, pero que se conocen sus probabilidades;es cualquier evento que resulte en uno y solo unode varios resultados bien definidos, pero que nopermite anticipar cuál prevalecerá en un caso

particular.

Evento (Resultado Básico): Cualquiera de los resultados posibles de un experimento

aleatorio, cuyo suceso gobierna todos los resultados

alternativos.

Espacio Muestral; contiene todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, se representa por S (U ó Ω), se conoce también como Conjunto Universo en el que cada elemento es un punto muestral o evento.

6,5,4,3,2,1S

• Variable Aleatoria; Función real valorada definida en el espacio de muestra. Se da cuando se conoce su espacio muestral en forma total y exhaustiva, y se conoce además la probabilidad de ocurrencia de cada punto contenido en el espacio muestral

Variable Aleatoria Discreta; Sus valores

se interrumpen o separan, es finita

Variable AleatoriaContinua; Sus valores

posibles no seinterrumpen, es

infinita

Matemática o teóricaComo frecuencia relativaTeoría Clásica de la

ProbabilidadTeoría Estadística o

Subjetiva de la Probabilidad

Teoría Axiomática de la probabilidad

PROBABILIDAD MATEMÁTICA O TEÓRICA

Es aquella en la que podemos contar exactamente todas las formas diferentes

en las que un evento puede o no suceder, y que además podemos

suponer que todas las formas posibles ocurrirán sobre bases igualmente

probables

PROBABILIDAD COMO FRECUENCIA RELATIVA

Si contamos el numero de veces en que se presenta un evento en un numero n de

experimentos aleatorios, determinamos su “frecuencia absoluta” que simbolizamos con f.

En tanto que el cociente f/n, que establece la razón entre la frecuencia de ocurrencia del evento y el

total de experimentos se le denomina “frecuencia relativa”

EJEMPLO

Resultado FrecuenciaAbsoluta

Frecuencia Relativa oProbabilidad

1 2 2/20 = 0.102 3 3/20 = 0.153 4 4/20 = 0.204 5 5/20 = 0.255 3 3/20 = 0.156 3 3/20 = 0.15

Suma 20 20/20 = 1

Lanzamos 20 veces un dado y anotamos sus resultados:

TEORÍA CLÁSICA DE LA PROBABILIDAD

Si un experimento da lugar a n eventos mutuamente excluyentes e igualmente probables, en los que r se consideran éxitos, entonces, la probabilidad de tener un evento

exitoso es:

P=r/n

TEORÍA ESTADÍSTICA O SUBJETIVA DE LA PROBABILIDAD

Se basa en la experiencia sobre lo sucedido anteriormente en

situaciones similares. Se obtiene de datos estadísticos registrados de

experiencias o experimentos; también se compone de apreciaciones subjetivas

TEORÍA AXIOMÁTICA DE LA PROBABILIDAD

)A()Ac(

)(

)S(

)A(

P1P)4

0P)3

1P)2

1P0)1

REGLA DE ADICIÓN

BABA PPP

Cuando A y B son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos

BABABA PPPP

Especial

General

REGLA DE MULTIPLICACIÓN

BABA PPP

Cuando A y B son eventos independientes

; y A>0

; y B>0

Principio de independencia

ABABA PPP /

BABBA PPP /

Especial

General

PROBABILIDAD CONDICIONAL

P(B|A) = Probabilidad de B dado A

“Es la probabilidad de ocurrencia de B dependiendo de la

ocurrencia de A”

(Principio de independencia)

PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA

Regla: Sea un evento cualquiera del espacio

muestral S, con P(x) > 0. La probabilidad de que ocurra un evento B

cuando A ya ha ocurrido, se le llama probabilidad condicional o principio de

independencia.

)()()/(

APBAPABP

Ejercicios Probabilidad1.- Una tienda de departamentos, vende camisas deportivas en 3 tallas, (pequeña, mediana y grande), en tres modelos (a cuadros, estampada y de franjas) y con dos largos de manga (corta y larga)

• ¿Cuál es la probabilidad de que la camisa vendida sea mediana de manga larga y estampada?• ¿Cuál es la probabilidad de que la camisa vendida sea mediana y estampada?• ¿Cuál es la probabilidad de que la camisa vendida sea de manga corta?• ¿Cuál es la probabilidad de que la camisa vendida sea de franjas o pequeña?• Dado que la camisa recién vendida era de cuadros y mediana. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de manga

corta?• Dado que la camisa recién vendida era de cuadros y manga corta ¿Cuál es la probabilidad de que su talla

sea mediana?

Manga CortaModelo

Talla Cuadros Estampada Franjas TotalPequeña 4 3 5 12Mediana 9 8 12 29Grande 3 7 9 19Total 16 18 26 60

Manga LargaModelo

Talla Cuadros Estampada Franjas TotalPequeña 3 2 3 8Mediana 10 5 8 23Grande 4 2 8 14Total 17 9 19 45

TEOREMA DE BAYES

Se refiere a la probabilidad condicional; se usa para reformular un conjunto de probabilidades “a

priori”; para un conjunto de probabilidades “a posteriori”.

Su reformulación se basa en información adicional que se puede obtener de registros pasados o

muestras

𝑷 ( 𝑨𝒊|𝑩𝟏 )=𝑷 (𝑨𝒊 )𝑷 (𝑩𝟏∨𝑨𝒊)

𝑷 (𝑨𝟏)𝑷 (𝑩𝟏|𝑨𝟏 )+𝑷 (𝑨𝟐 )𝑷 (𝑩𝟏|𝑨𝟐 )………….+𝑷 (𝑨𝒊 )𝑷 (𝑩𝟏∨𝑨𝒊)

Ejercicios de Probabilidad

1.- En un programa de capacitación para el personal del área administrativa en la empresa Claremont Enterprises, 80% de los capacitados son mujeres, y 20% varones. El 90% de las mujeres asistió a una universidad, y 78% de los varones también.

Una persona del programa se selecciona al azar. ¿cuál es la probabilidad de que un empleado seleccionado sea una mujer dado que no asistió a una universidad?

2.- Una moneda se lanza al aire cuatro veces¿Cuál es la probabilidad de que en cada tirada salga una cara? 3.- La Probabilidad de que un avión de en el blanco, en una operación de bombardeo, es de 0.80. Si se envían cuatro bombardeos hacia el mismo objetivo, ¿Cuál es la probabilidad de que todos los aviones acierten en el blanco?

4.- El comisario de la policía, clasifica como delitos por edad (en años) del malhechor, y su el crimen es con violencia o no. Según se muestra a continuación, al comisario se le informo de un total de 150 delitos cometidos durante el pasado año.

– ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un caso para analizarlo y encontrar que se trato de un delito con violencia?– ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un caso para analizarlo y descubrir que el delito lo cometió alguien con menos de

40 años de edad?– ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un caso relacionado con un crimen violento o un delincuente de menos de 20

años de edad? – Dado que se selecciona para el análisis un delito con violencia, ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya cometido una

persona de menos de 20 años de edad?– Un Juez selecciono dos casos para revisarlos ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean crímenes cometidos con

violencia?

5.- Una persona que vive en Los Ángeles, realiza viajes frecuentes de consultoría a Washington, D.C., 50% de las veces viaja en la aerolínea 1, 30% en la aerolínea 2 y 20% en la aerolínea 3. Para la aerolínea 1, los vuelos llegan con un retraso a Washington D.C., el 30% de las veces, para la aerolínea 2, 25% de las ocasiones tienen retraso y en la aerolínea 3, 40% de las veces.

– ¿Cuál es la probabilidad de que en un viaje cualquiera, el vuelo haya llegado retrasado a Washington y este haya sido por la aerolínea 3?

Edad (en años)

Tipo de delitoMenos de

20 40 40 o mas TotalCon violencia 27 41 14 82Sin violencia 12 34 22 68

Total 39 75 36 150

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

“Conjunto de probabilidades asociadas a la frecuencia con que ocurre cada elemento de

la variable aleatoria”

Asociación entre el valor que toma la variable aleatoria y su probabilidad de ocurrencia.

Espacio Muestral Discreto

“Es un espacio de muestra que contiene un número finito o numerable infinito de

puntos muestrales o eventos.”

Como el valor de un evento numérico varia al repetir el muestreo, a este tipo de eventos

se les conoce como variable aleatoria.

Una variable es una función de los puntos muestrales en S.

Distribuciones de Probabilidad:

DiscretaP(x)

0 1

Se ubica en el cuadrante (++) del plano cartesiano

Es entera, finita y positiva

Nace en el origen y termina en n donde corta el eje de las abscisas y completa el

área bajo la curva

Su área bajo la curva es igual a 1

S=1

X

Distribuciones de Probabilidad:

ContínuaP(x)

Se localiza en los cuadrantes (+,+) y (+,-) del plano cartesiano

No es finita y puede ser decimal.

Nace en - ∞ y va hasta ∞, nunca corta el eje de las x

Su área bajo la curva tiende a 1

-∞ ∞

S1

X

ESPERANZA MATEMÁTICA

Es la media probabilística, y se refiere al valor medio que se espera que ocurra.

Es el valor esperado que divide en el centro en 2 partes iguales a una distribución de probabilidades.

xii PX)x(E

Distribuciones de Probabilidad Discretas

E(X), se define como: E(X) = x f(x)

Donde es la suma sobre todos los valores de X y f(x) es la distribución de probabilidad de X

PROPIEDADES: 1. El valor esperado de una constante es la constante misma.

Así, si b es una constante, E(b) = b.2. Si a y b son constantes E(aX + b) = aE(X) + b


ESPERANZA MATEMÁTICA, CARACTERISTICAS:

3. Si x y Y son variables aleatorias independientes: E(XY) = E(X) E(Y)Es decir, la esperanza del producto XY es el producto de las esperanzas individuales de X y Y.

4. Si X es una variable aleatoria con FDP f(x) y si g(X) es cualquier función de X, entonces

E g(X) = g(X) f(x) Por tanto, si g(X) = X2

E(X2 ) = X2 f(X)


ESPERANZA MATEMÁTICA, PROPIEDADES:

Es la media del cuadrado de las desviaciones de las mediciones respecto de su media, mide la variabilidad promedio de la Distribución de probabilidad:

22i

2

x2

i2

2ix

xE

Px

xEV


VARIANZA

Momentos superiores:

El tercer y cuarto momentos de una distribución se utilizan a menudo para estudiar la “forma” de una distribución de probabilidad, en particular, su asimetría, A (es decir, falta de simetría) y su

apuntamiento o curtosis C (es decir, que tan alta o que tan plana es la distribución).


Tercer momento:

M3=E(X-μ)3, mide la asimetría de una distribución de probabilidades, en un

variable aleatoria discreta


x3

i3 PxM

Coeficiente de asimetría

Para las funciones simétricas, A =0, Para las distribuciones asimétricas, esta medida será positiva si la cola larga está en dirección positiva o hacia los valores mayores y viceversa;

Si A > 0, habrá asimetría positiva; Si A < 0, habrá asimetría negativa.

33MA

Distribuciones de Probabilidad DiscretasTercer momento:

Cuarto momento:

M4=E(X-μ)4, mide la concentración respecto de la esperanza matemática, en una

variable aleatoria discreta.


x4

i4 PxM

Coeficiente de curtosis

Mide el espesor en las colas de la distribución en el que mide su exceso de curtosis; estadísticamente su valor para una curva normal es 3, por lo que:

C=3 ó C-3 = 0 curva mesocúrticaC>3 ó C-3 > 0 curva leptocúrticaC<3 ó C-3 < 0 curva platicúrtica

3MC 44


Cuarto momento:

METODOS DE CONTEO Y COMBINATORIOS

Sirven para conocer los arreglos de posibles objetos en uno o varios conjuntos, los principales son permutaciones y combinaciones.

Permutaciones: Arreglo de todos o parte de los eventos del conjunto en un orden definido; se utiliza principalmente

cuando queremos formar muestras de eventos aleatorios en un muestreo sin reemplazo, en el que una parte importante del experimento se refiere al orden en el que son elegidos

los elementos de la muestra o en que ocurren los diferentes eventos.

!rn!nPrn

Combinaciones: Arreglo de todos o parte de los eventos de un conjunto sin considerar su orden,

solo se consideran los elementos que contienen. Se utiliza principalmente cuando realizamos

muestreo sin reemplazo en el que no es importante el orden en el que se obtienen los elementos de la muestra, sino los que forman

parte de ella.

!rn!r!nnCr

Es la distribución de probabilidad de los posibles resultados de un experimento

aleatoria repetido “n” veces en ocasiones sucesivas, en el cual los resultados son independientes entre sí y mutuamente

excluyentes, es decir, no puede ocurrir más de uno en cada intento.

Distribución Binomial de Probabilidades

El experimento consta de n pruebas idénticas

Cada prueba tiene solo 2 resultados posibles p (éxito) y q (fracaso). Variables dicotómicas

La probabilidad de tener éxito en una sola prueba es igual a p y permanece constante de prueba a prueba.

La probabilidad del fracaso es q = (1 – p).

Todas las pruebas son independientes

La variable aleatoria bajo estudio es x, el número de éxitos observados en n pruebas

Características de un Experimento Binomial:

xxn)x( pq

xn

P

Dónde:

n = Número total de elementos (muestra o intentos repetidos)x = Número de éxitos que se buscap = Probabilidad de éxitoq = Probabilidad de fracaso

138

Propiedades de la Distribución Binomial

µ = E(x) = np

2 = Var = npq

npq

Ejercicios Distribuciones Discretas

1.- Un 10% de los empleados de producción de una empresa, están ausentes del trabajo en un determinado día de verano. Supóngase que se seleccionan al azar 10 trabajadores de producción para un estudio riguroso de ausentismo.

– ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los 10 empleados seleccionados esta ausente?

– ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 3 estén ausentes?– ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 estén ausentes?

2.- Se asegura que el 95% del correo de primera clase, se entrega dentro de la misma ciudad, a los dos días de haber hecho el envío. Se mandan aleatoriamente seis cartas a diferentes sitios.

– a) ¿Cuál es la probabilidad de que las seis cartas lleguen a su destino dentro de los dos días?

– b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 lleguen dentro de dos días?– c) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 2 cartas lleguen dentro de dos días?– d) Determinar la media y la desviación estándar de las cartas que llegan en el periodo

Distribución de Poisson

Es la distribución de una variable discreta que puede presentar todos los valores

enteros no negativos; donde X es el número de ocurrencias de algún evento

en el tiempo o espacio.

xx

Nos indica la probabilidad de que ocurran x eventos en un intervalo dado de tiempo y espacio.

Donde:x = variable aleatoria discretal= npe = 2.718281

!xe)x(P

x ll

PROPIEDADES:= l

2 = l

l

1.- Que la ocurrencia o no ocurrencia de un evento en un intervalo de tiempo o espacio dado, sea

independiente de su ocurrencia o no en otros intervalos de tiempo o espacio.

2.- Que la amplitud del intervalo de tiempo o espacio se pueda elegir lo suficientemente pequeña para que

la probabilidad de que ocurran 2 ó más eventos dentro de un mismo intervalo sea prácticamente nula.

Distribución de Poisson Condiciones de Aplicación:

3.- Que incrementando o disminuyendo la amplitud del intervalo de tiempo o espacio en una magnitud fija

y finita, el intervalo aumente o disminuya proporcionalmente a la probabilidad de ocurrencia del

evento dado.

4.- Que al aumentar o disminuir en forma continua el intervalo de tiempo o espacio por valores

infinitesimales, aumente o disminuya la probabilidad del evento dado en forma continua.

Distribución de Poisson Condiciones de Aplicación:

Distribución Hipergeométrica

Arreglo sistemático asociado a dos resultados, éxito o fracaso en un proceso caracterizado por la reducción del espacio de muestra y el cambio correspondiente en las probabilidades de intento a intento. La principal aplicación de la distribución de probabilidad hipergeométrica se presenta al extraer muestras sin reemplazo de un universo finito.

nN

xnNN

xN

xP

11

Donde:N = PoblaciónN1= Subconjunto de N, elementos con la característica que denota éxiton = Tamaño de la muestrax = Variable, (número de éxitos en la muestra)

Combinaciones de Éxito posibles Combinaciones de Fracaso posibles

Muestras posibles tamaño

n

Distribución HipergeométricaPropiedades:

; donde

; donde

; Factor de Corrección

El factor de corrección es una aproximación al 100%, para aproximar el cálculo a la realidad.

np

1NnNnpq

2

1NnNnpq

NN

p 1

NN

p 1

1

NnN

Distribución HipergeométricaEjercicio:

Se sabe que, en un hospital con 52 enfermos, 19 requieren ser intervenidos quirúrgicamente. Si se toma una muestra al azar de 10 personas, ¿Cuál es la probabilidad de que 2 requieran cirugía?

Donde:N = 52 enfermos es la Población N1= 19 requiriendo cirugía Subconjunto de N, elementos con la característica que denota éxito (por ser lo que se pregunta)n = 10 Tamaño de la muestrax = 2 Variable, (número de éxitos en la muestra)

1501.0)220,024,820,15(

156,884,13171

1052

2101952

219

)2(

11

xP

nN

xnNN

xN

xP

3.- Una fábrica de láminas de vidrio, produce 50 láminas cada hora, y 10 errores distribuidos al azar durante el día. Si la producción es de 12 horas por día. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar en 1 lámina menos de 2 errores?

4.- En promedio, el 0.25% de la producción de un mes de partes de automóvil son defectuosas. ¿Cual es la probabilidad de que al elegir una remesa, esta contenga más de 3 partes defectuosas?

5.- Un pedido de vinos es de 10 cajas, cada caja contiene 12 botellas, en cada caja 1 botella es de reserva especial. Si se toma una muestra al azar de 6 botellas, ¿cual es la probabilidad de que menos de 2 sean de reserva especial? 6.- En un salón de clases con 35 alumnos, el 30% tienen 10 años cumplidos. Si tomamos una muestra al azar de 5 alumnos, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 no tengan 10 años cumplidos?

Ejercicios Distribuciones Discretas

Función de Densidad de Probabilidad ContinuaDISTRIBUCIÓN NORMAL

Es una distribución simétrica cuyo recorrido es ilimitado ya que es una distribución continua.

Su área bajo la curva está dada por:

dxxfxF

- 0

S1f(x) = Función de densidad de probabilidad

x = Variable de integración

X

Donde:Z = Área bajo la curva = Media poblacional = Desviación estándarX = Valor individualN = Población

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA

Sus propiedades en términos probabilísticos son:

= 0; = 1

Características de la Curva Normal

Es simétrica y tiene forma de campana, su recorrido es ilimitado.

La media divide al área bajo la curva en exactamente 2 partes iguales (X = Mo = Md)

Es una distribución continua de probabilidad por lo que su número de eventos puede ser infinito.

El cálculo de la probabilidad de ocurrencia de un evento, se mide con el tamaño del área que representa el evento bajo la curva normal. (Tabla normal Z estandarizada)

El promedio de ingresos anuales de un profesionista especializado en determinada empresa es de 34,000 dlls, con una desviación estándar de 2,000 dlls.

Distribución NormalEjercicio

- 0 µ

S1


- 0 µ=34,000 x= 35000

S1a) ¿Cuál es el porcentaje de las personas que ganan más de

35,000 dlls?

5.02000

000,34000,35

Z

Z

X

X= 35,000µ= 34,000σ= 2,000

Se busca el valor de Z en tablas* es igual a 0.1915

Por buscar el valor más de a 0.5, que es la mitad del área bajo la curva, se le resta el valor de Z en tablas es decir:0.5 - 0.1915 = 0.3085

Es decir, el 30.85% de las personas ganan más de 35,000 dlls.

* Ver siguiente lamina con explicación de tabla. Archivo anexo de Word, tabla Normal

.5.5

Se busca 0.5,

• En la 1er columna Z se busca la unidad y la Primera décima• y en el 1er renglón, se busca el segundo decimal.

La Tabla de Distribución Normal Z Estandarizada, es simétrica, por lo que al obtener un número negativo, se buscará igual, es decir, en términos absolutos.

(Esta tabla está en el Archivo de Word, anexo)


- 0 x1=33,000 µ=34,000 x2= 35000

b) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una persona, que gane entre 33,500 y 35,000 dlls?

5.02000

000,34000,355.0

2000000,34000,33

2

2

1

1

Z

Z

Z

Z

X

Z1= ? X1= 33,000µ= 34,000σ= 2,000

Se busca el valor de Z en tablas es igual a 0.1915

Por buscar el valor de -0.5 y 0.5 es el mismo valor por ser simétrica el área bajo la curva.Se suman ambos valores de la tabla Z1 y Z2:

0.1915 + 0.1915 = 0.3830

Es decir, el 38.30% de las personas ganan entre 33,000 y 35,000 dlls.

.5.5

Z2= ? X2= 35,000µ= 34,000σ= 2,000

Z1 Z2


- 0 µ x1=34,500 x2= 35,600

c) ¿Qué porcentaje de las personas ganan entre 34,500 y 35,600 dlls?

25.02000

000,34500,3480.0

2000000,34600,35

2

2

1

1

Z

Z

Z

Z

X

Z1= ? X1= 35,600µ= 34,000σ= 2,000

Se busca el valor de Z en tablas es igual a:Z1 = 0.80 = 0.2881 en tablas yZ2 = 0.25 = 0.0987 en tablasEl valor Z va de la media al punto que se busca es decir XA Z1 se le restara el valor de Z2:

0.2881 – 0.0987 = 0.1894

Es decir, el 18.94% de las personas ganan entre 34,500 y 35,600 dlls.

.5.5

Z2= ? X2= 34,500µ= 34,000σ= 2,000

Z2

Z1


- 0 x1 µ x2

d) ¿En qué intervalo de ingresos se encuentra el 96% de los profesionistas?

120,38120,4000,34880,29120,4000,34

)2000(06.2000,34

2

1

XXX

ZX

X

Z= 2.06 X1= ?µ= 34,000σ= 2,000

Ahora se conoce el valor de Z.

96%, que se divide entre 2 y se busca .4800 dentro de tablas, el valor exacto o el primero que se pase.

Las coordenadas es el valor de Z ±2.06 por ser simétrica.Se calcula X1 y X2 El intervalo del 96% estará entre

38,120 y 29,880

.48.48

Z= 2.06 X2= ?µ= 34,000σ= 2,000

96%

.5.5

•Se busca 96% ÷2= 0.48 dentro de la tabla

• Se elige el número entero ó el primero que se pase.

• Se buscan las coordenadas.

La Tabla de Distribución Normal Z estandarizada, es simétrica, por lo que el valor de las coordenadas, multiplicado por σ, se sumara y restará a la media.

Esta tabla está en el Archivo de Word, anexo .

Ejercicios Distribución Normal

1.- El tiempo promedio que recorre una persona para llegar de su casa al trabajo es de 24 min con una desviación estándar de 3.8 min.

– a) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue en al menos 32 min?– b) Si la oficina la abren a las 9:00 am y sale de su casa a las 8:45am, ¿Qué porcentaje

de las veces no llega a tiempo a su trabajo?– c) Si sale a las 8:35am de su casa, y el café lo sirven de 8:50am a 9:00am, ¿Qué

porcentaje de las veces se pierde el café?– d) ¿El 75% de las ocasiones, en que intervalo de tiempo llega?

2.- El promedio de ingresos anuales de un profesionista especializado en determinada empresa es de 34,000 dlls, con una desviación estándar de 2,000 dlls.

– a) ¿Cuál es el porcentaje de las personas que ganan más de 35,000 dlls?– b) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una persona, que gane entre 33,500 y 35,500 dlls?– c) ¿Qué porcentaje de las personas ganan entre 34,500 y 35,600 dlls?– d) ¿En qué intervalo de ingresos se encuentra el 96% de los profesionistas?

3.- Una máquina expendedora de refrescos, rellena vasos de 200ml con una desviación estándar de 5ml.

– a) ¿Cuál es el porcentaje de los vasos que se rellenan con menos de 190ml?– b) ¿En una remesa de 1000 vasos de 230ml, cuántos se derraman?– c) ¿Cuál es la probabilidad de que se rellenen entre 195 y 210ml?– d) ¿En qué intervalo de mililitros se rellena el 95% de los vasos?

4.- El peso promedio de ratas de laboratorio, utilizadas para experimentos, es de 189grs, con una desviación estándar de 5.7grs.

– a) ¿Qué porcentaje de los animales pesan más de 200grs?– b) ¿Qué porcentaje pesan entre 195 y 205 grs?– c) ¿Qué porcentaje pesan al menos 175grs?– d) ¿En qué intervalo de pesos se encuentra el 95% de los animales?

Ejercicios Distribución Normal

Apéndice D Áreas debajo de la curva normal

Ejemplo: Si z = 1.96, entonces p(0 a z) = 0.4750.

(Lind, Douglas A.. Estadistica Aplicada a Los Negocios y a la Economia, 12th Edition. McGraw-Hill Interamericana, 022006. 21.9).

Documents

Apuntes de apoyo de “Estadística Descriptiva”