APUNTES DE FÍSICA MODERNA - editorial.udistrital.edu.coeditorial.udistrital.edu.co/contenido/c-999.pdf · mejoramiento de la enseñanza-aprendizaje de la física moderna. Laenseñanzadela

A P U N T E S D E F Í S I C A M O D E R N A

A P U N T E S D E F Í S I C A M O D E R N A

Gladys Patricia Abdel Rahim Garzón

Universidad Distrital Francisco José de Caldas© Universidad Antonio Nariño© Gladys Patricia Abdel Rahim GarzónPrimera edición, abril de 2017ISBN: 978-958-5434-11-0

Dirección Sección de Publicaciones Universidad DistritalRubén Eliécer Carvajalino C.

Dirección Fondo Editorial Universidad Antonio NariñoLorena Ruiz Serna

Coordinación editorialMiguel Fernando Niño Roa

Corrección de estiloEditorial UD.

DiagramaciónGladys Patricia Abdel Rahim

Montaje de carátulaAstrid Prieto Castillo

Producción editorial

Editorial UDUniversidad Distrital Francisco José de CaldasCarrera 24 N. 34-37.Teléfono: 3239300 ext. 6202Correo electrónico: [email protected]á, Colombia

Fondo EditorialUniversidad Antonio NariñoCarrera 3 Este N. 47A–15. Bloque 4, piso 3Teléfono: 3384960 ext. 140Correo electrónico: [email protected]

Todos los derechos reservados.Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo escrito de la Sec-ción de Publicaciones de la Universidad Distrital y del Fondo Editorial de la Universidad Antonio Nariño.Hecho en Colombia.

Abdel Rahim, Gladys Patricia Apuntes de física moderna / Gladys Patricia Abdel Rahim. --Bogotá : Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Universi-dad Antonio Nariño, 2017. 268 páginas ; 24 cm. ISBN 978-958-5434-11-0

1. Física - Enseñanza 2. Laboratorios de física 3. MagnetismoI. Tít. 530 cd 21 ed.A1567780

CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango

Índice general

Introducción VII

1. Principio de la relatividad galileana 11.1. La velocidad de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. El experimento de Michelson y Morley . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. El principio de la relatividad de Einstein . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Las ecuaciones de transformación de Lorentz . . . . . . . . . . . 121.5. Dinámica Relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6. Energía Relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Interacción entre la luz y la materia 412.1. Radiación de cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2. Ley de desplazamiento de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3. Ley de Stefan-Boltzman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4. Efecto fotoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4.1. Dedución analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5. Efecto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5.1. Estudio analítico de la dispersión Compton . . . . . . . . 512.6. Ondas electromagnéticas o radiaciones no ionizantes . . . . . . . 542.7. Ley de Beer -Lamber Bouguer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.8. Espectros ópticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.8.1. Espectros discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.8.2. Espectros continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.9. Series espectrales del átomo de hirógeno . . . . . . . . . . . . . . 592.9.1. Serie de Balmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.9.2. Serie Lyman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.9.3. Serie Paschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.9.4. Serie Brackett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.9.5. Serie Pfund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.10. El precursor de la M.C Niels Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.11. Los cuatro postulados del átomo de Bohr . . . . . . . . . . . . . 66

2.11.1. Átomos de hidrogenoides (o de ión hidrogenoide) . . . . . 712.11.2. Fórmula de Balmer generalizada . . . . . . . . . . . . . . 72

��

�� ÍNDICE GENERAL

3. Onda o partícula 973.1. Hipótesis de De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.2. Experimentos que evidenciaron el comportamiento ondulatorio de

una partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.2.1. Experimento de la doble rejilla . . . . . . . . . . . . . . . 1003.2.2. El experimento de Davisson - Germer . . . . . . . . . . . 1003.2.3. Ley de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.3. La función de onda de materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.4. Principio de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.4.1. Principio de incertidumbre de la posición y del momento . 1043.4.2. Principio de incertidumbre energía - tiempo . . . . . . . . 107

4. Ecuación de Schrödinger 1294.1. La ecuación Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.1.1. Escalón Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.1.2. Barrera de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.1.3. Barrera de potencial de paredes infinitas . . . . . . . . . . 1424.1.4. Pozo de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.1.5. Pozo de potencial tridimensional de altura infinita . . . . 156

5. Los cuatro números cuánticos 1655.0.6. Los tres números cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.0.7. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.0.8. Magnitud del momento angular. . . . . . . . . . . . . . . 1705.0.9. Dirección del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.1. ¿Qué es el momento magnético? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.1.1. Número cuántico de espín . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.1.2. Principio de exclusión de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . 1765.1.3. Regla de Hund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.1.4. Configuración electrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.1.5. Ejemplos del Principio de exclusión de Pauli . . . . . . . 179

5.2. Tipos de Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.3. Tabla periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.4. Las funciones para el átomo de Hidrógeno . . . . . . . . . . . . . 1845.5. Interacción luz - materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.6. Espectros de rayos X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.7. Transiciones atómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.8. Láseres y hologramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6. Elementos de física del estado sólido 1996.0.1. Monocristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.0.2. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.0.3. Estructuras cristalinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.0.4. Redes tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.0.5. Estructura cúbica centrada en las caras (fcc) . . . . . . . 204

6.1. Dirección y planos cristalográficos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.1.1. Indices de Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

ÍNDICE GENERAL �

7. Laboratorios 2117.1. Medida de la velocidad de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.2. Experimento de Michelson y Morley . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.3. Difracción de la luz monocromática . . . . . . . . . . . . . . . . . 2147.4. Efecto fotoeléctrico con el electrocopio . . . . . . . . . . . . . . . 2197.5. Laboratorio: Efecto fotoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2217.6. Espectrometro de difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2257.7. Espectros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.8. Aplicación del efecto fotoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 2327.9. Laboratorio: Contador Geiger-Müller . . . . . . . . . . . . . . . . 2367.10. Laboratorio: Formación de cristales de sal . . . . . . . . . . . . . 2387.11. Laboratorio: Interacción luz materia . . . . . . . . . . . . . . . . 2407.12. Difracción con rayos mircro-ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2447.13. Espectrocopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2507.14. Espectrómetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2507.15. Ley de Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Introducción

Estas notas han sido elaboradas con el fin de que los estudiantes puedan acceder y contar con una herramienta pedagógica que contribuya al mejoramiento de la enseñanza-aprendizaje de la física moderna.

Laenseñanzadela física moderna hace evidente que en muchos casos a los estudiantes se les dificulta la comprensión de los conceptos básicos. De ahí que se haga necesaria la utilización de varias herramientas pedagógicas que contribuyan y faciliten el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Entre algunas de las diversas herramientas que debe poseer toda universidad que imparte esta área del conocimiento están los laboratorios de física, que son los espacios donde el estudiante observa, manipula objetos, mide, elabora tablas y g ráficas, analiza comparando variables sirviéndose del cálculo y de la física teórica obteniendo sus propias conclusiones y permitiendo la comprensión de los conceptos físicos a través de la práctica.

En este texto se plantean los conceptos de física moderna que se enseña en el sílabo, donde también se muestran ejercicios resueltos y propuestos y varios laboratorios virtuales y presenciales. Además de este texto se diseñó una pág ina web o Blogger (http://pabdelrahim.blog spot.com.co/), donde se suben los vídeos, talleres o ensayos que se g eneran durante el desarrollo del curso, convirtiéndose en guía para el estudiante en el desarrollo de sus compromisos académicos.

��

Capítulo 1

Principio de la relatividadgalileana

El principio de la relatividad galileana se basa en el hecho de que las leyes dela física son las mismas para cualquier sistema de referencia inercial. Luego, noexiste un marco de referencia privilegiado. Por ejemplo en mecánica newtonianaal caer dos esferas desde al mismo tiempo (t) y altura (h) pero, describiendotrayectorias diferentes (una parabólica y la otra en caída libre). Si despreciamosla resistencia del aire ambas esferas deberían caer con una rapidez de v = 2

√2gh

y esto ocurriría para cualquier observador que se encuentre en un sistema dereferencia inercial.

La Figura 1.1 muestra varias cosas entre las cuales son:

1. Dos sistemas de referencias S y S′, donde S es un sistema en reposo conrelación al sistema S′ que se mueven con velocidad constante en direcciónx positiva.

2. La relación entre las coordenadas (x, y, z, t) de un evento vistos por S ylas coordenadas ( x′, y′, z′, t′) vistos por S′.

3. Si algún fenómeno físico ocurre en el sistema S y a su vez en un sistemade referencia inercial S′, que se mueve con rapidez constante. Como elsistema S′ se mueve con rapidez constante v a lo largo de xx′ donde v semide en relación con S.

Ahora si suponemos que un evento ocurre en el punto P (Figura 1.1) y que losorígenes de S y S′ coinciden en ti = 0. Las coordenadas del item 2 se relacionanpor medio de las siguientes ecuaciones que se mediría con respecto a S.

x′ = x− vt (1)

y′ = y (2)

z′ = z (3)

t′ = t (4)

1

2 CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA

Figura 1.1:

A estas ecuaciones se le denomina la transformación de coordenadas galileanas, que se basan en el principio de que el movimiento es relativo (ecuaciones 1,2,3) y el tiempo es absoluto (ecuación 1).

Derivando las ecuaciones (1) , (2) y (3) con respecto al tiempo, se obtienen las ecuaciones de transformación de velocidades galileana [1].

u′x = ux − v

u′y = uy

u′z = uz

0

1.1. La velocidad de la luz

En la Figura 1.2 observamos dos observadores, uno dentro de un vagón en movimiento con velocidad constante ubicado en el sistema S′ y otro observador estacionario fuera del vagón en el sistema S. Un pulso de luz es enviado por el observador S, si el pulso de luz tiene una rapidez c en relación a S′. De acuerdo con la ecuación de transformación de velocidades galileana, la rapidez del pulso relativo al observador estacionario S es c + v. Ahora en la década de 1980 Maxwell desarrolló la teoría electromagnética donde a partir de ellas se obtiene que la rapidez de la luz es: c = √

µ1 εo , donde µ

0 es permeabilidad magnética

del vacío y en el SI y se define como: 4π× 10−7 T m A−1 y εo es la constante de

1.1. LA VELOCIDAD DE LA LUZ 3

Figura 1.2:

permitividad eléctricante que el SI y se define como: 8, 854× 10−12 F m−1, así

c =1

√µ0εo

c =1��

8, 854× 10−12 C2

N m

� �4π × 10−7 T m

A

�

c =1��

111, 26× 10−19 C2

N m

�N

A2m

c =1�

111, 26× 10−19 C2

( Cs )2m2

c2 = 8, 98× 1016m2

s2

c = 2, 99792458× 108 m s−1

determinando que es igual para cualquier observador y que la ecuación deonda solo es válida en un marco de referencia especial, pero esto no cuadra conlas transformaciones de Galileo.

Luego se presenta una contradicción entre la ecuación de transformación develocidades galileana y la teoría electromagnética de Maxwell, ya que

El principio de la relatividad galileana es válido para la mecánica, pero nopara el electromagnetismo.

Las ecuaciones de Maxwell no son correctas.

Existe un solo principio de la relatividad galileana para la mecánica y otropara el electromagnetismo.


Para salir de la duda se pensó que si la luz es una onda esta se deberíapropagarse en un medio llamado el éter.

En 1887 los físicos Michelson y Morley realizaron un experimento cuyo obje-tivo era tratar de detectar el viento del éter. Observando efectos de interferenciade luz esperaba poder medir la rapidez de este viento, o lo que es igual, la rapidezde la tierra respecto al éter [6].

¿Lo que oscila es el éter?

En el siglo XIX el éter tenía propiedades físicas que podían ser deduci-das observando el comportamiento de la velocidad de propagación de una on-da en un medio (aire, agua, cuerda), como la velocidad de la luz es enorme�2, 99792458× 108 m s−1

�el éter debería ser algo muy rígido y en consecuencias

la Tierra no podría moverse con facilidad. Si el éter se comportaba como un fluido viscoso los planetas en órbita perderían energía paulatinamente y acabarían por caer en el Sol, siguiendo una trayectoria en espiral y como eso no ocurría los físicos llag aron a otra conclusión definitiva sobre el éter. El éter decían, es un fluido perfectamente móvil sin viscosidad alguna, incomprensible, transparente que llena todo el espacio. Conociendo tanto sobre él, lo único que quedaba por hacer era un experimento que fuera claro e irrefutable, esta tarea fue realiza-do por los físicos Michelson y Morley que montaron éste experimento usando diferentes materiales y realizado en diferentes condiciones climáticas durante 40 años, para que al final no obtuvieron respuestas o si algo que ellos no creían que el éter no existía [6].

Tarea:

Desarrolle el laboratorio que aparece al final del texto titulado: medida de la velocidad de la luz.

1.2. El experimento de Michelson y MorleyEl Dr. David L. Goodstein, California Institute of Technolog y describe el

experimento realizado por los físicos Michelson y Morley. El montaje del exper-imento contenía dos espejos planos y uno semiplano tal como se muestra en la Figura 1.3. Donde un rayo de luz láser sale del punto S, golpea un semi espejo transparente que divide el rayo en dos, un rayo que va paralelo al movimiento de la Tierra (espejo M1) y el otro rayo que va en dirección perpendicular al movimiento de la Tierra (espejo M2). Estos dos rayos se superponen formando lineas claras y oscuros [6].

E studio analítico del experimento de Michelson y Morley: Determi-namos primero la diferencia de tiempos en que se toma el haz de luz en ir del espejo M1 al semiespejo y del espejo M2 al semiespejo para, luego determinar el corrimiento de la franja y finalmente comparar con los cálculos experimentales. Bueno la teoría dice que no coincidían.

1.2. EL EXPERIMENTO DE MICHELSON Y MORLEY 5

Figura 1.3:

La Figura 1.3 muestra que la distancia entre el semiespejo y el espejo M1 esL y la rapidez de la luz a medida que se acerca y se aleja del espejo M1 es c− vy c + v, respectivamente (donde v es la velocidad del viento de eter contrario ala velocidad de la Tierra). De este modo, el tiempo sería igual a:

t1 =d

c + v+

d

c− v=

2dc

c2 − v2=

2d

c

�1− v2

c2

�−1

(1)

Ahora cuando el haz de luz que viaja hacia el espejo M2, perpendicular al vientodel éter. Ya que la rapidez del haz en relación con la Tierra es (c2 − v2)

12 en

este caso, el tiempo de viaje para cada mitad de este recorrido es d

(c2−v2)12, y

el tiempo total para el recorrido completo es

t2 =2d

(c2 − v2)12

=2d

c

�1− v2

c2

�− 12

(2)

Luego la diferencia de tiempos es

∆t = t1 − t2 =2d

c

��1− v2

c2

�−1

−�

1− v2

c2

�− 12

(3)

Debido a que v2

c2 ≪ 1, esta expresión puede simplificarse empleando el siguientedesarrollo del binomio después de eliminar todos los términos de orden más altoque el segundo:

(1− x)n ≈ 1− nx para x≪ 1


Luego encontramos que

∆t ≃ dv2

c3(4)

Así, la diferencia de trayectoria que corresponde a esa diferencia de tiempo es

∆x = c(2∆t) (5)

∆x = 2c

�dv2

c3

�

∆x = 2

�dv2

c2

�(6)

El correspondiente desplazamiento de las franjas es igual a esta diferencia de trayec-toria dividida entre la longitud de onda de la luz, puesto que un cambio de longi-tud de onda de la trayectoria de una longitud de onda corresponde al corrimiento de la franja

Corrimiento =∆x

λ

Corrimiento = 2

�dv2

λc2

�(7)

Que al sustituir estos valores con los del montaje experimental estos no coincidían.

Tarea:

Desarrolle el laboratorio virtual que aparece en la pgina web(http://pabdelrahim.blogspot.com.co/) titulado: Experimento de Michelson y Morley_Primer Laboratorio.

Desarrolle el laboratorio que aparece en el ltimo capitulo titulado como: medida de la velocidad de la luz.

1.3. El principio de la relatividad de EinsteinEinstein en vez de buscar formas de justificar los resultados inesperados del

experimento de Michelson y Morley trabajó en dos postulados:

1. Las leyes de la física coinciden en cada sistema de referencia inercial. Enparticular, los sistemas inerciales resultan indistinguibles, lo que destierrala noción de sistema de referencia absoluto, e incorpora implícitamente elprincipio de inercia.

2. La velocidad de la luz es independiente de la velocidad de la fuente: Portanto, la constancia de la velocidad de la luz pasa a ser un principio univer-sal, resultando clave para establecer las transformaciones de coordenadasentre sistemas inerciales.

1.3. EL PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD DE EINSTEIN 7

Figura 1.4:

Desde un punto de vista experimental el primer postulado nos puede llevar a concluir que si queremos experimentalmente medir la rapidez de la luz efectuado en un laboratorio en reposo debe dar el mismo resultado que cuando se realiza en un laboratorio que se mueva con rapidez constante con respecto al primero. Por lo tanto, no existe un marco de referencia inercial privilegiado, y es imposible detectar movimiento absoluto. Observe que el postulado 2 es requerido por el postulado 1: si la rapidez de la luz no fuera la misma en todos los marcos inerciales [1].

Aceptada la teoría de la relatividad de Einstein se llega a que el movimiento relativo no es importante cuando se mide la rapidez de la luz. A la vez se deben modificar los conceptos de espacio y tiempo [1].

El evento o el suceso

El evento o suceso se define como algo que ocurre en algún punto en el espacio en un determinado tiempo y en diferentes marcos inerciales suelen describir el mismo evento con diferentes coordenadas [1].

A continuación estudiaremos tres consecuencias de los postulados de A. Einstein como son:

1. Principio de la simultaneidad de eventos.

2. Dilatación del tiempo.

3. La contracción de la longitud.g

Recordemos que para la mecánica relativista el tiempo y la longitud absolutano existe.

Principio de la simultaneidad de eventos

Para comprender el concepto de simultaneidad plantearemos un ejemploexperimental mental. Suponga que los sistemas de referencia de Lucho y Patricia


S y S′, respectivamente. Y Lucho en S está dentro de un cubo de cristal que tienedos espejos uno enfrente del otro. Este cubo se mueve con rapidez constante.Ahora Lucho enciende una bombilla justo en el instante en el que el cubo pasa por delante de Patricia. La pregunta es, ¿qué mide cada uno de los observadores?

Lucho que está dentro del cubo ve que el espejo de atrás recibe primero la luz antes que el espejo que está delante y Patricia ve que ambos espejos reciben la luz al mismo tiempo.

El anterior experimento mental demuestra claramente que los dos acon-tecimientos, los cuales parecen ser simultáneos para Patricia, no parecen serlo para Lucho. Depende del marco de referencia de donde ocurra el evento o suceso.

Dilatación del tiempo

La Figura 1.4 muestra dos observadores, uno que está dentro de un vagón de tren (O1) que contiene dos espejos efrentados (uno arriba y otro abajo) y otro observador que está fuera del vagón de tren (O2). El observador que está dentro del vagón emite un rayo de luz que puede de alguna forma ser detectado cuando este es reflejado por el espejo (Figura 1.4a). La medida del recorrido de ida y vuelta es 2d y el tiempo medido por el operario (O1) es:

∆t∗ =2d

c(1)

En la Figura (1.4b) se observan tres posiciones del vagón en su desplaza-miento de avance según indica la flecha situada encima de la Figura (1.4b). Elvagón se desplaza hacia la derecha con una velocidad (v). Se ha situado unobservador (O2), fijo en Tierra, y queremos determinar el tiempo que calcularáeste observador para la realización del anterior experimento (emisión y reflexióndel rayo de luz) [1-3, 46].

La Figura (1.4c) muestra la forma de poder calcular el tiempo que tarda elevento en recorrer la mitad del camino. La hipotenusa de este triangulo es iguala la mitad del desplazamiento del haz de luz

�c∆t2

�, la longitud del cateto que

actúa como base es igual a la mitad del desplazamiento del tren�v∆t

2

�y d es la

distancia de espejo a espejo:


�c∆t

2

�2

=

�v∆t

2

�2

+ d2

c2∆t2

4− v2∆t

4

2

= d2

∆t2

4(c2 − v2) = d2

∆t =

�4d2

c2 − v2

∆t =2d√

c2 − v2

∆t =2d

c

1− v2

c2

1c1c

(2)

Debido a que ∆t∗ = 2dc , podemos expresar la ecuación (2) como

∆t =2dc

1− v2

c2

=∆t∗1− v2

c2

Donde

γ =1

1− v2

c2

(3)

Luego

∆t = γ∆t∗ (4)

Donde si gamma γ es mas grande que la unidad. La ecuación (3) nos indica queel intervalo de tiempo ∆t medido por un observador que se mueve respecto deun reloj es más largo que el intervalo de tiempo ∆t∗ medido por un observadoren reposo respecto del reloj (esto ∆t ≻ ∆t∗). Dicho efecto se conoce comodilatación del tiempo.

En la siguiente gráfica de γ en función de la velocidad observamos que cuandola velocidad se aproxima a la rapidez de la luz γ aumenta de manera dramática.Advierta que para magnitudes de velocidad menores a un décimo de la rapidezde la luz, γ está muy cerca de ser igual a la unidad. Un ejemplo, el latido delcorazón de un astronauta que se mueve por el espacio mantendría el tiempo conun reloj dentro de la nave espacial. Tanto el reloj del astronauta como su latidocardiaco se retrasan respecto de un reloj estacionario allá en la Tierra (aunqueel astronauta no tendrá ninguna sensación de que la vida se está retrasando enla nave espacial), [1-3, 46].


0 1 2 3

2

4

6

8

10

v(10^8) m/s

Gamma

γ =�

1− v2

9

�− 12

Contracción de la longitud

Otra consecuencia de los dos postulados de A. Einstein es la contracción dela longitud. La distancia medida entre dos puntos depende también del marcode referencia. La longitud propia (Lp) de un objeto es la longitud medida porun observador que está en reposo respecto del objeto. La longitud de un objetomedida por alguien en un marco de referencia que se mueve respecto del objetosiempre es menor que la longitud propia. Este efecto se conoce como contracciónde la longitud [1-5].

Considere una nave espacial que viaja a una rapidez v de un planeta a otro.Hay dos observadores: uno en reposo en la Tierra y el otro dentro de una naveespacial que viaja a velocidad constante. El observador en la Tierra, mide ladistancia entre las dos planetas como la longitud propia (Lp). De acuerdo con elobservador en Tierra, el tiempo que tarde la nave espacial en completar el viajees ∆t =

Lpγ . El viajero espacial afirma que ve el planeta de destino moviendose

hacia la nave espacial a una rapidez v. Como el viajero epacial alcanza el planetaen un tiempo ∆tp se tiene que

L = v∆tp (1)

Si de acuerdo con la contracción de la longitud se tiene que el tiempo medidopor un observardor en movimiento es:

∆t = γ∆tp (2)

Luego sustituyendo ∆tp de la ecuación (2) en la ecuación (1) obtenemos

L = v∆t

γ


Figura 1.5:

Donde despejando ∆t se obtiene

∆t = γL

v(3)

La longitud medida por un observardor en Tierra es

Lp = v∆t (4)

Y sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (4) se obtiene

Lp = v

�γL

v

�

Obtenemos la ecuación (5)

Lp = γL (5)

Despejando la distancia medida por el observador en la nave L de la ecuación(4)

L =Lp

γ

O

L = Lp

�1− v2

c2

� 12

(6)

�1− v2

c2

� 12

Donde ≺ 1, advierta que la contracción de la longitud ocurre sólo alo largo del movimiento, Figura 1.5 [1-3, 46].

Tarea:

Desarrolle el laboratorio virtual que aparece en la página web(http://pabdelrahim.blogspot.com.co/) titulado: Dilatación del tiempo y contracción de la longitud


1.4. Las ecuaciones de transformación de Lorentz

Como la transformación galileanas no es válida para objetos que se muevancon velocidades que se aproximan a la velocidad de la luz. Luego en esta secciónse presentarán las ecuaciones correctas cuando la magnitud de la velocidad seencuentran entre el intervalo de 0 ≤ v ≺ c, [1-3, 46].

Posición medida por dos sistemas de coordenadas inerciales

Se tienen dos observadores, uno en el marco de referencia estacionario Sy otro en el marco de referencia que se mueve con velocidad constante (v) enrelación con el estacionario (Figura 1.5). Suponga que un objeto se ubica en laposición x medida en el sistema S′, donde las ecuaciones de posición son:

x′ = γ(x− vt) (5)

y′ = y

z′ = z

t′ = γ�t− v

c2x�

(6)

Las ecuaciones de transformación de velocidad de Lorentz de S → S′Suponga que un objeto, tiene una rapidez ux medida en el sistema S′, donde

u′x =dx′

dt′(7)

Derivando con respecto al tiempo las ecuaciones (5) y (6), obtenemos (8) y(9)

dx′ = γ (dx− vdt) (8)

dt′ = γ�dt− v

c2dx�

(9)

Al sustituir las ecuaciones (8) y (9) en la ecuación (7) se obtiene la ecuación(10)

u′x =

�dx− vdt

dt− vc2 dx

� 1dt1dt

u′x =dxdt − v

v dx

u′x =ux − v

1− uxvc2

(10)

Donde la rapidez medida en el marco S′, teniendo encuenta que ddtx justo la

componente de la velocidad ux del objeto medida por un observador en S, asique esta expresión sería igual a

1.4. LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ 13

Si el objeto tiene componente de la velocidad a lo largo de los ejes y y z, lascomponentes medidas por un observador en S′ son las sigueientes

u′y =uy

γ�1− vuy

c2

� (11)

u′z =uz

γ�1− vuz

c2

� (12)

Observe que las ecuaciones u′y y u′z no contienen el parámetro v en el nu-merador porque la velocidad relativa está a lo largo solo del eje x.

Cuando ux y v son mucho mas pequeñas que c (el caso no relativista) eldenominador de la ecuación (10) se aproxima a la unidad y por ello u′x = ux−vque corresponden a las transformaciones de las velocidades galileanas. En el otroextremo, cuando ux = c la ecuación (10) se vuelve

u′x =c− v

1− cvc2

=c�1− v

c

�

1− vc

= c

advierta que el resultado se orienta hacia el segundo postulado de Einstein [1-3,46].

Las ecuaciones de transformación de velocidad de Lorentz de S′ → S

Se tiene dos observadores uno en el marco de referencia estacionario(S) yotro que mueve con velocidad v en relación con el estacionario (S′). Supongaque un objeto tiene una rapidez u′x medida en el marco S, donde:

ux =dx

dt(13)

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos

dx = γ (dx′+ vdt) (14)

dt = γ�dt′+ v

c2dx�

(15)

Al sustituir la ecuación (14) y (15) en la ecuación (13), obtenemos (16)

ux =

�dx′+ vdt

dt′+ vc2 dx

� 1dt′1dt′

ux =dx′dt′ + v

1 + vc2

dx′dt′

ux =u′x + v

1 + vu′xc2

(16)


Figura 1.6:

1.5. Dinámica Relativista

La segunda ley de Newton se enuncia como el cambio de movimiento quees proporcional a la fuerza neta y ocurre según la línea recta a lo largo de lacual aquella fuerza se imprime, entonces para otro observador estacionario oen movimiento con rapidez constante, la fuerza permanece invariante bajo lastransformaciones de Galileo [32].

Pero las magnitudes físicas cambian cuando estas se trabajan bajo las trans-formaciones de Lorentz, cuando el evento se ve en cada uno de los sistemas dereferencia S y S′.

Leyes de Newton

De acuerdo a las transformaciones de Galileo las tres leyes del movimientode Newton deben permanecer invariantes al cambio de un marco de referencia aotro. La primera ley vista como el principio de la cantidad de movimiento debecumplir que

momentum antes del choque = momentum después del choque

Sin embargo, al utilizar las transformaciones de Lorentz descubrimos rápi-damente que la cantidad de movimiento no se conserva invariable al pasar de unmarco de referencia a otro. Esto lo podemos ver mejor considerando un experi-mento donde hay una colisión inelástica entre dos partículas, como se muestraa continuación.

La masa relativista

La Figura 1.6 se muestra una colisión entre dos partículas, este evento tienelugar en el marco de referencia S′ que se mueve con velocidad constante u.

1.5. DINÁMICA RELATIVISTA 15

Consideremos que en el sistema S′ las velocidades de cada una de las partículasque presetan la colisión iguales a v′ y si la cantidad de movimiento se conserva.

Donde se cumple en este sistema que la cantidad de movimiento antes delchoque es igual a la cantidad de movimiento despues del choque,

−→P antes =

−→P despues

Luegom′v′ + m′(−v′) = 0 (2)

En la Figura 1.6 observamos que en el sistema S, la cantidad de movimientoantes del choque es igual a la cantidad de movimiento despúes del choque,donde en este sistema no se puede asegurar que las masas de las partículas nisu velocidad sean iguales, ya que sus velocidades son diferentes, entonces serequiere que se cumpla que

mv = M0v′ (3)

O lo que es lo mismo

mv = (m + mo)v′ (4)

Donde m y M0 son las masas de las partículas en movimiento y mo la masade la partícula en reposo y v y v′ son las velocidades de las partículas para antesy después de la colisión, respectivamente, de acuerdo con las transformaciónde la conservación de velocidades se tiene que: la rapidez de un evento físicoque ocurre a una distancia x′ del sistema de referencia S′, pero medido por unobservador en el sistema de referencia S′ es:

v =v′+ v

1 + vv′c2

=2v′

1 + v′2c2

(5)

Noten que cuando v ≪ c, v = 2v′ y despejamos m de la ecuación (4) se ob-tienemos que

mv = mv′+ mov′m (v − v′) = mov′

m =

�v′

v − v′

�mo (6)

Despejando v′ de la ecuación (5), se obtiene la ecuación (7) de segundo gradopara v′, así:

v

�1 +

v′2

c2

�= 2v′

v +vv′2

c2= 2v′

v

c2v′2 − 2v′+ v = 0 (7)


Que corresponde a una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0,dedonde a = v

c2 , b = −2, y c = v y cuya solución es la ecuación (8), luego:

v′ =−(−2)±

4− 4

�vc2

�(v)

2�vc2

�

v′ =2± 2

1− v2

c2

2�vc2

�

v′ =1±

1− v2

c2

vc2

Factorizando c2

v , obtenemos

v′ =c2

v

�1±�

1−�v2

c2

�(8)

Puesto que v′ debe ser igual a v2 cuando la rapidez involucrada es pequeña son

comparadas con la rapidez de la luz, el signo apropiado en la ecuación (9) es elsigno negativo. Entonces:

v′ =c2

v

�1−�

1−�v2

c2

�(9)

Ahora remplazando la ecuación (9) en la ecuación (6), obtenemos:

m =

�v′

v − v′

�mo

m =

c2

v

�1−

1−�v2

c2

��

v − c2

v

�1−

1−�v2

c2

��

mo

Reduciendo esta ecuación en su más mínima expresión obtenemos la ecuación(10), así:


m =

c2

v

�1−

1−�v2

c2

��

v − c2

v

�1−

1−�v2

c2

��

�1 +

1−�v2

c2

��

�1 +

1−�v2

c2

��

mo

m =

c2

v

�1−�1−�v2

c2

��

v

�1 +

1−�v2

c2

��− c2

v

�1−�1−�v2

c2

��

mo

m =

v

v

�1 +

1−�v2

c2

��− v

mo

La ecuación (10 que corresponde a la masa relativista

m =

1

1−�v2

c2

�

mo

m = γmo (10)

La siguiente gráfica corresponde a la ecuación (11) y muestra a la masarelativista (m) de una partícula en función de v

c . Donde observamos que cuandola masa relativista aumenta, la velocidad aumenta hasta cuando la velocidad dela partícula se acerca a la velocidad de la luz, c = 3× 108 m s−1 y que cuandola razón entre las velocidades v y c se aproxima a cero, se obtiene el valor de lamasa del electrón m0 = 9,109× 10−31 kg. (líneas punteadas)

m =9, 109× 10−31 kg

1−�v2

c2

� (11)


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.06.0e-31

8.0e-31

1.0e-30

1.2e-30

1.4e-30

v/c

m [kg]

masa relativista vs.�vc

�m =

9,1093897×10−31�

1−�v2

c2

�

kg

Pero la masa no está aumentando. El observador que viaja en el marco dereferencia S′ junto con el cuerpo verá a dicho cuerpo en reposo (con respectoa él) y no lo verá aumentar. La materia extra es la que sería detectada por elobservador que está en el marco de referencia S ante el cual el cuerpo se estámoviendo a grandes velocidades.

En realidad esta masa extra tiene que ver con el consumo de energía quehay que invertir para ir acelerando el cuerpo a velocidad cada vez más cercanaa la velocidad de la luz. La aceleración del cuerpo, el aumento en su cantidadde movimiento, corresponde a la energía que hay que invertir en el proceso paraaumentar su rapidez de v = 0 a v = 0, 7c. Esta energía va directamente alaumento en la cantidad de movimiento del cuerpo. En realidad esa masa extraaparente tiene que ver directamente con la energía invirtiendo en irle subiendola rapidez al cuerpo.

Momentum relativista

Definida la masa relativista nos lleva a conceptualizar el momentum rela-tivista, la cual es:

−→p =mo−→v

1− u2

c2

(12)

Donde −→v es la velocidad de la partícula.Cuando −→v → 0 el denominador de la ecuación (12) tiende a la unidad por

lo que −→p se reduce a la expresión clásica igual a: −→p = m−→v y la ecuación (12)


se reduce a:

−→p = γmo−→v (13)

Como la cantidad de movimiento es una cantidad vectorial, sus componentescon respecto a un sistema de ejes x, y y z serán:

px =movx1− v2

c2

py =movy1− v2

c2

pz =movz1− v2

c2

Donde el momentum relativista es:

−→p =mo1− u2

c2

�vx�i + vy�j + vz�k

�(14)

Fuerza relativista

Definida como derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo,así:

−→F clasico =

d−→p clasico

dt=

d

dt(mo

−→v ) = mo−→a

donde mo es la masa en reposo relativista, considerada constante en la expresiónanterior.

La fuerza relativista tambien será la derivada con respecto al tiempo de lacantidad de movimiento, pero ahora relativista:

−→F rel =

d−→p rel

dt−→F rel =

d

dt(m−→v )

−→F rel = m

d−→vdt

+−→v dm

dt(15)

Donde m es la masa relativista que depende de la velocidad. Luego la magnitud


de la fuerza relativista es

Frel =mo1− v2

c2

dv

dt+ v

d

dtmo

�1− v2

c2

�− 12

Frel =mo1− v2

c2

dv

dt+ vmo

d

dt

�1− v2

c2

�− 12

Frel =mo1− v2

c2

dv

dt+ vmo

�−1

2

��1− v2

c2

�− 32�−2v

c2

�dv

dt

Frel =mo1− v2

c2

dv

dt+

mo�1− v2

c2

�− 32

�v2

c2

�dv

dt

Frel =mo1− v2

c2

dv

dt

�1 +

1�1− v2

c2

� v2

c2

Simplificando

Frel =mo1− v2

c2

dv

dt

�1− v2

c2+

v2

c2

�

Finalmente, obtenemos la expresión

Frel =mo

dvdt�

1− v2

c2

� 32

(16)

Donde para velocidades suficientemente bajas en comparación a la velocidadde la luz, la expresión para la fuerza relativista se reduce a la expresión de lasegunda ley de Newton.

Aceleración relativista

De la ecuación (12) la fuerza relativística se definió como

−→F rel = m

d−→vdt

+−→v dm

dt

Y si m = Ec2 , diferenciando esta ecuación con relación al tiempo, tenemos

dm

dt=

1

c2

dE

dt=

1

c2

d

dt

�m0c

2 + K�

Esto esdm

dt=

1

c2

dK

dt

Si la variación de energía cinética relativística (dK) es el resultado de un trabajodiferencial (Fdr). Por lo tanto,

1.6. ENERGÍA RELATIVISTA 21

dm

dt=

1

c2Fdr

dt=

1

c2Fv

Al reemplazar este resultado en la ecuación (12) queda:

−→F = m−→a +−→v 1

c2Fv

−→a =

−→F

m

�1− v2

c2

�

−→a =

−→F

m0

�1− v2

c2

� 32

(17)

Por el principio de correspondencia se tiene que cuando la velocidad v se apro-xima a la velocidad de la luz c, la aceleración se anula. Si v es despreciable frente a c, la aceleración se resume a la segunda ley de Newton, es decir, la magnitud de la aceleración es

−→a =

−→F

m0

Y la magnitud de la fuerza relativista seria igual a

F =am0

�1− v2

c2

� 32

Según la mecánica de Newton, el móvil responde a la acción de la fuerzaacelerándose. Esta es una manifestación de su inercia. A velocidades relativísti-cas, la inercia crece significativamente, hasta el punto de que una fuerza finitano causa reacción sobre el móvil. Para obtener una reacción visible en el móvil,la fuerza deberá también crecer. Por eso la luz cae si el campo gravitacional estan intenso como el de un agujero negro.

1.6. Energía Relativista

Al igual que en la mecánica clásica se debe cumplir que el trabajo realizadosobre un cuerpo cuando se desplaza entre dos puntos es igual a la integral delproducto punto entre la fuerza y el desplazamiento, así

W =

� −−→Frel • d

−→l (18)

donde el teorema del trabajo y la energía es igual al cambio de la energía cinética(W = ∆K) y de acuerdo a la ecuación (18) tenemos que:

K =

�d−−→preldt

· d−→l =

� v

0

�m

d−→vdt

+−→v dm

dt

�· d−→l (19)


Donde si el cuerpo se desplaza en dirección horizontal, tenemos que:

K =

� v

0

�m

dv

dt+ v

dm

dt

�dx

K =

� v

0

mvdv + v2dm (20)

Expresión en la cual tanto m como v son variables. Estas cantidades estánrelacionadas la una con la otra a través de la definición de la masa relativista

m =

1

1− v2

c2

mo (21)

Elevando al cuadrado la expresión (21) , obtenemos:

m2

�1− v2

c2

�= m2

0

m2 −m2 v2

c2= m2

0

Y diferenciándola a ambos lados de la igualdad, da

2mdm−�2 (dm)m

�v2

c2

�+ 2m2 v

c2dv

�= 0

2mc2dm− 2 (dm)mv2 − 2m2vdv = 0

mvdv + v2dm = c2dm (23)

Que es precisamente el factor que se encuentra en (20). Por consiguiente

K =

v�

0

c2dm

K = c2

m�

m0

dm

K = mc2 −moc2

De modo que la energía cinética se puede expresar como una integral de lavelocidad que cambia desde el estado de reposo hasta que la fuerza deja deactuar, finalmente tenemos que:

K =m0c

2

�1− v2

c2

� 12

−m0c2 (24)

Lo que podemos observar es que a baja velocidad K = mv2

2 , pero a velocidadesaltas la curva de energía creciente comienza a parecerse a la curva de masacreciente, la ecuación (24) muestra por qué


K = γm0c2 −m0c

2 (25)

A cualquier velocidad la energía cinética es igual a la variación de la masamultiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado

K = (m−m0)c2

y como m0 es la masa del cuerpo en reposo, la cantidad m0 multiplicada porla velocidad de la luz al cuadrado recibe el nombre de la energía de la masa enreposo, E0 = m0c

2.Sumando la energía cinética a la energía de la masa en reposo se obtiene la

energía total del cuerpoE = mc2 (26)

Esta ecuación se confirma rutinariamente mediante experimentos que empleanaceleradores de partículas de alta energía.

Si v → 0 la ecuación (24) debe reducirse a la expresión clásica�K = mv2

2

�.

Podemos verificar esto empleando la expresión del binomio

(1− x2)−12 ≈ 1 +

1

2x2 + ....

Para x ≺ 1 donde las potencias de orden mas alto de x se desprecian en laexpresión. En nuestro caso x = v

c , de modo que

1�1− v2

c2

� 12

≈ 1 +1

2

�vc

�2

La sustitución de esta ecuación (24) produce

K ≈ m0c2

�1 +

1

2

�vc

�2�−m0c

2 =m0c2

2

La cual concuerda con el resultado clásico.

El término m0c2 es la energía en reposio y es independiente de la velocidadde la partícula.

El término γmoc2 es la energía total que corresponde a la suma de la

energía cinética más la energía en reposo de la partícula, E = K + m0c2.

Aquí lo que se muestra es que la masa es una propiedad de la energía o queuna masa pequeña corresponde a una gran cantidad de energía. Este conceptoes fundamental para gran parte del campo de la física nuclear [1-3].

La siguiente Figura muestra la energía total del electrón (γm0c2) en funcion

de vc . Observando que cuando v

c se acerca a cero da el valor de la energia enreposo del electrón (moc2).

E =

�9, 109× 10−31 kg

� �3× 108 m

s

�2

1−�vc

�2


-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

6.0e-14

8.0e-14

1.0e-13

1.2e-13

v/c

ET [J]

ET =9,1093897×10−31(2,99792458×108)2�

1−( vc )2

Energía relativista en función del momentum

El momento relativista se relaciona con la energía total por medio de laecuación

E2 = c2p2 + m2oc

4 (1)

Para dar una expresión alternativa de la energía total en términos del momentumrelativista. Se logra a partir del momento relativista, la cual es:

p =mov1− v2

c2

. Despejando�vc

�2, así

�p

�1− v2

c2

�2

= (mov)2

p2

�1− v2

c2

�= (mov)2

p2c2 − p2v2 = (mov)2 c2

p2c2 = p2v2 + (mov)2c2

p2c2 = v2�p2 + m2

oc2�

v2

c2=

p2

p2 + m2oc

2(2)


Sustituyendo v2

c2 de la ecuación (2) en la ecuación (3),

E =moc

2

1− v2

c2

(3)

E =moc

2

�1− p2

p2+m2oc

2

� 12

E =moc2

�p2+m2

oc2−p2

p2+m2oc

2

� 12

Elevando al cuadrado a ambos lados de la igualdad

E2 =

�moc

2�2

m2oc

2

p2+m2oc

2

E2 =m2

oc4�p2 + m2

oc2�

m2oc

2

E2 = c2�p2 + m2

oc2�

Finalmente se obtiene, la energía relativista en función del momentum

E2 = c2p2 + m2oc

4 (5)

1. Una nave espacial es tripulada por un observador que viaja a una velocidadv cercana a la velocidad de la luz y pasa por un observador terrestre.Realice una gráfica de la longitud que medida por un observador dentrode la nave en función de vc , cuando el observador terrestre mide 120 m delongitud de la nave,

Respuesta

La siguiente gráfica muestra la relación entre la longitud del observador que esta dentro de una nave y la velocidad v.

Ejercicios

Documents

APUNTES DE FÍSICA MODERNA - editorial.udistrital.edu.coeditorial.udistrital.edu.co/contenido/c-999.pdf · mejoramiento de la enseñanza-aprendizaje de la física moderna. Laenseñanzadela