CAPITULO 1: MATEMTICAS FINANCIERAS CONCEPTOS BSICOS1. MATEMTICAS FINANCIERAS1.1. DEFINICINEn este texto debe comprenderse las Matemticas financieras como: Conjunto de herramientas matemticas, las cuales permiten analizar cuantitativamente la viabilidad o factibilidad econmica y financiera de los proyectos de inversin.1.2. CONCEPTOS BSICOS1.2.1. Factibilidad Econmica:La factibilidad econmica de un proyecto de inversin tiene que ver con la bondad de invertir recursos econmicos en una alternativa de inversin, sin importar la fuente de estos recursos. En esta fase de la evaluacin, se analiza la decisin de inversin independiente del dueo del proyecto, se enfatiza nicamente en los recursos comprometidos en la empresa, excluyendo el origen de estos.1.2.2. Factibilidad Financiera:En la factibilidad financiera del proyecto de inversin se evala el retorno para los dueos. En esta fase del proyecto lo que interesa es determinar si la inversin efectuada exclusivamente por el dueo, obtiene la rentabilidad esperada por l.1.2.3. Factibilidad Econmica versus Factibilidad Financiera:En el mbito de la evaluacin de proyecto es de vital importancia comprender que a cada decisin de inversin, corresponde una decisin de financiacin. Con la condicin fundamental de que la rentabilidad de la inversin, debe satisfacer la estructura financiera de la empresa. La decisin de inversin, como ya se mencion, tiene que ver con la estructura operativa de la empresa y con una de las funciones de la Administracin financiera que es definir donde invertir. Para poder tomar la decisin de invertir hay necesidad de definir los indicadores de gestin financiera que permitan establecer si la empresa cumple con su objetivo financiero bsico y si los proyectos de inversin que enfrenta cotidianamente la acercan a su meta. La decisin de financiacin, otra de las decisiones fundamentales de la administracin, tienen que ver con la estructura financiera de la empresa o proyecto, esta estructura se refiere a los dueos de los recursos (deuda o recursos propios), la cual tiene un costo que se denomina el costo de capital promedio ponderado. Al evaluar la estructura financiera del proyecto, interesa disear indicadores financieros que permitan identificar si los inversionistas o dueos de la empresa estn alcanzando la meta financiera, la cual en empresas que tengan nimo de lucro, es ganar ms dinero ahora y en el futuro.1.2.4. Valor Econmico Agregado:Solamente, cuando la rentabilidad de la inversin supere el costo de capital promedio ponderado, se generara valor econmico para los propietarios de la empresa. nicamente en este evento los inversionistas estn satisfaciendo sus expectativas y alcanzando sus objetivos financieros.1.2.5. Proyecto de Inversin:Oportunidad de efectuar desembolsos de dinero con las expectativas de obtener retornos o flujos de efectivo (rendimientos), en condiciones de riesgo. Cualquier criterio o indicador financiero es adecuado para evaluar proyectos de inversin, siempre y cuando este criterio permita determinar que los flujos de efectivo cumplan con las siguientes condiciones: Recuperacin de las inversiones, recuperar o cubrir los gastos operacionales y adems obtener una rentabilidad deseada por los dueos del proyecto, de acuerdo a los niveles del riesgo de este. El riesgo del proyecto se describe como la posibilidad de que un resultado esperado no se produzca. Cuanto ms alto sea el nivel de riesgo, tanto mayor ser la tasa de rendimiento y viceversa, de este nivel de riesgo se desprende la naturaleza subjetiva de este tipo de estimaciones.CAPITULO 2: FLUJOS DE EFECTIVO O RENDIMIENTOS2. FLUJOS DE EFECTIVO O RENDIMIENTOSEn este texto, es oportuno aclarar que se utilizarn los conceptos de rendimiento e inters indiferentemente. El concepto de rendimiento se manejar cuando se evalen proyectos de inversin (inversionista versus proyecto) y el concepto de inters cuando se haga referencia a decisiones con el sector financiero.Cuando se realiza una inversin, hay dos alternativas para percibir los rendimientos. Una opcin es retirar los rendimientos peridicamente y la otra alternativa podra ser de efectuar la reinversin peridica de los intereses o rendimientos. En la primera opcin se genera una funcin lineal, siempre y cuando los intereses no se reinviertan durante un determinado lapso de tiempo, este proceso se denomina en trminos nominales o lineales y de ac se desprende el concepto de tasa nominal que ms adelante se analiza.Los rendimientos, como se mencion, se pueden reinvertir durante el periodo de referencia y entonces se generara una funcin exponencial que tambin se denomina efectiva, este proceso genera el concepto de tasa efectiva anual, que tambin se estudiara ms adelante.2.1 RENDIMIENTOS NOMINALES (INTERS SIMPLE)2.1.1 Conceptos Bsicos:* Valor presente, P: Es la cantidad de dinero que se invierte o se presta ahora en un proceso en el cual, los intereses o rendimientos se retiran peridicamente con la condicin que no se reinviertan. La caracterstica fundamental es que la obtencin de nuevos rendimientos se obtiene siempre sobre esta inversin que permanece constante.* Tasa de inters peridica, i: Corresponde a la tasa de inters que se obtiene en cada periodo sobre la inversin o prstamo inicial. * Tiempo, N: Son los periodos durante los cuales se invierte el valor presente P.* Valor futuro, F: El valor futuro de un valor presente es la cantidad de dinero de la cual se dispone al final del plazo de la transaccin. El valor futuro es la suma del valor presente y los intereses devengados durante el tiempo en que se efectu la inversin. A continuacin se ilustra alguna de las ecuaciones que permita efectuar clculos de los rendimientos nominales:Inters Simple = P * i * NF=P + P * i * NF=P * (1 + i * N)(1+ i * N): Es el factor que convierte un valor presente (P) en un valor futuro(F) en donde los intereses no se reinvierten.Con la frmula del valor futuro F, se pueden determinar los valores: presente, la tasa de inters y los periodos de tiempo. En este texto no se pretende efectuar dichos clculos, pero el lector interesado los puede consultar en el texto de Fundamentos de Matemtica Financieras , de este autor.

2.2 RENDIMIENTOS EFECTIVOS (INTERS COMPUESTO)2.2.1 Conceptos bsicos* Valor presente, P: corresponde a la cantidad de dinero que se invierte o se presta ahora, a la tasa de inters i y durante N periodos.* Tasa de inters peridica, i: Es la tasa que se obtiene durante cada periodo de conversin de los intereses a capital.* Periodos de conversin, N: Tratndose de rendimientos efectivos, N son los periodos de conversin durante los cuales se invierte o se presta P.* Valor futuro, F: El valor futuro F, es la cantidad de dinero de la cual se dispone al final de la transaccin. Equivale a un pago nico futuro en N, equivalente a un pago nico presente ahora.2.2.2. Esquema de pagos nicos equivalentesA continuacin se ilustra el esquema de pagos nicos a travs del diagrama de flujo de caja:

Los intereses obtenidos peridicamente se han reinvertido o capitalizado hasta el final de los perodos de conversin.(1 + i )N: Se conoce como el factor que convierte un pago nico presente en un pago nico futuro equivalente a una tasa de inters i y en N periodos.Las aplicaciones del esquema de pagos nicos:1.Dados los valores del valor presente, la tasa de inters y los periodos de conversin, hallar el valor futuro.Ejemplo 1.Hallar el valor futuro de $1 milln, invertido a una tasa del 5% trimestral al cabo de 2 aos. Definamos los valores de las variables as:P = 1.000.000i = 5% peridico trimestralN = 8 periodos trimestrales.Nota: La periodicidad de la tasa de inters debe coincidir con la periodicidad del plazo de tiempo, en este caso trimestres y donde la tasa de inters determina la periodicidad.Luego elaboramos el diagrama de flujo de caja y definimos la frmula que determina el valor futuro:

F = 1.000.000 * (1+ 0.05)8= $1.477.455.El valor futuro de $1.477.455 es equivalente al valor presente de $1.000.000, siempre y cuando los rendimientos generados al 5% trimestral se reinviertan a la misma tasa durante los 8 periodos trimestrales siguientes. La equivalencia en matemticas financieras supone siempre la reinversin a la tasa de inters peridica.2.Dados los valores del futuro, la tasa de inters y los periodos de conversin hallar el valor presente.Ejemplo 2.Hallar la cantidad de dinero que se debe invertir hoy para disponer de $2.000.000 al final de 3 aos, si la tasa de inters es del 2% mensual.F = 2.000.000i = 2% mensualN = 36 meses.F = P * (1+ i)N, despejamos el valor de P.P = F * (1+i)- N. (1+ i)-N: Es el factor que convierte un pago nico futuro de valor F, en un pago nico presente de valor P equivalente.Diagrama de flujo de caja:P = 2.000.000 * (1+.02)-36= $980.446.Valor presente, P: El valor presente de una cantidad F, es aquel valor P que invertido ahora a una tasa de inters i y en N periodos ser igual a F. Lo anterior quiere significar que si se invierten $980.446 ahora en una entidad que paga una tasa del 2% mensual, al cabo de 36 meses se dispone de $2.000.000.3.Dados los valores: presente, valor futuro y tasa de inters, hallar los periodos de conversin.Ejemplo 3.En cuantos meses una inversin de $5.000.000 se duplica, si la tasa de inters es del 1.5% mensual.P=5.000.000F=10.000.000i=1.5% mensual.

De F = P * (1 + i)N, despejamos el valor de N.N = log (F / P) log (1+ i).N = log2 log1.015 = 47 meses aproximadamente.4.Dados los valores: presente, valor futuro y de los periodos de conversin, hallar la tasa de inters peridica.Ejemplo 4.Una inversin de $2 Millones, realizada hace 15 aos alcanza hoy un valor de $70 Millones. Por consiguiente determinar tasa de inters mensual, trimestral, semestral y anual.P = 2.000.000F = 70.000.000.

Mensual:Trimestral:Semestral:Anual:

N = 180N = 60N = 30N = 15

i=1.99%i=6.10%i=12.58%i=26.75%

Para hallar la tasa de inters peridica, despejamos de F = P * (1 + i)Nel valor de i.i = (F / P)1/ N-1.Las tasas peridicas del ejemplo son tasas equivalentes, lo anterior significa que si la tasa peridica mensual del 1.99% se reinvierte, al cabo del trimestre se dispone de la tasa del 6.10%, al final del semestre de 12.58% y al final del ao de 26.75%. As con las otras tasas en las cuales se obtiene una tasa peridica anual del 26.75%, en todos los casos.CAPITULO 3: TASAS EQUIVALENTES DE INTERS3. TASAS EQUIVALENTES DE INTERS3.1 CONCEPTO DE TASAS EQUIVALENTES DE INTERSDos o ms tasas peridicas de inters son equivalentes, si con diferente periodicidad producen el mismo inters efectivo al final de cualquier periodo. La costumbre es considerar este periodo de un ao.3.1.1 Tasa nominal anual de inters (%nom)La tasa nominal anual es la tasa que se obtiene al final de un periodo anual siempre y cuando los rendimientos generados peridicamente no se reinviertan. Por lo tanto tasa nominal anual constituye una funcin lineal al cabo del periodo anual.La tasa nominal se denomina por la letra J, y es igual a la tasa peridica i multiplicada por los periodos en que se puede convertir a capital en el periodo anual.J = %nom = i * p P: Frecuencia de conversin anual, es el nmero de veces que se puede convertir el inters a capital en un ao. Si la frecuencia de conversin anual es igual a uno, la tasa nominal anual corresponde a la tasa efectiva anual. El valor de p puede ser igual a 1, mnimo valor que puede tomar y en este caso corresponde a la efectiva anual y tambin pude ser mayor a 1, hasta tender a infinito que se llamara tasa de inters continua.Si: P = 1 Tasa efectiva anualP = 2 Tasa nominal anual, semestre vencidoP = 4 Tasa nominal anual, trimestre vencidaP = 12 Tasa nominal anual, mes vencidaP = 365 Tasa nominal anual, da vencidoP tiende a infinito: Tasa de inters continuo.