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APUNTES DE MATEMÁTICAS
TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES
1º BACHILLERATO
FUNCIONES.Límites y continuidad
2
ÍNDICE
1. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES............................................................................. 3
2. Definición límite de una función en un punto...................................................................... 4
3. Definición límite lateral de una función en un punto .......................................................... 4
3.1. Propiedad:.................................................................................................................... 5
4. Límite infinito en un punto:.................................................................................................. 7
5. Tiposde límites...................................................................................................................... 7
5.1. Límites infinitos en un punto: ...................................................................................... 7
5.2. . Límites finitos en el infinito:....................................................................................... 8
5.3. Límites infinitos en el infinito: ..................................................................................... 9
6. Asíntotas Oblicuas ................................................................................................................ 9
7. OPERACIONES CON LÍMITES................................................................................................. 9
7.1. Límite de la suma......................................................................................................... 9
7.2. Límite del producto.................................................................................................... 10
7.3. Límite del cociente..................................................................................................... 10
7.4. Límite exponencial..................................................................................................... 10
8. Operaciones con expresiones infinitas............................................................................... 11
9. INDETERMINACIONES......................................................................................................... 11
10. Cálculo de límites. .......................................................................................................... 11
10.1. INDETERMINACIÓN ∞−∞ ........................................................................................ 11
10.2. INDETERMINACIÓN 0∞ ........................................................................................... 12
10.3. INDETERMINACIÓN 0/0 ............................................................................................. 12
10.4. INDETERMINACIÓN ∞/∞ ........................................................................................ 12
10.5. INDETERMINACIONES ∞0 00 1∞
.............................................................................. 13
10.6. LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. ........................................................... 13
11. Función continua en un punto y en un intervalo........................................................... 13
11.1. Continuidad en un punto........................................................................................... 13
11.2. Continuidad en un intervalo abierto ......................................................................... 14
11.3. Continuidad en un intervalo cerrado......................................................................... 14
11.4. TEOREMA:.................................................................................................................. 14
11.5. TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO ................................................................ 14
11.6. TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN............................................................... 15
12. Operaciones con funciones continuas. .......................................................................... 15
12.1. TEOREMA:.................................................................................................................. 15
13. Discontinuidades............................................................................................................ 16
13.1. TIPOS DE DISCONTINUIDADES................................................................................... 16
14. EJEMPLOS....................................................................................................................... 18
FUNCIONES.Límites y continuidad
3
1. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una
función cuando el valor de la variable independiente tiende hacia un determinado punto o en
el ∞±
Veamos un ejemplo: Consideremos la función dada por la gráfica de la figura y fijémonos en el
punto x =2 situado en el eje de
abscisas:
¿Qué ocurre cuando nos acercamos al
punto 2 moviéndonos sobre el eje x?
Tomemos algunos valores como 2’1,
2’01, 2’001.
Vemos en la figura que en este caso las
imágenes de dichos puntos sobre la
curva, f(2’1), f(2’01), f(2’001) se
acercan a su vez a un valor situado en
el eje y, el valor y =3.
Si nos acercamos a 2 por la otra parte,
es decir, con valores como 1’9, 1’99,
1’999 en este caso las imágenes f(1’9),
f(1’99), f(1’999) se acercan también al
mismo valor, y =3.
Concluimos que el límite de la función f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cuál
expresamos con
Intuitivamente: El límite de una función en un punto es el valor en el eje OY al que se acerca la
función, f(x), cuando la x se acerca, en el eje OX a dicho punto.
Sin embargo la expresión matemática rigurosa de límite es algo más compleja:
FUNCIONES.Límites y continuidad
4
2. Definición límite de una función en un punto Dada una función f(x) y un punto x = x0, se dice que el límite de f(x) cuando x se acerca a x0
es L, y se expresa como:
Lxfxx
=>−
)(lim0
Si Paratodo valor > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − x0| < δ, entonces |f(x) − L| <
"El límite de f de x cuando x tiende a x0 es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor
que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y x0 es menor
que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades"
Lo que viene a expresar esta formulación matemática es que si x está “suficientemente cerca”
de x0, entonces su imagen f(x) también está muy próxima a L.
En la práctica en muchas ocasiones es necesario calcular
los llamados límites laterales, que como recordaremos
se definen de la siguiente forma:
Definición:
3. Definición límite lateral de una función en un punto
Se define el límite lateral por la derecha de a de la función f(x), y se expresa como:
)(lim0
xfxx
+>−
al límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a x0 y toma valores mayores que
x0.
De igual modo, el límite lateral por la izquierda de a de la función f(x) se expresa como:
)(lim0
xfxx
−>−
y se define como el límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a x0 y toma
valores menores que x0.
Ejemplo
FUNCIONES.Límites y continuidad
5
2 12
2 )(
2
>+−≤
=xsix
xsixxf
4)(lim2
=−>−
xfx
3)(lim2
−=+>−
xfx
No existe )(lim2
xfx >−
3.1. Propiedad: Para que una función f(x) tenga límite en x = x0 es necesario y suficiente que existan ambos
límites laterales y coincidan, es decir:
)(lim0
xfxx
−>−
= )(lim0
xfxx
−>−
= )(lim0
xfxx >−
Ejemplo:
1.- Aplicando la definición de límite, probar que: 22
3lim
1=+
→
x
x
22
3lim
1
=+>−
x
x
si 0 0 >∃∂>∀εεεε tal que si ∂<− |1| x �|f(x)-2|<εεεε
Si εεεε<−+|2
2
3|x
� εεεε<−+|
2
43|x
� εεεε<−|
2
1|x
� εεεε2|1| <−x
Luego basta tomar εεεεδδδδ 2= para que si ∂<− |1| x � εεεε<−+|2
2
3|x
Solución:
siquetalexistetodoparaqueSignifica
xx
00
4)13(lim1
>>
=+→
δε 0 < | x-1| < δ entonces
(3x +1)-4| < ε
FUNCIONES.Límites y continuidad
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Puesto que la elección de δ depende de ε, es necesario establecer una relación entre los
valores absolutos.
| (3x +1)- 4| y |x-1|�|3x-3| = |3x-3| = 3| x-1|
De tal manera, para cada ε > 0 dado, se puede tomar δ = ε /3. Esto es porque
0< | x-1| < δ entonces 3 |x-1| <ε => |x-1| < ε /3 δ = ε/3
Implica que 3|x-2| < 3 (ε/3 ) = 3
2.-Demostrar que 1
12lim
2
1 −−−
→ x
xx
x=3
Análisis preliminar.
Sea un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un tal que:
Si , entonces (1)
Para ello, considere inicialmente la desigualdad de la derecha de (1).
(factorizando)
(simplificando, puesto que x - 1 ≠ 0)
(2)
Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede
escoger2
εεεε=∂ (cualquier valor menor funciona).
Prueba formal.
Dado 0>εεεε ,existe 02
>= εεεεδδδδ , tal que,
FUNCIONES.Límites y continuidad
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4. Límite infinito en un punto: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).
5. Tiposde límites
5.1. Límites infinitos en un punto: En la situación del dibujo, se dice que el límite
cuando x se acerca por la derecha de x0 es
+∞, pues a medida que la x se acerca a x0, la
función se hace cada vez mayor:
+∞=>−
)(lim0
xfxx
Se dice que hay una asíntota vertical de la función , esa asíntota es la
recta x= x0
FUNCIONES.Límites y continuidad
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(de igual forma se puede definir cuando nos acercamos por la izquierda. Intenta hacer el
dibujo)
De igual modo se define el límite −∞ cuando
nos acercamos a x0 (por la derecha o por la
izquierda).(Dibuja el que falta)
Puede ocurrir que uno de los
límites laterales sea finito y
otro infinito, o cualquier
combinación entre ellos, por
ejemplo:En la figura se
cumple que:
+∞=+>−
)(lim2
xfx
y
2)(lim2
=−>−
xfx
5.2. . Límites finitos en el infinito: Se dice que una función tiene
límite b cuando x tiende a +∞
cuando la función se acerca a
b cuando la x se hace cada
vez mayor, es decir:
bxfx
=+∞>−
)(lim
Gráficamente:
En este caso el límite es 4
FUNCIONES.Límites y continuidad
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cuando x tiende a +∞.
Se dice que y=b es una asíntota horizontal de la función
5.3. Límites infinitos en el infinito: Aparece este caso cuando si x
tiende a +∞ la función se
hace cada vez mayor o menor
(lo mismo si x tiende a −∞).
Un ejemplo gráfico de este
tipo de límites sería:
En este caso:
+∞=+∞>−
)(lim xfx
(Intenta
dibujar otros casos
diferentes).
+∞=+∞>−
)(lim xfx
�para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x <B�f(x) > A.
6. Asíntotas Oblicuas Una recta y = mx + n es una asíntota oblicua de la función f(x) cuando existen y son finitos los
límites:
mx
xf
x
=∞>−
)(lim y nmxxf
x
=−∞>−
)(lim
Las asíntotas horizontales son un caso particular de las oblicuas para el caso en que m =0
7. OPERACIONES CON LÍMITES
7.1. Límite de la suma El límite de una suma es igual a la suma de los límites de cada término,
siempre que estos límites sean finitos.
bxfax
=>−
)(lim ,y cxgax
=>−
)(lim � cbxgxfax
+=+>−
)((lim
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Si bxfax
=>−
)(lim y +∞=>−
)(lim xgax
� +∞=+>−
)((lim xgxfax
Si bxfax
=>−
)(lim y −∞=>−
)(lim xgax
� −∞=+>−
´)((lim xgxfax
Si +∞=>−
)(lim xfax
y +∞=>−
)(lim xgax
� +∞=+>−
)((lim xgxfax
Cuando +∞=>−
)(lim xfax
y −∞=>−
)(lim xgax
el )()(lim xgxfax
+>−
no puede determinarse,
se dice que es INDETERMINADO de la forma ∞−∞+ .
7.2. Límite del producto bxf
ax
=>−
)(lim y cxgax
=>−
)(lim � bcxgxfax
=>−
)()(lim
bxfax
=>−
)(lim (b≠0), ∞=>−
)(lim xgax
� ∞=>−
)()(lim xgxfax
Si b = 0 y ∞=>−
)(lim xgax
� ∞=>−
)()(lim xgxfax
no puede determinarse. Se dice que es una
INDETERMINACIóN de la forma ∞0
7.3. Límite del cociente
bxfax
=>−
)(lim , cxgax
=>−
)(lim (c distinto de 0)� c
b
xg
xf
ax
=>− )(
)(lim
Si 0)(lim =>−
xfax
y 0)(lim =>−
xgax
�)(
)(lim
xg
xf
ax >−no puede determinarse. Se dice que es
INDETERMINADO de la forma 0/0.
Si ∞=>−
)(lim xfax
∞=>−
)(lim xgax
�)(
)(lim
xg
xf
ax >−no puede determinarse. Se dice que es
INDETERMINADO de la forma inf/inf.
7.4. Límite exponencial Caso 1: bxf
ax
=>−
)(lim , cxgax
=>−
)(lim (c≠0)� cxg
ax
bxf =>−
)()(lim
Caso 2: bxfax
=>−
)(lim , 0)(lim =>−
xgax
� 1)( )(
lim =>−
xg
ax
xf
Caso 3: bxfax
=>−
)(lim ,(b>1) +∞=>−
)(lim xgax
� +∞=>−
)()(limxg
ax
xf
Caso 4: bxfax
=>−
)(lim ,(b>1) −∞=>−
)(lim xgax
� 0)( )(
lim =>−
xg
ax
xf
FUNCIONES.Límites y continuidad
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Si limx->af(x) = 0 y limx->ag(x) = 0, limx->af(x)g(x) no puede determinarse. Se dice que es
INDETERMINADO de la forma 00
Si limx->af(x) = inf y limx->ag(x) = 0, limx->af(x)g(x) no puede determinarse. Se dice que es
INDETERMINADO de la forma inf0.
Si limx->af(x) = 1 y limx->ag(x) = inf, limx->af(x)g(x) no puede determinarse. Se dice que es
INDETERMINADO de la forma 1inf.
8. Operaciones con expresiones infinitas
+∞=−∞−−∞=−∞+−∞
−∞=+−∞+∞=+∞++∞
+∞=++∞
)(
)()(
)(
)()(
)(
l
l
∞=−∞+−∞−∞=±−∞+∞=+∞+∞
±∞=±+∞
∓)()(
))·((
))·((
))·((
l
l
00
0
00
0
=∞±
±∞=∞±
≠±∞=
=∞±
lsil
l
+∞==
<<
=
+∞=>
=+∞
+∞=+∞=+∞
+∞=+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−
+
−∞
+∞
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
010
01
0)(
)(
0)(
)(
l
ll
l
ll
l
l
9. INDETERMINACIONES Las indeterminaciones serán pues
∞−∞ ∞∞
∞0
0
0 0∞ 00 ∞1
10. Cálculo de límites.
10.1. INDETERMINACIÓN ∞−∞ En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo.-
FUNCIONES.Límites y continuidad
12
En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y
dividir por la expresión radical conjugada.
Ejemplo.-
10.2. INDETERMINACIÓN 0∞∞∞∞ En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo.-
11
1
1
1lim
0
01
1lim
02
2
0
−=−
=−+
==
+⋅
− →→ x
x
x
x
x
x
xx
10.3. INDETERMINACIÓN 0/0 Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el
numerador y el denominador.
Ejemplo.-
2
3
)1(
)1(lim
)1)(1(
)1)(1(lim
0
0
1
1lim
2
1
2
12
3
1=
+++
=+−
++−==
−−
→→→ x
xx
xx
xxx
x
x
xxx
En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y
dividir por la expresión radical conjugada.
Ejemplo.-
2111
)11(lim
)11(lim
11
11
11lim
0
0
11lim
0000=+=
−+=
−+=
−+−+
−−==
−− →→→→
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
xxxx
10.4. INDETERMINACIÓN ∞∞∞∞/∞∞∞∞ En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor
potencia de x del denominador.
Ejemplos.-
FUNCIONES.Límites y continuidad
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10.5. INDETERMINACIONES ∞∞∞∞0 00 1∞∞∞∞
Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:
de donde resulta que:
pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que
resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas
posteriores.
En el caso de la indeterminación ∞1 podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:
Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:
10.6. LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. En algunos casos podemos utilizar un límite muy conocido, que es:
Aplica lo anterior para resolver los siguientes límites:
(Usa la fórmula del sen(x/2))
En los casos anteriores puede ocurrir que aplicando lo dicho anteriormente no podamos
resolver la indeterminación. Estos casos, al igual que en el apartado E), se resolverán en los
temas siguientes aplicando la Regla de L'Hôpital.(2º BACHILLERATO)
11. Función continua en un punto y en un intervalo.
11.1. Continuidad en un punto Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si:
Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a.
FUNCIONES.Límites y continuidad
14
Existe el )(lim xfax→
.
Ambos valores coinciden, es decir )(lim xfax→
.
Si tenemos en cuenta la definición de límite, podemos obtener la siguiente definición
equivalente:
11.2. Continuidad en un intervalo abierto Diremos que y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del
intervalo abierto (a,b).
Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si )()(lim afxfax
=+→
.
Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si )()(lim afxfax
=−→
.
11.3. Continuidad en un intervalo cerrado Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si:
• y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b).
• y = f(x) es continua por la derecha en x=a.
• y = f(x) es continua por la izquierda en x=b.
11.4. TEOREMA: Si y = f(x) es continua en x = a �existe el )(lim xf
ax→. (La demostración es inmediata)
Sin embargo, el teorema recíproco no es cierto en general.
Como ejemplo comprobarlo para:
11.5. TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO Sea y=f(x) una función continua en x=a siendo f(a) distinto de 0 � existe un entorno de x=a en
el que los valores de f(x) tienen el mismo signo que f(a).
Demostración:
Supongamos que f(a)>0 (si fuese negativo, se razonaría de modo similar).
Tomemos .2
)(af=εεεε Por la continuidad de y=f(x) en x=a se tiene que:
FUNCIONES.Límites y continuidad
15
Es decir:
Por lo tanto: f(x)>0. (Como se quería demostrar)
11.6. TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN Si y = f(x) es continua en x = a�y = f(x) está acotada en un cierto entorno de x = a.
Demostración:
Tomemos 01 >=εεεε . Por la continuidad de y = f(x) en x = a se tiene que:
de modo que )1)(,1)(( +− afaf es un intervalo acotado, por lo tanto y=f(x) está acotada en
el entorno ),( ∂+∂− aa de x=a.
12. Operaciones con funciones continuas. Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que:
)()( xgxf ± es continua en x=a.
)()( xgxf es continua en x=a.
)(
)(
xg
xf es continua en x=a si g(a)≠0
es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia).
12.1. TEOREMA: Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua en y=f(a) � ))(( xgof es continua en x=a.
Demostración:
De lo dicho anteriormente resulta que:
EJEMPLO :La función f xx
x( ) = +
−2
2 ¿es continua en el punto x = 3?
FUNCIONES.Límites y continuidad
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Veamos si se cumplen las tres condiciones anteriores:
1. lim f x limx
xx x→ →=
+−
=+−
=3 3
2
2
3 2
3 25 ( )
2. f ( )33 2
3 25= +
−=
3. lim f x fx→
=3
3 ( ) ( )
Por tanto, f(x) es continua en el punto x = 3.
Dada la función f xx
x x( ) =
−−
2
2
1, estudiar la continuidad de dicha función en x = 1.
Veamos si se cumplen las condiciones necesarias:
limx
x xlim
x x
x xlimx
xx x x→ → →
−−
=+ ⋅ −
⋅ −=
+=
+=
1
2
21 1
1 1 1
1
1 1 1
12
( ) ( )
( )
f ( )11 1
1 1
2
2=−−
⇒ no existe, pues se anula el denominador.
El limite y f(1) no son iguales porque f(1) no existe y, en consecuencia, no se pueden
comparar.
Por tanto, al no estar definida la función en el punto x = 1 no podemos hablar de la
continuidad en dicho punto.
13. Discontinuidades. Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho valor de x, es
decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.
13.1. TIPOS DE DISCONTINUIDADES A) Evitable: Cuando existe el )(lim xf
ax→ pero
no coincide con el valor de f(a) por una de
estas dos razones, son distintos los valores o
no existe f(a).
B) De salto: Cuando existe el límite por la
derecha y por la izquierda (siendo ambos
finitos) pero no coinciden.
)(af
L
O a
FUNCIONES.Límites y continuidad
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C) Asintótica: Cuando alguno de los límites
laterales (o ambos) no es finito. Puede ser
asintótica por la derecha, por la izquierda o
por ambos lados.
D) Esencial: Cuando no existe alguno de los
límites laterales (o ambos). Puede serlo por la
derecha, por la izquierda o por ambos lados.
Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, llamaremos verdadero valor de la función
en x=a al )(lim xfax→
. Dicho valor es el que convierte a la función en continua.
Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, llamaremos salto de la función en x=a al
valor .
FUNCIONES.Límites y continuidad
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14. EJEMPLOS Indeterminación inf/inf:
Indeterminación inf - inf:
Indeterminación 0/0:
FUNCIONES.Límites y continuidad
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