Apuntes de as v 2010

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ

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INDICE NO. DESCRIPCION DEL TEMA PAG. 1 DEFINICION Y CLASIFICACION DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2 2 ELIMINACION DE CONSTANTES ARBITRARIAS 3 3 FAMILIA DE CURVAS E ISOCLINAS 7 4 EL METODO DE SEPARACION DE VARIABLES 14 5 DEFINICION DE FUNCIONES HOMOGENEAS 17 6 RESOLUCION DE ECUACIONES POR EL METODO DE COEFICIENTES

HOMOGENEOS 18

7 DEFINICION DE ECUACIONES EXACTAS Y METODO DE SOLUCION 20 8 LA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN 24 9 FACTORES INTEGRANTES OBTENIDOS POR INSPECCION 27 10 DETERMINACION DE FACTORES INTEGRANTES 28 11 ECUACION DE BERNOULLI 32 12 TRAYECTORIAS ORTOGONALES 13 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 14 SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES

CONSTANTES

15 ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

16 COEFICIENTES INDETERMINADOS 17 VARIACION DE PARAMETROS 18 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 19 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER NO HOMOGÉNEA: VARIACION DE

PARAMETROS

20 SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

21 SOLUCION MEDIANTE CAMBIO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 22 DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 23 TRANSFORMADA INVERSA Y TRANSFORMADA DE DERIVADAS 24 LA TRANSFORMADA DE FUNCIONES ELEMENTALES 25 TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA 26 DERIVADA DE TRANSFORMADAS

APUNTES DE MATEMATICAS V: “ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

CON MATHEMATICA” EDUARDO LOPEZ SANCHEZ


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1. DEFINICION Y CLASIFICACION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DEFINICION. Una ecuación diferencial es una expresión matemática que contiene al menos una derivada de una función; existen las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) si las derivadas existentes son ordinarias y las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) si las derivadas son parciales. CLASIFICACION. En una EDO se identifican, generalmente, dos tipos de variables: la variable independiente y la variable dependiente. Tradicionalmente x es la variable independiente y y es la dependiente; sin embargo, cuando existe la variable t , que hace referencia al tiempo, ésta es independiente y las otras variables son dependientes. El orden de una EDO es el orden de la derivada de mayor rango en la ecuación. Así, xeyxyyxy −=+′+′′+′′′ 22 es una EDO de orden 3, la variable independiente es x y la variable dependiente es y .

La EDO 025

2

23

4

4

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dtdw

dtwd

dtwd

es de orden 4, la variable independiente es t y la variable

dependiente es w . Una EDO puede ser lineal o no lineal dependiendo del comportamiento de la variable dependiente; se dice que es lineal si el exponente al que está elevada la variable dependiente o sus derivadas es uno (1); si no se dice que es no lineal. Si existe el producto de la variable dependiente con sus derivadas, se considera no lineal. La siguiente tabla muestra la clasificación de algunas EDO’s:

EDO ORDEN LINEALIDAD

)cos(5 24 xeyxyyxy −=+′+′′+′′′ 3 LINEAL

1023

3

34

4

4

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dtdx

dtxd

dtxd

4 NO LINEAL

0=+ ydyxdx 1 NO LINEAL

ttexxxtx =+−+ 5 3 LINEAL

xdxdyxdxx coscos =+ 1 LINEAL

0)2( 423 =+−+ yDDD ππ 3 LINEAL

En la tabla anterior pueden observarse las notaciones matemáticas existentes para definir a la derivada de

una función. La notación )()4( ,...,,, nyyyyy ′′′′′′ corresponde a Lagrange; la forma n

n

dxyd

dxyd

dxdy ,...,, 2

2

corresponde a Leibniz; la notación xxx ,, donde dtdxx = se le atribuye a Newton. El uso de operadores

diferenciales yDyDDy n,...,, 2 posiblemente esté relacionado con la notación de Cauchy que

corresponde a yDdxdy

x= . Los operadores diferenciales serán utilizados en las ecuaciones diferenciales

lineales de orden superior.


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EJERCICIOS RESUELTOS Clasificar las siguientes EDO’s : R1. 02 =+′+′′+′′′ xyyxyyyyx ; Orden=3, No Lineal R2.

ydxdy 1

= ; Orden=1, No Lineal

R3. 33)2)(( xxyDxD +=+− ; Orden=4, Lineal

R4. 0coscos =+ xdyyydxx ; Orden=1, No Lineal

EJERCICIOS PROPUESTOS Para cada uno de los ejercicios siguientes, establézcase el orden y linealidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias de la tabla:

P1. 022

2

=+ xkdt

xd

P2. )()( xQyxPy =+′

P3. 02'3''' =+− yyy P4. xyy =''

P5. )(4

4

xwdx

yd= P6. 12

2

2

2

cdt

xdydt

ydx =−

P7. ERidtdiL =+

P8. 0)()( =−++ dyyxdxyx

P9. 0)'()''( 43 =−+ yyyx P10. texxx −=+−3

P11. 223 3)754( xxyDDD +=+−+ P12. 0)2()1( 3 =+− yDD

P13. xyxDDx =+− ))(( P14. 21 yxy

dxdy

+−=

P15. xxyyy cos8'2'' 2 +=−+ P16. 0=+ qdppdq 2. ELIMINACION DE CONSTANTES ARBITRARIAS Si tomamos una ecuación matemática con constantes arbitrarias y las eliminamos por diferenciación explícita o implícita y, además, efectuamos las operaciones algebraicas adecuadas de las ecuaciones obtenidas, llegamos a una ecuación diferencial de orden igual al número de constantes arbitrarias eliminadas. La ecuación original es la solución de la ecuación diferencial obtenida. EJEMPLOS: R5.- )sin( βϖ += tAx , donde ϖ es un parámetro.

ϖβϖ )cos( += tAdtdx

)sin(22

2

βϖϖ +−= tAdt

xd

xdt

xd 22

2

ϖ−=

R6.- xx ececy 3

21−− += ...

xx ececy 321 3 −− −−=′ ...

Comentarios: Como ϖ es un parámetro, no importa si no se elimina en la EDO resultante. Se permite derivar dos veces a x pues existente

dos constantes arbitrarias, BA, .

Por sustitución de x en 2

2

dtxd

se obtiene la

EDO.

Comentarios: Para eliminar 21,cc se requiere derivar dos veces a la ecuación . Sumando y , y multiplicando por 3 esta suma obtenemos una cuarta ecuación. Sumando y obtenemos una quinta ecuación que puede reducirse con la cuarta para obtener la EDO sin constantes arbitrarias.


4

xx ececy 321 9 −− +=′′ ...

034033

633

6

)2(3

32

32

32

=+′+′′=′++′′+′

−=′+

=′′+′

−=′+

−

−

−

yyyyyyyecyy

ecyy

ecyy

x

x

x

EJERCICIOS PROPUESTOS En cada uno de los siguientes ejercicios, elimínense las constantes arbitrarias: Ejercicio: Solución:

P17. cyxx =− 23 3 0)2( =−− xdydxyx

P18. cxyxy =− 2sin 0)2(sin)(cos =−+− dyxyxdxyxy

P19. cxyx +=12 0)1( 32 =++ dyxdxyx

P20. yxcy += 22 0)2(2 2 =+− dyxyxydx

P21. wtcwtcx sincos 21 += , w es un parámetro 02

2

2

=+ xwdt

xd

P22. 12 ++= ccxy 1)'(' 2 ++= yxyy

P23. xeccy 221 += 0'2'' =− yy

P24. xx ececy 321

−− += 03'4'' =++ yyy

P25. xx ececxy 321

−− ++= xyyy 343'4'' +=++

P26. xx ececxy 221

2 −++= )1(22''' 2xxyyy −+=−+

P27. xx xececy −− += 21 0'2'' =++ yyy

P28. 22

11

−− += xcxcy 02'4''2 =++ yxyyx

P29. xecxcy −+= 21 0''')1( =−++ yxyyx

P30. xecxcxy −++= 212 22''')1( 2 ++=−++ xxyxyyx

P31. xecxcy 22

21 += 0)12(2')12('')1( 2 =−−−+− yxyxyxx

Si usamos Mathematica para eliminar una constante arbitraria de una ecuación, las instrucciones que requiere el programa son:


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Si corremos el programa dentro del entorno de Mathematica con la secuencia <Shift-Enter>, necesitaremos introducir la ecuación con la constante arbitraria c respetando las reglas de las funciones con la sintaxis de Mathematica. Por ejemplo, para eliminar la constante c de la siguiente ecuación:

12 ++= ccxy , ejecutaríamos el programa e introduciríamos la ecuación como:

Obteniendo como resultado: Para encontrar la EDO de orden dos (2) si la ecuación original contiene dos (2) constantes arbitrarias 1c y 2c , las instrucciones del programa en Mathematica son:

Clear@x, y, ec1, ec2, ec3, ec4Dec1 =

Input@"Introduzca ecuación y@xD== ...

con una constante arbitraria c"D;ec2 = ∂x ec1;ec3 = Solve@ec1, cD;ec4 = ec2 ê. c → ec3@@1, 1, 2DD;Print@"Ecuación Original:"Dec1Print@"Ecuación Diferencial encontrada:"DSimplify@ec4D

x+"###### #### ## ## ## ## ## ## ## ## ##

−4 + x2 + 4 y@xD + 2 y @xD 0

Clear@x, y, c1, c2, ec1, ec2, ec3, ec4, ec5, ec6, ec7, ec8Dec1= Input@"Introducir y@xD==... con las constantes arbitrarias c1 y c2:"D;ec2= ∂x ec1;ec3= ∂x ec2;ec4= Solve@ec1, c1D;ec5= ec2ê. c1→ ec4@@1, 1, 2DD;ec6= Solve@ec5, c2D;ec7= ec4@@1, 1, 2DD ê. c2→ ec6@@1, 1, 2DD;ec8= ec3ê. 8c2→ ec6@@1, 1, 2DD, c1 → ec7<;Print@"Ecuación original:"Dec1Print@"Ecuación diferencial encontrada:"DSimplify@ec8D


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Por ejemplo, hallar la EDO de la ecuación con dos (2) constantes arbitrarias siguiente usando Mathematica:

Ecuación original: xecxcy 421

−+=

Obteniendo el siguiente resultado:

EJERCICIOS PROPUESTOS Usando Mathematica, encontrar la ecuación diferencial ordinaria una vez eliminada la(s) constante(s) arbitraria(s) de las ecuaciones siguientes: M1. 1=−− Cxe y M2. 3

3 1xC

xy +=

M3. 22 2 CCxy =+ M4. 0)ln()arctan( 22 =+− yxCxy

M5. )exp()2exp( 31 xxCy +−= M6. 212 xCy ++=

M7. 21 xxy −= M8. x

Cycos

=

M9. )arcsin(Cxey = M10. )ln( xeCy +=

M11. 1+= Cyyex M12. )ln(Cyyx =

M13. )2sin2cos( 21 xCxCey x += − M14. xexCCy 321 )( −+=

M15. xCxCy ln21 += M16. ))ln(sin( 12 CyCx +=+

M17. 22

1 )( CCxy ++= M18. )(121

xx eCeCx

y −+=

M19. xeCxeCy xx 3sin3cos 22

21 += M20. bxeCbxeCy axax sincos 21 +=

Ecuación original:

Out[17]= y@xD c2 −4x + c1 x

Ecuación diferencial encontrada:

Out[19]= y @xD 16Hy@xD− x y @xDL1 + 4 x


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3. FAMILIA DE CURVAS E ISOCLINAS Para hallar la ecuación diferencial de una familia de curvas cyxf =),( , se aplica el método de eliminar la constante arbitraria existente por diferenciación. La familia cyxf =),( puede plantearse como un conjunto de condiciones del lugar geométrico o directamente por medio de una ecuación. EJEMPLOS: R7.- Obtener la ecuación diferencial de las rectas con pendiente y la intersección con el eje X , iguales. La gráfica de la familia de curvas es la siguiente:

La ecuación diferencial puede encontrarse planteando la ecuación que corresponde a las familia de rectas que cumplen ma = , donde a es la abcisa de la intersección de las rectas con el eje X y m la pendiente de las rectas.

0)()(

)(

)()(0

)(

2

2

11

=−′−′

′−′==′

−=

−==

−=−=−−=−

yyyxyxyy

mymmxymxmy

amaxmy

axmyxxmyy

R8.- Circunferencias de radio fijo r y tangentes al eje x. La ecuación de la circunferencia se deberá ajustar haciendo rk = ; como r es fijo, es un parámetro y no debe eliminarse; la constante arbitraria a eliminar es h .

222 )()( rkyhx =−+− 222 )()( rryhx =−+−


8

[ ]222 )()( rryhxdxd

=−+−

0)(2)(2 =′−+− yryhx 0)()( =′−+− yryhx

)( ryyhx −′−=− 222 )()( rryhx =−+−

[ ] 222 )()( rryryy =−+−′−

[ ] 222

2222

1)()()()()(

ryryrryryy

=+′−

=−+−′

Cuando se conoce la relación correspondiente a la familia de curvas, basta derivar implícitamente tantas veces como constantes haya que eliminar. Si en la relación se tiene un parámetro, éste no deberá eliminarse.


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EJEMPLOS RESUELTOS:: R9. Graficar la ecuación diferencial y la familia de curvas correspondiente a las estrofoides, cuya ecuación es:

xaxaxy

−+

=)(2

2 ; la ecuación diferencial ordinaria correspondiente a esta familia es

04)4( 34224 =+−− ydyxdxyyxx . La gráfica de la familia de curvas y la gráfica de la ecuación diferencial correspondiente es:

Cuando se utilizan ecuaciones con una constante arbitraria en coordenadas polares, deberemos recordar

que )(θfr = , de manera que )(' θθ

fddr

= . La ecuación diferencial se encuentra eliminando la

constante arbitraria por diferenciación. Por ejemplo, las cardioides )sin1( θ−= ar , tienen la EDO y la familia de curvas siguientes:

0cos)sin1(sin1cos

sin1

cos

=+−−

−=

−=

−=

θθθθθ

θ

θ

θθ

drdr

rddr

ra

addr


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EJERCICIOS PROPUESTOS: En cada uno de los ejercicios siguientes, obténgase la E.D.O. de la familia de curvas planas descritas o representadas por su ecuación. Grafíquese la familia de curvas y su ecuación diferencial.

LUGAR GEOMETRICO O ECUACION SOLUCION P32. Rectas que pasan por el origen. 0=− xdyydx

P33. Rectas que pasan por el punto fijo ),( kh ; h y k son parámetros.

0)()( =−−− dyhxdxky

P34. Rectas con pendiente y la intercepción con el eje Y , iguales.

0)1( =+− dyxydx

P35. Rectas con la suma algebraica de las intercepciones iguales a

k . 0')1')('( =+−− kyyyxy

P36. Circunferencias con centro en el origen. 0=+ ydyxdx

P37. Circunferencias con centros sobre el eje X . 01)'('' 2 =++ yyy

P38. Circunferencias con centro sobre la recta xy −= , y que pasen por el origen.

0)2()2( 2222 =−++−− dyyxyxdxyxyx

P39. Parábolas con el vértice sobre el eje X , con el eje paralelo al eje Y , y con la distancia del foco al vértice igual a a .

yya =2)'(

P40. Parábolas con el vértice sobre el eje Y , con el eje paralelo al eje X , y con la distancia del foco al vértice igual a a .

ayx =2)'(

P41. Parábolas con el eje paralelo al eje X , y con la distancia del vértice al foco igual a a .

0)'(''2 3 =+ yay

P42. Parábolas con el vértice y el foco sobre el eje X . 0)'('' 2 =+ yyy

P43. Parábolas con el eje paralelo al eje X . 0)''(3'''' 2 =− yyy

P44. Las cúbicas )(22 axxcy −= con c fija. 3)'(2 xyxycy =−

P45. Las cuárticas 322 )( axxyc −= con la a fija. 0)(2)4( =−−− dyaxxdxaxy

P46. Las estrofoides xa

xaxy−+

=)(2

2

yxxyxyy 3

2224

44' −+

=

P47. Las cisoides xa

xy−

=3

2

)3('2 223 xyyyx +=

P48. Las trisectrices de Maclaurin

)3()( 22 xaxxay −=+ 08)63( 34224 =+−− ydyxdxyyxx

P49. Las circunferencias )cos(sin2 θθ −= ar 0)sin(cos)sin(cos =++− θθθθθ drdr

P50. Las cisoides θθ tansinar = 0)cos1(cossin 2 =+− θθθθ drdr

P51. Las estrofoides )tan(sec θθ += ar θθ secrddr =

Para graficar la familia de curvas y la ecuación diferencial correspondiente, usaremos el software gratuito Graphmatica, disponible en la dirección http://www.ksoft.com. Por ejemplo, para graficar las cúbicas

)(22 axxcy −= , con a fija, debemos escribir la ecuación en el editor de fórmulas de Graphmatica, considerando que c es la constante arbitraria y a el parámetro fijo; en Graphmatica la constante a es una variable con valores de rango predeterminados de 1 a 3 con incremento de 1 en 1, pero que se puede modificar, y c es una constante fija con un valor predeterminado de 1. Por ello, debemos escribir la ecuación de las cúbicas con las constantes invertidas y respetando los operadores que comúnmente se usan en computación.


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Para graficar la ecuación diferencial deberemos despejar 'y y representarla en el editor de Graphmatica como =dy expresion


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La gráfica de la ecuación diferencial también es conocida como curvas isoclinas o campos direccionales. La definición de isoclina es: “el lugar geométrico de puntos en los que las tangentes a las curvas de una familia considerada tienen una misma dirección”. Por ejemplo, graficar la familia de curvas y sus curvas isoclinas de la ecuación

0)ln()/arctan( 22 =+− yxcxy

En este caso, como Graphmatica no puede graficar la ecuación con la constante arbitraria a , se dan valores diferentes a la constante arbitraria en el editor de ecuaciones y se grafican las curvas una a una para obtener la familia. La ecuación diferencial o curvas isoclinas se da directamente en el editor. Obsérvese que los pequeños segmentos de recta representan pendientes siguiendo las trayectorias de la curvas. Usando Mathematica para graficar una familia de curvas, podemos capturar el siguiente programa:

Por ejemplo, para graficar la familia de curvas de la ecuación 222 )()( kkykx =−+− , haremos lo siguiente:

In[97]:= << Graphics̀ ImplicitPlot̀ecfam = Input@"Introduzca la ecuación de la familia de curvas en la forma FHx,y@xD,kL==0"D;Print@"Ecuación de la familia de curvas: ", ecfamDec1= ∂x ecfam;ec2= Solve@ec1, kD;ec3= ec1ê. k→ ec2@@1, 1, 2DD;Print@"Ecuación diferencial de la familia de curvas: "Dec3familia= ecfam ê. y@xD→ y;Tablafamilia= Table@familiaê. k→ a, 8a, −5, 5<D;Print@"Grafica de la familia de curvas"DImplicitPlot@Tablafamilia, 8x, −10, 10<D


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Ecuación diferencial de la familia de curvas:

Grafica de la familia de curvas

Ecuación de la familia de curvas: H−k + xL2 + H−k+ y@xDL2 k2

2ikjjx−

x + y@xD y @xD1 + y@xD

y{zz+ 2 y @xD i

kjjy@xD−

x + y@xD y@xD1 + y @xD

y{zz 0

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10


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4. RESOLUCION POR EL METODO DE SEPARACION DE VARIABLES La ecuación diferencial de primer orden puede expresarse como 0)',,( =yyxf ; esta forma puede expresarse como 0),(),( =+ dyyxNdxyxM . Para resolver esta ecuación usando el método de separación de variables, deberemos analizar las expresiones MyxM =),( y NyxN =),( , de manera que la ecuación 0=+ NdyMdx pueda expresarse en la forma 0)()( =+ dyyBdxxA ; entonces la solución se halla integrando la expresión, es decir:

∫ ∫ =+ cdyyBdxxA )()( , o bien ∫ ∫ += cdxxBdxxA )()(

que conduce a

cyxF =),( que es la solución general de la ecuación diferencial ordinaria; si existen valores iniciales o condiciones de frontera, la constante c debe evaluarse para obtener la solución particular de la forma 0),( =yxF . EJEMPLOS RESUELTOS: R10. Resolver xydydxy 2)1( =+ Solución:

22

2

21

21

)1(:0ln)1ln(ln20ln)1ln(22ln

0ln)1ln(ln

01

ln

012

02)1(2)1(

+=

=+++=

=+++−=+++−

=+

+−

=+

−

=−+=+

∫ ∫

∫ ∫

ycxeSolucióncyxycyyx

cyyxydydyx

yydy

xdx

xydydxyxydydxy

y

R11.- Obtener la solución particular que satisfaga las condiciones de frontera indicadas:

212 yyxy +=′ cuando 2=x y 3=y

∫

∫

=+

+=+

=+

+=

cxycxy

xdx

yydy

ydxdyxy

2

2

2

2

1lnln)1ln(

12

12

Si 2=x y 3=y

Entonces )2()3(1 2 c=+ , de donde 5=c , así, la solución particular es xy 51 2 =+


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EJERCICIOS PROPUESTOS: En las siguientes ecuaciones, encuéntrese la solución general; si existen valores iniciales, hállese la solución particular. Verifíquese la solución.

EJERCICIO SOLUCION

P52. 3')4( yyx =+ 1)]4(ln[2 2 −=+ xcy

P53. 0)exp( 22 =+ ydyxdxy cxyx =+− 2)exp( 2

P54. 0sinsincoscos =+ ydyxydxx ycx cossin =

P55. xdyydx 23 = 23 cyx =

P56. nxdymydx = nm cyx =

P57. 2' xyy = 02)( 2 =++ cxy

P58. PV

dPdV −= cPV =

P59. 0)4(2)1( =++− dyedxye xx 22 )4()1( cey x =+−

P60. )cossin( drdredr θθθ −= cer =+ )cos1( θ

P61. 0)()( =++− dyyxydxxxy )1()exp()1( +=+− xcyxy

P62. xydydxy 2)1( =+ )2exp()1( 2 ycyx +=+

P63. 0)1(2 =−+ dyxydxx )2exp()1( 222 xyxxc −+=− −

P64. dyyxyxdxxxy )1()( 2222 +++=+ )]1(ln[42)1ln( 22 ++−=+ ycyyx

P65. 0tancos2 =+ ydyydxx 222 tan cyx =+

P66. yeyyx ='2 yecxyx )1()1( +=+

P67. xdxydy 32 sintan = )(tan3cos3cos3 cyyxx +−=−

P68. yxy coscos' 3= cxxyy ++=+ 2sin2)tanln(sec4

P69. xyy sec'= )tan(sec xxcy +=

P70. xdtttdx 22 sec)1( += 22 )1(2sin2 tcxx ++=+

P71. yye x =+ ')4( 2 228 )41( cey x =+ −

P72. 0)3( =+++ βααβαββα dddd )3exp( βααβ −−=c

P73. 0)ln1()ln1( =+++ dyydxx cyyxx =+ lnln

P74. 022 =−± dyxaxdx 22 xacy −±=−

P75. dyaxxdxa 222 −= a

cyax += sec

P76. 0lnln =+ dyydxxy cxyxx +=+ )ln(lnln

P77. rtdtdr 4−= ; cuando 0=t , 0rr = )2exp( 2

0 trr −=

P78. 21'2 yxyy += ; 3)2( =y 152 −= xy

P79. 21' yxyy += ; 3)2( =y 225 22 =− yx

P80. )exp(' 2xyy −= ; 0)0( =y )exp(12 2xe y −+=−

P81. 02 =+ dyedxxy x ; cuando ∞→x ,

21→y 1)exp(2

)exp(−−

=xx

xy


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P82. θθdrdrra sin)2( 322 =− ; ar =)0( 222 cos)/ln( ararr −= θ

P83. gdxdvv = ; cuando 0xx = ; 0vv = )(2 0

20

2 xxgvv −=−

Para verificar la solución de una ecuación diferencial con la solución de los ejercicios, será necesario aplicar algunas propiedades de los logaritmos, función exponencial, identidades trigonométricas y manipulación algebraica. Ver la tabla No. 1 para recordar las propiedades de los logaritmos y función exponencial. Tabla No. 1. Propiedades del logaritmo natural y la función exponencial:

ex = exp x

` a

Si x = e y , entonces y = ln x

` a

ln a b` a

= ln a` a

+ ln b` a

ln abffffd e

= ln a` a

@ ln b` a

ln abb c

= b ln a` a

ea + b = ea eb

ea@ b = ea e@ b =ea

ebfffffff

ea` ab = ea b

Para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias usando Mathematica, se ocupa la instrucción DSolve; su sintaxis es DSolve[ecdif,vardep,varind]. Algunas ecuaciones diferenciales de primer orden pueden ser resueltas directamente con DSolve. Algunos ejemplos de solución de ecuaciones se presentan a continuación:

Obsérvese que la ecuación debe introducirse con doble signo igual (== ); es importante indicar la función dependiente de la variable independiente, por ejemplo, xxy ],[ , o bien, ttr ],[ ; la primera

DSolve@y@xD Log@xD Log@y@xDD+ y'@xD 0, y@xD, xD

::y@xD →x+C@1Dx−x>>

DSolve@HExp@2xD+ 4Ly'@xD y@xD, y@xD, xD

::y@xD →xê4C@1D

H4 + 2xL1ê8 >>

DSolve@8r'@tD −4r@tDt, r@0D r0<, r@tD, tD

::r@tD → −2t2r0>>

DSolve@8y'@xD Exp@y@xD − x^2D, y@0D == 0<, y@xD, xDSolve ::ifun :

Inverse functions are being used by Solve , so some solutions may notbe found ; use Reduce for complete solution information . More…

::y@xD → −LogB1 −12è!!!!

π Erf@xDF>>

erf HzL =2

è!!!!!p

‡0

ze-t2 d t


17

derivada se representa con apóstrofe (‘) en la función dependiente, ]['],['],[' θrtrxy . Todas las funciones que se usan en Mathematica deberán encerrar entre corchetes a sus argumentos, por ejemplo:

]2^][[ xxyExp − , ][xLog Si el Kernel de Mathematica compila la ecuación y encuentra que es difícil hallar su solución, emitirá algunos mensajes señalando el motivo y propondrá algunas funciones especiales para expresar la

solución, por ejemplo, ][xErf , donde dtezerfx t∫ −=

0

22)(π

.

Si queremos usar un programa para Mathematica que resuelva las ecuaciones diferenciales por separación de variables, será necesario separar por parte de nosotros las funciones con su respectivo diferencial y posteriormente introducir las funciones para que Mathematica solamente resuelva las integrales. El programa tiene el siguiente aspecto:

Por ejemplo, la ecuación diferencial xy3 dx + lnxdy = 0 se resuelve separando las variables

F x` a

=x

lnxffffffffff y G y

` a

= y@ 3 , por lo que en el programa al correrlo, se escribiría lo siguiente:

La solución sería:

Clear@F, G, ec1DPrint@"Solución de una ecuación diferencial por el

Método de Separación de Variables"DPrint@"La EDO tiene la forma FHxL dx + GHyL dy = 0"DF@x_D = Input@"Introduzca la función FHxL=..."D;G@y_D = Input@"Introduzca la función GHyL=..."D;

ec1 = ‡ F@xD x + ‡ G@yD y c;

Print@"Solución de la Ecuación Diferencial: ",Simplify@ec1DD

Solución de la Ecuación Diferencial:

ExpIntegralEi@2 Log@xDD c+1

2 y2


18

5. DEFINICION DE FUNCIONES HOMOGENEAS DEFINICION. Una función es homogénea si sus términos tienen el mismo grado, es decir, si la suma de los exponentes en cada término es la misma. Se dice que una función ),( yxf es homogénea de grado k si [ ]),(),( yxfyxf kλλλ = EJEMPLOS RESUELTOS: R12. Sea 3223 4),( xyyxyxyxf ++= Por la definición, 3223 ))((4)()()()(),( yxyxyxyxf λλλλλλλλ ++=

)4(4

32234

3422434

xyyxyxxyyxyx

++=

++=

λ

λλλ

[ ]),(),( 4 yxfyxf λλλ = por lo tanto ),( yxf es homogénea de grado 4.

R13. Sea xyyxyxyxh 42exp)(),( 22 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

yxyxyxyxh λλ

λλλλλλ 42exp)(),( 2222 +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

xyyxyxyxh 2222 42exp)(),( λλλλ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

[ ]xyyxyxyxh 42exp)(),( 222 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= λλλ

[ ]),(),( 2 yxhyxh λλλ = por lo tanto, es homogénea de grado 2 EJERCICIOS PROPUESTOS: Determínese en cada ejercicio si la función es homogénea o no. Si es homogénea, diga el grado de la función. P84. 22 865),( yxyxyxT −+= P85. 22 2),( yxyyxF +−=

P86. yx

eyxH =),( P87. 23

23

22 3),(yx

yxyxyxG+

++=

P88. 3)2(),( −+= vuvuS P89. )sin()cos(),( rrrrX θθθ =

P90. 22 2),( txtxxt −−+= πϖ P91. )exp(),( yxxyyx =Π


19

6. RESOLUCION POR EL METODO DE COEFICIENTES HOMOGENEOS Si ),( yxM y ),( yxN son homogéneas y del mismo grado, entonces:

),(),()

yxNyxMi es homogénea de grado cero

)ii Si ),( yxf es homogénea de grado cero en x y y , entonces ),( yxf es una función de xy

solamente. Sea 0),(),( =+ dyyxNdxyxM y sean M y N homogéneas de grado k , proponer una

variable k

xyu ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= o

k

yxv ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Con 1=k

0=+ dyMNdx o 0=+ dydx

NM

Caso 1: xyu = entonces

⎩⎨⎧

+==

xduudxdyuxy

[ ]

cxygx

cugx

cNM

Ndux

uuNuMduuN

xdx

xduuNdxuuNuMxduudxuNdxuM

dyNdxM xy

xy

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=+

=+

+

++

=++=++

=+

∫

∫ ∫

ln

)(ln

ln

),1(),1(),1(

0),1(),1(),1(0))(,1(),1(

0),1(),1(

Caso 2: yxv = entonces

⎩⎨⎧

+==

ydvvdydxvyx


20

[ ]

cyxhy

dvNM

My

dyydvvMdyvNvvM

dyvNydvvdyvM

dyNydvvdyM xy

yx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

+

=++=++

=++

∫ ∫

ln

0

0)1,()1,()1,(0)1,())(1,(

0)1,())(1,(

EJEMPLO RESUELTO: R14. Obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial:

0)3( 22 =+− dyyxxydx Solución:

032

2

2

2

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− dy

xy

xxdx

xxy

031 2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− dy

xydx

xy

Sea xyu = y

⎩⎨⎧

+==

xduudxdyuxy

cuu

x

ududuux

duu

ux

dxduuxdxu

xduuxdudxuudxudxxduudxuudx

=+−

=++

=+

+

=++

=−−−−

=++−

∫ ∫

∫ ∫−

ln61ln

031ln

03

)31(0)31(3

0330))(31(

2

3

3

2

23

23

2

cy

xy

cxyy

xx

cxy

yxx

+=

=−+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

2

2

2

2

2

2

6ln

lnln6

ln

ln6

ln


21

EJERCICIOS PROPUESTOS: En los siguientes ejercicios obténgase la solución general:

EJERCICIO SOLUCION P92. 0)2()2( =++− dyyxdxyx cxyyx =++ )/arctan(4)ln( 22

P93. 0)3( 22 =+− dyyxxydx )/ln(6 22 cyyx =

P94. 222 274' yxyxyx ++= )()2(2 yxcyxx +=+

P95. 0)48()42( 2222 =−−−−+ dyyxyxdxyxyx )(4 22 yxcyx +=+

P96. xydydxyx =+ 2)2( )/exp()(3 xycyxx =+

P97. dyxyxydx )( 22 −+= )/ln()/arcsin( cyyx =

P98. sin 0 4 22

0

P99. 0 ln ln P100. 4 2 2 0 2

P101. 0)( 22 =−+− xdydxyxy ; cuando 3=x ,

1=y

yx 692 −=

P102. 0)( 22 =−++ xdydxyxy ; cuando 3=x ,

1=y

122 += yx

El programa en Mathematica para resolver las ecuaciones con coeficientes homogéneos es el siguiente:

Por ejemplo, la EDO xdx + sin yxfffffd e

ydx @ xdyb c

= 0 se resolvería corriendo el programa y

haciendo N u` a

=@ sin u` a

para darnos la solución siguiente:

Clear@respuesta, fN, ec1, ec2, x, yDPrint@

"Solución de una ecuación diferencial con coeficientes homogéneos"DPrint@"La EDO tiene la forma MH1,uL dx + NH1,uLHu dx + x

duL = 0 ó MHu,1L Hu dy + y duL + NHu,1L dy = 0"Drespuesta = Input@"Introduzca si se divide por x o por y H1ê0L :"D;IfArespuesta 1,

9fN@u_D = Input@"Introduzca la función NHuL=..."D;

ec1 = ‡1

x x + ‡ fN@uD u c;

ec2 = ec1 ê. u → y ê x;Print@"Solución de la Ecuación Diferencial: ", Simplify@ec2DD=,

9fN@u_D = Input@"Introduzca la función MHuL=..."D;

ec1 = ‡1

y y + ‡ fN@uD u c;

ec2 = ec1 ê. u → x ê y;Print@"Solución de la Ecuación Diferencial: ", Simplify@ec2DD=E;

Solución de la Ecuación Diferencial : c Cos A yxE + Log @xD


22

7. DEFINICION DE ECUACIONES EXACTAS Y METODO DE SOLUCION Si una ecuación diferencial de primer orden de la forma 0),(),( =+ dyyxNdxyxM no puede resolverse por los métodos previamente estudiados, pero, además, la ecuación (1) resulta de una función

cyxF =),( que tenga como diferencial total la expresión: NdyMdx + , es decir, NdyMdxdF += , entonces cyxF =),( es la solución general de la ecuación.

Si tenemos que 0=+ NdyMdx , entonces se necesitan dos cosas:

1. Encontrar bajo que condiciones para M y N existe una función F tal que su diferencial total sea exactamente NdyMdx + ; segundo, si esas condiciones se satisfacen, determinar la función F . Si existe una función F tal que NdyMdx + sea exactamente la diferencial total de F ; llamaremos a la ecuación (1) una ecuación exacta.

Sea 0=+ NdyMdx Si es exacta, entonces por definición existe F tal que

NdyMdxdF +=

022

=∂∂

∂+

∂∂∂ dy

yxFdx

yxF

xN

yM

yxF

∂∂

=∂∂

=∂∂

∂ 2

Entonces si se cumple el criterio anterior, la ecuación diferencial es exacta.

1)xFM∂∂

= 2) yFN∂∂

=

De la ecuación 1) ∫ ∫ ∂=∂

∂=∂

xMF

xMF ∫ +∂= )(yKxMF

De la ecuación 2) [ ]∫ +∂∂∂

=∂∂ )(yKxM

yyF

( ))(yKxMyy

F ′+∂∂∂

=∂∂

( ) NyKxMy

=′+∂∂∂∫ )(

entonces

dyxMy

NyK ∫ ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

−=)(

Entonces la solución de la ecuación diferencial exacta es:

cdyxMy

NxM =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

−+∂ ∫ ∫∫


23

EJEMPLOS: R15. Resolver: 0)cotcos(cos =−+ senxsenydydxxyx

)()cotcos(cos

senxsenyNxyxM

−=+=

xsenyxN

xsenyy

M

cos

cos

−=∂∂

−=∂∂

Entonces, si es exacta

yNF ∂=∂ ∫ ∫ ∂−=∂ ysenxsenyF )(

)ln()(

cot)(

cotcoscos)(coscos

)(cos

senxxK

xxK

xyxxKyxxF

xKysenxysenysenxF

−=

−=′

−=′+=∂∂

+=∂−=

∫ ∫

∫

sustituyendo: csenxysenx =− )ln(cos El programa para resolver las ecuaciones diferenciales exactas usando Mathematica es el siguiente:

Clear@Mf, Nf, dM, dN, Ff, cDPrint@"ECUACIONES EXACTAS"DPrint@"Funciones originales:"DMf@x_, y_D = Input@"Introduce función MHx,yL: "D;Nf@x_, y_D = Input@"Introduce función NHx,yL:"D;Print @"MHx,yL = ", Mf@x, yDDPrint@"NHx,yL = ", Nf@x, yDDPrint@"Las derivadas parciales:"DdM = Simplify@∂y Mf@x, yDD;dN = Simplify@∂x Nf@x, yDD;Print@"∂y MHx,yL = ", dMDPrint@"∂x NHx,yL = ", dNDIfAdM === dN, 9Print@"La E.D.O. es EXACTA"D,

Ff@x_, y_D := ‡ Mf@x, yD x + ‡ JNf@x, yD − ∂y ‡ Mf@x, yD xN y,

Print@"SOLUCION: ", Ff@x, yD cD=,

Print@"La E.D.O. NO es EXACTA"DE;

resp = Input@"Existen valores iniciales H1ê0L"D;If@resp === 1,

8valores =

Input@"Introducir los valores de x y y en una listade la forma 8x,y<"D;

solp = Ff@x, yD c ê. 8x → valores@@1DD, y → valores@@2DD<;ec1 = Solve@solp, cD;Print@"Solución particular:",

Ff@x, yD c ê. c → ec1@@1, 1, 2DDD<D;


24

Por ejemplo, para resolver la ecuación diferencial siguiente: 2x + ycos xy` a

B C

dx + xcos xy` a

dy = 0

corremos el programa e introducimos en las ventanas las funciones , y , , respetando la sintaxis requerida en Mathematica. El resultado es el siguiente:

EJEMPLOS PROPUESTOS: Ejercicio Solución

P103. 6 2 3 0 3 P104. 2 0 1 P105. 2 3 2 2 2 2 0 2 2 P106. 0 2

P107. 0

P108. 2 0 sen P109. 3 1 8 3 0; 0, 1 3 4 1 P110. 1 1 0; 2, 1 5 3 5 P111. 2 3 2 ; 1,1

2 3 2 15

P112. 0 4 Resolver las siguientes ecuaciones utilizando Mathematica:

Ecuación diferencial M21. 2 0 M22. 2 3 3 exp 0

M23. √

2 √1 0

M24. 3 4 0 M25. 0 M26. 2 3 0

M27. 1 0

M28. 3 4 0

M29. cos cos 2 0

M30. ln 0

ECUACIONES EXACTAS

Funciones originales :

MHx,yL = 2 x + y Cos @x yDNHx,yL = x Cos @x yDLas derivadas parciales :

∂y MHx,yL = Cos @x yD − x y Sin @x yD∂x NHx,yL = Cos @x yD − x y Sin @x yDLa E.D.O. es EXACTA

SOLUCION : x2 + Sin @x yD c


25

8. LA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN Una ecuación que es lineal y de primer orden en la variable dependiente puede ser de la forma: (1) dxxcydxxBdyxA )()()( =+ A continuación tenemos:

dxxQydxxPdydyyxNdxyxM)()(

0),(),(++

=+lineal con respecto de y

0),(

),(),(

),(),(

),(=++

yxNdxyxB

yxNdxyxA

yxNdyyxN

QPydxdy

dxxQydxxPdy

=+

=+ )()( Si Q=0, entonces 0=+′ Pyy es homogénea.

Supongamos que existe una función )(xu que transforma la ecuación anterior en una ecuación exacta;

)(xu recibe el nombre de factor integrante. dxxuxQydxxuxPdyxu )()()()()( =+ o QudxPuydxudy =+ o 0)( =+− udydxQuPuy

entonces uN

QuPuyM=

−=

como es exacta, entonces xN

yM

∂∂

=∂∂

, es decir: PuQuPuyxy

M=−

∂∂

=∂∂ )(

xu

xN

∂∂

=∂∂

entonces:

∫

∫∫∂=

∂=

∂∂

=

xPu

xPudu

xuPu

ln

por lo que hallamos [ ]∫ ∂= xPu exp como el factor integrante

aplicando el factor integrante a la ecuación anterior: ( ) ( ) ( )QdxxPPydxxPdyxP ∫∫∫ ∂=∂+∂ expexpexp

[ ( ) ] ( )QdxxPxPyd ∫∫∫∫ ∂=∂ expexp

( ) ( ) cQdxxPxPy +∂=∂ ∫∫∫ expexp


26

R15. EJEMPLO: yxy 2−=′ Tenemos: xdxydxdy =+ 2 donde P=2 y Q=x, y si

( )∫= dxu 2exp , entonces )2exp( xu =

Ahora aplicamos el factor integrante a la ecuación original: xdxedxyedye xxx 222 2 =+ ahora verificaremos si es una ecuación exacta:

x

xx

eNeyeM

2

222=

−=

x

x

exN

ey

M

2

2

2

2

=∂∂

=∂∂

por lo tanto, sí es exacta.

Ahora aplicaremos los recursos de integración, y tenemos: ∫ ∫= xdxeyed xx 22 )(

eliminando operadores de la integral con la derivada en el miembro izquierdo e integración por partes en el miembro derecho, tenemos: xcexy 2124 −+−= EJEMPLOS PROPUESTOS:

Ejercicio Solución P113. 3 0 2 P112. 1 4 0 20 4 1 1 P114. 1 3 3 P115. 1 3 3

P116. 4 4 1 2P117. P118. P119. , donde y son constantes

P120. 2 1 1 P121. 1 1

P122. 2 3 2 3 ; cuando 1, 0

2 2 3 ln 2 3

P123. 2 ; cuando 1, 1 2 1 2exp 1

P124. , donde , son constantes; cuando 0, 0

1 exp

P125. Con , entonces

P126. Encontrar la solución de 2 2 que pasa por el punto 0, 1

2 1

P127. Encuéntrese la solución de 2 2 que pasa por el punto 0,1

2 1 2

P128. 1 2 3 1 0; cuando 0, 2

1 3 exp


27

El programa para resolver las ecuaciones lineales de primer orden en Mathematica es el siguiente:

Al correrse el programa deberán introducirse las funciones y en las ventanas respectivas, y se mostrarán las funciones y , el factor integrante y la solución de la ecuación diferencial. Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuación diferencial lineal: , donde , , son constantes con 0, 1, deberán darse las funciones y , para obtener la siguiente solución:

M31. Ejercicio propuesto: Resuélvase en Mathematica la ecuación diferencial lineal anterior para los casos n 0 y n 1. Verificar con las soluciones: Si 0, , y si 1,

.

Print@"Solución de la Ecuación Lineal de Primer Orden"DPrint@"dy + PHxL y dx = QHxL dx"DPrint@"Funciones PHxL y QHxL originales:"DP@x_D = Input@"Introduzca la función PHxL:"D;Q@x_D = Input@"Introduzca la función QHxL:"D;Print@"PHxL = ", P@xDDPrint@"QHxL = ", Q@xDDPrint@"Factor integrante:"Du@x_D = ExpA‡ P@xD xE;

Print@"uHxL = ", u@xDDeclineal = u@xD y == ‡ Q@xD u@xD x + c;

sol = Solve@eclineal, yD;Print@"Solución de la ecuación lineal: ", y == sol@@1, 1, 2DDD


28

9. FACTORES INTEGRANTES OBTENIDOS POR INSPECCION Las ecuaciones que nos interesan ahora son suficientemente simples, tales que permiten encontrar el factor integrante por inspección. La habilidad para hacer esto depende grandemente del reconocimiento de ciertas diferenciales exactas comunes, y de la experiencia. Hay cuatro diferenciales exactas que aparecen frecuentemente: 1) ydyxdyxyd +=)(

2) 2yxdyydx

yxd −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3) 2xydxxdy

xyd −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4) ( ) 22arctanyxydxxdy

xyd

+−

=

EJEMPLO: Resolver la ecuación: 0)( 23 =++ dyyxxydy Agrupando los términos del mismo grado, y escribiendo la ecuación en la forma 0)( 23 =++ dyyxxdyydx ahora la combinación )( xdyydx + atrae nuestra atención, así reescribimos la ecuación obteniendo:

0)( 23 =+ dyyxxyd ya que la diferencial de xy está presente en la ecuación anterior, cualquier factor que sea una función del producto xy no perturbará la integrabilidad de ese término. Sin embargo, el otro termino contiene la

diferencial dy , de aquí, deberá contener una función de y solamente. Por tanto, dividimos entre 3)(xy y escribimos

0)(

)(3 =+

ydy

xyxyd

Por lo que ya es una ecuación integrable, y su solución es:

cyyx

lnln2

122 −=+

− 0)ln(2 22 =cyyx

EJEMPLOS PROPUESTOS:

Ejercicio Solución P130. 2 1 0 1 P131. 1 1 0 1 P132. 1 2 0 P133. 0 2ln

P134. 2 3 1 P135. 2 0


29

10. DETERMINACION DE FACTORES INTEGRANTES A continuación determinaremos un factor integrante para la ecuación: (1) 0=+ NdyMdx Supóngase que u sea, posiblemente una función tanto de x como de y , y que sea un factor integrante de (1). Entonces la ecuación: (2) 0=+ uNdyuMdx deberá ser exacta. Por lo tanto, tenemos

)()( uNx

uMy ∂

∂=

∂∂

Aquí, u debe satisfacer la ecuación diferencial parcial

xuN

xNu

yuM

yMu

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

,

o

(3) yuM

xuN

xN

yMu

∂∂

−∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

,

Además, tomando el argumento anterior a la inversa, puede verse que si u satisface la ecuación (3), entonces u es un factor integrante de la ecuación (1). Hemos “reducido” el problema de resolver la ecuación diferencial ordinaria (1) al problema de obtener una solución particular de la ecuación diferencial parcial (3). No se ha ganado mucho ya que aún no hemos desarrollado métodos para atacar una ecuación como la (3). Por tanto, volveremos al problema de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y restringimos a u a que sea función de una sola variable.

Primero, sea u una función de x solamente. Entonces 0=∂∂

xu

y yu∂∂

se transforma en xu∂∂

. De

aquí (3) se reduce a

dxduN

xN

yMu =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

,

o

(4) ududx

xN

yM

N=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂1

Si el miembro izquierdo de la ecuación anterior es una función de x solamente, entonces podemos determinar u de inmediato. En efecto, si

(5) )(1 xfxN

yM

N=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

entonces el factor integrante deseado es ( )∫= dxxfu )(exp .


30

Por un argumento similar, suponiendo que u es una función de y , solo llegamos a la conclusión de que si

(6) )(1 ygxN

yM

M=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

,

entonces un factor integrante para la ecuación (1) es ( )∫−= dyygu )(exp .

Nuestros resultados están expresados en las siguientes reglas:

Si )(1 xfxN

yM

N=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

,

es una función de x solamente, entonces ( )∫ dxxf )(exp es un factor integrante para la ecuación

(1) 0=+ NdyMdx

Si )(1 ygxN

yM

M=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

,

Es una función de y solamente, entonces ( )∫− dyyg )(exp , es un factor integrante para la ecuación

(1). R16. EJEMPLO: resolver la ecuación 0)2()34( 2 =++−+ dyyxxdxxyxy Tenemos que xyxyM −+= 234 y que )2( yxxN += , así que

yxyxyxxN

yM 42)22(64 +=+−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

en consecuencia

xyxx

yxxN

yM

N2

)2(421

=++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

con lo que el factor integrante obtenido para la ecuación anterior es:

2)ln2exp(2exp xxx

dx==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∫

y aplicando el factor integrante a la ecuación original tenemos: 0)2()34( 243223 =++−+ dyyxxdxxyxyx ahora sabemos que es una ecuación exacta, y la expresamos como: 0)23()4( 332243 =−+++ dxxydyxdyyxdyxydxx


31

de la cual la solución

cxyxyx

cxyxyx=−+

=−+

)44( 23

414

41234

se obtiene de inmediato. Ejemplos propuestos:

Ejercicio Solución P136. P137. 2 1 3 4 3 0 1 P138. 4 2 0 2 2 P139. 3 1 0 4 2 P140. 3 3 6 0 3 P141. 8 9 2 3 0 2 3 P142. 2 1 0 2 P143. 2 0

P144. 2 1 0

P145. 2 0 El programa en Mathematica para resolver las ecuaciones diferenciales mediante el factor integrante requiere que se introduzcan, primeramente, las funciones , y , , de las cuales se presentan dos posibles factores integrantes, uno dependiendo de sólo una variable para que se introduzca el factor integrante correcto el cual conduce a la solución de la ecuación diferencial.

Clear@M, T, f, g, u, v, F, K, DifD;M@x_, y_D = Input@"Introduzca funcion M"D;T@x_, y_D = Input@"Introduzca funcion N"D;Print@"Funciones originales M y N:"DM@x, yDT@x, yDPrint@"Derivadas parciales My y Nx:"D∂y M@x, yD∂x T@x, yDDif = ∂y M@x, yD − ∂x T@x, yD;

f =1

T@x, yD Dif;

g =1

M@x, yD Dif;

Print@"Factores integrantes a seleccionar:"Du = Ÿ f x

v = Ÿ −g y

uov = Input@"Introduzca la funcion u o v"D;

F = ‡ uov M@x, yD x + K@yD;

P = Solve@∂y F − uov T@x, yD 0, K '@yDD;expresion = P@@1, 1, 2DD;Print@"La solución es:"DSolucion = ‡ expresion y + F − K@yD C;

Simplify@SolucionD


32

Por ejemplo, la ecuación diferencial siguiente: 2 0 al correrse en el programa anterior presenta la siguiente salida:

Ejemplos propuestos: Usando Mathematica, resolver las siguientes ecuaciones diferenciales mediante el uso de factores integrantes:

Ecuación diferencial M32. M33. 3 3 5 0 M34. 2 1 0

M35 3 3 0

M36.0


33

11. ECUACION DE BERNOULLI A continuación trabajaremos con la ecuación de Bernoulli: (1) nyxQyxPy )()(` =+ Si n=1 en (1), las variables son separables, así que nos concentramos en el caso n≠1. la ecuación puede ponerse en la forma: QdxdxPydyy nn =+ +−− 1 pero la diferencial de y-n+1 es (1 – n) y –n dy, de tal manera que la ecuación (2) se puede simplificar haciendo zy n =+− 1 de la cual dzdyyn n =− −)1( De este modo la ecuación en x y z es: QdxnPzdxndz )1()1( −=−+ Una ecuación lineal en la forma estándar. De aquí que cualquier ecuación de Bernoulli puede resolverse con la ayuda del cambio anterior de la variable dependiente (a menos que n =1, en la que la sustitución no es necesaria). R17. EJEMPLO: Resolver la ecuación 02)16( 2 =+−− xdydxxyy Primero agrupamos términos de acuerdo a las potencias de y, escribiendo: 06)1(2 3 =++− dxydxxyxdy Ahora puede verse que la ecuación es una ecuación de Bernoulli, ya que involucra solo términos que contienen, respectivamente a dy, y, y yn ( aquí n = 3). Por tanto, dividimos la ecuación entre y3 , obteniendo dxdxxydyxy 6)1(2 23 −=+− −− Esta ecuación es lineal en y-2, así que hacemos y-2 = v, obteniendo dv = -2y-3 dy, y necesitamos ahora resolver la ecuación xdxxvxdv 6)1( −=++ o (4) .6)1( 11 dxxdxxvdv −− =++

Como xxexx =+ )lnexp( es un factor integrante para (4), la ecuación

dxedxxvedvxe xxx 6)1( =++ es exacta. Su solución cexve xx += 6 , junto con 2−= yv nos lleva al resultado final xcey x =+ − )6(2


34

El programa en Mathematica para resolver las ecuaciones de Bernoulli es el siguiente:

Ejercicios propuestos: Resolver las siguientes ecuaciones analíticamente y mediante Mathematica; verificar sus soluciones:

Ejercicio Solución P146. P147. 2 3 P148. 3 5 2 0 P149. 1 6 exp 3 P150. , donde 1 1 1 1 P151. 2 3 1; 0, 0 4 arctan 3 8 P152. 2 2 . Encuéntrese la solución que pasa por el punto 1,2

5

Print@"Forma General de la Ecuación de Bernoulli:"DPrint@"dy + P@xD y dx == Q@xD yn dx"DP@x_D = Input@"Introduzca P@xD:"D;Q@x_D = Input@"Introduzca Q@xD:"D;n = Input@"Introduzca n:"D;Print@"Ecuación de Bernoulli a resolver:"Ddy + P@xD y dx Q@xD yn dxPrint@"Cambio de variable:"Dz y ^H1 − nLPrint@"Ecuación modificada"Ddz + H1 − nL P@xD z dx H1 − nL Q@xD dxPrint@"Factor integrante:"Du@x_D = ExpAH1 − nL ‡ P@xD xE

Print@"Solución de la ecuación de Bernoulli:"DSimplifyAy ^H1 − nL u@xD H1 − nL ‡ u@xD Q@xD x + CE


35

12. TRAYECTORIAS ORTOGONALES Supongamos que tenemos una familia de curvas , , donde cada corresponde a una curva dentro de algún rango de valores del parámetro . Hay veces que se desea conocer cuales son las curvas que tiene la propiedad de que cualquiera de ellas al intersecar a alguna de las curvas de la familia anterior lo hace en un ángulo recto. Esto es, deseamos determinar una familia de curvas , , tal que, en cualquier intersección de ambas familias, las tangentes a las curvas sean perpendiculares, por lo que las familias son trayectorias ortogonales una con respecto a la otra. Si dos curvas son ortogonales, en cada punto de intersección las pendientes de las curvas deben ser recíprocas y de signo contrario. Este hecho nos lleva a un método para encontrar trayectorias ortogonales de una familia dada de curvas. En primer lugar encontramos la ecuación diferencial de la familia dada. Después, reemplazando

por en esa ecuación, se obtiene la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales a las curvas dadas, y sólo resta resolver la ecuación diferencial. Hasta ahora hemos resuelto ecuaciones diferenciales de una sola forma, 0, para tal ecuación, , entonces, la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es , es decir

0. R17. EJEMPLO RESUELTO: Hallar la familia de curvas ortogonal a la familia . Derivando implícitamente, obtenemos 2 3 ; despejando de la ecuación de la familia, sustituyendo en la ecuación diferencial encontrada y simplificando, obtenemos la ecuación diferencial de dicha familia sin la constante arbitraria , 2 3 ; despejando , obtenemos: , por lo tanto, la

ecuación diferencial de la familia ortogonal es: ; resolviendo esta ecuación diferencial por el método de separación de variables obtenemos la familia de curvas ortogonal: 3 2


36

Ejercicios propuestos: En cada ejercicio, encuéntrense las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dada. Dibujar unas cuantas curvas representativas de cada familia usando Graphmatica.

Ejercicio Solución P153. 4x y c− = 4x y k+ =

P154. 2 2 2x y c+ = y kx=

P155. 2 3y cx= 2 2 22 3x y k+ =

P156. x ye e c−+ = y xe e k−− =

P157. 3 3( )x y c= − ( ) 1x y k− =

P158. 2exp( )x c y= 2exp( )y k x= −

P159. Elipses con centro en (0,0) y dos vértices en (1,0) y ( 1,0)−

2 2 2 ln( )x y kx+ =

P160. 2 2x y cx− = 2 2( 3 )y y x k+ =

P161. Las cisoides 3

2 xya x

=−

2 2 2 2 2( ) (2 )x y b x y+ = +

P162. mxy ce−= con m fijo 2 2( )my x k= −

P163. Circunferencias que pasan por el origen con centro sobre el eje X

Circunferencias que pasan por el origen con centro sobre el eje Y

P164. Rectas con la pendiente y la intercepción con el eje Y iguales.

2 2 2( 1)x y k+ + =

P165. Las trisectrices de Maclaurin, 2 2( ) (3 )a x y x a x+ = −

2 2 5 3 2 2( ) (5 )x y ky x y+ = +

El programa en Mathematica que grafica las dos familias introduciendo cada una de ellas desde el teclado, es el siguiente:

<< Graphics`ImplicitPlot`<< Graphics`Graphics`familia =

Input@"Introduce la ecuacion de la familia decurvas con la constante arbitraria c"D

Tablafamilia := Table@familia ê. c → a, 8a, 0, 5<Dortogonal =

Input@"Introduce la ecuacion de la familiaortogonal con la constante arbitraria k"D

Tablaortogonal := Table @ortogonal ê. k → b, 8b, 0, 5<DDisplayTogether@ImplicitPlot@Tablafamilia, 8x, −5, 5<D,

ImplicitPlot@Tablaortogonal, 8x, −5, 5<DD


37

Por ejemplo, para el problema no. 6, la salida del programa sería lo siguiente:

La salida del problema no. 13 sería lo siguiente:

x c y2

y −x2k

-4 -2 2 4

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Out[3]= Hc + xL y2 H3 c − xL x2

Out[5]= Hx2 + y2L5 k y3 H5 x2 + y2L

-4 -2 2 4

-3

-2

-1

1

2

3

4


38

13. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR La forma general de la ecuación diferencial lineal de orden n es:

( )( , , ', ",..., ) ( )nf x y y y y Q x= )()()(...)()( 1

)1(10 xQyxayxayxayxa nn

nn =+′+++ −−

ó

∑=

− =n

k

knk xQyxa

0

)( )()(

Si D representa un operador diferencial, es decir:

dxdD = )()( xQyDf =

Si )(xax contiene solo constantes, es decir, kx axa =)( se dice que la ecuación diferencial es de “coeficientes constantes”, de lo contrario se dice que es de “coeficientes variables”. Si )(xQ existe y es 0≠ , se dice que la ecuación diferencial es no homogénea y si 0)( =xQ entonces es homogénea. La forma de la solución general de la ecuación diferencial de orden n es:

pc yyy += donde cy es la solución complementaria de la ecuación diferencial homogénea de la forma:

nnc ycycycy +++= ...2211

donde ic son las constantes arbitrarias y iy son funciones de x.

La solución particular py solo existe para la ecuación diferencial no homogénea. Si )()...(),( 21 xfxfxf n son diferentes entre sí, y si 0)(...)()( 2211 =+++ xfcxfcxfc nn

Entonces nfff ..., 21 son linealmente dependientes. Como la solución de una ecuación diferencial lineal de orden n es:

nn ycycycy +++= ...2211 Entonces, para aceptarla como una solución de la ecuación diferencial, nyyy ,...,, 21 deben ser linealmente independientes. El Wronskyano de nyyy ,...,, 21 se define como el determinante de iy con ni ,...,2,1= y sus

derivadas hasta (n-1) orden, es decir, el Wronskyano, 1 2( , ,..., )nW y y y , es:


39

1 2

1 21 2

( 1) ( 1) ( 1)1 2

...' ' ... '

( , ,..., )

...

n

nn

n n nn

y y yy y y

W y y y

y y y− − −

=

Si 0=W , entonces iy son linealmente dependientes.

Si 0≠W entonces iy son linealmente independientes. R18. EJEMPLO: demuestre si las siguientes funciones son L.I.

entonces:

==xxx

xxx

xxx

xxx

eeeeeeeee

eeeW32

32

32

32

9432),,(

xxxx

xxxxxxxxx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xxx

eeeeeeeeeeeee

eeee

eeeee

eeeee

e

6666

3334425

2

23

3

32

32

32

2266)24()39()12518(

42

93

9432

=+−

=−+−−−

=+−=

y como 02 6 ≠= xeW , se concluye que las ecuaciones anteriores son linealmente independientes.

Ejercicio Solución P166. Obténgase el wronskiano de las funciones

2 11, , ,..., nx x x − para 1n > W = 0!1!2!… n@ 1

` a

!

P167. Demuéstrese que las funciones ex , e2x , e3x , son linealmente independientes.

W = 2e6x ≠ 0

P168. Demuéstrese que las funciones ex , cos x` a

, sin x` a

son linealmente independientes.

W = 2ex ≠ 0

P169. Demuéstrese que cos ωt@βb c

, cos ϖt` a

, sin ϖt` a

son funciones de t linealmente dependientes.

W = 0

P170. Demuéstrese que 1, sin x` a

, cos x` a

son linealmente independientes.

Verifíquese con el programa de Mathematica.

P171. Demuéstrese que 1, sin2 x` a

,cos2 x` a

son linealmente dependientes.

Verifíquese con el programa de Mathematica.

El programa en Mathematica para hallar el Wronskiano de n funciones es el siguiente:

x

x

eyeyexy

33

22

1

=

=

=


40

Un ejemplo de la corrida del programa anterior para hallar W x, sin x

` a

,cos2 x` a

B C

es:

14. ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES Se puede representar de diferentes formas, como:

∑=

=n

k

kk ya

0

0

0)()2(

2)1(

10

0 =++++ nn yayayaya

0)(

210 =++′′+′+ nn yayayaya

02

2

210 =++++ n

n

n dxyda

dxyda

dxdyaya

f D` a

y = 0 , con f D` a

=Xi = 0

n

ai Dn@ i

Donde naaaa ,,, 210 son constantes arbitrarias.

Print@"Cálculo del Wronskyano"Dn = Input@"Introduzca el número de funciones"D;funciones = 8<;For@i = 0, i < n, i ++,8f = Input@"Introduzca funciones"D,

AppendTo@funciones, fD<Dtabladefunciones =

Table@D@funciones@@jDD, 8x, i − 1<D, 8i, 1, n<,8j, 1, n<D;

Print@"Matriz de funciones y sus derivadas"DPrint@TableForm@tabladefuncionesDDwronskyano = Det@tabladefuncionesD;Print@"El Wronskyano es: ", wronskyanoD

Cálculo del Wronskyano

Matriz de funciones y sus derivadas

x Sin@xD Cos@xD2

1 Cos@xD −2 Cos@xD Sin@xD0 −Sin@xD −2 Cos@xD2 + 2 Sin@xD2

El Wronskyano es: −2 x Cos@xD3 + Cos@xD2 Sin@xD − 2 Sin@xD3


41

Si ∑=

=n

k

kk ya

00 se representa por 0)( =yDf donde )(Df es un polinomio de operadores

diferenciales tal que n

nn

dxdD

dxdD

dxdD === ,,, 2

22 , entonces 0)( =yDf se puede resolver

mediante un polinomio algebraico auxiliar o característico de la forma 0)( =mf , del cual tenemos que encontrar sus raíces. R19. Por ejemplo, la EDO y. + 2y. @15y = 0 se transforma en la siguiente ecuación diferencial con

operadores diferenciales: D2 + 2D@ 15b c

y = 0 ; la ecuación característica f m` a

= 0, cuya

solución algebraica determinará las raíces m las hallaremos si hacemos y = emx y aplicamos la

propiedad número 7 de los operadores diferenciales, es decir, Dk emx` a

=mk emx , esto es,

D2 + 2D@ 15b c

emx = 0 , o bien, D2 emx` a

+ 2D emx` a

@15emx = 0 aplicando el operador,

entonces m 2 emx + 2 m emx@ 15 emx = 0 ; factorizando emx llegamos a la ecuación característica, es decir, m2 + 2m@ 15

b c

emx = 0 , o bien f m` a

= m 2 + 2m@ 15 = 0 , cuyas raíces son m1 = 3 y

m2 =@ 5 . Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial ordinaria lineal es y = c1 e3x + c2 e@ 5x . Obsérvese que el Wronskiano de la funciones e3x y e@ 5x es @ 8 e@ 2x ≠ 0 , por lo que las funciones son linealmente independientes y son válidas como solución de la ecuación diferencial. Si las raíces de la ecuación característica son iguales, aplicamos la propiedad de los operadores diferenciales número 8 de la tabla No. 2. Por ejemplo:

Tabla 2. Propiedades de los operadores diferenciales.

Si A, B y C son operadores diferenciales:

1.- Ley conmutativa de la adición: A BBA +=+

2.- Ley asociativa de la adición: C) B ( A C ) B (A ++=++

3.- Ley asociativa de la multiplicación: ) BC A( )C AB ( = ;

4.- Ley distributiva de la multiplicación con respecto a la adición: AC AB C) (BA +=+ ;

Si A, B y C son operadores diferenciales con coeficientes constantes:

5.- Ley conmutativa de la multiplicación: BAAB =

6.- Si m y n son enteros positivos (m y n indican el orden de las derivadas):

nmnm DDD +=

Para la constante y el entero positivo k

7.- mxkmxk emeD =

8.- mxmxkk ekexmD !)()( =−


42

15. SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES Entonces, si m es una raíz de 0)( =mf , significa que m también es raíz de 0)( =mxeDf , por lo

que 0)( =mxeDf es una solución de la ecuación diferencial 0)( =yDf . En el ejercicio anterior, las raíces de la ecuación característica eran: Caso 1: raices diferentes si nmmmm ≠≠≠≠ 321 son raíces de 0)( =mf y )(mf se obtiene a partir de )(Df ,

entonces la solución de la ecuación diferencial con coeficientes constantes 0)( =yDf es :

xmn

xmxm necececy +++= 2121

Caso 2: raices iguales Si nmmmm ==== 321 son soluciones de 0)( =mf y )(mf proviene de 0)( =yDf , entonces la solución de la ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes es: mxn

nmxmx excexcexcy )1(1

20

1−+++=

Caso 3: raices complejas: Si la ecuación auxiliar tiene raíces imaginarias cualesquiera, esas raíces deberán encontrarse en pares conjugados: ibam ±=2,1 , con a y b reales , 0≠b . Construyendo la solución de 0)( =yDf , correspondiendo a raíces imaginarias de 0)( =mf . Como suponemos que )(mf tiene coeficientes reales, cualesquiera raíces imaginarias aparecen en pares

conjugados ibam ±=2,1 , entonces tenemos:

)cos( 21 senbxcbxcey ax += EJEMPLO: resolver la siguiente ecuación 0)1393( 23 =++− yDDD

Cuyas raíces del polinomio auxiliar son: 0)1393( 23 =++− mmm

im

m32

1

3,2

1

±=−=

para lo cual tenemos la solución general: )33cos( 32

21 xsencxceecy xx ++= −

16. ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Tienen la siguiente forma: )()( xRyDf = La solución general de la ecuación anterior esta formada por dos soluciones, la solución complementaria cy y la solución particular py :


43

pcg yyy += La solución complementaria cy se encuentra haciendo 0)( =xR y resolviendo 0)( =yDf . La solución particular se puede encontrar mediante los siguientes métodos:

a) coeficientes indeterminados b) variación de parámetros c) cambio de la función exponencial.

17. COEFICIENTES INDETERMINADOS 21223 xyyy =+′+′′

22 12)23( xyDD =++

i) Solución complementaria haciendo 0)( =xR

Resolver: 0)23( 2 =++ yDD

12

0)1)(2(0)23(

2

1

2

−=−=

=++=++

mm

mmmm

entonces la solución complementaria es: xxc ececy −− += 2

21

ii) Solución particular analizando 212)( xxR =

Se propone la siguiente solución particular 2CxBxAy p ++=

CxBy p 2' += y Cy p 2'' = Formando la identidad; 22 12)23( xyDD p =++ , es decir:

22

22

122)26()232(12)(2)2(32

xCxxBCABCxCxBxACxBC

=+++++

≡+++++

Formando el sistema de ecuaciones lineales, tenemos que:

122026

0232

==+

=++

CBC

ABC por lo que

618

21

=−=

=

CBA

por lo tanto la solución particular es: 261821 xxy p +−= Ahora tenemos la solución general: 2

22

1 61821 xxececy xxg +−++= −−

Formas propuestas de )(xR para la solución particular.


44

FUNCION FORMA DE )(xR SOL. PARTICULAR

Polinomial nn xaxaxaa ++++ 2

210n

p ZxCxBxAy ++++= 2

Exponencial mxke mx

pmx

pmx

p eAxyAxeyAey 2,, ===

Trigonometrica senmxkmxk 21 ,cos )cos( BsenmxmxAy p +=

Combinadas )cos(

310

nxke

kexaamx

mx++

))()cos((

32

nxCsennxBAey

FeExCxBxAymx

p

mxp

+=

++++=

Soluciones particulares tentativas

)(xg Forma de py

1(una constante) A75 +x BAx +

23 2 −x CBxAx ++2

13 +− xx ECxBxAx +++ 23 xsen4 xBsenxA 44cos +

x4cos xBsenxA 44cos + xe5 xAe5

xex 5)29( − xeBAx 5)( + xex 52 xeCBxAx 52 )( ++

xsene x 43 xsenBexAe xx 44cos 33 +

xsenx 45 2 xsenGFxExxCBxAx 4)(4cos)( 22 +++++

xxe x 4cos3 xsenxeECxxxeBAx xx 4)(4cos)( 33 +++ 18. VARIACION DE PARAMETROS

Como el método de coeficientes indeterminados solo se aplica para cierto tipo de funciones R(x) , es

necesario otro método que permita encontrar py para cualquier forma de R(x) .

El método de variación de parámetros consiste en determinar las funciones que se proponen a partir de

la forma de pycambiando las constantes arbitrarias Ci por funciones. Ui(x), para i = 1.2....n donde

(x)Ui serán obtenidas resolviendo un sistema de ecuaciones de las derivadas de (x)Ui .

Sea )()( xRyDf = ; primero encontraremos nyyy n2211c ccc y +++= entonces

nyxyxyx )(U)(U)( U y n2211P +++= lo obtendremos de:


45

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−− )1()1(2

)1(1

21

21

´´´

nn

nn

n

n

yyy

yyyyyy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)(´

)(´)(´

2

1

xU

xUxU

n = ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)(

00

xR De Donde:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= −

)(

00

)´( 1

xR

WxU i

ó

[ ] dx

xR

WxU i

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= ∫ −

)(

00

)( 1

EJEMPLO:

Hallar la solución general de la siguiente ecuación: xyy 2sec=+′′

Para la que tenemos la siguiente solución complementaria: senxcxcyc 21 cos +=

La solución particular está dada por: senxxUxxUy p )(cos)( 21 +=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− xxU

xUxsenx

senxx2

2

1

sec0

)´()´(

coscos

1cos

coscos

22 =+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

= xsenxxsenx

senxxW

xxxxsen

xxsenx

xU sectanseccossec

0)´( 2

21 −==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

xxx

xsenxx

xU secseccossec

0cos)´( 2

22 ==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

xxU

xxxU

xxxU

sec)(

sectan)(

sectan)´(

1

1

1

−=

−=

−=

∫ )tanln(sec)(

sec)(

sec)´(

2

2

2

xxxU

xxU

xxU

+=

=

=

∫

Por lo que llegamos a: senxxxy

senxxxxxy

p

p

)tanln(sec1)tanln(seccossec

++−=

++−=

Y concluimos que 1))tanln(sec(cos 21 −+++= xxcxsenxcy g


46

19. ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER Es una ecuación diferencial lineal de orden “n” con coeficientes no constantes que siempre cumple con la siguiente forma:

)(01)1(1

1 xRyayxayxayxa nnn

nnn =+′+++ −−

− En donde se observa que la principal característica es que el grado de x coincide con el orden y.

)1()(

0xRyxa

n

i

iii =∑

=

Donde ia son los coeficientes También es llamada ecuación equidimensional

Si 0)( =xR en la ecuación (1), entonces la ecuación es homogénea, si no, es no homogénea. La

solución d (1) se encuentra hallando las raíces de la ecuación auxiliar o característica 0)( =mf

haciendo la sustitución mxy = .

EJEMPLO: resolver )(012

2 xRyayxayxa =+′+′′

Haciendo 21 )1(, −− −=′′=′= mmm xmmyymxyentocesxy

Entonces, sustituyendo, tenemos:

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] )()(

)()(

)()1(

012

2

01

1222

2

01

122

2

xRamammax

xRxamxxaxmmxa

xRxamxxaxmmxa

m

mmm

mmm

=++−

=++−

=++−−−

−−

La ecuación auxiliar de 0)( =mf es 0)( 012

2 =++− amamma

Dependiendo de las raíces )( im se obtiene la solución de (1) considerando que pcg yyy += en el

caso de que )(xR exista, y cg yy = si 0)( =xR

También aquí se presentan diferentes soluciones:

Caso 1: si son raíces iguales; nmmm ≠≠≠ 21

La solución se expresa como: nm

nmm xcxcxcy +++= 21

21

Caso 2: si son raíces diferentes; nmmm === 21

La solución se expresa como: 12

321 )(ln)(lnln −++++= nmn

mmm xxcxxcxxcxcy n


47

Caso 3: si l son raíces complejas; im βα ±=

La solución se expresa como: [ ])ln()ln(cos 21 xsencxcxy ββα +=

EJEMPLO: hallar la solución general de la siguiente ecuación: 063 =−′′′ yyx

Proponiendo 3

2

1

)2)(1()1(

−

−

−

−−=′′

−=′′

=′

=

m

m

m

m

xmmmyxmmy

mxyxy

Y haciendo la sustitución correspondiente, tenemos:

[ ][ ] 06)2)(1(

06)2)(1( 33

=−−−

=−−− −

mm

mm

xmmmxxxmmmx

Por lo que tenemos la siguiente ecuación auxiliar: 623 23 −+− mmm y factorizando el polinomio tenemos las siguientes raíces:

im

m

2

3

3,2

1

±=

=

Con lo que llegamos a la solución general:

23

22

31

323

1

lnlncos

ln2ln2cos

xsencxcxcy

xsencxcxcy

++=

++=

20. ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER NO HOMOGÉNEA. VARIACIÓN DE PARÁMETROS

)(01)1(1

1 xRyayxayxayxa nnn

nnn =+′+++ −−

−

1.- Hallar la solución complementaria haciendo 0)( =xR con 0

0

)( =∑=

n

i

iii yxa

y resolvemos

haciendo …,)1(,, 21 −− −=′′=′= mmm xmmymxyxy por lo que

nycyy n2211c cc y +++=

2.- Hallar la solución particular, dividiendo entre n

n xa

nn

nn

nn

nn

n

nnn

xaxR

yxa

ay

xaxa

yxaxa

y)(01)1(

11)( =+′+++ −

−−

De la solución complementaria proponemos la solución particular


48

nnp

nnp

yUyUyUyóxyxUxyxUxyxUy

+++=

+++=

2211

2211 )()()()()()(

Y hallamos iU mediante el sistema:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−− )1()1(2

)1(1

21

21

´´´

nn

nn

n

n

yyy

yyyyyy

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

´

´´

2

1

nU

UU

= ⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn xa

xR )(

00

Por lo que

dx

xaxR

yyy

yyyyyy

U

nn

nn

nn

n

n

i

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−−−

∫)(

00

´´´

1

)1()1(2

)1(1

21

21

EJEMPLO: resolver la siguiente ecuación: 22 810 xyxyyx =++′′

Proponiendo

2

1

)1( −

−

−=′′

=′

=

m

m

m

xmmymxyxy

tenemos:

[ ]0)89(

0810)1(2

122

=++

=++− −−

mmxxxmxxmmx

m

mmm

Y las raíces del polinomio auxiliar son: 18 21 −=−= mym , por lo que la solución complementaria queda como:

12

81

−− += xcxcyc

Ahora dividimos a 22 810 xyxyyx =++′′ entre

2x para hallar el valor de )(xR .

A continuación proponemos la solución particular: 1

28

1−− += xUxUy p de donde

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−− −−

−−

10

´´

8 2

129

18

UU

xxxx

Y tenemos que 107 −= xW

7010

102

1

1

xdx

Wx

x

U−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−= ∫

−

−

21180

38

8

2

xdx

Wx

x

U =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−= ∫

−

−

Por lo que la solución particular 1

28

1−− += xUxUy p queda como:


49

302170

21

38

10 xx

xx

xy p =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−= −−

Y adicionándola a la solución complementaria, la solución general queda de la siguiente forma:

30

21

28

1

xxcxcyg ++= −−

21. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES MEDIANTE CAMBIO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Supóngase que necesitamos derivar varias veces la siguiente expresión:

[ ])(xVeD ax−

Donde V(x) es una función derivable

[ ][ ][ ]

[ ])()()()(

)()()(

xVaDexaVxVDe

eDxVxVDe

ax

ax

axax

−=

−=

+=

−

−

−−

por lo que

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ])()()(

)()()()()()(

22

xVaDexVeD

xVaDexVeDxVaDexVeD

naxaxn

axax

axax

−=

−=

−=

−−

−−

−−

Si )(Df es un polinomio en D con coeficientes constantes, entonces;

[ ] [ ])()()()( xVaDfexVeDf axax −= −−

Si hacemos [ ])(xVey ax−= , entonces

[ ]yeaDfeyDf axax −− −= )()(

[ ]yeaDfyDfe axax −−= )()(

EJEMPLO: resolver la siguiente ecuación xeyyy x 4cos482 −=+′+′′

Teniendo como solución complementaria a xx

c xececy −− += 21 Para la solución particular tenemos

xyeDxyeDxyeDxyeDDxeyDD

xxx

xx

4cos484cos48)11(4cos48)1(4cos48)12(4cos48)12(

222

22

=⇒=+−⇒=+

=++⇒=++ −

Ahora aplicamos una integral doble para anular a la segunda derivada, en este caso en particular;

∫∫∫∫ ∫∫

=

=

xseneyD

xeyDx

p

xp

412

4cos482

2

xeyxey x

px

p 4cos34cos3 −−=⇒−=


50

Con lo que llegamos a la solución general:

)4cos3(

4cos3

21

21

xxccey

xexececy

xg

xxxg

−+=

−+=

−

−−−

A continuación tenemos uno de los muchos casos donde los operadores de derivadas no de anulan directamente con las integrales:

222 8)4(84 xeyDxeyy =−⇒=−′′

Cuya solución complementaria, dadas las raíces 22,1 ±=m

es: xx

c ececy 22

21

−+=

Proponemos una solución particular como sigue: 22 8)4( xeyD =−

[ ]

xyeDDxyDDexyDDe

xyDexyDe

x

xx

xx

8)4(8)4(8)444(

84)2(8)4(

2

2222

2222

=+

=+⇒=−++

=−+⇒=−

−

−−

−−

Hallando las derivadas necesarias

0)(

)(22

2

2

=

=

+=

−

−

−

xp

xp

xp

eyD

AeyD

BAxey

Con lo que tenemos que: xAeyDD x

p 8)(40)4( 22 =+=+ −

Si 4A=8, A=2 y B=0, hallamos el valor de la solución particular: x

p xey 22= y formando la solución general tenemos:

xxxg xeececy 22

22

1 2++= −

22. DEFINICION DE TRANSFORMADA DE LAPLACE Sea )(tF una función cualquiera tal que las integraciones encontradas pueden ser legítimamente

efectuadas en )(tF . La transformada de Laplace de )(tF se simboliza por { })(tFL y se define por:

{ } ∫∞ −=

0)()( dttFetFL st

En la que f es una función definida para 0≥t Transformadas de algunas funciones básicas:

(a) { }s

L 11 =


51

(b) { } ...3,2,1,!1 == + n

sntL n

n (c) { }as

eL at

−=

1

(d) { } 22 kskktsenL+

= (e) { } 22cosks

sktL+

=

(f) { } 22 kskktsenhL−

= (g) { } 22cosks

skthL−

=

23. TRANSFORMADA INVERSA Y TRANSFORMADA DE DERIVADAS Transformada inversa: supóngase que la función )(tF determina de una ecuación diferencial con condiciones en la frontera. El operador de Laplace L se emplea para transformar el problema original en un nuevo problema para el cual la transformada se encuentra.. si la transformada de Laplace es efectiva, el nuevo problema deberá ser mas simple que el problema original. Primero encontramos )(sf , luego debemos obtener )(tF de )(sf . Por tanto, es deseable desarrollar métodos para encontrar la función objeto )(tF cuando la transformada se conoce. Si

(1) { } )()( sftFL = , decimos que )(tF es una transformada inversa le Laplace , o una transformada inversa de )(sf y escribimos (2) { })()( 1 sfLtF −= . Ya que (1) significa que

(3) )()(0

sfdttFe st =∫∞ −

Algunas transformadas inversas:

(a) { }s

L 11 1−=

(b) ...3,2,1,!1

1 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= +

− nsnLt n

n (c) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= −

asLeat 11

(d) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= −

221

kskLktsen (e)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= −

221cos

kssLkt

(f) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= −

221

kskLktsenh (g)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= −

221cos

kssLkth


52

24. LA TRANSFORMADA DE FUNCIONES ELEMENTALES Se obtendrá la transformada de ciertas funciones exponenciales, trigonometricas y de polinomios, ya que aparecerán frecuentemente en este tema. EJEMPLO: encontrar la transformada de Laplace de )(tH donde:

4,5)(,40,)(

>=<<=

ttHtttH

nótese que el hecho de que )(tH no esté definida en 40 == tyt no tiene conexión, ya sea con la

existencia, o con el valor de { })(tHL , así, tenemos:

{ }

∫∫∫

∞ −−

∞ −

+=

=

4

4

0

0

5

)()(

dtedtte

dttHetHL

stst

st

Empleando la integración por partes en la integral anterior, llegamos al resultado para 0>s en:

{ }∞

−−−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−=

4

4

02

5)( ststst es

este

sttHL

De este modo

{ }

2

4848

2

4822

4848

1

50104)(

se

se

s

esss

es

etHL

−−

−−−

−+=

+−++−−=

25. TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA Si )1(,,, −′ nfff … son continuas en [ )∞,0 , son de orden exponencial y si )()( tf n es continua por

tramos en [ )∞,0 , entonces { } )0()0()0()()( )1()2()1()( −−− −−′−−= nnnnn ffsfssFstfL

donde { })()( tfLsF = Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales en el resultado general del teorema anterior se ve que { }nn dtydL / solo depende de { })()( tyLsY = y de las n-1 derivadas de )(ty evaluadas en

0=t . Esta propiedad hace que la transformada de Laplace sea ideal para resolver problemas de valor inicial en los que la ecuación diferencial tenga coeficientes constantes. Tal ecuación diferencial no es mas que una combinación de términos )(,,,, nyyyy …′′′ :

1)1(

10

01

1

1

)0(,,)0(,)0(

),(

−−

−

−

−

==′=

=+++

nn

n

n

nn

n

n

yyyyyy

tgyadt

ydadt

yda

…


53

donde las niai ,,1,0, …= y 110 ,,, −nyyy … son constantes. Según la propiedad de la linealidad, la transformada de Laplace de esta combinación lineal es una combinación lineal de transformada de Laplace:

{ } { })(01

1

1 tgLyLadt

ydLadt

ydLa n

n

nn

n

n =++⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

−

−

de acuerdo al teorema anterior, la ecuación anterior se transforma en

[ ] [ ] )()()0()0()()0()0()( 0221

111 sGsYayyssYsayyssYsa nnn

nnnn

n =+−−−+−−− −−−−

−− donde { } { } )()()()( sGtgLysYtyL == En otras palabras, la transformada de Laplace de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se transforma en una ecuación algebraica en

)(sY .Si se resuelve la ecuación transformada general anterior para determinar )(sY , primero obtenemos )()()()( sGsQsYsP += y después escribiremos:

)()(

)()()(

sPsG

sPsQsY +=

donde 0

11)( asasasP n

nn

n ++= −− ,Q(s) es un polinomio en s de grado menor o igual a n-1, formado

por los diversos productos de los coeficientes niai ,,1,0, …= ; también las condiciones iniciales

preescritas 110 ,,, −nyyy … y G(s) es la transformada de Laplace de )(tg . Por ultimo, la solución

)(ty del problema original de valor inicial es { })()( 1 sYLty −= , en el que la transformación inversa se hace termino a termino. 26. DERIVADAS DE TRANSFORMADAS Por brevedad usaremos de aquí en adelante el termino “una función de clase A” para cualquier función tal que

a) sea seccionalmente continua sobre cualquier intervalo finito en el rango 0≥t , y b) sea de orden exponencial cuando ∞→t

Ahora, para funciones de clase “A”, los métodos de calculo avanzado muestran que es valido diferenciar la integral de la transformada de Laplace. Esto es, si )(tF es de clase “A”, de

(1) ∫∞ −=

0)()( dttFesf st

se sigue que

(2) ∫∞ −−=′

0)()()( dttFetsf st

La integral del miembro derecho en (2) es la transformada de la función )()( tFt− TEOREMA 1: si )(tF es una función de clase “A” se sigue de { } )()( sftFL =

que


54

(3) { })()( ttFLsf −=′ Cuando )(tF es de clase “A”, )()( tFt k− también es de clase “A” para cualquier entero positivo k. TEOREMA 2: si )(tF es de clase “A”, se sigue de { } )()( sftFL = que para cualquier entero positivo n,

(4) { })()()( tFtLsfdsd n

n

n

−=

Estos teoremas son útiles en varias situaciones. Una aplicación inmediata es la de aumentar nuestra lista de transformadas con un poco de trabajo. Por ejemplo, sabemos que

(5) { } 22 kskktsenL+

=

y por tanto, por el teorema 1

{ } 222 )(2

ksksktsentL+

=−

De este modo obtenemos:

(6) 222 )(cos

2 ksskt

ktL

+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

De la formula conocida

{ } 22cosks

sktL+

=

obtenemos diferenciando con respecto a s

(7) { } 222

22

)(cos

ksskkttL

+−

=−

Documents

Apuntes de as v 2010